探究題是近幾年中考命題的亮點(diǎn)，尤其是與數(shù)列有關(guān)的命題更是層出不窮，形式多樣，它要求在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上去探究，觀察思考發(fā)現(xiàn)規(guī)律．
探尋數(shù)列規(guī)律：認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想是解決這類問(wèn)題的方法，通常將數(shù)字與序號(hào)建立數(shù)量關(guān)系或者與前后數(shù)字進(jìn)行簡(jiǎn)單運(yùn)算，從而得出通項(xiàng)公式．
【考點(diǎn)剖析】
一．?dāng)?shù)軸（共1小題）
1．（2022秋?杭州期中）如圖所示，圓的周長(zhǎng)為4個(gè)單位長(zhǎng)度，在圓的4等分點(diǎn)處標(biāo)上字母A，B，C，D，先將圓周上的字母A對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與數(shù)軸上的數(shù)字1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合，若將圓沿著數(shù)軸向左滾動(dòng)，那么數(shù)軸上的﹣2022所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)將與圓周上字母（ ）所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合．
A．AB．BC．CD．D
二．有理數(shù)的混合運(yùn)算（共3小題）
2．（2022春?海淀區(qū)校級(jí)期末）符號(hào)“f”表示一種運(yùn)算，它對(duì)一些數(shù)的運(yùn)算如下：，，，，…
利用以上運(yùn)算的規(guī)律，寫(xiě)出f（n）＝ （n為正整數(shù)），計(jì)算f（1）?f（2）?f（3）?…?f（100）＝ ．
3．（2022秋?拱墅區(qū)月考）觀察下列運(yùn)算過(guò)程：
22＝2×2＝4，；
，＝；…
（1）根據(jù)以上運(yùn)算過(guò)程和結(jié)果，我們發(fā)現(xiàn)：22＝ ；（）2＝ ；
（2）仿照（1）中的規(guī)律，判斷（）3與（）﹣3的大小關(guān)系；
（3）求（﹣）﹣4×（）4÷（）﹣3的值．
4．（2021秋?臺(tái)州期末）規(guī)定：若有理數(shù)a，b滿足a﹣b＝ab，則a叫做b的“差積數(shù)”．例如：1﹣＝1×，那么1是的“差積數(shù)”；﹣1≠×1，可知不是1的“差積數(shù)”．請(qǐng)根據(jù)上述規(guī)定解答下列問(wèn)題：
（1）填表：
（2）一個(gè)有理數(shù)的“差積數(shù)”等于這個(gè)數(shù)，求這個(gè)有理數(shù)；
（3）若m為正整數(shù)，記m+1，m+2，m+3，…，m+2022這2022個(gè)數(shù)的“差積數(shù)”的積為A，試猜想A的值（用含有m的式子表示），并給出合理的猜想過(guò)程．
三．算術(shù)平方根（共2小題）
5．（2022秋?鄞州區(qū)校級(jí)期中）（1）若a+b＝，則代數(shù)式（a+b）2的值為 ．
（2）如下是按規(guī)律排列的一列單項(xiàng)式：x，﹣x2，x3，﹣x4，x5，…則第10個(gè)單項(xiàng)式是 ．
6．（2023春?城區(qū)校級(jí)期中）觀察下列一組算式的特征，并探索規(guī)律：
①；
②；
③；
④．
根據(jù)以上算式的規(guī)律，解答下列問(wèn)題：
（1）13+23+33+43+53＝（ ）2＝ ；
（2）＝ ；（用含n的代數(shù)式表示）
（3）簡(jiǎn)便計(jì)算：113+123+133+…+193+203．
四．規(guī)律型：數(shù)字的變化類（共19小題）
7．（2022秋?北侖區(qū)期中）如圖，在這個(gè)數(shù)運(yùn)算程序中，若開(kāi)始輸入的正整數(shù)n為奇數(shù)，都計(jì)算3n+1；若n為偶數(shù)，都除以2．若n＝21時(shí)，經(jīng)過(guò)1次上述運(yùn)算輸出的數(shù)是64；經(jīng)過(guò)2次上述運(yùn)算輸出的數(shù)是32；經(jīng)過(guò)3次上述運(yùn)算輸出的數(shù)是16；…；經(jīng)過(guò)2022次上述運(yùn)算輸出的數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．（2022秋?蓮都區(qū)期中）對(duì)一組數(shù)（x，y）的一次操作變換記為P1（x，y），定義其變換法則如下：P1（x，y）＝（x+y，x﹣y），且規(guī)定Pn（x，y）＝P1（Pn﹣1（x，y））（n為大于1的整數(shù)），如P1（1，2）＝（3，﹣1），P2（1，2）＝P1（P1（1，2））＝P1（3，﹣1）＝（2，4），P3（1，2）＝P1（P2（1，2））＝P1（2，4）＝（6，﹣2），則P2022（1，﹣1）＝（ ）
A．（0，21011）B．（21011，﹣21011）
C．（0，﹣21011）D．（21011，21011）
9．（2022秋?海曙區(qū)校級(jí)期中）將正偶數(shù)按下表排成5列：
根據(jù)上面排列規(guī)律，則2022應(yīng)在____________行，___________列．（ ）
A．506；3B．506；2C．253；2D．253；4
10．（2022秋?開(kāi)化縣校級(jí)月考）如圖所示的運(yùn)算程序中，若開(kāi)始輸入的x值為5，則第1次輸出的結(jié)果為8，第2次輸出的結(jié)果為4，……，第2022次輸出的結(jié)果為（ ）
A．1B．2C．4D．8
11．（2022秋?慈溪市月考）如圖，正方形的周長(zhǎng)為8個(gè)單位，在該正方形的4個(gè)頂點(diǎn)處分別標(biāo)上0，2，4，6，先讓正方形上表示數(shù)字6的點(diǎn)與數(shù)軸上表﹣3的點(diǎn)重合，再將數(shù)軸按順時(shí)針?lè)较颦h(huán)繞在該正方形上，則數(shù)軸上表示2021的點(diǎn)與正方形上的數(shù)字對(duì)應(yīng)的是（ ）
A．0B．2C．4D．6
12．（2021秋?北侖區(qū)期末）觀察下列各式：﹣2x，4x2，﹣8x3，16x4，﹣32x5，…，則第n個(gè)式子是（ ）
A．﹣2n﹣1xnB．（﹣2）nxnC．﹣2nxnD．（﹣2）n﹣1xn
13．（2021秋?嘉興期末）已知一列數(shù)a1，a2，a3，…，滿足am?an＝am+n（m，n為正整數(shù)）．例如：a1?a2＝a1+2＝a3，a2?a2＝a2+2＝a4．若a1＜0，a2＝4，則a2021的值是（ ）
A．4042B．﹣22020C．22021D．﹣22021
