知識點01 無理數(shù)的概念及其形式
無理數(shù)的概念：
無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)。
無理數(shù)的三種形式：
①含有 根號 ，且被開方數(shù)開方 開不盡 。
②π以及化簡后含有π的數(shù)。
③具有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)。如
【即學(xué)即練1】
1．下列各數(shù)：，，0，，﹣3.14，，2.101101110…（每兩個0之間依次多一個1），其中是無理數(shù)的個數(shù)是（ ）
A．3個B．4個C．5個D．6個
【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義判斷即可．定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)．
【解答】解：，
在實數(shù)，，0，，﹣3.14，，2.101101110…（每兩個0之間依次多一個1）中，無理數(shù)有，，2.101101110…（每兩個0之間依次多一個1），共3個．
故選：A．
知識點02 實數(shù)的概念及其分類
實數(shù)的概念：
有理數(shù) 與 無理數(shù) 統(tǒng)稱為實數(shù)。
實數(shù)的分類：
①按定義分類： ②按性質(zhì)分類：


【即學(xué)即練1】
2．把下列各數(shù)填入相應(yīng)的橫線內(nèi)：0.，0，﹣9，﹣6.8，2﹣π，，，80%，，0.7373373337…（兩個“7”之間依次多一個“3”），．
無理數(shù)：{ …}；
整數(shù)：{ …}；
分?jǐn)?shù)：{ …}；
實數(shù)：{ …}．
【分析】利用無理數(shù)，整數(shù)，分?jǐn)?shù)以及實數(shù)的定義判斷即可得到結(jié)果．
【解答】解：無理數(shù)：{，0.7373373337…（兩個“7”之間依次多一個“3”）}；
整數(shù)：{0，﹣9，，…}；
分?jǐn)?shù)：{0.，﹣6.8，，80%…}；
實數(shù)：{0.，0，﹣9，﹣6.8，2﹣π，，，80%，，0.7373373337…（兩個“7”之間依次多一個“3”），…}．
故答案為：，0.7373373337…（兩個“7”之間依次多一個“3”）；0，﹣9，，；0.，﹣6.8，，80%；0.，0，﹣9，﹣6.8，2﹣π，，，80%，，0.7373373337…（兩個“7”之間依次多一個“3”），．
知識點03 實數(shù)與數(shù)軸
實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系：
實數(shù)與數(shù)軸上的點是 一一對應(yīng) 關(guān)系。數(shù)軸上每一個點都只能表示1個實數(shù)，每一個實數(shù)都只能找數(shù)軸上找一個點來表示它。
【即學(xué)即練1】
3．在數(shù)軸上對應(yīng)的點可能是（ ）
A．點MB．點NC．點OD．點P
【分析】估算在哪兩個連續(xù)的整數(shù)之間，即可解決問題．
【解答】解：∵4＜6＜9，
同時開算術(shù)平方根得，，
同時乘﹣1得，．
即在數(shù)軸上對應(yīng)的點為點M．
故選：A．
知識點04 實數(shù)的相關(guān)概念及其性質(zhì)
相反數(shù)：
只有 符號不同 的兩個數(shù)互為相反數(shù)。實數(shù)的相反數(shù)是 。
若與互為相反數(shù)，則 0 。
絕對值：
實數(shù)到原點的距離用 || 來表示。
；
①任意實數(shù)的絕對值都是一個 非負(fù)數(shù) ，即|| ≥ 0；
②互為相反數(shù)的兩個數(shù)絕對值 相等 。
倒數(shù)：
是數(shù)的倒數(shù)為 。
若與互為倒數(shù)，則 1 。
【即學(xué)即練1】
4．求下列各數(shù)的相反數(shù)、倒數(shù)和絕對值．
（1）； （2）； （3）．
【分析】（1）（2）直接利用相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的性質(zhì)分別得出答案；
（3）利用立方根的定義化簡，再利用相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的性質(zhì)分別得出答案．
【解答】解：（1）的相反數(shù)是﹣，倒數(shù)是，絕對值是；
