知識點01 兩點間的距離
1.兩點間距離A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），
|AB|=(x1-x2）2+（y1-y2）2+（z1-z2）2
2用向量表示 兩點間距離BA=(x1-x2,y1-y2,z1-z2),|AB|=(x1-x2）2+（y1-y2）2+（z1-z2）2
【即學(xué)即練1】（2024高二下·江蘇·學(xué)業(yè)考試）已知點A(1,2,-3),B(-1,0,1)，則AB=（ ）
A．32B．26C．23D．4
【答案】B
【分析】根據(jù)兩點間距離公式計算即可.
【詳解】由已知點的坐標(biāo)應(yīng)用兩點間距離公式可得AB→=1+12+2-02+-3-12=24=26.
故選：B.
【即學(xué)即練2】（23-24高二上·寧夏·階段練習(xí)）如圖，已知線段AB,BD在平面α內(nèi)，BD⊥AB,AC⊥α，且AB=4,BD=3,AC=5，則CD= .

【答案】52
【分析】根據(jù)空間向量的線性表示，結(jié)合模長公式，即可求解.
【詳解】由于AC⊥α，AB,BD在平面α內(nèi)，所以AC⊥AB,AC⊥BD,又BD⊥AB,
所以AC?AB=0,AC?BD=0,BD?AB=0,
由于CD=CA+AB+BD,所以CD2=CA2+AB2+BD2+2CA?AB+2AB?BD+2CA?BD=25+16+9=50,
所以CD=52，
故答案為：52
知識點02 點到直線的距離
定義：若P為直線l外一點，A是l上任意一點，在點P和直線l所確定的平面內(nèi)，取一個與直線l垂直的向量n，則點P到直線l的距離為d==|PQ|=|AP|2-|AQ|2=|AP|2-|AP?e|e||2
設(shè)e是直線l的方向向量，則點P到直線l的距離為d=|AP|sin
【即學(xué)即練3】（23-24高二上·湖北孝感·期末）已知空間向量AB=0,1,0，AC=-1,1-1，則B點到直線AC的距離為（ ）
A．63B．33C．2D．3
【答案】A
【分析】利用點到直線的空間向量距離公式求出答案.
【詳解】AB=0,1,0，AC=-1,1-1，故AB→在AC→上的投影向量的模為d=AB?ACAC=0,1,0?-1,1-11+1+1=13，
故B點到直線AC的距離為AB2-d2=1-13=63.
故選：A
【即學(xué)即練4】（23-24高二上·福建福州·期末）已知向量OA=(0,1,1),OB=(-2,1,2)，則點A到直線OB的距離為 ．
【答案】1
【分析】根據(jù)點到直線距離公式求出答案.
【詳解】OA在OB方向上投影向量的模為d=|OA?OB|OB=1，
所以點A到直線OB的距離OA2-d2=OA2-12=1．
故答案為：1
知識點03 點到平面的距離
定義：若P是平面α外一點，PQ⊥α，垂足為Q，A 為平面α內(nèi)任意一點，設(shè)n為平面α的法向量，點P到平面α的距離d=|AP?n||n|
【即學(xué)即練5】（17-18高二上·陜西·期中）已知平面α的一個法向量n=-2,-2,1，點A-1,3,0在平面α內(nèi)，則點P-2,1,4到平面α的距離為（ ）
A．10B．3C．103D．83
【答案】C
【分析】利用向量法求點到平面的距離公式即可求解.
【詳解】由題得PA=1,2,-4，
所以P-2,1,4到平面α的距離為n?PAn=-2-4-44+4+1=103，
故選：C.
【即學(xué)即練6】（23-24高二下·江蘇·單元測試）已知平面α經(jīng)過點B1,0,0，且α的法向量n=1,1,1，則P2,2,0到平面α的距離為 .
【答案】3
【分析】根據(jù)點到面距離空間向量公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】因為BP=1,2,0，n=1,1,1，
所以P2,2,0到平面α的距離d=n?BPn=1+21+1+1=3，
故答案為：3
知識點04 線面間的距離
1.定義：當(dāng)直線與平面平行時，直線上任意一點到平面的距離稱為這條直線與這個平面之間的距離，
2.公式：如果直線l與平面α平行，n是平面α的一個法向量，A、B分別是l上和α內(nèi)的點，則直線l與平面α之間的距離為d＝eq \f(|\(BA,\s\up7(→))·n|,|n|)．
【即學(xué)即練7】（23-24高二上·湖南邵陽·階段練習(xí)）在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別是BC,CD的中點，則直線BD到平面EFD1B1的距離為（ ）
A．36B．12C．24D．13
【答案】D
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.
【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),E(12,1,0),F0,12,0，B1(1,1,1),D10,0,1，
所以EB=(12,0,0),B1D1=(-1,-1,0),B1E=(-12,0,-1),
設(shè)平面EFD1B1的法向量為n=(x,y,z)，則
n?B1D1=-x-y=0n?B1E=-12x-z=0，令z=1，則n=(-2,2,1)，
因為BD//B1D1，BD?平面EFD1B1，B1D1?平面EFD1B1，
所以BD//平面EFD1B1，所以直線BD到平面EFD1B1的距離即為點B到平面EFD1B1的距離，
所以直線BD到平面EFD1B1的距離為d=EB?nn=12×-222+22+1=13 .
故選：D.

【即學(xué)即練8】（23-24高二上·山東淄博·階段練習(xí)）在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為線段A1B1的中點，F(xiàn)為線段AB的中點．
(1)求直線EC與AC1所成角的余弦值；
(2)求直線FC到平面AEC1的距離．
【答案】(1)39
(2)66
【分析】（1）以D1為原點，D1A1,D1C1,D1D所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而根據(jù)向量夾角公式計算即可；
（2）利用向量法求線面距離作答即可.
【詳解】（1）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，以D1為原點，D1A1,D1C1,D1D所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則A1,0,1，C0,1,1，C10,1,0，E(1,12,0)，F(xiàn)(1,12,1)，
所以AC1=-1,1,-1，EC=-1,12,1，
所以直線EC與AC1所成角的余弦值為csAC1,EC=AC1?ECAC1?EC=123?94=39.
（2）由（1）知，AE=0,12,-1，EC1=-1,12,0，AF=0,12,0，F(xiàn)C=-1,12,0，
顯然FC=EC1=-1,12,0，所以FC//EC1，
而FC?平面AEC1，EC1?平面AEC1，于是FC//平面AEC1，
因此直線FC到平面AEC1的距離等于點F到平面AEC1的距離，
設(shè)平面AEC1的法向量為n=x,y,z，
則n?AE=12y-z=0n?EC1=-x+12y=0，令z=1，得n=1,2,1，
所以點F到平面AEC1的距離為AF?nn=16=66，
所以直線FC到平面AEC1的距離是66.
知識點05 面面間的距離
1.定義：當(dāng)平面與平面平行時，一個平面內(nèi)任意一點到另一個平面的距離稱為這兩個平行平面之間的距離．
2.公垂線段：一般地，與兩個平行平面同時垂直的直線，稱為這兩個平面的 公垂線，公垂線夾在平行平面間的部分，稱為這兩個平面的公垂線段．顯然，兩個平行平面之間的距離也等于它們的公垂線段的長.
3.公式：如果平面α與平面β平行，n是平面β的一個法向量，A和B分別是平面α和平面β內(nèi)的點，則平面α和平面β之間的距離為d＝eq \f(|\(BA,\s\up7(→))·n|,|n|)．
【即學(xué)即練9】（22-23高二·全國·隨堂練習(xí)）已知正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長均為1．
(1)求B'到平面A'C'B的距離；
(2)求平面A'C'B與平面D'AC之間的距離．
【答案】(1)33
(2)33
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面A'C'B的法向量，從而利用點到平面距離的公式進(jìn)行求解；
（2）求出平面D'AC的法向量，得到平面A'C'B與平面D'AC平行，從而轉(zhuǎn)化為點到平面距離，利用公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）以D為坐標(biāo)原點，DA,DC,DD'所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A'1,0,1,B'1,1,1,C'0,1,1,B1,1,0，
設(shè)平面A'C'B的法向量為m=x,y,z，
則m?A'B=x,y,z?0,1,-1=y-z=0m?C'B=x,y,z?1,0,-1=x-z=0，
令x=1，則y=z=1，
故平面A'C'B的法向量為m=1,1,1，
則B'到平面A'C'B的距離為d=B'B?mm=0,0,-1?1,1,11+1+1=13=33；
（2）則A1,0,0,C0,1,0,D'0,0,1，
設(shè)平面D'AC的法向量為n=a,b,c，
則n?D'A=a,b,c?1,0,-1=a-c=0n?D'C=a,b,c?0,1,-1=b-c=0，
令a=1，則b=c=1，
故平面A'C'B的法向量為n=1,1,1，
由于m=n，故平面A'C'B與平面D'AC平行，
則平面D'AC上任意一點到平面A'C'B的距離即為平面A'C'B與平面D'AC之間的距離，
不妨求點D'到平面A'C'B的距離，
h=D'B?mm=1,1,-1?1,1,11+1+1=13=33
故平面A'C'B與平面D'AC之間的距離為33.
【即學(xué)即練10】（2022高二·全國·專題練習(xí)）設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，求：
(1)求直線B1C到平面A1BD的距離；
(2)求平面A1BD與平面B1CD1間的距離.
【答案】(1)233
(2)233
【分析】（1）直線B1C到平面A1BD的距離等于點B1到平面A1BD的距離，利用向量求解可得；
（2）平面A1BD與平面B1CD1間的距離等于點B1到平面A1BD的距離，利用向量法求解即可．
【詳解】（1）以D為原點，DA,DC,DD1為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則D0,0,0，B2,2,0，A12,0,2，B12,2,2，C0,2,0，
所以CB1=2,0,2,DA1=2,0,2,DB=2,2,0，所以CB1∥DA1，即CB1∥DA1，
又CB1?平面A1BD，DA1?平面A1BD，所以CB1//平面A1BD，
所以直線B1C到平面A1BD的距離等于點B1到平面A1BD的距離．
設(shè)平面A1BD的一個法向量為n=x,y,z，
則n?DA1=2x+2z=0n?DB=2x+2y=0，令x=1，則n=1,-1,-1，又A1B1=0,2,0，
所以點B1到平面A1BD的距離d=A1B1?nn=23=233.

