知識(shí)點(diǎn)01 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
1.圓的基本要素：圓心和半徑
2.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
一般地，如果平面直角坐標(biāo)系中⊙C的圓心為C（a，b），半徑為r（r>0），設(shè)M（x，y）為平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)，則點(diǎn)M在⊙C上的充要條件是CM=r，即（x-a）2+（y-b）2=r兩邊平方，得
（x-a）2+（y-b）2=r2，此式通常稱為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【即學(xué)即練1】（24-25高二上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）求滿足下列條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)圓心是4,0，且過點(diǎn)2,2；
(2)圓心在y軸上，半徑為5，且過點(diǎn)3,-4；
(3)求過兩點(diǎn)C-1,2和D1,23，圓心在x軸上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【答案】(1)x-42+y2=8
(2)x2+y2=25或x2+y+82=25
(3)x-22+y2=13
【分析】（1）利用兩點(diǎn)距離公式可先求半徑，再寫標(biāo)準(zhǔn)方程即可；
（2）利用點(diǎn)的特征結(jié)合半徑可先求圓心坐標(biāo)，再寫標(biāo)準(zhǔn)方程即可；
（3）設(shè)圓心坐標(biāo)，利用到C、D距離相等計(jì)算求得圓心坐標(biāo)，再寫標(biāo)準(zhǔn)方程即可.
【詳解】（1）由題意可知：r2=2-42+2-02=8，
∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x-42+y2=8；
（2）設(shè)圓心為C0,b，
則3-02+-4-b2=52，
∴b=0或b=-8，
∴圓心為0,0或0,-8，
又r=5，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y2=25或x2+y+82=25；
（3）設(shè)圓心為Ma,0，
∵M(jìn)C=MD，
∴a+12+0-22=a-12+0-232，
即a2+2a+1+4=a2-2a+1+12，
∴a=2，r=MC=13，
∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x-22+y2=13
【即學(xué)即練2】（24-25高二上·全國(guó)·假期作業(yè)）寫出下列圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)圓心為C-3,4，半徑是5；
(2)圓心為C-8,3，且經(jīng)過點(diǎn)M-5,-3.
【答案】(1)(x+3)2+(y-4)2=5
(2)x+82+y-32=45
【分析】（1）根據(jù)圓心和半徑，直接寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）先求出圓的半徑，可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【詳解】（1）∵圓心在C(-3,4)，半徑長(zhǎng)是5，
故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+3)2+(y-4)2=5．
（2）∵圓心在C(-8,3)，且經(jīng)過點(diǎn)M-5,-3，
故半徑為MC=-5+82+-3-32=35，
故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x+82+y-32=45．
知識(shí)點(diǎn)02由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圓心A(a，b)，半徑為r.設(shè)所給點(diǎn)為M(x0，y0)，則
【即學(xué)即練3】（22-23高二上·四川雅安·階段練習(xí)）若點(diǎn)Aa+1,3在圓C：x-a2+y-12=m外，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．-∞,5B．-∞,5C．0,5D．0,5
【答案】C
【分析】利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，列出不等式求解即得.
【詳解】由點(diǎn)Aa+1,3在圓C：x-a2+y-12=m外，得m0，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是0,5.
故選：C
【即學(xué)即練4】（24-25高二下·上?！るS堂練習(xí)）已知點(diǎn)P(1,-5)，則該點(diǎn)與圓x2+y2=25的位置關(guān)系是 ．
【答案】在圓的外部
【分析】由點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑比較大小即得.
【詳解】由圓x2+y2=25的圓心(0,0)到點(diǎn)P(1,-5)的距離為d=12+(-5)2=26>5=r，
知點(diǎn)P(1,-5)在圓的外部.
故答案為：在圓的外部.
知識(shí)點(diǎn)03 圓的一般方程
1.當(dāng)D2＋E2－4F＞0時(shí)，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0稱為圓的一般方程，其圓心為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半徑為
r＝eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F).
當(dāng)D2＋E2－4F=0時(shí),方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).
3.當(dāng)D2＋E2－4F0，解得t4，
所以實(shí)數(shù)t的取值范圍為(-∞,-2)∪(4,+∞).
故選：B
【即學(xué)即練6】（23-24高二下·重慶銅梁·開學(xué)考試）已知A(2,0)，B(4,2)，O為原點(diǎn)，則△AOB的外接圓方程為 .