14．（2022秋?浦江縣月考）求1+2+22+23+…+22018的值，可令S＝1+2+22+23+…+22018，則2S＝2+22+23+…+22019，因此2S﹣S＝22019﹣1．仿照以上推理，計(jì)算出1+5+52+53+…+52018的值為（ ）
A．52019﹣1B．52018﹣1C．D．
15．（2022秋?東陽(yáng)市期中）正整數(shù)按如圖的規(guī)律排列，請(qǐng)寫(xiě)出：
（1）第3行，第6列的數(shù)字是 ；
（2）正整數(shù)2022在第 行，第 列．
16．（2022秋?西湖區(qū)校級(jí)期中）觀察下面算式，探索規(guī)律并解答問(wèn)題：
1+3＝4，1+3+5＝9，1+3+5+7＝16，1+3+5+7+9＝25．
（1）計(jì)算，1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）＝ ；
（2）請(qǐng)用上述規(guī)律計(jì)算：79+81+83+85++197+199＝ ．
17．（2022秋?義烏市校級(jí)期中）小明同學(xué)利用計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)了一個(gè)程序，輸入和輸出的情況如下表．他發(fā)現(xiàn)從第三個(gè)輸出項(xiàng)起的每一項(xiàng)都與這一項(xiàng)的前面兩個(gè)輸出項(xiàng)有關(guān)．按此規(guī)律，當(dāng)輸入9時(shí)，輸出結(jié)果為 ，從1開(kāi)始一直輸入到2022后，輸出項(xiàng)的系數(shù)與次數(shù)均為奇數(shù)的項(xiàng)共有 個(gè)．
18．（2022秋?鄞州區(qū)校級(jí)期中）按上面數(shù)表的規(guī)律，得下面的三角形數(shù)表：
（1）上表中，第九行有 個(gè)算式，第九行最中間的算式是 ．
（2）把下表中的數(shù)從小到大排成一列數(shù)：3，5，6，9，10，12，…則第15個(gè)數(shù)是 ．
19．（2022秋?余杭區(qū)校級(jí)月考）已知一列數(shù)：1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，…，將這列數(shù)排成下列形式：
第1行1
第2行﹣2，3
第3行﹣4，5，﹣6
第4行7，﹣8，9，﹣10
第5行11，﹣12，13，﹣14，15
…
按照上述規(guī)律排下去，那么第10行從右邊數(shù)第5個(gè)數(shù)為 ．
20．（2021秋?縉云縣期末）如圖，某學(xué)校圖書(shū)館把WIFI密碼做成了數(shù)學(xué)題．小紅在圖書(shū)館看書(shū)時(shí)，思索了一會(huì)兒，輸入密碼，順利地連接到了“圖書(shū)館”的網(wǎng)絡(luò)，那么她輸入的密碼是 ．
21．（2021秋?臨海市月考）計(jì)算：
（﹣1）+2+（﹣3）+4+…+（﹣2017）+2018+（﹣2019）+2020＝ ．
22．（2022秋?拱墅區(qū)校級(jí)月考）如圖，將一列有理數(shù)按如下規(guī)律排列，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：
（1）在A，B，C三個(gè)數(shù)中，其中表示負(fù)數(shù)的是 ；
（2）若A，B，C，D，E均表示對(duì)應(yīng)的有理數(shù)，A+B+C+D的值是 ；
（3）數(shù)﹣2020對(duì)應(yīng)A，B，C，D，E中的什么位置？并說(shuō)明理由．
23．（2022秋?義烏市校級(jí)月考）觀察下面的等式：
﹣1＝﹣|﹣+2|+4
4﹣1＝﹣|﹣1+2|+4
2﹣1＝﹣|1+2|+4
﹣1＝﹣|+2|+4
﹣1﹣1＝﹣|4+2|+4
…
回答下列問(wèn)題：
（1）填空： ﹣1＝﹣|6+2|+4；
（2）已知：0﹣1＝﹣|x+2|+4，則x的值是 ；
（3）設(shè)滿足上面特征的等式最左邊的數(shù)為y，求y的最大值，并直接寫(xiě)出此時(shí)的等式．
24．（2021秋?臨海市期末）觀察下面三行數(shù)；
﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…；①
0，6，﹣6，18，﹣30，66，…；②
﹣1，2，﹣4，8，﹣16，32，…；③
（1）第①行第8個(gè)數(shù)為 ；第②行第8個(gè)數(shù)為 ：第③行第8個(gè)數(shù)為 ．
（2）是否存在這樣一列數(shù)，使三個(gè)數(shù)的和為322？若存在，請(qǐng)寫(xiě)出這3個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
25．（2021秋?海曙區(qū)月考）a是不為1的有理數(shù)，我們把稱為a的差倒數(shù)．如：3的差倒數(shù)是＝，﹣1的差倒數(shù)是＝．已知a1＝2，a2是a1的差倒數(shù)，a3是a2的差倒數(shù)，依此類推．
（1）分別求出a2、a3、a4的值．
（2）計(jì)算a1+a2+a3的值．
（3）請(qǐng)直接寫(xiě)出a1+a2+a3+…+a2021的值．
五．二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)（共1小題）
26．（2021秋?諸暨市期中）探索規(guī)律：
先觀察下列等式，再回答問(wèn)題：
①；
②；
③．
（1）根據(jù)上面三個(gè)等式提供的信息，請(qǐng)你猜想＝ ．
（2）請(qǐng)按照上面各等式反映的規(guī)律，試寫(xiě)出第n個(gè)等式： ．
（3）計(jì)算：．
重難點(diǎn)01實(shí)數(shù)計(jì)算中的規(guī)律性問(wèn)題（5種題型）
探究題是近幾年中考命題的亮點(diǎn)，尤其是與數(shù)列有關(guān)的命題更是層出不窮，形式多樣，它要求在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上去探究，觀察思考發(fā)現(xiàn)規(guī)律．
探尋數(shù)列規(guī)律：認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想是解決這類問(wèn)題的方法，通常將數(shù)字與序號(hào)建立數(shù)量關(guān)系或者與前后數(shù)字進(jìn)行簡(jiǎn)單運(yùn)算，從而得出通項(xiàng)公式．
【考點(diǎn)剖析】
一．?dāng)?shù)軸（共1小題）
