第05講 解題技巧專題：利用等腰三角形的'三線合一'作輔助線與構(gòu)造等腰三角形的解題技巧(6類熱點(diǎn)題型講練) 目錄 TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc17578" 【考點(diǎn)一 等腰三角形中底邊有中點(diǎn)時(shí)，連中線】  PAGEREF _Toc17578 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc11251" 【考點(diǎn)二 等腰三角形中底邊無(wú)中點(diǎn)時(shí)，作高】  PAGEREF _Toc11251 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc21900" 【考點(diǎn)三 利用平行線+角平分線構(gòu)造等腰三角形】  PAGEREF _Toc21900 \h 12  HYPERLINK \l "_Toc17365" 【考點(diǎn)四 過(guò)腰或底作平行線構(gòu)造等腰(邊)三角形】  PAGEREF _Toc17365 \h 15  HYPERLINK \l "_Toc23404" 【考點(diǎn)五 巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形】  PAGEREF _Toc23404 \h 24  HYPERLINK \l "_Toc16966" 【考點(diǎn)六 利用倍角關(guān)系構(gòu)造新等腰三角形】  PAGEREF _Toc16966 \h 29  【考點(diǎn)一 等腰三角形中底邊有中點(diǎn)時(shí)，連中線】 例題：（2023上·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，D為的中點(diǎn)，于E． (1)求的度數(shù)； (2)若，求的長(zhǎng)． 【答案】(1) (2) 【分析】本題考查了等腰三角形的“三線合一”，含角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)， （1）連接，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”即可作答； （2）根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)即可作答． 【詳解】（1）連接， ∵，， ∴，平分， ∴，， ∵于E， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， 在中，， ∴， 在中，，， ∴， 則． 【變式訓(xùn)練】 1．（2023上·北京·八年級(jí)期末）如圖，在中，，D是的中點(diǎn)，過(guò)A作，且．求證： (1)； (2)． 【答案】(1)見解析 (2)見解析 【分析】（1）連接，利用等腰三角形“三線合一"的性質(zhì)得，再利用平行線的性質(zhì)得，從而說(shuō)明垂直平分，則有； （2）利用等角的余角相等，再利用證明，從而證明結(jié)論． 【詳解】（1）證明：連接AD， ，點(diǎn)為的中點(diǎn)， ， ， ， ， ， ， 垂直平分， ∴； （2） 在和中， 【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形“三線合一"的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 2．（2023上·遼寧葫蘆島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，D為線段的中點(diǎn)，且． ???? (1)求證：． (2)若，，求的長(zhǎng)． 【答案】(1)見解析 (2)6 【分析】（1）連接，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，證明，根據(jù)等腰三角形的三線合一證明結(jié)論； （2）證明為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答即可． 【詳解】（1）證明：連接， ???? 是的垂直平分線， ， ， ， 是等腰三角形， 為線段的中點(diǎn)， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， 為等邊三角形， ， ， ． 【點(diǎn)睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握等腰三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵． 3．（2023上·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知中，，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別在直線上運(yùn)動(dòng)，且始終保持． (1)如圖①，若點(diǎn)分別在線段上，與相等且與垂直嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由； (2)如圖②，若點(diǎn)分別在線段的延長(zhǎng)線上，（1）中的結(jié)論是否依然成立？說(shuō)明理由． 【答案】(1)且，見解析 (2)成立，見解析 【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到和，再證明，利用全等三角形的性質(zhì)即可求解； （2）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到和，再證明，利用全等三角形的性質(zhì)即可求解． 【詳解】（1）且，理由是： 如圖①，連接， ∵，，D為中點(diǎn)， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）若點(diǎn)分別在線段，的延長(zhǎng)線上，（1）中的結(jié)論依然成立，如圖②，連接，理由如下： ∵，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)， ∴， ∴， 在和中， ∴； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形． 【考點(diǎn)二 等腰三角形中底邊無(wú)中點(diǎn)時(shí)，作高】 例題：（2023上·福建廈門·八年級(jí)廈門一中?？计谥校┤鐖D，已知，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)在邊上，，若，求的長(zhǎng)． ?? 【答案】2 【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)．作交于，由等腰三角形的性質(zhì)可得，由含角的直角三角形的性質(zhì)得出，計(jì)算出即可得到答案．熟練掌握等腰三角形的三線合一以及直角三角形中所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半是解此題的關(guān)鍵． 【詳解】解：如圖，作交于， ??， ，， ， 在中，，，， ， ， ， ， ． 【變式訓(xùn)練】 1．