第01講 軸對稱圖形與軸對稱的性質(zhì)(9類熱點題型講練) 1.掌握對稱軸的畫法及條數(shù)的確定，體會軸對稱在生活中的應(yīng)用及其豐富的文化價值； 2.掌握軸對稱圖形和兩個圖形成軸對稱的概念； 3.理解軸對稱圖形和兩個圖形成軸對稱的區(qū)別與聯(lián)系. 4.理解軸對稱的性質(zhì)；掌握軸對稱性質(zhì)的綜合應(yīng)用；并認(rèn)識軸對稱中的對應(yīng)線段、對應(yīng)角. 知識點01 軸對稱 1.軸對稱圖形：如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸. 2.軸對稱：如果兩個平面圖形沿一條直線對折后，能夠完全重合，那么稱這兩個圖形成軸對稱，這條直線叫做這兩個圖形的對稱軸. 知識點02 軸對稱圖形 如果一個圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸.軸對稱圖形的性質(zhì)：軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線.要點詮釋： （1）理論依據(jù)：兩點之間線段最短. （2）三邊關(guān)系的應(yīng)用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形．當(dāng)已知三角形兩邊長，可求第三邊長的取值范圍． （3）證明線段之間的不等關(guān)系． 知識點03 軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別和聯(lián)系 要點詮釋: 軸對稱是指兩個圖形的位置關(guān)系，軸對稱圖形是指具有特殊形狀的一個圖形；軸對稱涉及兩個圖形，而軸對稱圖形是對一個圖形來說的.聯(lián)系：如果把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，那么這兩個圖形關(guān)于這條軸對稱；如果把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形． 知識點04 軸對稱圖形的性質(zhì) 性質(zhì)：在軸對稱圖形或兩個成軸對稱的圖形中，對應(yīng)點所連的線段被對稱軸垂直平分，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等. 題型01 軸對稱圖形的識別 【例題】（2024·廣東湛江·一模）第33屆夏季奧運會將于2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行，下列巴黎奧運會項目圖標(biāo)中，軸對稱圖形是（????） A． B．C． D． 【答案】B 【分析】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合． 根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可．據(jù)此逐項判定即可． 【詳解】 解：A、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意； B、是軸對稱圖形，故此選項符合題意； C、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意； D、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意； 故選：B． 【變式訓(xùn)練】 1．（2024·山西大同·一模）“二十四節(jié)氣”是根據(jù)太陽在黃道(即地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道)上的位置來劃分的，是在我國春秋戰(zhàn)國時期訂立的一種用來指導(dǎo)農(nóng)事的補(bǔ)充歷法，下列四幅“二十四節(jié)氣”標(biāo)識圖中，文字上方所設(shè)計的圖案是軸對稱圖案的是（????） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本題考查軸對稱的性質(zhì)，對稱軸兩旁的部分能完全重合的圖形是軸對稱圖形．根據(jù)軸對稱的定義判定即可． 【詳解】解：A．選項中的圖案不是軸對稱圖形，故選項A不符合題意； B． 選項中的圖案是軸對稱圖形，故選項B符合題意； C． 選項中的圖案不是軸對稱圖形，故選項C不符合題意； D． 選項中的圖案不是軸對稱圖形，故選項D不符合題意； 故選：B． 2．（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測）“天有日月，道分陰陽”，從古至今，中國人一直都在追求對稱美．中國傳統(tǒng)圖形比較注重于對稱，其集中體現(xiàn)在文字和建筑、繪畫上，下列圖形、文字為軸對稱圖形的是（????） