有理數(shù)關(guān)于相反數(shù)和絕對(duì)值的意義同樣適合于實(shí)數(shù).
當(dāng)數(shù)從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)以后，實(shí)數(shù)之間不僅可以進(jìn)行加、減、乘、除（除數(shù)不為0）、乘方運(yùn)算，而且正數(shù)及0可以進(jìn)行開平方運(yùn)算，任意一個(gè)實(shí)數(shù)可以進(jìn)行開立方運(yùn)算.在進(jìn)行實(shí)數(shù)的運(yùn)算時(shí)，有理數(shù)的運(yùn)算法則及運(yùn)算性質(zhì)等同樣適用.
【考點(diǎn)剖析】
題型一：實(shí)數(shù)的混合混算
例1.計(jì)算：
（1）＝___.（2）4+＝___．（3）的立方根為 ___．
（4）如果的平方根是±3，則＝___．
【變式1】如圖邊長(zhǎng)為2的正方形，則圖中的陰影部分面積是______．
【變式2】若與互為相反數(shù)，則________．
【變式3】計(jì)算：|﹣|﹣．
【變式4】（2022·浙江金華·七年級(jí)期末）計(jì)算：
(1) (2)
【變式5】計(jì)算：
(1)； (2)．
【變式6】（2022·浙江臺(tái)州·七年級(jí)期中）計(jì)算
【變式7】（2022·浙江臺(tái)州·七年級(jí)期中）計(jì)算：
(1)； (2)．
題型二：程序設(shè)計(jì)與實(shí)數(shù)運(yùn)算
例2.按如圖所示的程序計(jì)算，若開始輸入的x為，則輸出的結(jié)果為________．
【變式1】如圖所示是計(jì)算機(jī)程序計(jì)算，若開始輸入x＝﹣3，則最后輸出的結(jié)果是____．
【變式2】如圖，是一個(gè)計(jì)算程序，若輸入a的值為，則輸出的結(jié)果應(yīng)為______________．
【變式3】（2022·浙江臺(tái)州·七年級(jí)期中）如圖是一個(gè)無(wú)理數(shù)篩選器的工作流程圖．
(1)當(dāng)x為9時(shí)，y值為 ；
(2)如果輸入0和1， （填“能”或“不能”）輸出y值；
(3)當(dāng)輸出的y值是時(shí)，請(qǐng)寫出滿足題意的x值： ．（寫出兩個(gè)即可）
題型三：新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算
例3．（2022·浙江臺(tái)州·七年級(jí)期中）設(shè)表示小于的最大整數(shù)，如，，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．的最小值是0C．的最大值是1D．不存在實(shí)數(shù)，使
【變式1】任何實(shí)數(shù)a，可用表示不超過(guò)a的最大整數(shù)，如，現(xiàn)對(duì)72進(jìn)行如下操作，，這樣對(duì)72只需進(jìn)行3次操作即可變?yōu)?，類似地，對(duì)81只需進(jìn)行（ ）次操作后即可變?yōu)?．
A．2B．3C．4D．5
【變式2】定義新運(yùn)算“⊕”：a⊕b=+（其中a、b都是有理數(shù)），例如：2⊕3=+=，那么3⊕（﹣4）的值是（ ）
A．﹣B．﹣C．D．
【變式3】（2022·浙江·寧波市鄞州區(qū)咸祥鎮(zhèn)中心初級(jí)中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）現(xiàn)規(guī)定一種運(yùn)算：，其中，為有理數(shù)，則 等于( )
A．a(chǎn)2－bB．b2－bC．b2D．b2－a
【變式4】（2022·浙江杭州·七年級(jí)期中）用“”定義新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，都有．例如：，那么20225＝________；當(dāng)m為實(shí)數(shù)時(shí)，＝________．
【變式5】（2022·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）觀察下列等式（式子中的“！”是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)）
1!=1，2!=2×1，3!=3×2×1，4!=4×3×2×1，…，
那么計(jì)算：=__．
【變式6】（2022·浙江紹興·七年級(jí)期末）如，我們叫集合M．其中1，2，x叫做集合M的元素，集合中的元素具有確定性（如x必然存在），互異性（如，），無(wú)序性（即改變?cè)氐捻樞?，集合不變）．若集合，我們說(shuō)．已知集合，集合，若，則的值是______．
【變式7】定義新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，都有，例如．
（1）求的值．
（2）求的平方根．
【變式8】任何實(shí)數(shù)a，可用[a]表示不超過(guò)a的最大整數(shù)，如[4]=4，[]=1．現(xiàn)對(duì)72進(jìn)行如下操作：72第一次[]=8，第二次[]=2，第三次[]=1，這樣對(duì)72只需進(jìn)行3次操作變?yōu)?．
（1）對(duì)10進(jìn)行1次操作后變?yōu)開______，對(duì)200進(jìn)行3次作后變?yōu)開______；
（2）對(duì)實(shí)數(shù)m恰進(jìn)行2次操作后變成1，則m最小可以取到_______；
（3）若正整數(shù)m進(jìn)行3次操作后變?yōu)?，求m的最大值．
題型四：實(shí)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用
例4.如圖，在紙面上有一數(shù)軸，點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣1，點(diǎn)B表示的數(shù)為3，點(diǎn)C表示的數(shù)為．若子軒同學(xué)先將紙面以點(diǎn)B為中心折疊，然后再次折疊紙面使點(diǎn)A和點(diǎn)B重合，則此時(shí)數(shù)軸上與點(diǎn)C重合的點(diǎn)所表示的數(shù)是_______．
【變式1】設(shè)x，y是有理數(shù)，且x，y滿足等式，則的平方根是___________.
【變式2】某高速公路規(guī)定汽車的行駛速度不得超過(guò)100千米/時(shí)，當(dāng)發(fā)生交通事故時(shí)，交通警察通常根據(jù)剎車后車輪滑過(guò)的距離估計(jì)車輛的行駛速度，所用的經(jīng)驗(yàn)公式是v＝16，其中v表示車速（單位：千米/時(shí)，d表示剎車后車輪滑過(guò)的距離（單位：米），f表示摩擦系數(shù)．在一次交通事故中，經(jīng)測(cè)量d＝32米，f＝2，請(qǐng)你判斷一下，肇事汽車當(dāng)時(shí)是否超速了．
【變式3】已知小正方形的邊長(zhǎng)為1，在4×4的正方形網(wǎng)中．
（1）求_______________．
（2）在5×5的正方形網(wǎng)中作一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形．
【變式4】數(shù)軸是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)工具，它使數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系，揭示了數(shù)與點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結(jié)合”的基礎(chǔ)．小白在草稿紙上畫了一條數(shù)軸進(jìn)行操作探究：
操作一：
（1）折疊紙面，若使表示的點(diǎn)1與﹣1表示的點(diǎn)重合，則﹣2表示的點(diǎn)與 表示的點(diǎn)重合；
操作二：
（2）折疊紙面，若使1表示的點(diǎn)與﹣3表示的點(diǎn)重合，回答以下問(wèn)題：
①表示的點(diǎn)與數(shù) 表示的點(diǎn)重合；
②若數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間距離為8（A在B的左側(cè)），且A、B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，則A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別是__________________；
操作三：
（3）在數(shù)軸上剪下9個(gè)單位長(zhǎng)度（從﹣1到8）的一條線段，并把這條線段沿某點(diǎn)折疊，然后在重疊部分某處剪一刀得到三條線段（如圖）. 若這三條線段的長(zhǎng)度之比為1：1：2，則折痕處對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所表示的數(shù)可能是_________________________.
題型五：與實(shí)數(shù)運(yùn)算相關(guān)的規(guī)律題
例5.如圖將1、、、按下列方式排列．若規(guī)定表示第排從左向右第個(gè)數(shù)，則與表示的兩數(shù)之積是（ ）．
A．1B．C．D．
【變式1】將實(shí)數(shù)按如圖所示的方式排列，若用表示第m排從左向右數(shù)第n個(gè)數(shù)，則與表示的兩數(shù)之積是________
1（第1排）
（第2排）
1 （第3排）
1 （第4排）
1 （第5排）
【變式2】若|a﹣1|+（ab﹣2）2＝0，則…＝_____．
【變式3】借助計(jì)算器計(jì)算下列各題：
(1)＝_____；
(2)＝_____；
(3) ＝______；
(4) ＝______；
