專(zhuān)題5.3 軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)【八大題型】 【北師大版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc9984" 【題型1 游戲中的軸對(duì)稱(chēng)】  PAGEREF _Toc9984 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc16977" 【題型2 利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)求角度】  PAGEREF _Toc16977 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc29150" 【題型3 利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度】  PAGEREF _Toc29150 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc18917" 【題型4 在格點(diǎn)中作軸對(duì)稱(chēng)圖形】  PAGEREF _Toc18917 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc3130" 【題型5 利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)解決折疊問(wèn)題】  PAGEREF _Toc3130 \h 8  HYPERLINK \l "_Toc10927" 【題型6 利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)解決最短路徑問(wèn)題】  PAGEREF _Toc10927 \h 11  HYPERLINK \l "_Toc4325" 【題型7 利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)解決探究性問(wèn)題】  PAGEREF _Toc4325 \h 13  HYPERLINK \l "_Toc948" 【題型8 軸對(duì)稱(chēng)圖案的設(shè)計(jì)】  PAGEREF _Toc948 \h 18  【知識(shí)點(diǎn)1 軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)】 （1）如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱(chēng)，那么對(duì)稱(chēng)軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線． 由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到一下結(jié)論： ①如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱(chēng)； ②如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱(chēng)，我們只要找到一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這 兩個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)軸． （2）軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸也是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線． 【題型1 游戲中的軸對(duì)稱(chēng)】 【例1】（2022春?余姚市校級(jí)月考）小王設(shè)計(jì)了一“對(duì)稱(chēng)跳棋”題：如圖，在作業(yè)本上畫(huà)一條直線l，在直線l兩邊各放一粒圍棋子A、B，使線段AB長(zhǎng)8cm，并關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，在圖中P1處有一粒跳棋子，P1距A點(diǎn)6cm、與直線l的距離為3cm，按以下程序起跳：第1次，從P1點(diǎn)以A為對(duì)稱(chēng)中心跳至P2點(diǎn)；第2次，從P2點(diǎn)以l為對(duì)稱(chēng)軸跳至P3點(diǎn)；第3次，從P3點(diǎn)以B為對(duì)稱(chēng)中心跳至P4點(diǎn)；第4次，從P4點(diǎn)以l對(duì)稱(chēng)軸跳至P5點(diǎn)；…． （1）棋子跳至P6點(diǎn)時(shí)，與點(diǎn)P1的距離是　 ??； （2）棋子按上述程序跳躍2014次后停下，這時(shí)它與點(diǎn)B的距離是　 　． 【變式1-1】（2022?云夢(mèng)縣一模）甲和乙下棋，甲執(zhí)白子，乙執(zhí)黑子．如圖，已共下了7枚棋子，棋盤(pán)中心黑子的位置用（﹣1，0）表示，其右下角黑子的位置用（0，﹣1）表示．甲將第4枚白子放入棋盤(pán)后，所有棋子構(gòu)成一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形．他放的位置是（　?。? A．（﹣1，1） B．（﹣2，1） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2） 【變式1-2】（2022?濰坊）甲乙兩位同學(xué)用圍棋子做游戲．如圖所示，現(xiàn)輪到黑棋下子，黑棋下一子后白棋再下一子，使黑棋的5個(gè)棋子組成軸對(duì)稱(chēng)圖形，白棋的5個(gè)棋子也成軸對(duì)稱(chēng)圖形．則下列下子方法不正確的是（　　），[說(shuō)明：棋子的位置用數(shù)對(duì)表示，如A點(diǎn)在（6，3）]． A．黑（3，7）；白（5，3） B．黑（4，7）；白（6，2） C．黑（2，7）；白（5，3） D．黑（3，7）；白（2，6） 【變式1-3】（2022?綏棱縣校級(jí)模擬）如圖是跳棋盤(pán)，其中格點(diǎn)上的黑色點(diǎn)為棋子，剩余的格點(diǎn)上沒(méi)有棋子．我們約定跳棋游戲的規(guī)則是：把跳棋棋子在棋盤(pán)內(nèi)，沿著棋子對(duì)稱(chēng)跳行，跳行一次稱(chēng)為一步．已知點(diǎn)A為己方一枚棋子，欲將棋子A跳進(jìn)對(duì)方區(qū)域（陰影部分的格點(diǎn)），則跳行的最少步數(shù)為　3　步． 【題型2 利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)求角度】 【例2】（2022秋?河?xùn)|區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠B＝58°，∠C＝55°，點(diǎn)D為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)．分別作點(diǎn)D關(guān)于AB，AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AE，AF．則∠EAF的度數(shù)等于 　 　． 【變式2-1】（2022春?壽陽(yáng)縣期末）如圖，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝50°，點(diǎn)D是BC上任一點(diǎn)，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別是點(diǎn)D關(guān)于AB和AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接AE和AF，則∠EAF的度數(shù)是（　?。? A．140° B．135° C．120° D．100° 【變式2-2】（2022秋?臺(tái)江區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，△ABC沿著AC翻折，點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E恰好落在CD上，若∠B＝α度，則∠D的度數(shù)是　 　度． 【變式2-3】（2022秋?房山區(qū)期末）如圖，點(diǎn)P是∠AOB外的一點(diǎn)，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)R是點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，直線QR分別交∠AOB兩邊OA，OB于點(diǎn)M，N，連接PM，PN，如果∠PMO＝33°，∠PNO＝70°，求∠QPN的度數(shù)． 【題型3 利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度】 【例3】（2022秋?土默特左旗期中）如圖，點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)，點(diǎn)M、N分別是點(diǎn)P關(guān)于AO、BO的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，若△PEF的周長(zhǎng)為15，求MN的長(zhǎng)． 【變式3-1】（2022春?洛寧縣期末）如圖，點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)，點(diǎn)M、N分別是P點(diǎn)關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，且MN交OA、OB相交于點(diǎn)E，若△PEF的周長(zhǎng)為20，求MN的長(zhǎng)． 【變式3-2】（2022春?驛城區(qū)期末）如圖，點(diǎn)P是∠AOB外的一點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是∠AOB兩邊上的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q恰好落在線段MN上，點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)R落在MN的延長(zhǎng)線上．若PM＝3cm，PN＝4cm，MN＝4.5cm，則線段QR的長(zhǎng)為　 ． 【變式3-3】（2022秋?淮安月考）如圖，在△ABC中，AB＝12cm，AC＝6cm，BC＝10cm，點(diǎn)D，E分別在AC，AB上，且△BCD和△BED關(guān)于BD對(duì)稱(chēng)． （1）求AE的長(zhǎng)； （2）求△ADE的周長(zhǎng)． 【題型4 在格點(diǎn)中作軸對(duì)稱(chēng)圖形】 【例4】（2022秋?