北師大版七年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列4.3全等三角形的性質(zhì)【八大題型】同步學(xué)案(學(xué)生版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

專題4.3 全等三角形的性質(zhì)【八大題型】【北師大版】 TOC \o "1-3" \t "正文,1" \h TOC \o "1-1" \h \u HYPERLINK \l "_Toc15769" 【題型1 全等圖形的概念】 PAGEREF _Toc15769 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc13785" 【題型2 全等三角形的對應(yīng)元素判斷】 PAGEREF _Toc13785 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc26035" 【題型3 全等三角形的性質(zhì)（求長度）】 PAGEREF _Toc26035 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc9733" 【題型4 全等三角形的性質(zhì)（求角度）】 PAGEREF _Toc9733 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc26720" 【題型5 全等三角形的性質(zhì)（判斷結(jié)論）】 PAGEREF _Toc26720 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc32398" 【題型6 全等三角形的性質(zhì)（探究角度之間的關(guān)系）】 PAGEREF _Toc32398 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc11956" 【題型7 全等三角形的性質(zhì)（動點問題）】 PAGEREF _Toc11956 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc26337" 【題型8 全等三角形的性質(zhì)（證明題）】 PAGEREF _Toc26337 \h 8 【知識點1 全等圖形的概念】能完全重合的圖形叫做全等圖形. 【知識點2 全等圖形的性質(zhì)】兩個圖形全等，它們的形狀相同，大小相同. 【題型1 全等圖形的概念】【例1】（2022春?偃師市期末）下列說法不正確的是（　?。?A．如果兩個圖形全等，那么它們的形狀和大小一定相同 B．圖形全等，只與形狀、大小有關(guān)，而與它們的位置無關(guān) C．全等圖形的面積相等，面積相等的兩個圖形是全等圖形 D．全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等【變式1-1】（2021秋?思南縣期中）有下列說法，其中正確的有（　?。?①兩個等邊三角形一定能完全重合； ②如果兩個圖形是全等圖形，那么它們的形狀和大小一定相同； ③兩個等腰三角形一定是全等圖形； ④面積相等的兩個圖形一定是全等圖形． A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式1-2】（2021秋?蔡甸區(qū)期中）如圖，有①～⑤5個條形方格圖，每個小方格的邊長均為1，則②～⑤中由實線圍成的圖形與①中由實線圍成的圖形全等的有（　　） A．②③④ B．③④⑤ C．②④⑤ D．②③⑤ 【變式1-3】（2021春?寧德期末）在如圖所示的網(wǎng)格圖中，每個小正方形的邊長都為1．沿著圖中的虛線，可以將該圖形分割成2個全等的圖形．在所有的分割方案中，最長分割線的長度等于　　．【知識點3 全等三角形的性質(zhì)】全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等.（另外全等三角形的周長、面積相等，對應(yīng)邊上的中線、角平分線、高線均相等）【題型2 全等三角形的對應(yīng)元素判斷】【例2】（2021秋?南沙區(qū)期末）如圖是兩個全等三角形，圖中的字母表示三角形的邊長，則∠1的度數(shù)是（　?。? A．115° B．65° C．40° D．25° 【變式2-1】（2021秋?大連期中）如圖，△ABN≌△ACM，∠B和∠C是對應(yīng)角，AB和AC是對應(yīng)邊，其它對應(yīng)邊及對應(yīng)角正確的是（　　） A．∠ANB和∠AMC是對應(yīng)角 B．∠BAN和∠CAB是對應(yīng)角 C．AM和BM是對應(yīng)邊 D．BN和CN是對應(yīng)邊【變式2-2】（2021春?泰興市期末）邊長都為整數(shù)的△ABC和△DEF全等，AB與DE是對應(yīng)邊，AB＝2，BC＝4，若△DEF的周長為奇數(shù)，則DF的值為（　　） A．3 B．4 C．3或5 D．3或4或5 【變式2-3】（2021秋?魯?shù)榭h期末）如果△ABC的三邊長分別為3，5，7，△DEF的三邊長分別為3，3x﹣2，2y﹣1，若這兩個三角形全等，則x+y＝　　．【題型3 全等三角形的性質(zhì)（求長度）】【例3】（2021秋?青田縣期末）如圖，已知△ABC≌△DEF，B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上．若BF＝8cm，BE＝2cm，則CE的長度（　　）cm． A．5 B．4 C．3 D．2 【變式3-1】（2022秋?巴南區(qū)期末）如圖，△ABC≌△BDE，AB⊥BD，AB＝BD，AC＝4，DE＝3，CE的長為（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 【變式3-2】（2020秋?