一、立方根的定義
如果一個數的立方等于，那么這個數叫做的立方根或三次方根.這就是說，如果，那么叫做的立方根.求一個數的立方根的運算，叫做開立方.
要點：一個數的立方根，用表示，其中是被開方數，3是根指數. 開立方和立方互為逆運算.
二、立方根的特征
立方根的特征：正數的立方根是正數，負數的立方根是負數，0的立方根是0.
要點：任何數都有立方根，一個數的立方根有且只有一個，并且它的符號與這個非零數的符號相同. 兩個互為相反數的數的立方根也互為相反數.
三、立方根的性質
要點：第一個公式可以將求負數的立方根的問題轉化為求正數的立方根的問題.
四、立方根小數點位數移動規(guī)律
被開方數的小數點向右或者向左移動3位，它的立方根的小數點就相應地向右或者向左移動1位.例如，，，，.
【考點剖析】
題型一、立方根的概念
例1、下列結論正確的是（ ）
A．64的立方根是±4B．是的立方根
C．立方根等于本身的數只有0和1D．
【變式1】我們知道a+b=0時，a3+b3=0也成立，若將a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我們能否得出這樣的結論：若兩個數的立方根互為相反數，則這兩個數也互為相反數．
（1）試舉一個例子來判斷上述猜測結論是否成立；
（2）若與互為相反數，求1﹣的值．
【變式2】已知4a+7的立方根是3，2a+2b+2的算術平方根是4．
（1）求a，b的值；
（2）求6a+3b的平方根．
【變式3】已知|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8．
（1）若a＜b，求a+b的值；
（2）若abc＞0，求a﹣3b﹣2c的值．
題型二、立方根的計算
例2、求下列各式的值：
（1） （2）
（3） （4）
（5）
【變式】計算：（1）______；（2）______；
（3）______．（4）______.
題型三、利用立方根解方程
例3、求下列各式中x的值：
（1）3（x﹣1）3=24． （2）（x+1）3=﹣64．
【變式1】（2022·浙江臺州·七年級期中）求下列各式中x的值：
【變式2】求出下列各式中的：
（1）若＝0.343，則＝______；（2）若－3＝213，則＝______；
（3）若＋125＝0，則＝______；（4）若＝8，則＝______．
題型四、立方根實際應用
例4、在做物理實驗時，小明用一根細線將一個正方體鐵塊拴住，完全浸入盛滿水的圓柱體燒杯中，并用一
量筒量得鐵塊排出的水的體積為64，小明又將鐵塊從水中提起，量得燒杯中的水位下降了．請
問燒杯內部的底面半徑和鐵塊的棱長各是多少？
【變式1】把一個長為6cm，寬為4cm，高為9cm的長方體鐵塊鍛造成一個正方體鐵塊，求鍛造后正方體鐵塊的棱長．
題型五：立方根小數點位數移動規(guī)律
例5.如果＝3.9522，則＝ ；＝39.522，則x＝ ；
如果＝2.872，＝1.3333，則＝ ；＝﹣1333.3，則x＝ ．
【變式1】（2022·浙江臺州·七年級期中）已知為整數，為計算它的值，請你思考并回答下列問題.
(1)整數1至9中，立方后，個位數字為7的是 ；
(2),,由此可知：是 位數；
(3)計算，，，再求的值.