（2）由（1）知CB1//平面A1BD，同理，D1B1//平面A1BD，
又B1C∩D1B1＝B1，B1C,D1B1?平面B1CD1，
所以平面A1BD//平面B1CD1，
即平面A1BD與平面B1CD1間的距離等于點B1到平面A1BD的距離．
由（1）知，點B1到平面A1BD的距離d=A1B1?nn=23=233.
所以平面A1BD與平面B1CD1間的距離為233.
難點：建系有難度問題
示例1：（2023·福建龍巖·統(tǒng)考二模）三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，側(cè)面A1ACC1為矩形，∠A1AB=2π3，三棱錐C1-ABC的體積為233．
(1)求側(cè)棱AA1的長；
(2)側(cè)棱CC1上是否存在點E，使得直線AE與平面A1BC所成角的正弦值為55？若存在，求出線段C1E的長；若不存在，請說明理由．

【答案】(1)AA1=2
(2)C1E=2
【分析】（1）證明AD⊥平面ABC，結(jié)合題目條件，先計算出AD的值，然后即可以求得側(cè)棱AA1的長；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)未知數(shù)λ，結(jié)合題目條件，列出方程求解，即可得到本題答案.
【詳解】（1）在平面AA1B1B內(nèi)過A作AD⊥A1B1，垂足為D，
因為側(cè)面A1ACC1為矩形，所以CA⊥AA1，
又CA⊥AB，AB∩AA1=A，AB,AA1?平面AA1B1B，
所以CA⊥平面AA1B1B，
又CA?平面ABC，所以平面AA1B1B⊥平面ABC，
易得AD⊥AB，AD?面AA1B1B，平面AA1B1B∩平面ABC=AB，
所以AD⊥平面ABC，
因為VC1-ABC=13S△ABC?AD=13×12×2×2AD=233，所以AD=3，
因為∠A1AB=2π3，∠A1AD=π6，所以AA1=2；
（2）存在點E滿足題意，C1E=2，理由如下：
如圖，以A為坐標(biāo)原點，以AB,AC,AD所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則A1(-1,0,3),B(2,0,0),C(0,2,0),C1(-1,2,3)，
設(shè)C1E=λC1C,λ∈[0,1]，則E(λ-1,2,3-3λ)，
故AE=(λ-1,2,3-3λ)，A1B=(3,0,-3)，A1C=(1,2,-3)
設(shè)平面A1BC的法向量為m=(x,y,z)
則m?A1B=0m?A1C=0即3x-3z=0x+2y-3z=0，令z=3，則x=y=1，
故平面A1BC的一個法向量m=(1,1,3)，
設(shè)直線AE與平面A1BC所成角為θ，
則sinθ=AE?mAE?m=2-λλ2-2λ+2?5=55，解得λ=1，
故存在點E滿足題意，所以C1E=2.
難點：幾何的應(yīng)用
示例2：（2023·四川成都·校聯(lián)考二模）如圖，平面ABCD⊥平面ABS，四邊形ABCD為矩形，△ABS為正三角形，SA=2BC，O為AB的中點.

(1)證明：平面SOC⊥平面BDS；
(2)已知四棱錐S-AOCD的體積為62，求點D到平面SOC的距離.
【答案】(1)證明見詳解
(2)263
【分析】（1）利用平面幾何知識結(jié)合已知條件可以證明BD⊥CO，再利用面面垂直的性質(zhì)進(jìn)一步證明BD⊥SO，
結(jié)合線面垂直、面面垂直的判定定理即得證.
（2）不妨設(shè)BD∩CO=E，則點D到平面SOC的距離即為DE的長度，結(jié)合附加條件四棱錐S-AOCD的體積為62可以求得所有棱長，最終利用平面幾何知識即可求解.
【詳解】（1）一方面：因為△ABS為正三角形且O為AB的中點，所以O(shè)S⊥AB（三線合一），
又因為平面ABCD⊥平面ABS且平面ABCD∩平面ABS=AB，并注意到OS?平面ABS，
所以由面面垂直的性質(zhì)可知OS⊥平面ABCD，
又因為BD?平面ABCD，
所以由線面垂直的性質(zhì)可知OS⊥BD；
另一方面：由題意不妨設(shè)BC=AD=a，則CD=AB=AS=BS=2a，
因為△ABS為正三角形且O為AB的中點，所以O(shè)B=OA=a2，SO=BS?csπ6=2a×32=62a，
所以tan∠ABD=ADAB=a2a=22，且tan∠BCO=BOCB=22aa=22，注意到∠ABD與∠BCO均為銳角，
所以∠ABD=∠BCO，不妨設(shè)BD∩CO=E，