永嘉縣校級期末）如圖，已知△ABC≌△DBE，點A，C分別對應(yīng)點D，E，BC交DE于點F，∠ABD＝∠E，若BE＝10，CF＝4，則EF的長為（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【變式3-3】（2021春?沙坪壩區(qū)期末）如圖，△ABC中，點D、點E分別在邊AB、BC上，連結(jié)AE、DE，若△ADE≌△BDE，AC：AB：BC＝2：3：4，且△ABC的周長比△AEC的周長大6．則△AEC的周長為　 ?。? 【題型4 全等三角形的性質(zhì)（求角度）】【例4】（2022春?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，△ABC≌△A′B′C′，邊B′C′過點A且平分∠BAC交BC于點D，∠B＝27°，∠CDB′＝98°，則∠C′的度數(shù)為（　?。? A．60° B．45° C．43° D．34° 【變式4-1】（2021秋?民權(quán)縣期末）如圖，△ABC≌△ADE，且AE∥BD，∠BAD＝94°，則∠BAC的度數(shù)的值為（　　） A．84° B．60° C．48° D．43° 【變式4-2】（2021秋?招遠(yuǎn)市期中）如圖，△ABC≌△DEC，點A和點D是對應(yīng)頂點，點B和點E是對應(yīng)頂點，過點A作AF⊥CD，垂足為點F，若∠BCE＝56°，則∠CAF的度數(shù)為（　?。? A．36° B．24° C．56° D．34° 【變式4-3】（2022春?武侯區(qū)期末）如圖，在△ABC中，在邊BC上取一點D，連接AD，在邊AD上取一點E，連接CE．若△ADB≌△CDE，∠BAD＝α，則∠ACE的度數(shù)為（　?。? A．α B．α﹣45° C．45°﹣α D．90°﹣α 【題型5 全等三角形的性質(zhì)（判斷結(jié)論）】【例5】（2022?龍崗區(qū)模擬）如圖，△ABC≌△A′B′C，且點B′在AB邊上，點A′恰好在BC的延長線上，下列結(jié)論錯誤的是（　　） A．∠BCB′＝∠ACA′ B．∠ACB＝2∠B C．∠B′CA＝∠B′AC D．B′C平分∠BB′A′ 【變式5-1】（2021春??？谄谀┤鐖D，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，則對于結(jié)論①AC＝AF，②∠FAB＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB＝∠FAC，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　?。? A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式5-2】（2021秋?新樂市期末）如圖，△ABD≌△EBC，AB＝12，BC＝5，A，B，C三點共線，則下列結(jié)論中： ①CD⊥AE； ②AD⊥CE； ③∠EAD＝∠ECD；正確的是　　【變式5-3】（2021秋?五常市期末）如圖，點E是CD上的一點，Rt△ACD≌Rt△EBC，則下結(jié)論： ①AC＝BC，②AD∥BE，③∠ACB＝90°，④AD+DE＝BE，成立的有　　個．【題型6 全等三角形的性質(zhì)（探究角度之間的關(guān)系）】【例6】（2022?長春二模）如圖，△AOB≌△ADC，點B和點C是對應(yīng)頂點，∠O＝∠D＝90°，記∠OAD＝α，∠ABO＝β，當(dāng)BC∥OA時，α與β之間的數(shù)量關(guān)系為（　　） A．α＝β B．α＝2β C．α+β＝90° D．α+2β＝180° 【變式6-1】（2021秋?林州市期末）如圖，點D，E，F(xiàn)分別在△ABC的邊AB，BC，CA上（不與頂點重合），設(shè)∠BAC＝α，∠FED＝θ．若△BED≌△CFE，則α，θ滿足的關(guān)系是（　　） A．α+θ＝90° B．α+2θ＝180° C．α﹣θ＝90° D．2α+θ＝180° 【變式6-2】（2022春?徐匯區(qū)校級期末）如圖，N，C，A三點在同一直線上，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，又△MNC≌△ABC，則∠BCM：∠BCN等于（　　） A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：4 【變式6-3】（2022?定遠(yuǎn)縣模擬）如圖，銳角△ABC中，D、E分別是AB、AC邊上的點，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′∥BC，BE、CD交于點F，若∠BAC＝α，∠BFC＝β，則（　　） A．2α+β＝180° B．2β﹣α＝145° C．α+β＝135° D．β﹣α＝60° 【題型7 全等三角形的性質(zhì)（動點問題）】【例7】（2021秋?柘城縣期中）如圖，∠C＝∠CAM＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，點P在線段AC上，以2cm/s速度從點A出發(fā)向點C運動，到點C停止運動．點Q在射線AM上運動，且PQ＝AB．若△ABC與△PQA全等，則點P運動的時間為（　?。? A．4s B．2s C．2s或3s或4s D．2s或4s 【變式7-1】（2021春?浦東新區(qū)校級期末）△ABC中，AB＝AC＝12厘米，∠B＝∠C，BC＝9厘米，點D為AB的中點．如果點P在線段BC上以v厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動．若點Q的運動速度為3厘米/秒，則當(dāng)△BPD與△CQP全等時，v的值為（　　） A．2.5 B．3 C．2.25或3 D．1或5 【變式7-2】（2021春?