人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊1.2.5 空間中的距離優(yōu)秀課件ppt

這是一份人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊1.2.5 空間中的距離優(yōu)秀課件ppt，文件包含人教B版高中數學選擇性必修第一冊125《空間中的距離》課件pptx、人教B版高中數學選擇性必修第一冊125《空間中的距離》教學設計docx等2份課件配套教學資源，其中PPT共38頁， 歡迎下載使用。
1.2.5 空間中的距離        本節(jié)課選自《2019人教B版高中數學選擇性必修第一冊》第一章《空間向量與立體幾何》，本節(jié)主要學習空間中的距離。學生在學習了平面中距離概念的基礎上，提出空間距離的問題，在解決空間距離的問題中，依然按照將空間問題化為平面問題、將立體幾何問題化為空間向量運算問題的基本思路展開。為培養(yǎng)學生直觀想象、數學抽象、邏輯推理、數學建模和數學運算的核心素養(yǎng)提供舞臺。課程目標學科素養(yǎng)A.理解圖形與圖形之間的距離的概念.B.理解并掌握兩點之間、點到直線、點到平面、相互平行的直線與平面、相互平行的平面與平面之間的距離的概念及它們之間的相互轉化,會用法向量求距離.1.數學抽象：空間距離的概念2.邏輯推理：空間距離的算法3.直觀想象：空間距離模型 4.數學運算：運用空間向量計算空間距離  1.教學重點：理解空間中距離的概念2.教學難點：掌握空間距離的計算方法 多媒體教學過程教學設計意圖核心素養(yǎng)目標一、情境導學     “距離”在生活中隨處可見，例如，我們常說某兩地之間的距離是多少，汽車的剎車距離是多少，等等。數學中的“距離” 的概念是從生活中的具體問題中抽象出來的，要求具有準確的定義，以避免歧義，到目前為止，你學過哪些平面內的“距離” ，這些“距離”的定義有什么共同點？由此你能得到空間中任意兩個圖形之間的距離具有什么性質嗎？ 空間中兩點之間的距離指的人是這兩個點連線的線段長。1.空間中兩點之間的距離:設A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)為空間中任意兩點,則d=||= 1.若已知點A(1,1,1),B(-3,-3,-3),則線段AB的長為(　　)A.4　　B.2　　C.4　　D.3解析:|AB|==4.答案:A 2.點到直線的距離n0是直線l的單位方向向量,A∈l,則點P到直線l的距離d=.2.判斷直線l外一點A到直線l的距離就是在直線l上任取一點B,點A與點B之間線段的長度.(　　)答案:×3.點到平面的距離   一般地,若A是平面α外一點,B是平面α內一點,n是平面α的一個法向量,則點A到平面α的距離d=.3.判斷平面α外一點A到平面α的距離,就是點A與平面內一點B所成向量的長度.(　　)答案:×4.已知平面α的一個法向量n=(-2,-2,1),點A(-1,3,0)在α內,則P(-2,1,4)到α的距離為(　　)A.10　　　B.3　　　C.　　　D.解析: =(-1,-2,4),d=. 答案:D  (1)如果直線l與平面α平行,n是平面α的一個法向量,A,B分別是l上和α內的點,則直線l與平面α之間的距離為(2)如果平面α與平面β平行,n是平面β的一個法向量(當然也是平面α的一個法向量),A和B分別是平面α與平面β內的點,則平面α與平面β之間的距離為d=.4.相互平行的直線與平面之間、相互平行的平面與平面之間的距離d=.點睛： 解決立體幾何問題的三種方法1.綜合方法:以邏輯推理作為工具解決問題.2.向量方法:利用向量的概念及其運算解決問題.3.坐標方法:建立直角坐標系,利用坐標表示幾何對象或向量,通過運算解決幾何問題.5.判斷(1)直線l∥平面α,則直線l到平面α的距離就是直線l上的點到平面α的距離.(　　)(2)若平面α∥平面β,則兩平面α,β的距離可轉化為平面α內某條直線到平面β的距離,也可轉化為平面α內某點到平面β的距離.(　　)答案:(1)√　(2)√6.已知平面α∥平面β,直線l?α,α與β之間的距離為d,有下列四個命題:①β內有且僅有一條直線與l的距離為d;②β 內所有的直線與l的距離都等于d;③β內有無數條直線與l的距離為d;④β內所有直線與α的距離都等于d.其中真命題是(　　)　　　　　　　　　　A.① B.② C.①④ D.③④解析:在直線l上任取一點O,過O作OA⊥β于A,在平面β內,與l不平行的所有直線與l距離都是d,否則不一定是d,所以①②錯誤,故選D.   答案:D二、典例解析例1 已知在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,沿對角線AC折疊,使平面ABC與平面ADC垂直,求點B,D之間的距離.分析：本題既可利用向量模求解,也可建立坐標系利用距離公式求解.解法一過點D和點B分別作DE⊥AC于點E,BF⊥AC于點F,則由已知條件可知AC=5,∴DE=,BF=.∵AE==CF,∴EF=5-2×.∵,∴||2=()2=+2+2+2.∵平面ADC⊥平面ABC,DE⊥AC,∴DE⊥平面ABC,∴DE⊥BF,即,故B,D間距離是.