專題4.2 與三角形有關(guān)的線段【八大題型】 【北師大版】 TOC \o "1-3" \t "正文,1" \h TOC \o "1-1" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc23324" 【題型1 三角形的分類】  PAGEREF _Toc23324 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc1159" 【題型2 判斷三角形的個數(shù)】  PAGEREF _Toc1159 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc8210" 【題型3 三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用】  PAGEREF _Toc8210 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc28542" 【題型4 三角形的穩(wěn)定性】  PAGEREF _Toc28542 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc7873" 【題型5 三角形的角平分線、中線和高線概念辨析】  PAGEREF _Toc7873 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc27982" 【題型6 三角形的中線與面積問題】  PAGEREF _Toc27982 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc3540" 【題型7 三角形的中線與周長問題】  PAGEREF _Toc3540 \h 7  HYPERLINK \l "_Toc25647" 【題型8 證明三角形中線段不等關(guān)系】  PAGEREF _Toc25647 \h 8   【知識點1 三角形的概念】 由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形. 【知識點2 三角形的分類】 按邊分類：三角形三邊都不相等的三角形 等腰三角形底邊和腰不相等的等腰三角形等邊三角形 按角分類：三角形直角三角形 斜三角形銳角三角形鈍角三角形 【題型1 三角形的分類】 【例1】（2021秋?漳平市期中）下列說法正確的有（　?。?①等腰三角形是等邊三角形； ②三角形按邊分可分為等腰三角形、等邊三角形和不等邊三角形； ③等腰三角形至少有兩邊相等； ④三角形按角分類應(yīng)分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形． A．①② B．①③④ C．③④ D．①②④ 【變式1-1】（2021秋?威縣期末）下列關(guān)于三角形的分類，有如圖所示的甲、乙兩種分法，則（　?。? A．甲、乙兩種分法均正確 B．甲分法正確，乙分法錯誤 C．甲分法錯誤，乙分法正確 D．甲、乙兩種分法均錯誤 【變式1-2】（2021秋?陽新縣期末）如圖表示的是三角形的分類，則正確的表示是（　?。? A．M表示三邊均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等邊三角形 B．M表示三邊均不相等的三角形，N表示等邊三角形，P表示等腰三角形 C．M表示等腰三角形，N表示等邊三角形，P表示三邊均不相等的三角形 D．M表示等邊三角形，N表示等腰三角形，P表示三邊均不相等的三角形 【變式1-3】（2021秋?靜安區(qū)期末）下列說法錯誤的是（　?。?A．任意一個直角三角形都可以被分割成兩個等腰三角形 B．任意一個等腰三角形都可以被分割成兩個等腰三角形 C．任意一個直角三角形都可以被分割成兩個直角三角形 D．任意一個等腰三角形都可以被分割成兩個直角三角形 【題型2 判斷三角形的個數(shù)】 【例2】（2021?蒙陰縣校級開學）如圖中三角形的個數(shù)是（　?。? A．3 B．4 C．5 D．6 【變式2-1】（2022春?建鄴區(qū)校級期中）如圖，以AB為邊的三角形的個數(shù)是（　?。? A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【變式2-2】（2021秋?安徽期中）現(xiàn)有若干個三角形，在所有的內(nèi)角中，有5個直角，3個鈍角，25個銳角，則在這些三角形中銳角三角形的個數(shù)是（　?。?A．3 B．4或5 C．6或7 D．8 【變式2-3】（2022秋?饒平縣校級期末）觀察圖形規(guī)律： （1）圖①中一共有　 　個三角形，圖②中共有　 　個三角形，圖③中共有　 　個三角形． （2）由以上規(guī)律進行猜想，第n個圖形共有　 　個三角形． 【知識點3 三角形的三邊關(guān)系】 三角形兩邊的和大于第三邊，兩邊的差小于第三邊. 在運用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段 長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個三角形． 