和平區(qū)期末）如圖，CA⊥AB于點A，AB＝8，AC＝4，射線BM⊥AB于點B，一動點E從A點出發(fā)以2個單位/秒沿射線AB運動，點D為射線BM上一動點，隨著E點運動而運動，且始終保持ED＝CB，若點E經(jīng)過t秒（t＞0），△DEB與△BCA全等，則t的值為　　秒．【變式7-3】（2021春?高新區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．點P從A點出發(fā)沿A→C→B路徑向終點運動，終點為B點；點Q從B點出發(fā)沿B→C→A路徑向終點運動，終點為A點．點P和Q分別以每秒1和3的運動速度同時開始運動，兩點都要到相應(yīng)的終點時才能停止運動，在某時刻，分別過P和Q作PE⊥l于E、作QF⊥l于F，當(dāng)點P運動　秒時，以P、E、C為頂點的三角形和以Q、F、C為頂點的三角形全等．【題型8 全等三角形的性質(zhì)（證明題）】【例8】（2021秋?大化縣期中）如圖所示，已知△ABD≌△CFD，AD⊥BC于D．（1）求證：CE⊥AB；（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的長．專題4.3 全等三角形的性質(zhì)【八大題型】【北師大版】 TOC \o "1-3" \t "正文,1" \h TOC \o "1-1" \h \u HYPERLINK \l "_Toc15769" 【題型1 全等圖形的概念】 PAGEREF _Toc15769 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc13785" 【題型2 全等三角形的對應(yīng)元素判斷】 PAGEREF _Toc13785 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc26035" 【題型3 全等三角形的性質(zhì)（求長度）】 PAGEREF _Toc26035 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc9733" 【題型4 全等三角形的性質(zhì)（求角度）】 PAGEREF _Toc9733 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc26720" 【題型5 全等三角形的性質(zhì)（判斷結(jié)論）】 PAGEREF _Toc26720 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc32398" 【題型6 全等三角形的性質(zhì)（探究角度之間的關(guān)系）】 PAGEREF _Toc32398 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc11956" 【題型7 全等三角形的性質(zhì)（動點問題）】 PAGEREF _Toc11956 \h 16 HYPERLINK \l "_Toc26337" 【題型8 全等三角形的性質(zhì)（證明題）】 PAGEREF _Toc26337 \h 20 【知識點1 全等圖形的概念】能完全重合的圖形叫做全等圖形. 【知識點2 全等圖形的性質(zhì)】兩個圖形全等，它們的形狀相同，大小相同. 【題型1 全等圖形的概念】【例1】下列說法不正確的是（　?。?A．如果兩個圖形全等，那么它們的形狀和大小一定相同 B．圖形全等，只與形狀、大小有關(guān)，而與它們的位置無關(guān) C．全等圖形的面積相等，面積相等的兩個圖形是全等圖形 D．全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等【分析】直接利用全等圖形的定義與性質(zhì)分別分析得出答案．【解答】解：A．如果兩個圖形全等，那么它們的形狀和大小一定相同，正確，不合題意； B．圖形全等，只與形狀、大小有關(guān)，而與它們的位置無關(guān)，正確，不合題意； C．全等圖形的面積相等，但是面積相等的兩個圖形不一定是全等圖形，故此選項錯誤，符合題意； D．全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，正確，不合題意；【變式1-1】有下列說法，其中正確的有（　　） ①兩個等邊三角形一定能完全重合； ②如果兩個圖形是全等圖形，那么它們的形狀和大小一定相同； ③兩個等腰三角形一定是全等圖形； ④面積相等的兩個圖形一定是全等圖形． A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】直接利用全等圖形的性質(zhì)分別分析得出答案．【解答】解：①兩個等邊三角形不一定能完全重合，故此選項不合題意； ②如果兩個圖形是全等圖形，那么它們的形狀和大小一定相同，故此選項符合題意； ③兩個等腰三角形不一定是全等圖形，故此選項不合題意； ④面積相等的兩個圖形不一定是全等圖形，故此選項不合題意．【變式1-2】如圖，有①～⑤5個條形方格圖，每個小方格的邊長均為1，則②～⑤中由實線圍成的圖形與①中由實線圍成的圖形全等的有（　　） A．②③④ B．③④⑤ C．②④⑤ D．②③⑤ 【分析】本題可通過旋轉(zhuǎn)，看后邊四個實線圖形能和①中圖形完全重合的便是①的全等形．【解答】解：②以右下角頂點為定點順時針旋轉(zhuǎn)90°后，兩個實線圖形剛好重合， ③中為平行四邊形，而①中為梯形，所以不能和①中圖形完全重合， ④可上下反轉(zhuǎn)成②的情況，然后旋轉(zhuǎn)可和①中圖形完全重合， ⑤可旋轉(zhuǎn)180°后可和①中圖形完全重合，【變式1-3】在如圖所示的網(wǎng)格圖中，每個小正方形的邊長都為1．沿著圖中的虛線，可以將該圖形分割成2個全等的圖形．在所有的分割方案中，最長分割線的長度等于　 ?。? 【分析】沿著圖中的虛線，可以將該圖形分割成2個全等的圖形．畫出所有的分割方案，即可得到最長分割線的長度．