【答案】x2+y2-2x-6y=0
【分析】利用待定系數(shù)法設(shè)出圓的一般方程，將三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)代入，就可求得外接圓方程.
【詳解】設(shè)△AOB外接圓方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)，
因?yàn)樵c(diǎn)O，A(2,0)，B(4,2)三點(diǎn)都在圓上，所以有
F=022+2D+F=042+22+4D+2E+F=0，解得F=0D=-2E=-6，則圓的方程為x2+y2-2x-6y=0，
故△AOB的外接圓方程為x2+y2-2x-6y=0.
故答案為：x2+y2-2x-6y=0
知識(shí)點(diǎn)04 由圓的一般方程確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
已知M(x0，y0)和圓的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），其位置關(guān)系如下表：
判斷二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F=0表示圓要" 兩看"：
一看方程是否具備圓的一般方程的特征：①A=C≠0，②B=0；
二看它能否表示圓．此時(shí)判斷D2＋E2- 4AF是否大于0，或直接配方變形，判斷等號(hào)右邊是否為大于零的常數(shù).
【即學(xué)即練7】（22-23高二上·遼寧朝陽(yáng)·期中）已知A(1,2)為圓C:x2+y2-2ax-4y+5a=0外一點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .
【答案】(4,+∞)
【分析】整理得到圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，由題設(shè)及圓的性質(zhì)可得，a2-5a+4>03a-3>0，計(jì)算即可求解.
【詳解】整理得，圓C:(x-a)2+(y-2)2=a2-5a+4，
因?yàn)辄c(diǎn)A(1,2)在圓C外，所以1+4-2a-8+5a>0a2-5a+4>0，化簡(jiǎn)得(a-1)(a-4)>0a-1>0，解得a>4．
故答案為：(4,+∞)
【即學(xué)即練8】（22-23高二上·上海楊浦·期中）已知點(diǎn)P（2，1）在圓x2+y2+（λ-1）x+2λy+λ=0外，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是
【答案】-35，15∪1，+∞
【分析】P點(diǎn)坐標(biāo)代入方程左邊所得值應(yīng)大于0，還要考慮方程是表示圓，兩者結(jié)合可得結(jié)論．
【詳解】由題意題設(shè)方程表示圓，則(λ-1)2+4λ2-4λ>0，λ1，
點(diǎn)P在圓外，則4+1+2(λ-1)+2λ+λ>0，λ>-35，
綜上，λ的范圍是(-35,15)∪(1,+∞)．
故答案為：(-35,15)∪(1,+∞)．
難點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)問題
示例1：（22-23高二下·江西贛州·期中）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A2,0，設(shè)動(dòng)點(diǎn)C滿足OC≤2，動(dòng)點(diǎn)P滿足PA?PC=0，則OP的最大值為（ ）
A．22B．3+1C．2D．2
【答案】A
【分析】根據(jù)條件得到點(diǎn)C在圓O:x2+y2=4的內(nèi)部或圓周上，點(diǎn)P的軌跡是以AC為直徑的圓，再結(jié)合平面圖形的性質(zhì)和基本不等式即可得出答案.
【詳解】因?yàn)镺C≤2，所以點(diǎn)C在圓O：x2+y2=4的內(nèi)部或圓周上，
又動(dòng)點(diǎn)P滿足PA?PC=0，
所以當(dāng)A，C，P三點(diǎn)不重合時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是以為AC直徑的圓，如圖：
當(dāng)點(diǎn)C在圓O內(nèi)時(shí)，延長(zhǎng)AC交圓O于點(diǎn)D，設(shè)AC的中點(diǎn)為M，AD的中點(diǎn)為N，
則MA=MP，ON⊥AD，AM1或a0，得5a-1a-1>0，解得a>1或a1或a0兩點(diǎn).
(1)當(dāng)a=3，并且AB是圓C的直徑，求此時(shí)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)如果AB是圓C的直徑，證明：無論a取何正實(shí)數(shù)，圓C恒經(jīng)過除A外的另一個(gè)定點(diǎn)，求出這個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo).
【答案】(1)x-22+y-22=5；
(2)定點(diǎn)坐標(biāo)為4,1，證明見解析.
