第02講 等邊三角形的性質(zhì)與判定 (4類熱點(diǎn)題型講練) 1.經(jīng)歷“探索——發(fā)現(xiàn)——猜想——證明”的過程，逐步掌握綜合法證明的方法，發(fā)展推理能力； 2.經(jīng)歷實(shí)際操作，探索含有30°角的直角三角形性質(zhì)及其推理證明過程，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理的能力； 3.在具體問題的證明過程中，有意識地滲透分類討論、逆向思維的思想，提高學(xué)生的能力. 知識點(diǎn)01 等邊三角形的性質(zhì) （1）等邊三角形性質(zhì)1：等邊三角形的三條邊都相等； （2）等邊三角形性質(zhì)2：等邊三角形的每個內(nèi)角等于； （3）等邊三角形性質(zhì)3：等邊三角形是軸對稱圖形，有三條對稱軸. 知識點(diǎn)02 等邊三角形的判定 （1）等邊三角形的判定方法1：（定義法：從邊看）有三條邊相等的三角形是等邊三角形； （2）等邊三角形的判定方法2：（從角看）三個內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形； （3）等邊三角形的判定方法3：（從邊、角看）有一個內(nèi)角等于的等腰三角形是等邊三角形. 題型01 等邊三角形的性質(zhì) 【例題】（2023上·內(nèi)蒙古呼和浩特·八年級呼市四中?？计谥校┤鐖D，是等邊三角形的中線，，則的度數(shù)為 ． 【答案】/度 【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再由，可得，即可求解． 【詳解】解：∵是等邊三角形， ∴， ∵是等邊三角形的中線， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案為： 【變式訓(xùn)練】 1．（2022下·上海浦東新·七年級?？计谀┤鐖D，在中，D，E是的三等分點(diǎn)，且是等邊三角形，則 ． 【答案】/120度 【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)．利用等邊三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和定理求出即可． 【詳解】解：是的三等分點(diǎn)，且是等邊三角形， ，， ， ． 故答案為：． 2．（2023上·河北滄州·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，和均為等邊三角形，點(diǎn)分別在上． （1）若，則 度； （2）是否與全等？ ．（填“是”或“否”） 【答案】 88 是 【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，利用三角形全等的判定和性質(zhì)解答即可． （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理計算即可． (2)根據(jù)(1)的結(jié)論，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，運(yùn)用三角形全等的判定可以證明． 【詳解】（1）∵和均為等邊三角形， ∴∠B=∠C=∠EFD=60°， ∵， ∴∠BFE=180°-∠B-∠BEF=32°， ∴， 故答案為：88． （2）∵和均為等邊三角形， ∴∠B=∠C=∠EFD=60°，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案為：是． 題型02 等邊三角形的判定 【例題】（2023上·甘肅慶陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，連接．若，求證：是等邊三角形． 【答案】詳見解析 【分析】本題考查了等邊三角形的判定，根據(jù)有一角是的等腰三角形是等邊三角形即可求證． 【詳解】證明：， 為等腰三角形， 又， ， 是等邊三角形． 【變式訓(xùn)練】 1．（2023上·湖南長沙·八年級校聯(lián)考期中）如圖，點(diǎn)在的外部，點(diǎn)在邊上，交于點(diǎn)，若，，． ?? (1)求證：； (2)若，判斷的形狀，并說明理由． 【答案】(1)見解析 (2)是等邊三角形．理由見解析 【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及等邊三角形的判定等知識． （1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，再根據(jù)，判定，即可得到． （2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)，可得，進(jìn)而得出，可得是等邊三角形． 【詳解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）是等邊三角形．理由： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等邊三角形． 2．（2023上·廣東惠州·八年級?？计谥校┤鐖D，中，D為邊上一點(diǎn)，的延長線交的延長線于F，且，． ?? (1)求證：是等腰三角形； (2)當(dāng)?shù)扔诙嗌俣葧r，是等邊三角形？請證明你的結(jié)論． 【答案】(1)證明見解析 (2)當(dāng)時，是等邊三角形，證明見解析 【分析】（1）先根據(jù)等邊對等角和三角形外角的性質(zhì)證明，再由對頂角相等得到，由垂線的定義和三角形內(nèi)角和定理推出，再由，得到，推出，由此即可證明是等腰三角形； （2）根據(jù)（1）所求，只需要滿足即可，再由三角形外角的性質(zhì)即可得到的度數(shù)，據(jù)此可得答案． 【詳解】（1）證明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：當(dāng)時，是等邊三角形，證明如下： ∵，， ∴， ∵， ∴是等邊三角形． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)等等，證明是解題的關(guān)鍵． 