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 此題主要考查了軸對稱圖形，正確掌握軸對稱圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵． 根據(jù)軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形進(jìn)行分析即可． 【詳解】 解：A、不是軸對稱圖形，不符合題意； B、不是軸對稱圖形，不符合題意； C、是軸對稱圖形，符合題意； D、不是軸對稱圖形，不符合題意． 故選：C． 題型02 畫對稱軸 【例題】（22-23八年級上·江西贛州·期中）用三角尺分別畫出下列圖形的對稱軸． 【答案】見解析 【分析】根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)作圖即可求解． 【詳解】解：圖①、圖②、圖③、圖④即為所求． 【變式訓(xùn)練】 1．（23-24八年級上·全國·課堂例題）如圖所示，畫出它們各自的對稱軸． ?? 【答案】見解析 【分析】根據(jù)幾何圖形的特征分別作出它們的對稱軸． 【詳解】如圖， ?? 【點睛】本題考查了軸對稱圖形的對稱軸，熟練掌握對稱軸的定義是解題的關(guān)鍵． 2．（23-24八年級上·全國·課堂例題）如圖所示，判斷下列圖形是不是軸對稱圖形，如果是，請畫出它們所有的對稱軸． 【答案】圖①②④⑤⑥是軸對稱圖形，見解析 【分析】本題考查了軸對稱圖形； 根據(jù)“如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線叫對稱軸”，進(jìn)行判斷并畫圖即可． 【詳解】解：圖①②④⑤⑥是軸對稱圖形，對稱軸如圖所示： 題型03 求對稱軸條數(shù) 【例題】（23-24八年級上·河北廊坊·階段練習(xí)）如圖是軸對稱圖形，其對稱軸的條數(shù)是（????） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本題考查了軸對稱圖形的對稱軸條數(shù)，先判定是等邊三角形，后確定對稱軸條數(shù)即可． 【詳解】根據(jù)題意，得對稱軸的條數(shù)為3條， 故選C． 【變式訓(xùn)練】 1．（23-24八年級上·河北滄州·階段練習(xí)）下列軸對稱圖形中，對稱軸條數(shù)最少的是（????） A．等邊三角形 B．正方形 C．正八邊形 D．圓 【答案】A 【分析】本題考查了軸對稱的知識，解答本題的關(guān)鍵是分別得出各選項圖形的對稱軸的條數(shù)． 【詳解】解：等邊三角形有3條對稱軸，正方形有4條對稱軸，正八邊形有8條對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸， ∴對稱軸條數(shù)最少的是等邊三角形， 故選A． 2．（23-24八年級上·北京平谷·期末）下列圖形都是軸對稱圖形，其中恰有2條對稱軸的圖形是（???） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本題考查了軸對稱圖形即沿著某條直線折疊直線兩旁的部分完全重合．根據(jù)軸對稱圖形的定義判定即可． 【詳解】解：A、對稱軸是3條，本選項不符合題意； B、對稱軸是4條，本選項符合題意； C、對稱軸是2條，本選項不符合題意； D、對稱軸是6條，本選項不符合題意； 故選：C． 題型04 成軸對稱的兩個圖形的識別 【例題】（23-24八年級上·河南安陽·期中）下列各組圖形中，兩個圖案是軸對稱的有（????） A．①③④ B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】B 【分析】此題考查軸對稱的定義：兩個圖形，沿著一條直線翻折后，去其中的一個圖形與另一個圖形完全重合，則這兩個圖形關(guān)于這條直線成軸對稱，根據(jù)定義依次判斷即可． 【詳解】解：①③是軸對稱，②④不是軸對稱， 故選：B． 【變式訓(xùn)練】 1．（23-24八年級上·天津和平·期中）下列說法中，正確的個數(shù)是（???） （1）軸對稱圖形只有一條對稱軸，（2）軸對稱圖形的對稱軸是一條線段，（3）兩個圖形成軸對稱，這兩個圖形的全等圖形，（4）全等的兩個圖形一定成軸對稱，（5）軸對稱圖形是指一個圖形，而軸對稱是指兩個圖形而言． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本題考查了軸對稱圖形的性質(zhì)，根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)逐個進(jìn)行判斷即可． 