知識(shí)精講
知識(shí)點(diǎn)01 切線的判定定理和性質(zhì)定理
1．切線的判定定理
經(jīng)過(guò)半徑的 并且 的直線是圓的切線.
2．切線的判定方法
(1)定義：直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，這條直線就是圓的切線；
(2)定理：和圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線；
(3)判定定理：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
切線的判定定理中強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)：一是直線與圓 ，二是直線與過(guò)交點(diǎn)的半徑 ，缺一不可.
3．切線的性質(zhì)定理
圓的切線 .
4．切線的性質(zhì)
(1)切線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；
(2)切線和圓心的距離等于圓的半徑；
(3)切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑；
(4)經(jīng)過(guò)圓心垂直于切線的直線必過(guò)切點(diǎn)；
(5)經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必過(guò)圓心.
知識(shí)點(diǎn)02 切線長(zhǎng)定理
1．切線長(zhǎng)：
經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線， 的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng).
【注意】
切線長(zhǎng)是指圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，不是“切線的長(zhǎng)”的簡(jiǎn)稱.切線是直線，而非線段.
2．切線長(zhǎng)定理：
從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的 相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分 .
【注意】
切線長(zhǎng)定理包含兩個(gè)結(jié)論： 相等和 相等.
3．圓外切四邊形的性質(zhì)：
圓外切四邊形的 相等.
知識(shí)點(diǎn)03 三角形的內(nèi)切圓
1．三角形的內(nèi)切圓：
與三角形各邊的圓 叫做三角形的內(nèi)切圓.
2．三角形的內(nèi)心：
三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形 的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心.
【注意】
(1) 任何一個(gè)三角形都 內(nèi)切圓，但任意一個(gè)圓都有 個(gè)外切三角形；
(2) 解決三角形內(nèi)心的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長(zhǎng)與內(nèi)切圓半徑乘積的一半，即 (S為三角形的面積，P為三角形的周長(zhǎng)，r為內(nèi)切圓的半徑).
(3) 三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別：
能力拓展
考法01 切線長(zhǎng)定理
【典例1】如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AC邊上，過(guò)△ABD的內(nèi)心I作IE⊥BD于點(diǎn)E．若BD＝10，CD＝4，則BE的長(zhǎng)為（ ）
A．6B．7C．8D．9
【即學(xué)即練】如圖，的內(nèi)切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，已知的周長(zhǎng)為36．，，則AF的長(zhǎng)為（ ）
A．4B．5C．9D．13
【典例2】如圖，P為⊙外的一點(diǎn)，PA，PB分別切⊙于點(diǎn)A，B，CD切⊙于點(diǎn)E，且分別交PA，PB于點(diǎn)C，D，若，則的周長(zhǎng)為（ ）
A．5B．7C．8D．10
【即學(xué)即練】如圖，PA，PB切⊙O 于點(diǎn)A，B，PA＝20，CD切⊙O于點(diǎn)E，交PA，PB于C，D兩點(diǎn)，則△PCD 的周長(zhǎng)是（ ）
A．20B．36C．40D．44
考法02 三角形的內(nèi)切圓
【典例3】如圖，△ABC中，內(nèi)切圓I和邊BC、AC、AB分別相切于點(diǎn)D、E、F，若∠B＝55°，∠C＝75°，則∠EDF的度數(shù)是（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
【即學(xué)即練】如圖，在△ABC中，∠A＝50°，⊙O截△ABC的三邊所得的弦長(zhǎng)相等，則∠BOC＝（ ）
A．100°B．110°C．115°D．120°
【典例4】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AC上一點(diǎn)，連接BE，交AD于點(diǎn)F，若AE＝BE，則下列說(shuō)法正確的為（ ）
A．點(diǎn)F為△ABC的外心B．點(diǎn)F到△ABC三邊的距離相等
C．點(diǎn)E、B、C在以F為圓心的同一個(gè)圓上D．點(diǎn)E為AC中點(diǎn)
【即學(xué)即練】如圖，在△ABC中，
（1）作AB和BC的垂直平分線交于點(diǎn)O；
（2）以點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作圓；
（3）⊙O分別與AB和BC的垂直平分線交于點(diǎn)M，N；
（4）連接AM，AN，CM，其中AN與CM交于點(diǎn)P．
根據(jù)以上作圖過(guò)程及所作圖形，下列四個(gè)結(jié)論：
①＝2；②AB＝2AM；③點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心；④∠MON＋2∠MPN＝360°．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
考法03 與相切有關(guān)的計(jì)算與證明
【典例5】如圖，P是的直徑的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，則當(dāng)（ ）時(shí)，直線是的切線．
A．B．C．D．
【即學(xué)即練】如圖，內(nèi)接于，過(guò)A點(diǎn)作直線，當(dāng)（ ）時(shí)，直線與相切．
A．∠BB．C．D．
【典例6】如圖，是⊙O的直徑，交⊙O于點(diǎn)，于點(diǎn)，下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A．若，則是⊙O的切線B．若，則是⊙O的切線
C．若，則是⊙O的切線D．若是⊙O的切線，則
【即學(xué)即練】如圖，AB是⊙O的直徑，下列條件中不能判定直線AT是⊙O的切線的是( )
A．AB=4，AT=3，BT=5B．∠B=45°，AB=AT
C．∠B=55°，∠TAC=55°D．∠ATC=∠B
分層提分
題組A 基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練
1．如圖，從⊙O外一點(diǎn)P引圓的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別是A，B，若∠APB＝60°，PA＝5，則弦AB的長(zhǎng)是（ ）
A．B．C．5D．5
2．下列直線是圓的切線的是（ ）
A．與圓有公共點(diǎn)的直線B．到圓心的距離等于半徑的直線
C．到圓心的距離大于半徑的直線D．到圓心的距離小于半徑的直線
3．如圖，點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長(zhǎng)線和△ABC的外接圓相交于點(diǎn)D，連接BD，BE，CE，若∠CBD=32°，則∠BEC的度數(shù)為（ ）