【分析】（1）求出C的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出CA，從而可求解；
（2）設(shè)點(diǎn)Px,y是圓C上任意一點(diǎn)，由AB是圓C的直徑，得AP?BP=0，從而可求出圓C的方程，即可得出結(jié)論
【詳解】（1）當(dāng)a=3，B4,3，故C2,2，CA=2-02+2-12=5，
所以此時(shí)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x-22+y-22=5.
（2）設(shè)點(diǎn)Px,y是圓C上任意一點(diǎn)，
因?yàn)锳B是圓C的直徑，所以AP?BP=0，
即x,y-1?x-4,y-a=xx-4+y-1y-a=0，
所以圓C的方程為：xx-4+y-1y-a=0，
則x=4，y=1，等式恒成立，定點(diǎn)為4,1，
所以無論a取何正實(shí)數(shù)，圓C恒經(jīng)過除A外的另一個(gè)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為4,1.
【方法技巧與總結(jié)】
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種求法
（1）幾何法：利用圖形的平面幾何性質(zhì)，如"弦的中垂線必過圓心"，" 兩條弦的中垂線的交點(diǎn)必為圓心"，以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)間距離公式等，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）待定系數(shù)法：由三個(gè)獨(dú)立條件得到三個(gè)方程，解方程組可得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個(gè)參數(shù)，從而確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．它是求圓的方程最常用的方法，一般步驟是：
①設(shè)————設(shè)所求圓的方程為（x- a）2+（y-b）2=r2；
②列——由已知條件，建立關(guān)于a，b，r的方程組；③解———解方程組，求出a，b，r；
④代————將a，b，r代入所設(shè)方程，得所求圓的方程.
【題型3：圓的一般方程的求解】
例3．（2024·山西臨汾·二模）已知圓C過點(diǎn)O(0,0),A(2,0),B(0,4)，則C的方程為 .
【答案】x2+y2-2x-4y=0
【分析】利用待定系數(shù)法及圓的一般方程即可求解.
【詳解】設(shè)圓C的一般式方程為：x2+y2+Dx+Ey+F=0D2+E2-4F>0，
因?yàn)閳AC經(jīng)過點(diǎn)O(0,0),A(2,0),B(0,4),
所以F=04+2D+F=016+4E+F=0,解得D=-2E=-4F=0，
所以圓C的一般式方程為：x2+y2-2x-4y=0.
故答案為：x2+y2-2x-4y=0.
變式1．（23-24高三上·江蘇·期末）已知△ABC的頂點(diǎn)是A5,1，B7,-3，C1,-1，則△ABC的外接圓的方程是 ．
【答案】x2+y2-8x+4y+10=0
【分析】設(shè)圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，分別將三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的方程，解方程組求出D,E,F，即可得結(jié)論.
【詳解】設(shè)所求圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，
因?yàn)辄c(diǎn)A5,1，B7,-3，C1,-1在圓上，
所以26+5D+E+F=058+7D-3E+F=02+D-E+F=0，
解得D=-8E=4F=10，
則所求圓的一般方程為：x2+y2-8x+4y+10=0，
.故答案為：x2+y2-8x+4y+10=0.
變式2.（22-23高二上·北京石景山·期末）在△ABC中，A0,3，B-3,0和C3,0．則△ABC的外接圓方程為 ．
【答案】x2+y2-2y-3=0
【分析】設(shè)出圓的一般方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)求解即可．
【詳解】由題意設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，
代入三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)可得9+3E+F=03-3D+F=03+3D+F=0，解得D=0E=-2F=-3，
所以△ABC的外接圓方程為x2+y2-2y-3=0，
故答案為：x2+y2-2y-3=0．
變式3．（23-24高二上·湖南·期末）已知四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A(1,0)，B(3,-2)，C(4,-1)．
(1)求過A，B，C三點(diǎn)的圓的方程．
(2)設(shè)線段AB上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)為E，過E的直線l平分四邊形ABCD的面積．若四邊形ABCD為平行四邊形，求直線l的方程．
【答案】(1)x-522+y+122=52
(2)x-5y-5=0
【分析】
（1）方法一：根據(jù)斜率分析可知AB⊥BC，結(jié)合直角三角形的外接圓的性質(zhì)分析求解；方法二：設(shè)圓的一般方程，代入A，B，C三點(diǎn)運(yùn)算求解即可；
（2）利用向量關(guān)系求得E53,-23.方法一：根據(jù)題意可知直線l過線段AC的中點(diǎn)M52,-12，再利用直線的兩點(diǎn)式方程運(yùn)算求解；方法二：設(shè)l與CD相交于點(diǎn)Fx2,y2，可知CF=-13DC，利用向量關(guān)系求得點(diǎn)F103,-13，再利用直線的兩點(diǎn)式方程運(yùn)算求解.
