知識(shí)點(diǎn)01 三元一次方程（組）的定義
三元一次方程的定義：
含有 3 個(gè)未知數(shù)且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是 1 的整式方程叫做三元一次方程。
三元一次方程組的定義：
方程組中含有 3 個(gè)未知數(shù)，含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是 1 且一共有三個(gè)方程的方程組叫做三元一次方程組。
【即學(xué)即練1】
1．下列是三元一次方程組的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】如果方程組中含有三個(gè)未知數(shù)，每個(gè)方程中含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是一次，并且方程組中一共有兩個(gè)或兩個(gè)以上的方程，這樣的方程組叫做三元一次方程組；利用三元一次方程組的定義逐項(xiàng)判斷即可得到答案．
【解答】解：對(duì)于A選項(xiàng)，第二個(gè)方程中未知數(shù)x的次數(shù)是2，
故A選項(xiàng)中方程組不是三元一次方程組；
對(duì)于B選項(xiàng)，第一個(gè)方程中分母含有未知數(shù)，
故B選項(xiàng)中方程組不是三元一次方程組；
對(duì)于C選項(xiàng)，第二個(gè)方程中每個(gè)未知數(shù)的次數(shù)都是1，但對(duì)于整個(gè)方程而言，次數(shù)是3，
故C選項(xiàng)中的方程組不是三元一次方程組；
對(duì)于D選項(xiàng)，方程組中含有三個(gè)未知數(shù)，且含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是一次，
故D選項(xiàng)中的方程組是三元一次方程組．
故選D．
知識(shí)點(diǎn)02 解三元一次方程組
基本思想：
三元一次方程組消元轉(zhuǎn)化成二元一次方程組，再進(jìn)行消元轉(zhuǎn)化成一元一次方程。
基本步驟：
變形：通過(guò)加減消元或帶入消元把三元一次方程組變?yōu)槎淮畏匠獭?br>求解：求解二元一次方程組。
回代：將求得的二元一次方程組的兩個(gè)解帶入原方程中任意一個(gè)方程，得到一個(gè)一元一次方程。
求解：解一元一次方程得到第三個(gè)未知數(shù)的值。
寫解：用寫出方程組的解。
【即學(xué)即練1】
2．解方程組：．
【分析】由①+②和①+③可消去z，再組成二元一次方程，求解即可．
【解答】解：
在方程組中，
①+②可得3x﹣y＝1④，
①+③可得4x＝4，解得x＝1，
把x＝1代入④可得y＝2，
把x＝1、y＝2代入①可得z＝3，
∴原方程組的解為．
題型01 解三元一次方程組
【典例1】解方程組：．
【分析】利用加減消元法，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：，
②+③得：
3x+y＝﹣1④，
④×3得：
9x+3y＝﹣3⑤，
⑤﹣①得：
7x＝﹣7，
解得：x＝﹣1，
把x＝﹣1代入①得：
﹣2+3y＝4，
解得：y＝2，
把x＝﹣1，y＝2代入②得：
﹣2﹣2+2z＝﹣4，
解得：z＝0，
∴原方程組的解為：．
【變式1】解方程組：．
【分析】先讓①+②可得x+z＝2④，再讓②+③得5x﹣8z＝36⑤，④和⑤組成方程組，解可求x、z，再把x、z的值代入②可求y．
【解答】解：，
①+②，得x+z＝2④，
②+③，得5x﹣8z＝36⑤，
④×5﹣⑤，得13z＝﹣26，
解得z＝﹣2，
把z＝﹣2代入④，得x＝4，
把x＝4，z＝﹣2代入②，得y＝0．
所以原方程組的解是．
【變式2】解方程組：
【分析】①+②得出5x+2y＝16④，③+②得出3x+4y＝18⑤，由④和⑤組成一個(gè)二元一次方程組，求出x、y的值，再求出z即可．
【解答】解：，
①+②，得5x+2y＝16④，
③+②，得3x+4y＝18⑤，
由④和⑤組成一個(gè)二元一次方程組，
解得：，
把代入①，得6﹣3+z＝4，
解得：z＝1，
所以原方程組的解是．
【變式3】解三元一次方程組．
【分析】①+②求出x﹣y＝5，②﹣③求出x+2y＝11，組成一個(gè)二元一次方程組，求出方程組的解，把求出的x、y的值代入③求z即可．