（2）﹣的相反數(shù)是，倒數(shù)是﹣，絕對值是；
（3）＝的相反數(shù)是﹣，倒數(shù)是，絕對值是．
知識點05 實數(shù)的大小比較
估算法：
先估算除無理數(shù)的大小，在和其他實數(shù)進行比較。
作差法比較：
對兩個實數(shù)進行作差，根據(jù)差的情況比較。①若，則 ；
②若，則 ；
①若，則 ；
平方法比較：
兩個正實數(shù)同時平方，平方后的數(shù)越大，則原數(shù) 越大 。兩個負(fù)實數(shù)同時平方，平方后的數(shù)越大，原數(shù)反而 越小 。
其他比較方法：
參照有理數(shù)的大小比較方法。
【即學(xué)即練1】
5．已知a＝3，b＝2，c＝，將其按照從小到大的順序排列，正確的是（ ）
A．b＜c＜aB．b＜a＜cC．a(chǎn)＜c＜bD．c＜a＜b
【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義先把a、b、c進行整理，再根據(jù)實數(shù)大小比較的法則進行比較，即可得出答案．
【解答】解：∵a＝3＝，b＝2＝，c＝＝，
∴b＜c＜a；
故選：A．
知識點06 實數(shù)的運算
實數(shù)的運算法則：
在實數(shù)范圍內(nèi)進行加、減、乘除、乘法和開方運算時，運算法則同有理數(shù)，先乘方開方，在乘除，最后加減。有括號的先算括號里面的。
【即學(xué)即練1】
6．計算：
（1）；
（2）；
（3）﹣32﹣；
（4）．
【分析】（1）根據(jù)加法交換律、加法結(jié)合律，求出算式的值即可；
（2）根據(jù)乘法分配律，求出算式的值即可；
（3）首先計算乘方、開平方和開立方，然后計算乘法，最后計算減法，求出算式的值即可；
（4）根據(jù)乘法分配律，求出算式的值即可．
【解答】解：（1）
＝[（﹣2）+（+）]+（﹣1+2）
＝（﹣2）+1
＝﹣1．
（2）
＝×（﹣20）+（﹣）×（﹣20）+×（﹣20）
＝﹣10+15+（﹣16）
＝﹣11．
（3）﹣32﹣
＝﹣9﹣（﹣2）×8
＝﹣9﹣（﹣16）
＝﹣9+16
＝7．
（4）
＝（﹣3.59）×（﹣）﹣2.41×（﹣）+（﹣）×（﹣1）
＝（﹣）×[（﹣3.59）﹣2.41+（﹣1）]
＝（﹣）×（﹣7）
＝4．
題型01 判斷無理數(shù)
【典例1】下列實數(shù)中，無理數(shù)是（ ）
A．0B．C．﹣D．2019
【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．由此即可判定選擇項．
【解答】解：A.0是有理數(shù)，故本選項不符合題意；
B.是無理數(shù)，故本選項符合題意；
C．﹣＝﹣3是整數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項不符合題意；
D.2019是整數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項不符合題意；
故選：B．
【變式1】在實數(shù)，1.732，π，，，，2.123122312223…（1和3之間的2逐次加1個）中，無理數(shù)個數(shù)為（ ）
A．3個B．4個C．5個D．6個
【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)逐一分析即可．
【解答】解：∵，
∴在，1.732，π，，，，2.123122312223???（1和3之間的2逐次加1個）中，屬于無理數(shù)的有，π，，2.123122312223…（1和3之間的2逐次加1個）共4個．
故選：B．
題型02 對實數(shù)進行分類
【典例1】在π，，，3.1415926，，3.212112…（每兩個2之間依次多一個1）中，屬于有理數(shù)的有（ ）
A．6個B．4個C．3個D．2個
【分析】整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，據(jù)此即可求得答案．
【解答】解：，3.1415926是分?jǐn)?shù)，它們均為有理數(shù)，
則有理數(shù)共2個，
故選：D．
【變式1】在下列數(shù)中：①π，②﹣|﹣3|，③，④1.7，⑤，⑥0，⑦1.1010010001…（每兩個1之間依次多一個0），⑧．非負(fù)整數(shù)有 ⑥⑧ ；無理數(shù)有 ①⑤⑦ .（填寫序號）
【分析】根據(jù)實數(shù)的分類及定義即可求得答案．
【解答】解：非負(fù)整數(shù)有⑥⑧；無理數(shù)有①⑤⑦；