【解答】解：分割方案如圖所示：由圖可得，最長分割線的長度等于7．故答案為：7．【知識點3 全等三角形的性質(zhì)】全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等.（另外全等三角形的周長、面積相等，對應(yīng)邊上的中線、角平分線、高線均相等）【題型2 全等三角形的對應(yīng)元素判斷】【例2】如圖是兩個全等三角形，圖中的字母表示三角形的邊長，則∠1的度數(shù)是（　?。? A．115° B．65° C．40° D．25° 【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠2，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：由三角形內(nèi)角和定理得，∠2＝180°﹣115°﹣25°＝40°， ∵兩個三角形全等， ∴∠1＝∠2＝40°，【變式2-1】如圖，△ABN≌△ACM，∠B和∠C是對應(yīng)角，AB和AC是對應(yīng)邊，其它對應(yīng)邊及對應(yīng)角正確的是（　?。? A．∠ANB和∠AMC是對應(yīng)角 B．∠BAN和∠CAB是對應(yīng)角 C．AM和BM是對應(yīng)邊 D．BN和CN是對應(yīng)邊【分析】全等三角形的對應(yīng)頂點在對應(yīng)位置，按順序找即可．關(guān)鍵要細(xì)心，找對對應(yīng)角和對應(yīng)邊．【解答】解：∵△ABN≌△ACM，∠B和∠C是對應(yīng)角，AB與AC是對應(yīng)邊， ∴對應(yīng)邊：AN與AM，BN與CM；對應(yīng)角：∠BAN＝∠CAM，∠ANB＝∠AMC．【變式2-2】（2021春?泰興市期末）邊長都為整數(shù)的△ABC和△DEF全等，AB與DE是對應(yīng)邊，AB＝2，BC＝4，若△DEF的周長為奇數(shù)，則DF的值為（　?。?A．3 B．4 C．3或5 D．3或4或5 【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求得AC的范圍，然后根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可求解．【解答】解：AC的范圍是2＜AC＜6，則AC的奇數(shù)值是3或5． △ABC和△DEF全等，AB與DE是對應(yīng)邊，則DE＝AB＝2，當(dāng)DF＝AC時，DF＝3或5．當(dāng)DF＝BC時，DF＝4．故選：D．【變式2-3】（2021秋?魯?shù)榭h期末）如果△ABC的三邊長分別為3，5，7，△DEF的三邊長分別為3，3x﹣2，2y﹣1，若這兩個三角形全等，則x+y＝　　．【分析】根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等列出方程，解方程分別求出x、y，計算即可，注意分類討論．【解答】解：∵兩個三角形全等， ∴3x﹣2＝5，2y﹣1＝7或3x﹣2＝7，2y﹣1＝5，解得：x=73，y＝4或x＝3，y＝3，則x+y=193或6，故答案為：193或6．【題型3 全等三角形的性質(zhì)（求長度）】【例3】（2021秋?青田縣期末）如圖，已知△ABC≌△DEF，B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上．若BF＝8cm，BE＝2cm，則CE的長度（　?。ヽm． A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BC＝EF，求出BE＝CF＝2cm，再求出答案即可．【解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴BC＝EF， ∴BC﹣CE＝EF﹣CE， ∴BE＝CF， ∵BE＝2cm， ∴CF＝BE＝2cm， ∵BF＝8cm， ∴CE＝BF﹣BE﹣CF＝8﹣2﹣2＝4（cm），【變式3-1】（2022秋?巴南區(qū)期末）如圖，△ABC≌△BDE，AB⊥BD，AB＝BD，AC＝4，DE＝3，CE的長為（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和線段的和差即可得到結(jié)論．【解答】解：∵△ABC≌△BDE， ∴BE＝AC＝4，BC＝DE＝3， ∴CE＝BE﹣BC＝1，【變式3-2】（2020秋?永嘉縣校級期末）如圖，已知△ABC≌△DBE，點A，C分別對應(yīng)點D，E，BC交DE于點F，∠ABD＝∠E，若BE＝10，CF＝4，則EF的長為（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】根據(jù)全等三角形性質(zhì)，可得：∠ABC＝∠DBE，進(jìn)而得出∠ABD＝∠FBE，得出∠FBE＝∠E，得出BF＝EF即可．【解答】解：∵△ABC≌△DBE， ∴∠ABC＝∠DBE，BE＝BC， ∴∠ABC﹣∠DBF＝∠DBE﹣∠DBF，即∠ABD＝∠FBE， ∵∠ABD＝∠E， ∴∠FBE＝∠E， ∴BF＝EF＝BC﹣CF＝10﹣4＝6，【變式3-3】（2021春?沙坪壩區(qū)期末）如圖，△ABC中，點D、點E分別在邊AB、BC上，連結(jié)AE、DE，若△ADE≌△BDE，AC：AB：BC＝2：3：4，且△ABC的周長比△AEC的周長大6．則△AEC的周長為　 ?。? 【分析】由AC：AB：BC＝2：3：4，可設(shè)AC＝2x，AB＝3x，BC＝4x．△ABC的周長比△AEC的周長大6，可推斷出x＝2，故AC＝4，BC＝8．由△ADE≌△BDE，得AE＝BE，故C△AEC＝AE+EC+AC＝BE+EC+AC＝BC+AC＝12．