【變式2】先閱讀材料，再解答問題：
我國數學家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：求59319的立方根，華羅庚脫口而出，給出了答案，眾人十分驚訝，忙問計算的奧妙，你知道華羅庚怎樣迅速而準確地計算出結果嗎？請你按下面的步驟也試一試：
（1）我們知道，，那么，請你猜想：59319的立方根是_______位數
（2）在自然數1到9這九個數字中，________，________，________．
猜想：59319的個位數字是9，則59319的立方根的個位數字是________．
（3）如果劃去59319后面的三位“319”得到數59，而，，由此可確定59319的立方根的十位數字是________，因此59319的立方根是________．
（4）現在換一個數103823，你能按這種方法得出它的立方根嗎？
【變式3】觀察下列各式，并用所得出的規(guī)律解決問題：
（1），，，……
，，，……
由此可見，被開方數的小數點每向右移動______位，其算術平方根的小數點向______移動______位．
（2）已知，，則_____；______．
（3），，，……
小數點的變化規(guī)律是_______________________．
（4）已知，，則______．
【過關檢測】
一．選擇題（共5小題）
1．（2022秋?溫州期末）下列說法正確的是（ ）
A．4的平方根是2B．﹣8沒有立方根
C．8的立方根是±2D．4的算術平方根是2
2．（2022秋?義烏市校級期中）如果≈1.333，≈2.872，那么約等于（ ）
A．28.72B．287.2C．13.33D．133.3
3．（2021秋?蓮都區(qū)期末）實數x滿足x3＝71，則下列整數中與x最接近的是（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．（2018秋?拱墅區(qū)月考）4的平方根是x，﹣64的立方根是y，則x+y的值為（ ）
A．﹣6B．﹣6或﹣10C．﹣2或﹣6D．2或﹣2
5．（2015秋?龍灣區(qū)校級期中）﹣125的立方根是（ ）
A．±5B．5C．﹣5D．沒有意義
二．填空題（共9小題）
6．（2018秋?湖州期中）（﹣8）2的立方根是 ．
7．（2022秋?上城區(qū)校級期中）＝ ，的算術平方根是 ．
8．（2022秋?蒼南縣期末）如圖，有一個體積為64cm3的魔方，則魔方的表面積為 cm2．
9．（2022秋?瑞安市期中）﹣8是a的一個平方根，則a的立方根是 ．
10．（2022秋?武義縣期末）一個體積為8cm3的正方體，其棱長是 cm．
11．（2022秋?下城區(qū)校級月考）計算：＝ ；的平方根＝ ．
12．（2022秋?臨平區(qū)月考）已知4a+7的立方根是3，2a+2b+2的算術平方根是4．則a＝ ，b＝ ．
13．（2022秋?寧海縣校級期中）若＝3，且（y﹣2x+1）2+＝0，則x+y+z的值為 ．
14．（2022秋?西湖區(qū)校級期中）a+3的算術平方根是3．b﹣2的立方根是2，則a+3b的算術平方根為 ．
三．解答題（共7小題）
15．（2021秋?義烏市期末）已知4a+7的立方根是3，2a+2b+2的算術平方根是4．
（1）求a，b的值；
（2）求6a+3b的平方根．
16．（2020秋?下城區(qū)校級期中）若實數a+9的一個平方根是﹣5，2b﹣a的立方根是﹣2，求+的平方根．
17．（2022秋?鄞州區(qū)校級期中）若實數a，b滿足，請按要求解答下列問題：
（1）若a，b都是整數，請寫出一對符合條件的a，b的值；
（2）若a，b都是分數，請寫出一對符合條件的a，b的值．
18．（2022秋?鄞州區(qū)校級月考）已知一個正方體的體積是16cm3，另一個正方體的體積是這個正方體體積的4倍，求另一個正方體的棱長和表面積．
19．（2020秋?北侖區(qū)期中）魔方，又叫魔術方塊，也稱魯比克方塊，是匈牙利布達佩斯建筑學院厄爾諾?魯比克教授在1974年發(fā)明的．魔方與中國人發(fā)明的“華容道”，法國人發(fā)明的“獨立鉆石”一同被稱為智力游戲界的三大不可思議．如圖是一個4階魔方，又稱“魔方的復仇”，由四層完全相同的64個小立方體組成，體積為64cm3．
（1）求組成這個魔方的小立方體的棱長．
（2）圖中陰影部分是一個正方形，求出該正方形的面積和邊長．
20．（2021秋?義烏市期中）如果＝3.9522，則＝ ；＝39.522，則x＝ ；
如果＝2.872，＝1.3333，則＝ ；＝﹣1333.3，則x＝ ．
21．（2022秋?新昌縣期中）李師傅打算把一個長、寬、高分別為50cm，8cm，20cm的長方體鐵塊鍛造成一個立方體鐵塊，問鍛造成的立方體鐵塊的棱長是多少cm？
第13講 立方根（5種題型）
【知識梳理】
一、立方根的定義
如果一個數的立方等于，那么這個數叫做的立方根或三次方根.這就是說，如果，那么叫做的立方根.求一個數的立方根的運算，叫做開立方.