(5)根據(jù)上面計(jì)算的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)＝______________．(用含n的式子表示)
【變式4】已知：，求的值．
【過(guò)關(guān)檢測(cè)】
一．選擇題（共6小題）
1．（2022秋?鄞州區(qū)校級(jí)月考）若a＝﹣，b＝，則a﹣b＝（ ）
A．4B．﹣4C．6D．﹣6
2．（2022秋?杭州期中）下列說(shuō)法中：①立方根等于本身的是﹣1，0，1；②平方根等于本身的數(shù)是0，1；③兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和一定是無(wú)理數(shù)；④實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的；⑤a與b兩數(shù)的平方和表示為a2+b2．其中錯(cuò)誤的是（ ）
A．①②B．②③C．②③④D．③④⑤
3．（2022秋?西湖區(qū)校級(jí)期中）如果a，b是2022的兩個(gè)平方根，那么a+2ab+b的值是（ ）
A．0B．2022C．4044D．﹣4044
4．（2022秋?吳興區(qū)期中）下列說(shuō)法中：①立方根等于本身的是﹣1，0，1；②平方根等于本身的數(shù)是0，1；③兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和一定是無(wú)理數(shù)；④實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的；⑤是負(fù)分?jǐn)?shù)；⑥兩個(gè)有理數(shù)之間有無(wú)數(shù)個(gè)無(wú)理數(shù)，同樣兩個(gè)無(wú)理數(shù)之間有無(wú)數(shù)個(gè)有理數(shù)．其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．（2021秋?西湖區(qū)校級(jí)月考）按如圖所示的運(yùn)算程序，能使輸出的結(jié)果為3的是（ ）
A．a(chǎn)＝0，b＝3B．a(chǎn)＝1，b＝2C．a(chǎn)＝4，b＝1D．a(chǎn)＝9，b＝0
6．（2021秋?余姚市校級(jí)期中）對(duì)于實(shí)數(shù)x，我們規(guī)定[x]表示不大于x的最大整數(shù)，如，現(xiàn)對(duì)82進(jìn)行如下操作：，這樣對(duì)82只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?，類似地，對(duì)100只需進(jìn)行多少次操作后變?yōu)?（ ）
A．1B．2C．3D．4
二．填空題（共12小題）
7．（2022秋?濱江區(qū)校級(jí)期中）已知x，y是兩個(gè)不相等的有理數(shù)，且滿足等式；（3﹣1）x＝3﹣y，則x＝ ，y＝ ．
8．（2022秋?東陽(yáng)市期中）如圖，是一個(gè)計(jì)算程序，若輸入的數(shù)為，則輸出的結(jié)果應(yīng)為 .
9．（2022秋?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：＝ ．
10．（2022秋?上城區(qū)校級(jí)期中）用“*”表示一種新運(yùn)算：對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a*b＝，例如10*21＝＝11，則*（*2）的運(yùn)算結(jié)果為 ．
11．（2021秋?柯橋區(qū)期末）根據(jù)圖示的對(duì)話，則代數(shù)式3a+3b﹣2c+2m的值是 ．
12．（2021秋?浙江期末）計(jì)算：+＝ ．
13．（2021秋?東陽(yáng)市期末）若a與b互為相反數(shù)，m與n互為倒數(shù)，k的算術(shù)平方根為，則2022a+2021b+mnb+k2的值為 ．
14．（2022秋?寧波期中）任意寫出兩個(gè)無(wú)理數(shù)，使它們的和為2： ．
15．（2022秋?溫州期末）按如圖所示的程序計(jì)算，若輸入的a＝3，b＝4，則輸出的結(jié)果為 ．
16．（2022秋?瑞安市期中）對(duì)于任意實(shí)數(shù)對(duì)（a，b）和（c，d），規(guī)定運(yùn)算“?”為（a，b）?（c，d）＝（ac，bd）；運(yùn)算“⊕”為（a，b）⊕（c，d）＝（a+c，b+d）．例如（2，3）?（4，5）＝（8，15）；（2，3）⊕（4，5）＝（6，8）．若（2，3）?（p，q）＝（﹣4，9），則（1，﹣5）⊕（p，q）＝ ．
17．（2022秋?青田縣期中）計(jì)算：﹣＝ ．
18．（2022秋?新昌縣期中）已知：m與n互為相反數(shù)，c與d互為倒數(shù)，a是的整數(shù)部分，則的值是 ．
三．解答題（共7小題）
19．（2022秋?鄞州區(qū)期中）初中階段，目前我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了多種計(jì)算技巧，例如裂項(xiàng)相消法，錯(cuò)位相減法等等，請(qǐng)計(jì)算下列各式：
（1）＝ ；
（2）＝ ；
（3）＝ ．
20．（2022秋?余杭區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：
（1）+； （2）．
21．（2022秋?婺城區(qū)期末）計(jì)算：．
22．（2022秋?鄞州區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算：
（1）﹣； （2）4+（﹣3）2×2﹣．
23．（2022秋?杭州期中）（1）若a是最小的正整數(shù)，b是絕對(duì)值最小的數(shù)，，．
則a＝ ；b＝ ；c＝ ；x＝ ；y＝ ．
（2）若a與b互為相反數(shù)，c與d互為倒數(shù)，，求代數(shù)式4（a+b）+（﹣cd）2﹣e2的值．
24．（2021秋?松陽(yáng)縣期末）用“※定義新運(yùn)算：對(duì)于任何實(shí)數(shù)x和y，都有x※y＝xy﹣2（x﹣y）．如：1※2＝1×2﹣2×（1﹣2）＝4．
（1）求2※（﹣1）的值；
（2）計(jì)算（2a）※b+b※（2a）．
25．（2022秋?永康市期中）計(jì)算：
（1）﹣﹣（﹣1）2023 （2）|﹣2|﹣﹣
第14講 實(shí)數(shù)的運(yùn)算（5種題型）
【知識(shí)梳理】
有理數(shù)關(guān)于相反數(shù)和絕對(duì)值的意義同樣適合于實(shí)數(shù).
當(dāng)數(shù)從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)以后，實(shí)數(shù)之間不僅可以進(jìn)行加、減、乘、除（除數(shù)不為0）、乘方運(yùn)算，而且正數(shù)及0可以進(jìn)行開平方運(yùn)算，任意一個(gè)實(shí)數(shù)可以進(jìn)行開立方運(yùn)算.在進(jìn)行實(shí)數(shù)的運(yùn)算時(shí)，有理數(shù)的運(yùn)算法則及運(yùn)算性質(zhì)等同樣適用.
【考點(diǎn)剖析】
題型一：實(shí)數(shù)的混合混算
例1.計(jì)算：
（1）＝___.（2）4+＝___．（3）的立方根為 ___．
（4）如果的平方根是±3，則＝___．
【答案】 4 8 3 4
【分析】（1）根據(jù)立方根的定義求解即可；
（2）根據(jù)平方根的定義先化簡(jiǎn)，然后求解即可；
（3）根據(jù)平方根的定義先化簡(jiǎn)，再求立方根即可；
（4）根據(jù)平方根的定義先求出，然后代入求解即可．
【詳解】解：（1）；
（2）；
（3）∵，
∴的立方根即為8的立方根，8的立方根為3，
∴的立方根為3；
（4）∵的平方根是±3，
∴，
∴，
∴；
故答案為：4；8；3；4．
【點(diǎn)睛】本題考查平方根，算術(shù)平方根以及立方根的相關(guān)計(jì)算，理解平方根與立方根的相關(guān)基本概念是解題關(guān)鍵．
【變式1】如圖邊長(zhǎng)為2的正方形，則圖中的陰影部分面積是______．
【答案】
【分析】由圖可知陰影部分的面積等于正方形面積減去圓的面積，由此求解即可．
【詳解】解：根據(jù)題意可得：
S陰影＝＝．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟知正方形、圓的面積公式．
【變式2】若與互為相反數(shù)，則________．
【答案】-1
【分析】根據(jù)題意，可得：，所以，據(jù)此求出的值是多少，再應(yīng)用代入法，求出的值是多少即可．
【詳解】解：與互為相反數(shù)，
，
，
解得：，
，
故答案為：-1．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，相反數(shù)的性質(zhì)，立方根的性質(zhì)，根據(jù)兩個(gè)數(shù)的立方根互為相反數(shù)得到關(guān)于x的方程是關(guān)鍵點(diǎn)．
【變式3】計(jì)算：|﹣|﹣．
【答案】
【分析】先逐項(xiàng)化簡(jiǎn)，再算加減即可．
【詳解】解： 原式=，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握立方根和算術(shù)平方根的定義是解答本題的關(guān)鍵．
【變式4】（2022·浙江金華·七年級(jí)期末）計(jì)算：
(1) (2)
【答案】(1)1
(2)35
【分析】（1）原式先化簡(jiǎn)立方根，再計(jì)算除法，最后計(jì)算減法即可得到答案；
（2）原式先計(jì)算乘方和化簡(jiǎn)算術(shù)平方根，再計(jì)算乘法，最后計(jì)算加法即可得到答案．
(1)
=
=1
(2)
=
=
=
【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
【變式5】計(jì)算：