（2023上·河南省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)校聯(lián)考期末）在中，點(diǎn)是邊上的兩點(diǎn)． ?? (1)如圖1，若，．求證：； (2)如圖2，若，，設(shè)，． ①猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由； ②在①的條件下，，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)． 【答案】(1)見解析 (2)①；② 【分析】（1）過(guò)A作于F，根據(jù)三線合一得到，，利用線段的和差可得結(jié)果； （2）①根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和求出，再根據(jù)，整理可得結(jié)果；②根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和求出，再根據(jù)，代入化簡(jiǎn)可得結(jié)果． 【詳解】（1）解：如圖，過(guò)A作于F， ∵，， ∴，， ∴，即； ?? （2）①猜想：，理由是： ∵，， ∴， ∵，， ∴，即， 整理得：； ②∵， ∴， ∵， ∴ ． 【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和，角的和差計(jì)算，解題的關(guān)鍵是利用這些性質(zhì)找出角的關(guān)系． 2．（2023上·河南商丘·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在中，，過(guò)點(diǎn)C作射線，使（點(diǎn)與點(diǎn)B在直線的異側(cè)）點(diǎn)D是射線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），點(diǎn)E在線段上，且． ?? (1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，與的位置關(guān)系是 ，若，則的長(zhǎng)為 ；（用含a的式子表示） (2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合時(shí)，連接． ①用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明； ②用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明． 【答案】(1)互相垂直； (2)①，證明見解析；②，證明見解析 【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得與的位置關(guān)系是互相垂直，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)M，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得到，利用證明，根據(jù)全等三角形性質(zhì)即可得出； （2）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合時(shí)，①過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)M、于點(diǎn)N，利用證明，根據(jù)全等三角形性質(zhì)即可得到； ②在上截取，連接，利用證明，根據(jù)全等三角形性質(zhì)得到，，根據(jù)角的和差得到，再利用證明，根據(jù)全等三角形性質(zhì)及線段和差即可得到． 【詳解】（1）解：當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，， ∵， ∴， ∴，???? ∴， 即與的位置關(guān)系是互相垂直， 若，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)M，如圖： ?? 則， ∵， ∴， 在與中， ∴， ∴， 即的長(zhǎng)為， 故答案為：互相垂直；； （2）解：①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合時(shí)，用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系是：，證明如下： 過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)M、于點(diǎn)N，如圖：???? ?? 則， ∴， ∵， 即， ∴， ∵，， ∴， 在與中， ， ∴， ∴， ∴； ②用等式表示線段，，之間的量關(guān)系是：，證明如下： 在上截取，連接，如圖：???? ?? ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 由①知：， 即， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，???? ∴， ∴． 【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、垂直定義等知識(shí)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)并作出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵． 【考點(diǎn)三 利用平行線+角平分線構(gòu)造等腰三角形】 例題：（2024上·北京西城·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，平分，，是的中點(diǎn)． ?? (1)求證：是等腰三角形 (2)若，求的度數(shù)． 【答案】(1)見解析 (2) 【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟記相關(guān)定理內(nèi)容是解題關(guān)鍵． （1）由角平分線的定義得，由得即可求證； （2）先求出，根據(jù)“三線合一”得，即可求解． 【詳解】（1）證明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴由（1）得： ∵是等腰三角形，是的中點(diǎn)． ∴ ∴． 【變式訓(xùn)練】 1．（2024下·湖南株洲·八年級(jí)?？计谀┮阎谥校钠椒志€交于點(diǎn)，． (1)如圖1，求證：是等腰三角形； (2)如圖2，若平分交于，，在邊上取點(diǎn)使，若，求的長(zhǎng)． 【答案】(1)見解析 (2)4 【分析】本題考查角平分線、平行線的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系，掌握角平分線的定義，平行線的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵． （1）根據(jù)角平分線的定義得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出，根據(jù)等腰三角形的判定即可得出答案； （2）利用角平分線的定義、平行線性質(zhì)得出，進(jìn)而得出，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而可得出答案． 