要點：一個數的立方根，用表示，其中是被開方數，3是根指數. 開立方和立方互為逆運算.
二、立方根的特征
立方根的特征：正數的立方根是正數，負數的立方根是負數，0的立方根是0.
要點：任何數都有立方根，一個數的立方根有且只有一個，并且它的符號與這個非零數的符號相同. 兩個互為相反數的數的立方根也互為相反數.
三、立方根的性質
要點：第一個公式可以將求負數的立方根的問題轉化為求正數的立方根的問題.
四、立方根小數點位數移動規(guī)律
被開方數的小數點向右或者向左移動3位，它的立方根的小數點就相應地向右或者向左移動1位.例如，，，，.
【考點剖析】
題型一、立方根的概念
例1、下列結論正確的是（ ）
A．64的立方根是±4B．是的立方根
C．立方根等于本身的數只有0和1D．
【答案】D；
【解析】64的立方根是4；是的立方根；立方根等于本身的數只有0和±1.
【總結升華】一個非零數與它的立方根符號相同； .
【變式1】我們知道a+b=0時，a3+b3=0也成立，若將a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我們能否得出這樣的結論：若兩個數的立方根互為相反數，則這兩個數也互為相反數．
（1）試舉一個例子來判斷上述猜測結論是否成立；
（2）若與互為相反數，求1﹣的值．
【答案】解：（1）∵2+（﹣2）=0，
而且23=8，（﹣2）3=﹣8，有8﹣8=0，
∴結論成立；
∴即“若兩個數的立方根互為相反數，則這兩個數也互為相反數．”是成立的
（2）由（1）驗證的結果知，1﹣2x+3x﹣5=0，
∴x=4，
∴1﹣=1﹣2=﹣1．
【變式2】已知4a+7的立方根是3，2a+2b+2的算術平方根是4．
（1）求a，b的值；
（2）求6a+3b的平方根．
【分析】（1）運用立方根和算術平方根的定義求解．
（2）根據平方根，即可解答．
【解答】解：（1）∵4a+7的立方根是3，2a+2b+2的算術平方根是4，
∴4a+7＝27，2a+2b+2＝16，
∴a＝5，b＝2；
（2）由（1）知a＝5，b＝2，
∴6a+3b＝6×5+3×2＝36，
∴6a+3b的平方根為±6．
【點評】本題考查了平方根、算術平方根，解決本題的關鍵是熟記平方根、算術平方根的定義．
【變式3】已知|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8．
（1）若a＜b，求a+b的值；
（2）若abc＞0，求a﹣3b﹣2c的值．
【分析】（1）利用絕對值的定義求出a的值，利用平方根的定義求出b的值，利用立方根的定義求c的值，代入即可求出a+b的值；
（2）根據ab小于0，得到ab異號，求出a與b的值，代入所求式子中計算即可求出值．
【解答】解：（1）∵|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8．
∴a＝±5，b＝±2，c＝﹣2，
∵a＜b，
∴a＝﹣5，b＝±2，
∴a+b＝﹣5+2＝﹣3或a+b＝﹣5﹣2＝﹣7，
即a+b的值為﹣3或﹣7；
（2）∵abc＞0，c＝﹣2，
∴ab＜0，
∴a＝5，b＝﹣2 或 a＝﹣5，b＝2，
∴當a＝5，b＝﹣2，c＝﹣2時，a﹣3b﹣2c＝5﹣3×（﹣2）﹣2×（﹣2）＝15，
當 a＝﹣5，b＝2，c＝﹣2時，a﹣3b﹣2c＝﹣5﹣3×2﹣2×（﹣2）＝﹣7，
∴a﹣3b﹣2c＝15 或﹣7．
【點評】本題考查了代數式求值，涉及的知識有：絕對值及平方根、立方根的定義，求出a與b的值是解本題的關鍵．
題型二、立方根的計算
例2、求下列各式的值：
（1） （2）
（3） （4）
（5）
【答案與解析】
解：（1） （2） （3）

（4）

（5）

【總結升華】立方根的計算，注意符號和運算順序，帶分數要轉化成假分數再開立方.
【變式】計算：（1）______；（2）______；
（3）______．（4）______.
【答案】（1）－0.2；（2）；（3）；（4）.