解法二 過點D作DE⊥AC于點E,過點B作BF⊥AC于點F,過點E作FB的平行線EP,以E為坐標原點,EP,EC,ED所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,如圖.由解法一知DE=FB=,EF=,∴D,B,∴,∴||=.故B,D間距離是.延伸探究 若將例1中條件“使平面ABC與平面ADC垂直”變?yōu)?/span>“使平面ABC與平面ADC重疊”,則結論又如何?解:當改變條件后,就變?yōu)榱似矫鎺缀螁栴},如圖所示,BD=EF,又由例1中結論可知BD=AC-2AE=用向量法求兩點間距離的方法主要是坐標法和基向量法,設A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則dAB=||=,或利用|a|=求解.跟蹤訓練1如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都是2,E,F分別是AB,A1C1的中點,則EF的長是(　　)A.2 B. C. D.解析:方法一:建立如圖所示直角坐標系,則E,F(0,0,2).則,||=.方法二:設AC中點為G,連接GE,GF,在Rt△FGE中,|EF|2=|FG|2+|GE|2=4+1=5,∴EF=.答案:C 例2  如圖,在空間直角坐標系中,有長方體ABCD-A'B'C'D',AB=1,BC=2,AA'=3,求點B到直線A'C的距離. 解:因為AB=1,BC=2,AA'=3,所以A'(0,0,3),C(1,2,0),B(1,0,0).所以直線A'C的方向向量=(1,2,-3).又=(0,2,0),所以上的投影長為.所以點B到直線A'C的距離d=.      求點到直線的距離在特定的幾何結構中還可以直接根據定義用平面幾何知識解決或用體積法解決,但這兩類解法技巧性強.用向量法就避免了這一構造技巧,但要注意在選取方向向量時要用上幾何體中的已知點,然后用向量計算公式解決. 跟蹤訓練2 已知正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為2,E,F分別是C1C,D1A1的中點,求點A到EF的距離.解:以D點為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系如圖所示,則A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2),則=(1,-2,1),=(1,0,-2).||=,||=,=1×1+0×(-2)+(-2)×1=-1,上的投影為.所以點A到EF的距離d=.例3如圖,已知正方形ABCD的邊長為1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分別為AB,BC的中點.(1)求點D到平面PEF的距離;(2)求直線AC到平面PEF的距離.解:(1)建立如圖所示的空間直角坐標系,則D(0,0,0),P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E1,,0,F,1,0.=1,,0,=,1,0,=(0,0,1).設DH⊥平面PEF,垂足為H,則=x+y+z=x+y,x+y,z,(x+y+z=1)=1,,-1,=,1,-1,所以=x+y+x+y-z=x+y-z=0.同理,=x+y-z=0,又x+y+z=1,所以解得x=y=,z=.所以(2,2,3),所以||=.因此,點D到平面PEF的距離為.(2)連接AC,則AC∥EF,直線AC到平面PEF的距離即為點A到平面PEF的距離,平面PEF的一個法向量為n=(2,2,3),=0,,0,所求距離為.反思： 用向量法求點到面的距離關鍵還是建系,其次是法向量的求解.本例中還要注意P,E,F,H共面這一條件,因此有x+y+z=1這一隱含條件.跟蹤訓練3如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2,D為CC1的中點.(1)求證:AB1⊥A1D;(2)求點C到平面A1BD的距離. (1)證明:如圖,取BC的中點O,連接AO.∵△ABC為等邊三角形,∴AO⊥BC.∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,∴AO⊥平面BCC1B1.取B1C1的中點O1,以O為原點,的方向為x軸,y軸,z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系,則B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,),A(0,0,),B1(1,2,0),∴=(1,2,-),=(-1,-1,-).∵=-1-2+3=0,∴,∴AB1⊥A1D. (2)解:設平面A1BD的法向量n=(x,y,z).=(-1,-1,-),=(-2,1,0).∴∴令x=1,得n=(1,2,-).∵C(-1,0,0),∴=(-2,0,0),∴點C到平面A1BD的距離d=.金題典例 已知邊長為4的正三角形ABC,E,F分別為BC和AC的中點.PA=2,且PA⊥平面ABC,設Q是CE的中點.