(1)； (2)．
【答案】(1)12
(2)
【分析】（1）直接利用立方根以及算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡(jiǎn)得出答案；
（2）直接利用絕對(duì)值以及二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)得出答案．
(1)解：原式；
(2)解：原式．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
【變式6】（2022·浙江臺(tái)州·七年級(jí)期中）計(jì)算
【答案】
【分析】直接根據(jù)算術(shù)平方根、立方根以及絕對(duì)值的意義將原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：
＝
＝．
【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握算術(shù)平方根、立方根以及絕對(duì)值的非負(fù)性是解本題的關(guān)鍵．
【變式7】（2022·浙江臺(tái)州·七年級(jí)期中）計(jì)算：
(1)； (2)．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根和立方根化簡(jiǎn)后計(jì)算即可；
（2）去絕對(duì)值后計(jì)算即可．
（1）
解：
；
（2）
．
【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握算術(shù)平方根、立方根的定義和絕對(duì)值的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
題型二：程序設(shè)計(jì)與實(shí)數(shù)運(yùn)算
例2.按如圖所示的程序計(jì)算，若開始輸入的x為，則輸出的結(jié)果為________．
【答案】15．
【分析】根據(jù)輸入的為，按照運(yùn)算程序，計(jì)算結(jié)果即可．
【詳解】解：∵輸入的為，是無(wú)理數(shù)，
∴以為邊長(zhǎng)的正方形的面積是：，
故答案是：15．
【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的運(yùn)算，讀懂題目，掌握計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．
【變式1】如圖所示是計(jì)算機(jī)程序計(jì)算，若開始輸入x＝﹣3，則最后輸出的結(jié)果是____．
【答案】2．
【分析】讀懂計(jì)算程序，把x=－3代入，按計(jì)算程序計(jì)算，直到結(jié)果是無(wú)理數(shù)即可．
【詳解】當(dāng)輸入x，若＝2的結(jié)果是無(wú)理數(shù)，即為輸出的數(shù)，
當(dāng)x＝﹣3時(shí)，2＝2，不是無(wú)理數(shù)，
因此，把x＝2再輸入得，2＝2，
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，掌握計(jì)算法則是關(guān)鍵．
【變式2】如圖，是一個(gè)計(jì)算程序，若輸入a的值為，則輸出的結(jié)果應(yīng)為______________．
【答案】
【分析】根據(jù)計(jì)算程序列出算式，并根據(jù)求解即可．
【詳解】解：根據(jù)題意，得
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，理解計(jì)算程序，正確列出算式并求解是解答的關(guān)鍵．
【變式3】（2022·浙江臺(tái)州·七年級(jí)期中）如圖是一個(gè)無(wú)理數(shù)篩選器的工作流程圖．
(1)當(dāng)x為9時(shí)，y值為 ；
(2)如果輸入0和1， （填“能”或“不能”）輸出y值；
(3)當(dāng)輸出的y值是時(shí)，請(qǐng)寫出滿足題意的x值： ．（寫出兩個(gè)即可）
【答案】(1)
(2)不能
(3)5或25（答案不唯一）
【分析】（1）根據(jù)運(yùn)算流程圖，即可求解；
（2）根據(jù)0的算術(shù)平方根是0，1的算術(shù)平方根是1，即可判斷；
（3）根據(jù)運(yùn)算法則，進(jìn)行逆運(yùn)算即可得到滿足題意的x值．
（1）
解：當(dāng)輸入x=9時(shí)，9的算術(shù)平方根為3，不是無(wú)理數(shù)，3的算術(shù)平方根為，
即；
故答案為：
（2）解：當(dāng)輸入x=0或1時(shí)，因?yàn)?的算術(shù)平方根是0，始終是有理數(shù)，1的算術(shù)平方根是1，也始終是有理數(shù)，
所以不能輸出y；
故答案為：不能
（3）解：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)x=5；
當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)x=25；
故答案為：5或25（答案不唯一）
【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)理數(shù)以及算術(shù)平方根，正確理解工作流程圖是解題的關(guān)鍵．
題型三：新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算
例3．（2022·浙江臺(tái)州·七年級(jí)期中）設(shè)表示小于的最大整數(shù)，如，，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．的最小值是0C．的最大值是1D．不存在實(shí)數(shù)，使
【答案】C
【分析】根據(jù)新定義，逐項(xiàng)判斷即可求解．
【詳解】解：A、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B、因?yàn)楸硎拘∮诘淖畲笳麛?shù)，所以，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
C、因?yàn)楸硎拘∮诘淖畲笳麛?shù)，所以的最大值是1，故本選項(xiàng)正確，符合題意；
D、存在實(shí)數(shù)，使，如，則，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的大小比較和新定義運(yùn)算，正確理解表示小于的最大整數(shù)是解題的關(guān)鍵．
【變式1】任何實(shí)數(shù)a，可用表示不超過(guò)a的最大整數(shù)，如，現(xiàn)對(duì)72進(jìn)行如下操作，，這樣對(duì)72只需進(jìn)行3次操作即可變?yōu)?，類似地，對(duì)81只需進(jìn)行（ ）次操作后即可變?yōu)?．
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根據(jù)新運(yùn)算依次求出即可．
【詳解】解：，，，共3次操作，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了估算無(wú)理數(shù)的大小，能求出每次的值是解此題的關(guān)鍵．
【變式2】定義新運(yùn)算“⊕”：a⊕b=+（其中a、b都是有理數(shù)），例如：2⊕3=+=，那么3⊕（﹣4）的值是（ ）
A．﹣B．﹣C．D．
【答案】C
【詳解】試題解析：3⊕（-4）
=.
故選C．
【變式3】（2022·浙江·寧波市鄞州區(qū)咸祥鎮(zhèn)中心初級(jí)中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）現(xiàn)規(guī)定一種運(yùn)算：，其中，為有理數(shù)，則 等于( )
A．a(chǎn)2－bB．b2－bC．b2D．b2－a
【答案】B
【詳解】
故選：B.
【變式4】（2022·浙江杭州·七年級(jí)期中）用“”定義新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，都有．例如：，那么20225＝________；當(dāng)m為實(shí)數(shù)時(shí)，＝________．
【答案】 26 26
【分析】首先用5的平方加上1，求出2022?5的值；然后用2的平方加上1，求出m?2的值，進(jìn)而求出m?（m?2）的值即可．
【詳解】解：∵對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，都有a?b=b2+1，
∴2022?5=52+1=26；
當(dāng)m為實(shí)數(shù)時(shí)，
m?（m?2）
=m?（22+1）
=m?5
=52+1
=25+1
=26．
故答案為：26、26．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，以及定義新運(yùn)算，解答此題的關(guān)鍵是要明確“?”的運(yùn)算方法．
【變式5】（2022·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）觀察下列等式（式子中的“！”是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)）
1!=1，2!=2×1，3!=3×2×1，4!=4×3×2×1，…，
那么計(jì)算：=__．
【答案】
【分析】根據(jù)“！”的運(yùn)算方式列式計(jì)算即可．
【詳解】解：．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘法，有理數(shù)的除法，理解新定義運(yùn)算“！”是解題的關(guān)鍵．
【變式6】（2022·浙江紹興·七年級(jí)期末）如，我們叫集合M．其中1，2，x叫做集合M的元素，集合中的元素具有確定性（如x必然存在），互異性（如，），無(wú)序性（即改變?cè)氐捻樞?，集合不變）．若集合，我們說(shuō)．已知集合，集合，若，則的值是______．