【詳解】解：（1）圓是軸對稱圖形，有無數(shù)條對稱軸，故（1）不正確，不符合題意； （2）軸對稱圖形的對稱軸是一條直線，故（2）不正確，不符合題意； （3）兩個圖形成軸對稱，這兩個圖形是全等圖形，故（3）正確，符合題意； （4）全等的兩個圖形不一定成軸對稱，故（4）不正確，不符合題意； （5）軸對稱圖形是指一個圖形，而軸對稱是指兩個圖形而言，故（5）正確，符合題意； 綜上：正確的有（3）（5），共2個， 故選：B． 2．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）下列同類型的每個網(wǎng)格中均有兩個三角形，其中一個三角形可以由另一個進(jìn)行軸對稱變換得到的是（????） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根據(jù)軸對稱的定義：將兩個物體沿一條直線對折完全重合是軸對稱直接判斷即可得到答案； 【詳解】解：由圖形可得， A選項圖形中一個三角形不可以由另一個進(jìn)行軸對稱變換得到， B選項圖形中一個三角形可以由另一個進(jìn)行軸對稱變換得到， C選項圖形中一個三角形不可以由另一個進(jìn)行軸對稱變換得到， D選項圖形中一個三角形不可以由另一個進(jìn)行軸對稱變換得到， 故選：B； 【點睛】本題考查軸對稱的定義：將兩個物體沿一條直線對折完全重合是軸對稱． 題型05 根據(jù)成軸對稱圖形的特征進(jìn)行判斷 【例題】（23-24八年級上·江蘇連云港·階段練習(xí)）如圖，與△關(guān)于直線對稱，交于點O，下列結(jié)論：①；②； ③中，正確的有（　　） A．3個 B．2個 C．1個 D．0個 【答案】A 【分析】本題考查了軸對稱的性質(zhì)與運用等知識點，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)對各選項分析判斷后求解即可，熟記軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 【詳解】∵與關(guān)于直線對稱， ∴ ，，故②③正確， ∴，故①正確， ∴正確的一共有3個， 故選：A． 【變式訓(xùn)練】 1．（23-24八年級上·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，和關(guān)于直線l對稱，點P為直線l上一點，則下列說法中錯誤的是（ ） ?? A． B．l垂直平分 C． D． 【答案】D 【分析】本題考查了軸對稱的性質(zhì)．熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 根據(jù)軸對稱的性質(zhì)對各選項進(jìn)行判斷作答即可． 【詳解】解：由軸對稱的性質(zhì)可知，，l垂直平分，，， ∴A、B、C正確，故不符合要求；D錯誤，故符合要求； 故選：D． 2．（23-24八年級上·福建莆田·期中）與關(guān)于直線對稱，在上，下列結(jié)論中錯誤的是（????） ?? A．是等腰三角形 B．垂直平分， C．與面積相等 D．直線，的交點不在上 【答案】D 【分析】本題考查軸對稱的性質(zhì)與運用，軸對稱圖形對應(yīng)的角、線段都相等，對應(yīng)點的連線與對稱軸的位置關(guān)系是互相垂直，對應(yīng)點所連的線段被對稱軸垂直平分，對稱軸上的任何一點到兩個對應(yīng)點之間的距離相等，據(jù)此解答即可． 【詳解】解：A、∵與關(guān)于直線對稱，在上，∴是的垂直平分線，∴，∴是等腰三角形，故該選項正確； B、∵與關(guān)于直線對稱，∴，是對應(yīng)點連線，∴垂直平分，，故該選項正確； C、∵與關(guān)于直線對稱，∴與面積相等，故該選項正確； D、∵直線，關(guān)于直線對稱，∴直線，的交點在上，故該選項錯誤； 故選：D． 題型06 根據(jù)成軸對稱圖形的特征進(jìn)行求解 【例題】（23-24八年級上·吉林·期中）如圖，和關(guān)于直線對稱，與的交點在直線上． (1)圖中點的對應(yīng)點是點______，的對應(yīng)邊是______； (2)若，，求的度數(shù)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握性質(zhì)，準(zhǔn)確計算． （1）本題考查軸對稱的性質(zhì)，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)解答即可． （2）本題根據(jù)軸對稱性質(zhì)推出，從而得出，最后根據(jù)即可解題． 【詳解】（1）解：由題意可得：圖中點的對應(yīng)點是點，的對應(yīng)邊是， 故答案為：，． （2）解：， ， ， ． 【變式訓(xùn)練】 1．（23-24八年級上·山東菏澤·階段練習(xí)）如圖，與關(guān)于直線對稱，其中，，，． (1)你認(rèn)為點與點有何關(guān)系？連接，則線段與直線有何關(guān)系？ (2)求的度數(shù)； (3)求的周長和面積． 【答案】(1)點與點關(guān)于直線成軸對稱，線段被直線垂直平分 (2) (3)12cm， 【分析】本題考查成軸對稱的性質(zhì)． （1）根據(jù)成軸對稱的性質(zhì)：對應(yīng)點連線被對稱軸垂直平分，作答即可； （2）根據(jù)對應(yīng)角相等，作答即可； （3）根據(jù)對應(yīng)邊相等，進(jìn)行求解即可． 掌握成軸對稱的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵． 【詳解】（1）解：點與點關(guān)于直線成軸對稱，線段被直線垂直平分． （2）因為與關(guān)于直線對稱， 所以， 所以， 因為， 所以． （3）因為與關(guān)于直線對稱， 所以， 所以，， 因為，， 所以，， 又因為， 所以的周長． 因為， 所以的面積． 2．（23-24七年級上·山東東營·期末）如圖，與關(guān)于直線對稱，其中，，，． (1)線段與的關(guān)系是什么？ (2)求的度數(shù)； (3)求的周長 【答案】(1)垂直平分 (2) (3) 【分析】本題考查了軸對稱圖形的性質(zhì)，掌握關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形全等是解題的關(guān)鍵． （1）利用關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形的對稱點的連線被對稱軸垂直平分，得出答案即可； （2）利用關(guān)于某條直線對稱的三角形全等可以得到對應(yīng)角相等，得出答案即可； （3）利用關(guān)于某條直線對稱的三角形全等，對應(yīng)邊相等，計算的周長即可． 【詳解】（1）解：∵與關(guān)于直線對稱， ∴垂直平分； （2）解：∵與關(guān)于直線對稱， ∴， ∴； （3）解：∵與關(guān)于直線對稱， ∴， ∵， ∴， ∴的周長． 題型07 臺球桌面上的對稱軸問題 【例題】（23-24八年級上·山東聊城·期中）數(shù)學(xué)在我們的生活中無處不在，就連小小的臺球桌上都有數(shù)學(xué)問題，如圖所示，，若，為了使白球反彈后能將黑球直接撞入袋中，那么擊打白球時，必須保證為 ． ?? 【答案】 【分析】本題考查了臺球桌上的軸對稱問題，根據(jù)圖形得出的度數(shù)，即可求出的度數(shù)．利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是解題關(guān)鍵． 【詳解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案為： 【變式訓(xùn)練】 1．（23-24八年級上·山東德州·期中）如圖，桌球的桌面上有，兩個球，若要將球射向桌面的一邊，反彈一次后擊中球，則，，，，4個點中，可以反彈擊中球的是 點． 【答案】D 【分析】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)軸對稱的性質(zhì)找到使入射角等于反射角相等的點． 【詳解】解：如圖，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知，可以反彈擊中球的是D點， 故選：D． 題型08 軸對稱中的光線反射問題 【例題】（23-24八年級上·廣西玉林·期末）如圖，兩條平行直線，，從點光源射出的光線射到直線上的點，入射角為，然后反射光線射到直線上的點，當(dāng)這束光線繼續(xù)從點反射出去后，反射光線與直線的夾角度數(shù)為（????） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本題考查軸對稱的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，根據(jù)“入射光線與直線的夾角始終與反射光線與該直線的夾角相等”得到，由平行線的性質(zhì)可得，即可得出結(jié)論．熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 【詳解】解：如圖， ∵從點光源射出的光線射到直線上的點，入射角為，然后反射光線射到直線上的點， ∴， ∵， ∴， ∴當(dāng)這束光線繼續(xù)從點反射出去后，反射光線與直線的夾角度數(shù)為． 故選：A． 【變式訓(xùn)練】 1．（22-23九年級下·河北保定·階段練習(xí)）通過光的反射定律知道，入射光線與反射光線關(guān)于法線成軸對稱（圖1）．在圖2中，光線自點射入，經(jīng)鏡面反射后經(jīng)過的點是（????） A．點 B．點 C．點 D．點 【答案】B 【分析】根據(jù)直線的性質(zhì)畫出被遮住的部分，再根據(jù)入射角等于反射角作出判斷即可． 