故答案為：⑥⑧；①⑤⑦．
【變式2】將下列各數(shù)填入相應(yīng)的括號里：
﹣2.5，5，0，8，﹣2，，0.7，﹣，﹣1.121121112…，，﹣0.．
正數(shù)集合{ …}；
整數(shù)集合{ …}；
有理數(shù)集合{ …}；
無理數(shù)集合{ …}．
【分析】根據(jù)實數(shù)的分類即可求出答案．
【解答】解：正數(shù)集合：（5，8，，0.7，，…）
整數(shù)集合：（0，8，﹣2，…）
有理數(shù)集合：（﹣2.5，5，0，8，﹣2，0.7，﹣，，﹣0.，…）
無理數(shù)集合：（，﹣1.121121112…，…），
故答案為：5，8，，0.7，；
0，8，﹣2；
﹣2.5，5，0，8，﹣2，0.7，﹣，，﹣0.；
，﹣1.121121112…．
題型03 實數(shù)的性質(zhì)
【典例1】實數(shù)2023的相反數(shù)是（ ）
A．2023B．﹣2023C．±2023D．
【分析】直接利用相反數(shù)的概念：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，進而得出答案．
【解答】解：實數(shù)2023的相反數(shù)是﹣2023．
故選：B．
【變式1】的相反數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【分析】只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，據(jù)此即可得出答案．
【解答】解：∵﹣（2﹣）＝﹣2，
∴2﹣的相反數(shù)是﹣2，
故選：B．
【變式2】下列各組數(shù)中互為相反數(shù)的是（ ）
A．﹣2與B．﹣2與
C．﹣2與D．2與|﹣2|
【分析】根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)對各選項分析判斷后利用排除法求解．
【解答】解：A、＝2，﹣2與是互為相反數(shù)，故本選項正確；
B、＝﹣2，﹣2與相等，不是互為相反數(shù)，故本選項錯誤；
C、﹣2與﹣是互為倒數(shù)，不是互為相反數(shù)，故本選項錯誤；
D、|﹣2|＝2，2與|﹣2|相等，不是互為相反數(shù)，故本選項錯誤．
故選：A．
【變式3】若2a+1和2﹣a的立方根互為相反數(shù)，則a＝ ﹣3 ．
【分析】直接利用立方根的性質(zhì)結(jié)合互為相反數(shù)的定義得出答案．
【解答】解：∵2a+1和2﹣a的立方根互為相反數(shù)，
∴2a+1和2﹣a也是互為相反數(shù)，
∴2a+1+2﹣a＝0，
∴a＝﹣3．
故答案為：﹣3．
【變式4】已知與互為相反數(shù)，求的值 8 ．
【分析】直接利用相反數(shù)的定義得出x的值，進而代入計算得出答案．
【解答】解：由題意可知：1﹣2x+3x﹣7＝0，
解得：x＝6．
則＝＝＝8．
故答案為：8．
【例題2】實數(shù)﹣2的絕對值是（ ）
A．﹣2B．C．2D．
【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)解答即可．
【解答】解：|﹣2|＝2．
故選：C．
【變式1】1﹣的絕對值是（ ）
A．1﹣B．﹣1C．1+D．±（1﹣）
【分析】直接利用絕對值的定義分別分析得出答案．
【解答】解：1﹣的絕對值是﹣1．
故選：B．
【變式2】已知實數(shù)a，b，c，d，e，且ab互為倒數(shù)，c，d互為相反數(shù)，e絕對值為2，求的值．
【分析】根據(jù)相反數(shù)、倒數(shù)的定義和絕對值的性質(zhì)得到ab＝1，c+d＝0，e＝±2，進而代值求解即可．
【解答】解：由題意可知ab＝1，c+d＝0，|e|＝2，
則e＝±2，
當(dāng)e＝2時，原式＝，
當(dāng)e＝﹣2時，原式＝，
∴原式為或．
題型04 實數(shù)的大小比較
【典例1】在4.1，，，﹣3絕對值最小的數(shù)是（ ）
A．4.1B．C．D．﹣3
【分析】|﹣|＝，|﹣3|＝3，然后比較各數(shù)的大小即可．
【解答】解：∵|﹣|＝，|﹣3|＝3，
∴4.1＞＞3＞，
則絕對值最小的數(shù)是﹣，
故選：C
【變式1】2，，5三個數(shù)的大小關(guān)系是（ ）
A．5＜＜2B．＜5＜2C．2＜5＜D．＜2＜5
【分析】根據(jù)實數(shù)大小比較的方法即可求解．
【解答】解：2＝，
因為24＜25＜27，
所以＜5＜，
即2＜5＜．
故選：C．
