1．理解線段的垂直平分線的概念；
2．掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理；(重點(diǎn))
3．能運(yùn)用線段的垂直平分線的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行證明或計(jì)算．(難點(diǎn))
4．經(jīng)歷角的平分線性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，初步掌握角的平分線的性質(zhì)定理；(重點(diǎn))
5．能運(yùn)用角的平分線性質(zhì)定理解決簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題．(難點(diǎn))
知識(shí)點(diǎn)01 線段的垂直平分線（簡(jiǎn)稱(chēng)中垂線）
定義：垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線.
性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.
作法：作已知線段的垂直平分線.
知識(shí)點(diǎn)02 角平分線的性質(zhì)
1.角是軸對(duì)稱(chēng)圖形，角平分線所在的直線是它的對(duì)稱(chēng)軸.
2.性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.
3.作已知角的角平分線.
題型01 根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求解
【例題】（2024八年級(jí)下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，邊上的垂直平分線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，，的周長(zhǎng)為，則的長(zhǎng)為 ．

【變式訓(xùn)練】
1．（2024·山東濱州·一模）如圖，在中，，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)；作直線交AB于點(diǎn)．若，，則長(zhǎng)為 ．
2．（23-24八年級(jí)下·四川雅安·階段練習(xí)）如圖所示，在中，分別垂直平分和，交于．
(1)若，求的度數(shù)；
(2)若的周長(zhǎng)為，求的長(zhǎng)度．
題型02 線段垂直平分線的實(shí)際應(yīng)用
【例題】（23-24八年級(jí)下·河北保定·階段練習(xí)）如圖，政府計(jì)劃在三個(gè)村莊附近建立一所小學(xué)，且小學(xué)到三個(gè)村莊的距離相等，則小學(xué)應(yīng)建在（ ）
A．三邊垂直平分線的交點(diǎn)B．三條角平分線的交點(diǎn)
C．三條高所在直線的交點(diǎn)D．三條中線的交點(diǎn)
【變式訓(xùn)練】
1．（23-24八年級(jí)下·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖，A，B，C表示三個(gè)居民小區(qū)，為豐富居民們的文化生活，現(xiàn)準(zhǔn)備建一個(gè)文化廣場(chǎng)，使它到三個(gè)小區(qū)的距離相等，則文化廣場(chǎng)應(yīng)建在（ ）
A．，兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處B．，兩邊中線的交點(diǎn)處
C．，兩邊高線的交點(diǎn)處D．，兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處
題型03 作垂線（尺規(guī)作圖）
【例題】（23-24八年級(jí)下·廣東佛山·期中）如圖，在中，．
(1)尺規(guī)作圖：作邊的垂直平分線，交與點(diǎn)D，交于點(diǎn)E（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）
(2)若，求的度數(shù)．
【變式訓(xùn)練】
1．（23-24八年級(jí)上·江蘇徐州·期中）如圖，某社區(qū)要在居民區(qū)A，B所在的直線上建一圖書(shū)室E，并使圖書(shū)室E到本社區(qū)兩所學(xué)校C和D的距離相等．已知，，垂足分別為A，B，且，，．
(1)請(qǐng)用直尺和圓規(guī)在圖中作出點(diǎn)E（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；
(2)求圖書(shū)室E到居民區(qū)A的距離．
2．（23-24八年級(jí)上·遼寧鞍山·階段練習(xí)）如圖，某居民小區(qū)在三棟住宅樓，，之間修建了供居民散步的三條綠道，小區(qū)物業(yè)打算在綠道內(nèi)部修建一個(gè)涼亭，按照設(shè)計(jì)要求，涼亭到三條綠道的距離相等，請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)注涼亭的位置，保留作圖痕跡，并說(shuō)明設(shè)計(jì)理由．
題型04 根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理求解
【例題】（23-24八年級(jí)下·廣東茂名·期中）如圖，平分，，如果，那么點(diǎn)到的距離等于
【變式訓(xùn)練】
1．（23-24八年級(jí)下·江西吉安·階段練習(xí)）如圖，是的角平分線，于點(diǎn)，若，則的面積為 ．
2．（23-24八年級(jí)下·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖，已知是平分線上一點(diǎn)，，交于點(diǎn)，，垂足為，且，則的面積等于 ．
題型05 根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理證明
【例題】（23-24八年級(jí)上·廣東廣州·期中）如圖，四邊形中，，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，平分，且平分．

(1)求證：；
(2)求證：點(diǎn)E為的中點(diǎn)．
【變式訓(xùn)練】
1．（23-24八年級(jí)上·湖北恩施·期末）教材第56頁(yè)拓廣探索12題：
(1)如圖，在中，是它的角平分線
①求證：；
②另一方面，我們進(jìn)一步探索，可以證明．
請(qǐng)你選擇上述兩結(jié)論中的其中一個(gè)進(jìn)行證明；
(2)由（1）的探索我們可以得到關(guān)于的角平分線的一個(gè)性質(zhì)，請(qǐng)你總結(jié)這個(gè)性質(zhì)（結(jié)合圖1表述）；
(3)運(yùn)用你所得到的結(jié)論完成下列證明：如圖2，是的平分線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．求證：．
2．（22-23八年級(jí)上·上海普陀·期中）如圖，在中，是的平分線．
(1)在線段上任意取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，通過(guò)這樣的作圖能得到結(jié)論，那么依據(jù)是_________．
(2)如果，平分交于點(diǎn)，且、相交于點(diǎn)，求證：．
(3)如果，在邊上截取一點(diǎn)，連接，使，連接．請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)．
題型06 角平分線的性質(zhì)實(shí)際應(yīng)用
【例題】（23-24八年級(jí)下·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，某市有一塊由三條馬路圍成的三角形綠地，現(xiàn)決定在其中修建一個(gè)亭子，使亭子中心到三條馬路的距離相等，則亭子應(yīng)建在（ ）