題型03 等邊三角形的判定和性質(zhì) 【例題】（2023上·山東淄博·八年級?？计谥校┤鐖D，已知和均是等邊三角形，點(diǎn)B，C，D在同一條直線上，與交于點(diǎn)． (1)求證：； (2)若與交于點(diǎn)N，與交于點(diǎn)，連接，求證：為等邊三角形． 【答案】(1)見解析 (2)見解析 【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)： （1）根據(jù)已知條件證明即可得證； （2）證明，再證明可得，進(jìn)而證明為等邊三角形； 【詳解】（1）證明：和均是等邊三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）證明：由（1）得， ， 由（1）得， ，即， 在和中， ， ， ， 又， 為等邊三角形． 【變式訓(xùn)練】 1．（2023上·安徽蕪湖·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在等邊中，點(diǎn)在內(nèi)，，且，． (1)試判定的形狀，并說明理由； (2)判斷線段，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由． 【答案】(1)是等邊三角形，理由見解析； (2)，理由見解析． 【分析】本題考查的是等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)： （1）根據(jù)平行線的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)可得到是等邊三角形； （2）證明，即可． 【詳解】（1）解：是等邊三角形． 理由：是等邊三角形， ． 又，， ， ， 是等邊三角形． （2）解：． 理由：由（1）知是等邊三角形， ， ． ， ． 在和中， ， ． 2．（2023上·河北石家莊·八年級校考期末）如圖，在中，，點(diǎn)D在內(nèi)部，，，點(diǎn)E在外部，． (1)求的度數(shù)； (2)判斷的形狀并加以證明； (3)連接，若，求的長． 【答案】(1) (2)是等邊三角形，證明見解析 (3) 【分析】（1）首先證明是等邊三角形，推出，再證明，推出即可解決問題． （2）只要證明得到即可證明是等邊三角形； （3）首先證明是含有30度角的直角三角形，求出的長，進(jìn)而利用勾股定理求出的長，則由等邊三角形的性質(zhì)可得答案． 【詳解】（1）解：，， 是等邊三角形， ∴， 在和中， ， ， ， ． （2）解：是等邊三角形，證明如下： ， ， 在和中， ， ， ， ， 是等邊三角形． （3）解：如圖所示，連接， ∵是等邊三角形， ∴，， ， ， ∵，即，， ， ， ∴ ， ∴． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)． 題型04 含30°角的直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系 【例題】（2023上·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期中）如圖，是等邊三角形，是中線，延長至點(diǎn)E，使． (1)求證：； (2)過點(diǎn)D作垂直于，垂足為F，若，求的周長． 【答案】(1)證明見解析 (2) 【分析】（1）等邊三角形三線合一，得到，等邊對等角結(jié)合三角形的外角，推出，進(jìn)而得到，即可； （2）易得是含30度角的直角三角形，進(jìn)而得到，中線得到，求出的長，即可． 【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，是中線， ∴，． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． （2）∵， ∴ ∴在中，． ∴． ∵， ∴． ∴． 【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角，含30度角的直角三角形．熟練掌握三線合一，等邊對等角，等角對等邊，以及30度的角所對的直角邊是斜邊的一半，是解題的關(guān)鍵． 【變式訓(xùn)練】 1．（2023上·江蘇蘇州·八年級蘇州市立達(dá)中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在中，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，若，則 ． 【答案】4 【分析】本題考查含角的直角三角形，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，由等腰三角形的性質(zhì)得到，由三角形外角的性質(zhì)推出，由含角的直角三角形得到． 【詳解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案為：4． 2．（2023上·重慶渝中·八年級重慶市求精中學(xué)校?？计谥校┮阎喝鐖D，在等邊中，點(diǎn)D是上任意一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC延長線上，連接，使得． (1)如圖1：求證：； (2)如圖2，取的中點(diǎn)F，連接，求證：； (3)如圖3，在（2）的條件下，過點(diǎn)F作于點(diǎn)H，求證：． 【答案】(1)證明過程見詳解 (2)證明過程見詳解 (3)證明過程見詳解 【分析】本題主要考查三角形的綜合，主要考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造． （1）作，證明，可得，再證即可求證； （2）構(gòu)造得出，再判定即可求解； （3）根據(jù)含角的性質(zhì)求出，的值，再用即可求解． 