【詳解】根據(jù)直線的性質(zhì)補(bǔ)全圖2并作出法線，如下圖所示： 根據(jù)圖形可以看出是反射光線， 故選：B． 【點睛】本題主要考查軸對稱的性質(zhì)，垂線的畫法，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得相等的角是補(bǔ)全光線的關(guān)鍵． 2．（2022·浙江臺州·一模）根據(jù)光學(xué)中平面鏡光線反射原理，入射光線、反射光線與平面鏡所夾的角相等．如圖，是兩面互相平行的平面鏡，一束光線m通過鏡面反射后的光線為n，再通過鏡面β反射后的光線為k．光線m與鏡面的夾角的度數(shù)為，光線n與光線k的夾角的度數(shù)為．則x與y之間的數(shù)量關(guān)系是 ． 【答案】 【分析】根據(jù)平面鏡光線反射原理和平行線性質(zhì)即可求得． 【詳解】解：∵入射光線、反射光線與平面鏡所夾的角相等， ∴反射后的光線n 與鏡面夾角度數(shù)為， ∵是兩面互相平行的平面鏡， ∴反射后的光線n 與鏡面夾角度數(shù)也為， 又由入射光線、反射光線與平面鏡所夾的角相等， ∴反射后的光線k與鏡面的夾角度數(shù)也為， ， ． 故答案為：． 【點睛】本題考查了平面鏡光線反射原理和平行線性質(zhì)，掌握反射光線與平面鏡所夾的角相等以及兩直線平行內(nèi)錯角相等是解題的關(guān)鍵． 題型09 折疊問題 【例題】（23-24七年級上·江西贛州·期末）如圖，長方形紙片，點分別在邊上，連接，將對折，點落在直線上的點處，得到折痕；將對折，點落在直線的處，得到折痕． (1)若 ，的余角有 ； (2)若 ，說明理由． 【答案】(1)；和； (2) 【分析】本題考查折疊的性質(zhì)，角的和差，掌握幾何圖形中角的和差計算是解題的關(guān)鍵． （1）根據(jù)折疊可以得到，，然后求出可以得到的度數(shù)，然后得到的余角即可； （2）根據(jù)折疊可以得到，，然后根據(jù)角的和差得到結(jié)論即可． 【詳解】（1）解：由折疊可得：，， ∴， ∴， ∴， ∴的余角有和； （2）解：，理由為： 由折疊可得：，， ∴ 【變式訓(xùn)練】 1．（23-24七年級下·河北石家莊·階段練習(xí)）有一條長方形紙帶，將紙帶沿折疊，如圖所示，則折疊后的度數(shù)是 . 【答案】/150度 【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖，理清翻折前后重疊的角是解題的關(guān)鍵．由平行得，求出，進(jìn)而求出結(jié)論． 【詳解】解：由題意得：，， ， ， ， ， 故答案為：． 2．（23-24七年級上·浙江杭州·期末）綜合與實踐：利用折紙可以作出相等的角．如圖，有長方形紙片，在上取一點O，以為折痕翻折紙片，點B落在點，以為折痕翻折紙片，點A落在點，分別連接． (1)根據(jù)題意，____________，____________． (2)記． ①如圖1，若點恰好落在上，求的度數(shù)． ②如圖2，折疊后的紙片間出現(xiàn)縫隙，點在的外側(cè)，求的度數(shù)（用含有的代數(shù)式表示）． ③如圖3，折疊后的紙片間出現(xiàn)重疊，點在的內(nèi)部，求的度數(shù)（用含有的代數(shù)式表示）． 【答案】(1)，； (2)①；②，③． 【分析】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)，角的和差運算，平角的定義，熟記軸對稱的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵； （1）由軸對稱的性質(zhì)可得答案； （2）①由，，結(jié)合，可得，從而可得答案；②由，，可得；③由，，結(jié)合，可得答案． 【詳解】（1）解：由折疊可得： ，； （2）①如圖，由折疊可得：，， 又， ， ， ②如圖， ∵， ∴，， ∴； ③如圖， ∵， ∴，， ∴， ∴． 一、單選題 1．（2023·甘肅定西·二模）“致中和，天地位焉，萬物育焉．”對稱美是我國古人和諧平衡思想的體現(xiàn)，常被運用于建筑、器物、繪畫、標(biāo)識等作品的設(shè)計上，使對稱之美驚艷了千年的時光．在下列簡圖中，不是軸對稱圖形的是（????） A．B． C．D． 【答案】C 【分析】 本題考查的是軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可． 【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不符合題意； B、是軸對稱圖形，不符合題意； C、不是軸對稱圖形，符合題意； D、是軸對稱圖形，不符合題意． 故選：C． 2．（2023八年級上·江蘇·專題練習(xí)）如圖是一個臺球桌面的示意圖，圖中四個角上的陰影部分分別表示四個入球孔．