知識點01 不等式與不等號
不等式的定義：
用不等號表示 關(guān)系或 關(guān)系的式子叫做不等式。表示的不等關(guān)系必須成立。
常見的不等號：
①小于：符號表示為 ；實際意義為小于，不足等。
②大于：符號表示為 ；實際意義為大于，超過等。
③小于或等于：符號表示為 ；實際意義為不大于，不超過，至多等。
④大于或等于：符號表示為 ；實際意義為不小于，不低于，至少等。
⑤不等于：符號表示為 ；實際意義為不相等。
列不等式：
審清題意，弄清關(guān)鍵詞的含義，找出已知量與未知量以及他們之間存在的關(guān)系，然后用不等式將不等關(guān)系表示出來。
常見的不等式基本語言與符號表示：
若是正數(shù)表示為 ；
若是負數(shù)表示為 ；
若是非正數(shù)表示為 ；
若是非負數(shù)表示為 ；
若是同號表示為 ；
若是異號表示為 ；
【即學即練1】
1．下列數(shù)學式子：①﹣3＜0；②2x+3y≥0；③x＝1；④x2﹣2xy+y2；⑤x+1≠3；其中是不等式的有（ ）
A．5個B．4個C．3個D．2個
【即學即練2】
2．“x為正數(shù)”的表達式是（ ）
A．x＜0B．x＞0C．x≥0D．x≤0
【即學即練3】
3．小明網(wǎng)購了一本《好玩的數(shù)學》，同學們想知道書的價格，小明讓他們猜．甲說：“至少13元．”乙說：“至多10元．”丙說：“至多8元．”小明說：“你們?nèi)齻€人都說錯了”．則這本書的價格x（元）所在的范圍為（ ）
A．8＜x＜10B．10＜x＜12C．x＞10D．10＜x＜13
知識點02 不等式的解與解集
不等式的解的定義：
能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。是一個具體的數(shù)值。
不等式的解集：
一般地，一個含有未知數(shù)的不等式的 組成了這個不等式的解集。它是一個集合，包含了不等式所有的解。
解不等式：
求不等式的解集的過程叫做解不等式。
【即學即練1】
4．下列說法中正確的是（ ）
A．x＝3是2x＞3的一個解B．x＝3是2x＞3的解集
C．x＝3是2x＞3的唯一解D．x＝3不是2x＞3的解
知識點03 不等式解集的表示方法
不等式解集的簡單不等式表示方法：
一般地，一個含有未知數(shù)的不等式有無數(shù)個解，它的解集是一個范圍。
一般用 來表示。
數(shù)軸表示法：
1中的簡單不等式表示的解集可以在數(shù)軸上表示出來。
具體步驟：
第一步：確定 以及 。含等于則 ，用 來表示，不含等于則 ，用 來表示。
第二步：確定 。大于向 ，小于向 。
第三步：畫圖。
①可以表示為：
②可以表示為：
③可以表示為：
④可以表示為：
【即學即練1】
5．在數(shù)軸上表示不等式x＞﹣2的解集，正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【即學即練2】
6．一個不等式組的解集在數(shù)軸上的表示如圖，則這個不等式組的解集是（ ）
A．﹣1＜x＜3B．﹣1＜x≤3C．﹣1≤x＜3D．﹣1≤x≤3
題型01 判斷不等式
【典例1】下列各式中，是不等式的是（ ）
A．x＝3B．x﹣1C．x+y＝1D．4x+5＞0
【變式1】有下列式子：①﹣3＜0；②3x+5＞0；③x2﹣6；④x＝﹣2；⑤y≠0；⑥x2+2≥1．其中不等式的個數(shù)是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【變式2】數(shù)學表達式①﹣5＜2；②4x+7＞0；③x＝5；④x2﹣xy+y2；⑤x﹣4＞y+1中不等式的個數(shù)是（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
題型02 列簡單的不等式
【典例1】x是不大于5的數(shù)，則下列表示正確的是（ ）
A．x＞5B．x≥5C．x＜5D．x≤5
【變式1】x與5的和大于3，用不等式表示為（ ）
A．x+5＜3B．x+5＞3C．x﹣5＞3D．x﹣5＜3
【變式2】烏鞘嶺是隴中高原和河西走廊的天然分界，主峰海拔超過3500米．若用x（米）表示烏鞘嶺主峰的海拔高度，則x滿足的關(guān)系為（ ）
A．x＜3500B．x≤3500C．x≥3500D．x＞3500
【變式3】如圖所示的交通標志為一條公路某路段上汽車的最高時速不得超過100km，若某汽車的時速為a km/h，且該汽車沒有超速，則下列不等式正確的是（ ）
A．a(chǎn)＞100B．a(chǎn)≥100C．a(chǎn)＜100D．a(chǎn)≤100
題型03 用數(shù)軸表示不等式的解集
【典例1】不等式x≥1的解集在數(shù)軸上表示正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【變式1】將不等式組的解集表示在數(shù)軸上，下列正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【變式2】不等式的解集在數(shù)軸上表示為（ ）
A．B．
C．D．
【變式3】在數(shù)軸上表示不等式﹣1≤x＜3，正確的是（ ）
A．B．
C．D．
