人教B版 (2019)選擇性必修第一冊2.3.3 直線與圓的位置關(guān)系公開課ppt課件-課件下載-教習(xí)網(wǎng)

2.3.3 直線與圓的位置關(guān)系（2）本節(jié)課選自《2019人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊》第二章《平面解析幾何》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)直線與圓的位置關(guān)系學(xué)生在初中的幾何學(xué)習(xí)中已經(jīng)接觸過直線與圓的位置關(guān)系，本節(jié)在討論了直線與圓的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，著重探究弦長問題，進(jìn)一步讓學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合的思想方法；另一方面，本節(jié)課對于后面學(xué)習(xí)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等內(nèi)容又是一個鋪墊，具有承上啟下的地位。坐標(biāo)法不僅是研究幾何問題的重要方法，而且是一種廣泛應(yīng)用于其他領(lǐng)域的重要數(shù)學(xué)方法。通過坐標(biāo)系，把點(diǎn)和坐標(biāo)、曲線和方程聯(lián)系起來，實(shí)現(xiàn)了形和數(shù)的統(tǒng)一。課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.已知直線與圓相交，能用代數(shù)法和幾何法兩種方法求弦長.B.掌握直線與圓的綜合問題. 1.數(shù)學(xué)抽象：求弦長中的弦長公式 2.邏輯推理：幾何法求弦長 3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求弦長 4.數(shù)學(xué)建模：直線與圓的弦長問題重點(diǎn)：求弦長問題難點(diǎn)：直線與圓的綜合問題多媒體教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)一、溫故知新1.直線與圓的位置關(guān)系直線l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),設(shè)圓心(a,b)到直線的距離是d,d=,則有:位置關(guān)系幾何特征代數(shù)特征(方程聯(lián)立) 公共點(diǎn)個數(shù)相離d>r無實(shí)數(shù)解(Δ<0)0相切d=r一組實(shí)數(shù)解(Δ=0)1相交d<r兩組實(shí)數(shù)解(Δ>0)2二、典例解析例1.已知直線交于A,B兩點(diǎn).(1)求線段AB的長(2)求線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)解:(方法一)如圖所示，設(shè)AB的中點(diǎn)為M，根據(jù)垂徑定理可知由點(diǎn)到直線的距離公式可知又OA是圓的半徑，因此3從而Rt因此解:(方法二)設(shè)則第二式減去第一式可得因此= （），從而=又因為從方程組中消去，整理可得2，而且是這個方程的兩個根，因此由韋達(dá)定理可知所以= = =14因此（2）設(shè)，且線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則 =，=，由（1）中的方法二可知=== 又因為直線的方程可以化為,所以=== 因此所求中點(diǎn)坐標(biāo)為求直線與圓相交時的弦長有三種方法(1)交點(diǎn)法:將直線方程與圓的方程聯(lián)立,求出交點(diǎn)A,B的坐標(biāo),根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式 |AB|=求解.(2)弦長公式:如圖所示,將直線方程與圓的方程聯(lián)立,設(shè)直線與圓的兩交點(diǎn)分別是A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|=|x1-x2|=|y1-y2|(直線l的斜率k存在且不為0).(3)幾何法:如圖,直線與圓C交于A,B兩點(diǎn),設(shè)弦心距為d,圓的半徑為r,弦長為|AB|,則有+d2=r2,即|AB|=2.通常采用幾何法較為簡便. 2.若涉及直線和圓相交的問題,除了借助平面幾何知識進(jìn)行分析,還經(jīng)常利用聯(lián)立方程,用解方程組的思路來討論有關(guān)弦長和垂直等問題. 跟蹤訓(xùn)練1 已知點(diǎn)P1(-+1,0),P2(+1,0),P3(1,1)均在圓C上.(1)求圓C的方程;(2)若直線3x-y+1=0與圓C相交于A,B兩點(diǎn),求線段AB的長;(3)設(shè)過點(diǎn)(-1,0)的直線l與圓C相交于M,N兩點(diǎn),試問:是否存在直線l,使得以MN為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)O?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.解:(1)∵點(diǎn)P1(-+1,0),P2(+1,0),P3(1,1)均在圓C上,∴圓心C的橫坐標(biāo)為1,設(shè)圓C的方程為(x-1)2+(y-b)2=r2,則解得∴圓C的方程為(x-1)2+(y+2)2=9.(2)圓C的圓心坐標(biāo)為(1,-2),半徑為3,圓心到直線3x-y+1=0的距離為d=.∴直線3x-y+1=0被圓C截得的弦AB的長為2. (3)存在直線l滿足題意.理由如下,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),由題意,知OM⊥ON,且OM,ON 的斜率均存在,②當(dāng)直線l 的斜率存在時,可設(shè)直線l 的方程為y=k(x+1),代入(x-1)2+(y+2)2=9,得(1+k2)x2+(2k2+4k-2)x+k2+4k-4=0,∴kOM·kON=-1,則=-1,即x1x2+y1y2=0.