題型三、利用立方根解方程
例3、求下列各式中x的值：
（1）3（x﹣1）3=24．
（2）（x+1）3=﹣64．
【思路點撥】先整理成x3=a的形式，再直接開立方解方程即可．
【答案與解析】
解：（1）3（x﹣1）3=24，
（x﹣1）3=8，
x﹣1=2，
x=3．
（2）開立方得：x+1=﹣4，
解得：x=﹣5．
【總結升華】本題是用開立方的方法解一元三次方程，要靈活運用使計算簡便．
【變式1】（2022·浙江臺州·七年級期中）求下列各式中x的值：
【答案】x＝﹣5
【分析】根據立方根定義求解即可；
解：開立方得：＝﹣3，
解得：x＝﹣5．
【變式2】求出下列各式中的：
（1）若＝0.343，則＝______；（2）若－3＝213，則＝______；
（3）若＋125＝0，則＝______；（4）若＝8，則＝______．
【答案】（1）＝0.7；（2）＝6；（3）＝－5；（4）＝3．
題型四、立方根實際應用
例4、在做物理實驗時，小明用一根細線將一個正方體鐵塊拴住，完全浸入盛滿水的圓柱體燒杯中，并用一
量筒量得鐵塊排出的水的體積為64，小明又將鐵塊從水中提起，量得燒杯中的水位下降了．請
問燒杯內部的底面半徑和鐵塊的棱長各是多少？
【思路點撥】鐵塊排出的64水的體積，是鐵塊的體積，也是高為燒杯的體積.
【答案與解析】
解：鐵塊排出的64的水的體積，是鐵塊的體積．
設鐵塊的棱長為，可列方程解得
設燒杯內部的底面半徑為，可列方程,解得6.
答：燒杯內部的底面半徑為6，鐵塊的棱長 4 .
【總結升華】應該熟悉體積公式，依題意建立相等關系（方程），解方程時，常常用到求平方根、立方根，要結合實際意義進行取舍.本題體現與物理學科的綜合.
【變式1】把一個長為6cm，寬為4cm，高為9cm的長方體鐵塊鍛造成一個正方體鐵塊，求鍛造后正方體鐵塊的棱長．
【分析】首先根據長方體的體積公式求出鐵塊的總體積，然后根據正方體的體積公式求出正方體鐵塊的棱長．
【解答】解：設正方體鐵塊的棱長為a，
根據題意，長方體鐵塊的體積為6×4×9＝216，
前后體積不變，故有a3＝216，
解得a＝6．
答：鍛造后正方體鐵塊的棱長為6cm．
【點評】本題主要考查了利用立方根的定義解決實際問題，解決本題的關鍵是理解熔化前后總體積不變，需注意立方體的棱長應是體積的三次方根．
題型五：立方根小數點位數移動規(guī)律
例5.如果＝3.9522，則＝ 395.22 ；＝39.522，則x＝ 1562 ；
如果＝2.872，＝1.3333，則＝ 0.2872 ；＝﹣1333.3，則x＝ ﹣2370000000 ．
【分析】根據立方根和算術平方根的定義找出他們之間的規(guī)律即可得出答案．
【解答】解：如果＝3.9522，則＝395.22，＝39.522，則x＝1562；
如果＝2.872，＝1.3333，則＝0.2872；＝﹣1333.3，則x＝﹣2370000000；
故答案為：395.22，1562；0.2872，﹣2370000000．
【點評】此題考查了立方根和算術平方根，熟練掌握立方根和算術平方根的定義是解題的關鍵．
【變式1】（2022·浙江臺州·七年級期中）已知為整數，為計算它的值，請你思考并回答下列問題.
(1)整數1至9中，立方后，個位數字為7的是 ；
(2),,由此可知：是 位數；
(3)計算，，，再求的值.