【變式2】若實數(shù)a，b，c，d滿足，則a，b，c，d這四個實數(shù)中最大的是（ ）
A．a(chǎn)B．bC．cD．d
【分析】根據(jù)題目所給等式進行依次變形，然后進行比較即可得出答案．
【解答】解：∵a﹣1＝b﹣，
∴b＝a﹣1+，
即b＞a，
∵a﹣1＝c+1，
∴a＝c+2，
∴a＞c，
∵c+1＝d+2，
∴c＝d+1，
即c＞d，
∴b＞a＞c＞d，
∴b最大．
故選：B．
【變式3】a，b是有理數(shù)，它們在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，把a，﹣a，b，﹣b按照從小到大的順序排列，正確的是（ ）
A．﹣b＜﹣a＜a＜bB．﹣b＜a＜﹣a＜bC．﹣a＜﹣b＜a＜bD．﹣b＜b＜﹣a＜a
【分析】根據(jù)圖示，可得：a＜0＜b，且﹣a＜b，據(jù)此把a，﹣a，b，﹣b按照從小到大的順序排列即可．
【解答】解：∵a＜0＜b，且﹣a＜b，
∴﹣a＞0，﹣b＜0，
∵﹣a＜b，
∴﹣b＜a，
∴﹣b＜a＜﹣a＜b．
故選：B．
題型05 實數(shù)的運算
【典例1】化簡的結(jié)果是（ ）
A．5﹣B．+1C．2+2D．2
【分析】先化簡各式，然后再進行計算即可解答．
【解答】解：
＝2﹣+3
＝5﹣，
故選：A．
【變式1】計算：．
【分析】根據(jù)平方根與立方根的定義得到原式＝5﹣（﹣2）+2×，再進行乘法運算，然后進行實數(shù)的加法運算即可．
【解答】解：原式＝5﹣（﹣2）+2×
＝5+2+1
＝8．
【變式2】計算題
（1）|
（2）（﹣2）3×
【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根、乘方、立方根、絕對值的意義進行計算即可；
（2）根據(jù)立方、算術(shù)平方根、立方根的意義化簡后，再進行有理數(shù)混合運算即可．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝；
（2）
＝
＝﹣8×4+4﹣3
＝﹣32+4﹣3
＝﹣31．
題型06 實數(shù)的運算——新定義
【典例1】在實數(shù)范圍內(nèi)定義運算“?”：a?b＝2a﹣b，例如：3?2＝2×3﹣2＝4．若代數(shù)式1﹣4b+2a的值是17，則b?a的值為（ ）
A．2B．4C．8D．﹣8
【分析】首先根據(jù)a?b＝2a﹣b，可得：b?a＝2b﹣a；然后根據(jù)1﹣4b+2a＝17，求出2b﹣a的值即可．
【解答】解：∵a?b＝2a﹣b，
∴b?a＝2b﹣a，
∵代數(shù)式1﹣4b+2a的值是17，
∴1﹣4b+2a＝17，
∴4b﹣2a＝1﹣17＝﹣16，
∴2b﹣a＝﹣8，
∴b?a＝2b﹣a＝﹣8．
故選：D．
【變式1】在實數(shù)范圍內(nèi)定義一種新運算“*”，其規(guī)則是a*b＝a2﹣b2，如果（x+2）*5＝（x﹣5）（5+x），那么x的值是（ ）
A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝46D．x＝﹣46
【分析】按照定義的新運算可得（x+2）2﹣25＝x2﹣25，然后進行計算即可解答．
【解答】解：由題意得：（x+2）*5＝（x﹣5）（5+x），
（x+2）2﹣25＝x2﹣25，
x2+4x+4﹣25＝x2﹣25，
x2+4x﹣x2＝﹣25+25﹣4，
4x＝﹣4，
x＝﹣1，
故選：A．
【變式2】對于任意的正數(shù)m，n，定義運算※：m※n＝，計算（3※2）×（8※12）的結(jié)果為（ ）
A．2﹣4B．2C．2D．20
【分析】先利用定義的新運算將（3※2）×（8※12）化簡，再進行計算即可．
【解答】解：∵m※n＝，
∴3※2＝﹣，8※12＝+＝2+2，
∴（3※2）×（8※12）＝（﹣）×（2+2）＝2，
故選：B．
【變式3】關(guān)于實數(shù)a，b，定義一種關(guān)于“※”的運算：a※b＝2a+，例如：2※1＝2×2+＝4．依據(jù)運算定義，若a※3b＝a+1，且（a+1）※（b﹣1）＝0，則2a+b的值為（ ）
A．﹣1B．1C．D．
【分析】根據(jù)運算定義可得：，解方程即可得到，則問題隨之得解．
【解答】解：∵a※3b＝a+1，（a+1）※（b﹣1）＝0，
∴根據(jù)運算定義可得：，
解得方程得：，
∴．
故選：C．
題型06 實數(shù)與數(shù)軸
【典例1】如圖，在數(shù)軸上表示實數(shù)的點可能是（ ）
A．點PB．點QC．點MD．點N
【分析】依據(jù)題意，分析被開方數(shù)的范圍即可．