密山市校級(jí)期末）如圖所示， （1）寫(xiě)出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)； （2）作△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的△A1B1C1，并寫(xiě)出B1的坐標(biāo)； （3）若點(diǎn)A2（a，b）與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，求a﹣b的值． 【變式4-1】（2022秋?自貢期末）如圖，在直角坐標(biāo)系中，A、B、C、D各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（﹣7，7）、（﹣7，1）、（﹣3，1）、（﹣1，4）． （1）在給出的圖形中，畫(huà)出四邊形ABCD關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的四邊形A1B1C1D1； （不寫(xiě)作法） （2）寫(xiě)出點(diǎn)A1和C1的坐標(biāo)； （3）求四邊形A1B1C1D1的面積． 【變式4-2】（2022秋?嵊州市期末）在如圖的正方形網(wǎng)格中，每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，格點(diǎn)三角形ABC（頂點(diǎn)是網(wǎng)格線交點(diǎn)的三角形）的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（﹣6，7），（﹣4，3）． （1）請(qǐng)你根據(jù)題意在圖中的網(wǎng)格平面內(nèi)作出平面直角坐標(biāo)系． （2）請(qǐng)畫(huà)出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的△A1B1C1 【變式4-3】（2022春?銅仁市期末）如圖，已知點(diǎn)A（4，3），B（3，1），C（1，2），請(qǐng)解決下列問(wèn)題： （1）若把△ABC向下平移1個(gè)單位，再向左平移5個(gè)單位得到△A1B1C1，請(qǐng)畫(huà)出平移后的圖形并寫(xiě)出A1，B1，C1的坐標(biāo)； （2）若△A2B2C2是△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的圖形，請(qǐng)畫(huà)出△A2B2C2并寫(xiě)出A2，B2，C2的坐標(biāo)． 【題型5 利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)解決折疊問(wèn)題】 【例5】（2022春?廣陵區(qū)校級(jí)期中）發(fā)現(xiàn)（1）如圖1，把△ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A’處，請(qǐng)你判斷∠1+∠2與∠A有何數(shù)量關(guān)系，直接寫(xiě)出你的結(jié)論，不必說(shuō)明理由 思考（2）如圖2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)I重合，若∠1+∠2＝100°，求∠BIC的度數(shù)； 拓展（3）如圖3，在銳角△ABC中，BF⊥AC于點(diǎn)F，CG⊥AB于點(diǎn)G，BF、CG交于點(diǎn)H，把△ABC折疊使點(diǎn)A和點(diǎn)H重合，試探索∠BHC與∠1+∠2的關(guān)系，并證明你的結(jié)論． 【變式5-1】（2022春?杜爾伯特縣期中）如圖，將邊長(zhǎng)為8cm的正方形ABCD折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的中點(diǎn)E處，點(diǎn)A落在F處，折痕為MN． （1）求線段CN長(zhǎng)． （2）連接FN，并求FN的長(zhǎng)． 【變式5-2】（2022秋?成都期末）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝6，AD＝CD＝3，點(diǎn)E、F分別在線段AB、AD上，將△AEF沿EF翻折，點(diǎn)A的落點(diǎn)記為P．當(dāng)P落在四邊形ABCD內(nèi)部時(shí)，PD的最小值等于　 ． 【變式5-3】（2022?惠安縣期末）如圖，已知一張長(zhǎng)方形紙片ABCD，AB∥CD，AD＝BC＝1，AB＝CD＝5．在長(zhǎng)方形ABCD的邊AB上取一點(diǎn)M，在CD上取一點(diǎn)N，將紙片沿MN折疊，使MB與DN交于點(diǎn)K，得到△MNK． （1）請(qǐng)你動(dòng)手操作，判斷△MNK的形狀一定是　 ?。?（2）問(wèn)△MNK的面積能否小于12？試說(shuō)明理由； （3）如何折疊能夠使△MNK的面積最大？請(qǐng)你用備用圖探究可能出現(xiàn)的情況，并求最大值． 【題型6 利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)解決最短路徑問(wèn)題】 【例6】（2022春?嶗山區(qū)期中）早在古羅馬時(shí)代，傳說(shuō)亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫．一天，一位羅馬將軍專(zhuān)程去拜訪他，向他請(qǐng)教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題． 將軍每天從軍營(yíng)A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的軍營(yíng)B開(kāi)會(huì)，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？這個(gè)問(wèn)題的答案并不難，據(jù)說(shuō)海倫略加思索就解決了它．從此以后，這個(gè)被稱(chēng)為“將軍飲馬”的問(wèn)題便流傳至今． 大數(shù)學(xué)家海倫曾用軸對(duì)稱(chēng)的方法巧妙地解決了這個(gè)問(wèn)題． 如圖2，作B關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連接AB′與直線l交于點(diǎn)C，點(diǎn)C就是所求的位置． 證明：如圖3，在直線l上另取任一點(diǎn)C′，連接AC′，BC′，B′C′， ∵直線l是點(diǎn)B，B′的對(duì)稱(chēng)軸，點(diǎn)C，C′在l上， ∴CB＝CB′，C′B＝C′B′， ∴AC+CB＝AC+　 ?。健? ?。?在△AC′B′中， ∵AB′＜AC′+C′B′ ∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小． 本問(wèn)題實(shí)際上是利用軸對(duì)稱(chēng)變換的思想，把A，B在直線同側(cè)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在直線的兩側(cè)，從而可利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，即“三角形兩邊之和大于第三邊”的問(wèn)題加以解決（其中C在AB′與l的交點(diǎn)上，即A、C、B′三點(diǎn)共線）．本問(wèn)題可歸納為“求定直線上一動(dòng)點(diǎn)與直線外兩定點(diǎn)的距離和的最小值”的問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型． 【簡(jiǎn)單應(yīng)用】 （1）如圖4，在等邊△ABC中，AB＝6，AD⊥BC，E是AC的中點(diǎn)，M是AD上的一點(diǎn)，求EM+MC的最小值 借助上面的模型，由等邊三角形的軸對(duì)稱(chēng)性可知，B與C關(guān)于直線AD對(duì)稱(chēng)，連接BM，EM+MC的最小值就是線段　BE　的長(zhǎng)度，則EM+MC的最小值是　 ??； （2）如圖5，在四邊形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分別找一點(diǎn)M、N當(dāng)△AMN周長(zhǎng)最小時(shí)，∠AMN+∠ANM＝　 　°． 【拓展應(yīng)用】 如圖6，是一個(gè)港灣，港灣兩岸有A、B兩個(gè)碼頭，∠AOB＝30°，OA＝1千米，OB＝2千米，現(xiàn)有一艘貨船從碼頭A出發(fā)，根據(jù)計(jì)劃，貨船應(yīng)先停靠OB岸C處裝貨，再?？縊A岸D處裝貨，最后到達(dá)碼頭B．怎樣安排兩岸的裝貨地點(diǎn)，使貨船行駛的水路最短？請(qǐng)畫(huà)出最短路線并求出最短路程． 【變式6-1】在ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AC＝6，點(diǎn)D，E在AB邊上，AD＝CD，點(diǎn)E關(guān)于AC，CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為F，G，則線段FG的最小值等于（　?。?A．2 B．3 C．4 D．5 【變式6-2】（2022秋?雙流區(qū)校級(jí)期中）在△ABC中，∠A＝45°，AC＝8，BD⊥AC，BD＝6，點(diǎn)E為邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．E1，E2分別為點(diǎn)E關(guān)于直線AC，AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接E1E2，則線段E1E2長(zhǎng)度的最小值是　 ． 【變式6-3】（2022春?青羊區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，AB＝4，D為BC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，作DF⊥AB于點(diǎn)F，連接EF，則EF的最小值為 　?。? 【題型7 利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)解決探究性問(wèn)題】 【例7】（2022春?二道區(qū)期末）解答下列各題： （1）【問(wèn)題引入】：如圖①，在△ABC中，∠BAC＝70°，點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，三角形的內(nèi)角∠ABC與外角∠ACD的角平分線BP，CP相交于點(diǎn)P，求∠P的度數(shù)﹒（寫(xiě)出完整的解答過(guò)程） （2）【深入探究】：如圖②，在四邊形MNCB中，設(shè)∠M＝a，∠N＝β，四邊形MNCB的內(nèi)角∠MBC與外角∠NCD的角平分線BP，CP相交于點(diǎn)P，則∠P的度數(shù)為 　 　﹒（用含有α和β的代數(shù)式表示） （3）【問(wèn)題拓展】：如圖③，在圖①中，把∠BAC＝70°改成∠BAC＝γ，其他條件不變，將△PBC以直線BC為對(duì)稱(chēng)軸翻折得到△GBC，∠GBC的角平分線與∠GCB的角平分線交于點(diǎn)M，則∠BMC的度數(shù)為 　 　.