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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc2180" 【考點(diǎn)一 等腰三角形中底邊有中點(diǎn)時，連中線】 PAGEREF _Tc2180 \h 1
\l "_Tc16450" 【考點(diǎn)二 等腰三角形中底邊無中點(diǎn)時，作高】 PAGEREF _Tc16450 \h 9
\l "_Tc7539" 【考點(diǎn)三 巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形】 PAGEREF _Tc7539 \h 20
【考點(diǎn)一 等腰三角形中底邊有中點(diǎn)時，連中線】
例題：（2023上·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，D為的中點(diǎn)，于E．
(1)求的度數(shù)；
(2)若，求的長．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了等腰三角形的“三線合一”，含角的直角三角形的性質(zhì)等知識，
（1）連接，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”即可作答；
（2）根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)即可作答．
【詳解】（1）連接，
∵，，
∴，平分，
∴，，
∵于E，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
在中，，
∴，
在中，，，
∴，
則．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023下·陜西寶雞·八年級統(tǒng)考期中）如圖，中，，D是BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC上的點(diǎn)，且．求證：．
【答案】見解析
【分析】連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，然后即可證明，進(jìn)而可得結(jié)論．
【詳解】證明：連接，
，D是BC的中點(diǎn)，
，
在和中，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題目，熟練掌握上述知識是解題的關(guān)鍵．
2．（2023上·寧夏吳忠·八年級?？计谥校┤鐖D：在中，，D為邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F．
(1)求證：；
(2)若，求的周長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）連接，可得平分，再根據(jù)證明，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)已知條件證明為等邊三角形，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，即可得到結(jié)果；
【詳解】（1）證明：連接，
∵，為邊的中點(diǎn)，
∴平分，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴；
（2）解： ，，
∴為等邊三角形，
∴，
，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴的周長為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三線合一，全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
3．（2023上·北京·八年級期末）如圖，在中，，D是的中點(diǎn)，過A作，且．求證：
(1)；
(2)．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）連接，利用等腰三角形“三線合一"的性質(zhì)得，再利用平行線的性質(zhì)得，從而說明垂直平分，則有；
（2）利用等角的余角相等，再利用證明，從而證明結(jié)論．
【詳解】（1）證明：連接AD，
，點(diǎn)為的中點(diǎn)，
，
，
，
，
，
，
垂直平分，
∴；
（2）
在和中，
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形“三線合一"的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．（2023上·遼寧葫蘆島·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，D為線段的中點(diǎn)，且．

(1)求證：．
(2)若，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)6
【分析】（1）連接，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，證明，根據(jù)等腰三角形的三線合一證明結(jié)論；
（2）證明為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答即可．
【詳解】（1）證明：連接，

是的垂直平分線，
，
，
，
是等腰三角形，
為線段的中點(diǎn)，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
，
為等邊三角形，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握等腰三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵．
5．（2023上·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，已知中，，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別在直線上運(yùn)動，且始終保持．
(1)如圖①，若點(diǎn)分別在線段上，與相等且與垂直嗎？請說明理由；
(2)如圖②，若點(diǎn)分別在線段的延長線上，（1）中的結(jié)論是否依然成立？說明理由．
【答案】(1)且，見解析
(2)成立，見解析
【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到和，再證明，利用全等三角形的性質(zhì)即可求解；
（2）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到和，再證明，利用全等三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）且，理由是：
如圖①，連接，
∵，，D為中點(diǎn)，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴．
（2）若點(diǎn)分別在線段，的延長線上，（1）中的結(jié)論依然成立，如圖②，連接，理由如下：
∵，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，
∴，
∴，
在和中，
∴；
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形．
6．（2023上·浙江紹興·八年級新昌縣七星中學(xué)?？计谥校﹥蓚€同樣大小的含角的三角尺，按如圖所示的方式放置，其中一個三角尺的銳角頂點(diǎn)與另一個的直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)，且另三個銳角頂點(diǎn)，，在同一直線上，為中點(diǎn)，已知．
(1)求的長．
(2)求的長．
【答案】(1)1
(2)
【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
（1）連接，首先利用勾股定理解得，再根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得，然后證明為等腰直角三角形，即可求得的長；
（2）由題意可知，然后在中，利用勾股定理解得，根據(jù)即可求得答案．
【詳解】（1）解：連接，如下圖，
根據(jù)題意，，，
∴，
∴，
∵為中點(diǎn)，
∴，且，
∴，
∴，
∴；
（2）根據(jù)題意，，
又∵，，
∴在中，，
∴．
【考點(diǎn)二 等腰三角形中底邊無中點(diǎn)時，作高】
例題：（2023上·福建廈門·八年級廈門一中?？计谥校┤鐖D，已知，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)在邊上，，若，求的長．