【詳解】（1）證明：是的平分線， ， ， ， ， ， 即是等腰三角形； （2）解：，， ， 又平分， ， 由（1）可知，， ， ， ， 在中，，， ， 又，， ． 2．（2023上·全國(guó)·八年級(jí)期末）如圖1，在中，和的平分線交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作，交于E，交于F． ?? (1)當(dāng)，則___________； (2)當(dāng)時(shí)，若是的外角平分線，如圖2，它仍然和的角平分線相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作，交于E，交于F，試判斷，之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由． 【答案】(1)8 (2)，見解析 【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí)，利用角平分線和平行線證明等腰三角形是解題的關(guān)鍵． （1）由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可證，即可得出答案； （2）與（1）同理由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可證． 【詳解】（1）解：∵， ∴∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB， ∵和的平分線交于點(diǎn)O， ∴∠EBO=∠OBC,∠FCO=∠BCO， ∴∠EBO=∠EOB,∠FCO=∠FOC， ∴， ∴， 故答案為：8； （2），理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴． 【考點(diǎn)四 過(guò)腰或底作平行線構(gòu)造等腰(邊)三角形】 例題：（2023上·吉林通化·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是等邊三角形，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且． ?? (1)若點(diǎn)是的中點(diǎn)，如圖1，則線段與的數(shù)量關(guān)系是__________； (2)若點(diǎn)不是的中點(diǎn)，如圖2，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(提示：過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)) (3)若點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，（2）中的結(jié)論是否仍成立？如果成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】(1)，理由見解析 (2)，理由見解析 (3)成立，理由見解析 【分析】本題考查全等三角形判定與性質(zhì)，平行線性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，等邊三角形性質(zhì)與判定． （1）求出，推出，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出，即可得出答案； （2）過(guò)作，交于，證明，推出，證是等邊三角形，推出，即可得出答案； （3）過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，證明，得到，即可得到． 【詳解】（1）解：，理由如下： 是等邊三角形， ． ∵點(diǎn)為中點(diǎn)， ， ， ， ， ， ， 又， ． 故答案為：； （2）解：，理由如下： 如圖，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)， ?? 則， ， 是等邊三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ； （3）解：結(jié)論仍成立，理由如下： 如圖，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)， ?? 則， ， 是等邊三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ． 【變式訓(xùn)練】 1．（2024上·天津?yàn)I海新·八年級(jí)?？计谀┮阎本€，相交于點(diǎn)，點(diǎn)，分別為直線，上的點(diǎn)，，且，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終滿足． (1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，求的長(zhǎng)． (2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，試確定線段與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由． 【答案】(1) (2)，理由見解析 【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)； （1）證明為等邊三角形，得出，由等邊三角形的性質(zhì)得出，由等腰三角形的性質(zhì)得出，由三角形的外角性質(zhì)得出，即可得出結(jié)論； （2）過(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，由平行線的性質(zhì)得出，證出，得出，證出，由證明，得出，即可得出結(jié)論． 【詳解】（1）解：∵， 為等邊三角形， ∴， ∵點(diǎn)E是線段的中點(diǎn)， ∴， ， ， ∵ ， ； （2）解：，理由如下： 過(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，如圖， ∵， ∴， ， ∵， ， ， ， ∴， ， ， 在和中， ∵， ∴， ， ∵， ． 2．（2023上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)?？计谀┮阎诘冗吶切沃校c(diǎn)E在上，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，且． (1)【感知】如圖1，當(dāng)點(diǎn)E為的中點(diǎn)時(shí)，則線段與的數(shù)量關(guān)系是______； (2)【類比】如圖2，當(dāng)點(diǎn)E為邊上任意一點(diǎn)時(shí)，則線段與的數(shù)量關(guān)系是______，請(qǐng)說(shuō)明理由；（提示如下：過(guò)點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F．） (3)【拓展】在等邊三角形中，點(diǎn)E在直線上，點(diǎn)D在直線上，且，若的邊長(zhǎng)為2，，則的長(zhǎng)是______． 