初中數(shù)學北師大版（2024）七年級下冊5 利用三角形全等測距離課后復(fù)習題-試卷下載-教習網(wǎng)

1.理解角的有關(guān)概念：會用尺規(guī)按要求作三角形：已知兩邊及夾角作三角形,已知兩角及夾邊作三角形，已知三邊作三角形.
2.通過尺規(guī)作圖的學習，培養(yǎng)觀察分析、類比歸納的探究能力，加深對類比與轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學思想的認識.
3.能利用三角形的全等解決實際問題，體會數(shù)學于實際生活的聯(lián)系.
4.能在解決問題的過程中進行有條理的思考和表達，提高分析解決問題的能力.
知識點01 利用尺規(guī)作三角形
在學習之前先要對尺規(guī)作線段和尺規(guī)作角熟練掌握并應(yīng)用，根據(jù)給出的不同條件采用不同方法作出圖形；有三種基本類型:
(1)已知三角形的兩邊及其夾角,求作符合要求的三角形,其作圖依據(jù)是SAS;
(2)已知三角形的兩角及其夾邊,求作符合要求的三角形,其作圖依據(jù)是ASA;
(3)已知三角形的三邊,求作符合要求的三角形,其作圖依據(jù)是SSS.
知識點02 利用三角形全等測距離
1.當兩點之間可以直接到達時，可以直接測量出兩點之間的距離；當兩點之間不能直接到達時，可以構(gòu)造
全等三角形，將不能到達的兩點轉(zhuǎn)化到能夠到達的兩點來進行測量．
2.通過構(gòu)造全等三角形來進行測量有以下幾種方法：
構(gòu)造兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個全等三角形；
構(gòu)造兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個全等三角形；
構(gòu)造三邊對應(yīng)相等的兩個全等三角形.
總結(jié)：利用三角形全等來設(shè)計測量方案：首先根據(jù)已有的條件和欲測量的問題進行分析，明確要運用哪種方法來構(gòu)建全等三角形，即將要用到哪種全等的判定方法；然后，在測量方案中把說明兩個三角形全等所需要的條件毫無遺漏地“測量到位”．
題型01 結(jié)合尺規(guī)作圖的全等問題
【例題】（22-23七年級下·遼寧沈陽·期末）已知，按圖示痕跡做，得到，則在作圖時，這兩個三角形滿足的條件是( )
A．， B．，
C．，， D．，，
【答案】D
【分析】根據(jù)證明三角形全等即可．
本題考查作圖復(fù)雜作圖，全等三角形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，屬于中考?？碱}型．
【詳解】解：由作圖可知，，，，
在和中，
，
故選：D．
【變式訓練】
1．（23-24八年級上·福建福州·期中）用直尺和圓規(guī)作兩個全等三角形，如圖，能得到的依據(jù)是（）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題考查復(fù)雜作圖，根據(jù)作圖的痕跡進行判斷即可求解．掌握全等三角形的判定定理及基本作圖是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由作圖得：，，
在和中，
，
∴，
∴能得到的依據(jù)是．
故選：C．
2．（23-24八年級上·河北邢臺·期中）如圖，課本上給出了小明一個畫圖的過程，這個畫圖過程說明的事實是（）