【答案】2
【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)．作交于，由等腰三角形的性質(zhì)可得，由含角的直角三角形的性質(zhì)得出，計(jì)算出即可得到答案．熟練掌握等腰三角形的三線合一以及直角三角形中所對的直角邊等于斜邊的一半是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：如圖，作交于，
，
，，
，
在中，，，，
，
，
，
，
．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023下·廣東廣州·八年級廣州市番禺區(qū)鐘村中學(xué)校考期中）如圖，四邊形中，，，求四邊形的面積．
【答案】
【分析】連接，過點(diǎn)C作于點(diǎn)E，在中根據(jù)勾股定理求出的長，由等腰三角形的性質(zhì)得出，在中根據(jù)勾股定理求出的長，再由即可得出結(jié)論．
【詳解】連接，過點(diǎn)C作于點(diǎn)E，
∵，
∴．
在中，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
在中，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理及三角形的面積公式，等腰三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．
2．（2023上·河南許昌·八年級統(tǒng)考期末）在中，，，點(diǎn)D在上（不與點(diǎn)B，C重合）．

(1)如圖1，若是直角三角形，
①當(dāng)時，求的長；
②當(dāng)時，求的長．
(2)如圖2，點(diǎn)E在上（不與點(diǎn)A，B重合），且．若，求證：．
【答案】(1)①6；②
(2)見解析
【分析】（1）①過A作于D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可；
②畫出圖形，過A作于H，設(shè)，利用等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可；
（2）利用三角形的外角性質(zhì)得到，再根據(jù)全等三角形的判定即可證的結(jié)論．
【詳解】（1）解：①過A作于D，如圖，

∵，，
∴，
在中，，
∴；
②如圖，過A作于H，

由①得，，
在中，，
在中，，
∴，
解得；
（2）證明：∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的外角性質(zhì)、全等三角形的判定，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系和運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．
3．（2023上·江蘇蘇州·八年級統(tǒng)考期中）在中，，，點(diǎn)為邊上一動點(diǎn)，連接．

(1)邊上的高的長度為 ；
(2)如圖1，若點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個單位的速度向點(diǎn)運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為秒．是否存在值，使得為等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
(3)如圖2，把沿著直線翻折，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，當(dāng)時，求的長度．
【答案】(1)2
(2)或
(3)
【分析】（1）過點(diǎn)A作于D，利用等腰三角形“三線合一”性質(zhì)求出，再利用勾股定理即可求解．
（2）分兩種情況∶當(dāng)時， 當(dāng)時，分別求解即可．
（3）過點(diǎn)A作于D，過點(diǎn)A作于G，由折疊性質(zhì)得，，再證明，得出，，然后利用勾股定理求出，即可求解．
【詳解】（1）解：過點(diǎn)A作于D，如圖1，

∵，，
∴
由勾股定理，得
，
∴邊上的高的長度為2．
（2）解∶分兩種情況∶
當(dāng)時，
則，
∴
解得∶ ；
當(dāng)時，如圖，

則， ，
由(1)知∶ ， ，
∴，
由勾股定理，得
，
解得∶ ，
綜上，當(dāng)為等腰三角形時，t值為或．
（3）解：過點(diǎn)A作于D，過點(diǎn)A作于G，如圖2，