（用含有γ的代數(shù)式表示） 【變式7-1】（2022秋?洛南縣期末）問(wèn)題提出： （1）如圖1，畫(huà)出直角三角形ABC關(guān)于AC所在直線的軸對(duì)稱(chēng)圖形△ACB′，其中∠BAC＝90°（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）． 問(wèn)題探究： （2）如圖2，∠MAN＝90°，射線AE在∠MAN的內(nèi)部，點(diǎn)B、C在∠MAN的邊AM、AN上，且AB＝AC，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AE于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AE于點(diǎn)D，證明：△ABD≌△CAF． 深入思考： （3）如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且點(diǎn)A、B在直線l的異側(cè)，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥l于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥l于點(diǎn)E．判斷線段AD、BE、DE之間的數(shù)量關(guān)系，并加以說(shuō)明． 【變式7-2】（2022春?臨汾期末）綜合實(shí)踐課上，小聰用一張長(zhǎng)方形紙片ABCD對(duì)不同折法下的夾角大小進(jìn)行了探究，先將紙片的一角對(duì)折，使角的頂點(diǎn)A落在A′處，EF為折痕，如圖①所示． （1）若∠AEF＝30°， ①求∠A′EB的度數(shù)； ②又將它的另一個(gè)角也折過(guò)去，并使點(diǎn)B落在EA′上的B′處，折痕為EG，如圖②所示，求∠FEG的度數(shù)； （2）若改變∠AEF的大小，則EA′的位置也隨之改變，則∠FEG的大小是否改變？請(qǐng)說(shuō)明理由． 【變式7-3】（2022秋?鼓樓區(qū)月考）問(wèn)題情境 如圖1，△ABC中，沿∠BAC的平分線AB1折疊，剪掉重疊部分；將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊，剪掉重疊部分；如此反復(fù)操作，沿∠BnAnC的平分線AnBn+1折疊，點(diǎn)Bn與點(diǎn)C重合，我們就稱(chēng)∠BAC是△ABC的正角． 以圖2為例，△ABC中，∠B＝70°，∠C＝35°，若沿∠BAC的平分線AB1折疊，則∠AA1B1＝70°．沿A1B1剪掉重疊部分，在余下的△B1A1C中，由三角形的內(nèi)角和定理可知∠A1B1C＝35°，若沿∠B1A1C的平分線A1B2第二次折疊，則點(diǎn)B1與點(diǎn)C重合．此時(shí)，我們就稱(chēng)∠BAC是△ABC的正角． 探究發(fā)現(xiàn) （1）△ABC中，∠B＝2∠C，則經(jīng)過(guò)兩次折疊后，∠BAC是不是△ABC的正角？　?。ㄌ睢笆恰被颉安皇恰保?（2）小明經(jīng)過(guò)三次折疊發(fā)現(xiàn)∠BAC是△ABC的正角，則∠B與∠C（不妨設(shè)∠B＞∠C）之間的等量關(guān)系為　 ?。?根據(jù)以上內(nèi)容猜想：若經(jīng)過(guò)n次折疊∠BAC是△ABC的正角，則∠B與∠C（不妨設(shè)∠B＞∠C）之間的等量關(guān)系為　 　． 應(yīng)用提升 （3）如果一個(gè)三角形的最小角是10°，直接寫(xiě)出此三角形另外兩個(gè)角的度數(shù)，使得此三角形的三個(gè)角均是它的正角． 【題型8 軸對(duì)稱(chēng)圖案的設(shè)計(jì)】 【例8】（2022秋?滄州期末）如圖1所示是一塊有圖案的瓷磚，請(qǐng)利用四塊這樣的瓷磚拼出一個(gè)正方形，使所拼的圖案為軸對(duì)稱(chēng)圖形．在圖4中畫(huà)出你的四個(gè)設(shè)計(jì)方案．（圖2、圖3視為同一圖案） 【變式8-1】（2022?金華）現(xiàn)有9個(gè)相同的小正三角形拼成的大正三角形，將其部分涂黑．如圖（1），（2）所示． 觀察圖（1），圖（2）中涂黑部分構(gòu)成的圖案．它們具有如下特征：①都是軸對(duì)稱(chēng)圖形；②涂黑部分都是三個(gè)小正三角形． 請(qǐng)?jiān)趫D（3），圖（4）內(nèi)分別設(shè)計(jì)一個(gè)新圖案，使圖案具有上述兩個(gè)特征． 【變式8-2】（2022春?臨渭區(qū)期末）認(rèn)真觀察下面四幅圖中陰影部分構(gòu)成的圖案，回答下列問(wèn)題． （1）請(qǐng)你寫(xiě)出這四個(gè)圖案都具有的兩個(gè)共同特征： 特征1：　 　； 特征2：　 ?。?（2）請(qǐng)你借助下面的網(wǎng)格，設(shè)計(jì)出三個(gè)不同圖案，使它也具備你所寫(xiě)出的上述特征．（注意：新圖案與以上四幅圖中的圖案不能相同） 【變式8-3】（2022秋?盂縣期末）有這樣一道題：用四塊如圖甲所示的瓷磚拼成一個(gè)正方形，形成軸對(duì)稱(chēng)圖案，和你的同伴比一比，看誰(shuí)的拼法多．某同學(xué)設(shè)計(jì)了如圖的兩個(gè)圖案，請(qǐng)你也用如圖乙所示的瓷磚 北師大版舉一反三初中數(shù)學(xué)-七年級(jí)下冊(cè) 專(zhuān)題5.3 軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)【八大題型】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc9984" 【題型1 游戲中的軸對(duì)稱(chēng)】  PAGEREF _Toc9984 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc16977" 【題型2 利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)求角度】  PAGEREF _Toc16977 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc29150" 【題型3 利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度】  PAGEREF _Toc29150 \h 7  HYPERLINK \l "_Toc18917" 【題型4 在格點(diǎn)中作軸對(duì)稱(chēng)圖形】  PAGEREF _Toc18917 \h 9  HYPERLINK \l "_Toc3130" 【題型5 利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)解決折疊問(wèn)題】  PAGEREF _Toc3130 \h 13  HYPERLINK \l "_Toc10927" 【題型6 利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)解決最短路徑問(wèn)題】  PAGEREF _Toc10927 \h 18  HYPERLINK \l "_Toc4325" 【題型7 利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)解決探究性問(wèn)題】  PAGEREF _Toc4325 \h 25  HYPERLINK \l "_Toc948" 【題型8 軸對(duì)稱(chēng)圖案的設(shè)計(jì)】  PAGEREF _Toc948 \h 33  【知識(shí)點(diǎn)1 軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)】 （1）如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱(chēng)，那么對(duì)稱(chēng)軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線． 由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到一下結(jié)論： ①如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱(chēng)； ②如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱(chēng)，我們只要找到一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這 兩個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)軸． （2）軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸也是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線． 【題型1 游戲中的軸對(duì)稱(chēng)】 【例1】小王設(shè)計(jì)了一“對(duì)稱(chēng)跳棋”題：如圖，在作業(yè)本上畫(huà)一條直線l，在直線l兩邊各放一粒圍棋子A、B，使線段AB長(zhǎng)8cm，并關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，在圖中P1處有一粒跳棋子，P1距A點(diǎn)6cm、與直線l的距離為3cm，按以下程序起跳：第1次，從P1點(diǎn)以A為對(duì)稱(chēng)中心跳至P2點(diǎn)；第2次，從P2點(diǎn)以l為對(duì)稱(chēng)軸跳至P3點(diǎn)；第3次，從P3點(diǎn)以B為對(duì)稱(chēng)中心跳至P4點(diǎn)；第4次，從P4點(diǎn)以l對(duì)稱(chēng)軸跳至P5點(diǎn)；…． （1）棋子跳至P6點(diǎn)時(shí)，與點(diǎn)P1的距離是　12cm??； （2）棋子按上述程序跳躍2014次后停下，這時(shí)它與點(diǎn)B的距離是　6cm?。? 【分析】（1）根據(jù)題意作出圖形，P6與P2重合，然后利用勾股定理列式計(jì)算即可得解； （2）根據(jù)圖形，每跳動(dòng)4次為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，用2014除以4，根據(jù)商和余數(shù)的情況解答即可． 