【答案】(1) (2)，理由見解析 (3)5 【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)得，再由等邊三角形的性質(zhì)得，然后證，得，即可得出結(jié)論； （2）過(guò)點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F，證為等邊三角形，得，再證，得，即可得出結(jié)論； （3）過(guò)點(diǎn)E作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，同（2）得是等邊三角形，，則，，即可得出答案． 【詳解】（1），理由如下： ∵， ∴， ∵是等邊三角形， ∴， ∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案為：； （2），理由如下： 過(guò)點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F，則， ∵是等邊三角形， ∴， ∴， ∴為等邊三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）過(guò)點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F，如圖3所示： 同（2）得：是等邊三角形，， ∴， ∵， ∴． 故答案為：5． 【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題目，考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵． 3．（2024上·廣東中山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，中， ， ， 點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿線段移動(dòng)到點(diǎn)A停止，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿的延長(zhǎng)線移動(dòng)，并與點(diǎn) P同時(shí)停止． 已知點(diǎn) P，Q移動(dòng)的速度相同，連接與線段 相交于點(diǎn)D(不考慮點(diǎn) P與點(diǎn)A，B重合時(shí)的情況)． (1)求證: ； (2)求證: ； (3)如圖，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)E，在點(diǎn)P，Q移動(dòng)的過(guò)程中，線段的長(zhǎng)度是否變化?如果不變，請(qǐng)求出這個(gè)長(zhǎng)度；如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】(1)見解析 (2)見解析 (3)為定值5，理由見解析 【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，線段的和差，準(zhǔn)確作出輔助線找出全等三角形是解題關(guān)鍵． （1）利用、的移動(dòng)速度相同，得到，利用線段間的關(guān)系即可推出； （2）過(guò)點(diǎn)P作，交于點(diǎn)F，利用等邊對(duì)等角結(jié)合已知可證，即可得出結(jié)論； （3）過(guò)點(diǎn)P作，交于點(diǎn)F，由（2）得，可知為等腰三角形，結(jié)合，可得出即可得出為定值． 【詳解】（1）證明：、的移動(dòng)速度相同， ， ， ； （2）如圖，過(guò)點(diǎn)P作，交于點(diǎn)F， ， ， ， ， ， ， 由（1）得， ， 在與中， ， ， ； （3）解：為定值5，理由如下： 如圖，過(guò)點(diǎn)P作，交于點(diǎn)F， 由（2）得：， 為等腰三角形， ， ， 由（2）得， ， ， 為定值5． 【考點(diǎn)五 巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形】 例題：如圖，在中，平分，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，交于，交的延長(zhǎng)線于． 求證： (1)； (2)． 【答案】(1)見解析 (2)見解析 【分析】（1）根據(jù)證明，即可得出； （2）過(guò)點(diǎn)C作交于點(diǎn)M，由可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，可得，進(jìn)而得出，再根據(jù)據(jù)證明，得出，等量代換即可得到． 【詳解】（1）證明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （2）證明：過(guò)點(diǎn)C作交于點(diǎn)M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中點(diǎn)， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等角對(duì)等邊，平行線的性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理、性質(zhì)定理及作出合適的輔助線是解此題的關(guān)鍵． 【變式訓(xùn)練】 1.如圖： (1)【問(wèn)題情境】 利用角平分線構(gòu)造全等三角形是常用的方法，如圖1，平分．點(diǎn)A為上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為C，延長(zhǎng)交于點(diǎn)B，可根據(jù) 　　證明，則，（即點(diǎn)C為的中點(diǎn)）． (2)【類比解答】 如圖2，在中，平分 ，于E，若，，通過(guò)上述構(gòu)造全等的辦法，可求得　?。?(3)【拓展延伸】 如圖3，中，，，平分，，垂足E在的延長(zhǎng)線上，試探究和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論． (4)【實(shí)際應(yīng)用】 如圖4是一塊肥沃的三角形土地，其中邊與灌渠相鄰，李伯伯想在這塊地中劃出一塊直角三角形土地進(jìn)行水稻試驗(yàn)，故進(jìn)行如下操作：①用量角器取的角平分線；②過(guò)點(diǎn)A作于D．已知，，面積為20，則劃出的的面積是多少？請(qǐng)直接寫出答案． 【答案】(1) (2) (3)，證明見解析 (4)的面積是 【分析】（1）證（），得，即可； （2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，由問(wèn)題情境可知，，再由等腰三角形的性質(zhì)得，然后由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)論； （3）拓展延伸延長(zhǎng)、交于點(diǎn)F，證（），得，再由問(wèn)題情境可知，，即可得出結(jié)論； （4）實(shí)際應(yīng)用延長(zhǎng)交于E，由問(wèn)題情境可知，，，則，再由三角形面積關(guān)系得，即可得出結(jié)論． 