【解答】解：∵9＞7＞4，
∴＞＞，
∴3＞＞2．
綜上，在數(shù)軸上表示實數(shù)的點可能是Q．
故選：B．
【變式1】實數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，且|a|＜|b|，則式子|a+b|﹣|a﹣b|化簡的結(jié)果是（ ）
A．2bB．﹣2bC．﹣2aD．﹣2a﹣2b
【分析】首先根據(jù)圖示，可得：b＜0＜a，然后根據(jù)|a|＜|b|，可得：a＜﹣b，a﹣b＞0，再根據(jù)絕對值的含義和求法，化簡式子|a+b|﹣|a﹣b|即可．
【解答】解：根據(jù)圖示，可得：b＜0＜a，
∵|a|＜|b|，
∴a＜﹣b，a﹣b＞0，
∴a+b＜0，a﹣b＞0，
∴|a+b|﹣|a﹣b|
＝﹣（a+b）﹣（a﹣b）
＝﹣a﹣b﹣a+b
＝﹣2a．
故選：C．
【變式2】實數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則（ ）
A．a(chǎn)＞bB．a(chǎn)+b＜0C．|a|＞|b|D．|a|＜|b|
【分析】根據(jù)數(shù)軸可得a，b的大小及兩數(shù)絕對值的大小，異號兩數(shù)相加，和的符號是由絕對值較大的數(shù)決定的，據(jù)此進行判斷即可．
【解答】解：由數(shù)軸可得a＜0＜b，|a|＜|b|，
那么a+b＞0，
則A、B、C不符合題意，D符合題意，
故選：D．
【變式3】若實數(shù)a、b、c在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，則|c﹣a|﹣|b+a|+|b﹣c|等于（ ）
A．﹣2cB．﹣a+2bC．﹣a﹣bD．a(chǎn)﹣2b
【分析】根據(jù)數(shù)軸得出a，b，c的符號并判斷它們的絕對值大小，從而根據(jù)絕對值的意義可得答案．
【解答】解：由圖知，c＜b＜0＜a，|b|＜|a|，
∴|c﹣a|﹣|b+a|+|b﹣c|
＝a﹣c﹣（a+b）+b﹣c
＝a﹣c﹣a﹣b+b﹣c
＝﹣2c．
故選：A．
【變式4】如圖，正方形的邊長為1，在正方形的4個頂點處標(biāo)上字母A，B，C，D，先讓正方形上的頂點A與數(shù)軸上的數(shù)﹣2所對應(yīng)的點重合，再讓正方形沿著數(shù)軸按順時針方向滾動，那么數(shù)軸上的數(shù)2020將與正方形上的哪個字母重合（ ）
A．字母AB．字母BC．字母CD．字母D
【分析】正方形滾動一周的長度為4，從﹣2到2020共滾動2022，由2022÷4＝，即可作出判斷．
【解答】解：∵正方形的邊長為1，
∴正方形的周長為4，
∴正方形滾動一周的長度為4，
∵正方形的起點在﹣2處，
∴2020﹣（﹣2）＝2022，
∵2022÷4＝，
∴數(shù)軸上的數(shù)2020將與正方形上的點C重合，
故選：C．
1．有下列實數(shù)：，，﹣0.89，3.141，，π，﹣0.010010001…（每兩個1之間依次增加一個0），其中無理數(shù)有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．由此即可判定選擇項．
【解答】解：＝5，
在實數(shù)，，﹣0.89，3.141，，π，﹣0.010010001…（每兩個1之間依次增加一個0）中，無理數(shù)有，π，﹣0.010010001…（每兩個1之間依次增加一個0），共3個．
故選：C．
2．和數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的數(shù)為（ ）
A．虛數(shù)B．有理數(shù)C．無理數(shù)D．實數(shù)
【分析】根據(jù)實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系得結(jié)論．
【解答】解：因為實數(shù)與數(shù)軸上的點建立了一一對應(yīng)關(guān)系．
故選：D．
3．若實數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示，則下列式子正確的是（ ）
A．a(chǎn)＞bB．|a|＞|b|C．﹣a＜bD．a(chǎn)+b＜0
【分析】由數(shù)軸得，a＜0，b＞0，|a|＜|b|，然后逐項判斷即可．
【解答】解：由數(shù)軸得，a＜0，b＞0，|a|＜|b|，
∴a＜b，﹣a＞b，a+b＜0，
故選：D．