【解答】解：（1）如圖，P6與P2重合， ∵P1距A點(diǎn)6cm， ∴P1P2＝2×6＝12cm， ∴跳至P6點(diǎn)時(shí)，與點(diǎn)P1的距離是12cm； （2）∵每跳動(dòng)4次為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，2014÷4＝503余2， ∴跳躍2014次為第504次循環(huán)的第2次，停在P3， 它與點(diǎn)B的距離是6cm． 故答案為：12cm；6cm． 【變式1-1】甲和乙下棋，甲執(zhí)白子，乙執(zhí)黑子．如圖，已共下了7枚棋子，棋盤(pán)中心黑子的位置用（﹣1，0）表示，其右下角黑子的位置用（0，﹣1）表示．甲將第4枚白子放入棋盤(pán)后，所有棋子構(gòu)成一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形．他放的位置是（　?。? A．（﹣1，1） B．（﹣2，1） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2） 【分析】首先確定原點(diǎn)位置，再利用軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)得出答案． 【解答】解：如圖所示：甲將第4枚白子放入棋盤(pán)后，所有棋子構(gòu)成一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形， 他放的位置是：（﹣1，1）． 【變式1-2】甲乙兩位同學(xué)用圍棋子做游戲．如圖所示，現(xiàn)輪到黑棋下子，黑棋下一子后白棋再下一子，使黑棋的5個(gè)棋子組成軸對(duì)稱(chēng)圖形，白棋的5個(gè)棋子也成軸對(duì)稱(chēng)圖形．則下列下子方法不正確的是（　?。?，[說(shuō)明：棋子的位置用數(shù)對(duì)表示，如A點(diǎn)在（6，3）]． A．黑（3，7）；白（5，3） B．黑（4，7）；白（6，2） C．黑（2，7）；白（5，3） D．黑（3，7）；白（2，6） 【分析】分別根據(jù)選項(xiàng)所說(shuō)的黑、白棋子放入圖形，再由軸對(duì)稱(chēng)的定義進(jìn)行判斷即可得出答案． 【解答】解：A、若放入黑（3，7）；白（5，3），則此時(shí)黑棋是軸對(duì)稱(chēng)圖形，白棋也是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不符合題意； B、若放入黑（4，7）；白（6，2），則此時(shí)黑棋是軸對(duì)稱(chēng)圖形，白棋也是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不符合題意； C、若放入黑（2，7）；白（5，3），則此時(shí)黑棋不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，白棋是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)正確； D、若放入黑（3，7）；白（2，6），則此時(shí)黑棋是軸對(duì)稱(chēng)圖形，白棋也是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不符合題意； 【變式1-3】如圖是跳棋盤(pán)，其中格點(diǎn)上的黑色點(diǎn)為棋子，剩余的格點(diǎn)上沒(méi)有棋子．我們約定跳棋游戲的規(guī)則是：把跳棋棋子在棋盤(pán)內(nèi)，沿著棋子對(duì)稱(chēng)跳行，跳行一次稱(chēng)為一步．已知點(diǎn)A為己方一枚棋子，欲將棋子A跳進(jìn)對(duì)方區(qū)域（陰影部分的格點(diǎn)），則跳行的最少步數(shù)為　3　步． 【分析】根據(jù)題意：分別計(jì)算出兩種跳法所需要的步數(shù)，比較就可以了． 【解答】解：如圖中紅棋子所示，根據(jù)規(guī)則： ①點(diǎn)A從右邊通過(guò)3次軸對(duì)稱(chēng)后，位于陰影部分內(nèi)； ②點(diǎn)A從左邊通過(guò)4次軸對(duì)稱(chēng)后，位于陰影部分內(nèi)． 所以跳行的最少步數(shù)為3步． 【題型2 利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)求角度】 【例2】如圖，△ABC中，∠B＝58°，∠C＝55°，點(diǎn)D為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)．分別作點(diǎn)D關(guān)于AB，AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AE，AF．則∠EAF的度數(shù)等于 　134°　． 【分析】利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)解答即可． 【解答】解：∵點(diǎn)E和點(diǎn)F分別是點(diǎn)D關(guān)于AB和AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)， ∴∠EAB＝∠BAD，∠FAC＝∠CAD， ∵∠B＝58°，∠C＝55°， ∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝180°﹣58°﹣55°＝67°， ∴∠EAF＝2∠BAC＝134°， 故答案為：134°． 【變式2-1】如圖，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝50°，點(diǎn)D是BC上任一點(diǎn)，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別是點(diǎn)D關(guān)于AB和AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接AE和AF，則∠EAF的度數(shù)是（　?。? A．140° B．135° C．120° D．100° 【分析】利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)解答即可． 【解答】解：如圖，∵點(diǎn)E和點(diǎn)F分別是點(diǎn)D關(guān)于AB和AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)， ∴∠EAB＝∠BAD，∠FAC＝∠CAD， ∵∠B＝60°，∠C＝50°， ∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝180°﹣60°﹣50°＝70°， ∴∠EAF＝2∠BAC＝140°， 【變式2-2】如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，△ABC沿著AC翻折，點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E恰好落在CD上，若∠B＝α度，則∠D的度數(shù)是?。?80﹣α）　度． 【分析】直接利用翻折變換的性質(zhì)得出AB＝AE，∠B＝∠AEC＝α，再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得出答案． 【解答】解：∵△ABC沿著AC翻折，點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E恰好落在CD上， ∴AB＝AE，∠B＝∠AEC＝α， ∵AB＝AD， ∴AD＝AE， ∴∠D＝∠AED＝180°﹣∠AEC＝180﹣α． 故答案為：（180﹣α）． 【變式2-3】如圖，點(diǎn)P是∠AOB外的一點(diǎn)，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)R是點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，直線QR分別交∠AOB兩邊OA，OB于點(diǎn)M，N，連接PM，PN，如果∠PMO＝33°，∠PNO＝70°，求∠QPN的度數(shù)． 【分析】先根據(jù)點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于直線OA對(duì)稱(chēng)可知OM是線段PQ的垂直平分線，故PM＝MQ，∠PMQ＝2∠PMO，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠PQM的度數(shù)，同理可得出PN＝RN，故可得出∠PNR＝2∠PNO，再由平角的定義得出∠PNQ的度數(shù)，由三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論． 【解答】解：∵點(diǎn)Q和點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)， 點(diǎn)R和點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng) ∴直線OA、OB分別是PQ、PR的中垂線， ∴MP＝MQ，NP＝NR， ∴∠PMO＝∠QMO，∠PNO＝∠RNO， ∵∠PMO＝3 3°，∠PNO＝70° ∴∠PMO＝∠QMO＝33°，∠PNO＝∠RNO＝70° ∴∠PMQ＝66°，∠PNR＝140° ∴∠MQP＝57°， ∴∠PQN＝123°，∠PNQ＝40°， ∴∠QPN＝17°． 【題型3 利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度】 【例3】如圖，點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)，點(diǎn)M、N分別是點(diǎn)P關(guān)于AO、BO的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，若△PEF的周長(zhǎng)為15，求MN的長(zhǎng)． 【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可知EP＝EM，PF＝FN，結(jié)合△PEF的周長(zhǎng)為15，利用等量代換可知MN＝EP+EF+PF＝15． 【解答】解：∵點(diǎn)M是點(diǎn)P關(guān)于AO，的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)， ∴AO垂直平分MP， ∴EP＝EM． 同理PF＝FN． ∵M(jìn)N＝ME+EF+FN， ∴MN＝EP+EF+PF， ∵△PEF的周長(zhǎng)為15， ∴MN＝EP+EF+PF＝15． 【變式3-1】如圖，點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)，點(diǎn)M、N分別是P點(diǎn)關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，且MN交OA、OB相交于點(diǎn)E，若△PEF的周長(zhǎng)為20，求MN的長(zhǎng)． 