【答案】(1)3
(2)兩
(3)73
【分析】（1）根據偶數的立方的個位為偶數可排除偶數，再由5的立方的個位為5可排除5，1的立方的個位為1可排除1，3的立方的個位為7，7的立方的個位為3可排除7，9的立方的個位為9可排除9，即可得出答案；
（2）根據題意可得，即可得出為兩位數；
（3）分別計算603，703，803，判斷的范圍即可求解．
（1）
∵偶數的立方的個位為偶數，5的立方的個位為5，1的立方的個位為1，3的立方的個位為7，7的立方的個位為3，9的立方的個位為9，
∴滿足條件的數是3，
故答案為：3；
（2）
∵1000＜389017＜1000000，
∴，
∴為兩位數，
故答案為：兩；
（3）
∵603=216000，703=343000，803=512000，
∴，
∴=73．
【點睛】本題考查實數的相關性質，解題的關鍵是熟練掌握立方根的計算．
【變式2】先閱讀材料，再解答問題：
我國數學家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：求59319的立方根，華羅庚脫口而出，給出了答案，眾人十分驚訝，忙問計算的奧妙，你知道華羅庚怎樣迅速而準確地計算出結果嗎？請你按下面的步驟也試一試：
（1）我們知道，，那么，請你猜想：59319的立方根是_______位數
（2）在自然數1到9這九個數字中，________，________，________．
猜想：59319的個位數字是9，則59319的立方根的個位數字是________．
（3）如果劃去59319后面的三位“319”得到數59，而，，由此可確定59319的立方根的十位數字是________，因此59319的立方根是________．
（4）現在換一個數103823，你能按這種方法得出它的立方根嗎？
【答案】（1）兩；（2）125，343，729，9；（3）3，39；（4）47
【分析】（1）根據夾逼法和立方根的定義進行解答；
（2）先分別求得1至9中奇數的立方，然后根據末位數字是幾進行判斷即可；
（3）先利用（2）中的方法判斷出個數數字，然后再利用夾逼法判斷出十位數字即可；
（4）利用（3）中的方法確定出個位數字和十位數字即可．
【詳解】（1）∵1000＜59319＜1000000，
∴59319的立方根是兩位數；
（2）∵125，343，729，
∴59319的個位數字是9，則59319的立方根的個位數字是9；
（3）∵，且59319的立方根是兩位數，
∴59319的立方根的十位數字是3，
又∵59319的立方根的個位數字是9，
∴59319的立方根是39；
（4）∵1000＜103823＜1000000，
∴103823的立方根是兩位數；
∵125，343，729，
∴103823的個位數字是3，則103823的立方根的個位數字是7；
∵，且103823的立方根是兩位數，
∴103823的立方根的十位數字是4，
又∵103823的立方根的個位數字是7，
∴103823的立方根是47．
【點睛】考查了立方根的概念和求法，解題關鍵是理解一個數的立方的個位數就是這個數的個位數的立方的個位數．
【變式3】觀察下列各式，并用所得出的規(guī)律解決問題：
（1），，，……
，，，……
由此可見，被開方數的小數點每向右移動______位，其算術平方根的小數點向______移動______位．
（2）已知，，則_____；______．
（3），，，……
小數點的變化規(guī)律是_______________________．
（4）已知，，則______．
【答案】（1）兩；右；一；（2）12.25；0.3873；（3）被開方數的小數點向右（左）移三位，其立方根的小數點向右（左）移動一位；（4）-0.01
【分析】（1）觀察已知等式，得到一般性規(guī)律，寫出即可；
（2）利用得出的規(guī)律計算即可得到結果；
（3）歸納總結得到規(guī)律，寫出即可；
（4）利用得出的規(guī)律計算即可得到結果．
【詳解】解：（1），，，……
，，，……
由此可見，被開方數的小數點每向右移動兩位，其算術平方根的小數點向右移動一位．
故答案為：兩；右；一；
（2）已知，，則；；
故答案為：12.25；0.3873；