【答案】
【分析】根據(jù)集合的定義和集合相等的條件即可判斷．
【詳解】∵，，
∴，，
∴，即，
∴，或，，
∴或（舍去），
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題以集合為背景考查了代數(shù)式求值，關(guān)鍵是根據(jù)集合的定義和性質(zhì)求出和的值．
【變式7】定義新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，都有，例如．
（1）求的值．
（2）求的平方根．
【答案】（1）21；（2）±4
【分析】（1）根據(jù)定義新運(yùn)算即可求的值；
（2）根據(jù)定義新運(yùn)算求的值，再計(jì)算平方根即可得出答案．
【詳解】（1）由定義新運(yùn)算得：；
（2）由定義新運(yùn)算得：，
∴的平方根為．
【點(diǎn)睛】本題考查新定義的有理數(shù)運(yùn)算，掌握新定義的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
【變式8】任何實(shí)數(shù)a，可用[a]表示不超過(guò)a的最大整數(shù)，如[4]=4，[]=1．現(xiàn)對(duì)72進(jìn)行如下操作：72第一次[]=8，第二次[]=2，第三次[]=1，這樣對(duì)72只需進(jìn)行3次操作變?yōu)?．
（1）對(duì)10進(jìn)行1次操作后變?yōu)開______，對(duì)200進(jìn)行3次作后變?yōu)開______；
（2）對(duì)實(shí)數(shù)m恰進(jìn)行2次操作后變成1，則m最小可以取到_______；
（3）若正整數(shù)m進(jìn)行3次操作后變?yōu)?，求m的最大值．
【答案】（1）3；1；（2）；（3）的最大值為255
【詳解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴對(duì)10進(jìn)行1次操作后變?yōu)?；
同理可得，
∴，
同理可得，
∴，
同理可得，
∴，
∴對(duì)200進(jìn)行3次作后變?yōu)?，
故答案為：3；1；
（2）設(shè)m進(jìn)行第一次操作后的數(shù)為x，
∵，
∴．
∴．
∴．
∵要經(jīng)過(guò)兩次操作．
∴．
∴．
∴．
故答案為：．
（3）設(shè)m經(jīng)過(guò)第一次操作后的數(shù)為n，經(jīng)過(guò)第二次操作后的數(shù)為x，
∵，
∴．
∴．
∴．
．
∴．
∵要經(jīng)過(guò)3次操作，故．
∴．
∵是整數(shù)．
∴的最大值為255．
【點(diǎn)睛】本題考查取整函數(shù)及無(wú)理數(shù)的估計(jì)，正確理解取整含義是求解本題的關(guān)鍵．
題型四：實(shí)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用
例4.如圖，在紙面上有一數(shù)軸，點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣1，點(diǎn)B表示的數(shù)為3，點(diǎn)C表示的數(shù)為．若子軒同學(xué)先將紙面以點(diǎn)B為中心折疊，然后再次折疊紙面使點(diǎn)A和點(diǎn)B重合，則此時(shí)數(shù)軸上與點(diǎn)C重合的點(diǎn)所表示的數(shù)是_______．
【答案】4+或6﹣或2﹣．
【分析】先求出第一次折疊與A重合的點(diǎn)表示的數(shù)，然后再求兩點(diǎn)間的距離即可；同理再求出第二次折疊與C點(diǎn)重合的點(diǎn)表示的數(shù)即可．
【詳解】解：第一次折疊后與A重合的點(diǎn)表示的數(shù)是：3+（3+1）＝7．
與C重合的點(diǎn)表示的數(shù)：3+（3﹣）＝6﹣．
第二次折疊，折疊點(diǎn)表示的數(shù)為：（3+7）＝5或（﹣1+3）＝1．
此時(shí)與數(shù)軸上的點(diǎn)C重合的點(diǎn)表示的數(shù)為：
5+（5﹣6+）＝4+或1﹣（﹣1）＝2﹣．
故答案為：4+或6﹣或2﹣．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸上的點(diǎn)和折疊問(wèn)題，掌握折疊的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
【變式1】設(shè)x，y是有理數(shù)，且x，y滿足等式，則的平方根是___________.
【答案】±1
【分析】因?yàn)閤、y為有理數(shù)，所以x+2y也是有理數(shù)，根據(jù)二次根式的性質(zhì)，只有同類二次根式才能合并，所以x、2y都不能與進(jìn)行合并，根據(jù)實(shí)數(shù)的性質(zhì)列出關(guān)系式，分別求出x、y的值再代入計(jì)算即可求解．
【詳解】解：∵x、y為有理數(shù)，
∴x+2y為有理數(shù)，
∴
解得
∴=5-4=1，1的平方根是±1．
故答案為±1．
【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，熟悉合并同類項(xiàng)的法則，求出相應(yīng)的x、y的值．
【變式2】某高速公路規(guī)定汽車的行駛速度不得超過(guò)100千米/時(shí)，當(dāng)發(fā)生交通事故時(shí)，交通警察通常根據(jù)剎車后車輪滑過(guò)的距離估計(jì)車輛的行駛速度，所用的經(jīng)驗(yàn)公式是v＝16，其中v表示車速（單位：千米/時(shí)，d表示剎車后車輪滑過(guò)的距離（單位：米），f表示摩擦系數(shù)．在一次交通事故中，經(jīng)測(cè)量d＝32米，f＝2，請(qǐng)你判斷一下，肇事汽車當(dāng)時(shí)是否超速了．
【答案】肇事汽車當(dāng)時(shí)的速度超出了規(guī)定的速度．
【分析】先把d=32米，f=2分別代入v=16，求出當(dāng)時(shí)汽車的速度再和100千米/時(shí)比較即可解答．
【詳解】解：把d=32，f=2代入v=16，
v=16=128（km/h），
∵128＞100，
∴肇事汽車當(dāng)時(shí)的速度超出了規(guī)定的速度．
【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用，讀懂題意是解題的關(guān)鍵，另外要熟悉實(shí)數(shù)的相關(guān)運(yùn)算．
【變式3】已知小正方形的邊長(zhǎng)為1，在4×4的正方形網(wǎng)中．
（1）求_______________．
（2）在5×5的正方形網(wǎng)中作一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形．
【答案】（1）10；（2）見(jiàn)解析
【分析】（1）用大正方形的面積減去四個(gè)小三角形的面積即可得出陰影部分面積；
（2）邊長(zhǎng)為的正方形，則面積為，則每個(gè)三角形的面積為，據(jù)此作圖即可．
【詳解】解：（1），
故答案為：10；
（2）邊長(zhǎng)為的正方形，則面積為，
則每個(gè)三角形的面積為，
則作圖如下：
.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，解決本題的關(guān)鍵是利用網(wǎng)格求出周圍四個(gè)小三角形的邊長(zhǎng)．
【變式4】數(shù)軸是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)工具，它使數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系，揭示了數(shù)與點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結(jié)合”的基礎(chǔ)．小白在草稿紙上畫了一條數(shù)軸進(jìn)行操作探究：
操作一：
（1）折疊紙面，若使表示的點(diǎn)1與﹣1表示的點(diǎn)重合，則﹣2表示的點(diǎn)與 表示的點(diǎn)重合；
操作二：
（2）折疊紙面，若使1表示的點(diǎn)與﹣3表示的點(diǎn)重合，回答以下問(wèn)題：
①表示的點(diǎn)與數(shù) 表示的點(diǎn)重合；
②若數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間距離為8（A在B的左側(cè)），且A、B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，則A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別是__________________；
操作三：
（3）在數(shù)軸上剪下9個(gè)單位長(zhǎng)度（從﹣1到8）的一條線段，并把這條線段沿某點(diǎn)折疊，然后在重疊部分某處剪一刀得到三條線段（如圖）. 若這三條線段的長(zhǎng)度之比為1：1：2，則折痕處對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所表示的數(shù)可能是_________________________.
【答案】（1）2 (2)①②-5，3（3）
【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱性找到折痕的點(diǎn)為原點(diǎn)O，可以得出-2與2重合；
（2）根據(jù)對(duì)稱性找到折痕的點(diǎn)為-1，
①設(shè)表示的點(diǎn)與數(shù)a表示的點(diǎn)重合，根據(jù)對(duì)稱性列式求出a的值；
