直角三角形中某個(gè)銳角的正切值；了解坡度的有關(guān)概念．
理解正切、傾斜程度、坡度的數(shù)學(xué)意義，密切數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系．
理解正切的意義，并用它來表示兩邊的比．
思考：衡量山“險(xiǎn)”與“不險(xiǎn)”的標(biāo)準(zhǔn)是什么呢？
問題1：你能比較兩個(gè)梯子哪個(gè)更陡嗎？你有哪些辦法？
問題2：如圖，梯子AB和EF哪個(gè)更陡？你是怎樣判斷的？
問題3：如圖，梯子AB和EF哪個(gè)更陡？你是怎樣判斷的？
問題4：如圖，梯子AB和EF哪個(gè)更陡？你是怎樣判斷的？
1．探究：(1)Rt△AB1C1和RtAB2C2有什么關(guān)系？
Rt△AB1C1∽R(shí)t△AB2C2；
在Rt△ABC中,如果銳角A確定，那么∠A的對(duì)邊與鄰邊的比便隨之確定，這個(gè)比叫做∠A的正切,記作tanA,即
4.tanA不表示“tan”乘以“A ”.
1.初中階段，正切是在直角三角形中定義的， ∠A是一個(gè)銳角.
2.tanA是一個(gè)完整的符號(hào)，它表示∠A的正切.但∠BAC的正切表示為:tan∠BAC.∠1的正切表示為:tan∠1.
5.tanA的大小只與∠A的大小有關(guān)，而與直角三角形的邊長無關(guān).
銳角A的正切值可以等于1嗎？為什么？可以大于1嗎？
對(duì)于銳角A的每一個(gè)確定的值，tanA都有唯一的確定的值與它對(duì)應(yīng).
解：可以等于1，此時(shí)為等腰直角三角形；也可以大于1，甚至可逼近于無窮大.
如圖，△ABC是等腰直角三角形，你能根據(jù)圖中所給數(shù)據(jù)求出tanC嗎？
解：∵△ABC是等腰直角三角形，BD⊥AC，
下圖表示兩個(gè)自動(dòng)扶梯,哪一個(gè)自動(dòng)扶梯比較陡?
∵tanβ＞tanα,∴乙梯更陡.
提示:在生活中,常用一個(gè)銳角的正切表示梯子的傾斜程度.
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，BC=5，則tan A=_____，tanB =______．
2.下圖中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足為D.指出∠A和∠B的對(duì)邊、鄰邊.
互余兩銳角的正切值互為倒數(shù).
4.如圖,在Rt△ABC中,銳角A的對(duì)邊和鄰邊同時(shí)擴(kuò)大100倍,tanA的值（ ）A.擴(kuò)大100倍 B.縮小100倍 C.不變 D.不能確定
3.已知∠A,∠B為銳角，(1)若∠A=∠B,則tanA tanB; (2)若tanA=tanB,則∠A ∠B.
正切通常也用來描述山坡的坡度.
坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.
坡角：坡面與水平面的夾角α稱為坡角；坡度（坡比）：坡面的高度h和水平長度l的比稱 為坡度i(或坡比),即坡度等于坡角的正切.
歸納：坡度越大，坡角越大，坡面就越陡．
若某人沿坡度i＝3∶4的斜坡前進(jìn)10米，則他所在的位置比原來的位置升高了_____米．
設(shè)AC＝3x，BC＝4x，
由勾股定理求得x＝2，
∴AC＝6，即升高6米．
如圖所示，梯形護(hù)坡石壩的斜坡AB的坡度i＝1∶3，壩高BC＝2米，則斜坡AB的長是(　　)
解析：∵∠ACB＝90°，i＝1∶3，
∴AC＝3BC＝3×2＝6(米)．
【方法總結(jié)】理解坡度的概念是解決與坡度有關(guān)的計(jì)算題的關(guān)鍵．
已知直線l1∥l2∥l3∥l4，相鄰兩條平行線間的距離均為h，距形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在這四條直線上，放置方式如圖所示，AB＝4，BC＝6，則tanα的值為(　　)
解：過A作AE⊥l4于E，過C作CF⊥l4于F，
∵∠ABE＋∠α＝∠α＋∠BCF＝90°，
∴∠ABE＝∠BCF，
1．如圖，P是∠α的邊OA上一點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(12，5)，則tanα等于( 　)
3．已知如圖③：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∠ACD＝α，AC＝1，BC＝3，則tanα＝_____．
4. 在等腰△ABC中, AB=AC=13, BC=10,求tanB.
提示:過點(diǎn)A作AD垂直于BC于點(diǎn)D.求銳角三角函數(shù)時(shí),勾股定理的運(yùn)用是很重要的.
∵BD=5，AD=12.
解：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，
∴（3k）2+（4k）2=152
6. 如圖,正方形ABCD的邊長為4,點(diǎn)M在BC上,M、N兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)角線AC對(duì)稱, 若DM=1，求tan∠ADN的值.
解：由正方形的性質(zhì)可知，
∴ DM=1BN=DM=1.
∠ADN=∠DNC，BC=DC=4，
∵ M、N兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)角線AC對(duì)稱,
7. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，P(x,y)是第一象限內(nèi)直線y=-x+6上的點(diǎn), 點(diǎn)A(5,0)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，△PAO的面積為S.（1）求S與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)S=10時(shí),求tan∠PAO 的值.
解：(1)過點(diǎn)P作PM⊥OA于點(diǎn)M，
又∵點(diǎn)P在直線y=-x+6上，
∴AM=OA-OM=5-2=3.
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，P(x,y)是第一象限內(nèi)直線y=-x+6上的點(diǎn), 點(diǎn)A(5,0)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，△PAO的面積為S.（2）當(dāng)S=10時(shí),求tan∠PAO 的值.

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23.1 銳角的三角函數(shù)

版本： 滬科版（2024）

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