【解答】解：∵△ADE≌△BDE， ∴BE＝AE． ∴C△AEC＝AE+EC+AC＝BE+EC+AC＝BC+AC． ∵AC：AB：BC＝2：3：4， ∴設(shè)AC＝2x，AB＝3x，BC＝4x． ∵△ABC的周長比△AEC的周長大6， ∴C△ABC﹣C△AEC＝6． ∴（AB+BC+AC）﹣（BC+AC）＝6． ∴AB＝3x＝6． ∴x＝2． ∴AC＝2x＝4，BC＝4x＝8． ∴C△AEC＝BC+AC＝8+4＝12．故答案為：12．【題型4 全等三角形的性質(zhì)（求角度）】【例4】（2022春?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，△ABC≌△A′B′C′，邊B′C′過點A且平分∠BAC交BC于點D，∠B＝27°，∠CDB′＝98°，則∠C′的度數(shù)為（　　） A．60° B．45° C．43° D．34° 【分析】根據(jù)對頂角相等求出∠ADB，根據(jù)三角形內(nèi)角定理求出∠BAD，根據(jù)角平分線的定義求出∠BAC，進(jìn)而求出∠C，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等解答即可．【解答】解：∵∠CDB′＝98°， ∴∠ADB＝∠CDB′＝98°， ∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝55°， ∵AB′平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠BAD＝110°， ∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝43°， ∵△ABC≌△A′B′C′， ∴∠C′＝∠C＝43°，【變式4-1】（2021秋?民權(quán)縣期末）如圖，△ABC≌△ADE，且AE∥BD，∠BAD＝94°，則∠BAC的度數(shù)的值為（　?。? A．84° B．60° C．48° D．43° 【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠BAC＝∠EAD，AB＝AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠ADB＝∠ABD＝43°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠EAD＝∠ADB＝43°，再求出答案即可．【解答】解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠BAC＝∠EAD，AB＝AD， ∵∠BAD＝94°， ∴∠ADB＝∠ABD=12×（180°﹣∠BAD）＝43°， ∵AE∥BD， ∴∠EAD＝∠ADB＝43°， ∴∠BAC＝∠EAD＝43°，故選：D．【變式4-2】（2021秋?招遠(yuǎn)市期中）如圖，△ABC≌△DEC，點A和點D是對應(yīng)頂點，點B和點E是對應(yīng)頂點，過點A作AF⊥CD，垂足為點F，若∠BCE＝56°，則∠CAF的度數(shù)為（　?。? A．36° B．24° C．56° D．34° 【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠BCA＝∠ECD，求出∠BCE＝∠ACF，求出∠ACF＝56°，再根據(jù)直角三角形的兩銳角互余得出即可．【解答】解：∵△ABC≌△DEC， ∴∠BCA＝∠ECD， ∴∠BCA﹣∠ECA＝∠ECD﹣∠ECA，即∠BCE＝∠ACF， ∵∠BCE＝56°， ∴∠ACF＝56°， ∵AF⊥CD， ∴∠AFC＝90°， ∴∠CAF＝90°﹣∠ACF＝＝34°，故選：D．【變式4-3】（2022春?武侯區(qū)期末）如圖，在△ABC中，在邊BC上取一點D，連接AD，在邊AD上取一點E，連接CE．若△ADB≌△CDE，∠BAD＝α，則∠ACE的度數(shù)為（　?。? A．α B．α﹣45° C．45°﹣α D．90°﹣α 【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠ADB＝∠CDE，AD＝CD，∠DCE＝∠BAD，進(jìn)一步可得∠CDE＝90°，∠ACD＝45°，即可求出∠ACE的度數(shù)．【解答】解：∵△ADB≌△CDE， ∴∠ADB＝∠CDE，AD＝CD，∠DCE＝∠BAD， ∵∠ADB+∠CDE＝180°， ∴∠CDE＝90°， ∴∠ACD＝∠CAD＝45°， ∵∠BAD＝α， ∴∠DCE＝α， ∴∠ACE＝45°﹣α，【題型5 全等三角形的性質(zhì)（判斷結(jié)論）】【例5】（2022?龍崗區(qū)模擬）如圖，△ABC≌△A′B′C，且點B′在AB邊上，點A′恰好在BC的延長線上，下列結(jié)論錯誤的是（　　） A．∠BCB′＝∠ACA′ B．∠ACB＝2∠B C．∠B′CA＝∠B′AC D．B′C平分∠BB′A′ 【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BC＝B′C，∠ACB＝∠A′CB′，∠B＝∠A′B′C，再逐個判斷即可．【解答】解：∵△ABC≌△A′B′C， ∴BC＝B′C，∠ACB＝∠A′CB′，∠B＝∠A′B′C， A．∵∠ACB＝∠A′CB′， ∴∠ACB﹣∠ACB′＝∠A′CB′﹣∠ACB′， ∴∠BCB′＝∠ACA′，故本選項不符合題意； B．∵BC＝B′C， ∴∠B＝∠CB′B， ∴∠A′CB′＝∠B+∠BB′C＝2∠B， ∵∠ACB＝∠A′CB′， ∴∠ACB＝2∠B，故本選項不符合題意； C．不能推出∠B′CA＝∠B′AC，故本選項符合題意； D．∵∠B＝∠BB′C，∠B＝∠A′B′C， ∴∠A′B′C＝∠BB′C，即B′C平分∠BB′A′，故本選項不符合題意；【變式5-1】（2021春??？