【解答】解：①+②，得3x﹣3y＝15，
即x﹣y＝5，④
②﹣③，得x+2y＝11，⑤
由④和⑤組成一個(gè)二元一次方程組
解得：x＝7，y＝2，
再把x＝7，y＝2代入③，得z＝﹣2．
所以方程組的解為．
題型02 構(gòu)造三元一次方程組求值
【典例1】已知y＝ax2+bx+c，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝9；當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝5，求a、b、c的值．
【分析】將三組數(shù)值代入y＝ax2+bx+c列出三元一次方程組即可求出答案．
【解答】解：當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝9；
∴9＝4a﹣2b+c，
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，
∴3＝c，
當(dāng)x＝2時(shí)，y＝5，
∴5＝4a+2b+c，
∴，
解得：
【變式1】在等式y(tǒng)＝ax2+bx+c中，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝3；當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1，求這個(gè)等式中a、b、c的值．
【分析】根據(jù)題意列出三元一次方程組，解方程組即可．
【解答】解：由題意得，，
解得，a＝1，b＝﹣1，c＝1．
【變式2】已知多項(xiàng)式x3+ax2+bx+c中，a，b，c為常數(shù)，當(dāng)x＝1時(shí)，多項(xiàng)式的值是1；當(dāng)x＝2時(shí)，多項(xiàng)式的值是2；若當(dāng)x是8和﹣5時(shí)，多項(xiàng)式的值分別為M與N，求M﹣N的值．
【分析】根據(jù)題意列出方程1+a+b+c＝1，8+4a+2b+c＝2，解得，再由題意求出M和N的值，然后把a(bǔ)、b的值代入即可求出答案．
【解答】解：當(dāng)x＝1時(shí)，1+a+b+c＝1，
∴a+b+c＝0．①
當(dāng)x＝2時(shí)，8+4a+2b+c＝2，
∴4a+2b+c＝﹣6②
聯(lián)立①，②解得，
當(dāng)x＝8時(shí)，M＝512+64a+8b+c，
當(dāng)x＝5時(shí)，N＝﹣125+25a﹣5b+c．
∴M﹣N
＝512+64a+8b+c﹣（﹣125+25a﹣5b+c）
＝39a+13b+637
＝39×+13×+637
＝﹣117+39+637
＝559．
【變式3】若有理數(shù)a，b，c滿足（a+2c﹣2）2+|4b﹣3c﹣4|+|﹣4b﹣1|＝0，試求a3n+1b3n+2﹣c4n+2．
【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到，再解方程組得到，所以a3n+1b3n+2﹣c4n+2＝43n+1?（）3n+2﹣（﹣1）4n+2＝（4×）3n+1?﹣1，然后根據(jù)積的乘方進(jìn)行計(jì)算．
【解答】解：根據(jù)題意得，
②+③得a﹣3c﹣5＝0，
所以a＝6c+10，
把a(bǔ)＝6c+10代入①得6c+10+2c﹣2＝0，、
解得c＝﹣1，
所以a＝﹣6+10＝4，
把c＝﹣1代入②得4b+3﹣4＝0，
解得b＝，
所以方程組的解為，
所以a3n+1b3n+2﹣c4n+2＝43n+1?（）3n+2﹣（﹣1）4n+2
＝（4×）3n+1?﹣1
＝﹣1
＝﹣．
題型03 求式子的值
【典例1】已知：，且3a+2b﹣4c＝9，則a+b+c的值等于 ﹣15 ．
【分析】先設(shè)比例系數(shù)為k，代入3a+2b﹣4c＝9，轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的一元一次方程解答．
【解答】解：設(shè)＝＝＝k，
則a＝3k，b＝5k，c＝7k，
代入3a+2b﹣4c＝9，
得9k+10k﹣28k＝9，
解得：k＝﹣1，
∴a＝﹣3，b＝﹣5，c＝﹣7，
于是a+b+c＝﹣3﹣5﹣7＝﹣15．
故本題答案為：﹣15．
【變式1】設(shè)＝＝，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【分析】設(shè)已知等式等于k，表示出x，y，z，代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果．