②因?yàn)锳B=8，所以A到折痕的點(diǎn)距離為4，因?yàn)檎酆蹖?duì)應(yīng)的點(diǎn)為-1，由此得出A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)；
（3）分三種情況進(jìn)行討論：設(shè)折痕處對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所表示的數(shù)是x，如圖1，當(dāng)AB：BC：CD=1：1：2時(shí)，所以設(shè)AB=a，BC=a，CD=2a，得a+a+2a=9，a=，得出AB、BC、CD的值，計(jì)算也x的值，同理可得出如圖2、3對(duì)應(yīng)的x的值．
【詳解】操作一，
（1）∵表示的點(diǎn)1與-1表示的點(diǎn)重合，
∴折痕為原點(diǎn)O，
則-2表示的點(diǎn)與2表示的點(diǎn)重合，
操作二：
（2）∵折疊紙面，若使1表示的點(diǎn)與-3表示的點(diǎn)重合，
則折痕表示的點(diǎn)為-1，
①設(shè)表示的點(diǎn)與數(shù)a表示的點(diǎn)重合，
則-（-1）=-1-a，
a=-2-；
②∵數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間距離為8，
∴數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)到折痕-1的距離為4，
∵A在B的左側(cè)，
則A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別是-5和3；
操作三：
（3）設(shè)折痕處對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所表示的數(shù)是x，
如圖1，當(dāng)AB：BC：CD=1：1：2時(shí)，
設(shè)AB=a，BC=a，CD=2a，
a+a+2a=9，
a=，
∴AB=，BC=，CD=，
x=-1++=，
如圖2，當(dāng)AB：BC：CD=1：2：1時(shí)，
設(shè)AB=a，BC=2a，CD=a，
a+a+2a=9，
a=，
∴AB=，BC=，CD=，
x=-1++=，
如圖3，當(dāng)AB：BC：CD=2：1：1時(shí)，
設(shè)AB=2a，BC=a，CD=a，
a+a+2a=9，
a=，
∴AB=，BC=CD=，
x=-1++=，
綜上所述：則折痕處對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所表示的數(shù)可能是或或．
題型五：與實(shí)數(shù)運(yùn)算相關(guān)的規(guī)律題
例5.如圖將1、、、按下列方式排列．若規(guī)定表示第排從左向右第個(gè)數(shù)，則與表示的兩數(shù)之積是（ ）．
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】首先從排列圖中可知：第1排有1個(gè)數(shù)，第2排有2個(gè)數(shù)，第3排有3個(gè)數(shù)，然后抽象出第5排第4個(gè)數(shù)，第15排第8個(gè)數(shù)，然后可以得到答案．
【詳解】解：表示第5排從左往右第4個(gè)數(shù)是， 表示第15排第8個(gè)數(shù)，從上面排列圖中可以看出奇數(shù)行1排在最中間，所以第15行最中間是1，且為第8個(gè)，所以1和 的積是．
故本題選B．
【點(diǎn)睛】本題是規(guī)律題的呈現(xiàn)，考查學(xué)生的從具體情境中抽象出一般規(guī)律，考查學(xué)生觀察與歸納能力．
【變式1】將實(shí)數(shù)按如圖所示的方式排列，若用表示第m排從左向右數(shù)第n個(gè)數(shù)，則與表示的兩數(shù)之積是________
1（第1排）
（第2排）
1 （第3排）
1 （第4排）
1 （第5排）
【答案】2
【分析】所給一系列數(shù)是4個(gè)數(shù)一循環(huán)，看（5，4）與（11，7）是第幾個(gè)數(shù)，除以4，根據(jù)余數(shù)得到相應(yīng)循環(huán)的數(shù)即可．
【詳解】解：∵第4排最后一個(gè)數(shù)為第10個(gè)數(shù)（1+2+3+4=10），
∴（5，4）表示第14個(gè)數(shù)（10+4=14），
∵14÷4=3…2，
∴（5，4）表示的數(shù)為，
∵第10排最后一個(gè)數(shù)為第55個(gè)數(shù)1+2+3+4+…+10==55，
∴（11，7）表示第62個(gè)數(shù)（55+7=62），
∵62÷4=15…2，
∴（11，7）表示的數(shù)為，
則（5，4）與（11，7）表示的兩數(shù)之積是×=2．
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律與二次根式的運(yùn)算，找出數(shù)字循環(huán)的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，解決問(wèn)題．
【變式2】若|a﹣1|+（ab﹣2）2＝0，則…＝_____．
【答案】
【分析】先由|a﹣1|+(ab﹣2)2＝0，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出a、b的值，代入原式后，再利用裂項(xiàng)求和可得．
【詳解】解：∵|a﹣1|+(ab﹣2)2＝0，
∴a﹣1＝0且ab﹣2＝0，
解得a＝1，b＝2，
則原式＝
＝
＝
＝，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值和平方的非負(fù)性，分式的化簡(jiǎn)求值，觀察式子特征用裂項(xiàng)的方法，相抵消是解題的關(guān)鍵．
【變式3】借助計(jì)算器計(jì)算下列各題：
(1)＝_____；
(2)＝_____；
(3) ＝______；
(4) ＝______；
(5)根據(jù)上面計(jì)算的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)＝______________．(用含n的式子表示)
【答案】(1)1；(2)3；(3)6；(4)10；(5)
【分析】由計(jì)算器計(jì)算得：
(1)＝1；
(2)可看做被開方數(shù)中每個(gè)加數(shù)底數(shù)的和，即1+2；
(3) =6可看做被開方數(shù)中每個(gè)加數(shù)底數(shù)的和，即1+2+3；
(4)=10可看做被開方數(shù)中每個(gè)加數(shù)底數(shù)的和，即1+2+3+4
…
所以由以上規(guī)律可得（5）=1+2+3+…+n=
【詳解】解：(1)＝1；
(2)
(3) =6
(4)=10
（5）=1+2+3+…+n=
故答案是：1，3，6，10，
【點(diǎn)睛】此題主要考查了算術(shù)平方根的一般規(guī)律性問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是認(rèn)真觀察給出的算式總結(jié)規(guī)律．
【變式4】已知：，求的值．
【答案】．
【分析】先根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性、偶次方的非負(fù)性求出a、b的值，再代入分解，加減抵消即可得．
【詳解】由絕對(duì)值的非負(fù)性、偶次方的非負(fù)性得：
解得
則原式
．
【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的非負(fù)性、偶次方的非負(fù)性、與實(shí)數(shù)運(yùn)算有關(guān)的規(guī)律型問(wèn)題，將所求式子進(jìn)行分解，結(jié)合加減抵消法是解題關(guān)鍵．
【過(guò)關(guān)檢測(cè)】
一．選擇題（共6小題）
1．（2022秋?鄞州區(qū)校級(jí)月考）若a＝﹣，b＝，則a﹣b＝（ ）
A．4B．﹣4C．6D．﹣6
【分析】利用平方根及立方根定義求出a與b的值，代入a﹣b計(jì)算即可求出值．
【解答】解：∵a＝﹣＝﹣5，b＝＝﹣1，
∴a﹣b＝﹣5﹣（﹣1）＝﹣5+1＝﹣4．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
2．（2022秋?杭州期中）下列說(shuō)法中：①立方根等于本身的是﹣1，0，1；②平方根等于本身的數(shù)是0，1；③兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和一定是無(wú)理數(shù)；④實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的；⑤a與b兩數(shù)的平方和表示為a2+b2．其中錯(cuò)誤的是（ ）
A．①②B．②③C．②③④D．③④⑤
【分析】根據(jù)立方根，平方根，無(wú)理數(shù)的意義，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，逐一判斷即可解答．
【解答】解：①立方根等于本身的是﹣1，0，1，故①正確；
②平方根等于本身的數(shù)是0，故②不正確；
③兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和不一定是無(wú)理數(shù)，故③不正確；
④實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，故④正確；
⑤a與b兩數(shù)的平方和表示為a2+b2，故⑤正確；
所以，上列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是②③，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，立方根，平方根，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握這些數(shù)學(xué)概念是解題的關(guān)鍵．