4．已知，且a，b是兩個連續(xù)的整數(shù)，則a+b等于（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】先根據(jù)夾逼原則得到，則a＝3，b＝4，據(jù)此代值計算即可．
【解答】解：∵9＜12＜16，
∴，即，
∵，且a，b是兩個連續(xù)的整數(shù)，
∴a＝3，b＝4，
∴a+b＝3+4＝7，
故選：C．
5．下列說法中：①實數(shù)包括無理數(shù)和有理數(shù)；②數(shù)軸上的點與有理數(shù)一一對應(yīng)；③如果兩個有理數(shù)的和為正數(shù)，積為負(fù)數(shù)，則這兩個有理數(shù)一正一負(fù)，且正數(shù)的絕對值大；④近似數(shù)5.30所表示的準(zhǔn)確數(shù)x的范圍是：5.25≤x＜5.35；⑤絕對值等于本身的數(shù)是正數(shù)．其中正確的個數(shù)為（ ）
A．2個B．3個C．4個D．5個
【分析】根據(jù)實數(shù)的分類及定義，實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，近似數(shù)，絕對值的性質(zhì)，實數(shù)的運算法則進行判斷即可．
【解答】解：實數(shù)包括無理數(shù)和有理數(shù)，則①正確；
數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng)，則②錯誤；
如果兩個有理數(shù)的和為正數(shù)，積為負(fù)數(shù)，則這兩個有理數(shù)一正一負(fù)，且正數(shù)的絕對值大，則③正確；
近似數(shù)5.30所表示的準(zhǔn)確數(shù)x的范圍是：5.295≤x＜5.305，則④錯誤；
絕對值等于本身的數(shù)是正數(shù)和0，則⑤錯誤；
綜上，正確的個數(shù)是2個，
故選：A．
6．一個正數(shù)x的兩個不同的平方根分別是2a﹣2和a﹣7．如圖，在數(shù)軸上表示實數(shù)的點是（ ）
A．點PB．點QC．點MD．點N
【分析】根據(jù)一個正數(shù)x的兩個不同的平方根互為相反數(shù)及平方根的定義，可得2a﹣2+a﹣7＝0，x＝（2a﹣2）2，得出a＝3，x＝16表示出的值，再利用夾逼法進行無理數(shù)的估算即可．
【解答】解：∵一個正數(shù)x的兩個不同的平方根分別是2a﹣2和a﹣7，
∴2a﹣2+a﹣7＝0，x＝（2a﹣2）2，
解得a＝3，x＝16，
∴，
∵23＝8，33＝27，
∴，即，
故選：B．
7．若a※b＝|﹣b|﹣（+b），則3※2的值為（ ）
A．4B．C．﹣4D．
【分析】根據(jù)題中所給新定義運算可進行求解．
【解答】解：由a※b＝|﹣b|﹣（+b）可得：
3※2＝|﹣2|﹣（+2）
＝2﹣﹣﹣2
＝﹣2．
故選：D．
8．實數(shù)a、b的相反數(shù)分別為c、d，在數(shù)軸上點A、B、C、D分別表示數(shù)a、b、c、d，我們把A、D間的距離記為AD，B、C間的距離記為BC，則AD、BC的大小關(guān)系為（ ）
A．AD＜BCB．AD＝BCC．AD＞BCD．不能確定
【分析】兩點之間的距離的綜合應(yīng)用，根據(jù)題意得出c＝﹣a，b＝﹣d，AD＝|a﹣d|，BC＝|b﹣c|，把c＝﹣a，b＝﹣d代入整理即可得出答案．
【解答】解：∵實數(shù)a、b的相反數(shù)分別為c、d，
∴c＝﹣a，b＝﹣d，
∵在數(shù)軸上點A、B、C、D分別表示數(shù)a、b、c、d，A、D間的距離記為AD，B、C間的距離記為BC，
∴AD＝|a﹣d|，BC＝|b﹣c|，
∴BC＝|b﹣c|＝|﹣d+a|＝|a﹣d|，
∴AD＝BC．
故選：B．
9．正方形ABCD在數(shù)軸上的位置如圖所示，點A、B對應(yīng)的數(shù)分別是0、1，若正方形ABCD繞頂點沿逆時針方向連續(xù)翻轉(zhuǎn)，第一次翻轉(zhuǎn)后點D所對應(yīng)的數(shù)為﹣1，第二次翻轉(zhuǎn)后點C所對應(yīng)的數(shù)為﹣2，則翻轉(zhuǎn)2023次后點C所對應(yīng)的數(shù)是（ ）
A．﹣2021B．﹣2022C．﹣2023D．﹣2024
【分析】根據(jù)翻轉(zhuǎn)規(guī)律以及在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)進行解答即可．
【解答】解：由于2023÷4＝505…3，
根據(jù)翻折規(guī)律以及所對應(yīng)的數(shù)可得以下規(guī)律：