【解答】解：設(shè)＝＝＝k，得到x＝2k，y＝3k，z＝4k，
則原式＝＝．
故選：C．
【變式2】已知x+y+7z＝0，x﹣y﹣3z＝0（xyz≠0），則＝ ﹣4 ．
【分析】在x+y+7z＝0，x﹣y﹣3z＝0中，未知數(shù) 系數(shù)相同，xy的系數(shù)互為相反數(shù)，通過(guò)兩個(gè)式子相減或相加，即可用z的代數(shù)式表示出x、y，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：x+y+7z＝0①，
x﹣y﹣3z＝0②，
①﹣②，得2y+10z＝0，即y＝﹣5z，
①+②，得2x+4z＝0，即x＝﹣2z，
∴＝＝＝﹣4．
故答案為：﹣4．
【變式3】已知方程組，則＝ ．
【分析】方程組兩方程相減求出m+2n的值，第一個(gè)方程乘以2減去第二個(gè)方程求出m+n+k的值，代入原式計(jì)算即可求出值．
【解答】解：，
②﹣①得：m+2n＝5，
①×2﹣②得：m+n+k＝6，
則原式＝．
故答案為：．
題型04 三元一次方程組的簡(jiǎn)單應(yīng)用
【典例1】為確保信息安全，信息需要加密傳輸，發(fā)送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．已知加密規(guī)則為：明文a，b，c對(duì)應(yīng)的密文a+2，2b+1，3c+4．例如明文1，2，3對(duì)應(yīng)的密文3，5，13．如果接收方收到密文4，13，16，則解密得到的明文為（ ）
A．4，5，6B．2，6，8C．3，6，9D．2，6，4
【分析】根據(jù)接收方收到密文4，13，16，可列出關(guān)于a，b，c的三元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．
【解答】解：根據(jù)題意得：，
解得：，
∴解密得到的明文為2，6，4．
故選：D．
【變式1】小夢(mèng)在某購(gòu)物平臺(tái)上購(gòu)買甲、乙、丙三種商品，當(dāng)購(gòu)物車內(nèi)選擇3件甲，2件乙，1件丙時(shí)顯示的價(jià)格為420元；當(dāng)購(gòu)物車內(nèi)選擇2件甲，3件乙，4件丙時(shí)顯示的價(jià)格為580元，那么購(gòu)買甲、乙、丙各兩件應(yīng)該付款（ ）
A．200元B．400元C．500元D．600元
【分析】設(shè)購(gòu)買甲、乙、丙三種商品需付款x元，y元，z元，根據(jù)題意列出方程組，計(jì)算即可求出x，y，z的值，即可得到結(jié)果．
【解答】解：設(shè)購(gòu)買甲、乙、丙三種商品需付款x元，y元，z元，
根據(jù)題意得：，
①+②得：5x+5y+5z＝1000，即x+y+z＝200，
∴2x+2y+2z＝400，
則購(gòu)買甲、乙、丙各兩件應(yīng)該付款400元．
故選：B．
【變式2】某校開學(xué)典禮需要購(gòu)買一、二、三等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品若干，若購(gòu)買三等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品3件，二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品5件，一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品1件，共需62元，若購(gòu)三等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品4件，二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品7件，一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品1件共需77元．現(xiàn)在購(gòu)買三等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品各一件，共需（ ）元
A．31B．32C．33D．34