谄谀┤鐖D，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，則對于結(jié)論①AC＝AF，②∠FAB＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB＝∠FAC，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　?。? A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等，全等三角形對應(yīng)角相等結(jié)合圖象解答即可．【解答】解：∵△ABC≌△AEF， ∴AC＝AF，故①正確； ∠EAF＝∠BAC， ∴∠FAC＝∠EAB≠∠FAB，故②錯誤； EF＝BC，故③正確； ∠EAB＝∠FAC，故④正確；綜上所述，結(jié)論正確的是①③④共3個．【變式5-2】（2021秋?新樂市期末）如圖，△ABD≌△EBC，AB＝12，BC＝5，A，B，C三點共線，則下列結(jié)論中： ①CD⊥AE； ②AD⊥CE； ③∠EAD＝∠ECD；正確的是　　【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)可以判斷各個小題中的結(jié)論是否成立，從而可以解答本題．【解答】解：延長AD交EC于點N，延長CD交AE于點M， ∵△ABD≌△EBC， ∴∠ABD＝∠EBC，AB＝EB，BD＝BC，∠DAB＝∠CEB， ∵∠ABD+∠EBC＝180°，∠BAE＝∠BEA，∠BDC＝∠BCD， ∴∠ABD＝∠EBC＝90°， ∴∠BAE＝∠BEA＝45°，∠BDC＝∠BCD＝45°， ∴∠BAE+∠BCD＝90°， ∴∠AMC＝90°， ∴CD⊥AE，故①正確； ∵∠CEB+∠ECB＝90°，∠BAD＝∠BEC， ∴∠BAD+∠ECB＝90°， ∴∠ANC＝90°， ∴AD⊥CE，故②正確； ∵∠ADB＝∠EAD+∠AED＝∠EAD+45°， ∠ECB＝∠ECD+∠BCD＝∠ECD+45°， ∠ADB＝∠ECB， ∴∠EAD＝∠ECD，故③正確；故填：①②③．【變式5-3】（2021秋?五常市期末）如圖，點E是CD上的一點，Rt△ACD≌Rt△EBC，則下結(jié)論： ①AC＝BC，②AD∥BE，③∠ACB＝90°，④AD+DE＝BE，成立的有　　個．【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AC＝BE，CD＝BC，∠ACD＝∠CBE，∠D＝∠BCE，根據(jù)以上結(jié)論即可推出AC＜BC，∠D≠∠BED，∠ACB＝90°，AD+DE＝CD＝BC＞BE，即可判斷各個小題．【解答】解： ∵Rt△ACD≌Rt△EBC， ∴AC＝BE， ∵在Rt△BEC中，BE＜BC， ∴AC＜BC，∴①錯誤； ∵∠CAD＝∠CEB＝∠BED＝90°，∠D＜∠CAD， ∴∠D≠∠BED， ∴AD和BE不平行，∴②錯誤； ∵Rt△ACD≌Rt△EBC， ∴∠ACD＝∠CEE，∠D＝∠BCE， ∵∠CAD＝90°， ∴∠ACD+∠D＝90°， ∴∠ACB＝∠ACD+∠BDE＝90°，∴③正確； ∵Rt△ACD≌Rt△EBC， ∴AD＝CE，CD＝BC， CD＝CE+DE＝AD+DE＝BC， ∵BE＜BC， ∴AD+DE＞BE，∴④錯誤；故答案為：1．【題型6 全等三角形的性質(zhì)（探究角度之間的關(guān)系）】【例6】（2022?長春二模）如圖，△AOB≌△ADC，點B和點C是對應(yīng)頂點，∠O＝∠D＝90°，記∠OAD＝α，∠ABO＝β，當(dāng)BC∥OA時，α與β之間的數(shù)量關(guān)系為（　　） A．α＝β B．α＝2β C．α+β＝90° D．α+2β＝180° 【分析】根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AB＝AC，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠BAO＝∠CAD，然后求出∠BAC＝α，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠ABC，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補表示出∠OBC，整理即可．【解答】解：∵△AOB≌△ADC， ∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAD， ∴∠BAC＝∠OAD＝α，在△ABC中，∠ABC=12（180°﹣α）， ∵BC∥OA， ∴∠OBC＝180°﹣∠O＝180°﹣90°＝90°， ∴β+12（180°﹣α）＝90°，整理得，α＝2β．【變式6-1】（2021秋?林州市期末）如圖，點D，E，F(xiàn)分別在△ABC的邊AB，BC，CA上（不與頂點重合），設(shè)∠BAC＝α，∠FED＝θ．若△BED≌△CFE，則α，θ滿足的關(guān)系是（　?。? A．α+θ＝90° B．α+2θ＝180° C．α﹣θ＝90° D．2α+θ＝180° 【分析】由∠BAC＝α，得∠B+∠C＝180°﹣α，根據(jù)△BED≌△CFE，即有∠B＝∠C＝90°?12α，∠BDE＝∠FEC，故∠FEC+∠BED＝90°+12α，從而90°+12α+θ＝180°，即可答案．【解答】解：∵∠BAC＝α， ∴∠B+∠C＝180°﹣α， ∵△BED≌△CFE， ∴∠B＝∠C＝90°?12α，∠BDE＝∠FEC， ∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝180°﹣（90°?12α）＝90°+12α， ∴∠FEC+∠BED＝90°+12α， ∵∠FED＝θ，∠FEC+∠BED+∠FED＝180°， ∴90°+12α+θ＝180°， ∴α+2θ＝180°，【變式6-2】（2022春?