A．兩個三角形的兩條邊和夾角對應(yīng)相等，這兩個三角形全等
B．兩個三角形的兩個角和其中一角的對邊對應(yīng)相等，這兩個三角形全等
C．兩個三角形的兩條邊和其中一邊對角對應(yīng)相等，這兩個三角形不一定全等
D．兩個三角形的兩個角和夾邊對應(yīng)相等，這兩個三角形不一定全等
【答案】C
【分析】根據(jù)全等三角形的判定進行判斷即可．
【詳解】解：根據(jù)作圖可知：兩個三角形的兩條邊和其中一邊對角對應(yīng)相等，其中角的對邊不確定，可能有兩種情況，故三角形不能確定，
所以兩個三角形的兩條邊和其中一邊對角對應(yīng)相等，這兩個三角形不一定全等，
故選：C．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定，熟知三角形全等的判定是解題的關(guān)鍵．
題型02 尺規(guī)作圖——作三角形
【例題】（23-24八年級上·浙江·期末）已知和線段（如圖）．
(1)用直尺和圓規(guī)作（點在的上方），使，（做出圖形，保留痕跡，不寫作法）．
(2)這樣的三角形能作幾個？
【答案】(1)見解析
(2)2
【分析】本題考查了作圖—復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．
（1）先作，再在上截取，然后以為圓心，為半徑畫弧交于和，則和即為所作；
（2）由作圖即可得出答案．
【詳解】（1）解：如圖，和即為所作，
；
（2）解：由圖可得：這樣的三角形能作個．
1．（23-24八年級上·廣東廣州·期中）作三角形：已知：線段a、c和（如圖），利用直尺和圓規(guī)作，使，，．（不寫作法，保留作圖痕跡）．
【答案】見解析
【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，先作已知角，再作已知邊，即可求得結(jié)果，掌握尺規(guī)作圖的方法是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：如圖：①作，
②在上截取，在上截取，連接，
，
則即為所求．
2．（23-24八年級上·浙江杭州·期末）如圖，已知和線段a，b，用直尺和圓規(guī)作，，（保留作圖痕跡）
【答案】見詳解
【分析】本題考查了作圖，作一個角等于已知角和用已知線段畫三角形，先作，再在上截取，然后以C為圓心，b為半徑畫弧交于A和，則和滿足條件．
【詳解】解：這樣的三角形能作2個．
如圖，和為所作．
題型03 全等三角形的性質(zhì)
【例題】（22-23八年級上·浙江臺州·期末）如圖，點，，，在同一直線上，，，，則的長是．
【答案】5
【分析】本題考查三角形全等的性質(zhì)，根據(jù)得到，結(jié)合，，，在同一直線上即可得到答案；
【詳解】解：∵，
∴，
∵，，，在同一直線上，，，
∴，
故答案為：5．
【變式訓練】
1．（23-24八年級上·廣西百色·期末）如圖，，點E在AB上，DE與AC交于點F，，，則．
【答案】/24度
【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，計算即可．
【詳解】解：，，，
，，，
，
，
故答案為：．
2．（22-23八年級下·福建福州·開學考試）如圖，，點E在上，，若，則的長為．
【答案】1
【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，能求出，的長是解此題的關(guān)鍵．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】解：，
，，
，
故答案為：1
題型04 利用全等三角形求動點問題的多解題
【例題】（23-24八年級上·湖北荊州·期中）如圖，，于，于，且，點從向運動，每分鐘走，點從向運動，每分鐘走，、兩點同時出發(fā)，運動分鐘后，與全等．
【答案】4
【分析】本題考查了直角三角形全等的判定方法、解方程等知識．設(shè)運動分鐘后與全等；則，，則，分兩種情況：①若，則，此時，；②若，則，得出，，即可得出結(jié)果．
【詳解】解：于，于，
，
設(shè)運動分鐘后與全等；
則，，則，
分兩種情況：
①若，則，
，，，
；
②若，則，
解得：，，
此時與不全等；
綜上所述：運動4分鐘后與全等；
故答案為：4．
【變式訓練】
1．（23-24八年級上·河南南陽·階段練習）如圖，，，，點P在線段上以每秒1個單位長度的速度由點A向點B運動．同時，點Q在線段上以每秒x個單位長度的速度由點B向點D運動，當一點到達終點時，另一點也停止運動．當與全等時，x的值為．
【答案】1或
【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于分情況求解．由題意知當與全等，分和兩種情況，根據(jù)全等的性質(zhì)列方程求解即可．
【詳解】解：由題意知，，，，
與全等，，
∴分兩種情況求解：
①當時，，即，解得；
②當時，，即，
解得，
，即，解得；
綜上所述，的值是1或，
故答案為：1或．
2．（23-24八年級上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習）如圖，在中，，，，點在直線上．點從點出發(fā)，在三角形邊上沿的路徑向終點運動；點從點出發(fā)，在三角形邊上沿的路徑向終點運動．點和分別以單位秒和單位秒的速度同時開始運動，在運動過程中，若有一點先到達終點時，該點停止運動，另一個點要繼續(xù)運動，直到兩點都到達相應(yīng)的終點時整個運動才能停止．在某時刻，分別過和作于點，于點，則點的運動時間等于秒時，與全等．
【答案】2或或12
【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，分情況討論是解題的關(guān)鍵：分四種情況，點在上，點在上；點、都在上；點到上，點在上；點到點，點在上．
【詳解】解：與全等，
斜邊斜邊，
分四種情況：
當點在上，點在上，如圖：
，
，
，
當點、都在上時，此時、重合，如圖：
，
，
，
當點到上，點在上時，如圖：
，
，
，不符合題意，
當點到點，點在上時，如圖：
，
，
，
綜上所述：點的運動時間等于2或或12秒時，與全等，
故答案為：2或或12．
題型05 利用三角形全等測距離
【例題】（23-24八年級上·河南信陽·期末）如圖，數(shù)學實踐小組想要測量某公園的人工湖兩端，之間的距離，由于條件限制無法直接測得．請你用學過的數(shù)學知識幫他們按以下要求設(shè)計一種測量方案．
(1)畫出測量示意圖；
(2)寫出測量的步驟；（測量數(shù)據(jù)用字母表示）
(3)計算，之間的距離．（寫出求解或推理過程，結(jié)果用字母表示）
【答案】(1)見詳解
(2)見詳解
(3)設(shè)，，之間的距離為
【分析】本題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造兩個全等的三角形．
（1）由于無法直接測得，故間接構(gòu)造兩個涉及邊的全等三角形，如解析所示；
（2）在湖岸上找可以直接到達，的一點，構(gòu)造，，即可；
（3）利用證明，由全等三角形的性質(zhì)可得，則的長度就是的長度．
【詳解】（1）解：測量示意圖如下圖所示；
（2）在湖岸上找可以直接到達，的一點，連接并延長到使得，連接并延長到點使得，連接，則，測量的長度，即的長度為；
（3）設(shè)，
由測量方案可知，，
在和中，
，
∴，
∴．
【變式訓練】
1．（23-24八年級上·四川宜賓·期末）小明和小亮準備用所學數(shù)學知識測一池塘的長度，經(jīng)過實地測量，繪制如下圖，點在直線l上（點F、C之間的距離為池塘的長度），點A、D在直線l的異側(cè)，且，，測得．