【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可知：EP＝EM，PF＝FN，所以線段MN的長(zhǎng)＝△PEF的周長(zhǎng)，再根據(jù)△PEF的周長(zhǎng)為20，即可得出MN的長(zhǎng)． 【解答】解：∵點(diǎn)M是P點(diǎn)關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)， ∴EP＝EM， ∵N是P點(diǎn)關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)， ∴PF＝FN， ∴MN＝ME+EF+FN＝PE+EF+PF＝△PEF的周長(zhǎng)， ∵△PEF的周長(zhǎng)為20， ∴MN＝20cm． 【變式3-2】如圖，點(diǎn)P是∠AOB外的一點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是∠AOB兩邊上的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q恰好落在線段MN上，點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)R落在MN的延長(zhǎng)線上．若PM＝3cm，PN＝4cm，MN＝4.5cm，則線段QR的長(zhǎng)為　5.5cm?。? 【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到OA垂直平分PQ，OB垂直平分PR，則利用線段垂直平分線的性質(zhì)得QM＝PM＝3cm，RN＝PN＝4cm，然后計(jì)算QN，再計(jì)算QN+RN即可． 【解答】解：∵點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q恰好落在線段MN上， ∴OA垂直平分PQ， ∴QM＝PM＝3cm， ∴QN＝MN﹣QM＝4.5cm﹣3cm＝1.5cm， ∵點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)R落在MN的延長(zhǎng)線上， ∴OB垂直平分PR， ∴RN＝PN＝4cm， ∴QR＝QN+RN＝1.5cm+4cm＝5.5cm． 故答案為5.5cm． 【變式3-3】如圖，在△ABC中，AB＝12cm，AC＝6cm，BC＝10cm，點(diǎn)D，E分別在AC，AB上，且△BCD和△BED關(guān)于BD對(duì)稱(chēng)． （1）求AE的長(zhǎng)； （2）求△ADE的周長(zhǎng)． 【分析】（1）先根據(jù)△BCD和△BED關(guān)于BD對(duì)稱(chēng)，得出△BCD≌△BED，故BE＝BC，由此可得出AE的長(zhǎng)， （2）由△ADE的周長(zhǎng)＝AE+AD+DE＝AE+AC即可得出結(jié)論． 【解答】解：（1）∵△BCD和△BED關(guān)于BD對(duì)稱(chēng)， ∴△BCD≌△BED， ∴BE＝BC＝10cm， ∴AE＝12﹣10＝2cm， （2）∵△BCD≌△BED， ∴DC＝DE， ∴△ADE的周長(zhǎng)＝AE+AD+DE＝AE+AC＝8cm． 【題型4 在格點(diǎn)中作軸對(duì)稱(chēng)圖形】 【例4】如圖所示， （1）寫(xiě)出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)； （2）作△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的△A1B1C1，并寫(xiě)出B1的坐標(biāo)； （3）若點(diǎn)A2（a，b）與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，求a﹣b的值． 【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的定義寫(xiě)出坐標(biāo)即可； （2）作出A、B、C三點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1、B1、C1即可； （3）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)求出a、b的值即可； 【解答】解：（1）C（﹣2，﹣1）． （2）△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的△A1B1C1如圖所示； 如圖，B1（﹣3，1）． （3）∵A（1，2）與A2（a，b）關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)， 可得：a＝1，b＝﹣2， ∴a﹣b＝3． 【變式4-1】（2022秋?自貢期末）如圖，在直角坐標(biāo)系中，A、B、C、D各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（﹣7，7）、（﹣7，1）、（﹣3，1）、（﹣1，4）． （1）在給出的圖形中，畫(huà)出四邊形ABCD關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的四邊形A1B1C1D1； （不寫(xiě)作法） （2）寫(xiě)出點(diǎn)A1和C1的坐標(biāo)； （3）求四邊形A1B1C1D1的面積． 【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)A、B、C、D關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1、B1、C1、D1的位置，然后順次連接即可； （2）根據(jù)平面直角坐標(biāo)系寫(xiě)出點(diǎn)A1和C1的坐標(biāo)； （3）利用四邊形A1B1C1D1所在的矩形的面積減去兩個(gè)直角三角形的面積列式計(jì)算即可得解． 【解答】解：（1）四邊形A1B1C1D1如圖所示； （2）由（1）可得A1（7，7），C1（3，1）； （3）S四邊形A1B1C1D1＝6×6?12×2×3?12×6×3， ＝36﹣3﹣9， ＝36﹣12， ＝24． 【變式4-2】（2022秋?嵊州市期末）在如圖的正方形網(wǎng)格中，每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，格點(diǎn)三角形ABC（頂點(diǎn)是網(wǎng)格線交點(diǎn)的三角形）的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（﹣6，7），（﹣4，3）． （1）請(qǐng)你根據(jù)題意在圖中的網(wǎng)格平面內(nèi)作出平面直角坐標(biāo)系． （2）請(qǐng)畫(huà)出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的△A1B1C1 【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)可確定原點(diǎn)位置，然后畫(huà)出坐標(biāo)系即可； （2）首先確定A、B、C三點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)位置，再連接即可． 【解答】解：（1）如圖： （2）如圖所示：△A1B1C1即為所求． 【變式4-3】（2022春?銅仁市期末）如圖，已知點(diǎn)A（4，3），B（3，1），C（1，2），請(qǐng)解決下列問(wèn)題： （1）若把△ABC向下平移1個(gè)單位，再向左平移5個(gè)單位得到△A1B1C1，請(qǐng)畫(huà)出平移后的圖形并寫(xiě)出A1，B1，C1的坐標(biāo)； （2）若△A2B2C2是△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的圖形，請(qǐng)畫(huà)出△A2B2C2并寫(xiě)出A2，B2，C2的坐標(biāo)． 【分析】（1）利用平移變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1，B1，C1即可； （2）利用軸對(duì)稱(chēng)變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2，B2，C2即可． 【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求，A1（﹣1，2），B1（﹣2，0），C1（﹣4，1）； （2）如圖，△A2B2C2即為所求，A2（4，﹣3），B2（3，﹣1），C2（1，﹣2）． 【題型5 利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)解決折疊問(wèn)題】 【例5】（2022春?廣陵區(qū)校級(jí)期中）發(fā)現(xiàn)（1）如圖1，把△ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A’處，請(qǐng)你判斷∠1+∠2與∠A有何數(shù)量關(guān)系，直接寫(xiě)出你的結(jié)論，不必說(shuō)明理由 思考（2）如圖2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)I重合，若∠1+∠2＝100°，求∠BIC的度數(shù)； 拓展（3）如圖3，在銳角△ABC中，BF⊥AC于點(diǎn)F，CG⊥AB于點(diǎn)G，BF、CG交于點(diǎn)H，把△ABC折疊使點(diǎn)A和點(diǎn)H重合，試探索∠BHC與∠1+∠2的關(guān)系，并證明你的結(jié)論． 【分析】（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理以及平角的定義求出即可； （2）根據(jù)三角形角平分線的性質(zhì)得出∠IBC+∠ICB＝90°?12∠A，得出∠BIC的度數(shù)即可； （3）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)以及垂線的性質(zhì)得出，∠AFH+∠AGH＝90°+90°＝180°，進(jìn)而求出∠A=12（∠1+∠2），即可得出答案． 【解答】解：（1）∠1+∠2＝2∠A； 理由：根據(jù)翻折的性質(zhì)，∠ADE=12（180°﹣∠1），∠AED=12（180°﹣∠2）， ∵∠A+∠ADE+∠AED＝180°， ∴∠A+12（180﹣∠1）+12（180﹣∠2）＝180°， 整理得2∠A＝∠1+∠2； （2）由（1）∠1+∠2＝2∠A，得2∠A＝100°， ∴∠A＝50° ∵IB平分∠ABC，IC平分∠ACB， ∴∠IBC+∠ICB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°﹣∠A）＝90°?12∠A， ∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）＝180°﹣（90°?12∠A）＝90°+12×50°＝115°； （3）∵BF⊥AC，CG⊥AB， ∴∠AFH+∠AGH＝90°+90°＝180°， ∠FHG+∠A＝180°， ∴∠BHC＝∠FHG＝180°﹣∠A， 由（1）知∠1+∠2＝2∠A， ∴∠A=12（∠1+∠2）， ∴∠BHC＝180°?12（∠1+∠2）． 