所以第2023次翻轉(zhuǎn)后，落在數(shù)軸最左側(cè)的點是點B，此時點C在點B的右側(cè)，
因此點C所對應(yīng)的數(shù)是﹣2022，
故選：B．
10．設(shè)a，b為實數(shù)，定義@的一種運算如下：a@，則下列結(jié)論：①若a@b＝0，則a＝0或b＝0；②a@b＝b@a；③2a@2b＝2（a@b）；④a@（b+c）＝a@b+a@c，其中正確的是（ ）
A．③④B．②③C．①③D．②④
【分析】根據(jù)定義的新運算逐項判斷即可．
【解答】解：a@b＝0，
則＝0，
那么a+b＝0，
則①錯誤；
a@b＝，b@a＝，
那么a@b＝b@a，
則②正確；
2a@2b＝＝a+b，2（a@b）＝2×＝a+b，
2a@2b＝2（a@b），
則③正確；
a@（b+c）＝，a@b+a@c＝+＝，
那么a@（b+c）≠a@b+a@c，
則④錯誤；
綜上，正確的為②③，
故選：B．
11．寫出一個比大比0小的整數(shù) ﹣1或﹣2 ．
【分析】判斷無理數(shù)的取值范圍，直接求解即可．
【解答】解：因為，所以，
則比大比0小的整數(shù)有﹣1或﹣2．
故答案為：﹣1或﹣2均可．
12．如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)為a，化簡：＝ 2 ．
【分析】運用數(shù)軸上的點表示實數(shù)和平方根、立方根知識進行求解．
【解答】解：由題意得，0＜a＜2，
∴
＝a+2﹣a
＝2，
故答案為：2．
13．已知對任意實數(shù)x，y，定義運算：x?y＝（x+y）（x﹣y），則3?（4?5）的值為 ﹣72 ．
【分析】根據(jù)x?y＝（x+y）（x﹣y），用4與5的和乘它們的差，求出4?5的值，進而求出3?（4?5）的值即可．
【解答】解：∵x?y＝（x+y）（x﹣y），
∴3?（4?5）
＝3?[（4+5）×（4﹣5）]
＝3?[9×（﹣1）]
＝3?（﹣9）
＝[3+（﹣9）]×[3﹣（﹣9）]
＝（﹣6）×12
＝﹣72．
故答案為：﹣72．
14．若x、y為實數(shù)，且滿足|x﹣2|+＝0，則（x+y）2023的值是 ﹣1 ．
【分析】先運用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得x，y的值，再代入求解．
【解答】解：由題意得，
x﹣2＝0且y+3＝0，
解得x＝2，y＝﹣3，
∴（x+y）2023
＝（2﹣3）2023
＝﹣1，
故答案為：﹣1．
15．已知a是的整數(shù)部分，b是它的小數(shù)部分，則（﹣a）3+（b+3）2＝ ﹣12 ．
【分析】由于3＜＜4，由此可得的整數(shù)部分和小數(shù)部分，再進一步代入求得數(shù)值即可．
【解答】解：∵3＜＜4，
∴的整數(shù)部分＝3，小數(shù)部分為 ﹣3，
則（﹣a）3+（b+3）2＝（﹣3）3+（﹣3+3）2＝﹣27+15＝﹣12．
故答案為：﹣12．
16．下面的大括號表示一些數(shù)的集合，把下列各數(shù)填入相應(yīng)的大括號內(nèi)：
﹣7，0.32，，46，0，﹣，，，﹣．
有理數(shù)集：{ ﹣7，0.32，，46，0， …}；
無理數(shù)集：{ ，， …}；
正實數(shù)集：{ 0.32，，46，， …}；
負(fù)實數(shù)集：{ ﹣7，﹣， …}．
【分析】根據(jù)有理數(shù)、無理數(shù)、正實數(shù)、負(fù)實數(shù)的定義分類即可．
【解答】解：，，，
有理數(shù)集：{﹣7，0.32，，46，0，…}；
無理數(shù)集：{，，…}；
正實數(shù)集：{0.32，，46，，…}；
負(fù)實數(shù)集：{﹣7，﹣，…}；
故答案為：﹣7，0.32，，46，0，；，，；0.32，，46，，；﹣7，﹣，．
17．計算：
（1）2+（﹣3）﹣（﹣5）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）從左向右依次計算，求出算式的值即可；
（2）首先計算乘方、開平方和開立方，然后計算乘法，最后計算加法，求出算式的值即可；
（3）首先計算乘方和小括號里面的減法，然后計算乘法、除法，最后從左向右依次計算，求出算式的值即可．
【解答】解：（1）2+（﹣3）﹣（﹣5）
＝﹣1+5
＝4．
（2）
＝﹣2+5×4
＝﹣2+20
＝18．
（3）
＝﹣1+4×﹣
＝﹣1+﹣
＝﹣．
18．如圖，點M，N，H分別對應(yīng)實數(shù)m，n，c，其中m為最大的負(fù)整數(shù)，n為最小的正整數(shù)，且滿足c﹣|m|＝2|m﹣n|．