(1)求證：；
(2)若，，求池塘的長度．
【答案】(1)證明詳見解析；
(2)44m．
【分析】本題考查全等三角形判定及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等．
（1）根據(jù)題意利用平行線的性質(zhì)，全等三角形判定即可得到本題答案；
（2）根據(jù)題意利用第（1）問結(jié)論由全等三角形性質(zhì)即可得到本題答案．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∵在和中，
，
∴；
（2）解：由（1）可知：，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴池塘的長為．
2．（23-24八年級上·湖北恩施·期末）如圖，學生甲學習了全等三角形后，想測草坪旁池塘兩岸相對兩點，的距離．請你給學生甲設(shè)計一個測量方案，并證明按你的方案進行測量，其結(jié)果是正確的．
(1)簡單說明你設(shè)計的方案，并畫出圖形；
(2)證明你的方案的可行性，即證明按你的方案進行測量，其結(jié)果是正確的．
【答案】(1)方案見解析；
(2)證明見解析．
【分析】本題考查全等三角形的應(yīng)用---方案設(shè)計，熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，
（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)設(shè)計圖形即可；
（2）利用“”即可證明方案的可行性．
【詳解】（1）解：如圖所示：
過B作，過D作，取的中點C，連接并延長交于點E
測量線段的長即可．
（2）證明：∵，，
∴ ，
∵C為的中點，
∴，
∴在和中：
∴，
∴．
題型06 全等三角形的綜合問題
【例題】（22-23八年級上·河北石家莊·期中）已知四邊形中，，，，，，繞B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長線）于E，F(xiàn)．
(1)當繞B點旋轉(zhuǎn)到時（如圖1），試猜想線段之間存在的數(shù)量關(guān)系為__________．（不需要證明）；
(2)當繞B點旋轉(zhuǎn)到時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想并證明．
【答案】(1)
(2)以上結(jié)論不成立，應(yīng)為，證明見詳解
【分析】本題幾何變換綜合題，考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助性、掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
（1）延長至點使，連接，分別證明根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、結(jié)合圖形證明結(jié)論；
（2）延長至G，使仿照（1）的證明方法解答．
【詳解】（1）解：，
理由如下：延長至點使，連接，
在與中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在與中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：以上結(jié)論不成立，應(yīng)為，
理由如下：延長至G，使
由（1）可知，，
∴
，
∴，
∵
∴
∴
∴
【變式訓練】
1．（23-24八年級上·安徽安慶·階段練習）在點，過點分別作，，垂足分別為，．且，點，分別在邊和上．
(1)如圖1，若，請說明
(2)如圖2，若，，猜想，，具有的數(shù)量關(guān)系，并說明你的結(jié)論成立的理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)，理由見解析
【分析】（1）由，，可得，結(jié)合，，可證，即可求解，
（2）在上取點，使，通過證明，，即可求解，
本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是：通過輔助線構(gòu)造全等三角形．
【詳解】（1）解：，，
，
，，
，
，
（2）解：在上取點，使，