1．（2022秋?杭州期中）如圖所示，圓的周長(zhǎng)為4個(gè)單位長(zhǎng)度，在圓的4等分點(diǎn)處標(biāo)上字母A，B，C，D，先將圓周上的字母A對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與數(shù)軸上的數(shù)字1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合，若將圓沿著數(shù)軸向左滾動(dòng)，那么數(shù)軸上的﹣2022所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)將與圓周上字母（ ）所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合．
A．AB．BC．CD．D
【分析】根據(jù)圓的周長(zhǎng)得到，4個(gè)數(shù)字一個(gè)周期，然后從0開(kāi)始，即出發(fā)的位置是點(diǎn)B，然后用2022除以4看余數(shù)即可．
【解答】解：∵圓的周長(zhǎng)為4個(gè)單位長(zhǎng)度，
∴4個(gè)數(shù)字為一個(gè)循環(huán)，
點(diǎn)B與數(shù)字0對(duì)應(yīng)，
∴2022÷4＝505……2，
即從B開(kāi)始在轉(zhuǎn)2次，
∴﹣2022對(duì)應(yīng)的字母是D．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)軸，能夠注意到點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的是數(shù)字0是解答本題的關(guān)鍵．
二．有理數(shù)的混合運(yùn)算（共3小題）
2．（2022春?海淀區(qū)校級(jí)期末）符號(hào)“f”表示一種運(yùn)算，它對(duì)一些數(shù)的運(yùn)算如下：，，，，…
利用以上運(yùn)算的規(guī)律，寫(xiě)出f（n）＝ 1﹣ （n為正整數(shù)），計(jì)算f（1）?f（2）?f（3）?…?f（100）＝ ．
【分析】根據(jù)f（1）、f（2）、f（3）、f（4）的運(yùn)算方法，寫(xiě)出f（n）的表達(dá)式；再根據(jù)f（n）的表達(dá)式，代入f（1）?f（2）?f（3）?…?f（100），計(jì)算即可．
【解答】解：（1）∵，，，，…
∴f（n）＝1﹣．
f（1）?f（2）?f（3）?…?f（100）
＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）???（1﹣）
＝×××???×
＝．
故答案為：1﹣；．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了定義新運(yùn)算，以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，要熟練掌握，注意明確有理數(shù)混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級(jí)運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算；如果有括號(hào)，要先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算．理解新運(yùn)算，進(jìn)而寫(xiě)出f（n）的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．
3．（2022秋?拱墅區(qū)月考）觀察下列運(yùn)算過(guò)程：
22＝2×2＝4，；
，＝；…
（1）根據(jù)以上運(yùn)算過(guò)程和結(jié)果，我們發(fā)現(xiàn)：22＝ ；（）2＝ ；
（2）仿照（1）中的規(guī)律，判斷（）3與（）﹣3的大小關(guān)系；
（3）求（﹣）﹣4×（）4÷（）﹣3的值．
【分析】（1）觀察計(jì)算過(guò)程即可得出結(jié)論；
（2）利用題干中的方法解答即可得出結(jié)論；
（3）利用以上的解題規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算即可．
【解答】解：（1）∵22＝2×2＝4，，
∴；
∵，＝，
∴，
故答案為：；；
（2）（）3＝（）﹣3，理由：
∵＝＝，
＝＝，
∴（）3＝（）﹣3．
（3）原式＝×÷23
＝×
＝16×
＝2．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，本題是閱讀型題目，利用題干中的方法和解答中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答是解題的關(guān)鍵．
4．（2021秋?臺(tái)州期末）規(guī)定：若有理數(shù)a，b滿足a﹣b＝ab，則a叫做b的“差積數(shù)”．例如：1﹣＝1×，那么1是的“差積數(shù)”；﹣1≠×1，可知不是1的“差積數(shù)”．請(qǐng)根據(jù)上述規(guī)定解答下列問(wèn)題：
（1）填表：
（2）一個(gè)有理數(shù)的“差積數(shù)”等于這個(gè)數(shù)，求這個(gè)有理數(shù)；
（3）若m為正整數(shù)，記m+1，m+2，m+3，…，m+2022這2022個(gè)數(shù)的“差積數(shù)”的積為A，試猜想A的值（用含有m的式子表示），并給出合理的猜想過(guò)程．
【分析】（1）根據(jù)定義分別求出各自對(duì)應(yīng)的“差積數(shù)”：
（2）可設(shè)這個(gè)有理數(shù)為x，再由定義求出即可：
（3）先解出前幾項(xiàng)對(duì)應(yīng)的差積數(shù)，觀察找規(guī)律，總結(jié)一般結(jié)論再代入求值即可．
【解答】解：（1）設(shè)3的積差數(shù)為x，y的積差數(shù)為﹣2，
由題意可列：x﹣3＝3x，﹣2﹣y＝﹣2y，
解得：x＝﹣，y＝2，
故答案為：﹣：；2．
（2）設(shè)這個(gè)有理數(shù)為a，
由題意可列：a﹣a＝a2，
解得：a＝0，
答：這個(gè)有理數(shù)為0．
（3）設(shè)m+1的差積數(shù)為b，
由題意可列：b﹣（m+1）＝（m+1）b，
解得：b＝，
∴m+1的差積數(shù)是，
同理：m+2的積差數(shù)是，
則A＝＝＝1+．
【點(diǎn)評(píng)】認(rèn)真讀題，理解差積數(shù)的含義，培養(yǎng)學(xué)生的閱讀理解能力和知識(shí)遷移能力．，最后一問(wèn)考查了學(xué)生由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想．
三．算術(shù)平方根（共2小題）
5．（2022秋?鄞州區(qū)校級(jí)期中）（1）若a+b＝，則代數(shù)式（a+b）2的值為 3 ．
（2）如下是按規(guī)律排列的一列單項(xiàng)式：x，﹣x2，x3，﹣x4，x5，…則第10個(gè)單項(xiàng)式是 ﹣x10 ．