因為∠CBE+∠BCE=∠CBE+∠ABD=∠CBA=π2，
所以∠BEC=π2，即BD⊥CO.
綜合以上兩方面有BD⊥OS且BD⊥CO，
注意到OS∩OC=O，OS?平面SOC，OC?平面SOC，
所有由線面垂直的判定有BD⊥平面SOC，
又因為BD?平面BDS，所以平面SOC⊥平面BDS.
（2）由（1）可知BD⊥平面SOC，則點D到平面SOC的距離即為DE的長度，
一方面梯形AOCD的面積為S1=12?OA+CD?AD=12×22a+2a×a=324a2，h=SO=62a，
所以有四棱錐S-AOCD的體積為V=13?S1?h=13×324a2×62a=34a3，
另一方面由題可知四棱錐S-AOCD的體積為V=62，
結(jié)合以上兩方面有34a3=62，解得a=2，
因為CD∥AB，所以∠CDE=∠ABD，由（1）可知tan∠ABD=22，
所以tan∠CDE=22，所以cs∠CDE=63，
所以DE=CD?cs∠CDE=2×2×63=263.
【題型1：兩點間的距離】
例1．（22-23高二上·山西運(yùn)城·期中）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是邊長為23的正三角形，AA1=7，頂點A1在底面的射影為底面正三角形的中心，P，Q分別是異面直線AC1,A1B上的動點，則P，Q兩點間距離的最小值是（ ）
A．72B．2C．6D．62
【答案】D
【分析】設(shè)O是底面正△ABC的中心，A1O⊥平面ABC，CO⊥AB，以直線CO為x軸，OA1為z軸，過O平行于AB的直線為y軸建立空間直角坐標(biāo)系，P，Q兩點間距離的最小值即為異面直線AC1與A1B間的距離用空間向量法求異面直線的距離．
【詳解】如圖，O是底面正△ABC的中心，A1O⊥平面ABC，AO?平面ABC，則A1O⊥AO，
AB=23，則AO=23×32×23=2，又AA1=7，A1O=AA12-AO2=3，
CO⊥AB，直線CO交AB于點D，OD=1，
以直線CO為x軸，OA1為z軸，過O平行于AB的直線為y軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則A1(0,0,3)，A(1,-3,0)，B(1,3,0)，C(-2,0,0)，
AA1=(-1,3,3)，AC=(-3,3,0)，A1B=(1,3,-3)，
AC1=AA1+AC=(-4,23,3)，
設(shè)n=(x,y,z)與A1B和AC1都垂直，
則n?AC1=-4x+23y+3z=0n?A1B=x+3y-3z=0，取x=3，則y=1,z=2，n=(3,1,2)，
P，Q兩點間距離的最小值即為異面直線AC1與A1B間的距離等于n?AA1n=-3+3+233+1+4=62．
故選：D．
變式1. （21-22高二上·安徽合肥·期中）如圖正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2.動點P，Q分別在線段C1D，AC上，則線段PQ長度的最小值是（ ）
A．13B．23
C．1D．43
【答案】B
【分析】以點D為坐標(biāo)原點，DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計算出異面直線C1D、AC的公垂線的長度，即為所求.
【詳解】由題意可知，線段PQ長度的最小值為異面直線C1D、AC的公垂線的長度.
如下圖所示，以點D為坐標(biāo)原點，DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則點A1,0,0、C0,1,0、C10,1,2、D0,0,0，
所以，AC=-1,1,0，DC1=0,1,2，DA=1,0,0，
設(shè)向量n=x,y,z滿足n⊥AC，n⊥DC1，
由題意可得n?AC=-x+y=0n?DC1=y+2z=0，解得x=yz=-y2，取y=2，則x=2，z=-1，
可得n=2,2,-1，
因此，PQmin=DA?nn=23.
故選：B.
變式2. （22-23高二上·浙江杭州·期中）兩條異面直線a，b所成的角為π3，在直線a，b上分別取點A'，E和A，F(xiàn)，使A'A⊥a，且A'A⊥b已知A'E=3,AF=4,EF=7，則線段AA'的長為 ．
【答案】23或6
【分析】利用空間向量線性運(yùn)算得到EF=EA'+A'A+AF，結(jié)合空間向量數(shù)量積的運(yùn)算法則及模的運(yùn)算即可得解，注意EA',AF的夾角有兩種情況.
【詳解】由題意，得EF=EA'+A'A+AF，
所以EF2=EA'2+A'A2+AF2+2EA'?A'A+2EA'?AF+2A'A?AF，
因為A'E=3,AF=4,EF=7，所以EF2=EF2=49，EA'2=9,AF2=16，
因為A'A⊥a，所以A'A⊥A'E，則EA'?A'A=0，同理：A'A?AF=0，
因為異面直線a，b所成的角為π3，
當(dāng)EA',AF的夾角為π3時，EA'?AF=EA'AFcsπ3=3×4×12=6，
所以49=9+A'A2+16+0+2×6+0，則A'A2=12，即A'A2=12，故A'A=23；
當(dāng)EA',AF的夾角為2π3時，EA'?AF=EA'AFcs2π3=3×4×-12=-6，
所以49=9+A'A2+16+0+2×-6+0，則A'A2=36，故A'A=6；
綜上：線段AA'的長為23或6.
故答案為：23或6.
.
變式3. （22-23高二上·遼寧沈陽·開學(xué)考試）正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面邊長為1，側(cè)棱長為2,P,Q分別是異面直線AD1和BD上的任意一點，則P,Q間距離的最小值為 .
【答案】23
【分析】利用空間向量法求出異面直線AD1和BD的距離，即可得解.
【詳解】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則D10,0,0、A1,0,2，D0,0,2，B1,1,2，
所以D1A=1,0,2，DB=1,1,0，DA=1,0,0，
設(shè)n=x,y,z且n?D1A=0n?DB=0，即x+2z=0x+y=0，令z=1，則x=-2，y=2，所以n=-2,2,1，
所以異面直線AD1和BD的距離d=n?DAn=23，
所以P、Q間距離的最小值為23；
故答案為：23
變式4. （21-22高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知在邊長為6的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點M,N分別為線段A1D和BD1上的動點，當(dāng)D1ND1B= 時，線段MN取得最小值 .
【答案】 13 6
【分析】根據(jù)題意，設(shè)D1ND1B=λ,λ∈0,1，線段MN取得最小值，此時滿足MN⊥A1D,MN⊥BD1，再根據(jù)向量法求解即可.
【詳解】解： 如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則A16,0,6，D10,0,6，B6,6,0，
Mx,0,x0≤x≤6，
設(shè)D1ND1B=λ,λ∈0,1，線段MN取得最小值，此時滿足MN⊥A1D,MN⊥BD1.
所以DA1=6,0,6,BD1=-6,-6,6，
MN=MD1+D1N=MD1+λD1B=-x,0,6-x+λ6,6,-6=6λ-x,6λ,6-6λ-x，
所以MN?DA1=0,MN?BD1=0，即36-108λ=036-12x=0，解得x=3,λ=13，
此時MN=-1,2,1
所以當(dāng)D1ND1B=13時，線段MN取得最小值，最小值為MN=6
故答案為：13；6.
變式5. （20-21高二·全國·單元測試）已知A0,0,2，B1,1,0，點P在x軸上，點Q在直線AB上，則線段PQ長的最小值為 ．
【答案】255##255
【分析】如圖將點放在棱長為2的正方體中，建系如圖，取D2,0,0，根據(jù)題意求異面直線OD和AB之間的距離即可，先求OD和AB的公垂線的方向向量n=x,y,z，再利用公式計算OB?nn即可求解.
【詳解】如圖：在棱長為2的正方體中，以O(shè)為原點，建系如圖：
則O0,0,0，D2,0,0，A0,0,2，B1,1,0，
所以O(shè)D=2,0,0，AB=1,1,-2，
因為點P在x軸上，點Q在直線AB上，
求線段PQ長的最小值也即是求異面直線OD和AB之間的距離，
設(shè)直線OD和AB的公垂線的方向向量n=x,y,z，
由n?OD=2x=0n?AB=x+y-2z=0 可得：x=0，令y=2，則z=1，
所以n=0,2,1，
因為OB=1,1,0，
所以異面直線OD和AB之間的距離為
OB?csOB?n=OB?OB?nOB?n=OB?nn=25=255，
即線段PQ長的最小值為255，
故答案為：255.
變式6. （2021高二上·全國·專題練習(xí)）在如圖所示的實驗裝置中，正方形框架的邊長都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，活動彈子M,N分別在正方形對角線AC,BF上移動，若CM=BN，則MN長度的最小值為 ．
【答案】33
【分析】MN的最小值即為兩條異面直線AC,BF間的距離d，以B為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)異面直線AC、BF的公垂向量為n=x,y,z，由距離公式d=AB?nn可求得答案.
【詳解】∵M(jìn),N分別是異面直線AC、BF上的點，∴MN的最小值即為兩條異面直線AC,BF間的距離d，
∵平面ABCD ⊥平面ABEF，AB⊥BC，平面ABCD∩平面ABEF=AB，∴BC⊥平面ABEF，
又AB⊥BE，∴AB,BE,BC兩兩垂直．以B為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A1,0,0,B0,0,0，F(xiàn)1,1,0,C0,0,1, ∴AC=-1,0,1,BF=1,1,0,AB=-1,0,0，
設(shè)異面直線AC、BF的公垂向量為n=x,y,z，則AC→?n?=-x+z=0,BF→?n?=x+y=0,,
令x=1，則y=-1,z=1，∴n=1,-1,1，
∴d=AB?nn=13=33，即MN的最小值為33．
故答案為：33
變式7. （20-21高二上·山東泰安·期中）如圖所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，AB=BC=1，動點P、Q分別在線段C1D、AC上，則線段PQ長度的最小值是 ．
【答案】13
【解析】以點D為坐標(biāo)原點，DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計算出異面直線C1D、AC的公垂線的長度，即為所求.
【詳解】由題意可知，線段PQ長度的最小值為異面直線C1D、AC的公垂線的長度.
如下圖所示，以點D為坐標(biāo)原點，DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則點A1,0,0、C0,1,0、C10,1,2、D0,0,0，
所以，AC=-1,1,0，DC1=0,1,2，DA=1,0,0，
設(shè)向量n=x,y,z滿足n⊥AC，n⊥DC1，
由題意可得n?AC=-x+y=0n?DC1=y+2z=0，解得x=yz=-y2，取y=2，則x=2，z=-1，
可得n=2,2,-1，
因此，PQmin=DA?nn=23.
故答案為：23.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解本題的關(guān)鍵在于將PQ長度的最小值轉(zhuǎn)化為異面直線AC、C1D的距離，實際上就是求出兩條異面直線的公垂線的長度，利用空間向量法求出兩條異面直線間的距離，首先要求出兩條異面直線公垂線的一個方向向量的坐標(biāo)，再利用距離公式求解即可.
