高中數(shù)學(xué)第一章　空間向量與立體幾何1.2 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用1.2.5 空間中的距離完美版ppt課件

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課后素養(yǎng)落實(shí)(八)　空間中的距離(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長(zhǎng)都是2，E，F分別是AB，A1C1的中點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)是(　　)A．2　　　B．　　　　C．　　　　D．C　[取AC的中點(diǎn)O，以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則E，F(0，0，2)，所以＝，EF＝||＝＝．]2．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)E是A1B1的中點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線BE的距離是(　　)A．　　　B．　　C．　　　D．B　[建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則＝(0，2，0)，＝(0，1，2)．∴cos θ＝＝＝．∴sin θ＝＝．故點(diǎn)A到直線BE的距離d＝||sin θ＝2×＝．故答案為B．]3．如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，點(diǎn)E是棱AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到平面ACD1的距離為(　　)A．1 B．C． D．B　[建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，A(2，0，0)，D1(0，0，2)，C(0，4，0)，E(2，2，0)，則＝(－2，0，2)，＝(0，－4，2)，＝(－2，－2，2)．設(shè)平面ACD1的法向量為n＝(x，y，z)，則∴令y＝1，則z＝2，x＝2，∴n＝(2，1，2)，∴d＝＝＝．]4．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，則平面AB1D1與平面BDC1的距離為(　　)A．a　　B．a　　　C．a　　　D．aD　[由正方體的性質(zhì)，易得平面AB1D1∥平面BDC1， 則兩平面間的距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)B到平面AB1D1的距離．以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(a，0，0)，B(a，a，0)，A1(a，0，a)，C(0，a，0)，＝(a，－a，a)，＝(0，－a，0)，連接A1C，由A1C⊥平面AB1D1，得平面AB1D1的一個(gè)法向量為n＝(1，－1，1)，則兩平面間的距離d＝＝＝a．]5．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，點(diǎn)E，F分別在A1B，B1D1上，且A1E＝A1B，B1F＝B1D1，則EF與平面ABC1D1的距離為(　　)A．a　　　B．a　　C．a　　　D．aB　[如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系Bxyz，易得E，F，故＝，＝(a，0，0)，＝(0，a，a)．設(shè)n＝(x，y，z)是平面ABC1D1的一個(gè)法向量，由?令z＝1，得n＝(0，－1，1)．∵·n＝·(0，－1，1)＝0，∴⊥n，故EF∥平面ABC1D1．又＝，∴·n＝·(0，－1，1)＝a，∴d＝＝a．]二、填空題6．已知平行六面體ABCD -A1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱的棱長(zhǎng)都等于2，且兩兩夾角都是60°，則A，C1兩點(diǎn)間的距離是________．2　[設(shè)＝a，＝b，＝c，易得＝a＋b＋c，則||2＝·＝(a＋b＋c)·(a＋b＋c)＝a2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＋b2＋c2＝4＋4＋4＋4＋4＋4＝24，所以||＝2．]7．已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-EFGH，若點(diǎn)P在正方體內(nèi)部且滿足＝＋＋，則點(diǎn)P到AB的距離為________．　[建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則＝(1，0，0)＋(0，1，0)＋(0，0，1)＝．＝(1，0，0)，·＝，所以P點(diǎn)到AB的距離為d＝＝＝．]8．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱長(zhǎng)均為1，且AA1⊥底面ABC，則點(diǎn)B1到平面ABC1的距離為________．　[建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A，B(0，1，0)，B1(0，1，1)，C1(0，0，1)，則＝，＝(0，1，0)，＝(0，1，－1)．設(shè)平面ABC1的一個(gè)法向量為n＝(x，y，1)，則有解得n＝，則所求距離為＝＝．]三、解答題9．在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝AD＝1，E，F分別是A1D1，BC的中點(diǎn)，P是BD上一點(diǎn)，PF∥平面EC1D．(1)求BP的長(zhǎng)；(2)求點(diǎn)P到平面EC1D的距離．[解]　(1)以A1為原點(diǎn)，A1B1，A1D1，A1A所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，B(1，0，1)，D(0，2，1)，F(1，1，1)，E(0，1，0)，C1(1，2，0)，設(shè)P(a，b，1)，＝λ，λ∈[0，1]，＝(0，1，1)，＝(1，1，0)，＝(－1，2，0)，則＝(a－1，b，0)＝(－λ，2λ，0)，∴P(1－λ，2λ，1)，＝(λ，1－2λ，0)，設(shè)平面DEC1的法向量n＝(x，y，z)，則取x＝1，得n＝(1，－1，1)，∵PF∥平面EC1D，∴·n＝λ－1＋2λ＝0，解得λ＝，∴P，∴BP的長(zhǎng)||＝＝．(2)由(1)得平面DEC1的法向量n＝(1，－1，1)，＝，∴點(diǎn)P到平面EC1D的距離d＝＝＝．