①當(dāng)直線l的斜率不存在時,可得直線l的方程為x=-1,則M(-1,-2),N(-1,--2),滿足x1x2+y1y2=0,∴直線l:x=-1滿足條件;則x1+x2=-,x1x2=,由x1x2+y1y2=0,得x1x2+k2(x1+1)(x2+1)=0,即(1+k2)x1x2+k2(x1+x2)+k2=0,∴(1+k2)·-k2·+k2=0,解得k=1,∴直線l的方程為y=x+1.綜上可知,存在滿足條件的直線l:x=-1和l:y=x+1.例2 已知實(shí)數(shù)x,y滿足y=,求m=及b=2x+y的取值范圍.分析y=可化為x2+y2=3(y≥0),即以(0,0)為圓心,半徑為的半圓,m=,可看作半圓上的點(diǎn)與點(diǎn)(-3,-1)連線的斜率;b可看作與半圓有公共點(diǎn)的直線2x+y-b=0在y軸上的截距.解:y=表示以原點(diǎn)為圓心,半徑為的上半圓,m=表示過點(diǎn)A(-3,-1)和(x,y)的直線的斜率,如圖①所示. 圖① 圖② 可知kAB≤m≤kAC.B點(diǎn)坐標(biāo)為(,0),所以kAB=.由圖①可知,AC斜率存在,設(shè)直線AC的方程為y+1=kAC(x+3),即kACx-y+3kAC-1=0,因為AC與半圓x2+y2=3(y≥0)相切,所以,所以kAC=.所以m的取值范圍是.由b=2x+y,知b表示直線2x+y-b=0在y軸上的截距,如圖②所示.可知直線b=2x+y一定位于兩直線l1與l2之間.由直線l2與半圓相切,得b=,由直線l1過D(-,0),得b=-2.故b的取值范圍是[-2].1.與圓有關(guān)的最值問題,可借助幾何特征及幾何法先確定達(dá)到最值的位置,再進(jìn)行計算.有些與圓有關(guān)的最值問題涉及是否過圓心,有時注意考慮表達(dá)式中字母的幾何意義,如兩點(diǎn)間距離公式、斜率公式、在y軸上的截距等.2.對于本題而言,解決的關(guān)鍵是理解m和b的幾何意義,同時要借助分界線探求參數(shù)的取值范圍. 通過對直線與圓的位置關(guān)系的回顧，提出直線與圓的弦長問題。通過對直線與圓的弦長問題的探究，理解代數(shù)法和幾何法求弦長的具體應(yīng)用。讓學(xué)生進(jìn)一步體會方程與曲線的關(guān)系，發(fā)對展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。在典例分析和練習(xí)中讓學(xué)生掌握直線與圓的最值問題，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng) 三、達(dá)標(biāo)檢測1.直線y=x-1上的點(diǎn)與圓x2+y2+4x-2y+4=0上的點(diǎn)的距離的最小值為(　　)A.2 B.-1 C.2-1 D.1解析:圓x2+y2+4x-2y+4=0的圓心為(-2,1),半徑為1,圓心到直線y=x-1的距離為d==2,所以直線y=x-1上的點(diǎn)與圓x2+y2+4x-2y+4=0上的點(diǎn)的距離的最小值為2-1.答案:C2.直線y=x+1與圓x2+y2+2y-3=0交于A,B兩點(diǎn),則|AB|=　　　　　. 解析:圓的方程可化為x2+(y+1)2=4,故圓心C(0,-1),半徑r=2,圓心到直線y=x+1的距離d=,所以弦長|AB|=2=2=2.答案:23.過點(diǎn)(3,1)作圓(x-2)2+(y-2)2=4的弦,其中最短弦長為　　　　　. 解析:設(shè)點(diǎn)A(3,1),易知圓心C(2,2),半徑r=2.當(dāng)弦過點(diǎn)A(3,1)且與CA垂直時為最短弦,|CA|=.∴半弦長=.∴最短弦長為2.答案:24.已知直線l:mx+y-3=0與圓(x-1)2+(y-2)2=4交于A,B兩點(diǎn),過A,B分別做l的垂線與x軸交于C,D兩點(diǎn),若|AB|=4,則|CD|=　　　　　. 解析:圓(x-1)2+(y-2)2=4,圓心(1,2),半徑r=2,∵|AB|=4,∴直線l:mx+y-3=0過圓心(1,2),∴m+2-3=0,∴m=1,∴直線l:x+y-3=0,傾斜角為135°,∵過A,B分別做l的垂線與x軸交于C,D兩點(diǎn),∴|CD|==4.答案:45.記x2+y2≤1表示的平面區(qū)域為W,點(diǎn)O為原點(diǎn),點(diǎn)P為直線y=2x-2上的一個動點(diǎn),若區(qū)域W上存在點(diǎn)Q,使得|OQ|=|PQ|,試求|OP|的最大值.解:畫出直線y=2x-2與平面區(qū)域W,如圖所示,易知|OQ|≤1,在△OQP中,|OQ|+|QP|>|OP|,當(dāng)且僅當(dāng)O,Q,P三點(diǎn)共線時,有|OQ|+|QP|=|OP|.所以當(dāng)|OQ|=1時,|OP|取最大值2. 通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)五、課時練通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力。針對本節(jié)課的特點(diǎn)，在教法上，采用以教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體的教學(xué)方法；在教學(xué)過程中，注重啟發(fā)式引導(dǎo)、反饋式評價，充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，鼓勵同學(xué)們動手計算，采用一題多變的形式，讓學(xué)生體會由簡單到復(fù)雜，由特殊到一般的題型及相應(yīng)解題策略，教師在學(xué)生活動后，給予幫助，促進(jìn)數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)，促進(jìn)數(shù)學(xué)基本素養(yǎng)的形成；在教學(xué)手段上，運(yùn)用黑板板書和多媒體展示，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力，活躍了氣氛，加深了理解。注重提升學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)抽樣、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

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