第2課時點到平面、直線到平面、平面到平面的距離課標(biāo)解讀課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.理解點到平面的距離、直線到平面的距離和平面到平面的距離的概念.2.能靈活運用向量方法求點到平面的距離、直線到平面的距離和平面到平面的距離.1.數(shù)學(xué)抽象——能理解點到平面的距離、直線到平面的距離和平面到平面的距離的概念.2.數(shù)學(xué)運算——會利用空間向量求解三種距離.自主學(xué)習(xí)·必備知識教材研習(xí)教材原句要點一點到平面的距離1.點到平面的距離給定空間中一個平面及外一點 ,過可以作平面的一條垂線段,這條垂線段的長稱為點到平面的距離.點到平面的距離也是這個點與平面內(nèi)點的① 最短連線的長度.2.點到平面的距離的計算公式一般地,若是平面外一點,是平面內(nèi)一點,是平面的一個法向量,則點到平面的距離 ② .要點二相互平行的直線與平面之間、相互平行的平面與平面之間的距離1.相關(guān)概念當(dāng)直線與平面平行時,直線上任意一點到平面的距離稱為這條直線與這個平面之間的距離;當(dāng)平面與平面平行時,一個平面內(nèi)③ 任意一點到另一個平面的距離稱為這兩個平行平面之間的距離.一般地,與兩個平行平面④ 同時垂直的直線,稱為這兩個平面的公垂線,公垂線夾在平行平面間的部分,稱為這兩個平面的公垂線段.顯然,兩個平行平面之間的距離也等于它們的公垂線段的長.2.計算公式如圖1所示,如果直線與平面平行,是平面的一個法向量,分別是上和內(nèi)的點,則直線與平面之間的距離為 ⑤ .如圖2所示,如果平面與平面平行,是平面的一個法向量（當(dāng)然也是平面的一個法向量）,和分別是平面與平面內(nèi)的點,則平面與平面之間的距離為 ⑥ .自主思考1.棱長為2的正方體的頂點到平面的距離是多少?答案：提示  2.2.當(dāng)直線與平面平行時,直線上任意兩點到平面的距離相等嗎?答案：提示相等.3.棱長為1的正方體中,直線到平面的距離是多少?平面到平面的距離是多少?答案：提示都是1.4.相互平行的直線與平面之間、相互平行的平面與平面之間的距離有什么共同之處?答案：提示都是轉(zhuǎn)化為點到平面的距離求解名師點睛1.四種距離的關(guān)系2.點到平面的距離的三種求法（1）定義法：這是常規(guī)方法,首先過點向平面作垂線,確定垂足的位置,然后將該線段放到一個直角三角形中,最后通過解三角形求得點到平面的距離.（2）等體積法：把點到平面的距離視為一個三棱錐的高,利用三棱錐轉(zhuǎn)化底面求體積,從而求得點到平面的距離.（3）向量法：這是我們常用的方法,利用向量法求解點到平面的距離的優(yōu)點是不必經(jīng)過嚴密的邏輯推理,只需借助空間向量計算即可.互動探究·關(guān)鍵能力探究點一點到平面的距離精講精練例（2021北京平谷第五中學(xué)高二月考）已知四面體中,兩兩垂直,與平面所成角的正切值為 ,則點到平面的距離為(      )A. B. C. D.答案：解析：以為原點,所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示：設(shè) ,則 , .所以 .設(shè)平面的一個法向量為 ,則令 ,得 ,故 .因為直線與平面所成角的正切值為 ,所以直線與平面所成角的正弦值為 ,即 ,解得 .所以平面的一個法向量為 ,故B到平面的距離 .解題感悟利用向量求點到平面的距離的一般步驟：（1）建立空間直角坐標(biāo)系.（2）求出該平面的一個法向量.（3）找出該點與平面內(nèi)一點連線形成的斜線段對應(yīng)的向量.（4）法向量與斜線段對應(yīng)向量的數(shù)量積的絕對值再除以法向量的模,即為點到平面的距離.遷移應(yīng)用1.已知平面的一個法向量為 ,點在平面內(nèi),則點到平面的距離為(      )A. B. C.1D.答案：解析：由題意知 ,則點到平面的距離 ,故選A.2.（2021山東省實驗中學(xué)高二期末）如圖所示,在長方體中,分別是的中點.