【變式5-1】（2022春?杜爾伯特縣期中）如圖，將邊長(zhǎng)為8cm的正方形ABCD折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的中點(diǎn)E處，點(diǎn)A落在F處，折痕為MN． （1）求線段CN長(zhǎng)． （2）連接FN，并求FN的長(zhǎng)． 【分析】（1）設(shè)NC＝x，則DN＝8﹣x，由翻折的性質(zhì)可知EN＝DN＝8﹣x，在Rt△ENC中，由勾股定理列方程求解即可； （2）連接AN，由翻折的性質(zhì)可知FN＝AN，然后在Rt△ADN中由勾股定理求得AN的長(zhǎng)即可． 【解答】解：（1）設(shè)NC＝x，則DN＝8﹣x．由翻折的性質(zhì)可知：EN＝DN＝8﹣x． 在Rt△ENC中，由勾股定理可知：EN2＝EC2+NC2，（8﹣x）2＝42+x2， 解得：x＝3，即NC＝3cm． （2）如圖所示，連接AN． 在Rt三角形ADN中，AN=AD2+ND2=82+52=89． 由翻折的性質(zhì)可知FN＝AN=89． 【變式5-2】（2022秋?成都期末）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝6，AD＝CD＝3，點(diǎn)E、F分別在線段AB、AD上，將△AEF沿EF翻折，點(diǎn)A的落點(diǎn)記為P．當(dāng)P落在四邊形ABCD內(nèi)部時(shí)，PD的最小值等于　35?6?。? 【分析】當(dāng)沿DE折疊，且點(diǎn)A落在BD上，有DP最小，由勾股定理求得BD的長(zhǎng)，則DP＝BD﹣BP＝BD﹣AB． 【解答】解：如圖：設(shè)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P1，連接ED，過(guò)P1作PP1⊥ED于P， ∴在直角三角形P1PD中，DP1＞DP， ∴當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)P落在線段ED上時(shí)，此時(shí)PD有最小值， 即當(dāng)EP取最大值時(shí)，PD有最小值，而E在線段AB上， ∴當(dāng)E與B重合時(shí)，即EP最大，從而此時(shí)PD取得最小． 在Rt△ADB中，BD=AB2+AD2=36+9=35 ∵PB＝AB＝6 ∴DP＝BD﹣BP＝BD﹣AB＝35?6． 故答案為：35?6． 【變式5-3】（2022?惠安縣期末）如圖，已知一張長(zhǎng)方形紙片ABCD，AB∥CD，AD＝BC＝1，AB＝CD＝5．在長(zhǎng)方形ABCD的邊AB上取一點(diǎn)M，在CD上取一點(diǎn)N，將紙片沿MN折疊，使MB與DN交于點(diǎn)K，得到△MNK． （1）請(qǐng)你動(dòng)手操作，判斷△MNK的形狀一定是　等腰三角形　； （2）問(wèn)△MNK的面積能否小于12？試說(shuō)明理由； （3）如何折疊能夠使△MNK的面積最大？請(qǐng)你用備用圖探究可能出現(xiàn)的情況，并求最大值． 【分析】（1）由AB∥CD與折疊的性質(zhì)易得∠MNK＝∠NMK，即可證得MK＝NK，即△MNK的形狀一定是等腰三角形； （2）分兩種情況分析：如圖1所示：過(guò)點(diǎn)M作MH⊥KN于點(diǎn)H，如圖2所示：KM⊥KN，此時(shí)KM最小，KM＝KN＝1，則可求得S△MNK=12KN?MH≥12×1×1=12； （3）分兩種情況討論．情況一：如圖3，將矩形紙片對(duì)折，使點(diǎn)B與D重合，此時(shí)點(diǎn)K也與D重合．情況二：如圖4，將矩形紙片沿對(duì)角線AC對(duì)折，此時(shí)折痕即為AC．利用方程思想求解，即可求得答案． 【解答】解：（1）等腰三角形． 理由：∵AB∥CD， ∴∠MNK＝∠1， 由折疊的性質(zhì)可得：∠1＝∠NMK， ∴∠MNK＝∠NMK， ∴MK＝NK， 即△MNK是等腰三角形； 故答案為：等腰三角形； （2）不能． 理由：∵AB∥CD， ∴∠KNM＝∠NMB， 又∵∠KMN＝∠NMB； ∴∠KMN＝∠KNM， ∴KM＝KN， 如圖1所示：過(guò)點(diǎn)M作MH⊥KN于點(diǎn)H， ∴MH＝AD＝1， ∴在Rt△KMH中，KM＞MH，即KN＝KM＞1， 如圖2所示：KM⊥KN，此時(shí)KM最小，KM＝KN＝1， ∴KN≥1， ∴S△MNK=12KN?MH≥12×1×1=12， ∴△MNK的面積不可能小于12； （3）分兩種情況討論． 情況一：如圖3，將矩形紙片對(duì)折，使點(diǎn)B與D重合，此時(shí)點(diǎn)K也與D重合． 設(shè)MK＝MB＝x，則AM＝5﹣x． 由勾股定理得12+（5﹣x）2＝x2， 解得x＝2.6； ∴S△MNK=12×2.6×1＝1.3； 情況二：如圖4，將矩形紙片沿對(duì)角線AC對(duì)折，此時(shí)折痕即為AC． 設(shè)MK＝AK＝CK＝x，則DK＝5﹣x． 同理可得x＝2.6． ∴S△MNK=12×2.6×1＝1.3； ∴△MNK的面積最大值為1.3． 【題型6 利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)解決最短路徑問(wèn)題】 【例6】（2022春?嶗山區(qū)期中）早在古羅馬時(shí)代，傳說(shuō)亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫．一天，一位羅馬將軍專(zhuān)程去拜訪他，向他請(qǐng)教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題． 將軍每天從軍營(yíng)A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的軍營(yíng)B開(kāi)會(huì)，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？這個(gè)問(wèn)題的答案并不難，據(jù)說(shuō)海倫略加思索就解決了它．從此以后，這個(gè)被稱(chēng)為“將軍飲馬”的問(wèn)題便流傳至今． 大數(shù)學(xué)家海倫曾用軸對(duì)稱(chēng)的方法巧妙地解決了這個(gè)問(wèn)題． 如圖2，作B關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連接AB′與直線l交于點(diǎn)C，點(diǎn)C就是所求的位置． 證明：如圖3，在直線l上另取任一點(diǎn)C′，連接AC′，BC′，B′C′， ∵直線l是點(diǎn)B，B′的對(duì)稱(chēng)軸，點(diǎn)C，C′在l上， ∴CB＝CB′，C′B＝C′B′， ∴AC+CB＝AC+　CB′?。健B′　． 在△AC′B′中， ∵AB′＜AC′+C′B′ ∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最?。?本問(wèn)題實(shí)際上是利用軸對(duì)稱(chēng)變換的思想，把A，B在直線同側(cè)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在直線的兩側(cè)，從而可利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，即“三角形兩邊之和大于第三邊”的問(wèn)題加以解決（其中C在AB′與l的交點(diǎn)上，即A、C、B′三點(diǎn)共線）．本問(wèn)題可歸納為“求定直線上一動(dòng)點(diǎn)與直線外兩定點(diǎn)的距離和的最小值”的問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型． 【簡(jiǎn)單應(yīng)用】 （1）如圖4，在等邊△ABC中，AB＝6，AD⊥BC，E是AC的中點(diǎn)，M是AD上的一點(diǎn)，求EM+MC的最小值 借助上面的模型，由等邊三角形的軸對(duì)稱(chēng)性可知，B與C關(guān)于直線AD對(duì)稱(chēng)，連接BM，EM+MC的最小值就是線段　BE　的長(zhǎng)度，則EM+MC的最小值是　33　； （2）如圖5，在四邊形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分別找一點(diǎn)M、N當(dāng)△AMN周長(zhǎng)最小時(shí)，∠AMN+∠ANM＝　100　°． 【拓展應(yīng)用】 如圖6，是一個(gè)港灣，港灣兩岸有A、B兩個(gè)碼頭，∠AOB＝30°，OA＝1千米，OB＝2千米，現(xiàn)有一艘貨船從碼頭A出發(fā)，根據(jù)計(jì)劃，貨船應(yīng)先停靠OB岸C處裝貨，再停靠OA岸D處裝貨，最后到達(dá)碼頭B．怎樣安排兩岸的裝貨地點(diǎn)，使貨船行駛的水路最短？請(qǐng)畫(huà)出最短路線并求出最短路程． 【分析】【簡(jiǎn)單應(yīng)用】 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理計(jì)算，得到答案； （2）作A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算； 【拓展應(yīng)用】分別作點(diǎn)A關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，點(diǎn)B關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連接A′B′，交OB于C，交OA于D，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、勾股定理計(jì)算，得到答案． 