【詳解】（1）
方法一：因?yàn)锳(1,0)，B(3,-2)，C(4,-1)，
則kAB=-2-03-1=-1，kBC=-1-(-2)4-3=1，
由kAB?kBC=-1，得AB⊥BC，
則過A，B，C三點(diǎn)的圓的圓心為線段AC的中點(diǎn)M52,-12，
半徑r=12AC=12(4-1)2+(-1-0)2=102，
所以過A，B，C三點(diǎn)的圓的方程為x-522+y+122=52；
方法二：設(shè)過A，B，C三點(diǎn)的圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，
則1+D+F=013+3D-2E+F=017+4D-E+F=0，解得D=-5E=1F=4，
故過A，B，C三點(diǎn)的圓的方程為x2+y2-5x+y+4=0，即x-522+y+122=52.
（2）
設(shè)Ex1,y1，
由題意可得：DC=AB=(2,-2)，AE=x1-1,y1，
因?yàn)榫€段AB上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)為E，則AE=13AB=23,-23，
則x1-1=23y1=-23，解得x1=53y1=-23，即E53,-23．
方法一：直線l平分四邊形ABCD的面積，可知直線l過線段AC的中點(diǎn)M52,-12，
所以直線l的方程為y+23-12+23=x-5352-53，整理得x-5y-5=0；
方法二：設(shè)l與CD相交于點(diǎn)Fx2,y2，則CF=x2-4,y2+1，
由直線l平分四邊形ABCD的面積，可得CF=-13DC=-23,23，
則x2-4=-23y2+1=23，解得x2=103y2=-13，即F103,-13，
所以直線l的方程為y+23-13+23=x-53103-53，整理得x-5y-5=0.
變式4．（23-24高二上·全國(guó)·期中）已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A4,0,B0,2,C2,6．
(1)求AC邊上的高BD所在直線的方程；
(2)求△ABC的外接圓的方程．
【答案】(1)x-3y+6=0
(2)x2+y2-6x-6y+8=0
【分析】（1）先根據(jù)A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線AC的斜率；再利用垂直關(guān)系求出高線BD的斜率；最后利用點(diǎn)斜式寫出直線BD的方程；
（2）設(shè)△ABC的外接圓方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，把A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程求出D、E、F即可．
【詳解】（1）因?yàn)椤鰽BC的三個(gè)頂點(diǎn)為A4,0,B0,2,C2,6，
所以直線AC的斜率為kAC=6-02-4=-3，
所以AC邊上的高BD所在直線的斜率為kBD=13，
所以直線BD的方程為y-2=13x-0，
化為一般式方程為x-3y+6=0.
（2）設(shè)△ABC的外接圓方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，
把A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，得42+02+4D+E×0+F=002+22+D×0+2E+F=022+62+2D+6E+F=0，即16+4D+F=04+2E+F=040+2D+6E+F=0，
解得：D=-6,E=-6,F=8；
所以所求圓的方程為x2+y2-6x-6y+8=0．
變式5．（23-24高二上·山東棗莊·階段練習(xí)）已知O0,0,A1,1,B4,2三點(diǎn)，求：
(1)△OAB的面積.
(2)△OAB外接圓的一般方程.
【答案】(1)1
(2)x2+y2-8x+6y=0
【分析】（1）利用兩點(diǎn)距離公式求得OA，再利用點(diǎn)線距離公式求得B到直線OA的距離，再利用三角形面積公式即可得解；
（2）利用待定系數(shù)法即可得解.