A．128°B．126°C．122°D．120°
4．下列命題：①平?四邊形是中?對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形；②直徑是最長(zhǎng)的弦，半徑是最短的弦；③過(guò)切點(diǎn)的直線是圓的切線；④三角形的外?是三條邊垂直平分線的交點(diǎn)；⑤三角形的內(nèi)?是三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)；其中正確的有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
5．已知三角形的周長(zhǎng)為12，面積為6，則該三角形內(nèi)切圓的半徑為（ ）
A．4B．3C．2D．1
6．如圖，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切線．已知AD＝3，BC＝6，則AB＋CD的值是( )
A．3B．6C．9D．12
7．如圖，PA、PB是⊙O的切線，若∠APO＝25°，則∠BPA＝_____．
8．如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別和⊙O切于A、B，C是弧AB上任意一點(diǎn)，過(guò)C作⊙O的切線分別交PA、PB于D、E，若△PDE的周長(zhǎng)為20cm，則PA長(zhǎng)為__________．
9．如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB為直徑作⊙O，點(diǎn)D為⊙O上一點(diǎn)，且CD＝CB、連接DO并延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并證明；
（2）若BE＝8，DE＝16，求⊙O的半徑．
10．如圖，在△ABC中，已知∠ABC＝90，在AB上取一點(diǎn)E，以BE為直徑的⊙O恰與AC相切于點(diǎn)D，若AE＝2cm，AD＝4cm．
(1)求⊙O的直徑BE的長(zhǎng)；
(2)計(jì)算△ABC的面積．
題組B 能力提升練
1．下列命題中：①相等的圓心角所對(duì)的弧相等；②平分弦的直徑垂直于弦；③垂直于半徑的直線是圓的切線；④E，F(xiàn)是∠AOB的兩邊OA，OB上的兩點(diǎn)，則不同的E，O，F(xiàn)三點(diǎn)確定一個(gè)圓：其中正確的有（ ）
A．個(gè)B．個(gè)C．個(gè)D．0個(gè)
2．如圖，是的切線，是切點(diǎn)，若，則（ ）
A．B．C．D．都不對(duì)
3．如圖：切于，切于，交于，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．C．D．是的中點(diǎn)
4．小明同學(xué)用一把直尺和一個(gè)直角三角板（有一個(gè)銳角為60°）測(cè)量一張光盤的直徑，他把直尺、三角板和光盤按如圖的方式放置，點(diǎn)A是60°角頂點(diǎn)，B是光盤與直尺的公共點(diǎn)，測(cè)得AB＝3，則此光盤的直徑為（ ）
A．3B．C．D．
5．如圖，在中，點(diǎn)為的內(nèi)心，點(diǎn)在邊上，且，若，，則的度數(shù)為（ ）
A．111°B．130°C．172°D．170°
6．如圖，在△ABC中，以A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交AB、AC于點(diǎn)M、N；再分別以M、N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P；連結(jié)AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D．則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．
C．一定經(jīng)過(guò)△ABC的內(nèi)心D．AD一定經(jīng)過(guò)△ABC的外心
7．如圖，中，，它的周長(zhǎng)為16．若與三邊分別切于E，F(xiàn)，D點(diǎn)，則DF的長(zhǎng)為____________
8．如圖，若△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，則陰影部分的周長(zhǎng)是 _____．
9．如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)F為BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠DAF＝∠B．
(1)求證：AF是⊙O的切線；
(2)若⊙O的半徑為5，AD是AEF的中線，且AD＝6，求AE的長(zhǎng)．
10．已知，，分別與相切于，，三點(diǎn)，，．
（Ⅰ）如圖1，求的長(zhǎng)；
（Ⅱ）如圖2，當(dāng)，時(shí)，連接，，求，的長(zhǎng)．
題組C 培優(yōu)拔尖練
1．如圖，AB是的直徑，PA與相切于點(diǎn)A，交于點(diǎn)C．若，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
2．如圖，AB為的直徑，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作的切線PC，PD，切點(diǎn)分別為C，D，連接CD交AP于點(diǎn)M，連接BD，AD．若，，則AD的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．2D．
3．如圖，BC是⊙O的直徑，點(diǎn)A是⊙O上的一點(diǎn)，點(diǎn)D是△ABC的內(nèi)心，若BC＝5，AC＝3，則BD的長(zhǎng)度為（ ）
A．2B．3C．D．
4．如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別切⊙O于點(diǎn)A、B，CD切⊙O于點(diǎn)E，分別交PA、PB于點(diǎn)C、D，若PA＝8，則△PCD的周長(zhǎng)為( )
A．8B．12C．16D．20
5．如圖，若等邊△ABC的內(nèi)切圓的半徑是2，則△ABC的面積是（ ）
A．B．C．D．
6．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，在CF上取一點(diǎn)E，使DE＝DC，連接BE．對(duì)于下列結(jié)論：
①BD＝DC；②△CAB∽△CDE；③＝；④BE為⊙O的切線，
其中一定正確的是（ ）
A．①②B．①②③C．①④D．①②④
7．如圖，為的直徑，、為上的點(diǎn)，連接、、、，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，且，．若的半徑為，則點(diǎn)到的距離為________．
8．如圖，PA，PB切⊙O于A，B兩點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)E，分別交PA，PB于點(diǎn)C，D．若⊙O的半徑為2，∠P＝60°，則△PCD的周長(zhǎng)等于 _____．
9．如圖，AB為⊙O的直徑，PD切⊙O于點(diǎn)C，與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，DE⊥PO交PO延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接OC，PB，已知PB=6，DB=8，∠EDB=∠EPB．
(1)求證：PB是⊙O的切線；
(2)求⊙O的半徑；
(3)連接BE，求BE的長(zhǎng)．
10．如圖，PA、PB、CD是的切線，點(diǎn)A、B、E為切點(diǎn)．
(1)如果的周長(zhǎng)為10，求PA的長(zhǎng)；
(2)如果，
①求；
②連AE，BE，求．
課程標(biāo)準(zhǔn)
（1）了解切線長(zhǎng)定義；理解切線的判定和性質(zhì)；理解三角形的內(nèi)切圓及內(nèi)心的定義；
（2）掌握切線長(zhǎng)定理；利用切線長(zhǎng)定理解決相關(guān)的計(jì)算和證明.