變式8. （18-19高二下·江蘇常州·期中）如圖所示的正方體是一個三階魔方(由27個全等的棱長為1的小正方體構(gòu)成），正方形ABCD是上底面正中間一個正方形，正方形A1B1C1D1是下底面最大的正方形，已知點P是線段AC上的動點，點Q是線段B1D上的動點，則線段PQ長度的最小值為 ．
【答案】33434
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點的坐標(biāo)，求出目標(biāo)PQ的表達(dá)式，從而可得最小值.
【詳解】以B1為坐標(biāo)原點，B1C1,B1A1所在直線分別為x軸，y軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則B10,0,0,A1,2,3,C2,1,3,D2,2,3 ,
設(shè)B1Q=λB1D,AP=μAC,λ,μ∈0,1.
B1Q=2λ,2λ,3λ,B1P=B1A+AP=B1A+μAC=1+μ,2-μ,3.
QP=B1P-B1Q=1+μ-2λ,2-μ-2λ,3-3λ,
QP2=1+μ-2λ2+2-μ-2λ2+3-3λ2
=17λ2-30λ+2μ2-2μ+14=17λ-15172+2μ-122+934
當(dāng)λ=1517且μ=12時，QP2取到最小值934，所以線段PQ長度的最小值為33434.
【點睛】本題主要考查空間向量的應(yīng)用，利用空間向量求解距離的最值問題時，一般是把目標(biāo)式表示出來，結(jié)合目標(biāo)式的特征，選擇合適的方法求解最值.
【方法技巧與總結(jié)】
計算兩點間的距離的兩種方法
1.利用|a|2＝a·a，通過向量運(yùn)算求|a|，如求A，B兩點間的距離，一般用|eq \(AB,\s\up7(→))|＝eq \r(\(|\(AB,\s\up7(→))|2))＝eq \r(\(\(AB,\s\up7(→))·\(AB,\s\up7(→))))求解．
2.用坐標(biāo)法求向量的長度(或兩點間距離)，此法適用于求解的圖形適宜建立空間直角坐標(biāo)系時．
【題型2：向量法求點線距】
例2.（2024·全國·模擬預(yù)測）已知在空間直角坐標(biāo)系中，直線l經(jīng)過A3,3,3，B0,6,0兩點，則點P0,0,6到直線l的距離是（ ）
A．62B．23C．26D．32
【答案】C
【分析】由題意先求出直線的方向向量e=AB=-3,3,-3，然后依次求得cse,AP,sine,AP，則P到直線的距離為d=APsine,AP，求解即可.
【詳解】由題意可知直線l的方向向量為：e=AB=-3,3,-3，
又AP=-3,-3,3，則cse,AP=e?APeAP=9-9-927×27=-13，
sine,AP=1--132=223，
點P0,0,6到直線l的距離為：d=APsine,AP=9+9+9×223=26.
故選：C.
變式1．（23-24高二下·江西·階段練習(xí)）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，F(xiàn)是棱A1D1的中點，若點P在線段CD上運(yùn)動，則點P到直線BF的距離的最小值為（ ）
A．53B．253C．255D．455
【答案】D
【分析】以點D為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量結(jié)合二次函數(shù)求解作答.
【詳解】在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，以DA,DC,DD1分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則有B2,2,0，F(xiàn)1,0,2，則FB=1,2,-2，
設(shè)點P0,y,0，y∈0,2，BP=-2,y-2,0，
則點P到直線BF的距離
d=|BP|2-BP?FBFB2=y2-4y+8-2y-632=59y-652+165≥455，
當(dāng)且僅當(dāng)y=65時取等號，則點P到直線BF的距離的最小值為455.
故選：D.
變式2．（23-24高二下·江蘇南通·階段練習(xí)）在三棱錐P-ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA=1，PB=2，PC=3，三角形ABC重心為G，則點P到直線AG的距離為（ ）
A．67B．53C．21717D．22117
【答案】D
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求點到直線的距離即可得解.
【詳解】如圖所示：以PA,PB,PC為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則P0,0,0，A1,0,0，B0,2,0 C0,0,3，則G13,23,1，
PA=1,0,0，AG=-23,23,1，
故PA在AG的投影為PA?AGAG=-23-232+232+1=-21717，
點P到線AG的距離為PA2-PA?AGAG21-217172=22117.
故選：D.
變式3．（2024·廣西來賓·一模）棱長為3的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)滿足D1E=2ED，BF?=2FB1?，則點E到直線FC1的距離為（ ）
A．3355B．2355
C．375D．275
【答案】A
【分析】利用向量法求點到直線的距離.
【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件可得E0,0,1，F(xiàn)3,3,2，C10,3,3，
EF=3,3,1，F(xiàn)C1=-3,0,1，設(shè)向量EF與FC1的夾角為θ，
∴csθ=EF?FC1EFFC1=-9+119×10=-8190，
所以點E到直線FC1的距離為d=EF?sinθ=19×1-64190=3355.
故選：A.
變式4．(多選)（23-24高二下·江西·開學(xué)考試）如圖，四邊形ABCD,ABEF都是邊長為2的正方形，平面ABCD⊥平面ABEF，P，Q分別是線段AE,BD的中點，則（ ）
A．PQ∥DF
B．異面直線AQ,PF所成角為π6
C．點P到直線DF的距離為62
D．△DFQ的面積是32
【答案】AC
【分析】建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，對于A，判斷DF,PQ是否平行即可；對于B，求出兩直線的方向向量，由兩向量的夾角的余弦公式即可驗算；對于C，由公式PF2-PF?DFDF2即可驗算；對于D，由PQ∥DF得，Q到DF的距離即為P到DF的距離，結(jié)合三角形面積公式即可驗算.
【詳解】由題意知AB,AD,AE兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點，AD,AB,AE所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，
則A0,0,0，B0,2,0，D2,0,0，E0,2,2，F(xiàn)0,0,2，
又P，Q分別是線段AE，BD的中點，所以P0,1,1，Q1,1,0，
所以PQ=1,0,-1，DF=-2,0,2=-2PQ，
又PQ，DF不共線，所以PQ∥DF，故A正確；
AQ=1,1,0，PF=0,-1,1，
設(shè)異面直線AQ,PF所成角為θ，則csθ=AQ?PFAQ?PF=12×2=12，
又θ∈0,π2，所以θ=π3，即異面直線AQ,PF所成角為π3，故B錯誤；
由PF=0,-1,1，DF=-2,0,2，得PF?DFDF=222=22，
所以點P到直線DF的距離為PF2-PF?DFDF2=2-12=62，故C正確；
因為PQ∥DF，所以Q到DF的距離即為P到DF的距離62，
所以△DFQ的面積S=12DF×62=3．故D錯誤．
故選：AC．
變式5．（多選）（23-24高二下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P是線段AD1上的點，點E是線段CC1上的一點，則下列說法正確的是（ ）
A．存在點E，使得A1E⊥平面AB1D1
B．當(dāng)點E為線段CC1的中點時，點B1到平面AED1的距離為2
C．點E到直線BD1的距離的最小值為22
D．當(dāng)點E為棱CC1的中點，存在點P，使得平面PBD與平面EBD所成角為π4
【答案】ABD
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量垂直即可求解A，求解平面法向量，即可根據(jù)點面距離，以及點線距離，求解BC，利用兩平面的法向量的夾角即可求解D.
【詳解】對A選項，以DA，DC，DD1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建系如圖：
則根據(jù)題意可得D(0,0,0),D1(0,0,2),A1(2,0,2),B1(2,2,2),A2,0,0，
設(shè)E(0,2,a)(0≤a≤2)，
所以AD1=(-2,0,2)，AB1=(0,2,2)，A1E=(-2,2,a-2)，
假設(shè)存在點E，使得A1E⊥平面AB1D1，
則AD1?A1E=4+2a-2=0，AB1?A1E=4+2a-2=0，
解得a=0，
所以存在點E，使得A1E⊥平面AB1D1，此時點E與點C重合，故A正確；
對于B，點E為線段CC1的中點時，E0,2,1,AE=(-2,2,1),AD1=(-2,0,2),
設(shè)平面AED1的法向量為m=x,y,z，則AD1?m=-2x+2z=0AE?m=-2x+2y+z=0，取x=2，則m=2,1,2，
AB1=(0,2,2),故點B1到平面AED1的距離為AB1?mm=2+43=2，故B正確，
對C選項,E(0,2,a)(0≤a≤2)，BE=-2,0,a,BD1=-2,-2,2,
點E到直線BD1的距離為BE?2-BE??BD1?BD1?2=4+a2-4+2a232=63a-12+3，
故當(dāng)a=1時，即點E為CC1中點時，此時點E到直線BD1的距離的最小值為2，故C錯誤；
對D選項，點E為線段CC1的中點時，E0,2,1,DE=0,2,1,DB=2,2,0,
設(shè)平面EBD的法向量為a=x1,y1,z1，則DE?a=2y1+z1=0DB?a=2x1+2y1=0，取x1=1，則a=1,-1,2，
設(shè)Px,0,2-x0≤x≤2,DP=x,0,2-x,DB=2,2,0,
設(shè)平面PBD的法向量為b=x2,y2,z2，則DP?b=xx2+2-xz2=0DB?b=2x2+2y2=0，取x2=2-x，則b=2-x,x-2,-x，
若存在點P，使得平面PBD與平面EBD所成角為π4，
則csa,b=a?bab=2-x-x+2-2x22-x2+x26=22，化簡得7x2-8x-8=0，解得x=4+627或4-627，由于0≤x≤2，所以x=4+627，故D正確，
故選：ABD．
變式6．（23-24高二上·河北邢臺·期末）已知空間直角坐標(biāo)系中的點A1,1,1,B0,1,0,C1,2,3，則點C到直線AB的距離為 .
【答案】3
【分析】設(shè)CD為三角形ABC的邊BA上的高，由A,B,D三點共線，以及CD⊥AB，可通過待定系數(shù)得出CD=1,-1,-1，結(jié)合模長公式即可得解.
【詳解】由題意設(shè)CD為三角形ABC的邊BA上的高，而AB=-1,0,-1,CA=0,-1,-2,CB=-1,-1,-3，
因為A,B,D三點共線，設(shè)CD=λCA+1-λCB=0,-λ,-2λ+λ-1,λ-1,3λ-3=λ-1,-1,λ-3，
因為CD⊥AB，所以CD?AB=1-λ+3-λ=4-2λ=0，解得λ=2，
所以CD=1,-1,-1，所以點C到直線AB的距離為1+1+1=3.
故答案為：3.
變式7．（23-24高二上·山東青島·期末）在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，點E在線段CC1上，且CC1=4CE，點F為BD中點.