若一個球按圖中所示的方向被擊出（球可以經(jīng)過多次反射），則該球最后將落入的球袋是（????） ?? A．1號袋 B．2號袋 C．3號袋 D．4號袋 【答案】B 【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，由軸對稱的性質(zhì)判定正確選項． 【詳解】解：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知，臺球走過的路徑為： ?? 該球最后落入2號袋． 故選：B． 【點睛】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)．軸對稱的性質(zhì)：（1）對應(yīng)點所連的線段被對稱軸垂直平分；（2）對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等．注意結(jié)合圖形解題的思想；嚴(yán)格按軸對稱畫圖是正確解答本題的關(guān)鍵． 3．（23-24八年級上·四川南充·期末）如圖，與關(guān)于直線l對稱，連接，，，其中分別交，于點D，，下列結(jié)論：①；②；③直線l垂直平分；④直線與的交點不一定在直線l上．其中正確的是（????） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)，熟知如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線是解題的關(guān)鍵． 根據(jù)軸對稱的性質(zhì)對各結(jié)論進(jìn)行逐一分析即可． 【詳解】解：和關(guān)于直線對稱， ，故①正確， 和關(guān)于直線對稱，點D與點關(guān)于直線對稱的對稱點， ，故②正確； 和關(guān)于直線對稱， 線段、、被直線垂直平分， 直線垂直平分，故③正確； 和關(guān)于直線對稱， 線段、所在直線的交點一定在直線上，故④錯誤， ∴正確的有①②③， 故選：A． 4．（23-24八年級上·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，射線與射線平行，點在射線上，，（為常數(shù)，且），為射線上的一動點（不包括端點），將沿翻折得到，連接，則最大時，的度數(shù)為（　?。? A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本題考查了折疊性質(zhì)，平行線的性質(zhì)．由于為定值，所以當(dāng)點在上時，點到點的距離最大，即可求出答案． 【詳解】解：，， ， 由折疊性質(zhì)知，， 的長度為定值， 當(dāng)點在上時，點到點的距離最大，如圖， 由折疊知，， ， ， 故選：D． 5．（22-23七年級上·河北石家莊·期末）按如圖的方法折紙，下列說法不正確的是（????） A．與互余 B． C．與互補(bǔ) D．平分 【答案】D 【分析】本題考查了圖形的翻折變換，余角，補(bǔ)角的定義，掌握圖形的翻折變換的特征是解決問題的關(guān)鍵．利用折疊的性質(zhì)及余角和補(bǔ)角的定義進(jìn)行分析即可判斷． 【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，，， ∵， ∴，即，故A不符合題意； ∴，故B不符合題意，D符合題意； ∵，故C不符合題意． 故選：D． 二、填空題 6．（23-24八年級上·河北廊坊·期中）某車標(biāo)是一個軸對稱圖形，有 條對稱軸 【答案】3 【分析】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)及軸對稱圖形的判斷．根據(jù)軸對稱圖形的概念識別和等邊三角性質(zhì)的性質(zhì)回答即可． 【詳解】解：如圖， ?? 此車標(biāo)有3條對稱軸． 故答案為：3． 7．（23-24八年級上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·階段練習(xí)）如圖，在中，點是邊上的一點，，，將沿折疊得到，與交于點．則的度數(shù)是 ． 【答案】 【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理以及外角的性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，可得，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，進(jìn)而得到，再利用三角形的內(nèi)角和定理求解即可． 【詳解】由折疊得：，， ， ， ， ， ， 故答案為：． 8．