名稱
確定方法
圖形
性質(zhì)
外心(三角形外接圓的圓心)



內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)



第23課 切線長(zhǎng)定理
目標(biāo)導(dǎo)航
知識(shí)精講
知識(shí)點(diǎn)01 切線的判定定理和性質(zhì)定理
1．切線的判定定理
經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
2．切線的判定方法
(1)定義：直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，這條直線就是圓的切線；
(2)定理：和圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線；
(3)判定定理：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
切線的判定定理中強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)：一是直線與圓有一個(gè)交點(diǎn)，二是直線與過(guò)交點(diǎn)的半徑垂直，缺一不可.
3．切線的性質(zhì)定理
圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑.
4．切線的性質(zhì)
(1)切線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；
(2)切線和圓心的距離等于圓的半徑；
(3)切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑；
(4)經(jīng)過(guò)圓心垂直于切線的直線必過(guò)切點(diǎn)；
(5)經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必過(guò)圓心.
知識(shí)點(diǎn)02 切線長(zhǎng)定理
1．切線長(zhǎng)：
經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng).
【注意】
切線長(zhǎng)是指圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，不是“切線的長(zhǎng)”的簡(jiǎn)稱.切線是直線，而非線段.
2．切線長(zhǎng)定理：
從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角.
【注意】
切線長(zhǎng)定理包含兩個(gè)結(jié)論：線段相等和角相等.
3．圓外切四邊形的性質(zhì)：
圓外切四邊形的兩組對(duì)邊之和相等.
知識(shí)點(diǎn)03 三角形的內(nèi)切圓
1．三角形的內(nèi)切圓：
與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.
2．三角形的內(nèi)心：
三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心.
【注意】
(1) 任何一個(gè)三角形都有且只有一個(gè)內(nèi)切圓，但任意一個(gè)圓都有無(wú)數(shù)個(gè)外切三角形；
(2) 解決三角形內(nèi)心的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長(zhǎng)與內(nèi)切圓半徑乘積的一半，即(S為三角形的面積，P為三角形的周長(zhǎng)，r為內(nèi)切圓的半徑).
(3) 三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別：
能力拓展
考法01 切線長(zhǎng)定理
【典例1】如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AC邊上，過(guò)△ABD的內(nèi)心I作IE⊥BD于點(diǎn)E．若BD＝10，CD＝4，則BE的長(zhǎng)為（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，
∵是的內(nèi)心，
∴，
設(shè)，
∵BD＝10，
∴，
∴,，
∵，
∴，
解得，
∴，
故選B．
【即學(xué)即練】如圖，的內(nèi)切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，已知的周長(zhǎng)為36．，，則AF的長(zhǎng)為（ ）
A．4B．5C．9D．13
【答案】A
【詳解】解：的周長(zhǎng)為36．，，
∴,
由切線長(zhǎng)定理可得，
，
設(shè)，，
解得：
∴；
故選：A．
【典例2】如圖，P為⊙外的一點(diǎn)，PA，PB分別切⊙于點(diǎn)A，B，CD切⊙于點(diǎn)E，且分別交PA，PB于點(diǎn)C，D，若，則的周長(zhǎng)為（ ）
A．5B．7C．8D．10
【答案】C
【詳解】解：∵PA、PB分別切⊙O于點(diǎn)A、B，
∴PB=PA=4，
∵CD切⊙O于點(diǎn)E且分別交PA、PB于點(diǎn)C，D，
∴CA=CE，DE=DB，
∴△PCD的周長(zhǎng)=PC+PD+CD=PC+CA+PD+DB=PA+PB=8，
故選：C．
【即學(xué)即練】如圖，PA，PB切⊙O 于點(diǎn)A，B，PA＝20，CD切⊙O于點(diǎn)E，交PA，PB于C，D兩點(diǎn)，則△PCD 的周長(zhǎng)是（ ）
A．20B．36C．40D．44
【答案】C
【詳解】解：∵PA、PB切⊙O于點(diǎn)A、B，
∴PB=PA=20，
∵CD切⊙O于點(diǎn)E，交PA、PB于C、D兩點(diǎn)，
∴CA=CE，DB=DE，
∴PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD=PC+CA+DB+PD=PA+PB=20+20=40．
則△PCD的周長(zhǎng)是40．
故選：C．
考法02 三角形的內(nèi)切圓
【典例3】如圖，△ABC中，內(nèi)切圓I和邊BC、AC、AB分別相切于點(diǎn)D、E、F，若∠B＝55°，∠C＝75°，則∠EDF的度數(shù)是（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
【答案】C
【詳解】解：連接IE、IF，如圖，
∵內(nèi)切圓I和邊AC、AB分別相切于點(diǎn)E、F，
∴IE⊥AC，IF⊥AB，
∴∠AEI＝∠AFI＝90°，
∴∠A＝180°﹣∠EIF，
∵∠EDF＝∠EIF，
∴∠EDF＝90°﹣∠A，
∵∠B＝55°，∠C＝75°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣55°﹣75°＝50°，