【解答】解：AC+CB＝AC+CB′＝AB′， 故答案為：CB′；AB′； 【簡(jiǎn)單應(yīng)用】（1）由等邊三角形的軸對(duì)稱(chēng)性可知，B與C關(guān)于直線AD對(duì)稱(chēng)，連接BM， EM+MC的最小值就是線段BE的長(zhǎng)度， BE=62?32=33， 則EM+MC的最小值是33， 故答案為：BE；33； （2）如圖5，作A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N， 則A′A″即為△AMN的周長(zhǎng)最小值， ∵∠DAB＝130°， ∴∠AA′M+∠A″＝50°， ∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″， 且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM， ∴∠AMN+∠ANM＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2（∠AA′M+∠A″）＝2×50°＝100°， 故答案為：100； 【拓展應(yīng)用】如圖6，分別作點(diǎn)A關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，點(diǎn)B關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連接A′B′，交OB于C，交OA于D， 則C、D為兩岸的裝貨地點(diǎn)，A′B′是貨船行駛的水路最短路程， 由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可知，OA′＝OA＝1，OB′＝OB＝2，∠BOA′＝∠AOB＝30°，∠AOB′＝∠AOB＝30°， ∴∠A′OB′＝90°， ∴A′B′=12+22=5， 答：貨船行駛的水路最短路程為5千米． 【變式6-1】在ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AC＝6，點(diǎn)D，E在AB邊上，AD＝CD，點(diǎn)E關(guān)于AC，CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為F，G，則線段FG的最小值等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得出CE＝CF，∠CEF＝∠CFE，CE＝CG，EH＝GH，∠CEF＝∠CGH，進(jìn)而得出CE＝CG＝CF，∠CGH＝∠CFE，然后證得△BCD是等邊三角形，從而證得∠FHG＝60°，進(jìn)一步證得∠FCG＝∠FHG＝60°，證得△CFG是等邊三角形，得出FG＝CF＝CE，因?yàn)镃E的最小值為3，所以FG的最小值為3． 【解答】解：∵點(diǎn)E和F關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)， ∴AC垂直平分EF， ∴CE＝CF，∠CEF＝∠CFE， ∵點(diǎn)E和G關(guān)于CD對(duì)稱(chēng)， ∴CD垂直平分FG， ∴CE＝CG，EH＝GH，∠CEF＝∠CGH， ∴CE＝CG＝CF，∠CGH＝∠CFE， ∵∠ACB＝90°，∠B＝60°， ∴∠A＝30°， ∵AD＝CD， ∴∠ACD＝∠A＝30°， ∴∠BCD＝60°， ∴△BCD是等邊三角形， ∵EF∥BC， ∴∠DEH＝∠B＝60°，∠EHD＝∠BCD＝60°， ∴∠DHG＝∠EHD＝60°， ∴∠FHG＝60° ∵∠CGH＝∠CFE，∠CKF＝∠HKG， ∴∠FCG＝∠FHG＝60°， ∵CF＝CG， ∴△CFG是等邊三角形， ∴FG＝CF＝CE， ∵當(dāng)CE⊥AB時(shí)，CE最短，此時(shí)CE=12AC＝3， ∴FG的最小值為3， 【變式6-2】（2022秋?雙流區(qū)校級(jí)期中）在△ABC中，∠A＝45°，AC＝8，BD⊥AC，BD＝6，點(diǎn)E為邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．E1，E2分別為點(diǎn)E關(guān)于直線AC，AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接E1E2，則線段E1E2長(zhǎng)度的最小值是　12105?。? 【分析】如圖，連接AE，證明△AE1E2是等腰直角三角形，推出E2E1=2AE1=2AE，推出AE最小時(shí)，E1E2的值最小，求出AE的最小值即可． 【解答】解：如圖，連接AE． ∵BD⊥AC， ∴∠ADB＝90°， ∵∠BAC＝45°， ∴∠DAB＝∠DBA＝45°， ∴AD＝BD＝6， ∵E，E2關(guān)于AB對(duì)稱(chēng)，E，E1關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)， ∴∠EAB＝∠E2AB，∠EAC＝∠CAE1，AE＝AE2＝AE2 ∴∠E2AE1＝90°， ∴△AE1E2是等腰直角三角形， ∴E2E1=2AE1=2AE， ∴AE最小時(shí)，E1E2的值最小， 根據(jù)垂線段最短可知，AE與AD重合時(shí)，AE的值最小， 由12AC?BD=12BC?AE知，AE=AC?BDBC=6×862+22=12105， ∴E1E2的最小值為2455． 故答案為：2455． 【變式6-3】（2022春?青羊區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，AB＝4，D為BC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，作DF⊥AB于點(diǎn)F，連接EF，則EF的最小值為 　6　． 【分析】連接AD，取AD中點(diǎn)G，連接EG、FG，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H，先由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半得∠EGF＝2∠EAF，再由∠B＝45°，∠C＝75°得∠EGF＝120°，即有EF=3EG，使EF最小，即要使EG最小，即要使EG+GF＝AD最小，故求出AH即可解決問(wèn)題． 【解答】解：如圖，連接AD，取AD中點(diǎn)G，連接EG、FG，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H， ∵DE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥AB于點(diǎn)F， ∴∠DEA＝∠DFA＝90°， ∴EG＝GF＝0.5AD＝AG＝GD， ∴∠EAG＝∠AEG，∠GAF＝∠AFG， ∴∠EGF＝2∠EAF， ∵∠B＝45°，∠C＝75°， ∴∠BAC＝60°， ∴∠EGF＝120°， ∴EF=3EG， 要使EF最小，即要使EG最小，即要使EG+GF＝AD最小， ∵點(diǎn)到直線垂線段最短， ∴AD最小為AH， ∵∠B＝45°， ∴AB=2AH， ∴AH＝22， ∴EG最小值為2， ∴EF最小值為6． 解法二：延長(zhǎng)DE到M，使得EM＝DE，延長(zhǎng)DF到N使得FN＝DF，連接ANM，AM，MN． ∵EF=12MN， ∴MN最小時(shí)，EF的值最小， ∵當(dāng)AD最小時(shí)，MN的值最小，AD的最小值為22， ∴MN的最小值為26， ∴EF的最小值為6． 故答案為：6． 【題型7 利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)解決探究性問(wèn)題】 【例7】（2022春?二道區(qū)期末）解答下列各題： （1）【問(wèn)題引入】：如圖①，在△ABC中，∠BAC＝70°，點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，三角形的內(nèi)角∠ABC與外角∠ACD的角平分線BP，CP相交于點(diǎn)P，求∠P的度數(shù)﹒（寫(xiě)出完整的解答過(guò)程） （2）【深入探究】：如圖②，在四邊形MNCB中，設(shè)∠M＝a，∠N＝β，四邊形MNCB的內(nèi)角∠MBC與外角∠NCD的角平分線BP，CP相交于點(diǎn)P，則∠P的度數(shù)為 　12(α+β)?90°　﹒（用含有α和β的代數(shù)式表示） （3）【問(wèn)題拓展】：如圖③，在圖①中，把∠BAC＝70°改成∠BAC＝γ，其他條件不變，將△PBC以直線BC為對(duì)稱(chēng)軸翻折得到△GBC，∠GBC的角平分線與∠GCB的角平分線交于點(diǎn)M，則∠BMC的度數(shù)為 　BMC＝90°+14∠γ　.（用含有γ的代數(shù)式表示） 【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)可得∠PBC=12∠ABC，∠PCD=12∠ACD，由外角的性質(zhì)可得∠DCP＝∠CBP+∠P，即可求解； （2）延長(zhǎng)BM交CN的延長(zhǎng)線于A，先得出∠A＝a+β﹣180°，再利用（1）中∠P=12∠A得出結(jié)果； （3）由軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)得出∠BGC＝∠BPC=12∠γ，最后根據(jù)∠BMC＝180°﹣∠MBC﹣∠MCB得出結(jié)論． 【解答】（1）∵三角形的內(nèi)角∠ACD的角平分線為BP， ∴∠CBP=12∠ABC， ∵CP平分△ABC外角， ∴∠DCP=12∠ACD=12（∠A+∠ABC）=12∠A+12∠ABC， 在△ABC中，由三角形的外角性質(zhì)，得， ∠DCP＝∠CBP+∠P=12∠ABC+∠P， ∴12∠A+=12∠ABC=12∠ABC+∠P， ∴∠P=12∠A=12×70°＝35°； （2）延長(zhǎng)BM交CN的延長(zhǎng)線于A， ∵∠M＝a，∠N＝β， ∴∠A＝180°﹣∠AMN﹣∠ANM ＝180°﹣（180°﹣a）﹣（180°﹣β） ＝a+β﹣180°， 由（1）得：∠P=12∠A， ∴∠P=12(α+β)?90°， 故答案為：12(α+β)?90°； （3）由軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)可知： ∠BGC＝∠BPC=12∠γ， ∵∠MBC=12∠GBC， ∠MCB=12∠GCB， ∴∠BMC＝180°﹣∠MBC﹣∠MCB ＝180°?12（∠GBC+∠GCB） ＝180°?12（180°﹣∠BGC） ＝90°+12∠BGC， ∴∠BMC＝90°+14∠γ， 故答案為：∠BMC＝90°+14∠γ． 【變式7-1】（2022秋?洛南縣期末）問(wèn)題提出： （1）如圖1，畫(huà)出直角三角形ABC關(guān)于AC所在直線的軸對(duì)稱(chēng)圖形△ACB′，其中∠BAC＝90°（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）． 問(wèn)題探究： （2）如圖2，∠MAN＝90°，射線AE在∠MAN的內(nèi)部，點(diǎn)B、C在∠MAN的邊AM、AN上，且AB＝AC，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AE于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AE于點(diǎn)D，證明：△ABD≌△CAF． 深入思考： （3）如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且點(diǎn)A、B在直線l的異側(cè)，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥l于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥l于點(diǎn)E．