【題型3 三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用】 【例3】（2022?平桂區(qū)二模）老師布置了一份家庭作業(yè)：用老師給的三根小木棍做出一個三角形木架，三根小木棍的長度分別為：5cm、9cm、10cm，要求只能對10cm的小木棍進行裁剪（裁剪后長度為整數(shù)）．你認為同學們最多能做出（　?。﹤€不同的三角形木架． A．1 B．2 C．6 D．10 【變式3-1】（2022春?秦淮區(qū)期中）如圖，用四顆螺絲將不能彎曲的木條圍成一個木框，不計螺絲大小，其中相鄰兩顆螺絲的距離依次為3、4、6、8，且相鄰兩根木條的夾角均可以調(diào)整，若調(diào)整木條的夾角時不破壞此木框，則任意兩顆螺絲的距離的最大值是（　?。? A．7 B．10 C．11 D．14 【變式3-2】（2022?襄州區(qū)模擬）一個三角形的周長是偶數(shù)，其中的兩條邊分別為5和9，則滿足上述條件的三角形個數(shù)為（　?。?A．2個 B．4個 C．6個 D．8個 【變式3-3】（2021秋?祁陽縣期末）已知三角形的三條邊長均為整數(shù)，其中有一條邊長是4，但它不是最短邊，這樣的三角形的個數(shù)為（　?。?A．6個 B．8個 C．10個 D．12個 【知識點4 三角形的穩(wěn)定性】 當三角形三邊的長度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有穩(wěn)定性．這一特性主 要應(yīng)用在實際生活中. 【題型4 三角形的穩(wěn)定性】 【例4】（2021春?左權(quán)縣月考）我國建造的港珠澳大橋全長55公里，集橋、島、隧于一體，是世界最長的跨海大橋．如圖，這是港珠澳大橋中的斜拉索橋，那么你能推斷出斜拉索大橋中運用的數(shù)學原理是 　 ?。? 【變式4-1】（2021秋?云夢縣月考）下列生活中的一些事實運用了“三角形穩(wěn)定性”的是（　?。?A． B． C． D． 【變式4-2】（2021秋?龍巖期末）下列圖形中，不具有穩(wěn)定性的是（　?。?A． B． C． D． 【變式4-3】（2021秋?嵐皋縣校級月考）要使如圖所示的六邊形木架不變形，則至少需要釘上木條的根數(shù)為（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 【知識點5 三角形的角平分線、中線和高】 從三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高． （2）三角形一個內(nèi)角的平分線與這個內(nèi)角的對邊交于一點，則這個內(nèi)角的頂點與所交的點間的線段叫做三角形的角平分線． （3）三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線． （4）三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段． （5）銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，相交于三角形內(nèi)一點，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內(nèi)部，它們的交點是直角頂點；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部，三條高所在直線相交于三角形外一點． 【題型5 三角形的角平分線、中線和高線概念辨析】 【例5】（2022春?泗縣期中）如圖，在△ABC中，∠1＝∠2，G為AD的中點，延長BG交AC于E．F為AB上的一點，CF⊥AD于H．下列判斷正確的有（　?。? A．AD是△ABE的角平分線 B．BE是△ABD邊AD上的中線 C．CH為△ACD邊AD上的高 D．AH為△ABC的角平分線 【變式5-1】（2021春?鎮(zhèn)江期中）如圖，△ABC的角平分線AD與中線BE相交于點O，有下列兩個結(jié)論：①AO是△ABE的角平分線：②DE是△ADC的中線，其中（　?。? A．只有①正確 B．只有②正確 C．①和②都正確 D．①和②都不正確 【變式5-2】（2022春?靜安區(qū)期中）下列判斷錯誤的是（　?。?A．三角形的三條高的交點在三角形內(nèi) B．三角形的三條中線交于三角形內(nèi)一點 C．直角三角形的三條高的交點在直角頂點 D．三角形的三條角平分線交于三角形內(nèi)一點 【變式5-3】（2021秋?茶陵縣期末）下列說法中，正確的個數(shù)是（　?。?①三角形的中線、角平分線、高都是線段；②三角形的三條角平分線、三條中線、三條高都在三角形內(nèi)部；③直角三角形只有一條高；④三角形的三條角平分線、三條中線、三條高分別交于一點． A．1 B．2 C．3 D．4 【題型6 三角形的中線與面積問題】 【例6】（2022春?廣州期中）如圖，△ABC的面積是24，點D、E、F、G分別是BC、AD、BE、CE的中點，則△AFG的面積是（　?。? A．