【詳解】（1）因?yàn)镺0,0,A1,1，所以O(shè)A=1+1=2，kOA=1，
故直線OA的方程為y=x，即x-y=0，
又B4,2，所以B到直線OA的距離為d=4-21+1=2，
所以S△OAB=12OA?d=12×2×2=1；
（2）設(shè)△OAB外接圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，
則F=012+12+D+E+F=042+22+4D+2E+F=0，所以D=-8E=6F=0，
所以△OAB外接圓的一般方程為x2+y2-8x+6y=0.
變式6．（23-24高二上·安徽·階段練習(xí)）已知在△ABC中，AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0，AC邊所在直線的方程為x-y-2=0，AC邊上的中線所在直線的方程為x+y-2=0．
(1)求C點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)求△ABC的外接圓方程．
【答案】(1)4,2
(2)x2+y2-x-3y-10=0．
【分析】（1）由AB,AC直線方程聯(lián)立求交點(diǎn)A，由AC,AC邊上的中線聯(lián)立求得AC的中點(diǎn)M，進(jìn)而由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）聯(lián)立AB,AC邊上的中線得B點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出圓的一般方程，由A,B,C三點(diǎn)坐標(biāo)代入待定系數(shù)即得.
【詳解】（1）由x-3y-6=0x-y-2=0，得x=0y=-2，
所以A點(diǎn)的坐標(biāo)為0,-2，
由x-y-2=0x+y-2=0，得x=2y=0，即邊AC的中點(diǎn)為M2,0，
所以C與A關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，
設(shè)Cx0,y0，則x0+02=2y0-22=0，得x0=4y0=2，
所以C點(diǎn)的坐標(biāo)為4,2．
（2）由x-3y-6=0x+y-2=0，得x=3y=-1，
故B點(diǎn)的坐標(biāo)為3,-1，
設(shè)△ABC的外接圓方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，且D2+E2-4F>0，
則10+3D-E+F=04-2E+F=020+4D+2E+F=0，得D=-1E=-3F=-10，
則所求圓的方程為x2+y2-x-3y-10=0．
變式7．（23-24高二上·新疆喀什·期中）已知三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(-1,1)，B(-4,0)，C(4,-4)，
(1)求三角形ABC外接圓O1的方程；
(2)判斷點(diǎn)M13,-1,M22,-3是否在這個(gè)圓上.
【答案】(1)x2+y2+2x+8y-8=0
(2)點(diǎn)M1在這個(gè)圓上，點(diǎn)M2不在這個(gè)圓上
【分析】（1）設(shè)出圓的一般方程，代入計(jì)算即可；
（2）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓方程判斷即可.
【詳解】（1）設(shè)三角形ABC外接圓O1的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)
由已知可得方程組：1+1-D+E+F=016+0-4D+0+F=016+16+4D-4E+F=0解得：D=2E=8F=-8，
則圓O1的方程為x2+y2+2x+8y-8=0.
（2）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程化為(x+1)2+(y+4)2=25.
把點(diǎn)M13,-1的坐標(biāo)代入圓的方程，得(3+1)2+(-1+4)2=25，
即點(diǎn)M1的坐標(biāo)滿足圓的方程，所以點(diǎn)M1在這個(gè)圓上，
把點(diǎn)M22,-3的坐標(biāo)代入圓的方程得(2+1)2+(-3+4)2=10≠25，
即點(diǎn)M2的坐標(biāo)不滿足圓的方程，所以點(diǎn)M2不在這個(gè)圓上.
【題型4：由一般方程確定參數(shù)取值范圍】
例4．（24-25高二上·江蘇徐州·階段練習(xí)）方程x2+y2-2mx-4y+2m2-4m-1=0所表示的圓的最大面積為（ ）
A．4πB．9πC．8πD．16π
【答案】B
【分析】對(duì)方程配方整理，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求m的取值范圍，以及半徑的最大值，即可得結(jié)果.
【詳解】由題意整理可得：x-m2+y-22=-m2+4m+5，
則-m2+4m+5>0，解得-10，
即4m+4>0,
解得m>-1.
故選：C.
變式2．（23-24高二上·福建廈門·期中）若a∈-2,-1,0,34,1，則方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圓的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根據(jù)圓的一般方程表示圓的條件求出參數(shù)a的取值范圍，即可判斷.
【詳解】若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圓，
則a2+2a2-42a2+a-1=-3a2-4a+4>0?3a-2a+23或a

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

2.3.1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

版本： 人教B版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第一冊(cè)

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