判斷線段AD、BE、DE之間的數(shù)量關(guān)系，并加以說(shuō)明． 【分析】（1）延長(zhǎng)BA，在BA的延長(zhǎng)線收入截取AB′＝AB，連接CB′，△ACB′即為所求． （2）根據(jù)AAS證明三角形全等即可． （3）證明△ADC≌△CEB（AAS）可得結(jié)論． 【解答】（1）解：如圖1中，△ACB′即為所求． （2）證明：如圖2中， ∵BD⊥AE，CF⊥AE，∠MAN＝90°， ∴∠ADB＝∠AFC＝∠MAN＝90°， ∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠BAD+∠CAF＝90°， ∴∠ABD＝∠CAF， ∵AB＝AC， ∴△ABD≌△ACF（AAS）． （3）解：結(jié)論：BE＝AD+DE． 理由：∵AD∥CD，BE⊥CD，∠ACB＝90°， ∴∠ADC＝∠BEC＝∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°， ∴∠ACD＝∠CBE， ∵AC＝BC， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴CD＝BE，AD＝CE， ∵CD＝DE+EC＝DE+AD， ∴BE＝AD+DE． 【變式7-2】（2022春?臨汾期末）綜合實(shí)踐課上，小聰用一張長(zhǎng)方形紙片ABCD對(duì)不同折法下的夾角大小進(jìn)行了探究，先將紙片的一角對(duì)折，使角的頂點(diǎn)A落在A′處，EF為折痕，如圖①所示． （1）若∠AEF＝30°， ①求∠A′EB的度數(shù)； ②又將它的另一個(gè)角也折過(guò)去，并使點(diǎn)B落在EA′上的B′處，折痕為EG，如圖②所示，求∠FEG的度數(shù)； （2）若改變∠AEF的大小，則EA′的位置也隨之改變，則∠FEG的大小是否改變？請(qǐng)說(shuō)明理由． 【分析】（1）①根據(jù)折疊的性質(zhì)以及角平分線的定義即可解決問(wèn)題； ②根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠AEF＝∠A′EF，∠BEG＝∠B′EG，再根據(jù)平角的定義得到∠AEF+∠A′EF+∠BEG+∠B′EG＝180°，即可得到∠FEG的度數(shù)； （2）根據(jù)折疊的性質(zhì)理由同②，可得∠FEG的大小不改變． 【解答】解：（1）①根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：∠AEF＝∠A'EF＝30°， ∴∠A′EB＝180°﹣2×30°＝120°， 答：∠A′EB的度數(shù)為120°； ②：∵長(zhǎng)方形紙片的一角折疊，頂點(diǎn)A落在A′處，另一角折疊，頂點(diǎn)B落在EA′上的B′點(diǎn)處， ∴∠AEF＝∠A′EF，∠BEG＝∠B′EG， ∵∠AEF+∠A′EF+∠BEG+∠B′EG＝180°， ∴∠A′EF+∠B′EG＝90°， ∴∠FEG＝90°． 答：∠FEG的度數(shù)為90°； （2）∠FEG的大小不改變，理由如下： 由折疊的性質(zhì)可知：∠AEF＝∠A′EF，∠BEG＝∠B′EG， ∵∠AEF+∠A′EF+∠BEG+∠B′EG＝180°， ∴∠A′EF+∠B′EG＝90°， ∴∠FEG＝90°． 所以∠FEG的大小不改變． 【變式7-3】（2022秋?鼓樓區(qū)月考）問(wèn)題情境 如圖1，△ABC中，沿∠BAC的平分線AB1折疊，剪掉重疊部分；將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊，剪掉重疊部分；如此反復(fù)操作，沿∠BnAnC的平分線AnBn+1折疊，點(diǎn)Bn與點(diǎn)C重合，我們就稱(chēng)∠BAC是△ABC的正角． 以圖2為例，△ABC中，∠B＝70°，∠C＝35°，若沿∠BAC的平分線AB1折疊，則∠AA1B1＝70°．沿A1B1剪掉重疊部分，在余下的△B1A1C中，由三角形的內(nèi)角和定理可知∠A1B1C＝35°，若沿∠B1A1C的平分線A1B2第二次折疊，則點(diǎn)B1與點(diǎn)C重合．此時(shí)，我們就稱(chēng)∠BAC是△ABC的正角． 探究發(fā)現(xiàn) （1）△ABC中，∠B＝2∠C，則經(jīng)過(guò)兩次折疊后，∠BAC是不是△ABC的正角？　是?。ㄌ睢笆恰被颉安皇恰保?（2）小明經(jīng)過(guò)三次折疊發(fā)現(xiàn)∠BAC是△ABC的正角，則∠B與∠C（不妨設(shè)∠B＞∠C）之間的等量關(guān)系為　∠B＝3∠C?。?根據(jù)以上內(nèi)容猜想：若經(jīng)過(guò)n次折疊∠BAC是△ABC的正角，則∠B與∠C（不妨設(shè)∠B＞∠C）之間的等量關(guān)系為　∠B＝n∠C?。?應(yīng)用提升 （3）如果一個(gè)三角形的最小角是10°，直接寫(xiě)出此三角形另外兩個(gè)角的度數(shù)，使得此三角形的三個(gè)角均是它的正角． 【分析】（1）仔細(xì)分析題意根據(jù)折疊的性質(zhì)及“正角”的定義即可作出判斷； （2）因?yàn)榻?jīng)過(guò)三次折疊∠BAC是△ABC的正角，所以第三次折疊的∠A2B2C＝∠C，由∠ABB1＝∠AA1B1，∠AA1B1＝∠A1B1C+∠C，又∠A1B1C＝∠A1A2B2，∠A1A2B2＝∠A2B2C+∠C，∠ABB1＝∠A1B1C+∠C＝∠A2B2C+∠C+∠C＝3∠C，由此即可求得結(jié)果； （3）根據(jù)正角的定義進(jìn)行推理計(jì)算，即可得出結(jié)果． 【解答】探究發(fā)現(xiàn) 解：（1）△ABC中，∠B＝2∠C，經(jīng)過(guò)兩次折疊，∠BAC是△ABC的正角；理由如下： ∵沿∠BAC的平分線AB1折疊， ∴∠B＝∠AA1B1； 又∵將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊，此時(shí)點(diǎn)B1與點(diǎn)C重合， ∴∠A1B1C＝∠C； ∵∠AA1B1＝∠C+∠A1B1C（外角定理）， ∴∠B＝2∠C； 故答案為：是； （2）在△ABC中，沿∠BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊，剪掉重復(fù)部分，將余下部分沿∠B2A2C的平分線A2B3折疊，點(diǎn)B2與點(diǎn)C重合，則∠BAC是△ABC的正角． 理由如下：根據(jù)折疊的性質(zhì)知，∠B＝∠AA1B1，∠C＝∠A2B2C，∠A1B1C＝∠A1A2B2， 由三角形的外角定理知，∠A1A2B2＝∠C+∠A2B2C＝2∠C； 由四邊形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1﹣∠A1B1C＝∠BAC+2∠B﹣2C＝180°， 由三角形內(nèi)角和定理知，∠BAC+∠B+∠C＝180°， ∴∠B＝3∠C； 由圖1知，當(dāng)∠B＝∠C時(shí)，∠BAC是△ABC的正角； 由圖2知，當(dāng)∠B＝2∠C時(shí)，∠BAC是△ABC的正角； 由圖2知，當(dāng)∠B＝3∠C時(shí)，∠BAC是△ABC的正角； 故若經(jīng)過(guò)n次折疊∠BAC是△ABC的正角，則∠B與∠C（不妨設(shè)∠B＞∠C）之間的等量關(guān)系為∠B＝n∠C； 故答案為：∠B＝3∠C；∠B＝n∠C； 應(yīng)用提升 解：（3）由（2）知，∠B＝n∠C，∠BAC是△ABC的正角， ∵最小角是10°是△ABC的正角， 根據(jù)正角定義，則可設(shè)另兩角分別為10m°，10mn°（其中m、n都是正整數(shù)）． 由題意，得10m+10mn+10＝180， ∴m（n+1）＝17． ∵m、n都是正整數(shù)， ∴m與n+1是17的整數(shù)因子， 因此有：m＝1，n+1＝17； ∴m＝1，n＝16； ∴10m＝10°，10mn＝160°； ∴該三角形的另外兩個(gè)角的度數(shù)分別為：10°，160°． 【題型8 軸對(duì)稱(chēng)圖案的設(shè)計(jì)】 【例8】（2022秋?滄州期末）如圖1所示是一塊有圖案的瓷磚，請(qǐng)利用四塊這樣的瓷磚拼出一個(gè)正方形，使所拼的圖案為軸對(duì)稱(chēng)圖形．在圖4中畫(huà)出你的四個(gè)設(shè)計(jì)方案．（圖2、圖3視為同一圖案） 【分析】觀察已知圖形，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念設(shè)計(jì)圖案． 【解答】解：所設(shè)計(jì)圖形如下所示： 【變式8-1】（2022?金華）現(xiàn)有9個(gè)相同的小正三角形拼成的大正三角形，將其部分涂黑．如圖（1），（2）所示． 觀察圖（1），圖（2）中涂黑部分構(gòu)成的圖案．它們具有如下特征：①都是軸對(duì)稱(chēng)圖形；②涂黑部分都是三個(gè)小正三角形． 請(qǐng)?jiān)趫D（3），圖（4）內(nèi)分別設(shè)計(jì)一個(gè)新圖案，使圖案具有上述兩個(gè)特征． 【分析】因?yàn)檎切问禽S對(duì)稱(chēng)圖形，其對(duì)稱(chēng)軸是從頂點(diǎn)向底邊所作垂線，故只要所涂得小正三角形關(guān)于大正三角形的中垂線對(duì)稱(chēng)即可． 【解答】解：如圖 【變式8-2】（2022春?臨渭區(qū)期末）認(rèn)真觀察下面四幅圖中陰影部分構(gòu)成的圖案，回答下列問(wèn)題． （1）請(qǐng)你寫(xiě)出這四個(gè)圖案都具有的兩個(gè)共同特征： 特征1：　都是軸對(duì)稱(chēng)圖形?。?特征2：　陰影部分面積都為4?。?（2）請(qǐng)你借助下面的網(wǎng)格，設(shè)計(jì)出三個(gè)不同圖案，使它也具備你所寫(xiě)出的上述特征．（注意：新圖案與以上四幅圖中的圖案不能相同） 【分析】（1）觀察發(fā)現(xiàn)四個(gè)圖形都是軸對(duì)稱(chēng)圖形，且面積相等； （2）根據(jù)兩個(gè)特征解決問(wèn)題即可． 【解答】解：（1）這四個(gè)圖案都具有的兩個(gè)共同特征是：都是軸對(duì)稱(chēng)圖形，陰影部分面積都為4； 故答案為：都是軸對(duì)稱(chēng)圖形，陰影部分面積都為4； （2）如圖： ． 【變式8-3】（2022秋?盂縣期末）有這樣一道題：用四塊如圖甲所示的瓷磚拼成一個(gè)正方形，形成軸對(duì)稱(chēng)圖案，和你的同伴比一比，看誰(shuí)的拼法多．某同學(xué)設(shè)計(jì)了如圖的兩個(gè)圖案，請(qǐng)你也用如圖乙所示的瓷磚拼成一個(gè)正方形，形成軸對(duì)稱(chēng)圖案．（至少設(shè)計(jì)四種圖案）

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