A．在邊，兩條高的交點(diǎn)處
B．在邊，兩條中線的交點(diǎn)處
C．在邊，兩條垂直平分線的交點(diǎn)處
D．在和兩條角平分線的交點(diǎn)處
【變式訓(xùn)練】
1．（23-24八年級(jí)下·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，直線a，b，c，表示三條相互交叉的公路，交點(diǎn)為三個(gè)小區(qū)，現(xiàn)擬建一個(gè)超市，要求它到三個(gè)小區(qū)的距離都相等，則可以供選擇的地址有（ ）
A．1處B．2處C．3處D．4處
題型07 作角平分線（尺規(guī)作圖）
【例題】（23-24八年級(jí)下·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖1，兩條交叉馬路，中間區(qū)域建有A，B兩個(gè)溫室花房．現(xiàn)要在兩條馬路，之間的空?qǐng)鎏幗r花交易中心P，使得交易中心P到兩條馬路，的距離相等，且到兩個(gè)溫室花房A，B的距離也相等．如何確定交易中心P的位置?如圖2，利用尺規(guī)作圖求作點(diǎn)P（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）．
【變式訓(xùn)練】
1．（2024·廣東茂名·一模）如圖，已知，，是的一個(gè)外角．
(1)請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，求作射線，使平分．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）
(2)證明：．
2．（23-24九年級(jí)下·湖北恩施·階段練習(xí)）如圖，，以點(diǎn)為圓心，小于長(zhǎng)為半徑作圓弧，分別交，于，兩點(diǎn)，再分別以，為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點(diǎn)，作射線，交于點(diǎn)．
(1)若，求的度數(shù)；
(2)若，垂足為，求證：．
一、單選題
1．（23-24八年級(jí)上·浙江溫州·階段練習(xí)）如圖，．若和分別垂直平分和，則的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
2．（22-23八年級(jí)上·湖北武漢·期末）如圖，中，，，點(diǎn)D 是的角平分線的交點(diǎn)，則點(diǎn)D到的距離為（ ）

A．1B．2C．3D．
3．（22-23九年級(jí)上·浙江杭州·期中）如圖在中，邊，的垂直平分線交于點(diǎn)P，連結(jié)，，若，則（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，以點(diǎn)C為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧交于點(diǎn)D，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)D為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E，作直線，交于點(diǎn)F，則的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24七年級(jí)下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，在中，，是高，是中線，是角平分線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，下面說(shuō)法正確的是（ ）
①的面積的面積；②；③；④．
A．①③④B．①②④C．①②③D．③④
二、填空題
6．（22-23八年級(jí)上·甘肅平?jīng)觥て谀┤鐖D，在中，是的垂直平分線，，的周長(zhǎng)為，則的周長(zhǎng) ．
7．（23-24九年級(jí)下·北京·階段練習(xí)）如圖，在中，，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交、于點(diǎn)D，E，再分別以點(diǎn)D，E為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)F，作射線交邊于點(diǎn)G，若，，則的面積為
8．（23-24八年級(jí)上·山東日照·期末）如圖，的面積是12，，的平分線交于點(diǎn)D，M，N分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是 ．

9．（23-24八年級(jí)下·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)D是上的一點(diǎn)，，的垂直平分線分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)，則 ．

10．（2023·四川瀘州·二模）如圖，已知線段，點(diǎn)P為線段上一動(dòng)點(diǎn)，以為邊作等邊，以為直角邊，為直角，在同側(cè)構(gòu)造，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，連接，則的最小值為
三、解答題
11．（23-24九年級(jí)上·山東青島·階段練習(xí)）A、B是兩個(gè)村莊，是兩條馬路．為發(fā)展經(jīng)濟(jì)，提高農(nóng)民收入，鎮(zhèn)政府決定建立一個(gè)蔬菜批發(fā)市場(chǎng)，選址要使市場(chǎng)到兩條馬路和兩個(gè)村莊的距離都相等．請(qǐng)你用尺規(guī)在圖中找出市場(chǎng)的位置．（不用寫(xiě)作法，但是要保留作圖痕跡）

12．（23-24八年級(jí)上·重慶江津·期中）如圖，在中，，垂直平分，交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)E，且，連接．
(1)求證：；
(2)若的周長(zhǎng)為，，求的長(zhǎng)．
13．（23-24八年級(jí)下·廣東深圳·階段練習(xí)）如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，D為線段的中點(diǎn)，．
(1)求證：．
(2)若，求的度數(shù)．
14．（22-23八年級(jí)上·遼寧營(yíng)口·期中）感知：如圖1，平分，．
探究：如圖2，平分，．，求證：．
15．（23-24八年級(jí)下·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖，在中，，、分別垂直平分和，交于點(diǎn)M、N，垂足分別為點(diǎn)D、E，分別延長(zhǎng)和，相交于點(diǎn)F．八年級(jí)的小明同學(xué)非常喜歡鉆研數(shù)學(xué)問(wèn)題，在學(xué)習(xí)線段垂直平分線時(shí)，他發(fā)現(xiàn)與存在一定的數(shù)量關(guān)系，于是他通過(guò)舉例的方式進(jìn)行研究：

(1)當(dāng)時(shí)，________；當(dāng)時(shí)，________．
(2)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)（用含m的代數(shù)式表示，寫(xiě)出推理過(guò)程）．
(3)當(dāng)時(shí)，________°．
16．（23-24八年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）已知等邊，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，以為邊向外作等邊，連、．
(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，若，判斷與的關(guān)系并證明；
(3)如圖3，在（2）下，連，以為邊向下作等邊，設(shè)交于，連，求證：．

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3 簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱(chēng)圖形

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