(1)求證:AE∥平面PFQ;(2)求AE與平面PFQ間的距離.(1)證明:如圖所示,以A為坐標原點,平面ABC內垂直于AC邊的直線為x軸,AC所在直線為y軸,AP所在直線為z軸建立空間直角坐標系.∵AP=2,AB=BC=AC=4,又E,F分別是BC,AC的中點,∴A(0,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),F(0,2,0),E(,3,0),Q,0,P(0,0,2).∵,0),=(,3,0),∴=2.∵無交點,∴AE∥FQ.又FQ?平面PFQ,AE?平面PFQ,∴AE∥平面PFQ. (2)解:由(1)知,AE∥平面PFQ,∴點A到平面PFQ的距離就是AE與平面PFQ間的距離.設平面PFQ的法向量為n=(x,y,z),則n⊥,n⊥,即n·=0,n·=0.又=(0,2,-2),∴n·=2y-2z=0,即y=z.又=,0,∴n·x+y=0,即x=-y.令y=1,則x=-,z=1,平面PFQ的一個法向量為n=(-,1,1).又=-,-,0,所求距離d=.1.本題(1)通過向量運算證明線面平行,(2)中利用線面距轉化為點面距,選擇向量運算來解.合理選擇運算方法,設計運算程序,有利于提升學生的數學運算素養(yǎng).2.此類問題綜合體現(xiàn)了用向量解決距離問題的便捷性.雖然有些計算較復雜,但思路很簡捷,省去了很多輔助線的構造.   通過來自生活的問題情境，幫助學生回顧距離的概念，并引出空間距離問題。提升學生數學抽象，邏輯推理和數學建模的核心素養(yǎng)。                             通過空間點與點、點線、點面、平行線及面與面的距離概念的建立，讓學生感受，各種距離間的關系，掌握用空間向量計算距離問題。。發(fā)展學生邏輯推理，數學抽象和數學運算的核心素養(yǎng)。                                                 通過典例解析想，讓學生掌握空間距離的算法，體會空間向量在計算距離問題中的基本步驟，感受用代數方法解問題決立體幾何問題。發(fā)展學生邏輯推理，數學抽象和數學運算的核心素養(yǎng)。                                                     通過典型例題的分析和解決，讓學生感受空間向量坐標運算在解決空間幾何中的應用。發(fā)展學生數學抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。                      三、達標檢測1.若O為坐標原點,=(1,1,-2),=(3,2,8),=(0,1,0),則線段AB的中點P到點C的距離為(　　)A. B.2 C. D.解析:由題意得)=2,,3,=-2,-,-3,則||=.故選D.答案:D 2.若三棱錐P-ABC的三條側棱兩兩垂直,且滿足PA=PB=PC=1,則點P到平面ABC的距離是(　　)A. B. C. D.解析:分別以PA,PB,PC所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,則A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),=(1,0,0).可以求得平面ABC的一個法向量為n=(1,1,1),則d=.答案:D 3.已知直線l經過點A(2,3,1),且向量n=(1,0,-1)所在直線與l垂直,則點P(4,3,2)到l的距離為　　　　. 解析:因為=(-2,0,-1),又n與l垂直,所以點P到l的距離為.答案:4.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E,F,G分別是C1C,D1A1,AB的中點,則點A到平面EFG的距離為　　　　. 解析:建系如圖,則A(2,0,0), E(0,2,1),F(1,0,2),G(2,1,0),所以=(0,1,0),=(-2,1,1),=(-1,-1,2).設n=(x,y,z)是平面EFG的法向量,點A到平面EFG的距離為d,則所以所以令z=1,此時n=(1,1,1),所以d=,即點A到平面EFG的距離為.    答案: 通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數學運算、邏輯推理、數學建模的核心素養(yǎng)。    四、小結五、課時練 通過總結，讓學生進一步鞏固本節(jié)所學內容，提高概括能力。 教學中主要突出了幾個方面：一是類比平面中距離的概念，幫助學生建立空間距離的概念，。發(fā)展學生的數學建模思想和邏輯推理能力。二是掌握空間距離的算法，通過對典型問題的分析解決，幫助學生建立運用空間向量解決立體幾何問題的基本思路。教學設計盡量做到注意學生的心理特點和認知規(guī)律，觸發(fā)學生的思維，使教學過程真正成為學生的學習過程，以思維教學代替單純的記憶教學。注意在探究問題時留給學生充分的時間， 使數學教學成為數學活動的教學。從而發(fā)展學生的直觀想象、邏輯推理、數學建模的核心素養(yǎng)。