9 B．9.5 C．10.5 D．10 【變式6-1】（2022春?邗江區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，D，E分別是BC，AD的中點，點F在BE上，且EF＝2BF，若S△BCF＝2cm2，則S△ABC＝（　　） A．3 B．6 C．8 D．12 【變式6-2】（2021秋?潮安區(qū)期末）如圖，AD是△ABC的中線，點E是AD的中點，連接BE、CE，若△ABC的面積是8，則陰影部分的面積為（　?。? A．4 B．2 C．6 D．8 【變式6-3】（2022春?泰興市校級月考）如圖，在△ABC中，G是邊BC上任意一點，D、E、F分別是AG、BD、CE的中點，S△ABC＝48，則S△DEF的值為 　 ?。? 【題型7 三角形的中線與周長問題】 【例7】（2021秋?乳山市校級月考）在△ABC中，∠B＜∠C，AD為BC邊的中線，△ABD的周長與△ADC的周長相差3，AB＝8，則AC＝　 ?。?【變式7-1】（2021秋?澗西區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，△ADC的周長比△ABD的周長多2，AB+AC＝8，則AC的長為 　 ?。? 【變式7-2】（2021春?芙蓉區(qū)校級月考）△ABC中，AC＝2BC，BC邊上的中線AD把△ABC的周長分成40和60兩部分，求BC的長． 【變式7-3】（2022秋?重慶期末）如圖，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中點，E點在邊AB上，三角形BDE與四邊形ACDE的周長相等． （1）求線段AE的長． （2）若圖中所有線段長度的和是53cm，求BC+12DE的值． 【題型8 證明三角形中線段不等關(guān)系】 【例8】（2022春?鼓樓區(qū)期末）如圖，P為△ABC內(nèi)任意一點，求證：AB+AC＞PB+PC． 【變式8-1】（2021春?嵩縣期末）如圖所示，D是△ABC的邊AC上任意一點（不含端點），連結(jié)BD，請判斷AB+BC+AC與2BD的大小關(guān)系，并說明理由． 專題4.2 與三角形有關(guān)的線段【八大題型】 【北師大版】 TOC \o "1-3" \t "正文,1" \h TOC \o "1-1" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc23324" 【題型1 三角形的分類】  PAGEREF _Toc23324 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc1159" 【題型2 判斷三角形的個數(shù)】  PAGEREF _Toc1159 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc8210" 【題型3 三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用】  PAGEREF _Toc8210 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc28542" 【題型4 三角形的穩(wěn)定性】  PAGEREF _Toc28542 \h 7  HYPERLINK \l "_Toc7873" 【題型5 三角形的角平分線、中線和高線概念辨析】  PAGEREF _Toc7873 \h 9  HYPERLINK \l "_Toc27982" 【題型6 三角形的中線與面積問題】  PAGEREF _Toc27982 \h 11  HYPERLINK \l "_Toc3540" 【題型7 三角形的中線與周長問題】  PAGEREF _Toc3540 \h 14  HYPERLINK \l "_Toc25647" 【題型8 證明三角形中線段不等關(guān)系】  PAGEREF _Toc25647 \h 17   【知識點1 三角形的概念】 由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形. 【知識點2 三角形的分類】 按邊分類：三角形三邊都不相等的三角形 等腰三角形底邊和腰不相等的等腰三角形等邊三角形 按角分類：三角形直角三角形 斜三角形銳角三角形鈍角三角形 【題型1 三角形的分類】 【例1】（2021秋?漳平市期中）下列說法正確的有（　　） ①等腰三角形是等邊三角形； ②三角形按邊分可分為等腰三角形、等邊三角形和不等邊三角形； ③等腰三角形至少有兩邊相等； ④三角形按角分類應(yīng)分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形． A．①② B．①③④ C．③④ D．①②④ 【分析】①根據(jù)等腰三角形及等邊三角形的定義進行解答即可； ②由三角形按邊分可分為不等邊三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分為底和腰不相等的三角形和等邊三角形，可得結(jié)論； ③根據(jù)等腰三角形的定義進行解答； ④根據(jù)三角形按角分類情況可得答案． 