第04講 思想方法專題：判定三角形全等之三大基本思路(3類熱點題型講練) 目錄 TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc19346" 【類型一 已知兩邊對應(yīng)相等解題思路】  PAGEREF _Toc19346 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc19210" 【類型二 已知兩角對應(yīng)相等解題思路】  PAGEREF _Toc19210 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc2023" 【類型三 已知一邊一角對應(yīng)相等解題思路】  PAGEREF _Toc2023 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc15535" 【過關(guān)訓(xùn)練】  PAGEREF _Toc15535 \h 9  【類型一 已知兩邊對應(yīng)相等解題思路】 基本解題思路： 已知兩邊對應(yīng)相等：①找夾角對應(yīng)相等（SAS）；②找第三邊對應(yīng)相等（SSS）. 例題：如圖，，，與△ADE全等嗎？為什么？ ?? 【答案】，理由見解析． 【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理求解即可． 【詳解】解：． 理由：在和△ADE中， 因為，，， 所以． 【點睛】本題主要考查三角形全等，牢固掌握三角形判定定理是解題關(guān)鍵． 【變式訓(xùn)練】 1．如圖，，，．求證：． 【答案】過程見詳解 【分析】利用三條邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等來證明即可． 【詳解】證明：∵， ∴，即， 又∵，， ∴， 【點睛】本題主要考查三角形全等的判定，熟記判定定理是解題關(guān)鍵． 2．如圖，，，三點在同一直線上，，，．求證：． ?? 【答案】見解析 【分析】由平行線的性質(zhì)得到，由即可證明≌． 【詳解】解：， ， 在和中， ， ． 【點睛】本題考查全等三角形的判定，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法． 3．如圖相交于點． (1)求證； (2)求證． 【答案】(1)見解析； (2)見解析． 【分析】(1)根據(jù)全等三角形的判定即可得到結(jié)論； (2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知角相等，再根據(jù)全等三角形的判定可知，進而得出線段相等． 【詳解】（1）解：在和中， ∴， ∴， （2）解：∵， ∴， ∴在和中， ∴， ∴， ∴， 【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵． 【類型二 已知兩角對應(yīng)相等解題思路】 基本解題思路： 已知兩角對應(yīng)相等：①找夾邊對應(yīng)相等（ASA）；②找非夾邊的邊對應(yīng)相等（AAS）. 例題：如圖，已知：∠1=∠2，∠C=∠D．求證：BC=BD． 【答案】證明見解析． 【解析】 【分析】 先根據(jù)“AAS”直接判定三角形全等，然后根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等，可以證明BC=BD． 【詳解】 證明：在△ABC和△ABD中， ∴△ABC≌△ABD（AAS）， ∴BC=BD． 【點睛】 本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵． 【變式訓(xùn)練】 1．如圖，∠A=∠D，∠B=∠C，BF=CE，求證：AB=DC． 【答案】證明見解析． 【解析】 【分析】 利用AAS證明△ABE≌△DCF，即可得到結(jié)論． 【詳解】 證明：∵BF=CE ∴BF+EF=CE+EF， 即：BE=CF， 在△ABE和△DCF中， ∴△ABE≌△DCF(AAS)， ∴AB=DC． 【點睛】 此題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵． 2．已知：．求證：． 【答案】見解析 【解析】 【分析】 證明∠CAD=∠BAE；直接運用SAS公理，證明△CAD≌△EAB，即可解決問題． 【詳解】 證明：如圖， ∵， ∴， 即， ∵在和中， ∴， ∴． 【點睛】 本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)問題，解題的關(guān)鍵是準確找出圖形中隱含的相等關(guān)系． 3．如圖，，，，求證：． ?? 【答案】見解析 【分析】先證明，再利用“”證明，即可作答． 【詳解】∵， ∴，即． 在與中，， ∴， ∴． 【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用利用“”證明是解題的關(guān)鍵． 【類型三 已知一邊一角對應(yīng)相等解題思路】 基本解題思路： （1）有一邊和該邊的對角對應(yīng)相等：找另一角對應(yīng)相等(AAS). （2）有一邊和改邊的領(lǐng)角對應(yīng)相等：①找夾該角的另一邊對應(yīng)相等(SAS); ②找另一角對應(yīng)相等(AAS或ASA). 例題：如圖，與相交于點E，已知，，求證：． ?? 【答案】見解析 【分析】先證，再證即可； 【詳解】解：由題可知，， ，， ， ，， ， 即， ， ． 【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練運用全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵． 【變式訓(xùn)練】 1．如圖，已知，，，求證：． ?? 【答案】見解析 【分析】證明即可． 【詳解】證明：∵， ∴. 在和中， ∴. ∴． 【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定是解題的關(guān)鍵． 2．如圖，已知點B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，．求證：． ?? 【答案】證明見解析 【分析】利用證明，得到，即可證明． 【詳解】證明：∵， ∴和均為直角三角形． 在和中， ， ∴． ∴， ∴． 【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，平行線的判定，熟知全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵，全等三角形的判定定理有． 3．如圖，，交于點，，． ?? (1)求證：； (2)若，求的度數(shù)． 【答案】(1)見解析 (2) 【分析】（1）直接根據(jù)即可求證； （2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出，根據(jù)得出，最后根據(jù)三角形的外角定理，即可求解． 【詳解】（1）證明：在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴． 【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法，全等三角形對應(yīng)邊相等，以及三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和． 【過關(guān)訓(xùn)練】 一、解答題 1．（2023上·浙江溫州·八年級?？计谥校┤鐖D，，點D在邊上，，和相交于點O．求證：； 【答案】見解析 【分析】本題考查了全等三角形的判定和三角形外角的性質(zhì)，先證，再由證即可． 【詳解】解：∵且， ∴， 在和中， ， ∴． 2．（2024上·云南普洱·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點在同一條直線上，點分別在直線的兩側(cè)，且． ?? (1)求證：； (2)若，求的長． 