徐匯區(qū)校級期末）如圖，N，C，A三點在同一直線上，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，又△MNC≌△ABC，則∠BCM：∠BCN等于（　?。? A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：4 【分析】利用三角形的三角的比，求出三角的度數(shù)，再進(jìn)一步根據(jù)各角之間的關(guān)系求出∠BCM、∠BCN的度數(shù)可求出結(jié)果．【解答】解：在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10 設(shè)∠A＝3x°，則∠ABC＝5x°，∠ACB＝10x° 3x+5x+10x＝180 解得x＝10 則∠A＝30°，∠ABC＝50°，∠ACB＝100° ∴∠BCN＝180°﹣100°＝80° 又△MNC≌△ABC ∴∠ACB＝∠MCN＝100° ∴∠BCM＝∠NCM﹣∠BCN＝100°﹣80°＝20° ∴∠BCM：∠BCN＝20°：80°＝1：4 故選：D．【變式6-3】（2022?定遠(yuǎn)縣模擬）如圖，銳角△ABC中，D、E分別是AB、AC邊上的點，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′∥BC，BE、CD交于點F，若∠BAC＝α，∠BFC＝β，則（　?。? A．2α+β＝180° B．2β﹣α＝145° C．α+β＝135° D．β﹣α＝60° 【分析】延長C′D交AC于M，如圖，根據(jù)全等的性質(zhì)得∠C′＝∠ACD，∠C′AD＝∠CAD＝∠B′AE＝α，再利用三角形外角性質(zhì)得∠C′MC＝∠C′+∠C′AM＝∠C′+2α，接著利用C′D∥B′E得到∠AEB＝∠C′MC，而根據(jù)三角形內(nèi)角和得到∠AEB′＝180°﹣∠B′﹣α，則∠C′+2α＝180°﹣∠B′﹣α，所以∠C′+∠B′＝180°﹣3α，利用三角形外角性質(zhì)和等角代換得到∠BFC＝∠C＝α+∠C′+∠B′，所以∠BFC＝β＝180°﹣2α，進(jìn)一步變形后即可得到答案．【解答】解：延長C′D交AC于M，如圖， ∵△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′， ∴∠C′＝∠ACD，∠C′AD＝∠CAD＝∠B′AE＝α， ∴∠C′MC＝∠C′+∠C′AM＝∠C′+2α， ∵C′D∥B′E， ∴∠AEB′＝∠C′MC， ∵∠AEB′＝180°﹣∠B′﹣∠B′AE＝180°﹣∠B′﹣α， ∴∠C′+2α＝180°﹣∠B′﹣α， ∴∠C′+∠B′＝180°﹣3α， ∵β＝∠BFC＝∠BDF+∠DBF＝∠DAC+∠ACD+∠B'＝α+∠ACD+∠B′＝α+∠C′+∠B′＝α+180°﹣3α＝180°﹣2α，即：2α+β＝180°．【題型7 全等三角形的性質(zhì)（動點問題）】【例7】（2021秋?柘城縣期中）如圖，∠C＝∠CAM＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，點P在線段AC上，以2cm/s速度從點A出發(fā)向點C運動，到點C停止運動．點Q在射線AM上運動，且PQ＝AB．若△ABC與△PQA全等，則點P運動的時間為（　?。? A．4s B．2s C．2s或3s或4s D．2s或4s 【分析】分△ABC≌△PQA和△ABC≌△QPA兩種情況，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：當(dāng)△ABC≌△PQA時，AP＝AC＝8， ∵點P的速度為2cm/s， ∴8÷2＝4（s）；當(dāng)△ABC≌△QPA時，當(dāng)AP＝BC＝4， ∵點P的速度為2cm/s， ∴4÷2＝2（s）故選：D．【變式7-1】（2021春?浦東新區(qū)校級期末）△ABC中，AB＝AC＝12厘米，∠B＝∠C，BC＝9厘米，點D為AB的中點．如果點P在線段BC上以v厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動．若點Q的運動速度為3厘米/秒，則當(dāng)△BPD與△CQP全等時，v的值為（　?。? A．2.5 B．3 C．2.25或3 D．1或5 【分析】分兩種情況討論：①若△BPD≌△CPQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，則BD＝CQ＝6厘米，BP＝CP=12BC=12×9＝4.5（厘米），根據(jù)速度、路程、時間的關(guān)系即可求得；②若△BPD≌△CQP，則CP＝BD＝6厘米，BP＝CQ，得出v＝3．【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC＝12厘米，點D為AB的中點， ∴BD＝6厘米，若△BPD≌△CPQ，則需BD＝CQ＝6厘米，BP＝CP=12BC=12×9＝4.5（厘米）， ∵點Q的運動速度為3厘米/秒， ∴點Q的運動時間為：6÷3＝2（s）， ∴v＝4.5÷2＝2.25（厘米/秒）；若△BPD≌△CQP，則需CP＝BD＝6厘米，BP＝CQ， ∴v＝3， ∴v的值為：2.25或3，【變式7-2】（2021春?和平區(qū)期末）如圖，CA⊥AB于點A，AB＝8，AC＝4，射線BM⊥AB于點B，一動點E從A點出發(fā)以2個單位/秒沿射線AB運動，點D為射線BM上一動點，隨著E點運動而運動，且始終保持ED＝CB，若點E經(jīng)過t秒（t＞0），△DEB與△BCA全等，則t的值為　　秒．【分析】此題要分兩種情況：①當(dāng)E在線段AB上時，②當(dāng)E在BN上，再分別分成兩種情況AC＝BE，AB＝BE進(jìn)行計算即可．【解答】解：①當(dāng)E在線段AB上，AC＝BE時，△ACB≌△BED， ∵AC＝4， ∴BE＝4， ∴AE＝8﹣4＝4， ∴點E的運動時間為4÷2＝2（秒）； ②當(dāng)E在BN上，AC＝BE時， ∵AC＝4， ∴BE＝4， ∴AE＝8+4＝12， ∴點E的運動時間為12÷2＝6（秒）； ③當(dāng)E在BN上，AB＝EB時，△ACB≌△BDE， AE＝8+8＝16，點E的運動時間為16÷2＝8（秒），故答案為：2，6，8．