，，
，
，，
，
，，
，，
，
，即，
，
，即：，
．
2．（23-24八年級上·重慶巴南·階段練習）如圖1，在中，，，，，現(xiàn)有一動點從點出發(fā)，沿著三角形的邊運動，回到點停止，速度為，設(shè)運動時間為．

(1)如圖1，當時，；
(2)如圖2，在中，，，，．在的邊上，若另外有一個動點，與點同時從點出發(fā)，沿著邊運動，回到點停止．在兩點運動過程中的某一時刻，恰好與全等，求點的運動速度．
【答案】(1)或
(2)兩點運動過程中的某一時刻，恰好與全等，點的運動速度為或或cm/s或
【分析】本題考查全等三角形與動點的綜合，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進行解答．
（1）點運動的速度為，則，；根據(jù)，分類討論：點在上時；點在上時，進行解答，即可；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，分類討論：當點在上，，，；當點在上，點在上，，，；當點在上，，，；當點在上，點在上，，，，求出對應(yīng)的點的運動速度，即可．
【詳解】（1）∵點運動的速度為，
點在上時，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得：；

點在上時，過點作于點，
∴點的運動路程為，
∴，，
∵，
∴，
∵是直角三角形，
∴當點在的中點時，，，
∴，
解得：；
故答案為：或；
（2）∵在中，，，，，
∴當點在上，，，；
∴點的速度為：；