(1)求點D1到直線EF的距離；
(2)求證：A1C⊥面BDE.
【答案】(1)1143
(2)證明見解析
【分析】（1）依題建系，求得相關(guān)點和向量的坐標(biāo)，利用點到直線的距離的空間向量計算公式即可求得；
（2）由（1）中所建的系求出A1C,DB,DE的坐標(biāo)，分別計算得到A1C?DB=0和A1C?DE=0，由線線垂直推出線面垂直.
【詳解】（1）

如圖,以D為原點，以DA,DC,DD1分別為x,y,z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,AA1=2AB=4,CC1=4CE,F為BD中點,
∴D10,0,4,E0,2,1,F1,1,0,ED1=0,-2,3,EF=1,-1,-1
則點D1到直線EF的距離為：d=ED1?2-ED1??EF?EF?2=13-132=1143.
（2）由（1）可得C0,2,0,B2,2,0,A12,0,4，
則A1C=-2,2,-4,DB=2,2,0,DE=0,2,1，
由A1C?DB=-2×2+2×2=0可得A1C⊥DB，
又由A1C?DE=2×2+(-4)×1=0可得A1C⊥DE，
又DB∩DE=D，
故A1C⊥面BDE.
變式8．（2024高二上·江蘇·專題練習(xí)）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=3，BC=2，E是PB上一點，且BE=2EP，求點E到直線PD的距離.
【答案】22113
【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】
以A為原點，AB,AD,AP分別為x,y,z軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則E1,0,2,P0,0,3,D0,2,0，
所以EP=-1,0,1,PD=0,2,-3，
設(shè)=θ，則csθ=EP?PDEP?PD=-32×13=-326，
則sinθ=1-cs2θ=1726，
所以點E到直線PD的距離d=EP?sinθ=2×1726=22113.
【方法技巧與總結(jié)】
用向量法求點線距的一般步驟
建立空間直角坐標(biāo)系；
（2）求直線的方向向量；
（3）計算所求點與直線上某一點所構(gòu)成的向量在直線的方向向量上的投影長；
（4）利用勾股定理求解．另外，要注意平行直線間的距離與點到直線的距離之間的轉(zhuǎn)化.
【題型3：用向量法求點面距】
例3．（多選）（23-24高二下·甘肅·期末）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，則下列說法正確的是（ ）
A．直線D1C和BC1所成的角為π4
B．四面體BDC1A1的體積是83
C．點A1到平面BDC1的距離為433
D．平面BDA1與平面BDC1所成二面角的正弦值為223
【答案】BCD
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計算A、C、D，利用割補(bǔ)法求出四面體BDC1A1的體積，即可判斷B.
【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則D0,0,0,B2,2,0,C0,2,0，D10,0,2,A12,0,2,B12,2,2，C10,2,2，
對于A，D1C=0,2,-2,BC1=-2,0,2，故csD1C,BC1=-422×22=-12，
故D1C,BC1=2π3，即直線D1C和BC1所成的角為π3，故A錯誤；
對于B，易得四面體BDC1A1為正四面體，
則VBDC1A1=VABCD-A1B1C1D1-4VB-A1B1C1=8-4×13×12×2×2×2=83，故B正確；
對于C，DA1=2,0,2,DB=2,2,0,BC1=-2,0,2，
設(shè)平面BDC1的法向量為n=x,y,z，則有n?DB=2x+2y=0n?BC1=-2x+2z=0，
令x=1，則n=1,-1,1，故點A1到平面BDC1的距離d=DA1?nn=2+23=433，故C正確；
對于D，設(shè)平面BDA1的法向量為m=a,b,c，則有m?DA1=2a+2c=0m?DB=2a+2b=0，
令a=-1，則m=-1,1,1，所以csm,n=-1-1+13×3=-13，
所以平面BDA1與平面BDC1所成二面角的正弦值為1--132=223，故D正確．
故選：BCD
變式1．（多選）（23-24高二下·四川涼山·期末）如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為BB1、CC1的中點，G是線段B1C1上的一個動點，則下列說法正確的是（ ）

A．直線AG與平面AEF所成角的余弦值的取值范圍為1010,66
B．點G到平面AEF的距離為255
C．四面體AEFG的體積為253
D．若線段AA1的中點為H，則GH一定平行于平面AEF
【答案】BD
【分析】建系，求平面AEF的法向量.對于A：利用空間向量求線面夾角；對于B：利用空間向量求點到面的距離；對于C：根據(jù)錐體的體積公式運(yùn)算求解；對于D：利用空間向量證明線面平行.
【詳解】如圖，以A1為坐標(biāo)原點，A1B1,A1D1,A1A分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A0,0,2,E2,0,1,F2,2,1,A10,0,0，設(shè)G2,a,0,a∈0,2，
可得AE=2,0,-1,EF=0,2,0,AG=2,a,-2，
設(shè)平面AEF的法向量n=x,y,z，則n?AE=2x-z=0n?EF=2y=0，
令x=1，則y=0,z=2，可得n=1,0,2，
對于選項A：設(shè)直線AG與平面AEF所成角為θ∈0,π2，
可得sinθ=csAG,n=AG?nAG?n=2a2+8×5∈1515,1010，
所以直線AG與平面AEF所成角的余弦值的取值范圍為1515,1010，故A錯誤；
對于選項B：點G到平面AEF的距離為d=AG?nn=255，故B正確；
對于選項C：由題意可知：AE=5，
所以四面體AEFG的體積為13×255×12×2×5=23，故C錯誤；
對于選項D：由題意可知：H0,0,1，則HG=2,a,-1，
可得n?HG=2×1+a×0+-1×2=0，可知n⊥HG，
且GH?平面AEF，所以GH一定平行于平面AEF，故D正確；
故選：BD.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：求平面AEF的法向量，進(jìn)而利用空間向量處理相關(guān)問題.
變式2．（23-24高二下·安徽·期末）在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為正方形ABCD和正方形CDD1C1的中心，則點A到平面A1EF的距離為 .
【答案】21111/21111
【分析】建系，寫出相關(guān)點的坐標(biāo)，分別求出AA1與平面A1EF的法向量n的坐標(biāo)，代入點到平面距離的向量計算公式計算即得.
【詳解】
如圖，以點D為坐標(biāo)原點，分別以DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
則A(2,0,0),A1(2,0,2),E(1,1,0),F(0,1,1),
于是，AA1?=(0,0,2)，A1E=(-1,1,-2),A1F=(-2,1,-1),
設(shè)平面A1EF的法向量為n=(x,y,z)，則n?A1E=-x+y-2z=0n?A1F=-2x+y-z=0，
故可取n=(1,3,1)，則點A到平面A1EF的距離為d=|n??AA1?||n?|=211=21111.
故答案為：21111.
變式3．（24-25高二上·上?！ふn堂例題）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，H為棱AA1（包含端點）上的動點，則點H到平面B1CD1距離的取值范圍是 ．
【答案】33,233
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法可得點到平面的距離，進(jìn)而可得范圍.
【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則D0,0,0，B1,1,0，C0,1,0，A1,0,0，D10,0,1，C10,1,1，B11,1,1，
設(shè)H1,0,h，其中0≤h≤1，
則D1B1=1,1,0，D1C=0,1,-1，
設(shè)平面B1CD1的法向量為n=x,y,z，
則n?D1B1=x+y=0n?D1C=y-z=0，
令p=-1，故n=-1,1,1，
而B1H→=0,-1,h-1，
故H到平面B1CD1的距離d=B1H?B1H?nB1H?n=h-23=2-h3∈33,233，
故答案為：33,233.
變式4．（23-24高二下·河北唐山·期末）在三棱錐P—ABC中，AB=BC=PC=PB=2，∠ABC=90°，E為AC的中點，PB⊥AC．

(1)求證：平面PBE⊥平面ABC；
(2)求點C到平面PAB的距離．
【答案】(1)證明見解析
(2)263．
【分析】（1）先證AC⊥BE，再證AC⊥平面PBE由線面垂直推出面面垂直即得；
（2）先證PE⊥平面ABC，建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)向量坐標(biāo)，利用點到平面距離的向量公式計算即得.
【詳解】（1）∵AB=BC，E為AC的中點，∴BE⊥AC
又PB⊥AC，且PB∩BE=B,PB,BE?平面 PBE，故AC⊥平面PBE．
又AC?平面ABC，所以平面PBE⊥平面ABC
（2）在三角形ABC中：AB=BC=2,∠ABC=90°，
∴AC=22 BE=2
由（1）知AC⊥平面PBE．因PE?平面PBE ∴AC⊥PE．
又E為AC的中點，則PE垂直平分AC，PC=2，
∴PE=2 ，又PB=2
∴PB2=PE2+BE2，即PE⊥BE，又AC∩BE=E,AC,BE?平面ABC，故得，PE⊥平面ABC.
故可以E為坐標(biāo)原點，分別以EA、EB、EP所在方向為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.