【變式7-3】（2021春?高新區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．點P從A點出發(fā)沿A→C→B路徑向終點運動，終點為B點；點Q從B點出發(fā)沿B→C→A路徑向終點運動，終點為A點．點P和Q分別以每秒1和3的運動速度同時開始運動，兩點都要到相應(yīng)的終點時才能停止運動，在某時刻，分別過P和Q作PE⊥l于E、作QF⊥l于F，當(dāng)點P運動　秒時，以P、E、C為頂點的三角形和以Q、F、C為頂點的三角形全等．【分析】根據(jù)題意分為五種情況，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出CP＝CQ，代入得出關(guān)于t的方程，解方程即可．【解答】解：分為五種情況：①如圖1，P在AC上，Q在BC上，則PC＝6﹣t，QC＝8﹣3t， ∵PE⊥l，QF⊥l， ∴∠PEC＝∠QFC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠EPC+∠PCE＝90°，∠PCE+∠QCF＝90°， ∴∠EPC＝∠QCF， ∵△PCE≌△CQF， ∴PC＝CQ，即6﹣t＝8﹣3t， t＝1； ②如圖2，P在BC上，Q在AC上，則PC＝t﹣6，QC＝3t﹣8， ∵由①知：PC＝CQ， ∴t﹣6＝3t﹣8， t＝1； t﹣6＜0，即此種情況不符合題意； ③當(dāng)P、Q都在AC上時，如圖3， CP＝6﹣t＝3t﹣8， t=72； ④當(dāng)Q到A點停止，P在BC上時，AC＝PC，t﹣6＝6時，解得t＝12． ⑤P和Q都在BC上的情況不存在，因為P的速度是每秒1cm，Q的速度是每秒3cm；答：點P運動1或72或12秒時，以P、E、C為頂點的三角形上以O(shè)、F、C為頂點的三角形全等．故答案為：1或72或12．【題型8 全等三角形的性質(zhì)（證明題）】【例8】（2021秋?大化縣期中）如圖所示，已知△ABD≌△CFD，AD⊥BC于D．（1）求證：CE⊥AB；（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的長．【分析】（1）由△ABD≌△CFD，得出∠BAD＝∠DCF，再利用三角形內(nèi)角和即可得出答案；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AD＝DC，即可得出BD＝DF，進(jìn)而解決問題．【解答】（1）證明：∵△ABD≌△CFD， ∴∠BAD＝∠DCF，又∵∠AFE＝∠CFD， ∴∠AEF＝∠CDF＝90°， ∴CE⊥AB；（2）解：∵△ABD≌△CFD， ∴BD＝DF， ∵BC＝7，AD＝DC＝5， ∴BD＝BC﹣CD＝2， ∴AF＝AD﹣DF＝5﹣2＝3．【變式8-1】（2021秋?海淀區(qū)校級期中）如圖，A，E，C三點在同一直線上，且△ABC≌△DAE．（1）線段DE，CE，BC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．（2）請你猜想△ADE滿足什么條件時，DE∥BC，并證明．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AE＝BC，DE＝AC，再求出答案即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠AED＝∠C，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠C＝∠DEC，再根據(jù)鄰補角互補得出∠AED+∠DEC＝180°，再求出∠AED＝90°即可．【解答】（1）解：DE＝CE+BC．理由：∵△ABC≌△DAE， ∴AE＝BC，DE＝AC． ∵A，E，C三點在同一直線上， ∴AC＝AE+CE， ∴DE＝CE+BC；（2）猜想：DE∥BC，則∠DEC＝∠C． ∵△ABC≌△DAE， ∴∠AED＝∠C， ∴∠AED＝∠DEC．又∵∠AED+∠DEC＝180°， ∴∠AED＝∠DEC＝90°， ∴當(dāng)△ADE滿足∠AED＝90°時，DE//BC．【變式8-2】（2021秋?灌云縣月考）如圖所示，A，C，E三點在同一直線上，且△ABC≌△DAE．（1）求證：BC＝DE+CE；（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時，BC∥DE？【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AE＝BC，AC＝DE，再求出答案即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BCE＝∠E，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠ACB＝∠E，求出∠ACB＝∠BCE，再求出答案即可．【解答】（1）證明：∵△ABC≌△DAE， ∴AE＝BC，AC＝DE，又∵AE＝AC+CE， ∴BC＝DE+CE；（2）解：∵BC∥DE， ∴∠BCE＝∠E，又∵△ABC≌△DAE， ∴∠ACB＝∠E， ∴∠ACB＝∠BCE，又∵∠ACB+∠BCE＝180°， ∴∠ACB＝90°，即當(dāng)△ABC滿足∠ACB為直角時，BC∥DE．【變式8-3】（2021秋?定遠(yuǎn)縣校級期中）如圖所示，△ACD≌△ECD，△CEF≌△BEF，∠ACB＝90°．（1）求證：CD⊥AB；（2）求∠B的度數(shù)；（3）求證：EF∥AC．【分析】（1）由△ACD≌△ECD可得出∠ADC＝∠EDC，結(jié)合點A、D、E、B共線即可得出∠ADC＝