【解答】解：①∵有兩個邊相等的三角形叫等腰三角形，三條邊都相等的三角形叫等邊三角形， ∴等腰三角形不一定是等邊三角形， ∴①錯誤； ②∵三角形按邊分可分為不等邊三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分為底和腰不相等的三角形和等邊三角形， ∴②錯誤； ③∵兩邊相等的三角形稱為等腰三角形， ∴③正確； ④∵三角形按角分類可以分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形， ∴④正確． 【變式1-1】（2021秋?威縣期末）下列關(guān)于三角形的分類，有如圖所示的甲、乙兩種分法，則（　　） A．甲、乙兩種分法均正確 B．甲分法正確，乙分法錯誤 C．甲分法錯誤，乙分法正確 D．甲、乙兩種分法均錯誤 【分析】給出知識樹，分析其中的錯誤，這就要求平時學習扎實認真，概念掌握的準確． 【解答】解：甲正確的分類應(yīng)該為，乙分法正確； 【變式1-2】（2021秋?陽新縣期末）如圖表示的是三角形的分類，則正確的表示是（　　） A．M表示三邊均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等邊三角形 B．M表示三邊均不相等的三角形，N表示等邊三角形，P表示等腰三角形 C．M表示等腰三角形，N表示等邊三角形，P表示三邊均不相等的三角形 D．M表示等邊三角形，N表示等腰三角形，P表示三邊均不相等的三角形 【分析】根據(jù)三角形按邊的分類可直接選出答案． 【解答】解：三角形根據(jù)邊分類如下： 三角形不等邊三角形等腰三角形底和腰不相等的等腰三角形等邊三角形； 【變式1-3】（2021秋?靜安區(qū)期末）下列說法錯誤的是（　?。?A．任意一個直角三角形都可以被分割成兩個等腰三角形 B．任意一個等腰三角形都可以被分割成兩個等腰三角形 C．任意一個直角三角形都可以被分割成兩個直角三角形 D．任意一個等腰三角形都可以被分割成兩個直角三角形 【分析】根據(jù)等腰三角形的判定和直角三角形的性質(zhì)判斷即可． 【解答】解：A、任意一個直角三角形被斜邊的中線分割成兩個等腰三角形，說法正確； B、有的等腰三角形不能分割成兩個等腰三角形，說法錯誤； C、任意一個直角三角形可以被斜邊的高分割成兩個直角三角形，說法正確； D、任意一個等腰三角形可以被底邊上的高分割成兩個直角三角形，說法正確； 【題型2 判斷三角形的個數(shù)】 【例2】（2021?蒙陰縣校級開學）如圖中三角形的個數(shù)是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】結(jié)合圖形寫出所有的三角形，得到答案． 【解答】解：圖中有△ABE、△ABC、△BCE、△BCD、△CED共5個， 【變式2-1】（2022春?建鄴區(qū)校級期中）如圖，以AB為邊的三角形的個數(shù)是（　　） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【分析】根據(jù)三角形的概念、結(jié)合圖形寫出以AB為邊的三角形． 【解答】解：△ABC、△ABE、△ABF、△ABD四個三角形是以AB為邊的三角形， 故選：D． 【變式2-2】（2021秋?安徽期中）現(xiàn)有若干個三角形，在所有的內(nèi)角中，有5個直角，3個鈍角，25個銳角，則在這些三角形中銳角三角形的個數(shù)是（　?。?A．3 B．4或5 C．6或7 D．8 【分析】根據(jù)三角形的定義，先得出三角形的個數(shù)．再根據(jù)三角形的分類，得出銳角三角形的個數(shù)． 【解答】解：由題意得：若干個三角形，在所有的內(nèi)角中，有5個直角，3個鈍角，25個銳角時， ∴共有33÷3＝11個三角形； 又三角形中，最多有一個直角或最多有一個鈍角，顯然11個三角形中，有5個直角三角形和3個鈍角三角形； 故還有11﹣5﹣3＝3個銳角三角形． 【變式2-3】（2022秋?饒平縣校級期末）觀察圖形規(guī)律： （1）圖①中一共有　 　個三角形，圖②中共有　 　個三角形，圖③中共有　 　個三角形． （2）由以上規(guī)律進行猜想，第n個圖形共有　 　個三角形． 【分析】（1）根據(jù)圖形直接數(shù)出三角形個數(shù)即可； （2）根據(jù)（1）中所求得出數(shù)字變化規(guī)律，進而求出即可． 【解答】解：（1）如圖所示：圖①中一共有3個三角形，圖②中共有6個三角形，圖③中共有10個三角形． 故答案為：3，6，10； （2）∵1+2＝3，1+2+3＝6，1+2+3+4＝10， ∴第n個圖形共有：1+2+3+…+（n+1）=(n+1)(n+2)2． 故答案為：(n+1)(n+2)2． 【知識點3 三角形的三邊關(guān)系】 三角形兩邊的和大于第三邊，兩邊的差小于第三邊. 在運用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段 長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個三角形． 