【分析】（1）將a+b的值整體代入所求的代數(shù)式運(yùn)算即可；
（2）通過(guò)觀察可得第n個(gè)單項(xiàng)式是（﹣1）n+1??xn，由此求解即可．
【解答】解：（1）∵a+b＝，
∴（a+b）2＝（）2＝3，
故答案為：3；
（2）∵x，﹣x2，x3，﹣x4，x5，…，
∴第n個(gè)單項(xiàng)式是（﹣1）n+1??xn，
∴第10個(gè)單項(xiàng)式是﹣x10，
故答案為：﹣x10．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，整式的運(yùn)算，熟練掌握整體代入思想求代數(shù)式的值，根據(jù)所給的單項(xiàng)式，探索出單項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)和指數(shù)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
6．（2023春?城區(qū)校級(jí)期中）觀察下列一組算式的特征，并探索規(guī)律：
①；
②；
③；
④．
根據(jù)以上算式的規(guī)律，解答下列問(wèn)題：
（1）13+23+33+43+53＝（ 1+2+3+4+5 ）2＝ 225 ；
（2）＝ ；（用含n的代數(shù)式表示）
（3）簡(jiǎn)便計(jì)算：113+123+133+…+193+203．
【分析】（1）根據(jù)代數(shù)式所呈現(xiàn)的規(guī)律可得答案；
（2）得出＝1+2+3+…（n﹣1）+n，再利用求和公式求出結(jié)果即可；
（3）將原式化為（1）中的形式，利用簡(jiǎn)便方法求出結(jié)果即可．
【解答】解：（1）∵＝1+2+3+4+5＝15，
∴13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2＝225，
故答案為：1+2+3+4+5，225；
（2）由（1）可得，
＝1+2+3+…（n﹣1）+n＝，
故答案為：；
（3）由（2）得，
113+123+133+…+193+203
＝13+23+33+…+193+203﹣（13+23+33+…+93+103）
＝
＝44100﹣3025
＝41075．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查算術(shù)平方根，列代數(shù)式，數(shù)字變化類，理解算術(shù)平方根的意義，發(fā)現(xiàn)數(shù)字變化類所呈現(xiàn)的規(guī)律是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
四．規(guī)律型：數(shù)字的變化類（共19小題）
7．（2022秋?北侖區(qū)期中）如圖，在這個(gè)數(shù)運(yùn)算程序中，若開(kāi)始輸入的正整數(shù)n為奇數(shù)，都計(jì)算3n+1；若n為偶數(shù)，都除以2．若n＝21時(shí)，經(jīng)過(guò)1次上述運(yùn)算輸出的數(shù)是64；經(jīng)過(guò)2次上述運(yùn)算輸出的數(shù)是32；經(jīng)過(guò)3次上述運(yùn)算輸出的數(shù)是16；…；經(jīng)過(guò)2022次上述運(yùn)算輸出的數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】分別求出部分輸出結(jié)果，發(fā)現(xiàn)第1次輸出結(jié)果到第4次輸出結(jié)果只出現(xiàn)一次，從第5次輸出結(jié)果開(kāi)始，每3次結(jié)果循環(huán)一次，則經(jīng)過(guò)2022次上述運(yùn)算輸出的數(shù)與第6次輸出的結(jié)果相同，由此可求解．
【解答】解：當(dāng)n＝21時(shí)，
經(jīng)過(guò)1次運(yùn)算輸出的數(shù)是64，
經(jīng)過(guò)2次運(yùn)算輸出的數(shù)是32，
經(jīng)過(guò)3次運(yùn)算輸出的數(shù)是16，
經(jīng)過(guò)4次運(yùn)算輸出的數(shù)是8，
經(jīng)過(guò)5次運(yùn)算輸出的數(shù)是4，
經(jīng)過(guò)6次運(yùn)算輸出的數(shù)是2，
經(jīng)過(guò)7次運(yùn)算輸出的數(shù)是1，
經(jīng)過(guò)8次運(yùn)算輸出的數(shù)是4，
經(jīng)過(guò)9次運(yùn)算輸出的數(shù)是2，
……
∴第1次輸出結(jié)果到第4次輸出結(jié)果只出現(xiàn)一次，從第5次輸出結(jié)果開(kāi)始，每3次結(jié)果循環(huán)一次，
∵（2022﹣4）÷3＝672…2，
∴經(jīng)過(guò)2022次上述運(yùn)算輸出的數(shù)與第6次輸出的結(jié)果相同，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，通過(guò)運(yùn)算找到輸出結(jié)果的循環(huán)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
8．（2022秋?蓮都區(qū)期中）對(duì)一組數(shù)（x，y）的一次操作變換記為P1（x，y），定義其變換法則如下：P1（x，y）＝（x+y，x﹣y），且規(guī)定Pn（x，y）＝P1（Pn﹣1（x，y））（n為大于1的整數(shù)），如P1（1，2）＝（3，﹣1），P2（1，2）＝P1（P1（1，2））＝P1（3，﹣1）＝（2，4），P3（1，2）＝P1（P2（1，2））＝P1（2，4）＝（6，﹣2），則P2022（1，﹣1）＝（ ）
A．（0，21011）B．（21011，﹣21011）
C．（0，﹣21011）D．（21011，21011）
【分析】根據(jù)操作方法依次求出前幾次變換的結(jié)果，然后根據(jù)規(guī)律解答．
【解答】解：P1（1，﹣1）＝（0，2），
P2（1，﹣1）＝P1（P1（1，﹣1））＝P1（0，﹣2）＝（2，﹣2），
P3（1，﹣1）＝P1（P2（1，﹣1））＝P1（2，﹣2）＝（0，4）＝（0，22），
P4（1，﹣1）＝P1（P3（1，﹣1））＝P1（0，4）＝（4，﹣4）＝（22，﹣22），
P5（1，﹣1）＝P1（P4（1，﹣1））＝P1（22，﹣22）＝（0，23），
…，
P2022（1，﹣1）＝（ 21011，﹣21011）．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，讀懂題目信息，理解操作方法并觀察出點(diǎn)的縱坐標(biāo)的指數(shù)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
9．（2022秋?海曙區(qū)校級(jí)期中）將正偶數(shù)按下表排成5列：