當點在上，點在上，，，，
∴點的速度為：；

當點在上，，，，
∴點運動的距離為：，
點運動的距離為：，
∴點的速度為：；

當點在上，點在上，，，
∴點的速度為：；

綜上所述，兩點運動過程中的某一時刻，恰好與全等，點的運動速度為或或cm/s或．
一、單選題
1．（23-24八年級上·河北邢臺·階段練習）根據(jù)下列已知條件，能畫出唯一的的是（）
A．，，B．，，
C．，D．，，
【答案】D
【分析】本題考查了全等三角形的判定定理和三角形三邊關(guān)系定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有，兩直角三角形全等還有．
根據(jù)全等三角形的判定定理和三角形的三邊關(guān)系理逐個判斷即可．
【詳解】解：A、，不符合三角形的三邊關(guān)系定理，不能畫出三角形，故本選項不符合題意；
B、，不符合全等三角形的判定定理，不能畫出唯一的三角形，故本選項不符合題意；
C、，不符合全等三角形的判定定理，不能畫出唯一的三角形，故本選項不符合題意；
D、，符合全等三角形的判定定理，能畫出唯一的三角形，故本選項符合題意；
故選： D．
2．（23-24八年級上·云南·階段練習）如圖，在方格紙中，以為一邊作，使之與全等，從四個點中找出符合條件的點，則點有（）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】C
【分析】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，由網(wǎng)格中點的對稱性，結(jié)合全等三角形的對應(yīng)邊相等判斷即可，掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：如圖所示：
，
即；；；
符合條件的點有，共有3個，
故選：C．
3．（23-24八年級上·河南南陽·階段練習）如圖，點B在線段上，，，，則的長為（）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等解決問題，掌握全等三角形的性質(zhì)的對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
故選：B．
4．（23-24八年級上·福建泉州·期中）如圖，，的延長線交于點，交于點．若，，，則的度數(shù)為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，由，則與是一組對應(yīng)角，與是一組對應(yīng)角，對于，外角等于除外的兩個內(nèi)角之和，求得，再在中，由三角形內(nèi)角和即可求得結(jié)果．
【詳解】解：，，，
，．
由三角形外角的性質(zhì)可得，
．
．
，，
．
故選：B．
5．（23-24八年級上·河南開封·期末）如圖，已知和一條長度為的線段，作一個以為底角，為腰長的等腰三角形的方法是：①連接；②以點為圓心，的長為半徑畫弧，交射線于點；③在的兩邊上截?。虎墚嬌渚€，以點為圓心，的長為半徑畫弧，在射線上截取，并以點為圓心，的長為半徑畫弧，兩弧交于點．以上畫法正確的順序是（）
A．③④①②B．④③②①C．③④②①D．④③①②
【答案】C
【分析】本題考查了尺規(guī)作圖和等腰三角形的作圖，解決本題的關(guān)鍵是理解等腰三角形的作圖過程，根據(jù)尺規(guī)作等腰三角形的過程逐項判斷即可解答．
【詳解】解：已知和一條長度為的線段，作一個以為底角，為腰長的等腰三角形的方法是：
③在的兩邊上截??；
④畫射線，以點為圓心，的長為半徑畫弧，在射線上截取，并以點為圓心，的長為半徑畫弧，兩弧交于點；
②以點為圓心，的長為半徑畫弧，交射線于點；
①連接．
即為所求作的三角形．
畫法正確的順序是③④②①，
故選C．
二、填空題
6．（23-24八年級上·河北保定·期末）如圖，，若，，則；
【答案】7
【分析】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵，
∴，，
∴，
故答案為：7．
7．（22-23七年級下·山東濟南·階段練習）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，的三個頂點都在格點上，則與有一條公共邊且全等（不與重合）的格點三角形（頂點都在格點上的三角形）共有個．

【答案】6/六
【分析】根據(jù)全等三角形的判定分別求出以為公共邊的三角形，以為公共邊的三角形，以為公共邊的三角形的個數(shù)，相加即可．
【詳解】解：如圖所示，
以為公共邊可畫出、、三個三角形和原三角形全等；
以為公共邊可畫出、、三個三角形和原三角形全等；
以為公共邊不可以畫出三角形和原三角形全等；
所以共有6個三角形和原三角形全等，
故答案為：6．