∴∠EDF＝90°﹣×50°＝65°．
故選：C．
【即學(xué)即練】如圖，在△ABC中，∠A＝50°，⊙O截△ABC的三邊所得的弦長(zhǎng)相等，則∠BOC＝（ ）
A．100°B．110°C．115°D．120°
【答案】C
【詳解】解：如圖，
∵△ABC中∠A=50°，⊙O截△ABC的三條邊所得的弦長(zhǎng)相等，
∴O到三角形三條邊的距離相等，
即O是△ABC的內(nèi)心，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∠1+∠3=（180°-∠A）=（180°-50°）=65°，
∴∠BOC=180°-（∠1+∠3）
=180°-65°
=115°．
故選：C．
【典例4】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AC上一點(diǎn)，連接BE，交AD于點(diǎn)F，若AE＝BE，則下列說(shuō)法正確的為（ ）
A．點(diǎn)F為△ABC的外心B．點(diǎn)F到△ABC三邊的距離相等
C．點(diǎn)E、B、C在以F為圓心的同一個(gè)圓上D．點(diǎn)E為AC中點(diǎn)
【答案】B
【詳解】解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣36°）＝72°，
∵AD⊥BC，AB＝AC，
∴AD是∠BAC的角平分線，
∵AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA＝36°，
∴∠EBC＝72°﹣36°＝36°，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴BE是∠ABC的角平分線，
∵BE、AD交于點(diǎn)F，
∴點(diǎn)F是三角形內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)F到△ABC三邊的距離相等．
由已知條件均得不出A，C，D選項(xiàng)
故選：B．
【即學(xué)即練】如圖，在△ABC中，
（1）作AB和BC的垂直平分線交于點(diǎn)O；
（2）以點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作圓；
（3）⊙O分別與AB和BC的垂直平分線交于點(diǎn)M，N；
（4）連接AM，AN，CM，其中AN與CM交于點(diǎn)P．
根據(jù)以上作圖過(guò)程及所作圖形，下列四個(gè)結(jié)論：
①＝2；②AB＝2AM；③點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心；④∠MON＋2∠MPN＝360°．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【詳解】解：作BC的垂直平分線，則ON平分，則＝，所以①正確；
作AB的垂直平分線，則OM平分，則＝，2AM＞AB，所以②錯(cuò)誤；
∵M(jìn)點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴∠ACM=∠BCM，
∵點(diǎn)N為的中點(diǎn)，∴∠BAN=∠CAN，
故P點(diǎn)為△ABC的內(nèi)心，所以③正確；
∵∠APC=180°-∠PAC-∠PCA=180°-∠BAC-∠BCA=180°-(∠BAC+∠BCA)=180°-(180°-∠B)=90°+∠B，
∴2∠MPN=2∠APC=180°+∠B，
又OM⊥AB，ON⊥BC，∴∠MON+∠B=180°，
∴∠MON+2∠MPN=∠MON+180°+∠B=180°+180°=360°，故④正確，
∴正確的結(jié)論有3個(gè)，
故選：C．
考法03 與相切有關(guān)的計(jì)算與證明
【典例5】如圖，P是的直徑的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，則當(dāng)（ ）時(shí)，直線是的切線．
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】解：當(dāng)30°時(shí)，直線是的切線．
證明：連接OA．
∵∠P＝30°，30°，
∴∠PAC＝120°；
∵OA＝OC，
∴30°，
∴，
即OA⊥PA，
∴直線是的切線．
故選：B
【即學(xué)即練】如圖，內(nèi)接于，過(guò)A點(diǎn)作直線，當(dāng)（ ）時(shí)，直線與相切．
A．∠BB．C．D．
【答案】C
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，直線與相切．
理由如下：
作AF交圓O于F點(diǎn)，連接BF．
∵∠F，∠C是同弧AB所對(duì)的角，
∴∠C＝∠F，
∵∠BAE＝∠C，
∴∠BAE＝∠F，
∵AF為直徑，
∴∠ABF＝90°，
∴在三角形ABF中，∠F+∠BAF＝90°，
∵∠F＝∠BAE，
∴∠BAE+∠BAF＝90°，
∴FA⊥DE，
∴直線DE與⊙O相切．
故選：C
【典例6】如圖，是⊙O的直徑，交⊙O于點(diǎn)，于點(diǎn)，下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A．若，則是⊙O的切線B．若，則是⊙O的切線
C．若，則是⊙O的切線D．若是⊙O的切線，則
【答案】A
【詳解】解：當(dāng)AB=AC時(shí)，如圖：連接AD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴AD⊥BC，
∴CD=BD，
∵AO=BO，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切線，所以B選項(xiàng)正確；
當(dāng)DE是⊙O的切線時(shí)，如圖：連接AD，
∵DE是⊙O的切線，
∴DE⊥OD，
∵DE⊥AC，
∴OD∥AC，
∴OD是△ABC的中位線，
∴CD∥BD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴AD⊥BC，
∴AD是線段BC的垂直平分線，
∴AB=AC，所以D選項(xiàng)正確；
當(dāng)CD=BD時(shí)，又AO=BO，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切線，所以C選項(xiàng)正確．
若，沒(méi)有理由證明DE是⊙O的切線，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：A．
【即學(xué)即練】如圖，AB是⊙O的直徑，下列條件中不能判定直線AT是⊙O的切線的是( )
A．AB=4，AT=3，BT=5B．∠B=45°，AB=AT
C．∠B=55°，∠TAC=55°D．∠ATC=∠B
【答案】D
【詳解】A．