3．（2022秋?西湖區(qū)校級(jí)期中）如果a，b是2022的兩個(gè)平方根，那么a+2ab+b的值是（ ）
A．0B．2022C．4044D．﹣4044
【分析】根據(jù)a，b是2022的兩個(gè)平方根，可得：a+b＝0，ab＝﹣2022，據(jù)此求出a+2ab+b的值即可．
【解答】解：∵a，b是2022的兩個(gè)平方根，
∴a+b＝0，ab＝﹣2022，
∴a+2ab+b
＝a+b+2ab
＝0+2×（﹣2022）
＝0+（﹣4044）
＝﹣4044．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，以及平方根的含義和求法，解答此題的關(guān)鍵是要明確：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根．
4．（2022秋?吳興區(qū)期中）下列說(shuō)法中：①立方根等于本身的是﹣1，0，1；②平方根等于本身的數(shù)是0，1；③兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和一定是無(wú)理數(shù)；④實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的；⑤是負(fù)分?jǐn)?shù)；⑥兩個(gè)有理數(shù)之間有無(wú)數(shù)個(gè)無(wú)理數(shù)，同樣兩個(gè)無(wú)理數(shù)之間有無(wú)數(shù)個(gè)有理數(shù)．其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根據(jù)立方根的定義判斷①；根據(jù)平方根的定義判斷②；根據(jù)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為0判斷③；根據(jù)實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)判斷④；根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義判斷⑤；通過(guò)舉例子判斷⑥．
【解答】解：立方根等于本身的數(shù)是±1，0，故①符合題意；
平方根等于本身的數(shù)是0，故②不符合題意；
+（﹣）＝0，故③不符合題意；
實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，故④符合題意；
﹣是無(wú)理數(shù)，不是負(fù)分?jǐn)?shù)，故⑤不符合題意；
兩個(gè)有理數(shù)之間有無(wú)數(shù)個(gè)無(wú)理數(shù)，同樣兩個(gè)無(wú)理數(shù)之間有無(wú)數(shù)個(gè)有理數(shù)，例如1和2之間有，，，等無(wú)數(shù)個(gè)，和之間有1.51，1.511等無(wú)數(shù)個(gè)，故⑥符合題意；
∴正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了立方根，平方根，數(shù)軸與實(shí)數(shù)，無(wú)理數(shù)，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，注意﹣是無(wú)理數(shù)，而負(fù)分?jǐn)?shù)是有理數(shù)．
5．（2021秋?西湖區(qū)校級(jí)月考）按如圖所示的運(yùn)算程序，能使輸出的結(jié)果為3的是（ ）
A．a(chǎn)＝0，b＝3B．a(chǎn)＝1，b＝2C．a(chǎn)＝4，b＝1D．a(chǎn)＝9，b＝0
【分析】對(duì)于每個(gè)選項(xiàng)，先判斷a，b的大小，若a＜b，結(jié)果＝+；若a＞b，結(jié)果＝﹣．
【解答】解：A選項(xiàng)，∵0＜3，
∴+＝，故該選項(xiàng)不符合題意；
B選項(xiàng)，∵1＜2，
∴+＝1+，故該選項(xiàng)不符合題意；
C選項(xiàng)，∵4＞1，
∴﹣＝2﹣1＝1，故該選項(xiàng)不符合題意；
D選項(xiàng)，∵9＞0，
∴﹣＝3，故該選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，掌握若a＜b，結(jié)果＝+；若a＞b，結(jié)果＝﹣是解題的關(guān)鍵．
6．（2021秋?余姚市校級(jí)期中）對(duì)于實(shí)數(shù)x，我們規(guī)定[x]表示不大于x的最大整數(shù)，如，現(xiàn)對(duì)82進(jìn)行如下操作：，這樣對(duì)82只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?，類似地，對(duì)100只需進(jìn)行多少次操作后變?yōu)?（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】按照例題的思路，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：100[]＝10[]＝3[]＝1，
∴對(duì)100只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，理解例題的思路是解題的關(guān)鍵．
二．填空題（共12小題）
7．（2022秋?濱江區(qū)校級(jí)期中）已知x，y是兩個(gè)不相等的有理數(shù)，且滿足等式；（3﹣1）x＝3﹣y，則x＝ ﹣3 ，y＝ 9 ．
【分析】直接利用x，y是兩個(gè)不相等的有理數(shù)，根據(jù)已知等式得出x的值，進(jìn)而得出y的值．
【解答】解：∵（3﹣1）x＝3﹣y，
∴3x﹣x＝3﹣y，
∴x＝﹣3，
則3×（﹣3）＝﹣y，
解得：y＝9．
故答案為：﹣3，9．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，正確得出x的值是解題關(guān)鍵．
8．（2022秋?東陽(yáng)市期中）如圖，是一個(gè)計(jì)算程序，若輸入的數(shù)為，則輸出的結(jié)果應(yīng)為 1 .
【分析】直接把已知數(shù)據(jù)代入，進(jìn)而計(jì)算得出答案．
【解答】解：由題意可得：[（）2﹣5]×0.5
＝（7﹣5）×0.5
＝2×0.5
＝1．
故答案為：1．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，正確代入數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．
9．（2022秋?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：＝ 6 ．
【分析】先根據(jù)算術(shù)平方根和立方根化簡(jiǎn)，然后再計(jì)算即可．
【解答】解：．
故答案為：6．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了算術(shù)平方根、立方根等知識(shí)點(diǎn)，正確求得算術(shù)平方根和立方根是解答本題的關(guān)鍵．
10．（2022秋?上城區(qū)校級(jí)期中）用“*”表示一種新運(yùn)算：對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a*b＝，例如10*21＝＝11，則*（*2）的運(yùn)算結(jié)果為 4 ．
【分析】根據(jù)題意給出的新定義運(yùn)算法則即可求出答案．
【解答】解：*2＝＝＝3，
*3＝＝＝4，
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用新定義運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．
11．（2021秋?柯橋區(qū)期末）根據(jù)圖示的對(duì)話，則代數(shù)式3a+3b﹣2c+2m的值是 19 ．
【分析】直接利用互為相反數(shù)以及算術(shù)平方根、倒數(shù)的定義得出a+b＝0，c＝﹣，m＝9，進(jìn)而計(jì)算得出答案．
【解答】解：由題意可得：a+b＝0，c＝﹣，m＝9，
故原式＝3（a+b）﹣2c+2m
＝3×0﹣2×（﹣）+2×9
＝0+1+18
＝19．
故答案為：19．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了互為相反數(shù)以及算術(shù)平方根、倒數(shù)的定義，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．
12．（2021秋?浙江期末）計(jì)算：+＝ ﹣1 ．
【分析】先化簡(jiǎn)各數(shù)，然后再進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：+
＝﹣3+2
＝﹣1，
故答案為：﹣1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地化簡(jiǎn)各數(shù)是解題的關(guān)鍵．
13．（2021秋?東陽(yáng)市期末）若a與b互為相反數(shù)，m與n互為倒數(shù)，k的算術(shù)平方根為，則2022a+2021b+mnb+k2的值為 4 ．
【分析】根據(jù)題意得a+b＝0，mn＝1，k＝2，整體代入求值即可．
【解答】解：∵a與b互為相反數(shù)，m與n互為倒數(shù)，k的算術(shù)平方根為，
∴a+b＝0，mn＝1，k＝2，
∴原式＝2021（a+b）+a+b+4
＝0+0+
＝4．
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，考查了整體思想，整體代入求值是解題的關(guān)鍵．