【點睛】本題考查全等三角形的判定，三條邊分別相等的兩個三角形全等，以及格點的概念，熟練掌握全等三角形的判定定理是解決問題的關(guān)鍵．
8．（23-24八年級上·云南昆明·期末）如圖，，如果點在線段上以秒的速度由點向點運動，同時，點從點出發(fā)沿射線運動．若經(jīng)過秒后，與全等，則的值是．
【答案】1或
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，利用全等三角形對應(yīng)邊相等，列出方程是解題的關(guān)鍵．利用分類討論的思想方法分兩種情況討論解答：①當和②當時，設(shè)運動時間為秒，點的運動速度為秒，利用全等三角形對應(yīng)邊相等，列出方程即可求解．
【詳解】解：設(shè)．兩點的運動時間為秒，點的運動速度為秒，
則，，．
，
①當時，
，．
，
；
②當時，
，，
，
．
綜上，當?shù)闹凳?或時，能夠使與全等．
故答案為：1或．
9．（21-22七年級下·山東煙臺·期中）如圖，點B在直線l上，分別以線段BA的端點為圓心，以BC（小于線段BA）長為半徑畫弧，分別交直線l，線段BA于點C，D，E，再以點E為圓心，以CD長為半徑畫弧交前面的弧于點F，畫射線AF．若∠BAF的平分線AH交直線l于點H，∠ABC=70°，則∠AHB的度數(shù)為．
【答案】35°/35度
【分析】連接CD，EF．由題目中尺規(guī)作圖可知：，．可證，所以，可得．所以．由于AH平分，所以．即：．
【詳解】解：連接CD，EF
由題目中尺規(guī)作圖可知：，
在和中
AH平分
故答案為：．
【點睛】本題主要考查知識點為，全等三角形的性質(zhì)及判定、定點為圓心定長為半徑的性質(zhì)、平行線的判定及性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)．能看懂尺規(guī)作圖，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)及判定、平行線的性質(zhì)及判定，角平分線的性質(zhì)，是解決本題的關(guān)鍵．
10．（23-24八年級上·重慶·階段練習）如圖，在長方形中，，延長到點E，使，連接，動點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿向終點A運動，設(shè)點P的運動時間為t秒，當t的值為秒時，與全等．
【答案】1或7
【分析】本題考查了全等三角形的判定，判定方法有：．根據(jù)題意，分兩種情況進行討論，根據(jù)題意得出和即可求得．
【詳解】解：由題意得：，
若，
根據(jù)證得，
，即，
若，
根據(jù)證得，
，即．
當t的值為1或7秒時．與全等．
故答案為：1或7．
三、解答題
11．（2023九年級下·全國·專題練習）如圖，已知，點D是上一點，交于點E，且．
(1)求證：；
(2)若，，求的長．
【答案】(1)證明見解析
(2)3
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．選擇合適的判定方法是解題的關(guān)鍵．
（1）利用角角邊定理判定即可；
（2）利用全等三角形對應(yīng)邊相等可得的長，用即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）證明：，
，
在和中，
，
；′
（2）解：由（1）知，，
，
，
．
12．（20-21八年級上·四川南充·期末）某中學八年級學生進行課外實踐活動，要測池塘兩端A，B的距離，因無法直接測量，經(jīng)小組討論決定，先在地上取一個可以直接到達A，B兩點的點O，連接AO并延長到點C，使AO＝CO；連接BO并延長到點D，使BO＝DO，連接CD并測出它的長度．
（1）根據(jù)題中描述，畫出圖形；
（2）CD的長度就是A，B兩點之間的距離，請說明理由．
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可；
（2）利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可．
【詳解】解：（1）圖形如圖所示：
（2）連接AB．
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴AB＝CD，
∴CD的長度就是A，B兩點之間的距離．
【點睛】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用全等三角形的性質(zhì)解決問題．
13．（23-24八年級上·山西呂梁·期末）小明利用一根長為的竿子來測量路燈桿的高度（），方法如下：如圖，在地面上選一點P，使，然后把在的延長線上左右移動，使，且，此時測得．
(1)求證：．
(2)求路燈桿的高度．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和全等三角形的應(yīng)用：
（1）根據(jù)題意求出，根據(jù)即可證明；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得路燈桿的高度．
【詳解】（1）證明：∵，
∴
∵
∴
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴．
14．（22-23八年級上·江西贛州·期中）小光的爺爺為我們講述了一個他親身經(jīng)歷的故事：
在抗日戰(zhàn)爭期間，為了炸毀與我軍陣地隔河相望的日軍碉堡，需要測出我軍陣地到日軍碉堡的距離，由于沒有任何測量工具，我軍戰(zhàn)士為此盡腦汁．這時，一位聰明的戰(zhàn)士想出了辦法，成功炸毀了碉堡．
（1）你認為他是怎樣做到的？
方法是：戰(zhàn)士面向碉堡的方向站好，調(diào)整帽子，使視線通過帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他轉(zhuǎn)過一個角度，保持剛才的姿勢，這時，視線落在了自己所在岸的某一點上；接著，他用步測的方法量出自己與那個點的距離，這個距離就是他與碉堡的距離．
（2）你能根據(jù)戰(zhàn)士所用的方法，畫出相應(yīng)的圖形嗎？
①畫出相應(yīng)的圖形．
②戰(zhàn)士用的方法中，已知條件是什么？戰(zhàn)士要測的是什么？（結(jié)合圖形寫出）
③請用所學的數(shù)學知識說明戰(zhàn)士這樣測的理由．
【答案】①見解析；②，；③．理由見解析．
【分析】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，根據(jù)戰(zhàn)士所用的方法，畫出相應(yīng)的圖形是解決問題的關(guān)鍵．
根據(jù)垂直的定義得到，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．
【詳解】解：①如圖，
②已知條件是，．
③戰(zhàn)士要測的是．
理由：，
，
在與中，
，
，
．
15．（23-24八年級上·吉林·期末）（1）如圖1，在中，，，直線m經(jīng)過點A，直線m．直線m，垂足分別為D，E．求證：．
（2）如圖2，將（1）中的條件改為在中，，D，A，E三點都在直線m上，且有，其中為任意鈍角，請問結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．
【答案】（1）見解析；（2）成立，證明見解析
【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
（1）由直角三角形的性質(zhì)及平角的定義得出，可證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及線段的和差求解即可；
（2）與（1）類似，可證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及線段的和差求解即可．
【詳解】解：（1）∵直線m，直線m，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴．
在和中，
∴，
∴，，
∴．
（2）成立．證明如下：
∵，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴，，
∴．
16．（23-24八年級上·湖南衡陽·期中）在中，，分別過點A、B兩點作過點C的直線m的垂線，垂足分別為點D、E．