由（1）知，，，
由折疊知：，，
又∵，
∴，
∴，，
∵
∴
在中，由勾股定理，得
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)．作等腰三角形底邊的高利用等腰三角形“三線合一”性質(zhì)和構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求線段長是解題的關(guān)鍵．
4．（2023上·河南省直轄縣級單位·八年級校聯(lián)考期末）在中，點(diǎn)是邊上的兩點(diǎn)．

(1)如圖1，若，．求證：；
(2)如圖2，若，，設(shè)，．
①猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
②在①的條件下，，請直接寫出的度數(shù)．
【答案】(1)見解析
(2)①；②
【分析】（1）過A作于F，根據(jù)三線合一得到，，利用線段的和差可得結(jié)果；
（2）①根據(jù)等邊對等角和三角形內(nèi)角和求出，再根據(jù)，整理可得結(jié)果；②根據(jù)等邊對等角和三角形內(nèi)角和求出，再根據(jù)，代入化簡可得結(jié)果．
【詳解】（1）解：如圖，過A作于F，
∵，，
∴，，
∴，即；

（2）①猜想：，理由是：
∵，，
∴，
∵，，
∴，即，
整理得：；
②∵，
∴，
∵，
∴
．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，等邊對等角，三角形內(nèi)角和，角的和差計(jì)算，解題的關(guān)鍵是利用這些性質(zhì)找出角的關(guān)系．
5．（2023上·河南商丘·八年級校考階段練習(xí)）在中，，過點(diǎn)C作射線，使（點(diǎn)與點(diǎn)B在直線的異側(cè)）點(diǎn)D是射線上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），點(diǎn)E在線段上，且．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時，與的位置關(guān)系是 ，若，則的長為 ；（用含a的式子表示）
(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合時，連接．
①用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
②用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【答案】(1)互相垂直；
(2)①，證明見解析；②，證明見解析
【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得與的位置關(guān)系是互相垂直，過點(diǎn)A作于點(diǎn)M，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得到，利用證明，根據(jù)全等三角形性質(zhì)即可得出；
（2）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合時，①過點(diǎn)A作于點(diǎn)M、于點(diǎn)N，利用證明，根據(jù)全等三角形性質(zhì)即可得到；
②在上截取，連接，利用證明，根據(jù)全等三角形性質(zhì)得到，，根據(jù)角的和差得到，再利用證明，根據(jù)全等三角形性質(zhì)及線段和差即可得到．
【詳解】（1）解：當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即與的位置關(guān)系是互相垂直，
若，過點(diǎn)A作于點(diǎn)M，如圖：

則，
∵，
∴，
在與中，
∴，
∴，
即的長為，
故答案為：互相垂直；；
（2）解：①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合時，用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系是：，證明如下：
過點(diǎn)A作于點(diǎn)M、于點(diǎn)N，如圖：