【題型3 三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用】 【例3】（2022?平桂區(qū)二模）老師布置了一份家庭作業(yè)：用老師給的三根小木棍做出一個三角形木架，三根小木棍的長度分別為：5cm、9cm、10cm，要求只能對10cm的小木棍進行裁剪（裁剪后長度為整數(shù)）．你認為同學們最多能做出（　　）個不同的三角形木架． A．1 B．2 C．6 D．10 【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系列出不等式組，判斷即可． 【解答】解：設(shè)從10cm的小木棍上裁剪的線段長度為xcm， 則9﹣5＜x＜9+5，即4＜x＜14， ∴整數(shù)x的值為5cm、6cm、7cm、8cm、9cm、10cm， ∴同學們最多能做出6個不同的三角形木架， 【變式3-1】（2022春?秦淮區(qū)期中）如圖，用四顆螺絲將不能彎曲的木條圍成一個木框，不計螺絲大小，其中相鄰兩顆螺絲的距離依次為3、4、6、8，且相鄰兩根木條的夾角均可以調(diào)整，若調(diào)整木條的夾角時不破壞此木框，則任意兩顆螺絲的距離的最大值是（　?。? A．7 B．10 C．11 D．14 【分析】分四種情況、根據(jù)三角形的三邊關(guān)系解答即可． 【解答】解：①選3+4、6、8作為三角形，則三邊長為7、6、8；7﹣6＜8＜7+6，能構(gòu)成三角形，此時兩個螺絲間的最長距離為8； ②選6+4、3、8作為三角形，則三邊長為10、3、8；8﹣3＜10＜8+3，能構(gòu)成三角形，此時兩個螺絲間的最大距離為10； ③選3+8、4、6作為三角形，則三邊長為111、4、6；4+6＜11，不能構(gòu)成三角形，此種情況不成立； ④選6+8、3、4作為三角形，則三邊長為14、3、4；而3+4＜14，不能構(gòu)成三角形，此種情況不成立； 綜上所述，任兩螺絲的距離之最大值為10， 【變式3-2】（2022?襄州區(qū)模擬）一個三角形的周長是偶數(shù)，其中的兩條邊分別為5和9，則滿足上述條件的三角形個數(shù)為（　　） A．2個 B．4個 C．6個 D．8個 【分析】首先設(shè)三角形第三邊長為x，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得9﹣5＜x＜5+9，解不等式可得x的取值范圍，再根據(jù)周長是偶數(shù)確定x的值，進而可得答案． 【解答】解：設(shè)三角形第三邊長為x，由題意得： 9﹣5＜x＜5+9， 解得：4＜x＜14， ∵周長是偶數(shù)， ∴x＝6，8，10，12，共4個． 【變式3-3】（2021秋?祁陽縣期末）已知三角形的三條邊長均為整數(shù)，其中有一條邊長是4，但它不是最短邊，這樣的三角形的個數(shù)為（　　） A．6個 B．8個 C．10個 D．12個 【分析】根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，用窮舉法即可得出答案． 【解答】解：∵三角形的三條邊長均為整數(shù)，其中有一條邊長是4，但它不是最短邊， 列舉法：當4是最大邊時，有（1，4，4），（2，3，4），（2，4，4），（3，3，4），（3，4，4）． 當4是中間的邊時，有（2，4，5），（3，4，5），（3，4，6）．共8個， 【知識點4 三角形的穩(wěn)定性】 當三角形三邊的長度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有穩(wěn)定性．這一特性主 要應(yīng)用在實際生活中. 【題型4 三角形的穩(wěn)定性】 【例4】（2021春?左權(quán)縣月考）我國建造的港珠澳大橋全長55公里，集橋、島、隧于一體，是世界最長的跨海大橋．如圖，這是港珠澳大橋中的斜拉索橋，那么你能推斷出斜拉索大橋中運用的數(shù)學原理是 　 ?。? 【分析】根據(jù)三角形的三邊一旦確定，則形狀大小完全確定，即三角形的穩(wěn)定性． 【解答】解：可以推斷出斜拉索大橋中運用的數(shù)學原理是三角形的穩(wěn)定性． 故答案為：三角形的穩(wěn)定性． 【變式4-1】（2021秋?云夢縣月考）下列生活中的一些事實運用了“三角形穩(wěn)定性”的是（　　） A． B． C． D． 【分析】三角形具有穩(wěn)定性，其它多邊形不具有穩(wěn)定性，把多邊形分割成三角形則多邊形的形狀就不會改變． 【解答】解：兒童座架利用三角形的穩(wěn)定性，座架形成三角形不變形，結(jié)實，故C符合題意； A、B、D不是三角形，故選項不符合題意． 【變式4-2】（2021秋?龍巖期末）下列圖形中，不具有穩(wěn)定性的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性進行解答即可． 【解答】解：A、不具有穩(wěn)定性，故此選項符合題意； B、具有穩(wěn)定性，故此選項不符合題意； C、具有穩(wěn)定性，故此選項不合題意； D、具有穩(wěn)定性，故此選項不符合題意； 【變式4-3】（2021秋?