題型04 判斷數(shù)軸表示的解集
【典例1】關(guān)于x的某個不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖所示，則該不等式的解集是（ ）
A．x＞﹣2B．x＜﹣2C．x＞2D．x≠﹣2
【變式1】某不等式組的解集在數(shù)軸上表示為如圖所示，則該不等式組的解集是（ ）
A．﹣3＜x≤2B．﹣3≤x≤2C．x＜﹣3或x≥2D．x≤﹣3或x≥2
【變式2】如圖，該數(shù)軸表示的不等式的解集為（ ）
A．x＞﹣2B．x≤3C．﹣2＜x＜3D．﹣2≤x＜3
【變式3】實數(shù)a的取值范圍如圖所示，則點P（a+1，a+3）所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
1．給出下列各式：①﹣3＜0；②a+b≥0；③2x＝5；④x2﹣xy+y2；⑤x+2y＞y﹣7；⑥a≠3．其中不等式的個數(shù)是（ ）
A．5B．2C．3D．4
2．不等式x≥3可以表示（ ）
A．大于3的數(shù)B．小于3的數(shù)
C．不大于3的數(shù)D．不小于3的數(shù)
3．在四個數(shù)中，滿足不等式x＜﹣2的有（ ）
A．﹣2B．﹣3C．D．1
4．如果x＝1.8是某不等式的解，那么該不等式可以是（ ）
A．x＞3B．x＞2C．x＜1D．x＜2
5．網(wǎng)課期間，琪琪同學花整數(shù)元購買了一個手機支架，讓同學們猜價格．甲說：“至少20元”，乙說“至多18元”，丙說：“至多15元”．琪琪說：“你們都猜錯了．”則這個支架的價格為（ ）
A．15元B．18元C．19元D．20元
6．組成不等式組的兩個不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖所示，這個不等式組的解集是（ ）
A．x≤3B．x＞﹣1C．﹣1＜x＜3D．﹣1＜x≤3
7．下列用數(shù)軸表示不等式組的解集，正確的是（ ）
A．B．
C．D．
8．不等式x＞﹣1和2x≤6的解集在數(shù)軸上表示都正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．鋪設木地板時，每兩塊地板之間的縫隙不低于0.5mm且不超過0.7mm，縫隙的寬度可以是（ ）
A．0.4mmB．0.7mmC．0.8mmD．0.9mm
10．已知點M（2m﹣1，m﹣1）在第一象限，則m的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是（ ）
A．B．
C．D．
11．在4，3，2，1，0，，中，能使不等式3x﹣2＞2x成立的數(shù)有 個．
12．a(chǎn)與2的差不大于0，用不等式表示為 ．
13．已知關(guān)于x的不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖所示，則這個不等式的解集是 ．
14．已知不等式組，在同一條數(shù)軸上表示不等式①，②的解集如圖所示，則b﹣a的值為 ．
15．高速公路的建設，對我縣經(jīng)濟發(fā)展具有重要意義，畢威高速平山隧道入口處，有如圖所示的一塊交通標識牌，在遵守交通規(guī)則的前提下，小車通過該隧道所用時間至少為 分鐘．
16．把下列各數(shù)：﹣4，﹣|﹣3|，0，，+（+2），在數(shù)軸上表示出來并用“＞”把它們連接起來．
17．在數(shù)軸上表示下列不等式：
（1）x＞﹣2；
（2）x≤1.5；
（3）﹣1≤x＜3．
18．分別用含x的不等式表示如圖數(shù)軸中所表示的不等式的解集：
① ； ② ．
19．將下列不等式的解集分別表示在數(shù)軸上．
（1）x≥3；
（2）x＜﹣1．
20．（1）閱讀理解“|a|”的幾何意義是：數(shù)a在數(shù)軸上對應的點到原點的距離，所以“|a|≥2”可理解為：數(shù)a在數(shù)軸上對應的點到原點的距離不小于2，則：
①“|a|＜2”可理解為 ；
②請列舉兩個符號不同的整數(shù)，使不等式“|a|＞2”成立，列舉的a的值為 ．
我們定義：形如“|x|≤m，|x|≥m，|x|＜m，|x|＞m”（m為非負數(shù)）的不等式叫做絕對值不等式，能使一個絕對值不等式成立的所有未知數(shù)的值稱為絕對值不等式的解集．
（2）理解應用：根據(jù)絕對值的幾何意義可以解一些絕對值不等式．
由上圖可以得出：絕對值不等式|x|＞1的解集是x＜﹣1或x＞1，絕對值不等式|x|≤3的解集是﹣3≤x≤3．則：
①不等式|x|≥4的解集是 ．
②不等式的解集是 ．
課程標準
學習目標
①不等式
②不等式的解與解集
③不等式解集的表示方法
理解不等式及其解的概念，能熟練判斷不等式與不等式的解集。
學會用不等式表示熟練關(guān)系，形成數(shù)形結(jié)合的思想。
了解不等式解集的表示方法，能夠熟練的在數(shù)軸上表示不等式的解集。

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9.1.1 不等式及其解集

版本： 人教版（2024）

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