（1）求證：平面 ;（2）求到平面的距離.答案：（1）證明：分別取和的中點 ,連接 ,則且且 ,所以 ,且 ,所以四邊形是平行四邊形,所以 ,又平面平面所以平面 .（2）以為原點,所在直線分別為軸,軸,軸,建立空間直角坐標(biāo)系 ,如圖所示：則 ,因為分別是的中點,所以 ,所以 .設(shè)平面的一個法向量為 ,則令 ,則 ,所以 ,設(shè)到平面的距離為 ,則 .探究點二直線到平面的距離精講精練例在直棱柱中,底面為直角梯形,且是的中點,求直線與平面的距離.答案：以為坐標(biāo)原點,分別以所在直線為軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 ,則 .過點作的垂線交于點 ,易得 , .設(shè)平面的一個法向量為 ,則即 ,不妨取 .直線與平面的距離 .解題感悟（1）求直線到平面的距離可以轉(zhuǎn)化為求直線上任意一點到平面的距離,利用求點到平面的距離的方法求解即可.（2）選擇直線上任意一點時,一般選取相關(guān)線段的端點或已知的其他的點.遷移應(yīng)用1.如圖,已知長方體中, ,則直線到平面的距離是(     )A.5B.C. D.8答案：解析：且平面平面平面從而點到平面的距離即為所求的距離.以為坐標(biāo)原點,的方向分別為軸,軸,軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則設(shè)則則設(shè)平面的一個法向量為由得 , ,令則為平面的一個法向量.又點到平面的距離 .探究點三平面到平面的距離精講精練例已知正方體的棱長為1,求平面與平面間的距離.答案：以為坐標(biāo)原點,分別以所在直線為軸,軸,軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 ,則 , ,則 .設(shè)平面的一個法向量為 ,則即令 ,得 .點到平面的距離 .平面與平面間的距離等于點到平面的距離,平面與平面間的距離為 .解題感悟（1）求兩個平行平面間的距離可以轉(zhuǎn)化為求點到平面的距離,利用求點到平面的距離的方法求解即可;（2）求空間的各種距離的關(guān)鍵點是合理轉(zhuǎn)化和準(zhǔn)確計算.遷移應(yīng)用1.（2020山東濟南高二檢測）如圖,在棱長為2的正方體中,是線段上的動點.（1）證明：平面 ;（2）若點是的中點,求二面角的余弦值;（3）判斷點到平面的距離是不是定值.若是,求出此定值;若不是,請說明理由.答案：（1）證明：在正方體中,平面平面平面 .（2）在正方體中,兩兩互相垂直,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則 , ,設(shè)向量分別為平面和平面的一個法向量,由取則同理取 ,則 . ,又二面角的平面角為銳角,二面角的余弦值為 .（3）由（1）知平面且在上,點到平面的距離等于上任意一點到平面的距離,取點為的中點,由（2）知,平面的一個法向量為點到平面的距離點到平面的距離為定值 .評價檢測·素養(yǎng)提升1.已知正方體的棱長為2,則到平面的距離為(     )A. B.2C. D.答案：2.如圖,正方體的棱長為1,是底面的中心,則點到平面的距離是(     )A. B.C. D.答案：3.已知直線平面 ,平面的一個法向量為 ,平面內(nèi)一點的坐標(biāo)為(0,0,1),直線上一點的坐標(biāo)為(1,2,1),則直線到平面的距離為．答案：4.兩平行平面分別經(jīng)過坐標(biāo)原點和點 ,且兩平面的一個法向量都為 ,則兩平面間的距離是 .答案： 

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

1.2.5 空間中的距離

版本： 人教B版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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