嵐皋縣校級月考）要使如圖所示的六邊形木架不變形，則至少需要釘上木條的根數(shù)為（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】三角形具有穩(wěn)定性，所以要使六邊形木架不變形需把它分成三角形，即過六邊形的一個頂點作對角線，有幾條對角線，就至少要釘上幾根木條． 【解答】解：過六邊形的一個頂點作對角線，有6﹣3＝3條對角線， 所以至少要釘上3根木條． 【知識點5 三角形的角平分線、中線和高】 從三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高． （2）三角形一個內(nèi)角的平分線與這個內(nèi)角的對邊交于一點，則這個內(nèi)角的頂點與所交的點間的線段叫做三角形的角平分線． （3）三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線． （4）三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段． （5）銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，相交于三角形內(nèi)一點，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內(nèi)部，它們的交點是直角頂點；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部，三條高所在直線相交于三角形外一點． 【題型5 三角形的角平分線、中線和高線概念辨析】 【例5】（2022春?泗縣期中）如圖，在△ABC中，∠1＝∠2，G為AD的中點，延長BG交AC于E．F為AB上的一點，CF⊥AD于H．下列判斷正確的有（　　） A．AD是△ABE的角平分線 B．BE是△ABD邊AD上的中線 C．CH為△ACD邊AD上的高 D．AH為△ABC的角平分線 【分析】根據(jù)三角形的角平分線、三角形的中線、三角形的高的概念進行判斷． 連接三角形的頂點和對邊中點的線段即為三角形的中線； 三角形的一個角的角平分線和對邊相交，頂點和交點間的線段叫三角形的角平分線； 從三角形的一個頂點向?qū)呉咕€，頂點和垂足間的線段叫三角形的高． 【解答】解：A、根據(jù)三角形的角平分線的概念，知AG是△ABE的角平分線，故本選項錯誤； B、根據(jù)三角形的中線的概念，知BG是△ABD的邊AD上的中線，故本選項錯誤； C、根據(jù)三角形的高的概念，知CH為△ACD的邊AD上的高，故本選項正確； D、根據(jù)三角形的角平分線的概念，知AD是△ABC的角平分線，故本選項錯誤． 【變式5-1】（2021春?鎮(zhèn)江期中）如圖，△ABC的角平分線AD與中線BE相交于點O，有下列兩個結(jié)論：①AO是△ABE的角平分線：②DE是△ADC的中線，其中（　　） A．只有①正確 B．只有②正確 C．①和②都正確 D．①和②都不正確 【分析】易得∠BAD＝∠CAD，AE＝CE，根據(jù)這兩個條件判斷所給選項是否正確即可． 【解答】解：∵△ABC的角平分線AD與中線BE相交于點O， ∴∠BAD＝∠CAD，AE＝CE， ①在△ABE中，∠BAD＝∠CAD，∴AO是△ABE的角平分線，故①正確； ②在△ADC中，AE＝CE，∴DE是△ADC的中線，故②正確； 【變式5-2】（2022春?靜安區(qū)期中）下列判斷錯誤的是（　　） A．三角形的三條高的交點在三角形內(nèi) B．三角形的三條中線交于三角形內(nèi)一點 C．直角三角形的三條高的交點在直角頂點 D．三角形的三條角平分線交于三角形內(nèi)一點 【分析】根據(jù)三角形的角平分線，中線，高的定義一一判斷即可． 【解答】解：A、銳角三角形的三條高的交點在三角形內(nèi)，故本選項說法錯誤，符合題意； B、三角形的三條中線交于三角形內(nèi)一點，故本選項說法正確，不符合題意； C、直角三角形的三條高的交點在直角頂點，故本選項說法正確，不符合題意； D、三角形的三條角平分線交于三角形內(nèi)一點，故本選項說法正確，不符合題意． 【變式5-3】（2021秋?茶陵縣期末）下列說法中，正確的個數(shù)是（　　） ①三角形的中線、角平分線、高都是線段；②三角形的三條角平分線、三條中線、三條高都在三角形內(nèi)部；③直角三角形只有一條高；④三角形的三條角平分線、三條中線、三條高分別交于一點． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根據(jù)三角形的三條中線都在三角形內(nèi)部； 三角形的三條角平分線都在三角形內(nèi)部； 三角形三條高可以在內(nèi)部，也可以在外部，直角三角形有兩條高在邊上． 【解答】解：①三角形的中線、角平分線、高都是線段，故正確； ②鈍角三角形的高有兩條在三角形外部，故錯誤； ③直角三角形有兩條直角邊和直角到對邊的垂線段共三條高，故錯誤； ④三角形的三條角平分線、三條中線分別交于一點是正確的，三條高線所在的直線一定交于一點，高線指的是線段，故錯誤． 