根據(jù)上面排列規(guī)律，則2022應(yīng)在____________行，___________列．（ ）
A．506；3B．506；2C．253；2D．253；4
【分析】通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，每8個(gè)偶數(shù)的位置循環(huán)一次，再由1011÷8＝126……3，可知2022在第4列，行數(shù)位于126×2+1＝253行，由此即可求解．
【解答】解：由圖可知，每8個(gè)偶數(shù)的位置循環(huán)一次，
∵2到2022共有1011個(gè)偶數(shù)，
∴1011÷8＝126……3，
∴2022與6的列數(shù)相同，
∴2022在第4列，
∵126×2＝252，
∴2022在第253行，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，通過(guò)觀察所給的數(shù)的排列規(guī)律，探索出數(shù)的位置的循環(huán)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
10．（2022秋?開(kāi)化縣校級(jí)月考）如圖所示的運(yùn)算程序中，若開(kāi)始輸入的x值為5，則第1次輸出的結(jié)果為8，第2次輸出的結(jié)果為4，……，第2022次輸出的結(jié)果為（ ）
A．1B．2C．4D．8
【分析】通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，從第二次開(kāi)始每三次運(yùn)算結(jié)果循環(huán)一次，則可得第2022次輸出的結(jié)果與第2次輸出的結(jié)果相同，由此求解即可．
【解答】解：第1次輸出的結(jié)果為8，
第2次輸出的結(jié)果為4，
第3次輸出的結(jié)果為2，
第4次輸出的結(jié)果為1，
第5次輸出的結(jié)果為4，
……
∴從第二次開(kāi)始每三次運(yùn)算結(jié)果循環(huán)一次，
∵（2022﹣1）÷3＝673……2，
∴第2022次輸出的結(jié)果為2，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，通過(guò)計(jì)算探索出運(yùn)算結(jié)果的循環(huán)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
11．（2022秋?慈溪市月考）如圖，正方形的周長(zhǎng)為8個(gè)單位，在該正方形的4個(gè)頂點(diǎn)處分別標(biāo)上0，2，4，6，先讓正方形上表示數(shù)字6的點(diǎn)與數(shù)軸上表﹣3的點(diǎn)重合，再將數(shù)軸按順時(shí)針?lè)较颦h(huán)繞在該正方形上，則數(shù)軸上表示2021的點(diǎn)與正方形上的數(shù)字對(duì)應(yīng)的是（ ）
A．0B．2C．4D．6
【分析】求出2021與﹣1的距離是2022個(gè)單位，再去確定2022是正方形旋轉(zhuǎn)252圈余6個(gè)單位長(zhǎng)度，則可知2021與6對(duì)應(yīng)．
【解答】解：∵正方形的周長(zhǎng)為8個(gè)單位，
∴正方形的邊長(zhǎng)為2個(gè)單位，
由旋轉(zhuǎn)可知，正方形旋轉(zhuǎn)一周是8個(gè)單位長(zhǎng)度，
∵2021與﹣1的距離是2022個(gè)單位，
又∵2022÷8＝252……6，
∴正方形旋轉(zhuǎn)252圈余6個(gè)單位長(zhǎng)度，
∴2021與6對(duì)應(yīng)，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，通過(guò)計(jì)算確定2021與﹣1的距離與正方形周長(zhǎng)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
12．（2021秋?北侖區(qū)期末）觀察下列各式：﹣2x，4x2，﹣8x3，16x4，﹣32x5，…，則第n個(gè)式子是（ ）
A．﹣2n﹣1xnB．（﹣2）nxnC．﹣2nxnD．（﹣2）n﹣1xn
【分析】通過(guò)觀察可知系數(shù)為﹣2的n次方，x的次數(shù)為自然數(shù)，由此可得第n個(gè)式子為（﹣2）nxn．
【解答】解：∵﹣2x，4x2，﹣8x3，16x4，﹣32x5，…，
∴第n個(gè)式子為（﹣2）nxn，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)所給單項(xiàng)式，探索出式子的一般規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
13．（2021秋?嘉興期末）已知一列數(shù)a1，a2，a3，…，滿足am?an＝am+n（m，n為正整數(shù)）．例如：a1?a2＝a1+2＝a3，a2?a2＝a2+2＝a4．若a1＜0，a2＝4，則a2021的值是（ ）
A．4042B．﹣22020C．22021D．﹣22021
【分析】分別求出a1＝﹣2，a2＝4，a3＝﹣8，a4＝16，…，可得一般規(guī)律an＝（﹣2）n，即可求a2021＝﹣22021．
【解答】解：∵a2＝4，
∴a1?a2＝a1+2＝a3＝4a1，
a2?a2＝a2+2＝a4＝16，
∵a1?a3＝a1+3＝a4，
∴4a12＝16，
∴a1＝±2，
∵a1＜0，
∴a1＝﹣2，
∴a3＝﹣8，a4＝16，…，
∴an＝（﹣2）n，
∴a2021＝﹣22021，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)所給的條件，通過(guò)計(jì)算，探索出數(shù)的一般規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
14．（2022秋?浦江縣月考）求1+2+22+23+…+22018的值，可令S＝1+2+22+23+…+22018，則2S＝2+22+23+…+22019，因此2S﹣S＝22019﹣1．仿照以上推理，計(jì)算出1+5+52+53+…+52018的值為（ ）
A．52019﹣1B．52018﹣1C．D．
【分析】直接根據(jù)已知條件中的示例，設(shè)所求式子為S，在所求式子中都乘以5得到一個(gè)新的式子，然后兩個(gè)式子相減，從而求出所求問(wèn)題．
【解答】解：設(shè)S＝1+5+52+53+?????+52018，則5S＝5+52+53+54+??????+52019．
∴5S﹣S＝52019﹣1，
∴S＝．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查同底數(shù)冪的運(yùn)算及技巧性求復(fù)雜數(shù)式的值的方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)所求問(wèn)題靈活運(yùn)用各種運(yùn)算規(guī)律．