∵AB=4，AT=3，BT=5，∴AB2+AT2=BT2，∴△BAT是直角三角形，∴∠BAT=90°，∴直線AT是⊙O的切線，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B．∵∠B=45°，AB=AT，∴∠T=45°，∴∠BAT=90°，∴直線AT是⊙O的切線，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C．∵AB為直徑，∴∠BAC=90°．
∵∠B=55°，∴∠BAC=35°．
∵∠TAC=55°，∴∠CAT=90°，∴直線AT是⊙O的切線，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D．∠ATC=∠B，無(wú)法得出直線AT是⊙O的切線，故此選項(xiàng)正確．
故選D．
分層提分
題組A 基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練
1．如圖，從⊙O外一點(diǎn)P引圓的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別是A，B，若∠APB＝60°，PA＝5，則弦AB的長(zhǎng)是（ ）
A．B．C．5D．5
【答案】C
【詳解】解：∵PA，PB為⊙O的切線，
∴PA=PB，
∵∠APB=60°，
∴△APB為等邊三角形，
∴AB=PA=5．
故選：C．
2．下列直線是圓的切線的是（ ）
A．與圓有公共點(diǎn)的直線B．到圓心的距離等于半徑的直線
C．到圓心的距離大于半徑的直線D．到圓心的距離小于半徑的直線
【答案】B
【詳解】A、與圓只有一個(gè)交點(diǎn)的直線是圓的切線,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、到圓心距離等于圓的半徑的直線是圓的切線,故本選項(xiàng)正確;
C、經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選B.
3．如圖，點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長(zhǎng)線和△ABC的外接圓相交于點(diǎn)D，連接BD，BE，CE，若∠CBD=32°，則∠BEC的度數(shù)為（ ）
A．128°B．126°C．122°D．120°
【答案】C
【詳解】在⊙O中，
∵∠CBD=32°，
∵∠CAD=32°，
∵點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，
∴∠BAC=64°，
∴∠EBC+∠ECB=（180°-64°）÷2=58°，
∴∠BEC=180°-58°=122°．
故選：C．
4．下列命題：①平?四邊形是中?對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形；②直徑是最長(zhǎng)的弦，半徑是最短的弦；③過(guò)切點(diǎn)的直線是圓的切線；④三角形的外?是三條邊垂直平分線的交點(diǎn)；⑤三角形的內(nèi)?是三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)；其中正確的有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】B
【詳解】解：①平?四邊形是中?對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形，錯(cuò)誤，平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形；②直徑是最長(zhǎng)的弦，正確，半徑是最短的弦，錯(cuò)誤，半徑不是弦；③過(guò)切點(diǎn)的直線是圓的切線，錯(cuò)誤；④三角形的外?是三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，正確；⑤三角形的內(nèi)?是三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，正確．
故選：B．
5．已知三角形的周長(zhǎng)為12，面積為6，則該三角形內(nèi)切圓的半徑為（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
6．如圖，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切線．已知AD＝3，BC＝6，則AB＋CD的值是( )
A．3B．6C．9D．12
【答案】C
【詳解】解：∵AB、BC、CD、DA都是的切線，
∴可以假設(shè)切點(diǎn)分別為E、H、G、F，如圖所示：
∴AE=AF，BE=BH，DF=DG，CG=CH，
∴AB+CD=AE+BE+DG+CG=AF+BH+DF+CH=AD+BC
∵AD=3，BC=6
∴AB+CD=3+6=9
故選C．
．
7．如圖，PA、PB是⊙O的切線，若∠APO＝25°，則∠BPA＝_____．
【答案】50°
【詳解】解：∵PA、PB是⊙O的切線，
∴∠BPO＝∠APO＝25°，
∴∠BPA＝50°，
故答案為：50°．
8．如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別和⊙O切于A、B，C是弧AB上任意一點(diǎn)，過(guò)C作⊙O的切線分別交PA、PB于D、E，若△PDE的周長(zhǎng)為20cm，則PA長(zhǎng)為__________．
【答案】10cm
【詳解】解：根據(jù)切線長(zhǎng)定理得：
AD＝CD，CE＝BE，PA＝PB，
則△PDE的周長(zhǎng)＝
2PA＝20，
PA＝10．
故答案為：
9．如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB為直徑作⊙O，點(diǎn)D為⊙O上一點(diǎn)，且CD＝CB、連接DO并延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并證明；
（2）若BE＝8，DE＝16，求⊙O的半徑．
【答案】（1）相切，理由見(jiàn)解析；（2）⊙O的半徑為6
【詳解】解：（1）相切，理由如下，
如圖，連接OC，
在△OCB與△OCD中，
，
∴△OCB≌△OCD（SSS），
∴∠ODC＝∠OBC＝90°，
∴OD⊥DC，
∴DC是⊙O的切線；
（2）設(shè)⊙O的半徑為r，
在Rt△OBE中，∵OE2＝EB2+OB2，
∴（16﹣r）2＝r2+82，
∴r＝6，
∴⊙O的半徑為6．
10．如圖，在△ABC中，已知∠ABC＝90，在AB上取一點(diǎn)E，以BE為直徑的⊙O恰與AC相切于點(diǎn)D，若AE＝2cm，AD＝4cm．
(1)求⊙O的直徑BE的長(zhǎng)；
(2)計(jì)算△ABC的面積．
【答案】（1）BE＝6；(2) S△ABC＝24..