10．如圖，在三棱錐P-ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O為AC的中點(diǎn)．(1)證明：PO⊥平面ABC；(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且MC＝2MB，求點(diǎn)C到平面POM的距離．[解]　(1)因?yàn)?/span>AP＝CP＝AC＝4，O為AC的中點(diǎn)，所以OP⊥AC，且OP＝2．連接OB，如圖．因?yàn)?/span>AB＝BC＝AC，所以△ABC為等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝AC＝2．由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC，OB∩AC＝O，知PO⊥平面ABC．(2)如圖所示，以O為原點(diǎn)，直線OB為x軸，直線OC為y軸，直線OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?/span>MC＝2MB，所以M點(diǎn)坐標(biāo)為，C(0，2，0)，P(0，0，2)，O(0，0，0)，＝(0，0，2)，＝，設(shè)平面POM的法向量為m＝(x，y，z)，則即令x＝1，則可得平面POM的一個(gè)法向量為m＝(1，－2，0)．又＝(0，2，0)，所以點(diǎn)C到平面POM的距離d＝＝．1．設(shè)ABC-A′B′C′是正三棱柱，底面邊長(zhǎng)和高都是1，P是側(cè)面ABB′A′的中心點(diǎn)，則P到側(cè)面ACC′A′的對(duì)角線的距離是(　　)A． B．C． D．C　[法一：如圖，連接A′B，在△A′BC中，過(guò)P作PH⊥A′C，垂足為H．A′B＝，A′C＝，BC＝1，則由余弦定理知cos∠BA′C＝，從而sin∠BA′C＝，∴PH＝A′P·sin∠BA′C＝×＝．即P到側(cè)面ACC′A′的對(duì)角線的距離是．法二：如圖，連接AB′，以A′為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的方向分別為x軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由題意知A′(0，0，0)，A(0，0，1)，B′，C(1，0，1)，＝(1，0，1)．∵P是側(cè)面ABB′A′的中心點(diǎn)，即AB′的中點(diǎn)，∴P，則有＝．故在上的投影的大小為＝，∴P到側(cè)面ACC′A′的對(duì)角線的距離d＝＝．]2．如圖所示，在正四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在線段C1D，AC上，則線段PQ長(zhǎng)度的最小值是(　　)A． B．C． D．C　[建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，C1(0，1，2)．根據(jù)題意，可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，λ，2λ)，λ∈[0，1]，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1－μ，μ，0)，μ∈[0，1]，則PQ＝＝＝，當(dāng)且僅當(dāng)λ＝，μ＝時(shí)，線段PQ的長(zhǎng)度取得最小值．]3．如圖所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面為直角梯形，AB∥CD，且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中點(diǎn)，則A1B1到平面ABE的距離為________，二面角A-BE-C的余弦值為________．　　[如圖，以D為原點(diǎn)，，，分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A1(1，0，2)，A(1，0，0)，E(0，，1)，過(guò)C作AB的垂線交AB于F，易得BF＝，∴B(1，2，0)，∴＝(0，2，0)，＝(－1，－，1)．設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，則得∴y＝0，x＝z，不妨取n＝(1，0，1)．∵＝(0，0，2)，∴A1B1到平面ABE的距離d＝＝＝．又B1(1，2，2)，∴＝(0，0，2)，＝(1，，0)．設(shè)平面BCE的一個(gè)法向量為n＝(x′，y′，z′)，易得x′＝－y′，z′＝0，取n′＝(，－1，0)，n′與n所成的角為θ，則cos θ＝＝＝．]4．設(shè)棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)M在棱C1C上滑動(dòng)，則點(diǎn)B1到平面BMD1的距離的最大值是________．a　[如圖所示，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則D1(0，0，a)，B(a，a，0)，B1(a，a，a)，設(shè)M(0，a，b)(0≤b≤a)，則＝(0，0，a)，＝(－a，0，b)，＝(－a，－a，a)，設(shè)平面BMD1的法向量為n＝(x，y，z)，則即令x＝b，得平面BMD1的一個(gè)法向量為n＝(b，a－b，a)，∴點(diǎn)B1到平面BMD1的距離為d＝＝＝，當(dāng)b＝a時(shí)，d取最大值，即dmax＝a．]已知PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，PA＝AD＝2，點(diǎn)E，F分別為PA，PD的中點(diǎn)．問(wèn)在CD上是否存在一點(diǎn)Q，使得點(diǎn)A到平面EFQ的距離恰為？若存在，求出CQ的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．[解]　以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C(2，2，0)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，從而＝(0，1，0)，＝(0，0，－1)．假設(shè)在CD上存在一點(diǎn)Q滿足條件，設(shè)點(diǎn)Q(x0，2，0)，其中0≤x0≤2，則＝(x0，2，－1)，設(shè)平面EFQ的法向量為n＝(x，y，z)，則即取x＝1，得平面EFQ的一個(gè)法向量為n＝(1，0，x0)，所以點(diǎn)A到平面EFQ的距離為＝＝，解得x0＝，所以點(diǎn)Q，所以＝，則||＝．所以在CD上存在一點(diǎn)Q滿足條件，且CQ的長(zhǎng)為．