則A2,0,0，B0,2,0，P0,0,2，C-2,0,0，
∴AP=-2,0,2，BP=0,-2,2，PC=-2,0,-2，
設(shè)平面PAB的一個法向量為n=x,y,z，則n?AP=-2x+2z=0n?BP=-2y+2z=0
令z=1，得n=1,1,1．
設(shè)點C到平面PAB的距離d，則d=PC?n|n|=223=263．
變式5．（21-22高二上·安徽蕪湖·期中）如圖所示，已知四棱錐的底面是邊長為1的正方形，PD⊥AD，PC=2，PD=1，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點．

(1)求點D到平面PEF的距離；
(2)求直線AC到平面PEF的距離．
【答案】(1)31717
(2)1717
【分析】（1）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及點到面的距離公式代入計算，即可求解；
（2）結(jié)合直線到平面的距離公式，代入計算，即可求解.
【詳解】（1）
∵PD=CD=1，PC=2，∴PD⊥CD．
又PD⊥AD，CD∩AD=D，CD,AD?平面ABCD，
∴PD⊥面ABCD，
故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
則D(0,0,0)，P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E1,12,0，F(xiàn)12,1,0，
PE=1,12,-1，PF=12,1,-1，DP=(0,0,1)，
設(shè)n=(x,y,z)為面PEF的法向量，n→·PE→=0n→·PF→=0，∴x+12y-z=012x+y-z=0
令y=2，則x+1-z=012x+2-z=0，∴x=2，z=3，∴n=(2,2,3)，
設(shè)點D到平面PEF的距離為d，則d=DP?nn=31717．
（2）因為AC//EF，AC?平面PEF，EF?平面PEF，
所以AC//平面PEF，所以直線AC到平面PEF的距離等于點A到平面PEF的距離，
設(shè)點A到平面PEF的距離為d1，PA=(1,0,-1)，則d1=PA?nn=1717．
變式6．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，若M、N分別為棱PD、PC的中點，O為AC中點．
(1)求證：平面ABM⊥平面PCD；
(2)求點N到平面ACM的距離．
【答案】(1)證明見解析
(2)63
【分析】（1）要證面面垂直，可以先證線線垂直，線面垂直，再證面面垂直即可，
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出AN=1,2,2及平面ACM的法向量，采用向量法來求點到平面的距離．
【詳解】（1）∵PA⊥平面ABCD，AB,AD?面ABCD，
∴PA⊥AB，PA⊥AD．
∵矩形ABCD，
∴AB⊥AD，故PA、AB、AD兩兩垂直．
分別以AB、AD、AP所在直線為x軸、y軸和z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．
則P0,0,4，B2,0,0，C2,4,0，D0,4,0，O1,2,0．
∴M0,2,2，N1,2,2，AB=2,0,0，AM=0,2,2
設(shè)平面ABM的法向量為n1=x1,y1,z1，則2x1=0,2y1+2z1=0,可取n1=0,1,-1，
設(shè)平面PCD的法向量為n2=x2,y2,z2，PC=2,4,-4，DC=2,0,0，則2x2+4y2-4z2=0,2x2=0,可取n2=0,1,1，
∴n1?n2=0，
∴n1⊥n2，
∴平面ABM⊥平面PCD．
（2）解：設(shè)平面ACM的法向量為n=x,y,z．
∵AC=2,4,0，AM=0,2,2，
由AC?n=0,AM?n=0,得2x+4y=0,2y+2z=0,可取n=2,-1,1
∵AN=1,2,2，平面ACM的法向量為n= 2,-1,1，
∴d=AN?nn=26=63．
變式7．（23-24高二下·天津·期末）如圖，ABCD是邊長為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF//DE且DE=2AF=4.
(1)求證：BF//平面DEC；
(2)求平面BEC與平面BEF夾角的余弦值；
(3)求點D到平面BEF的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)175
(3)121717
【分析】（1）以D為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出BF=0,-3,2，平面DEC的一個法向量為DA=3,0,0，則由DA?BF=0，即可證得BF//平面DEC；
（2）分別求出平面BEC與平面BEF的一個法向量m,n，則利用向量坐標(biāo)運(yùn)算，求得平面BEC與平面BEF夾角的余弦值；
（3）由平面BEF的一個法向量為n=2,2,3，DE=0,0,4，利用點到平面的距離公式即可求得點D到平面BEF的距離.
【詳解】（1）

由已知，ABCD是邊長為3的正方形，DE⊥平面ABCD，
由DA、DC?平面ABCD，所以DE⊥DA，DE⊥DC，又DA⊥DC，
DE∩DC=D，DE、DC?平面DEC，
所以DA⊥平面DEC，
以D為原點，DA、DC、DE為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
已知DE=2AF=4，
則B3,3,0,F3,0,2，所以BF=0,-3,2，
易知平面DEC的一個法向量為DA=3,0,0，
得DA?BF=0，又BF?平面DEC，
所以 BF//平面DEC.
（2）由上坐標(biāo)系可知E0,0,4,C0,3,0，則BE=-3,-3,4,BC=-3,0,0，
設(shè)平面BEC與平面BEF的一個法向量分別為m=a,b,c,n=x,y,z，
則有m?BE=0m?BC=0?-3a-3b+4c=0-3a=0，n?BE=0n?BF=0?-3x-3y+4z=0-3y+2z=0，
取b=4,y=2，則a=0,c=3,x=2,z=3，即m=0,4,3,n=2,2,3，
設(shè)平面BEC與平面BEF的夾角為θ，則csθ=m?nm?n=17517=175.
（3）由（2）得平面BEF的一個法向量為n=2,2,3，
又DE=0,0,4，所以點D到平面BEF的距離d=DE?nn=1217=121717.
變式8．（23-24高二下·江蘇淮安·期末）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，PB=5，PC=6，PD=2.
(1)證明：平面PAB⊥平面PBC；
(2)求二面角B-PC-D的余弦值；
(3)求點C到平面PBD的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)-105
(3)23
【分析】（1）根據(jù)題意可證BC⊥平面PAB，結(jié)合面面垂直的判定定理分析證明；
（2）建系標(biāo)點，分別為求平面PBC、平面PCD的法向量，利用空間向量求二面角；
（3）求平面PBD的法向量，利用空間向量求點到面的距離.
【詳解】（1）因為PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，則PA⊥BC，
又因為ABCD為矩形，則AB⊥BC，
且PA∩AB=A，PA,AB?平面PAB，可得BC⊥平面PAB，
且BC?平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC.
（2）由題意可知：PA⊥平面ABCD，且AB⊥AD，
如圖，以A為坐標(biāo)原點，AB,AD,AP分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AB=a,AD=b,AP=c,a,b,c>0，
由題意可得a2+c2=5a2+b2+c2=6b2+c2=2，解得a=2b=1c=1，
則A0,0,0,B2,0,0,C2,1,0,D0,1,0,P0,0,1，
可得BC=0,1,0,PB=2,0,-1,DC=2,0,0,PD=0,1,-1，
設(shè)平面PBC的法向量為n1=x1,y1,z1，則n1?BC=y1=0n1?PB=2x1-z1=0，
令x1=1，則y1=0,z1=2，可得n1?=1,0,2；
設(shè)平面PCD的法向量為n2=x2,y2,z2，則n2?DC=x2=0n2?PD=y2-z2=0，
令y2=1，則x2=0,z2=1，可得n2=0,1,1；
則，
由題意可知：二面角B-PC-D為鈍角，所以二面角B-PC-D的余弦值為-105.
（3）設(shè)平面PBD的法向量為m=x,y,z，則m?PB=2x-z=0m?PD=y-z=0，
令x=1，則y=z=2，可得m=1,2,2，
所以點C到平面PBD的距離d=m?DCm=23.
【方法技巧與總結(jié)】
用向量法求點面距的步驟
建系：建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；
求點坐標(biāo)：寫出（求出）相關(guān)點的坐標(biāo)；
（3）求向量：求出相關(guān)向量的坐標(biāo)（AP，α內(nèi)兩個不共線向量，平面α的法向量n）；
（4）求距離d=|AP?n||n|
【題型4：用向量法求線面距】
例4．（23-24高二下·甘肅·期中）已知棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，M，N分別是A1B1,AD,CC1的中點，則直線AC與平面EMN之間的距離為（ ）
A．1B．33C．32D．3
【答案】B
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，先利用向量法證明AC//平面EMN，根據(jù)線面距離的定義把直線AC到平面EMN的距離轉(zhuǎn)化為點A到平面EMN的距離，再利用點面距離的向量公式求解即可.
【詳解】如圖，以D為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A(2,0,0),C(0,2,0),E(2,1,2),M(1,0,0),N(0,2,1)，
所以ME=(1,1,2),MN=(-1,2,1),AC=(-2,2,0)，設(shè)平面EMN的一個法向量為m=(x,y,z)，
則m?ME=x+y+2z=0,m?MN=-x+2y+z=0,令x=1，可得m=(1,1,-1)，所以AC?m=0，
即AC⊥m，又AC?平面EMN，所以AC//平面EMN，
故點A到平面EMN的距離即為直線AC到平面EMN的距離，
又MA=(1,0,0)，所以點A到平面EMN的距離為MA?m|m|=13=33，
即直線AC與平面EMN之間的距離為33.
故選：B
變式1．（多選）（22-23高二上·云南昆明·期中）如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是A1B1的中點，點P是側(cè)面CDD1C1上的動點，且MP//截面AB1C，則下列說法正確的是（ ）