14．（2022秋?寧波期中）任意寫出兩個(gè)無(wú)理數(shù)，使它們的和為2： +2與﹣ ．
【分析】寫出兩個(gè)無(wú)理數(shù)，使其之和為2即可．
【解答】解：根據(jù)題意得：+2+（﹣）＝2，
故答案為：+2與﹣
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
15．（2022秋?溫州期末）按如圖所示的程序計(jì)算，若輸入的a＝3，b＝4，則輸出的結(jié)果為 5 ．
【分析】把a(bǔ)、b的值代入計(jì)算即可求出值．
【解答】解：當(dāng)a＝3，b＝4時(shí)，
＝＝＝5，
所以輸出的結(jié)果為5．
故答案為：5．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
16．（2022秋?瑞安市期中）對(duì)于任意實(shí)數(shù)對(duì)（a，b）和（c，d），規(guī)定運(yùn)算“?”為（a，b）?（c，d）＝（ac，bd）；運(yùn)算“⊕”為（a，b）⊕（c，d）＝（a+c，b+d）．例如（2，3）?（4，5）＝（8，15）；（2，3）⊕（4，5）＝（6，8）．若（2，3）?（p，q）＝（﹣4，9），則（1，﹣5）⊕（p，q）＝ （﹣1，﹣2） ．
【分析】讀懂題意，利用新定義計(jì)算，先根據(jù)新定義列等式，求出p、q的值，再代入新定義計(jì)算．
【解答】解：∵（2，3）?（p，q）＝（﹣4，9），
∴2p＝﹣4，p＝﹣2，
3q＝9，q＝3，
∴（1，﹣5）⊕（p，q）＝（1，﹣5）⊕（﹣2，3）＝（﹣1，﹣2）．
故答案為：（﹣1，﹣2）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算的新定義，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能利用新定義正確的進(jìn)行計(jì)算．
17．（2022秋?青田縣期中）計(jì)算：﹣＝ 1 ．
【分析】原式利用算術(shù)平方根及立方根定義計(jì)算即可得到結(jié)果．
【解答】解：原式＝4﹣3＝1，
故答案為：1
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
18．（2022秋?新昌縣期中）已知：m與n互為相反數(shù)，c與d互為倒數(shù)，a是的整數(shù)部分，則的值是 ﹣1 ．
【分析】首先根據(jù)有理數(shù)的加法可得m+n＝0，根據(jù)倒數(shù)定義可得cd＝1，然后代入代數(shù)式求值即可．
【解答】解：∵m與n互為相反數(shù)，
∴m+n＝0，
∵c與d互為倒數(shù)，
∴cd＝1，
∵a是的整數(shù)部分，
∴a＝2，
∴＝1+2×0﹣2＝﹣1．
故答案為：﹣1．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，關(guān)鍵是掌握相反數(shù)和為0，倒數(shù)積為1．
三．解答題（共7小題）
19．（2022秋?鄞州區(qū)期中）初中階段，目前我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了多種計(jì)算技巧，例如裂項(xiàng)相消法，錯(cuò)位相減法等等，請(qǐng)計(jì)算下列各式：
（1）＝ ；
（2）＝ ；
（3）＝ ﹣1 ．
【分析】（1）裂項(xiàng)后乘以2，將各項(xiàng)相加，消掉和互為相反數(shù)的項(xiàng)；
（2）裂項(xiàng)后乘以3，將各項(xiàng)相加，消掉和互為相反數(shù)的項(xiàng)；
（3）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)去掉絕對(duì)值，即可消掉．
【解答】解：（1）原式＝2×（1﹣+﹣+﹣+???+﹣）
＝2×（1﹣）
＝．
故答案為：；
（2）原式＝3×（1﹣+﹣+﹣+???+）
＝3×（1﹣）
＝3×
＝．
故答案為：；
（3）原式＝﹣1+﹣+﹣+???+﹣
＝﹣1．
故答案為：﹣1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是實(shí)數(shù)的運(yùn)算，根據(jù)題意找出運(yùn)算規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
20．（2022秋?余杭區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：
（1）+；
（2）．
【分析】（1）根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算法則即可求出答案．
（2）根據(jù)立方根與平方根的性質(zhì)即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝+
＝+
＝4+1
＝5．
（2）原式＝﹣3+3﹣（﹣1）
＝0+1
＝1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的加減運(yùn)算、平方根性質(zhì)以及立方根的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．
21．（2022秋?婺城區(qū)期末）計(jì)算：．
【分析】根據(jù)平方，算術(shù)平方根的概念、絕對(duì)值的性質(zhì)計(jì)算．
【解答】解：原式＝﹣4﹣3+4+4＝1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是實(shí)數(shù)的運(yùn)算，掌握算術(shù)平方根、絕對(duì)值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
22．（2022秋?鄞州區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算：
（1）﹣；
（2）4+（﹣3）2×2﹣．
【分析】（1）先計(jì)算平方根和立方根，再計(jì)算減法；
（2）先計(jì)算平方和立方根，再計(jì)算乘法，最后計(jì)算加減運(yùn)算．
【解答】解：（1）﹣
＝9﹣4
＝5；
（2）4+（﹣3）2×2﹣
＝4+9×2﹣3
＝4+18﹣3
＝19．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解運(yùn)算順序和方法，并能進(jìn)行正確地計(jì)算．
23．（2022秋?杭州期中）（1）若a是最小的正整數(shù)，b是絕對(duì)值最小的數(shù)，，．
則a＝ 1 ；b＝ 0 ；c＝ ﹣ ；x＝ ﹣2 ；y＝ 3 ．
（2）若a與b互為相反數(shù)，c與d互為倒數(shù)，，求代數(shù)式4（a+b）+（﹣cd）2﹣e2的值．
【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值，算術(shù)平方根的非負(fù)性，進(jìn)行計(jì)算即可解答；
（2）根據(jù)相反數(shù)，倒數(shù)，絕對(duì)值的意義可得a+b＝0，cd＝1，e＝±，然后代入式子中進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：（1）∵a是最小的正整數(shù)，b是絕對(duì)值最小的數(shù)，
∴a＝1，b＝0，
∵，
∴c＝﹣，
∵，
∴x+2＝0，y﹣3＝0，
∴x＝﹣2，y＝3，
故答案為：1；0；﹣；﹣2；3；
（2）∵a與b互為相反數(shù)，c與d互為倒數(shù)，，
∴a+b＝0，cd＝1，e＝±，
∴4（a+b）+（﹣cd）2﹣e2的
＝4×0+（﹣1）﹣2
＝0﹣1﹣2
＝﹣3，
∴4（a+b）+（﹣cd）2﹣e2的值為﹣3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，有理數(shù)的混合運(yùn)算，絕對(duì)值，算術(shù)平方根的非負(fù)性，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
24．（2021秋?松陽(yáng)縣期末）用“※定義新運(yùn)算：對(duì)于任何實(shí)數(shù)x和y，都有x※y＝xy﹣2（x﹣y）．如：1※2＝1×2﹣2×（1﹣2）＝4．
（1）求2※（﹣1）的值；
（2）計(jì)算（2a）※b+b※（2a）．
【分析】按照定義分別代入計(jì)算即可．
【解答】解：（1）由題意得，
2※（﹣1）
＝2×（﹣1）﹣2[2﹣（﹣1）]
＝﹣2﹣2×3
＝﹣2﹣6
＝﹣8；
（2）由題意得，
（2a）※b+b※（2a）
＝[2a?b﹣2×（2a﹣b）]+[b?2a﹣2×（b﹣2a）]
＝（2ab﹣4a+2b）+（2ab﹣2b+4a）
＝2ab﹣4a+2b+2ab﹣2b+4a
＝4ab．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了運(yùn)用新定義進(jìn)行實(shí)數(shù)及整式的運(yùn)算能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用定義進(jìn)行運(yùn)算．
25．（2022秋?永康市期中）計(jì)算：（1）﹣﹣（﹣1）2023
（2）|﹣2|﹣﹣
【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根，立方根和有理數(shù)的乘方運(yùn)算可解答；
（2）根據(jù)絕對(duì)值，算術(shù)平方根，立方根運(yùn)算可解答．
【解答】解：（1）﹣﹣（﹣1）2023
＝5﹣4+1
＝2；
（2）|﹣2|﹣﹣
＝2﹣﹣3+3
＝2﹣．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，掌握算術(shù)平方根，立方根和有理數(shù)的乘方的運(yùn)算法則是關(guān)鍵．