【答案】(1)見解析 (2)的長為5 【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)， （1）利用等量代換得，從而利用“”證明即可； （2）由（1）知，可得，再利用求解即可． 【詳解】（1）證明：，，且， ， 在和中， ， ． （2）解：， ， ， ， 的長為5． 3．（2023上·新疆烏魯木齊·八年級新疆師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┤鐖D，點在一條直線上，． (1)求證：， (2)若，求的度數(shù)． 【答案】(1)見解析 (2) 【分析】（1）根據(jù)得出，即可根據(jù)求證； （2）根據(jù)全等的性質(zhì)得出，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180度，即可求解． 【詳解】（1）證明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是得出． 4．（2024上·江西宜春·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在和中，，，． (1)求證：； (2)若，求線段的長． 【答案】(1)見解析 (2) 【分析】（1）先證明，再根據(jù)已知，，即可證明；． （2）先求出的長，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出的長． 此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵． 【詳解】（1）證明：，，， ， 在和中， ， ； （2），， ， ， ． 5．（2024上·遼寧盤錦·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點，，，在同一直線上，，，． (1)求證：； (2)若，，求的長． 【答案】(1)證明見解析 (2) 【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)： （1）先由平行線的性質(zhì)得到，進而可利用證明； （2）先求出，再由全等三角形的性質(zhì)得到，則． 【詳解】（1）證明：∵， ∴， 又∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（2023上·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）如圖，點是上一點，交于點，，． ???? (1)求證：； (2)若，，求的長． 【答案】(1)見解析 (2)2 【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)的應(yīng)用． （1）根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出，，根據(jù)全等三角形的判定，得出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解決問題； （2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，即可解決問題． 【詳解】（1）證明：∵， ，， 在和中， ， ， ； （2）解：由（1）知， ， ， ， ，， ． 7．（2023上·吉林·八年級校聯(lián)考期中）如圖，的邊與的邊在一條直線上，且點為的中點，，． (1)求證：△； (2)判斷與的位置關(guān)系，并說明理由． 【答案】(1)見解析 (2)．理由見解析 【分析】此題重點考查線段中點的定義、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定等知識，適當(dāng)選擇全等三角形的判定定理證明是解題的關(guān)鍵． （1）由點為的中點，得，而，，即可根據(jù)“”證明； （2）由全等三角形的性質(zhì)得，即可根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”證明． 【詳解】（1）證明：點為的中點， ， 在和中， ， ． （2）解：， 理由：， ， ． 8．（2024上·安徽阜陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，，，． ???? (1)求證：； (2)若，，求的長． 【答案】(1)證明見解析； (2)． 【分析】（）由得出，，再通過即可證明； （）由全等三角形的性質(zhì)即可求解； 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)及其應(yīng)用是解題關(guān)鍵． 【詳解】（1）證明：∵， ∴，， ∵， ∴， 在和中，， ∴； （2）解：由（）得， ∴，， ∴， ∵，， ∴． 9．（2024上·湖南長沙·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點，，，在一條直線上，，， ． (1)求證：； (2)若，，求的長度． 【答案】(1)見詳解 (2) 【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)； （1）由平行線的性質(zhì)得，結(jié)合已知條件由即可得證； （2）由全等三角形的性質(zhì)得，即可求解； 掌握性質(zhì)及判定方法是解題的關(guān)鍵． 【詳解】（1）證明：， ， 即：， ， ， 在和中 ， （）． （2）解：由（1）得， ， ， （）； 故：的長度為． 10．（2023上·山西臨汾·八年級校考期中）如圖，在中，都是上的點，且． ?? (1)求證：； (2)若，求的大?。?【答案】(1)見解析； (2)． 【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理． （1）根據(jù)證明即可； （2）由全等三角形的性質(zhì)得，，然后利用三角形的內(nèi)角和定理求解即可． 【詳解】（1）證明：， ， 在和中 ，， ． （2）解：， ，， ， ． 11．（2023上·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）如圖，C，A，B，D在同一直線上，，，． (1)求證：； (2)若，，直接寫出的大?。?【答案】(1)見解析 (2) 【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，屬于中考?？碱}型． （1）根據(jù)，可得，再證和全等即可； （2）利用全等三角形的性質(zhì)，求出，根據(jù)即可解決問題． 【詳解】（1）解：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 12．（2023上·河南商丘·八年級統(tǒng)考期中）閱讀下列材料，并完成任務(wù)． 如圖，四邊形是一個箏形，其中，．對角線，相交于點O，過點O作，，垂足分別為E，F(xiàn)，求證：四邊形是箏形． 【答案】證明見解析 【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，利用證得，可得，再利用證得，可得，，進而可求證結(jié)論，熟練掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 【詳解】證明：在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， 四邊形是箏形． 箏形的定義：兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做箏形，幾何圖形的定義通?？勺鳛閳D形的性質(zhì)也可以作為圖形的判定方法．也就是說，如圖，若四邊形是一個箏形，則，；若，，則四邊形是箏形．

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