A．直線MP到截面AB1C的距離是定值
B．點M到截面AB1C的距離是33
C．MP的最大值是22
D．MP的最小值是2
【答案】ABC
【分析】由MP//截面AB1C，可得直線MP到截面AB1C的距離即為點M到截面AB1C的距離，利用空間向量法求出點到平面的距離，即可判斷A、B，取CC1的中點為R，取CD的中點為N，取B1C1的中點為H，即可證明平面MNRH//平面AB1C，則線段MP掃過的圖形是△MNR，求出MP的取值范圍，從而判斷C、D.
【詳解】因為MP//截面AB1C，M是A1B1的中點，
所以直線MP到截面AB1C的距離，即為點M到截面AB1C的距離，為定值，
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A2,0,0，C0,2,0，B12,2,2，M2,1,2，
所以B1C=-2,0,-2，B1A=0,-2,-2，B1M=0,-1,0，
設(shè)平面AB1C的法向量為n=x,y,z，則n?B1C=-2x-2z=0n?B1A=-2y-2z=0，取n=1,1,-1，
所以點M到截面AB1C的距離d=B1M?nn=13=33，
所以點M到截面AB1C的距離是33，故A、B正確；

取CC1的中點為R，取CD的中點為N，取B1C1的中點為H，如圖所示

因為R是CC1的中點，H是B1C1的中點，
所以B1C//HR，
因為HR?平面AB1C，B1C?平面AB1C，
所以HR//平面AB1C，
同理可證MH//平面AB1C，
又HR∩MH=H，HR,MH?平面MNRH，
所以平面MNRH//平面AB1C.
又MP?平面MNRH，線段MP掃過的圖形是△MNR，
即點P的軌跡為線段NR，
由AB=2，得MN=22+22=22，NR=12+12=2,
MC1=12+22=5，MR=12+52=6，
所以MN2=NR2+MR2，即∠MRN為直角，
所以線段MP長度的取值范圍是6,22，即MP∈6,22，
所以MP的最大值是22，MP的最小值是6，故C正確，D錯誤.
故選：ABC
【點睛】關(guān)鍵點點睛：求點到平面的距離關(guān)鍵是利用空間向量法，當(dāng)然也可利用等體積法，C、D主要是確定動點P的軌跡，從而確定MP的取值范圍.
變式2．（24-25高二上·上海·課堂例題）已知正四面體A-BCD的棱長為2，點M、N分別為△ABC和△ABD的重心，則直線MN到平面ACD的距離為 ．
【答案】269
【分析】將正四面體放入正方體中，建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法可證線面平行，進(jìn)而可得直線到平面的距離.
【詳解】將正四面體A-BCD放入正方體DEBF-GAHC中，
以點D為原點，以DE、DF、DG所在直線為x軸、y軸、z軸，如圖所示，
因為正四面體A-BCD的棱長為2，所以正方體的棱長為2，
則A2,0,2，B2,2,0，C0,2,2，
因為點M、N分別為△ABC和△ABD的重心，
所以點M的坐標(biāo)為223,223,223，點N的坐標(biāo)為223,23,23，
所以MN=0,-23,-23,
設(shè)平面ACD的一個法向量為n=x,y,z，
因為DA=2,0,2，DC=0,2,2，
所以2x+2z=02y+2z=0，取x=1，則n=1,1,-1，
因為MN?n=0，且直線MN不在平面ACD上，
所以直線MN//平面ACD，
所以點N到平面ACD的距離就是直線MN到平面ACD的距離，
點N到平面ACD的距離d=DN?nn=2233=269，
故答案為：269.
變式3．（23-24高二下·山東煙臺·階段練習(xí)）如圖，在邊長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P在B1C1上，點Q在平面ABB1A1內(nèi)，設(shè)直線AA1與直線PQ所成角為θ.若直線PQ到平面ACD1的距離為32，則sinθ的最小值為 .
【答案】33
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法表示出P到面ACD1的距離，進(jìn)而求出點P坐標(biāo)，過P作平面ACD1的平行平面，得到點Q的軌跡，再利用向量法求線線角，進(jìn)而求其最值即可.
【詳解】因為直線PQ到平面ACD1的距離為32，
所以必有PQ//面ACD1，即點P到平面ACD1的距離為32，
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)Pp,1,1，又A1,0,0,C0,1,0,D10,0,1，
則AC=-1,1,0,AD1=-1,0,1,CP=p,0,1，
設(shè)面ACD1的法向量為n=x,y,z，
則AC?n=-x+y=0AD1?n=-x+z=0，取x=1得n=1,1,1，
則CP?nn=p+13=32，解得p=12，即P12,1,1，
過P作平面ACD1的平行平面，與正方體ABCD-A1B1C1D1的截面為PMN，
M,N分別為線段A1B1和線段BB1的中點，則M1,12,1,N1,1,12
所以Q在直線MN上，
設(shè)PQ=PM+MQ=PM+λMN=12,-12,0+λ0,12,-12=12,12λ-12,-12λ，
又AA1=0,0,1，則csθ=AA1?PQAA1?PQ=12λ14+12λ-122+14λ2，
當(dāng)λ=0時，csθ=0，
當(dāng)λ≠0時，csθ=121λ2-1λ+1，
又1λ2-1λ+1=1λ-122+34≥34，所以csθ≤12×34=63，
則sinθ的最小值為1-632=33.
故答案為：33
變式4．（2024·廣東·三模）如圖，邊長為4的兩個正三角形ABC，BCD所在平面互相垂直，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，點G在棱AD上，AG=2GD，直線AB與平面EFG相交于點H.
(1)證明：BD//GH；
(2)求直線BD與平面EFG的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)62.
【分析】（1）首先證明BD//平面EFG，再由線面平行的性質(zhì)證明即可；
（2）連接EA,ED，以點E為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，利用點到平面距離公式求解即得.
【詳解】（1）因為E、F分別為BC、CD的中點，所以EF//BD，
又BD?平面EFG，EF?平面EFG，則BD//平面EFG，
又BD?平面ABD，平面ABD∩平面EFG=GH，所以BD//GH.
（2）由（1）知，BD//平面EFG，
則點B到平面EFG的距離即為BD與平面EFG的距離，
連接EA,ED，由△ABC,△BCD均為正三角形，E為BC的中點，得EA⊥BC,ED⊥BC，
又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC,AE?平面ABC，
于是AE⊥平面BCD，又ED?平面BCD，則EA⊥ED，
以點E為原點，直線EB,ED,EA分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則B2,0,0，F(xiàn)-1,3,0，又A(0,0,23)，D(0,23,0)，
又AG→=2GD→，可得G0,433,233，
所以EB=2,0,0，EF=-1,3,0，EG=0,433,233，
設(shè)平面EFG的一個法向量為n=(x,y,z)，則EF?n=-x+3y=0EG?n=433y+233z=0，
令y=1，得n=3,1,-2，
設(shè)點B到平面EFG的距離為d，則d=|EB?n||n|=238=62，
所以BD與平面EFG的距離為62.
變式5．（2024·吉林·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,PB=PC=26，PA=BC=2AD=2CD=4,E為BC中點，點F在梭PB上（不包括端點）.
(1)證明：平面AEF⊥平面PAD；
(2)若點F為PB的中點，求直線EF到平面PCD的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)455
【分析】（1）由線面垂直的性質(zhì)與勾股定理，結(jié)合三線合一證得AE⊥AD，PA⊥AE，再線面垂直與面面垂直的判定定理即得證.
（2）由線面平行判定定理可證得EF//平面PCD，則點E到平面PCD的距離即為EF到平面PCD的距離.方法一：以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用點到面的距離公式計算即可.方法二：運(yùn)用等體積法VP-EDC=VE-PCD計算即可.
【詳解】（1）證明：連接AC，如圖所示，
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AB,PA⊥AC，
∵PB=PC=26,PA=4,∴AB=AC=22，
∵BC=4,∴AB2+AC2=BC2，即AB⊥AC，
又∵E為BC中點，則AE⊥BC，且AE=EC=2，
∵AD=CD=2,∴四邊形AECD為正方形，∴AE⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD,AE?平面ABCD,∴PA⊥AE，
又∵AD∩PA=A，AD、PA?平面PAD，∴AE⊥平面PAD，
又∵AE?平面AEF,∴平面AEF⊥平面PAD.
（2）∵在△PBC中，E,F分別為BC,PB中點，∴EF∥PC，
又EF?平面PCD,PC?平面PCD，∴EF//平面PCD，
∴點E到平面PCD的距離即為EF到平面PCD的距離，
（方法一）
∵PA⊥AD,PA⊥AE,AE⊥AD，