【分析】設(shè)三等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品的單價(jià)是x元，二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品的單價(jià)是y元，一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品的單價(jià)是z元，根據(jù)“購(gòu)買三等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品3件，二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品5件，一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品1件，共需62元；購(gòu)三等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品4件，二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品7件，一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品1件共需77元”，可得出關(guān)于x，y，z的三元一次方程組，利用①×3﹣②×2，即可求出購(gòu)買三等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品各一件所需的費(fèi)用．
【解答】解：設(shè)三等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品的單價(jià)是x元，二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品的單價(jià)是y元，一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品的單價(jià)是z元，
根據(jù)題意得：，
①×3﹣②×2得：x+y+z＝32，
∴購(gòu)買三等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品各一件，共需32元．
故選：B．
【變式3】春節(jié)來(lái)臨之際，某花店老板購(gòu)進(jìn)大量的康乃馨、百合、玫瑰，打算采用三種不同方式搭配成花束，分別取名為“眷戀”、“永恒”、“守候”．三種花束的每一束成本分別為a元、b元和c元．已知銷售每束“眷戀”的利潤(rùn)率為10%，每束“永恒”的利潤(rùn)率為20%，每束“守候”的利潤(rùn)率為30%，當(dāng)售出的三種花束數(shù)量之比為2：3：4時(shí)，老板得到的總利潤(rùn)率為25%；當(dāng)售出的三種花束數(shù)量之比為3：2：1時(shí)，老板得到的總利潤(rùn)率為20%，則a：b：c為（ ）
A．1：2：3B．1：3：4C．2：3：5D．3：4：5
【分析】根據(jù)“當(dāng)售出的三種花束數(shù)量之比為2：3：4時(shí)，老板得到的總利潤(rùn)率為25%；當(dāng)售出的三種花束數(shù)量之比為3：2：1時(shí)，老板得到的總利潤(rùn)率為20%”，可列出關(guān)于a，b，c的三元一次方程組，解之可用含a的代數(shù)式表示出b，c的值，代入后可求出a：b：c的值．
【解答】解：根據(jù)題意得：，
解得：，
∴a：b：c＝a：2a：3a＝1：2：3．
故選：A．
1．解方程組，如果要使運(yùn)算簡(jiǎn)便，那么消元時(shí)最好應(yīng)（ ）
A．先消去xB．先消去y
C．先消去zD．先消常數(shù)項(xiàng)
【分析】觀察發(fā)現(xiàn)，未知數(shù)y的系數(shù)具有相同，或互為相反數(shù)，從而可確定先消去y．
【解答】解：觀察未知數(shù)x，y，z的系數(shù)特點(diǎn)發(fā)現(xiàn)：
未知數(shù)y的系數(shù)要么相等，要么互為相反數(shù)，
所以要使運(yùn)算簡(jiǎn)便，那么消元時(shí)最好應(yīng)先消去y，
故選：B．
2．解三元一次方程組，若先消去z，組成關(guān)于x、y的方程組，則應(yīng)對(duì)方程組進(jìn)行的變形是（ ）
A．①﹣②，②+③B．①×2+③，②×2+③
