2 簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱圖形 第3課時(shí) 角平分線的性質(zhì) 教學(xué)內(nèi)容第3課時(shí) 角平分線的性質(zhì) 課時(shí)1核心素養(yǎng)目標(biāo)從日常生活的常識(shí)，提煉出里面的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和歸納總結(jié)的能力。 根據(jù)折疊的性質(zhì)，由具體的客觀事實(shí)，轉(zhuǎn)化成抽象的猜想證明，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思維解決問(wèn)題的方法。 通過(guò)對(duì)角的平分線的學(xué)習(xí)，在經(jīng)歷猜想、驗(yàn)證、歸納的學(xué)習(xí)過(guò)程中，體會(huì)歸納的數(shù)學(xué)思想方法，逐步養(yǎng)成用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)與交流的習(xí)慣，感悟數(shù)據(jù)的意義與價(jià)值。知識(shí)目標(biāo)1.會(huì)用尺規(guī)作一個(gè)角的平分線，知道作法的合理性； 2.探索并證明角的平分線的性質(zhì)； 3.能用角的平分線的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單問(wèn)題。教學(xué)重點(diǎn)探索并證明角的平分線的性質(zhì)。教學(xué)難點(diǎn)能用角的平分線的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單問(wèn)題。教學(xué)準(zhǔn)備課件教學(xué)過(guò)程主要師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖一、情境導(dǎo)入 二、探究新知 當(dāng)堂練習(xí)，鞏固所學(xué) 創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新知 你發(fā)現(xiàn)了什么圖形？ 師生活動(dòng)：教師通過(guò)放映PPT展示角在生活中的應(yīng)用。 小組合作，探究概念和性質(zhì) 知識(shí)點(diǎn)一：角的軸對(duì)稱性 提問(wèn)：角是生活中常見(jiàn)的圖形，角是軸對(duì)稱圖形嗎？ 預(yù)設(shè)回答：是。 追問(wèn)：請(qǐng)指出它的對(duì)稱軸。 師生活動(dòng)：學(xué)生下獨(dú)立思考，再相互交流。教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)： 角是軸對(duì)稱圖形，角平分線所在的直線是它的對(duì)稱軸。 知識(shí)點(diǎn)二：角平分線的性質(zhì) 思考·交流 如圖，OP是∠AOB的平分線，點(diǎn)C是OP上的任意一點(diǎn)。在∠AOB的兩邊上畫(huà)出以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)D和D'，連接CD和CD'。 （1）你認(rèn)為線段CD和CD'之間有什么關(guān)系?說(shuō)說(shuō)你的理由。 師生活動(dòng)：學(xué)生通過(guò)測(cè)量可得CD=CD'。 （2）特別地，當(dāng)CD⊥OA時(shí)（如圖），CD'與OB有怎樣的位置關(guān)系？為什么？此時(shí)，線段CD和CD'之間還有（1）中的關(guān)系嗎？由此你能得到什么結(jié)論? 師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，然后小組討論，得出結(jié)論：CD'⊥OB。 教師總結(jié)： 角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。 思考·交流 如圖，已知∠AOB，如何作出它的平分線？ 師生活動(dòng)：讓學(xué)生先思考，小組間交流作法。 假設(shè)∠AOB的平分線已作出，請(qǐng)回答下列問(wèn)題： （1）這條射線有什么特征? 預(yù)設(shè)學(xué)生回答：這條射線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。 （2）如何確定這條射線上除端點(diǎn)之外的一個(gè)點(diǎn)?用三角尺、量角器、圓規(guī)等工具試一試。如果只用尺規(guī)呢? 師生活動(dòng)：讓學(xué)生先用三角尺、量角器、圓規(guī)等工具畫(huà)一畫(huà)，可讓學(xué)生上臺(tái)演示。然后讓學(xué)生思考，如果只用尺規(guī)呢？相互交流。 典例精析 例 如圖，已知∠AOB，請(qǐng)用尺規(guī)作∠AOB的平分線。 師生活動(dòng)：學(xué)生思考，學(xué)生代表發(fā)言說(shuō)明作圖過(guò)程，教師通過(guò)PPT或者教具操作展示如下： 作法： 1.在OA和OB上分別截取OM，ON，使OD=OE。 2.分別以點(diǎn)M，N為圓心，以大于 eq \f(1,2)MN的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)相交于點(diǎn)C。 3.作射線OC。 射線OC就是∠AOB的平分線。 思考·交流 過(guò)直線上一點(diǎn)作已知直線的垂線與作一個(gè)平角的平分線，這兩種尺規(guī)作圖方法有什么共同點(diǎn)? 師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立思考再交流，引導(dǎo)學(xué)生明確，這兩種作法實(shí)質(zhì)上是一致的。 回顧·反思 回顧探究等腰三角形、線段、角的性質(zhì)的過(guò)程，你運(yùn)用了那些方法，積累了哪些經(jīng)驗(yàn)？ 師生活動(dòng)：學(xué)生小組間積極交流，教師巡視，最后師生一起總結(jié)。 想一想 如圖所示，在Rt△ABC中，BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB，垂足為E。 DE與DC相等嗎？為什么？ 師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，學(xué)生代表發(fā)言，教師給予評(píng)價(jià)并整理為板書(shū)： 解：DE與DC相等。 因?yàn)樯渚€BD是∠ABC的平分線，點(diǎn)D到角兩邊BA，BC的距離分別是線段DE，DC的長(zhǎng)， 所以 DE = DC。 變式：如圖，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于點(diǎn)P，若PC＝4，AB＝14。 (1) 則點(diǎn)P到AB的距離為_(kāi)____； (2) 求△APB的面積。 師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，教師溫馨提示：存在一條垂線段——構(gòu)造應(yīng)用。 預(yù)測(cè)學(xué)生能在教師提示下想到方法 解：由角平分線的性質(zhì)知PD = PC = 4， 故  eq \f(1,2)AB·PD = 28。 教師引導(dǎo)學(xué)生回憶上述問(wèn)題的思路并總結(jié)。 歸納總結(jié) 針對(duì)訓(xùn)練 1. 如圖，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分別是E，F(xiàn)，若∠EDB =∠FDB = 60°，則∠EBF = °，BE = 。 