15．（2022秋?東陽(yáng)市期中）正整數(shù)按如圖的規(guī)律排列，請(qǐng)寫(xiě)出：
（1）第3行，第6列的數(shù)字是 28 ；
（2）正整數(shù)2022在第 45 行，第 4 列．
【分析】（1）根據(jù)所給的數(shù)，確定第六列的第一個(gè)數(shù)是26，再求解即可；
（2）通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)每行的第一個(gè)數(shù)n2，確定第45行的第一個(gè)數(shù)是2025，再求解即可．
【解答】解：（1）由圖可知，第六列的第一個(gè)數(shù)是26，
∴第3行，第6列的數(shù)字是28，
故答案為：28；
（2）每行的第一個(gè)數(shù)n2，
∴第45行的第一個(gè)數(shù)是2025，
∵2025﹣2022＝3，
∴2022在第45行第4列，
故答案為：45，4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，通過(guò)觀察所給的數(shù)，探索出每行第一個(gè)數(shù)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
16．（2022秋?西湖區(qū)校級(jí)期中）觀察下面算式，探索規(guī)律并解答問(wèn)題：
1+3＝4，1+3+5＝9，1+3+5+7＝16，1+3+5+7+9＝25．
（1）計(jì)算，1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）＝ n2 ；
（2）請(qǐng)用上述規(guī)律計(jì)算：79+81+83+85++197+199＝ 8479 ．
【分析】（1）通過(guò)觀察所給的等式，可得1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）＝n2；
（2）由（1）的規(guī)律，將等式變形為（1+3+5+……+77+79+81+83+85++197+199）﹣（1+3+5+……+77）再求解即可．
【解答】解：（1）1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）
＝（）2
＝n2，
故答案為：n2；
（2）79+81+83+85++197+199
＝（1+3+5+……+77+79+81+83+85++197+199）﹣（1+3+5+……+77）
＝1002﹣392
＝8479，
故答案為：8479．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，通過(guò)觀察所給的等式，探索出等式結(jié)果的一般規(guī)律，并能靈活應(yīng)用該規(guī)律計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
17．（2022秋?義烏市校級(jí)期中）小明同學(xué)利用計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)了一個(gè)程序，輸入和輸出的情況如下表．他發(fā)現(xiàn)從第三個(gè)輸出項(xiàng)起的每一項(xiàng)都與這一項(xiàng)的前面兩個(gè)輸出項(xiàng)有關(guān)．按此規(guī)律，當(dāng)輸入9時(shí)，輸出結(jié)果為 76a13b42 ，從1開(kāi)始一直輸入到2022后，輸出項(xiàng)的系數(shù)與次數(shù)均為奇數(shù)的項(xiàng)共有 674 個(gè)．
【分析】通過(guò)觀察輸出結(jié)果，得到當(dāng)輸入的數(shù)是3n+1時(shí)，輸出項(xiàng)的系數(shù)與次數(shù)均為奇數(shù)，再由2022÷3＝674，即可求解．
【解答】解：輸入1，得到a，項(xiàng)的系數(shù)與次數(shù)均為奇數(shù)，
輸入2，得到3b2，項(xiàng)的系數(shù)與次數(shù)不都為奇數(shù)，
輸入3，得到4ab2，項(xiàng)的系數(shù)與次數(shù)不都為奇數(shù)，
輸入4，得到7ab4，項(xiàng)的系數(shù)與次數(shù)均為奇數(shù)，
輸入5，得到11a2b6，項(xiàng)的系數(shù)與次數(shù)不都為奇數(shù)，
輸入6，得到18a3b10，項(xiàng)的系數(shù)與次數(shù)不都為奇數(shù)，
輸入7，得29a5b16，項(xiàng)的系數(shù)與次數(shù)均為奇數(shù)，
……
∴當(dāng)輸入的數(shù)是3n+1時(shí)，輸出項(xiàng)的系數(shù)與次數(shù)均為奇數(shù)，
∵2022÷3＝674，
∴從1開(kāi)始一直輸入到2022后，輸出項(xiàng)的系數(shù)與次數(shù)均為奇數(shù)的項(xiàng)共有674個(gè)，
故答案為：674．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，通過(guò)觀察所給的輸出結(jié)果，探索出輸出項(xiàng)的系數(shù)與次數(shù)均為奇數(shù)時(shí)，輸入數(shù)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
18．（2022秋?鄞州區(qū)校級(jí)期中）按上面數(shù)表的規(guī)律，得下面的三角形數(shù)表：
（1）上表中，第九行有 9 個(gè)算式，第九行最中間的算式是 24+29 ．
（2）把下表中的數(shù)從小到大排成一列數(shù)：3，5，6，9，10，12，…則第15個(gè)數(shù)是 48 ．
【分析】（1）通過(guò)觀察可得第九行有9個(gè)算式，每一行的每個(gè)算式的第一個(gè)數(shù)的排列是20，21，22，…，2n﹣1，第二個(gè)數(shù)都是2n，由此求解即可；
（2）先確定第15個(gè)數(shù)所在的位置，再根據(jù)（1）的規(guī)律進(jìn)行求解即可．
【解答】解：（1）第一行1個(gè)算式，第二行2個(gè)算式，第三行3個(gè)算式，第四行4個(gè)算式，……，
∴第九行有9個(gè)算式，
∵每一行的每個(gè)算式的第一個(gè)數(shù)的排列是20，21，22，…，2n﹣1，第二個(gè)數(shù)都是2n，
∴第九行最中間的算式是24+29，
故答案為：9，24+29；
（2）∵3，5，6，9，10，12，…，
∴第15個(gè)數(shù)是第五行第5個(gè)數(shù)，
∴第15個(gè)數(shù)是24+25＝48，
故答案為：48．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，通過(guò)觀察所給的算式的排列，探索出每一行數(shù)的排列規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