C．①+②，②×2+③D．①+③，②+③
【分析】利用加減消元法進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【解答】解：，
①+②得：5x﹣2y＝16，
②×2得：4x﹣2y﹣2z＝24④，
③+④得：5x﹣y＝30，
即，
故選：C．
3．下列四組數(shù)值中，是方程組的解的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用加減消元法，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：，
①+②得：
3x+y＝1④，
①+③得：
4x+y＝2⑤，
⑤﹣④得：
x＝1，
把x＝1代入④中，
3+y＝1，
解得：y＝﹣2，
把x＝1，y＝﹣2代入①中，
1﹣4+z＝0，
解得：z＝3，
∴原方程組的解為：，
故選：D．
4．若方程組，其中xyz不等于0，那么x：y：z＝（ ）
A．2：3：1B．1：2：3C．1：4：1D．3：2：1
【分析】把z看成此時(shí)，求出x，y即可．
【解答】解：由，可得，
∴x：y：z＝2z：3z：z＝2：3：1．
故選：A．
5．某商店將巧克力包裝成甲、乙兩種禮盒出售，且每盒甲種禮盒的價(jià)錢相同，每盒乙種禮盒的價(jià)錢相同，曉雨原先想購(gòu)買2盒甲種禮盒和5盒乙種禮盒，但他身上的錢還差3元，如果改成購(gòu)買5盒甲種禮盒和2盒乙種禮盒，他身上的錢會(huì)剩下3元，若曉雨最后購(gòu)買7盒甲種禮盒，則他身上剩下的錢數(shù)是（ ）
A．1元B．3元C．5元D．7元
【分析】設(shè)每盒甲種禮盒的價(jià)錢為x元，每盒乙種禮盒的價(jià)錢為y元，曉雨身上有z元錢，根據(jù)購(gòu)買2盒甲種禮盒和5盒乙種禮盒，但他身上的錢還差3元，如果改成購(gòu)買5盒甲種禮盒和2盒乙種禮盒，他身上的錢會(huì)剩下3元，列出三元一次方程組，解之得出z﹣7x的值即可．
【解答】解：設(shè)每盒甲種禮盒的價(jià)錢為x元，每盒乙種禮盒的價(jià)錢為y元，曉雨身上有z元錢，
由題意得：，
（①+②）÷2得：z＝（x+y）③，
（①﹣②）÷3得：y﹣x＝2，
∴y＝x+2④，
將④代入③中得：z＝（x+x+2），
∴z﹣7x＝7，
即曉雨最后購(gòu)買7盒甲種禮盒，則他身上剩下的錢數(shù)是7元，
故選：D．
6．一個(gè)賓館有二人間、三人間、四人間三種客房供游客租住，某旅行團(tuán)25人準(zhǔn)備同時(shí)租用這三種客房共9間，如果每個(gè)房間都住滿，則租房方案共有（ ）
A．4種B．3種C．2種D．1種
【分析】首先設(shè)賓館有客房：二人間x間、三人間y間、四人間z間，根據(jù)題意可得方程組：，解此方程組可得y+2z＝7，又由x，y，z是非負(fù)整數(shù)，即可求得答案．
【解答】解：設(shè)賓館有客房：二人間x間、三人間y間、四人間z間，根據(jù)題意得：
，
解得：y+2z＝7，
y＝7﹣2z，
∵x，y，z都是小于9的正整數(shù)，
當(dāng)z＝1時(shí)，y＝5，x＝3；
當(dāng)z＝2時(shí)，y＝3，x＝4；
當(dāng)z＝3時(shí)，y＝1，x＝5
當(dāng)z＝4時(shí)，y＝﹣1（不符合題意，舍去）
∴租房方案有3種．
故選：B．
7．若方程組的解也是方程3x+ky＝10的解，則k的值是（ ）
A．6B．10C．9D．
【分析】由題意知方程組，可將方程3x+5y＝6乘以2減去方程6x+15y＝15，得到一個(gè)關(guān)于y的方程從而解出y值，再代入方程3x+5y＝6求出x的值，又方程組的解也是方程3x+ky＝10的解，把方程組的解代入即可求出k值．
【解答】解：由題意知，，
將方程①×2﹣②得，
﹣5y＝﹣3，
∴y＝，
把y代入①得，
3x+3＝6，
∴x＝1，
把代入方程3x+ky＝10，得
3+k×＝10，
∴k＝；
故選：D．
8．在等式y(tǒng)＝ax2+bx+c中，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2；當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝0；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝12，則a+b+c＝（ ）
A．4B．5C．6D．8