師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，學(xué)生代表發(fā)言，教師給予適當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)。 2. △ABC中，∠C = 90°，AD平分∠CAB，且BC = 8，BD = 5，則點(diǎn)D到AB的距離是 。 師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考與畫(huà)圖，學(xué)生代表回答，教師引導(dǎo)學(xué)生代表敘述思路并給予適當(dāng)評(píng)價(jià)。 3.用尺規(guī)作圖作一個(gè)已知角的平分線的示意圖如圖所示，則能說(shuō)明∠AOC =∠BOC的依據(jù)是（ ） A. SSS B. ASA C. AAS D. 角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等 師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，學(xué)生代表回答，教師引導(dǎo)學(xué)生代表敘述思路并給予適當(dāng)評(píng)價(jià)。 4. 如圖，AD 是△ABC 的角平分線，DE⊥AB，垂足為 E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，則 AC 的長(zhǎng)是 (　　) A．6 B．5 C．4 D．3 師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，教師請(qǐng)學(xué)生代表回答，引導(dǎo)學(xué)生敘述思路并整理板書(shū)： 解析：過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于F， 因?yàn)锳D是△ABC的角平分線，DE⊥AB， 所以DF＝DE＝2。 S△ABC＝ eq \f(1,2)×4×2 +  eq \f(1,2)·AC×2＝7，解得AC＝3。 教師引導(dǎo)學(xué)生方法總結(jié) 方法總結(jié)：利用角平分線的性質(zhì)作輔助線構(gòu)造三角形的高，再利用三角形面積公式求出線段長(zhǎng)度是常用的方法。 當(dāng)堂練習(xí)，鞏固所學(xué) 1. 如圖，D是∠ACG的平分線上的一點(diǎn)．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分別為E，F(xiàn)。試說(shuō)明：CE＝CF。 設(shè)計(jì)意圖：用實(shí)際生活中的景物導(dǎo)入，吸引學(xué)生的注意力的同時(shí)，感悟數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際生活中的應(yīng)用。 設(shè)計(jì)意圖：由于角的兩邊是射線，圖形具有一定的抽象性，建議讓學(xué)生充分討論“角是否是軸對(duì)稱圖形”的問(wèn)題，關(guān)注學(xué)生是否能將直觀與想象相結(jié)合。學(xué)生在回答“角是軸對(duì)稱圖形”后，建議要求進(jìn)一步說(shuō)明角的對(duì)稱軸的特點(diǎn)。 設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)直接測(cè)量得到角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。 教學(xué)中應(yīng)讓學(xué)生經(jīng)歷這一活動(dòng)過(guò)程，并把活動(dòng)和思考結(jié)合起來(lái)，以加深對(duì)角平分線性質(zhì)的理解，同時(shí)積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。 設(shè)計(jì)意圖：驗(yàn)證結(jié)論，將學(xué)生的感性認(rèn)知上升為理性認(rèn)知，培養(yǎng)學(xué)生邏輯思考能力。 設(shè)計(jì)意圖：尺規(guī)作圖不要求學(xué)生寫(xiě)作法，但學(xué)生應(yīng)能說(shuō)明其中的道理，即以操作和理解為主，提高學(xué)生作圖能力以及語(yǔ)言表達(dá)能力。 設(shè)計(jì)意圖：強(qiáng)化學(xué)生對(duì)角平分線的性質(zhì)的理解與應(yīng)用。 設(shè)計(jì)意圖：變式加大難度，提升學(xué)生的解題技巧，讓學(xué)生學(xué)會(huì)逆向思維，鍛煉學(xué)生的思考能力。 設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)歸納，幫學(xué)生理清思路，更好的把握不同題目中條件與思路的共性。 設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生對(duì)角的平分線性質(zhì)的掌握。 設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單運(yùn)算的能力。 設(shè)計(jì)意圖：將本節(jié)課知識(shí)與之前學(xué)過(guò)的全等的知識(shí)相結(jié)合，綜合考察學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握。 設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固角平分線的性質(zhì)，通過(guò)說(shuō)理分析提高學(xué)生的思維能力與語(yǔ)言表達(dá)能力。 設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生對(duì)角平分線的性質(zhì)的掌握與應(yīng)用情況。 板書(shū)設(shè)計(jì)角平分線的性質(zhì) 角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。 常見(jiàn)輔助線：作垂線段課后小結(jié)教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容，梳理知識(shí)框架。 教學(xué)反思本課時(shí)探索角的軸對(duì)稱性。 本課教學(xué)設(shè)計(jì)較好地體現(xiàn)了“教為主導(dǎo)， 學(xué)為主體，探索為主線，思維為核心”的教學(xué)理念：學(xué)生通過(guò)自己動(dòng)手動(dòng)腦，得到不同的折疊、剪紙、驗(yàn)證的辦法，拓展了探究思路，學(xué)生在驗(yàn)證自己結(jié)論的同時(shí)培養(yǎng)了反思、修正、歸納的能力；在描述探究結(jié)果的過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)有條理的語(yǔ)言表達(dá)，進(jìn)一步提高了數(shù)學(xué)語(yǔ)言的運(yùn)用能力，為八年級(jí)的推理和嚴(yán)格證明打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

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初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）七年級(jí)下冊(cè)電子課本 舊教材

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