（3），，，……
小數點的變化規(guī)律是：被開方數的小數點向右（左）移三位，其立方根的小數點向右（左）移動一位；
（4）∵，，
∴，
∴，
∴y=-0.01．
【點睛】此題考查了立方根，以及算術平方根，弄清題中的規(guī)律是解本題的關鍵．
【過關檢測】
一．選擇題（共5小題）
1．（2022秋?溫州期末）下列說法正確的是（ ）
A．4的平方根是2B．﹣8沒有立方根
C．8的立方根是±2D．4的算術平方根是2
【分析】根據平方根，立方根和算術平方根的定義即可求出答案．
【解答】解：A、根據平方根的定義可知4的平方根是±2，該選項不符合題意；
B、根據立方根的定義可知﹣8的立方根是﹣2，該選項不符合題意；
C、根據立方根的定義可知8的立方根是2，該選項不符合題意；
D、根據算術平方根的定義可知4的算術平方根是2，該選項符合題意；
故選：D．
【點評】本題考查平方根，立方根和算術平方根，解題的關鍵是熟練運用其定義，本題屬于基礎題型．
2．（2022秋?義烏市校級期中）如果≈1.333，≈2.872，那么約等于（ ）
A．28.72B．287.2C．13.33D．133.3
【分析】根據立方根的定義，所求數的被開方數的小數點是的被開方數的小數點向右移動了三位得到的，所以所求數的值是的10倍．
【解答】解：∵≈2.872，
∴約等于28.72．
故選：A．
【點評】本題考查了立方根，解決本題的關鍵是熟記立方根的定義．
3．（2021秋?蓮都區(qū)期末）實數x滿足x3＝71，則下列整數中與x最接近的是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】利用立方根的意義與有理數的立方的意義對每個選項進行逐一運算，通過比較結果即可得出結論．
【解答】解：∵x3＝71，33＝27，43＝64，53＝125，63＝216，
∴43與x3最接近，
∴與x最接近的是4，
故選：B．
【點評】本題主要考查了立方根的意義，熟練掌握立方根的意義是解題的關鍵．
4．（2018秋?拱墅區(qū)月考）4的平方根是x，﹣64的立方根是y，則x+y的值為（ ）
A．﹣6B．﹣6或﹣10C．﹣2或﹣6D．2或﹣2
【分析】根據平方根和立方根的定義分別求出x、y的值，再代入求出即可．
【解答】解：∵（±2）2＝4，
∴4的平方根是±2，
即x＝±2，
∵﹣64的立方根是y，
∴y＝﹣4，
當x＝2時，x+y＝2+（﹣4）＝﹣2，
當x＝﹣2時，x+y＝﹣2+（﹣4）＝﹣6．
故選：C．
【點評】本題考查了平方根和立方根，解題的關鍵能夠根據平方根和立方根的定義是求出xy的值．
5．（2015秋?龍灣區(qū)校級期中）﹣125的立方根是（ ）
A．±5B．5C．﹣5D．沒有意義
【分析】根據立方根的定義計算即可．
【解答】解：＝﹣5．
故選：C．
【點評】本題考查了立方根：如果一個數的立方等于a，那么這個數叫做a的立方根或三次方根．這就是說，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．記作：．正數的立方根是正數，0的立方根是0，負數的立方根是負數．即任意數都有立方根．
二．填空題（共9小題）
6．（2018秋?湖州期中）（﹣8）2的立方根是 4 ．
【分析】先求出（﹣8）2，再利用立方根定義即可求解．
【解答】解：∵（﹣8）2＝64，64的立方根是4，
∴（﹣8）2的立方根是4．
故答案4．
【點評】本題主要考查了平方根和立方根的概念．如果一個數x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3＝a），那么這個數x就叫做a的立方根，也叫做三次方根，讀作“三次根號a”．其中，a叫做被開方數，3叫做根指數．
7．（2022秋?上城區(qū)校級期中）＝ 3 ，的算術平方根是 ．
【分析】由立方根，算數平方根的概念即可計算．
【解答】解：＝3，
∵＝3，
∴的算數平方根是，
故答案為：3，．
【點評】本題考查立方根，算數平方根的概念，關鍵是掌握：如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．記作：；如果一個正數x的平方等于a，即x2＝a，那么這個正數x叫做a的算術平方根．記為 ．