（1）求m2+n2﹣3mnc的值．
（2）若點G在數(shù)軸上表示的有理數(shù)為b，距離c兩個單位長度，直接寫出b的值．
【分析】（1）先分別求出m，n的值，得m﹣n＝﹣2，c＝5，再代入m2+n2﹣3mnc，即可作答；
（2）依題意，當(dāng)點G在點H的左邊或右邊進行討論，即可作答．
【解答】解：（1）由題知：m＝﹣1，n＝1，
則m﹣n＝﹣2，
∵c﹣|m|＝2|m﹣n|，
∴c﹣|﹣1|＝2×|﹣2|，
則c＝5，
那么m2+n2﹣3mnc＝（﹣1）2+12﹣3×（﹣1）×1×5＝1+1+15＝17；
（2）依題意，當(dāng)點G在點H的左邊時，且c＝5，
則5﹣2＝3，
當(dāng)點G在點H的右邊時，且c＝5，
則5+2＝7，
故b的值3或7．
19．閱讀下面的文字，解答問題：大家知道是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來，于是小明用﹣1來表示的小數(shù)部分，你同意小明的表示方法嗎？事實上，小明的表示方法是有道理的，因為的整數(shù)部分是1，將這個數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分．又例如：∵22＜（）2＜32，即2＜＜3，∴的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為（﹣2）．
請解答：
（1）的整數(shù)部分是 3 ，小數(shù)部分是 ﹣3
（2）如果的小數(shù)部分為a，的整數(shù)部分為b，求a+b﹣的值．
【分析】（1）利用已知得出的取值范圍，進而得出答案；
（2）首先得出，的取值范圍，進而得出答案．
【解答】解：（1）∵＜＜，
∴3＜＜4，
∴的整數(shù)部分是3，小數(shù)部分是：﹣3；
故答案為：3，﹣3；
（2）∵＜＜，
∴的小數(shù)部分為：a＝﹣2，
∵＜＜，
∴的整數(shù)部分為b＝6，
∴a+b﹣＝﹣2+6﹣＝4．
20．已知，a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖．
（1）在數(shù)軸上標(biāo)出﹣a、﹣b、﹣c的位置，并用“＜”號將a、b、c、﹣a、﹣b、﹣c連接起來．
（2）化簡：|a+1|﹣|c﹣b|﹣|b﹣1|+|c﹣2a|．
（3）若a+b+c＝0，且b與﹣1的距離和c與﹣1的距離相等，求2（b+2c）﹣a（a﹣1）﹣（c﹣b）的值．
【分析】（1）在數(shù)軸上標(biāo)出﹣a、﹣b、﹣c的位置，即可用“＜”號將a、b、c、﹣a、﹣b、﹣c連接起來；
（2）判斷a+1，c﹣b，b﹣1，c﹣2a的符號，再化簡即可；
（3）求出a，b+c的值代入計算即可．
【解答】解：（1）在數(shù)軸上標(biāo)出﹣a、﹣b、﹣c的位置如下：
因此，c＜﹣a＜﹣b＜b＜a＜﹣c；
（2）由各個數(shù)在數(shù)軸上的位置可知：a+1＞0，c﹣b＜0，b﹣1＜0，c﹣2a＜0，
∴|a+1|﹣|c﹣b|﹣|b﹣1|+|c﹣2a|＝a+1﹣b+c﹣1+b﹣c+2a＝3a．
（3）∵b與﹣1的距離和c與﹣1的距離相等，
∴|b+1|＝|c+1|，即b+1＝﹣c﹣1，
∴b+c＝﹣2，
又∵a+b+c＝0，
∴a＝﹣b﹣c＝2，
∴2（b+2c）﹣a（a﹣1）﹣（c﹣b）
＝2b+4c﹣a2+a﹣c+b
＝﹣a2+a+3b+3c
＝﹣4+2+（﹣6）
＝﹣8．
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
①無理數(shù)的概念及其常見的形式
②實數(shù)的概念及其分類
③實數(shù)與數(shù)軸
④實數(shù)的性質(zhì)
⑤實數(shù)的大小比較
⑥實數(shù)的運算
掌握無理數(shù)的概念及其三種形式，能夠準(zhǔn)確的判斷無理數(shù)。
掌握無理數(shù)的概念及其分類，能夠準(zhǔn)確的進行分類。
掌握實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，能夠熟練的應(yīng)用。
掌握實數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，并能夠熟練的應(yīng)用。
掌握實數(shù)的大小比較方法，能夠準(zhǔn)確的判定實數(shù)的大小關(guān)系。
掌握實數(shù)的運算法則，并能夠熟練的進行計算。

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