【分析】先把x＝0時(shí)，y＝2；x＝﹣1時(shí)，y＝0；x＝2時(shí)，y＝12分別代入y＝ax2+bx+c，得到一個(gè)三元一次方程組解這個(gè)方程組即可求出a，b，c的值，進(jìn)而求得結(jié)果．
【解答】解：把x＝0時(shí)，y＝2；x＝﹣1時(shí)，y＝0；x＝2時(shí)，y＝12分別代入y＝ax2+bx+c，得
，
解得，，
∴a+b+c＝1+3+2＝6，
故選：C．
9．對(duì)于實(shí)數(shù)x，y定義新運(yùn)算：x?y＝ax+by+c，其中a，b，c均為常數(shù)，且已知3?5＝15，4?7＝28，則2?3的值為（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】根據(jù)所給的條件，可得到3a+5b+c＝15，4a+7b+c＝28，從而可求得a+2b＝13，7a+12b+2c＝43，整理可求得b﹣c＝24，從而可求解．
【解答】解：∵3?5＝15，4?7＝28，
∴3a+5b+c＝15①，4a+7b+c＝28②，
②﹣①得：a+2b＝13，
①+②得：7a+12b+2c＝43，
則7（a+2b）﹣2（b﹣c）＝43，
整理得：b﹣c＝24，
∴2?3
＝2a+3b+c
＝2（a+2b）﹣（b﹣c）
＝2×13﹣24
＝26﹣24
＝2．
故選：A．
10．三個(gè)二元一次方程3x﹣y＝7，2x+3y＝1，y＝kx﹣9有公共解，則k的值是（ ）
A．3B．C．﹣2D．4
【分析】利用方程3x﹣y＝7和2x+3y＝1組成方程組，求出x、y，再代入y＝kx﹣9求出k值．
【解答】解：，
把①式兩邊乘3，得9x﹣3y＝21③，
②+①得11x＝22，得x＝2，
把x＝2代入①得6﹣y＝7，
解得y＝﹣1，
將代入y＝kx﹣9得2k﹣9＝﹣1，
解得k＝4．
故選：D．
11．如果方程組的解與方程組的解相同，則a+b＝ 1 ．
【分析】?jī)蓚€(gè)方程組的解相同，意思是這兩個(gè)方程組中的x都等于4，y都等于3，即是方程組的解，根據(jù)方程組的解的定義，即可求出a+b的值．
【解答】解：依題意，知是方程組的解，
∴
①+②，得7a+7b＝7，
方程兩邊都除以7，得a+b＝1．
12．已知x、y、z滿足，則x：y：z＝ 1：3：2 ．
【分析】把兩個(gè)方程相加，可得14x＝7z，據(jù)此可得x：z＝1：2；①×3﹣②×4，可得21x＝7y，據(jù)此可得x：y＝1：3，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：，
①+②，得14x﹣7z＝0，
即14x＝7z，
∴x：z＝1：2；
①×3﹣②×4，得﹣21x+7y＝0，
即21x＝7y，
∴x：y＝1：3，
∴x：y：z＝1：3：2．
故答案為：1：3：2．
13．購(gòu)買鉛筆7支，作業(yè)本6個(gè)，中性筆4支共需33元；購(gòu)買鉛筆5支，作業(yè)本5個(gè)，中性筆3支共需26元；則購(gòu)買鉛筆2支，作業(yè)本1個(gè)，中性筆1支共需 7 元．
【分析】首先假設(shè)鉛筆的單價(jià)是x元，作業(yè)本的單價(jià)是y元，中性筆的單價(jià)是z元．購(gòu)買鉛筆2支，作業(yè)本1本，中性筆1支共需a元．根據(jù)題目說(shuō)明列出方程組，解方程組求出a的值，即為所求結(jié)果．
【解答】解：設(shè)鉛筆的單價(jià)是x元，作業(yè)本的單價(jià)是y元，中性筆的單價(jià)是z元．購(gòu)買鉛筆2支，作業(yè)本1本，中性筆1支共需a元．
則由題意得：
，
由①﹣②得2x+y+z＝7，
于是：a＝7，
故答案為：7．
14．磁器口古鎮(zhèn)，被贊譽(yù)為“小重慶”，磁器口的陳麻花更是重慶標(biāo)志性名片之一．磁器口某門店從陳麻花生產(chǎn)商處采購(gòu)了原味、麻辣、巧克力三種口味的麻花進(jìn)行銷售，其每袋進(jìn)價(jià)分別是10元，12元，15元，其中原味與麻辣味麻花每袋的銷售利潤(rùn)率相同，原味與巧克力味麻花每袋的銷售利潤(rùn)相同．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在今年元旦節(jié)當(dāng)天，該門店這三種口味的麻花銷量是2：3：2，其銷售原味與巧克力味麻花的總利潤(rùn)率是40%，且巧克力味麻花銷售額比原味麻花銷售額多1000元，則今年元旦節(jié)當(dāng)天該門店銷售這三種口味的麻花的利潤(rùn)共 3800 元．