【詳解】（1）連接OD，
∴OD⊥AC
∴△ODA是直角三角形
設(shè)半徑為r
∴AO＝r＋2
∴
解之得：r＝3
∴BE＝6
(2)∵∠ABC＝900
∴OB⊥BC
∴BC是⊙O的切線
∵CD切⊙O于D
∴CB＝CD
令CB＝x
∴AC＝x＋4， CB＝x，AB＝8
∵
∴x＝6.
∴S△ABC＝24（cm2）.
故答案為（1）BE＝6；(2) S△ABC＝24..
題組B 能力提升練
1．下列命題中：①相等的圓心角所對(duì)的弧相等；②平分弦的直徑垂直于弦；③垂直于半徑的直線是圓的切線；④E，F(xiàn)是∠AOB的兩邊OA，OB上的兩點(diǎn)，則不同的E，O，F(xiàn)三點(diǎn)確定一個(gè)圓：其中正確的有（ ）
A．個(gè)B．個(gè)C．個(gè)D．0個(gè)
【答案】D
【詳解】解：①在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等；故錯(cuò)誤；
②平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦；故錯(cuò)誤；
③垂直于半徑且過(guò)半徑的外端點(diǎn)的直線是圓的切線；故錯(cuò)誤；
④E、F是∠AOB（∠AOB≠180°）的兩邊OA、OB上的兩點(diǎn)，則E、O、F三點(diǎn)確定一個(gè)圓；故錯(cuò)誤；
故選：D．
2．如圖，是的切線，是切點(diǎn)，若，則（ ）
A．B．C．D．都不對(duì)
【答案】A
【詳解】解：PA，PB是⊙O的切線，
，
，
，
，
，
，
．
故選：A．
3．如圖：切于，切于，交于，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．C．D．是的中點(diǎn)
【答案】D
【詳解】、是的切線，切點(diǎn)是、，
，，
選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤；
，，
，
選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
根據(jù)已知不能得出是的中點(diǎn)，
故選項(xiàng)D正確；
故選D．
4．小明同學(xué)用一把直尺和一個(gè)直角三角板（有一個(gè)銳角為60°）測(cè)量一張光盤的直徑，他把直尺、三角板和光盤按如圖的方式放置，點(diǎn)A是60°角頂點(diǎn)，B是光盤與直尺的公共點(diǎn)，測(cè)得AB＝3，則此光盤的直徑為（ ）
A．3B．C．D．
【答案】D
【詳解】如圖，設(shè)光盤的圓心為,直角三角板與的切點(diǎn)為，連接，
是的切線，
，，
此光盤的直徑為
故選D
5．如圖，在中，點(diǎn)為的內(nèi)心，點(diǎn)在邊上，且，若，，則的度數(shù)為（ ）
A．111°B．130°C．172°D．170°
【答案】C
【詳解】解：在中，，
BAC＝180－42－58＝80
點(diǎn)為的內(nèi)心，
CAI＝BAI＝＝40
四邊形AIDC的內(nèi)角和180（4－2）＝360，且
＝360－－－CAI＝360－90－40－58＝172
故選C．
6．如圖，在△ABC中，以A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交AB、AC于點(diǎn)M、N；再分別以M、N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P；連結(jié)AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D．則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．
C．一定經(jīng)過(guò)△ABC的內(nèi)心D．AD一定經(jīng)過(guò)△ABC的外心
【答案】C
【詳解】根據(jù)作圖步驟得：AD是∠BAC的角平分線
A、在△ABD中，AD+BD＞AB，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，不符合題意；
B、由角平分線得，而不一定成立，選項(xiàng)B錯(cuò)誤，不符合題意；
C、△ABC的內(nèi)心是三條角平分線的交點(diǎn)，故選項(xiàng)C正確，符合題意；
D、△ABC的外心是三邊中垂線的交點(diǎn)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：C．
7．如圖，中，，它的周長(zhǎng)為16．若與三邊分別切于E，F(xiàn)，D點(diǎn)，則DF的長(zhǎng)為____________
【答案】2
【詳解】解：∵⊙O與BC，AC，AB三邊分別切于E，F(xiàn)，D點(diǎn)，
∴AD=AF，BE=BD，CE=CF，
∵BC=BE+CE=6，
∴BD+CF=6，
∵AD=AF，∠A=60°，
∴△ADF是等邊三角形，
∴AD=AF=DF，
∵AB+AC+BC=16，BC=6，
∴AB+AC=10，
∵BD+CF=6，
∴AD+AF=4，
∵AD=AF=DF，
∴DF=AF=AD=，
故答案為：2．
8．如圖，若△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，則陰影部分的周長(zhǎng)是 _____．
【答案】8
【詳解】∵AB＝5，BC＝13，CA＝12，
∴，
∴△ABC為直角三角形，∠A＝90°，
∵AB、AC與⊙O分別相切于點(diǎn)E、F，
∴OF⊥AB，OE⊥AC，
∴四邊形OFAE為矩形，
∵OE=OF
∴四邊形OFAE為正方形，
設(shè)OE＝r，
則AE＝AF＝r，
∵△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)D、E、F，