相關(guān)試卷

初中數(shù)學(xué)浙教版（2024）七年級(jí)上冊(cè)3.3 立方根課后測(cè)評(píng)：

這是一份初中數(shù)學(xué)浙教版（2024）七年級(jí)上冊(cè)3.3 立方根課后測(cè)評(píng)，共26頁(yè)。

浙教版（2024）七年級(jí)上冊(cè)第3章 實(shí)數(shù)3.2 實(shí)數(shù)練習(xí)：

這是一份浙教版（2024）七年級(jí)上冊(cè)第3章 實(shí)數(shù)3.2 實(shí)數(shù)練習(xí)，共37頁(yè)。

浙教版（2024）七年級(jí)上冊(cè)3.1 平方根達(dá)標(biāo)測(cè)試：

這是一份浙教版（2024）七年級(jí)上冊(cè)3.1 平方根達(dá)標(biāo)測(cè)試，共32頁(yè)。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

初中數(shù)學(xué)浙教版（2024）七年級(jí)上冊(cè)第2章 有理數(shù)的運(yùn)算2.5 有理數(shù)的乘方同步達(dá)標(biāo)檢測(cè)題

初中數(shù)學(xué)浙教版（2024）七年級(jí)上冊(cè)第2章 有理數(shù)的運(yùn)算2.5 有理數(shù)的乘方同步達(dá)標(biāo)檢測(cè)題
浙教版（2024）七年級(jí)上冊(cè)1.3 絕對(duì)值課后練習(xí)題

浙教版（2024）七年級(jí)上冊(cè)1.3 絕對(duì)值課后練習(xí)題
數(shù)學(xué)1.2 數(shù)軸課后復(fù)習(xí)題

數(shù)學(xué)1.2 數(shù)軸課后復(fù)習(xí)題
第14講 實(shí)數(shù)的運(yùn)算（5種題型）-（暑假預(yù)習(xí)）新七年級(jí)數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)與常見(jiàn)題型通關(guān)講解練（浙教版）

第14講 實(shí)數(shù)的運(yùn)算（5種題型）-（暑假預(yù)習(xí)）新七年級(jí)數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)與常見(jiàn)題型通關(guān)講解練（浙教版）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
初中數(shù)學(xué)浙教版（2024）七年級(jí)上冊(cè)電子課本 舊教材

3.4 實(shí)數(shù)的運(yùn)算

版本： 浙教版（2024）

年級(jí)： 七年級(jí)上冊(cè)

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部