8．（2022秋?蒼南縣期末）如圖，有一個體積為64cm3的魔方，則魔方的表面積為 96 cm2．
【分析】根據題意先求出棱長，然后由表面積計算公式求解即可．
【解答】解：∵體積為64cm3的魔方，
∴棱長為4cm，
∴表面積為：4×4×6＝96cm2，
故答案為：96．
【點評】題目主要考查正方體的體積及表面積的計算方法，熟練掌握基礎知識點是解題關鍵．
9．（2022秋?瑞安市期中）﹣8是a的一個平方根，則a的立方根是 4 ．
【分析】根據平方根與平方的互逆關系求得a，再根據立方根的定義求得最后結果．
【解答】解：∵﹣8是a的一個平方根，
∴a＝（﹣8）2＝64，
∴，
故答案為：4．
【點評】本題考查了平方根與立方根的定義，關鍵是根據平方根與平方的互逆關系求得a的值．
10．（2022秋?武義縣期末）一個體積為8cm3的正方體，其棱長是 2 cm．
【分析】根據正方體的體積公式和立方根的定義得到＝2．
【解答】解：＝2，
所以體積為8cm3的正方體，其棱長是2cm．
故答案為2．
【點評】本題考查了立方根：若一個數的立方等于a，那么這個數叫a的立方根，記作．
11．（2022秋?下城區(qū)校級月考）計算：＝ ﹣5 ；的平方根＝ ±2 ．
【分析】利用立方根的定義以及算術平方根與平方根的定義求解即可．
【解答】解：＝﹣5；
∵＝4，4的平方根為±2，
∴的平方根＝±2．
故答案為：﹣5，±2．
【點評】本題考查了立方根、算術平方根與平方根，熟記定義是解題的關鍵．
12．（2022秋?臨平區(qū)月考）已知4a+7的立方根是3，2a+2b+2的算術平方根是4．則a＝ 5 ，b＝ 2 ．
【分析】根據立方根的定義可得，4a+7＝33，即可求出a的值，根據算術平方根的定義可得2a+2b+2＝42，即可算出b的值，代入計算即可得出答案．
【解答】解：根據題意可得，
4a+7＝33，
解得：a＝5，
2a+2b+2＝42，
解得：b＝2，
故答案為：5，2．
【點評】本題主要考查了立方根及算術平方根，熟練掌握立方根及算術平方根的定義進行計算是解決本題的關鍵．
13．（2022秋?寧?？h校級期中）若＝3，且（y﹣2x+1）2+＝0，則x+y+z的值為 83 ．
【分析】根據立方根的定義，偶次方、算術平方根的非負性可求出x、y、z的值，再代入計算即可．
【解答】解：∵＝3，
∴x＝27，
又∵（y﹣2x+1）2+＝0，
∴y﹣2x+1＝0，z﹣3＝0，
解得y＝53，z＝3，
∴x+y+z＝27+53+3＝83，
故答案為：83．
【點評】本題考查立方根，偶次方、算術平方根的非負性，理解立方根算術平方根的定義，掌握偶次方、算術平方根的非負性是正確解答的前提．
14．（2022秋?西湖區(qū)校級期中）a+3的算術平方根是3．b﹣2的立方根是2，則a+3b的算術平方根為 6 ．
【分析】先根據算術平方根和立方根的定義求出a、b的值，再代入計算可得．
【解答】解：∵a+3的算術平方根是3，
∴a+3＝9，
∴a＝6，
∵b﹣2的立方根是2，
∴b﹣2＝8，
∴b＝10，
則＝＝＝6．
故答案為：6．
【點評】本題主要考查立方根和算術平方根，解題的關鍵是掌握算術平方根和立方根的定義．
三．解答題（共7小題）
15．（2021秋?義烏市期末）已知4a+7的立方根是3，2a+2b+2的算術平方根是4．
（1）求a，b的值；
（2）求6a+3b的平方根．
【分析】（1）運用立方根和算術平方根的定義求解．
（2）根據平方根，即可解答．
【解答】解：（1）∵4a+7的立方根是3，2a+2b+2的算術平方根是4，
∴4a+7＝27，2a+2b+2＝16，
∴a＝5，b＝2；
（2）由（1）知a＝5，b＝2，
∴6a+3b＝6×5+3×2＝36，
∴6a+3b的平方根為±6．
【點評】本題考查了平方根、算術平方根，解決本題的關鍵是熟記平方根、算術平方根的定義．
16．（2020秋?下城區(qū)校級期中）若實數a+9的一個平方根是﹣5，2b﹣a的立方根是﹣2，求+的平方根．
【分析】先根據平方根的定義得到a+9＝25，解得a＝16，再利用立方根的定義得到2b﹣a＝﹣8，則可求出b＝4，接著計算出+＝6，然后根據平方根的定義求解．