(1)如圖1，當，點A、B在直線m的同側(cè)時，求證：；
(2)如圖2，當，點A、B在直線m的異側(cè)時，請問（1）中有關(guān)于線段、和三條線段的數(shù)量關(guān)系的結(jié)論還成立嗎？若成立，請你給出證明；若不成立，請給出正確結(jié)論，并說明理由；
(3)如圖3，當，，點A、B在直線m的同側(cè)時，一動點M以每秒的速度從A點出發(fā)沿A→C→B路徑向終點B運動，同時另一動點N以每秒的速度從B點出發(fā)沿B→C→A路徑向終點A運動，兩點都要到達相應(yīng)的終點時才能停止運動．在運動過程中，分別過點M和點N作于P，于Q．設(shè)運動時間為t秒，當t為何值時，與全等？
【答案】(1)見解析
(2)，見解析
(3)或14或16秒
【分析】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，同角的余角相等，判斷出是解本題的關(guān)鍵，還用到了分類討論的思想．
（1）根據(jù)于D，于E，得，而，根據(jù)等角的余角相等得，然后根據(jù)“”可判斷，則，，于是；
（2）同（1）易證，則，，于是；
（3）只需根據(jù)點M和點N的不同位置進行分類討論即可解決問題．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵于D，于E，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：結(jié)論：；
理由：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：①當時，點M在上，點N在上，如圖，

∵，
∴，
解得：，不合題意；
②當時，點M在上，點N也在上，如圖，

∵，
∴點M與點N重合，
∴，
解得：；
③當時，點M在上，點N在上，如圖，

∵，
∴，
解得：；
④當時，點N停在點A處，點M在上，如圖，

∵，
∴，
解得：；
綜上所述：當或14或16秒時，與全等．

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