19．（2022秋?余杭區(qū)校級(jí)月考）已知一列數(shù)：1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，…，將這列數(shù)排成下列形式：
第1行1
第2行﹣2，3
第3行﹣4，5，﹣6
第4行7，﹣8，9，﹣10
第5行11，﹣12，13，﹣14，15
…
按照上述規(guī)律排下去，那么第10行從右邊數(shù)第5個(gè)數(shù)為 51 ．
【分析】通過(guò)觀察可得第n行有n個(gè)數(shù)，求出前9行45個(gè)數(shù)，可知第10行的第一個(gè)數(shù)是﹣46，再求解即可．
【解答】解：第一行1個(gè)數(shù)，第二行2個(gè)數(shù)，第三行3個(gè)數(shù)，……，
∴第n行有n個(gè)數(shù)，
∴前9行有×9＝45個(gè)數(shù)，
∴第10行的第一個(gè)數(shù)是﹣46，
∴第10行從右邊數(shù)第5個(gè)數(shù)為51，
故答案為：51．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，通過(guò)觀察數(shù)的排列規(guī)律，探索出每行數(shù)的個(gè)數(shù)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
20．（2021秋?縉云縣期末）如圖，某學(xué)校圖書(shū)館把WIFI密碼做成了數(shù)學(xué)題．小紅在圖書(shū)館看書(shū)時(shí)，思索了一會(huì)兒，輸入密碼，順利地連接到了“圖書(shū)館”的網(wǎng)絡(luò)，那么她輸入的密碼是 404888 ．
【分析】通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)：第一個(gè)兩位數(shù)是5×8＝40，第二個(gè)兩位數(shù)是6×8＝48，第三個(gè)兩位數(shù)是40+48＝88，由此可求密碼．
【解答】解：∵5*2⊕6＝301242，2*6⊕9＝185472，8*3⊕4＝321244，
∵5×6＝30，2×6＝12，（5+2）×6＝42，
2×9＝18，6×9＝54，（6+2）×9＝72，
8×4＝32，3×4＝12，（8+3）×4＝44，
∴5*6⊕8＝404888，
故答案為：404888．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，能夠根據(jù)所給的式子，探索出數(shù)字之間的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．
21．（2021秋?臨海市月考）計(jì)算：
（﹣1）+2+（﹣3）+4+…+（﹣2017）+2018+（﹣2019）+2020＝ 1010 ．
【分析】根據(jù)數(shù)的特點(diǎn)，每?jī)蓚€(gè)一組進(jìn)行運(yùn)算即可．
【解答】解：（﹣1）+2+（﹣3）+4+…+（﹣2017）+2018+（﹣2019）+2020
＝[（﹣1）+2]+[（﹣3）+4]+…+[（﹣2017）+2018]+[（﹣2019）+2020]
＝1+1+…+1
＝1010，
故答案為：1010．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)所給數(shù)的特點(diǎn)，分組進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．
22．（2022秋?拱墅區(qū)校級(jí)月考）如圖，將一列有理數(shù)按如下規(guī)律排列，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：
（1）在A，B，C三個(gè)數(shù)中，其中表示負(fù)數(shù)的是 B ；
（2）若A，B，C，D，E均表示對(duì)應(yīng)的有理數(shù)，A+B+C+D的值是 ﹣2 ；
（3）數(shù)﹣2020對(duì)應(yīng)A，B，C，D，E中的什么位置？并說(shuō)明理由．
【分析】（1）通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，A點(diǎn)表示的數(shù)與1的正負(fù)性相同，B點(diǎn)表示的數(shù)與﹣2的正負(fù)性相同，C點(diǎn)表示的數(shù)與3的正負(fù)性相同，由此求解即可；
（2）由（1）可求A+B+C+D的值是﹣2；
（3）通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，每6個(gè)數(shù)是一組循環(huán)，由此求解即可．
【解答】解：（1）A點(diǎn)表示的數(shù)與1的正負(fù)性相同，B點(diǎn)表示的數(shù)與﹣2的正負(fù)性相同，C點(diǎn)表示的數(shù)與3的正負(fù)性相同，
∴B表示負(fù)數(shù)，
故答案為：B；
（2）由（1）知，D點(diǎn)表示的數(shù)與﹣4的正負(fù)性相同，
∵1+（﹣2）+3+（﹣4）＝﹣2＜0，
∴A+B+C+D的值是﹣2，
故答案為：﹣2；
（3）由圖可知，每6個(gè)數(shù)是一組循環(huán)，
∵2020÷6＝336……4，
∴﹣2020與D點(diǎn)的位置相對(duì)應(yīng)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，通過(guò)觀察探索出數(shù)字的循環(huán)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
23．（2022秋?義烏市校級(jí)月考）觀察下面的等式：
﹣1＝﹣|﹣+2|+4
4﹣1＝﹣|﹣1+2|+4
2﹣1＝﹣|1+2|+4
﹣1＝﹣|+2|+4
﹣1﹣1＝﹣|4+2|+4
…
回答下列問(wèn)題：
（1）填空： ﹣3 ﹣1＝﹣|6+2|+4；
（2）已知：0﹣1＝﹣|x+2|+4，則x的值是 3 ；
（3）設(shè)滿足上面特征的等式最左邊的數(shù)為y，求y的最大值，并直接寫(xiě)出此時(shí)的等式．
【分析】（1）找出各式的規(guī)律，利用規(guī)律解答即可；
（2）利用（1）中的規(guī)律解答即可；
（3）利用（1）中的規(guī)律列出不等式，從而求得最大值，利用（1）中的規(guī)律寫(xiě)出當(dāng)時(shí)即可．
【解答】解：∵﹣1＝﹣|3﹣+2|+4＝﹣|﹣+2|+4，
4﹣1＝﹣|3﹣4+2|+4＝﹣|﹣1+2|+4，
2﹣1＝﹣|3﹣2+2|＝﹣|1+2|+4，
﹣1＝﹣|3﹣+2|+4＝﹣|+2|+4，
﹣1﹣1＝﹣|3﹣（﹣1）+2|+4＝﹣|4+2|+4，
???