【詳解】（1）證明：如圖所示，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等邊三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在，中， ， ∴， ∴， ∴； （2）證明：如圖所示，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)， ∴，， ∴， ∵點(diǎn)是的中點(diǎn)， ∴， 在，中， ， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， 在，中， ， ∴， ∴； （3）證明：由（2）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 一、單選題 1．（2023上·河南南陽·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在等邊三角形中，平分，若，則的長為（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形性質(zhì)的知識點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角形邊角之間的關(guān)系． 先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，，再由平分，可得出，根據(jù)直角三角形性質(zhì)即可得出結(jié)論． 【詳解】解：∵是等邊三角形，， ∴． 又∵平分， ， 故選：B． 2．（2023上·河北廊坊·八年級校考期末）如圖，在中，，，，則的長為（????） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，含的直角三角形．熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，含的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 由題意知，，根據(jù)，計算求解即可． 【詳解】解：由題意知，， ∴， 故選：C． 3．（2023上·河南商丘·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在正中，點(diǎn)D是邊上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)D作于F，交于點(diǎn)E，則的度數(shù)為（　?。??? A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，再根據(jù)平角定義求解即可． 【詳解】解：∵是等邊三角形， ∴， ∵于F，交于點(diǎn)E， ∴， ∴， ∴， 故選：B． 4．（2023上·山西大同·八年級統(tǒng)考期中）如圖，，點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，且，點(diǎn)，在射線上，且，．則的長為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)題意得出，進(jìn)而根據(jù)含度角的直角三角形的性質(zhì)，即可求解． 【詳解】解：過點(diǎn)作，垂足為， ， ， ， ， ， ，， ， ， 故選：A． 5．（2023上·湖南永州·八年級統(tǒng)考期中）如圖所示，在等邊三角形中，D，E分別在邊，上，且，與交于點(diǎn)F，，垂足為點(diǎn)G.下列結(jié)論：①；②；③是等邊三角形；④，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（????） ???? A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，然后利用“邊角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，判定①正確；根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得，求出，然后利用三角形的內(nèi)角和定理求出，判定②正確；求出，，，判定不是等腰三角形；求出，再求出，然后根據(jù)直角三角形角所對的直角邊等于斜邊的一半可得，然后判斷④． 【詳解】解：∵等邊， ∴，， ∵， ∴， ∴，故①正確； ∴， ∴， 在中， ，故②正確； ∵，， ∴， ∴不是等腰三角形，故③錯誤； ∵，， ∴， ∴， ∴，故④正確， 綜上所述，正確的有①②④． 故選：A． 【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形和全等三角形的判定與性質(zhì)，并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵． 二、填空題 6．（2023上·浙江溫州·八年級瑞安市安陽實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）已知等邊三角形的周長為18，則邊長為 ． 【答案】6 【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等邊三角形的三邊相等，除以3即可． 【詳解】∵等邊三角形的三邊相等， ∴邊長為， 故答案為：6． 7．（2023上·福建龍巖·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，那么 ．若P是邊上一動點(diǎn)，連接，則的長的取值范圍為 ． 【答案】 6 【分析】本題主要考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，由直角三角形中，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半，求出AB的長，即可解決問題． 【詳解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴AP的長的取值范圍是． 故答案為：． 8．（2023上·安徽淮北·八年級統(tǒng)考期末）如圖，是等邊三角形，點(diǎn)是延長線上一點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)． （1） ； （2）若，，則的長為 ． 