【解答】解：∵實數a+9的一個平方根是﹣5，
∴a+9＝25，解得a＝16，
∵2b﹣a的立方根是﹣2，
∴2b﹣a＝（﹣2）3＝﹣8，
即2b﹣16＝﹣8，解得b＝4，
∴+＝+＝4+2＝6，
∴6的平方根為±，
即+的平方根為±．
【點評】本題考查了立方根：如果一個數的立方等于a，那么這個數叫做a的立方根或三次方根．這就是說，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．記作：．也考查了平方根．
17．（2022秋?鄞州區(qū)校級期中）若實數a，b滿足，請按要求解答下列問題：
（1）若a，b都是整數，請寫出一對符合條件的a，b的值；
（2）若a，b都是分數，請寫出一對符合條件的a，b的值．
【分析】（1）根據已知等式，利用算術平方根及立方根的定義找出滿足題意a與b的值即可；
（2）根據已知等式，利用算術平方根及立方根的定義找出滿足題意a與b的值即可．
【解答】解：（1）滿足題意的值為：a＝1，b＝﹣27（答案不唯一）；
（2）滿足題意的值為：a＝，b＝﹣（答案不唯一）．
【點評】此題考查了立方根，算術平方根，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
18．（2022秋?鄞州區(qū)校級月考）已知一個正方體的體積是16cm3，另一個正方體的體積是這個正方體體積的4倍，求另一個正方體的棱長和表面積．
【分析】根據題意知大正方體的體積為64cm3，則其棱長為體積的立方根，可求得表面積．
【解答】解：根據題意大正方體的體積為16×4＝64cm3，
則大正方體的棱長為：＝4cm，
故大正方體的表面積為：6×4×4＝96cm2．
【點評】本題主要考查立方根，根據題意求出體積是前提，熟知棱長是正方體體積的立方根是關鍵．
19．（2020秋?北侖區(qū)期中）魔方，又叫魔術方塊，也稱魯比克方塊，是匈牙利布達佩斯建筑學院厄爾諾?魯比克教授在1974年發(fā)明的．魔方與中國人發(fā)明的“華容道”，法國人發(fā)明的“獨立鉆石”一同被稱為智力游戲界的三大不可思議．如圖是一個4階魔方，又稱“魔方的復仇”，由四層完全相同的64個小立方體組成，體積為64cm3．
（1）求組成這個魔方的小立方體的棱長．
（2）圖中陰影部分是一個正方形，求出該正方形的面積和邊長．
【分析】（1）先求1個小立方體的體積為64÷64＝1cm3，再開立方就是小立方體的棱長；
（2）先求出陰影部分正方形的面積，再根據算術平方根的定義得出它的邊長．
【解答】解：（1）棱長＝（cm）；
（2）S正＝S大正﹣4S三角形＝＝10（cm2），
邊長＝cm．
【點評】本題考查了立方根，熟練掌握立方根的定義的定義是關鍵．定義：如果一個數的立方等于a，那么這個數叫做a的立方根或三次方根．這就是說，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．記作：．
20．（2021秋?義烏市期中）如果＝3.9522，則＝ 395.22 ；＝39.522，則x＝ 1562 ；
如果＝2.872，＝1.3333，則＝ 0.2872 ；＝﹣1333.3，則x＝ ﹣2370000000 ．
【分析】根據立方根和算術平方根的定義找出他們之間的規(guī)律即可得出答案．
【解答】解：如果＝3.9522，則＝395.22，＝39.522，則x＝1562；
如果＝2.872，＝1.3333，則＝0.2872；＝﹣1333.3，則x＝﹣2370000000；
故答案為：395.22，1562；0.2872，﹣2370000000．
【點評】此題考查了立方根和算術平方根，熟練掌握立方根和算術平方根的定義是解題的關鍵．
21．（2022秋?新昌縣期中）李師傅打算把一個長、寬、高分別為50cm，8cm，20cm的長方體鐵塊鍛造成一個立方體鐵塊，問鍛造成的立方體鐵塊的棱長是多少cm？
【分析】根據題意列出算式，求出即可．
【解答】解：＝20（cm），
答：鍛造成的立方體鐵塊的棱長是20cm
【點評】本題考查了立方根的應用，關鍵是能根據題意列出算式．

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