則，
∴，
∵，
即，
∴，
∵，，
∴，
在與中，
，
∴，
∴，
∴；
②用等式表示線段，，之間的量關(guān)系是：，證明如下：
在上截取，連接，如圖：

∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
由①知：，
即，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、垂直定義等知識，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)并作出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)三 巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形】
例題：（2022春·上海普陀·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，平分，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于，交于，交的延長線于．
求證：
(1)；
(2)．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)證明，即可得出；
（2）過點(diǎn)C作交于點(diǎn)M，由可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，可得，進(jìn)而得出，再根據(jù)據(jù)證明，得出，等量代換即可得到．
【詳解】（1）證明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴；
（2）證明：過點(diǎn)C作交于點(diǎn)M，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵E是的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等角對等邊，平行線的性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理、性質(zhì)定理及作出合適的輔助線是解此題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022春·河北石家莊·八年級?？计谥校?br>(1)【問題情境】
利用角平分線構(gòu)造全等三角形是常用的方法，如圖1，平分．點(diǎn)A為上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作，垂足為C，延長交于點(diǎn)B，可根據(jù) 證明，則，（即點(diǎn)C為的中點(diǎn)）．
(2)【類比解答】
如圖2，在中，平分 ，于E，若，，通過上述構(gòu)造全等的辦法，可求得 ．
(3)【拓展延伸】
如圖3，中，，，平分，，垂足E在的延長線上，試探究和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
(4)【實(shí)際應(yīng)用】
如圖4是一塊肥沃的三角形土地，其中邊與灌渠相鄰，李伯伯想在這塊地中劃出一塊直角三角形土地進(jìn)行水稻試驗(yàn)，故進(jìn)行如下操作：①用量角器取的角平分線；②過點(diǎn)A作于D．已知，，面積為20，則劃出的的面積是多少？請直接寫出答案．
【答案】(1)
(2)
(3)，證明見解析
(4)的面積是
【分析】（1）證（），得，即可；
（2）延長交于點(diǎn)F，由問題情境可知，，再由等腰三角形的性質(zhì)得，然后由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（3）拓展延伸延長、交于點(diǎn)F，證（），得，再由問題情境可知，，即可得出結(jié)論；
（4）實(shí)際應(yīng)用延長交于E，由問題情境可知，，，則，再由三角形面積關(guān)系得，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴（），
∴，，
故答案為：；
（2）解：如圖2，延長交于點(diǎn)F，
由可知，，
∴，
∵，
∴，
故答案為：；
（3）解：，證明如下：
如圖3，延長、交于點(diǎn)F，
則，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴（），
∴，
由問題情境可知，，
∴；
（4）解：如圖4，延長交于E，
由問題情境可知，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
答：的面積是．
【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線定義以及三角形面積等知識，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．
2．（2023上·江蘇鹽城·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）【情境建模】學(xué)校數(shù)學(xué)社團(tuán)活動時遇到下面一個問題：
如圖1，點(diǎn)在的角平分線上，過點(diǎn)作的垂線分別交、于點(diǎn)、．求證：．請你幫助完成此證明．

【應(yīng)用實(shí)踐】請嘗試直接應(yīng)用“情境建模”中的結(jié)論解決下列問題：
（1）將圖1沿著過點(diǎn)的直線折疊，得到圖2，使點(diǎn)正好與邊上的點(diǎn)重合，此時測得．求的度數(shù)．
（2）如圖3，，平分交于，若，，求邊的長度．
【拓展提升】
（3） 如圖4，是某小區(qū)綠化施工的一塊區(qū)域示意圖，其中，米，米．該綠化帶中修建了健身步道、、、、，其中入口、分別在、上，步道、分別平分和，，．現(xiàn)要用圍欄完全封閉區(qū)域，修建地下排水和地上公益廣告等設(shè)施，試求至少需要圍欄多少米？（步道寬度忽略不計(jì)）

【答案】【情景建模】見解析；（1）；（2）；（3）至少需要圍擋40米．
【分析】情景建模：利用角平分線的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定，求證即可解題．
（1）利用角平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)“等邊對等角”將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，再應(yīng)用第一問的條件和結(jié)論結(jié)合方程即可解題．
（2）延長和相交于點(diǎn)，利用勾股定理和第一問的結(jié)論得出,即可解題．
（3）延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，得三角形全等，利用全等得性質(zhì)，將轉(zhuǎn)化為，再用代數(shù)式表示出、、即可解題．
【詳解】情境建模
證明：點(diǎn)在的角平分線上，
，
由題知，
，
，
，
，
（1）解：點(diǎn)、點(diǎn)關(guān)于直線對稱，
直線垂直平分，
，
，
，
，
又 ，
，
，
，
，
（2）解：延長和相交于點(diǎn)，如圖所示：
，
，
平分，，
，
，
在中，
（3）解：延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，如圖所示：
、分別平分和，，，
由“情境建模”的結(jié)論得：，，
，，
在和中，
，
，
，米，米，
米
設(shè)，，則，，
，，
，，，
，
，
的周長
答：至少需要圍擋40米．
【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理，本題的關(guān)鍵在于靈活應(yīng)用角平分線性質(zhì)結(jié)合全等三角形的性質(zhì)，求解角和邊．

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初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）八年級下冊電子課本

1 等腰三角形

版本： 北師大版（2024）

年級： 八年級下冊

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