【答案】 /30度 【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、含的直角三角形、等腰三角形的判定等知識點(diǎn)．掌握相關(guān)知識點(diǎn)進(jìn)行幾何推理是解題關(guān)鍵． 由等邊三角形的性質(zhì)，結(jié)合垂直的定義即可求解； 設(shè)，由已知可得等邊三角形的邊長為，根據(jù)含的直角三角形建立方程，即可求解． 【詳解】解：由題意得：， ， ， 故答案為：； 設(shè)與相交于點(diǎn)，如圖所示， ，， ， ， ， 設(shè)，則， 在中，， ， ，， 在中，， 即， 解得：， ． 故答案為：． 9．（2023上·吉林長春·八年級吉林省實(shí)驗(yàn)校考期中）兩個大小不同的等邊三角形三角板按圖所示擺放．將兩個三角板抽象成如圖所示的和，點(diǎn)依次在同一條直線上，連接．若，，則點(diǎn)到直線的距離為 ． 【答案】 【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，首先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得，，，得到，據(jù)此可依據(jù)“”判定和全等，從而得出 ，，然后過點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，利用勾股定理可求出的長，掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 【詳解】解：∵和均為等邊三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 過點(diǎn)作，垂足為， ∵是等邊三角形， ∴, ， 在中，,， 由勾股定理得：， ∴點(diǎn)到直線的距離為， 故答案為：． 10．（2023上·浙江溫州·八年級統(tǒng)考期中）如圖1是由四片大小一樣的門扇連接成的折疊門，該門的軌道裝在天花板上，圖2是其示意圖．已知軌道，在推拉合頁或時，滾輪，在軌道上移動，已知每小片門扇寬度均相等()．門完全關(guān)上時，門扇恰好貼合整條軌道．剛開始門扇疊合在左邊，第一次向右拉開門扇，位置如圖2時，，，此時門被關(guān)上部分的長是 ；接著繼續(xù)向右拉門扇，位置如圖3時，，，相比第一次，門又拉伸了 ． ?? 【答案】 【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，先判定與是兩個全等的等邊三角形，從而求出與，從而得到，過點(diǎn)分別作的垂線，垂足為，則垂足出與的中點(diǎn)，先證明，從而得到，再根據(jù)得出，運(yùn)用勾股定理列方程求出與，繼而得解，掌握一線三直角的全等模型和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 【詳解】解：∵，，門完全關(guān)上時，門扇恰好貼合整條軌道， ∴， ∵，， ∴， ∴與是兩個全等的等邊三角形， ∴， ∴， 過點(diǎn)分別作的垂線，垂足為，即 ?? 由題意可知：， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 設(shè)，則， ∵，即，， 解得：， ∴，， ∴， ∴， ∴相比第一次，門拉伸的長度為：， 故答案為：；． 三、解答題 11．（2023上·陜西延安·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，，，平分，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接． (1)若，求的長； (2)判斷的形狀，并說明理由． 【答案】(1) (2)是等邊三角形，理由見解析 【分析】（1）先求出，再根據(jù)角平分的定義得出，再根據(jù)等角對等邊得出，根據(jù)含30度的直角三角形的性質(zhì)即可得出答案； （2）根據(jù)三線合一得出， 再根據(jù)含30度的直角三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而可得出結(jié)論． 【詳解】（1）解： ，， ， 平分， ， ， ， ； （2）是等邊三角形， 理由：，， ， 在中，， ，， 是等邊三角形． 【點(diǎn)睛】本題考查含30度角的直角三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定，掌握這些知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵． 12．（2023上·浙江溫州·八年級溫州市第十二中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，將等邊放在含有30°角的直角三角板上（，），使落在線段上，與分別交邊于點(diǎn)H、G，其中． ?? (1)證明：； (2)求的長． 【答案】(1)見解析 (2) 【分析】（1）利用三角形的外角性質(zhì)求得，再利用等邊對等角可證得； （2）過點(diǎn)F作于，利用直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理即可求解． 【詳解】（1）解：∵為等邊三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：過點(diǎn)F作于， ???? ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴由三線合一得， ∴． 【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，正確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵． 13．（2023上·山東日照·八年級校考期中）如圖,為等邊三角形,,相交于點(diǎn),于,,． (1)求證:; (2)求的度數(shù); (3)求的長． 【答案】(1)證明見解析 (2) (3) 【分析】本題考查全等三角形判定及性質(zhì),等邊三角形性質(zhì),含30°角的直角三角形三邊關(guān)系． （1）根據(jù)證明即可, （2）根據(jù)全等三角形性質(zhì)得出,繼而得到本題答案, （3）根據(jù)含角的直角三角形三邊關(guān)系即可得到本題答案． 