∴以A為原點，AE,AD,AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，如圖所示，
則E2,0,0,C2,2,0,P0,0,4,D0,2,0，
EC=0,2,0,CP=-2,-2,4,CD=-2,0,0，
設(shè)n=x,y,z是平面PCD的法向量，
∴n?CP=-2x-2y+4z=0n?CD=-2x=0,∴y=2zx=0，
取z=1，則y=2,∴n=0,2,1是平面PCD的一個法向量，
∴點E到平面PCD的距離為d=EC?nn=45=455，
即直線EF到平面PCD的距離為455.
（方法二）
連接ED、PE，如圖所示，
∵△EDC為等腰直角三角形，∴S△EDC=12×2×2=2，
又∵PA⊥平面ECD,∴PA是三棱錐P-EDC的高，
∴ VP-EDC=13S△EDC?PA=13×2×4=83，
∵CD=2,PD=PA2+AD2=16+4=25,PC=26，
∴PD2+CD2=PC2,∴CD⊥PD，
∴S△PCD=12CD?PD=12×2×25=25，
設(shè)E到平面PCD距離為d，則VP-EDC=VE-PCD=13S△PCD?d，
∴13×25d=83,∴d=825=455，
即EF到平面PCD的距離為455.
變式6．（23-24高二下·江蘇連云港·階段練習(xí)）在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架ABCD,ABEF的邊長都是1，且它們所在的平面互相垂直．活動彈子M，N分別在正方形對角線AC和BF上移動，且CM和BN的長度保持相等，記CM=BN=a(0cB．c>b>aC．c>a>bD．b>c>a
【答案】C
【分析】分別求出點M在x軸，y軸，z軸上的投影點的坐標(biāo)，再借助空間兩點間距離公式計算作答.
【詳解】設(shè)點M在x軸上的投影點M1(x,0,0)，則M1M=(2-x,3,1)，而x軸的方向向量n1=(1,0,0)，
由n1⊥M1M得：n1?M1M=2-x=0，解得x=2，則a=|M1M|=32+12=10，
設(shè)點M在y軸上的投影點M2(0,y,0)，則M2M=(2,3-y,1)，
而y軸的方向向量n2=(0,1,0)，
由n2⊥M2M得：n2?M2M=3-y=0，解得y=3，則b=|M2M|=22+12=5，
設(shè)點M在z軸上的投影點M3(0,0,z)，則M3M=(2,3,1-z)，而z軸的方向向量n3=(0,0,1)，
由n3⊥M3M得：n3?M3M=1-z=0，解得z=1，則c=|M3M|=22+32=13，
所以c>a>b.
故選：C
8．（23-24高二下·江西·開學(xué)考試）在正三棱錐P-ABC中，AB=2PA=2，且該三棱錐的各個頂點均在以O(shè)為球心的球面上，設(shè)點O到平面PAB的距離為m，到平面ABC的距離為n，則nm=（ ）
A．3B．233C．3D．33
【答案】D
【分析】根據(jù)AB=2PA=2，得到PA，PB，PC兩兩垂直，從而把該三棱錐補(bǔ)成一個正方體求解.
【詳解】解：在正三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC，又PA=1，AB=2，所以PA2+PB2=AB2，所以PA⊥PB，
同理可得PA⊥PC，PC⊥PB，即PA，PB，PC兩兩垂直，
把該三棱錐補(bǔ)成一個正方體，則三棱錐的外接球就是正方體的外接球，正方體的體對角線就是外接球的直徑，易得m=12，
如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A1,0,0，B0,1,0，C0,0,1，O12,12,12，
所以AB=-1,1,0，AC=-1,0,1，AO=-12,12,12，
設(shè)平面ABC的一個法向量為sx,y,z，
則s?AB=-x+y=0s?AC=-x+z=0，
令x=1，則y=z=1，所以s=1,1,1，
則點O到平面ABC的距離n=s?AOs=36，
所以nm=33．
故選：D．
二、多選題
9．(多選)（22-23高二上·遼寧·期中）如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=2，O為四邊形DCC1D1對角線的交點，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．點O到側(cè)棱的距離相等B．正四棱柱外接球的體積為6π
C．若D1E=14D1D，則A1E⊥平面AOD1D．點B到平面AOD1的距離為23
【答案】BD
【分析】利用正四棱柱的體對角線等于外接球直徑，以及空間位置關(guān)系的向量方法證明和空間距離的向量方法計算方法即可求解.
【詳解】對于A, O到側(cè)棱CC1,DD1的距離等于12CD=12,
O到側(cè)棱AA1,BB1的距離相等且等于BC2+CD22=52,故A錯誤；
對于B，設(shè)正四棱柱外接球的直徑為d，則有d2=AB2+AD2+AA12=6,
即d=6，所以外接球的體積等于43πd23=6π，故B正確；
對于C，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則A(1,0,0),A1(1,0,2),O(0,12,1),D1(0,0,2),
因為D1E=14D1D，所以E(0,0,32),
所以A1E=(-1,0,-12)，AO=(-1,12,1)，AD1=(-1,0,2),
所以A1E?AO=1-12≠0，所以A1E與平面AOD1不垂直，故C錯誤；
對于D,由以上知，設(shè)平面AOD1的法向量為m=(x,y,z)，
則有AO=(-1,12,1)，AD1=(-1,0,2),
AO?m=0AD1?m=0,即-x+12y+z=0-x+2z=0，令x=2則z=1,y=2，
所以m=(2,2,1)，
因為AB=(0,1,0),所以點B到平面AOD1的距離為AB?mm=23，故D正確.
故選:BD.
10．（23-24高二下·甘肅·期中）如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1和BB1的中點，則以D為原點，DA,DC,DD1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．EF//平面ABCD
B．D1E⊥CF
C．a(chǎn)=(1,0,2)是平面EFD1的一個法向量
D．點C到平面EFD1的距離為455
【答案】ACD
【分析】對于A，由線面平行的判定定理證明即可；對于B，由空間向量判斷異面直線垂直即可；對于C，由平面法向量求解即可；對于D，由點到平面的距離公式計算即可.
【詳解】對于A，由于E，F(xiàn)分別是AA1,BB1的中點，
所以EF//AB,AB?平面ABCD,EF?平面ABCD，
所以EF//平面ABCD，故A正確；
對于B，C(0,2,0),D1(0,0,2),E(2,0,1),F(2,2,1)，
故D1E=2,0,-1，CF=(2,0,1),D1E?CF=4+0-1≠0，
故D1E與CF不垂直，進(jìn)而可得D1E與CF不垂直，故B錯誤；
對于C，由C(0,2,0),D1(0,0,2),E(2,0,1),F(2,2,1)，所以D1E=(2,0,-1),D1F=(2,2,-1)，
設(shè)平面D1EF的法向量為n=(x,y,z)，則n?D1E=2x-z=0n?D1F=2x+2y-z=0，
令x=1，則y=0,z=2，所以平面D1EF的一個法向量n=(1,0,2)，故C正確；
對于D，CD1=(0,-2,2)，點C到平面D1EF的距離為CD1?n|n|=45=455，故D正確.
故選：ACD．
11．（24-25高二上·江蘇·假期作業(yè)）如圖所示的空間幾何體是由高度相等的半個圓柱和直三棱柱ABF-DCE組合而成，AB⊥AF，AB=AD=AF=4，G是CD上的動點．則（ ）
A．平面ADG⊥平面BCG
B．G為CD的中點時，BF//DG
C．存在點G，使得直線EF與AG的距離為25
D．存在點G，使得直線CF與平面BCG所成的角為60°
【答案】AB
【分析】選項A，由DG⊥CG，AD⊥CG，可得CG⊥平面ADG，再由面面垂直的判定定理可作出判斷；選項B，取AB的中點H，連接AH，GH，可證DG//AH，AH//BF，從而作出判斷；選項C，先證EF//平面ADG，從而將原問題轉(zhuǎn)化為求點F到平面ADG的距離，再以A為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求點到面的距離，即可作出判斷；選項D，利用向量法求線面角，即可得解．
【詳解】對于選項AA，由題意知，DG⊥CG，AD⊥平面CDG，
因為CG?平面CDG，所以AD⊥CG，
又DG∩AD=D，DG、AD?平面ADG，
所以CG⊥平面ADG，
因為CG?平面BCG，所以平面ADG⊥平面BCG，即選項A正確；
對于選項B，當(dāng)G為CD的中點時，取AB的中點H，連接AH，GH，
則AD//GH，AD=GH，所以四邊形ADGH是平行四邊形，
所以DG//AH，
因為△ABF和△ABH都是等腰直角三角形，所以∠ABF=∠HAB=45°，
所以AH//BF，所以BF//DG，即選項B正確；
對于選項C，因為EF//AD，且EF?平面ADG，AD?平面ADG，
所以EF//平面ADG，
所以直線EF與AG的距離等價于直線EF到平面ADG的距離，
也等價于點F到平面ADG的距離，
以A為坐標(biāo)原點，AF，AB，AD所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則F4,0,0，A0,0,0，D0,0,4，
設(shè)點G-m,n,4，其中0

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