【分析】設(shè)原味麻花的銷售單價(jià)為x元，用x表示其它兩種麻花的銷售單價(jià)，再設(shè)今年元旦節(jié)當(dāng)天，該門店這三種口味的麻花銷量分別是：原味2y袋，麻辣味3y袋，巧克力味2y袋，根據(jù)題意列出方程組，求得x與y的值，進(jìn)而再用x、y的代數(shù)式表示今年元旦節(jié)當(dāng)天該門店銷售這三種口味的麻花的利潤(rùn)，最后代值計(jì)算．
【解答】解：設(shè)原味麻花的銷售單價(jià)為x元，根據(jù)題意得，
麻辣味麻花銷售單價(jià)為12（1+）＝1.2x（元），
巧克力麻花的銷售單價(jià)為15+（x﹣10）＝x+5（元），
設(shè)今年元旦節(jié)當(dāng)天，該門店這三種口味的麻花銷量分別是：原味2y袋，麻辣味3y袋，巧克力味2y袋，根據(jù)題意得，
，
解得，，
∴今年元旦節(jié)當(dāng)天該門店銷售這三種口味的麻花的利潤(rùn)為：（x﹣10）?2y+（1.2x﹣12）?3y+（x﹣10）?2y＝7.6xy﹣76y＝7.6×15×100﹣76×100＝3800．
故答案為：3800．
15．某校舉行一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，賽后5名同學(xué)A，B，C，D，E知道了自己的成績(jī)，但這5名學(xué)生想盡快得知比賽的名次，得到如下信息：
則這5位同學(xué)中獲得第三名的是 E ．
【分析】由文字信息得到數(shù)學(xué)表達(dá)式，組成方程組，化簡(jiǎn)比較大小即可．
【解答】解：由題意得，，
解得，，
∴A＞C＞E＞B＞D，
∴獲得第三名的同學(xué)是E，
故答案為：E．
16．解方程組：
（1）；
（2）．
【分析】（1）方程組化簡(jiǎn)后，利用加減消元法求解即可；
（2）分別用②﹣①，②+③得到兩個(gè)關(guān)于x、y的二元一次方程，聯(lián)立為二元一次方程組求出x、y的值，再代入①求出z的值即可．
【解答】解：（1）方程組整理，得，
①+②，得6x＝12，
解得x＝2，
把x＝2代入②，得6+2y＝14，
解得y＝4，
故原方程組的解為；
（2），
②﹣①，得x+2y＝7④，
②+③，得5x+5y＝25，即x+y＝5⑤，
④﹣⑤，得y＝2，
把y＝2代入⑤，得x＝3，
把x＝3，y＝2代入①，得z＝5，
故原方程組的解為．
17．已知關(guān)于x，y的方程組
（1）若方程組的解互為相反數(shù)，求k的值．
（2）若方程組的解滿足方程3x﹣4y＝1，求k的值．
【分析】（1）根據(jù)相反數(shù)得出，求出方程組的解即可；
（2）解三元一次方程組，求出方程組的解即可．
【解答】解：（1）依題意有：，
解得．
故k的值為；
（2）依題意有：，
解得．
故k的值為﹣3．
18．運(yùn)輸公司要把120噸物資從A地運(yùn)往B地，有甲、乙、丙三種車型供選擇，每種型號(hào)的車輛的運(yùn)載量和運(yùn)費(fèi)如表所示．
解答下列問(wèn)題：（假設(shè)每輛車均滿載）
（1）若全部物資僅用甲、乙型車一次運(yùn)完，需運(yùn)費(fèi)9600元，則甲、乙型車分別需要多少輛？
（2）若用甲、乙、丙型車共14輛同時(shí)參與運(yùn)送，且一次運(yùn)完全部物資，其中甲型車有2輛，則乙、丙型車分別需要多少輛？此時(shí)的總運(yùn)費(fèi)是多少？
【分析】（1）設(shè)甲、乙型車各需a輛，b輛，根據(jù)物資共120噸，運(yùn)費(fèi)共9600元列出方程組，求出方程組的解即可得到結(jié)果；
（2）設(shè)乙、丙型車分別需要x輛、y輛，根據(jù)總輛數(shù)14和總噸數(shù)列出方程組，進(jìn)而求出總運(yùn)費(fèi)即可．
【解答】解：（1）設(shè)甲、乙型車分別需要a輛、b輛．
根據(jù)題意，得，
解得，
答：甲、乙型車分別需要8輛、10輛；
（2）設(shè)乙、丙型車分別需要x輛、y輛，
根據(jù)題意得，
解得，
此時(shí)總運(yùn)費(fèi)為450×2+600×5+700×7＝900+3000+4900＝8800（元）．
答：乙、丙型車分別需要5輛、7輛，此時(shí)的總運(yùn)費(fèi)為8800元．