∴BD＝BF＝5﹣r，CD＝CE＝12﹣r，
∴5﹣r+12﹣r＝13，
∴r＝2，
∴陰影部分（即四邊形AEOF）的面積是2×4＝8．
故陰影部分的周長(zhǎng)是：8．
9．如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)F為BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠DAF＝∠B．
(1)求證：AF是⊙O的切線；
(2)若⊙O的半徑為5，AD是AEF的中線，且AD＝6，求AE的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【詳解】（1）證明：∵AC是直徑，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∵∠ACD=∠B，∠B=∠DAF，
∴∠DAF=∠ACD，
∴∠DAF+∠DAC=90°，
∴，
∵AC是直徑，
∴AF是⊙O的切線；
（2）解：作于點(diǎn)H，
∵⊙O的半徑為5，
∴AC=10，
∵∠AHD=∠ADC=90°，∠DAH=∠CAD，
∴△ADH～△ACD，
∴，
∴，
∵AD＝6，
∴，
∵AD是△AEF的中線，∠EAF=90°，
∴AD=ED，
．
10．已知，，分別與相切于，，三點(diǎn)，，．
（Ⅰ）如圖1，求的長(zhǎng)；
（Ⅱ）如圖2，當(dāng)，時(shí)，連接，，求，的長(zhǎng)．
【答案】（Ⅰ）4；（Ⅱ），．
【詳解】解：（Ⅰ）∵AB，BC，CD都是圓O的切線，
∴BM=BA=1，CM=CD=3，
∴BC=BM+CM=4；
（Ⅱ）如圖所示，連接OD，OM，OA，
∵BC，DC都是圓O的切線，
∴∠ODC=∠OMC=∠OMB=90°，CM=CD，
又∵OC=OC，
∴Rt△OCD≌Rt△OCM（HL），
∴∠OCD=∠OCM，
同理可得∠OBA=∠OBM，
∵∠DCB=60°，AB∥CD，
∴∠OCM=30°，∠ABM=120°
∴OC=2OM，∠OBM=60°，
∴，
∴，
∴．
題組C 培優(yōu)拔尖練
1．如圖，AB是的直徑，PA與相切于點(diǎn)A，交于點(diǎn)C．若，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】
如圖，連接OC，
因?yàn)镺B=OC，
所以∠OCB=∠OBC=70°，
所以∠BOC=180°-70°-70°=40°，
又因?yàn)椋?br>所以∠AOP=∠B=70°，
∴∠POC=180°-∠AOP-∠BOC=70°，
所以在△PAO和△PCO中，
，
所以△PAO≌△PCO（SAS），
所以∠OCP=∠OAP
因?yàn)镻A與相切于點(diǎn)A，
所以∠OCP=∠OAP=90°，
所以∠OPC=180°-∠POC-∠OCP=20°，
故選：B．
2．如圖，AB為的直徑，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作的切線PC，PD，切點(diǎn)分別為C，D，連接CD交AP于點(diǎn)M，連接BD，AD．若，，則AD的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【詳解】解：連接，如圖所示，
∵PC，PD是的切線，
∴
設(shè)
∵
∴
∴
設(shè)的半徑為
∴
在中，，
解得，
在中，
∵是的切線，
∴
在中，
∵
∵
∴
整理得，
∴
解得，或（舍去）
∴
∴
在中，，故A正確．
故選：A．
3．如圖，BC是⊙O的直徑，點(diǎn)A是⊙O上的一點(diǎn)，點(diǎn)D是△ABC的內(nèi)心，若BC＝5，AC＝3，則BD的長(zhǎng)度為（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】C
【詳解】解： 如下圖，過(guò)點(diǎn)D分別作DE⊥AB于E，DF ⊥BC于F， DH⊥AC于H， 連接AD， CD，
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BAC= 90°，
∵BC＝5，AC＝3，
∴ ，
∵點(diǎn)D是△ABC的內(nèi)心，
∴ DE= DF= DH，AE= АН，BE= BF，CF= CH，
設(shè)BE= x，則BF= x，AE=4- x，CF=5-x，CH=5-x，AН=4-x，
∵AC=3，
∴4-x+5-x=3，
解得：x=3
∴BE=3，
設(shè)DE= r，
∵S△ABC = S△ABD + S△BDC + S△ADC，
∴ ，
解得：r= 1，
∴ DE= 1，
在Rt△BDE中， ，
故選：C．
4．如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別切⊙O于點(diǎn)A、B，CD切⊙O于點(diǎn)E，分別交PA、PB于點(diǎn)C、D，若PA＝8，則△PCD的周長(zhǎng)為( )
A．8B．12C．16D．20
【答案】C
【詳解】解：∵PA、PB分別切⊙O于點(diǎn)A、B，CD切⊙O于點(diǎn)E，
∴PA=PB=6，AC=EC，BD=ED，
∴PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD=PA+AC+PD+BD=PA+PB=8+8=16，
即△PCD的周長(zhǎng)為16．
故選：C．
5．如圖，若等邊△ABC的內(nèi)切圓的半徑是2，則△ABC的面積是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】解：連接，，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
是等邊的內(nèi)切圓，