所以正確的有1個． 【題型6 三角形的中線與面積問題】 【例6】（2022春?廣州期中）如圖，△ABC的面積是24，點D、E、F、G分別是BC、AD、BE、CE的中點，則△AFG的面積是（　　） A．9 B．9.5 C．10.5 D．10 【分析】根據(jù)中線的性質(zhì)，可得：△AEF的面積=12×△ABE的面積=14×△ABD的面積=18×△ABC的面積＝3，△AEG的面積＝3，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得△EFG的面積=14×△BCE的面積＝3，進而得到△AFG的面積． 【解答】解：∵點D是BC的中點， ∴AD是△ABC的中線， ∴△ABD的面積＝△ADC的面積=12×△ABC的面積， 同理得：△AEF的面積=12×△ABE的面積=14×△ABD的面積=18×△ABC的面積=18×24＝3， △AEG的面積＝3， △BCE的面積=12×△ABC的面積＝12， 又∵FG是△BCE的中位線， ∴△EFG的面積=14×△BCE的面積=14×12＝3， ∴△AFG的面積是3×3＝9， 【變式6-1】（2022春?邗江區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，D，E分別是BC，AD的中點，點F在BE上，且EF＝2BF，若S△BCF＝2cm2，則S△ABC＝（　?。? A．3 B．6 C．8 D．12 【分析】根據(jù)EF＝2BF，S△BCF＝2cm2，求得S△BEC＝3S△BCF＝6cm2，根據(jù)三角形中線把三角形分成兩個面積相等的三角形可得S△BDE＝S△CDE=12S△BEC＝3cm2，從而求出S△ABD＝S△ACD＝2S△BDE＝6cm2，再根據(jù)S△ABC＝2S△ABD計算即可得解． 【解答】解：如圖，∵EF＝2BF，S△BCF＝2cm2， ∴S△BEC＝3S△BCF＝3×2＝6cm2， ∵D是BD的中點， ∴S△BDE＝S△CDE=12S△BEC＝3cm2， ∵E是AD的中點， ∴S△ABD＝S△ACD＝2S△BDE＝6cm2， ∴S△ABC＝2S△ABD＝12cm2， ∴△ABC的面積為12cm2， 故選：D． 【變式6-2】（2021秋?潮安區(qū)期末）如圖，AD是△ABC的中線，點E是AD的中點，連接BE、CE，若△ABC的面積是8，則陰影部分的面積為（　?。? A．4 B．2 C．6 D．8 【分析】根據(jù)AD是△ABC的中線，點E是AD的中點，得出三角形EDC的面積+三角形AEB的面積與三角形ABC的面積的關(guān)系即可． 【解答】解：∵AD是△ABC的中線， ∴S△ABD＝S△ACD=12S△ABC， ∵點E是AD的中點， ∴S△ABE＝S△BDE=12S△ABD， S△EDC＝S△CAE=12S△ACD， ∴S△ABE=14S△ABC，S△CDE=14S△ABC， ∴S△ABE+S△CDE=14S△ABC+14S△ABC=12S△ABC=12×8=4， 【變式6-3】（2022春?泰興市校級月考）如圖，在△ABC中，G是邊BC上任意一點，D、E、F分別是AG、BD、CE的中點，S△ABC＝48，則S△DEF的值為 　 　． 【分析】根據(jù)三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的三角形解答． 【解答】解：連接CD，如圖所示： ∵點D是AG的中點， ∴S△ABD=12S△ABG，S△ACD=12S△AGC， ∴S△ABD+S△ACD=12S△ABC＝24， ∴S△BCD=12S△ABC＝24， ∵點E是BD的中點， ∴S△CDE=12S△BCD＝12， ∵點F是CE的中點， ∴S△DEF=12S△CDE＝6． 故答案為：6． 【題型7 三角形的中線與周長問題】 【例7】（2021秋?乳山市校級月考）在△ABC中，∠B＜∠C，AD為BC邊的中線，△ABD的周長與△ADC的周長相差3，AB＝8，則AC＝　 ?。?【分析】根據(jù)三角形的中線的定義可得BD＝CD，然后求出△ABD與△ADC的周長差，然后代入數(shù)據(jù)計算即可得解． 【解答】解：如圖： ∵AD為BC邊的中線， ∴BD＝CD， ∵△ABD與△ADC的周長差為3，AB＝8，∠B＜∠C， ∴C△ABD﹣C△ADC＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝8﹣AC＝3， 解得AC＝5． 故答案為：5． 【變式7-1】（2021秋?澗西區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，△ADC的周長比△ABD的周長多2，AB+AC＝8，則AC的長為 　 　． 【分析】根據(jù)三角形的中線的定義得到BD＝DC，根據(jù)三角形的周長公式得到AC﹣AB＝2，根據(jù)題意列出方程組，解方程組得到答案． 【解答】解：∵AD是BC邊上的中線， ∴BD＝DC， 由題意得，（AC+CD+AD）﹣（AB+BD+AD）＝2， 整理得，AC﹣AB＝2， 則AC?AB=2AB+AC=8， 解得，AC=5AB=3， 故答案為：5． 