【詳解】（1）解:證明:∵為等邊三角形, ∴,, 在和中, , ∴, （2）解:由（1）知, ∴,, ∴, 故答案為:． （3）解:∵,, ∴, ∴, ∴． 14．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第六十九中學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，為等邊三角形，分別是上的點(diǎn)，連接和相交于點(diǎn)． ?? (1)如圖1，若分別為的中點(diǎn)，求證： (2)如圖2，若，求證：； (3)如圖3，在（2）的條件下，連接，若，求的長． 【答案】(1)見解析； (2)見解析； (3)． 【分析】本題考查了三角形綜合，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵． （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，再根據(jù)角對的直角邊是斜邊的一半即可證明； （2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理即可證明； （3）連接，由，可得、、、四點(diǎn)共圓，即有，再用30度角所對的邊等于斜邊的一半求解即可． 【詳解】（1）證明：∵為等邊三角形，分別為的中點(diǎn)， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 即． （2）證明：∵為等邊三角形, ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）連接，如圖， 是等邊三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ； ， ， ， 、、、四點(diǎn)共圓， ， ， 在中，， ， 15．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長線上，連接、，． (1)求證：； (2)如圖2，若，求證：； (3)如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)是外一點(diǎn)，連接，，，且平分，若，，求的長． 【答案】(1)見解析 (2)見解析 (3) 【分析】（1）根據(jù)，得到，由三角形外角的性質(zhì)及角的關(guān)系即可得出結(jié)論； （2）過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)H，根據(jù)已知證明為等邊三角形，再證明，即可得出結(jié)論； （3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作的延長線于點(diǎn)，先證明，再證明，推出，設(shè)，則，建立關(guān)于m的一元一次方程，求出m即可． 【詳解】（1）證明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； （2）證明：過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)H， ，， 為等邊三角形； ， ， , 為等邊三角形； ， 由（1）知， ， ， 在與中， ， ； ， ； （3）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作的延長線于點(diǎn)， 平分， ， ，， ， ； ，， 由（2）知為等邊三角形， ， ； ，， ， ， ， ， ， ， ， ； 設(shè)，則， ， ∴， ∴， ∴． 【點(diǎn)睛】本題考查了三角形綜合問題，三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，準(zhǔn)確作出輔助線，靈活運(yùn)用三角形全等的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 16．（2023上·湖北鄂州·八年級統(tǒng)考期中）【問題原型】如圖1、圖2，已知點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，分別以為邊在線段同側(cè)作和，且，，，直線與交于點(diǎn)． (1)如圖1，若，則的度數(shù)為________； (2)【初步探究】如圖2，若，連接，求的度數(shù)； (3)【簡單應(yīng)用】將圖1中的等邊繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)（如圖3），連接，若，則的度數(shù)為________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）證明得到，由三角形外角的定義及性質(zhì)得出，推出，最后由三角形內(nèi)角和定理計算即可； （2）證明得到，由三角形外角的定義及性質(zhì)得出，推出，由三角形內(nèi)角和定理計算出，作于，于，證明出平分，由此即可得出，此題得解； （3）證明得到，由三角形內(nèi)角和定理得出，最后由進(jìn)行計算即可． 【詳解】（1）解：， ，即， 在和中， ， ， ， ， ，即， ， ， 故答案為：； （2）解：， ，即， 在和中， ， ， ， ， ，即， ， ， 如圖，作于，于， ， ， ，， ，， ， ，， 平分， ； （3）解：， ，即， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的定義及性質(zhì)、角平分線的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識點(diǎn)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，證明三角形全等是解此題的關(guān)鍵．

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