（23-24八年級上·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·階段練習(xí)）如圖，已知點是內(nèi)任意一點，點、關(guān)于對稱，點、關(guān)于對稱，連接，分別交，于，，連接，．若，則的周長是 ． 【答案】10 【分析】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握對稱軸上的點到對應(yīng)點的距離相等．根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出，，即可解答． 【詳解】解：∵點、關(guān)于對稱，點、關(guān)于對稱， ∴，， ∵， ∴的周長， 故答案為：10． 9．（23-24八年級下·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）如圖，三角形紙片，點是邊上一點，連接，把沿著翻折，得到，與交于點，連接交于點，若，，，的面積為2，則的長為 . ?? 【答案】1 【分析】本題考查翻折變換，三角形的面積等知識，求出的面積的解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形的面積公式求出即可． 【詳解】解：∵，的面積為2， ∴， ∴， 由翻折可知，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案為：1． 10．（23-24七年級上·河南鄭州·階段練習(xí)）有一無彈性細(xì)線，拉直時測得細(xì)線 長為 ，現(xiàn)進(jìn)行如下操作：1． 在細(xì)線上任取一點；2． 將細(xì)線折疊，使點 與點 重合，記折點為點 ；3．將細(xì)線折疊，使點 與點 重合，記折點為點 ． 繼續(xù)進(jìn)行折疊，使點 與點 重合，并把 點和與其重疊的 點處的細(xì)線剪開，使細(xì)線分成長為 的三段，當(dāng) ，則細(xì)線未剪開時 的長為 ． 【答案】2或/6或2 【分析】本題主要考查了線段中點的計算，根據(jù)條件得出線段之間的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)條件得到，分兩種情況：當(dāng)時以及當(dāng)時討論即可． 【詳解】解：，細(xì)線剪開后分成三段， ， 當(dāng)時，， ， ， ， ， ； 當(dāng)時，， ， ， ， ， ． 故答案為：或． 三、解答題 11．（23-24六年級上·黑龍江大慶·階段練習(xí)）畫出下列圖形中所有的對稱軸 ?? 【答案】見解析 【分析】根據(jù)對稱軸的定義解答即可． 【詳解】解：如圖， ?? 【點睛】本題考查了軸對稱圖形的定義，熟練掌握軸對稱圖形的定義是解答本題的關(guān)鍵．如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分能夠互相重合，那么這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸． 12．（23-24八年級上·山東濱州·期末）如圖，小河邊有兩個村莊A，B，要在河邊上建一自來水廠向A村與B村供水，若要使水廠到A，B村的水管（同樣的料）用料最省，則水廠應(yīng)建在什么位置？ (1)請利用尺規(guī)作圖的方法找出水廠應(yīng)建位置（保留作圖痕跡）； (2)請根據(jù)畫法寫出每一步的詳細(xì)作圖步驟； (3)請根據(jù)畫法證明你的結(jié)論． 【答案】(1)見解析 (2)見解析 (3)見解析 【分析】本題考查了學(xué)生利用軸對稱求最短路徑， （1）利用軸對稱求最短路線的方法即可得出； （2）作A點關(guān)于直線的對稱點，再連接交于點N，點N即為所求； （3）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得，根據(jù)兩點之間，線段最短即可證明． 【詳解】（1）解： （2）解：作A點關(guān)于直線的對稱點，再連接交于點N，點N即為所求． （3）證明：∵A點關(guān)于直線的對稱點是， ∴， ∴（兩點之間，線段最短） 13．（23-24八年級上·全國·課堂例題）如圖所示，是由經(jīng)軸對稱變換得到的，對稱軸為直線． ?? (1)與全等嗎？全等的兩個三角形一定能經(jīng)軸對稱變換互相得到嗎？ (2)分別找出點、點關(guān)于直線l的對稱點，如果點在內(nèi)，那么點關(guān)于直線的對稱點一定在內(nèi)嗎？ (3)連接，線段與直線有怎樣的關(guān)系？ 【答案】(1)與全等，全等的兩個三角形不一定能經(jīng)軸對稱變換互相得到 (2)點關(guān)于直線的對稱點一定在內(nèi) (3)線段被直線垂直平分 【分析】本題考查軸對稱、全等三角形的判定，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵． （1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可得出答案，全等三角形不一定是軸對稱圖形，畫出反例圖形即可； （2）畫圖予以說明即可； （3）運用軸對稱的性質(zhì)即可得出答案． 