【變式7-2】（2021春?芙蓉區(qū)校級月考）△ABC中，AC＝2BC，BC邊上的中線AD把△ABC的周長分成40和60兩部分，求BC的長． 【分析】先根據(jù)AD是BC邊上的中線得出BD＝CD，設(shè)BD＝CD＝x，AB＝y(tǒng)，則AC＝4x，再分△ACD的周長是60與△ABD的周長是60兩種情況進行討論即可． 【解答】解：∵AD是BC邊上的中線，AC＝2BC， ∴BD＝CD， 設(shè)BD＝CD＝x，AB＝y(tǒng)，則AC＝4x， 分為兩種情況：①AC+CD＝60，AB+BD＝40， 則4x+x＝60，x+y＝40， 解得：x＝12，y＝28， 即BC＝2x＝24，AB＝28，AC＝4x＝48， ∵BC+AB＝24+28＝52＞AC， ∴此時符合三角形三邊關(guān)系定理； ②AC+CD＝40，AB+BD＝60， 則4x+x＝40，x+y＝60， 解得：x＝8，y＝52， 即AC＝4x＝32，AB＝52，BC＝2x＝16， ∵AC+BC＝32+16＝48＜AB， ∴此時不符合三角形三邊關(guān)系定理； 綜合上述：BC＝24． 【變式7-3】（2022秋?重慶期末）如圖，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中點，E點在邊AB上，三角形BDE與四邊形ACDE的周長相等． （1）求線段AE的長． （2）若圖中所有線段長度的和是53cm，求BC+12DE的值． 【分析】（1）設(shè)AE＝xcm，根據(jù)三角形BDE與四邊形ACDE的周長相等列方程，解方程即可； （2）找出圖中所有的線段，再根據(jù)所有線段長度的和是53cm，求出2BC+DE，得到答案． 【解答】解：（1）∵三角形BDE與四邊形ACDE的周長相等， ∴BD+DE+BE＝AC+AE+CD+DE， ∵BD＝DC， ∴BE＝AE+AC， 設(shè)AE＝x cm，則BE＝（10﹣x）cm， 由題意得，10﹣x＝x+6． 解得，x＝2， ∴AE＝2cm； （2）圖中共有8條線段， 它們的和為：AE+EB+AB+AC+DE+BD+CD+BC＝2AB+AC+2BC+DE， 由題意得，2AB+AC+2BC+DE＝53， ∴2BC+DE＝53﹣（2AB+AC）＝53﹣（2×10+6）＝27， ∴BC+12DE=272（cm）． 【題型8 證明三角形中線段不等關(guān)系】 【例8】（2022春?鼓樓區(qū)期末）如圖，P為△ABC內(nèi)任意一點，求證：AB+AC＞PB+PC． 【分析】首先延長BP交AC于點D，再在△ABD中可得PB+PD＜AB+AD，在△PCD中，PC＜PD+CD然后把兩個不等式相加整理后可得結(jié)論． 【解答】證明：延長BP交AC于點D， 在△ABD中，PB+PD＜AB+AD① 在△PCD中，PC＜PD+CD② ①+②得PB+PD+PC＜AB+AD+PD+CD， 即PB+PC＜AB+AC， 即：AB+AC＞PB+PC． 【變式8-1】（2021春?嵩縣期末）如圖所示，D是△ABC的邊AC上任意一點（不含端點），連結(jié)BD，請判斷AB+BC+AC與2BD的大小關(guān)系，并說明理由． 【分析】根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊即可求解． 【解答】解：AB+BC+AC＞2BD．理由如下： 在△ABD中，AB+AD＞BD， 在△BCD中，BC+CD＞BD， ∴AB+AD+BC+CD＞2BD， 即AB+BC+AC＞2BD． 【變式8-2】（2022春?臺江區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，已知∠BAC＝70°，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點D． （1）求∠BDC的度數(shù)； （2）試比較DA+DB+DC與12（AB+BC+AC）的大小，寫出推理過程． 【分析】（1）先由三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB＝110°，再由角平分線的定義求出∠CBD+∠BCD＝55°，然后由三角形內(nèi)角和定理即可得出答案； （2）由三角形的三邊關(guān)系得：DA+DB＞AB，DB+DC＞BC，DA+DC＞AC，則2（DA+DB+DC）＞AB+BC+AC，即可得出結(jié)論． 【解答】解：（1）∵∠BAC＝70°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°， ∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點D， ∴∠ABD＝∠CBD=12∠ABC，∠ACD＝∠BCD=12∠ACB， ∴∠CBD+∠BCD=12（∠ABC+∠ACB）=12×110°＝55°，

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