，，
，
由勾股定理得：，
同理，
，
是等邊三角形，，，三點(diǎn)共線，
，
．
故選：D．
6．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，在CF上取一點(diǎn)E，使DE＝DC，連接BE．對(duì)于下列結(jié)論：
①BD＝DC；②△CAB∽△CDE；③＝；④BE為⊙O的切線，
其中一定正確的是（ ）
A．①②B．①②③C．①④D．①②④
【答案】D
【詳解】解：∵AB為直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
而AB＝CA，
∴BD＝DC，所以①正確；
∵AB＝CA，
∴∠ABC＝∠ACB，
而CD＝ED，
∴∠DCE＝∠DEC，
∵CF∥AB，
∴∠ABC＝∠DCE，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠DCE＝∠DEC，
∴△CBA∽△CED，所以②正確；
∵△ABC不能確定為直角三角形，
∴∠ABC不能確定等于45°，
∴與不能確定相等，所以③不一定正確；
∵DB＝DC＝DE，
∴點(diǎn)E在以BC為直徑的圓上，
∴∠BEC＝90°，
∴CE⊥BE，
而CF∥AB，
∴AB⊥BE，
∴BE為⊙O的切線，所以④正確；
綜上所述①②④正確，
故選： D．
7．如圖，為的直徑，、為上的點(diǎn)，連接、、、，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，且，．若的半徑為，則點(diǎn)到的距離為________．
【答案】##
【詳解】解：連接OC，
∵AB是圓的直徑，
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴，即OC⊥CD
∵的半徑為
∴

在Rt△OCD中，
∴
∴
過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DC，交DC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AD于點(diǎn)G，
∵
∴，解得，
同理：
∴
∴
故答案為：
8．如圖，PA，PB切⊙O于A，B兩點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)E，分別交PA，PB于點(diǎn)C，D．若⊙O的半徑為2，∠P＝60°，則△PCD的周長(zhǎng)等于 _____．
【答案】
【詳解】解：如圖，連接OA，OB，OP，
∵PA，PB切⊙O于A，B兩點(diǎn)，OA，OB是半徑，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，且OA＝OB，
∴PO是∠APB的平分線，
∵∠APB＝60°，
∴∠APO＝30°，
∴OP＝2OA＝4，
在Rt△APO中，由勾股定理得AP＝，
∵PA，PB切⊙O于A，B兩點(diǎn)，
∴PA＝PB＝，
∵CD切⊙O于點(diǎn)E，
∴AC＝CE，BD＝DE，
∴△PCD的周長(zhǎng)＝PC+PD+CD＝PC+CA+PD+DB＝PA+PB＝，
故答案為：．
9．如圖，AB為⊙O的直徑，PD切⊙O于點(diǎn)C，與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，DE⊥PO交PO延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接OC，PB，已知PB=6，DB=8，∠EDB=∠EPB．
(1)求證：PB是⊙O的切線；
(2)求⊙O的半徑；
(3)連接BE，求BE的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)3
(3)
【詳解】（1）證明：，
，
，，，
，
，
為的切線；
（2）解：在中，，，
根據(jù)勾股定理得：，
與都為的切線，
，
；
在中，設(shè)，則有，
根據(jù)勾股定理得：，
解得：，
則圓的半徑為3．
（3）延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)，
與都為的切線，
平分，
，
，
，
又，
，
，，
，
在中，，
．
10．如圖，PA、PB、CD是的切線，點(diǎn)A、B、E為切點(diǎn)．
(1)如果的周長(zhǎng)為10，求PA的長(zhǎng)；
(2)如果，
①求；
②連AE，BE，求．
【答案】(1)5
(2)①70°；②110°
【詳解】(1)∵分別切于點(diǎn)
∴
∴△的周長(zhǎng)
∴
(2)①
∵分別切于點(diǎn)
②連接OA，OB
∵PA，PB是切線,
∴
∵
∴
∴
課程標(biāo)準(zhǔn)
（1）了解切線長(zhǎng)定義；理解切線的判定和性質(zhì)；理解三角形的內(nèi)切圓及內(nèi)心的定義；
（2）掌握切線長(zhǎng)定理；利用切線長(zhǎng)定理解決相關(guān)的計(jì)算和證明.
名稱
確定方法
圖形
性質(zhì)
外心(三角形外接圓的圓心)
三角形三邊中垂線的交點(diǎn)
(1)OA=OB=OC；
(2)外心不一定在三角形內(nèi)部
內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)
三角形三條角平分線的交點(diǎn)
(1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB、OC分別平分
∠BAC、∠ABC、∠ACB；
(3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部.

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