知識點01 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
1.圓的基本要素：圓心和半徑
2.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
一般地，如果平面直角坐標(biāo)系中⊙C的圓心為C（a，b），半徑為r（r>0），設(shè)M（x，y）為平面直角坐標(biāo)系中任意一點，則點M在⊙C上的充要條件是CM=r，即（x-a）2+（y-b）2=r兩邊平方，得
（x-a）2+（y-b）2=r2，此式通常稱為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【即學(xué)即練1】（24-25高二上·全國·課前預(yù)習(xí)）求滿足下列條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)圓心是4,0，且過點2,2；
(2)圓心在y軸上，半徑為5，且過點3,-4；
(3)求過兩點C-1,2和D1,23，圓心在x軸上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【即學(xué)即練2】（24-25高二上·全國·假期作業(yè)）寫出下列圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)圓心為C-3,4，半徑是5；
(2)圓心為C-8,3，且經(jīng)過點M-5,-3.
知識點02由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程確定點與圓的位置關(guān)系
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圓心A(a，b)，半徑為r.設(shè)所給點為M(x0，y0)，則
【即學(xué)即練3】（22-23高二上·四川雅安·階段練習(xí)）若點Aa+1,3在圓C：x-a2+y-12=m外，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．-∞,5B．-∞,5C．0,5D．0,5
【即學(xué)即練4】（24-25高二下·上?！るS堂練習(xí)）已知點P(1,-5)，則該點與圓x2+y2=25的位置關(guān)系是 ．
知識點03 圓的一般方程
1.當(dāng)D2＋E2－4F＞0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0稱為圓的一般方程，其圓心為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半徑為
r＝eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F).
當(dāng)D2＋E2－4F=0時,方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示點eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).
3.當(dāng)D2＋E2－4F0兩點.
(1)當(dāng)a=3，并且AB是圓C的直徑，求此時圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)如果AB是圓C的直徑，證明：無論a取何正實數(shù)，圓C恒經(jīng)過除A外的另一個定點，求出這個定點坐標(biāo).
【方法技巧與總結(jié)】
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種求法
（1）幾何法：利用圖形的平面幾何性質(zhì)，如"弦的中垂線必過圓心"，" 兩條弦的中垂線的交點必為圓心"，以及中點坐標(biāo)公式、兩點間距離公式等，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）待定系數(shù)法：由三個獨立條件得到三個方程，解方程組可得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個參數(shù)，從而確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．它是求圓的方程最常用的方法，一般步驟是：
①設(shè)————設(shè)所求圓的方程為（x- a）2+（y-b）2=r2；
②列——由已知條件，建立關(guān)于a，b，r的方程組；③解———解方程組，求出a，b，r；
④代————將a，b，r代入所設(shè)方程，得所求圓的方程.
【題型3：圓的一般方程的求解】
例3．（2024·山西臨汾·二模）已知圓C過點O(0,0),A(2,0),B(0,4)，則C的方程為 .
變式1．（23-24高三上·江蘇·期末）已知△ABC的頂點是A5,1，B7,-3，C1,-1，則△ABC的外接圓的方程是 ．
變式2.（22-23高二上·北京石景山·期末）在△ABC中，A0,3，B-3,0和C3,0．則△ABC的外接圓方程為 ．
變式3．（23-24高二上·湖南·期末）已知四邊形ABCD的三個頂點A(1,0)，B(3,-2)，C(4,-1)．
(1)求過A，B，C三點的圓的方程．
(2)設(shè)線段AB上靠近點A的三等分點為E，過E的直線l平分四邊形ABCD的面積．若四邊形ABCD為平行四邊形，求直線l的方程．
變式4．（23-24高二上·全國·期中）已知△ABC的三個頂點為A4,0,B0,2,C2,6．
(1)求AC邊上的高BD所在直線的方程；
(2)求△ABC的外接圓的方程．
變式5．（23-24高二上·山東棗莊·階段練習(xí)）已知O0,0,A1,1,B4,2三點，求：
(1)△OAB的面積.
(2)△OAB外接圓的一般方程.
變式6．（23-24高二上·安徽·階段練習(xí)）已知在△ABC中，AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0，AC邊所在直線的方程為x-y-2=0，AC邊上的中線所在直線的方程為x+y-2=0．
(1)求C點的坐標(biāo)；
(2)求△ABC的外接圓方程．
變式7．（23-24高二上·新疆喀什·期中）已知三角形ABC的三個頂點為A(-1,1)，B(-4,0)，C(4,-4)，
(1)求三角形ABC外接圓O1的方程；
(2)判斷點M13,-1,M22,-3是否在這個圓上.
【題型4：由一般方程確定參數(shù)取值范圍】
例4．（24-25高二上·江蘇徐州·階段練習(xí)）方程x2+y2-2mx-4y+2m2-4m-1=0所表示的圓的最大面積為（ ）
A．4πB．9πC．8πD．16π
變式1．（23-24高二上·江蘇南通·期中）若方程x2+y2+4mx-2y+4m2-m=0表示一個圓，則實數(shù) m的取值范圍是（ ）
A．m

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2.3.1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

版本： 人教B版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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