∴a﹣1＝﹣|3﹣a+2|+4，
∴6＝3﹣（﹣3），
∴﹣3﹣1＝﹣|3﹣（﹣3）+2|+4＝﹣|6+2|+4，
故答案為：﹣3；
（2）∵0﹣1＝﹣|3﹣0+2|+4＝﹣|x+2|+4，
∴x＝3，
故答案為：3；
（3）∵y﹣1＝﹣|3﹣y+2|+4，
∴|5﹣y|＝5﹣y，
∴5﹣y≥0，
∴y≤5，
∴y的最大值為5，
此時(shí)的等式為：5﹣1＝﹣|﹣2+2|+4．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，絕對(duì)值，本題是規(guī)律型題目，依據(jù)各式的特征找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
24．（2021秋?臨海市期末）觀察下面三行數(shù)；
﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…；①
0，6，﹣6，18，﹣30，66，…；②
﹣1，2，﹣4，8，﹣16，32，…；③
（1）第①行第8個(gè)數(shù)為 256 ；第②行第8個(gè)數(shù)為 258 ：第③行第8個(gè)數(shù)為 128 ．
（2）是否存在這樣一列數(shù)，使三個(gè)數(shù)的和為322？若存在，請(qǐng)寫(xiě)出這3個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）①后一個(gè)數(shù)是前一個(gè)數(shù)的﹣2倍，②的數(shù)的規(guī)律是在①每個(gè)對(duì)應(yīng)數(shù)加2，③后一個(gè)數(shù)是前一個(gè)數(shù)的﹣2倍，由此可求解；
（2）通過(guò)觀察可得規(guī)律：①的第n個(gè)數(shù)是（﹣2）n，②的第n個(gè)數(shù)是（﹣2）n+2，③的第n個(gè)數(shù)是（﹣1）n2n﹣1，再由（﹣2）n+（﹣2）n+2+（﹣1）n×2n﹣1＝322，求n即可．
【解答】解：（1）﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…，
∴第8個(gè)數(shù)是256，
②的第8個(gè)數(shù)是256+2＝258，
③的第8個(gè)數(shù)是128，
故答案為：256，258，128；
（2）不存在一列數(shù)，使三個(gè)數(shù)的和為322，理由如下：
①的第n個(gè)數(shù)是（﹣2）n，②的第n個(gè)數(shù)是（﹣2）n+2，③的第n個(gè)數(shù)是（﹣1）n2n﹣1，
由題意得，（﹣2）n+（﹣2）n+2+（﹣1）n×2n﹣1＝322，
∴n為偶數(shù)，
∴4×2n﹣1+2n﹣1＝5×2n﹣1＝320，
∴2n﹣1＝64，
∴n＝7，
∴不存在一列數(shù)，使三個(gè)數(shù)的和為322．
【點(diǎn)評(píng)】本題考點(diǎn)數(shù)字的變化規(guī)律，通過(guò)觀察所給的式子，找到式子中各數(shù)間的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
25．（2021秋?海曙區(qū)月考）a是不為1的有理數(shù)，我們把稱為a的差倒數(shù)．如：3的差倒數(shù)是＝，﹣1的差倒數(shù)是＝．已知a1＝2，a2是a1的差倒數(shù)，a3是a2的差倒數(shù)，依此類推．
（1）分別求出a2、a3、a4的值．
（2）計(jì)算a1+a2+a3的值．
（3）請(qǐng)直接寫(xiě)出a1+a2+a3+…+a2021的值．
【分析】（1）由定義直接求解即可；
（2）根據(jù)（1）中所求的值進(jìn)行運(yùn)算即可；
（3）由（1）可知，每三次運(yùn)算結(jié)果循環(huán)出現(xiàn)，則a1+a2+a3+…+a2021＝673×+2﹣1＝．
【解答】解：（1）∵a1＝2，
∴a2＝＝﹣1，a3＝＝，a4＝＝2；
（2）a1+a2+a3＝2+（﹣1）+＝；
（3）由（1）可知，每三次運(yùn)算結(jié)果循環(huán)出現(xiàn)，
∵2021÷3＝673……2，
∴a1+a2+a3+…+a2021＝673×+2﹣1＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，通過(guò)計(jì)算找到運(yùn)算結(jié)果的循環(huán)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
五．二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)（共1小題）
26．（2021秋?諸暨市期中）探索規(guī)律：
先觀察下列等式，再回答問(wèn)題：
①；
②；
③．
（1）根據(jù)上面三個(gè)等式提供的信息，請(qǐng)你猜想＝ 1 ．
（2）請(qǐng)按照上面各等式反映的規(guī)律，試寫(xiě)出第n個(gè)等式： ＝1+ ．
（3）計(jì)算：．
【分析】（1）直接利用已知運(yùn)算規(guī)律得出，最終結(jié)果的分母與后兩項(xiàng)分母的關(guān)系，進(jìn)而得出運(yùn)算結(jié)果；
（2）直接利用已知運(yùn)算規(guī)律得出，最終結(jié)果的分母與后兩項(xiàng)分母的關(guān)系，進(jìn)而得出運(yùn)算結(jié)果；
（3）利用（2）中運(yùn)算規(guī)律，進(jìn)而化簡(jiǎn)得出答案．
【解答】解：（1）＝1；
（2）＝1+；
（3）原式＝1+1+1+…+1
＝1×99+1﹣+﹣+﹣+…+﹣
＝99+1﹣
＝99．
故答案為：（1）1；（2）＝1+．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)以及數(shù)字變化規(guī)律，正確發(fā)現(xiàn)數(shù)字之間變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．
聲明：試題解析
有理數(shù)x
3
4
5

x的“差積數(shù)”

﹣
﹣
﹣2
輸入
1
2
3
4
5
6
7
8
…
輸出
a
3b2
4ab2
7ab4
11a2b6
18a3b10
29a5b16
47a8b26
…
有理數(shù)x
3
4
5
2
x的“差積數(shù)”
﹣
﹣
﹣
﹣2
輸入
1
2
3
4
5
6
7
8
…
輸出
a
3b2
4ab2
7ab4
11a2b6
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47a8b26
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3.2 實(shí)數(shù)

版本： 浙教版（2024）

年級(jí)： 七年級(jí)上冊(cè)

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