【詳解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（）， ∴，， 故答案為：； （2）解：如圖2，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F， 由可知，， ∴， ∵， ∴， 故答案為：； （3）解：，證明如下： 如圖3，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)F， 則， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴（）， ∴， 由問(wèn)題情境可知，， ∴； （4）解：如圖4，延長(zhǎng)交于E， 由問(wèn)題情境可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：的面積是． 【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線定義以及三角形面積等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型． 【考點(diǎn)六 利用倍角關(guān)系構(gòu)造新等腰三角形】 例題：（2023上·河南信陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀材料：截長(zhǎng)補(bǔ)短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加方法．截長(zhǎng)就是在長(zhǎng)邊上截取一條線段與某一短邊相等，補(bǔ)短是通過(guò)在一條短邊上延長(zhǎng)一條線段與另一長(zhǎng)邊相等，解答下列問(wèn)題：如圖1，在中，交于點(diǎn)D，平分，且． (1)為了證明結(jié)論“”，小亮在AC上截取，使得，解答了這個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)按照小亮的思路寫證明過(guò)程； (2)如圖2，在四邊形中，已知，，，，，，求的長(zhǎng)． 【答案】(1)見解析 (2)16 【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵． （1）在上截取，使得，連接，根據(jù)角平分線的定義可得，再利用證明，從而可得，，進(jìn)而可得，然后利用三角形的外角性質(zhì)可得，從而可得，進(jìn)而可得，再根據(jù)等量代換可得，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答； （2）在上截取，連接，先利用三角形內(nèi)角和定理可得，從而可得，再利用證明，從而可得，進(jìn)而可得，然后利用三角形內(nèi)角和定理可得，從而可得，再利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答． 【詳解】（1）解：證明：在上截取，使得， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是的一個(gè)外角， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴； （2）在上截取，連接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的長(zhǎng)為16． 【變式訓(xùn)練】 1．在中，，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)在線段上，． (1)如圖，若點(diǎn)與點(diǎn)重合，則______； (2)如圖，若點(diǎn)與點(diǎn)不重合，試說(shuō)明與的數(shù)量關(guān)系； (3)在（1）的情況下，試判斷，與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明你的理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由見解析 【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)題意求出，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算，得到答案； （2）根據(jù)直角三角形的兩銳角互余得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理得到，進(jìn)而證明結(jié)論； （3）在上截取，連接，證明≌，根據(jù)求等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到，得到，進(jìn)而得出結(jié)論． 【詳解】（1）解：在中，，， 則， ，， ， ， 故答案為：； （2）解：， 理由如下：， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：， 理由如下：如圖，在上截取，連接， 則， ， 在和中， ， ≌， ， ， 是的外角， ， ， ． 【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形全等的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵． 2．（2023上·遼寧大連·八年級(jí)大連市第三十四中學(xué)校考期中）已知，在中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接于點(diǎn)． (1)寫出圖1中與相等的角，______； (2)如圖1，若，在圖中找出與相等的線段并證明； (3)如圖2，若，求的長(zhǎng)度． 【答案】(1) (2)，證明見解析 (3) 【分析】（1）運(yùn)用三角形外角性質(zhì)即可求得答案； （2）利用證明，可得，，即可得出答案； （3）延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，可證得則，設(shè)，再根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可得，建立方程求解即可得出答案. 【詳解】（1），， ． ， 故答案為：； （2），理由如下， ，，， ， 在和中， ， ，． ， 即； （3）如圖2，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于， ， 則， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 設(shè)， ，， ，． ， ，， ． ， 解得： ， ， 故的長(zhǎng)度為． 【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角形的外角的性質(zhì)，全等三角形的 性質(zhì)與判定，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．

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初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）七年級(jí)下冊(cè)電子課本 舊教材

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版本： 北師大版（2024）

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