19．【數(shù)學(xué)問(wèn)題】解方程組．
【思路分析】小明觀察后發(fā)現(xiàn)方程①的左邊是x+y，而方程②的括號(hào)里也是x+y，他想到可以把x+y視為一個(gè)整體，把方程①直接代入到方程②中，這樣，就可以將方程②直接轉(zhuǎn)化為一元一次方程，從而達(dá)到“消元”的目的．
（1）【完成解答】請(qǐng)你按照小明的思路，完成解方程組的過(guò)程．
（2）你還能用其他的方法來(lái)求得方程組的解嗎？
（3）【遷移運(yùn)用】請(qǐng)你按照小明的方法，解方程組．
【分析】（1）把①代入②，求出x的值，再把x的值代入①，求出y的值；
（2）由①可得x＝2﹣y③，把③代入②求出y的值，再把y的值代入①，求出x的值，即可；
（3）先把①代入③，求出c的值，再把c的值代入②，求出a的值，最后把a(bǔ)的值代入①，求出b的值，即可．
【解答】解：（1）把①代入②，得5x﹣2×2＝6，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：2+y＝2，
解得：y＝0，
∴原方程組的解為；
（2）由①得：x＝2﹣y③，
把③代入②得：52﹣y﹣2[2﹣y+y]＝6，
解得：y＝0，
把y＝0代入①得：x＝2，
∴原方程組的解為；
（3）把①代入③得：3+c＝0，解得：c＝﹣3，
把c＝﹣3代入②得：5a﹣9＝1，解得：a＝2，
把a(bǔ)＝2代入①得：2+b＝3，解得：b＝1，
∴原方程組的解為．
20．問(wèn)題提出
已知實(shí)數(shù)x，y滿足，求7x+5y的值．
本題常規(guī)思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得x，y）的值再代入求值，可得到答案．此常規(guī)思路運(yùn)算量比較大，其實(shí)仔細(xì)觀察兩個(gè)方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，本題還可以通過(guò)適當(dāng)變形，可求得該整式的值，如由①+②×2可得7x+5y＝19．這種解題思想就是通常所說(shuō)的“整體思想”．
利用上面的知識(shí)解答下面問(wèn)題：
（1）已知方程組，則x﹣y的值為 ﹣1 ．
問(wèn)題探究
（2）請(qǐng)說(shuō)明在關(guān)于x，y的方程組中，無(wú)論a取何值，x+y的值始終不變．
問(wèn)題解決
（3）某步行街分別擺放有甲．乙、丙三種造型的盆景x，y，z盆，甲種盆景由15朵紅花、8朵黃花和25朵紫花搭配而成；乙種盆景由10朵紅花、6朵黃花和20朵紫花搭配而成；丙種盆景由10朵紅花、7朵黃花和25朵紫花搭配而成．這些盆景﹣共用了2900朵紅花，3750朵紫花，求黃花一共用了多少朵．
【分析】（1）由①﹣②，即可求解；
（2）由①×3+②，可得4x+4y＝12，即可求解；
（3）黃花一共用了M朵．則M＝8x+6y+7z，根據(jù)題意，列出方程組，即可求解．
【解答】解：（1）①﹣②得，x﹣y＝﹣1
故答案為：﹣1．
（2），
由①×3+②，得4x+4y＝12，
∴x+y＝3，
∴無(wú)論a取何值，x+y的值始終不變．
（3）設(shè)黃花一共用了M朵．則M＝8x+6y+7z，
由題意，得，
由①+③，得40x+30y+35z＝6650④，
由，得8x+6y+7z＝1330，即M＝1330．
答：黃花一共用了1330朵．
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
①三元一次方程（組）
②三元一次的解法
掌握三元一次方程（組）的概念并能夠準(zhǔn)確的進(jìn)行判斷。
掌握三元一次方程組的解法并能夠熟練的解三元一次方程組。
信息序號(hào)
文字信息
1
D的得分是E得分的四分之一
2
E的得分是B得分的3倍
3
A和D的得分之和等于B和C的總分
4
A與E的得分之差是B得分的四分之三
車型
甲
乙
丙
運(yùn)載量（噸/輛）
5
8
10
運(yùn)費(fèi)（元/輛）
450
600
700

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8.4 三元一次方程組的解法

版本： 人教版（2024）

年級(jí)： 七年級(jí)下冊(cè)

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