【詳解】（1）解：與全等，全等的兩個三角形不一定能經(jīng)軸對稱變換互相得到，這要看這兩個三角形的位置關(guān)系， 理由如下： 是由經(jīng)軸對稱變換得到的， ， 如圖，，但和不是軸對稱的關(guān)系， ??； （2）解：點、點關(guān)于直線的對稱點分別是點、點；如果點在內(nèi)，那么點關(guān)于直線的對稱點一定在內(nèi)， 如圖， ??； （3）解：線段被直線垂直平分， 理由如下： 如圖，設(shè)直線交直線于， ??， 與關(guān)于直線對稱， 點，是對稱點， 將沿直線折疊后，點與點重合，則有，， 線段被直線垂直平分． 14．（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）圖①是一張長方形的紙帶，將這張紙帶沿折疊成圖②，再沿折疊成圖③． ?? (1)若，請你求出圖③中的度數(shù)； (2)若，請你直接用含α的式子表示圖③中的度數(shù)． 【答案】(1) (2) 【分析】 本題主要考查了平行線的性質(zhì)，折疊額性質(zhì)： （1）在圖①中先由兩直線平行，內(nèi)錯角線段得到，則由平角的定義可得，再在圖②中求出，進(jìn)而在圖③中得到，則． （2）仿照（1）求解即可． 【詳解】（1）解：在圖①中，∵，， ∴， ∴， 在圖②中，， 在圖③中，由折疊的性質(zhì)得：， ∴， （2）解：在圖①中， ∵，， ∴， ∴， 在圖②中，， 在圖③中，由折疊的性質(zhì)得：， ∴， 15．（21-22七年級下·貴州六盤水·期末）如圖，和關(guān)于直線對稱，與的交點在直線上． (1)圖中點的對應(yīng)點是點 ，的對應(yīng)角是 ； (2)若，，則的長為 ； (3)若，，求的度數(shù)． 【答案】(1)E， (2)3 (3) 【分析】本題主要考查了軸對稱，成軸對稱的兩個圖形的全等性： （1）觀察圖形可直接得出答案； （2）根據(jù)成軸對稱的兩個圖形的全等性可得，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可求解； （3）根據(jù)，，推出，根據(jù)對稱性得到，推出． 【詳解】（1）解：∵和關(guān)于直線對稱， ∴圖中點C的對應(yīng)點是點E，的對應(yīng)角是； 故答案為：E，． （2）解：∵和關(guān)于直線對稱， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案為：3． （3）解：∵，， ∴， 根據(jù)對稱性知，， ∴． 16．（23-24八年級上·河南周口·階段練習(xí)）已知點P在內(nèi)． ?? (1)如圖①，點P關(guān)于射線的對稱點分別是G、H，連接． ①若，則是什么特殊三角形？為什么？ ②若，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由； (2)如圖②，若， A、B分別是射線上的點，于點B，點P、Q分別為上的兩個定點，且，，在上有一動點E，試求的最小值． 【答案】(1)①是等邊三角形，理由見解析；②，理由見解析 (2)的最小值為5． 【分析】（1）①由軸對稱的性質(zhì)可得，，．根據(jù)“有一個角是的等腰三角形是等邊三角形”即可得出是等邊三角形；②當(dāng)時，，G、O、H在同一直線上，由此可得與的數(shù)量關(guān)系； （2）過Q作的對稱點，連接，交于點E，連接，則的最小值為，由已知條件可得，易得，，由此可得是等邊三角形，即可得的長，即的最小值． 【詳解】（1）解：①是等邊三角形， ∵點P關(guān)于對稱的點為G， ∴，， 同理，， ∴， ∵， ∴， ∴是等邊三角形． ②， 當(dāng)時，， ∴G、O、H在同一直線上，． ∵， ∴； （2）解：過Q作的對稱點，連接，交于點E，連接， ?? ∴ 最小值為． ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵點Q與關(guān)于對稱， ∴， ∴， ∴是等邊三角形， ∴， 即的最小值為5． 【點睛】本題主要考查了軸對稱--最短路線問題，軸對稱的性質(zhì)和等邊三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握軸對稱的性質(zhì)及等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟悉“將軍飲馬”模型是解題的關(guān)鍵．

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