我們已經學習的相似三角形的性質有哪些？
相似三角形對應角相等；
相似三角形對應邊成比例；
相似三角形對應邊上的高線之比、對應邊上中線之比、 對應角平分線之比等于相似比；
相似三角形的周長之比等于相似比；
相似三角形的面積之比等于相似比的平方．
相似三角形性質的應用舉例
解：如圖，矩形PQRS為加工后矩形零件，邊SR在邊BC上，頂點P，Q分別在邊AB，AC上，△ABC的高AD交PQ于點E，設PS為xcm，則PQ＝2xcm.
答：這個矩形零件的邊長分別是48cm和24cm.
∴∠APQ＝∠ABC，∠AQP＝∠ACB，
∴△APQ∽△ABC，
解方程，得：x＝24，2x＝48.
如圖，△ABC是一塊銳角三角形材料，邊BC＝120毫米，高AD＝80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，這個正方形零件的邊長是多少？
解：設正方形PQMN是符合要求的．△ABC的高AD與PN相交于點E.設正方形PQMN的邊長為x毫米．
答：這個正方形零件的邊長是48毫米．
∴△APN∽△ABC，
解：根據題意，可知EG∥AB.
∴∠GEC=∠B,∠EGC=∠A.
∴△GEC∽△ABC
解：∵ DE∥BC，D 為 AB 中點，
∴ △ADE ∽ △ABC ，
相似比為 1 : 2，
面積比為 1 : 4.
∴ △EFC ∽ △ABC ，相似比為 1 : 2，面積比為 1 : 4.
設 S△ABC = 4，則 S△ADE = 1，S△EFC = 1，
S四邊形BFED = S△ABC－S△ADE－S△EFC = 4－1－1 = 2，
△ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，已知 △ADE 和△EFC 的面積分別為 4 和 9，求 △ABC 的面積.
解：∵ DE∥BC，EF∥AB，
∴ S△ADE : S△ABC = 4 : 25，∴ S△ABC = 25.
∴ △ADE ∽△ABC，∠ADE =∠EFC，∠A =∠CEF，
∴△ADE ∽△EFC.
又∵S△ADE : S△EFC = 4 : 9，
∴ AE : EC=2:3，則 AE : AC =2 : 5，
2．如圖、電燈P在橫桿AB的正上方，AB在燈光下的影子為CD，AB∥CD，AB=2m，CD=4m，點P到CD的距離是3m，則P到AB的距離是 m.
4．某社區(qū)擬籌資金2000元，計劃在一塊上、下底分別是10米、20米的梯形空地上種植花木(如圖所示)，他們想在△AMD和△BMC地帶種植單價為10元/平方米的太陽花，當△AMD地帶種滿花后，已經花了500元，請你預算一下，若繼續(xù)在△BMC地帶種植同樣的太陽花，資金是否夠用？并說明理由．
∴△AMD∽△CMB.
∵AD＝10，BC＝20，
∵S△AMD＝500÷10＝50(平方米)，
∴S△CMB＝200(平方米)．
因此還需要資金200×10＝2000(元)．
而剩余資金為2000－500＝1500(元)＜2000元．
5．如圖，AD是ΔABC的高，點P，Q在BC邊上，點R在AC邊上，點S在AB邊上，BC=5cm，AD=10cm，若矩形PQRS的長是寬的2倍，你能求出這個矩形的面積嗎？
解：情況一：SR=2SP
設SP=xcm，則SR=2x cm
所以 x=2 2x=4
S矩形PQRS= 2×4=8cm2
解：情況二：SP=2SR
設SR=xcm，則SP=2x cm
S矩形PQRS=2.5×5=12.5cm2
所以 x=2.5 2x=5
6．如圖，這是圓桌正上方的燈泡 (點A) 發(fā)出的光線照射桌面形成陰影的示意圖，已知桌面的直徑為 1.2米，桌面距離地面為 1 米，若燈泡距離地面 3 米，則地面上陰影部分的面積約為多少 (結果保留兩位小數)？
解：∵ FH = 1 米，AH = 3 米，桌面的直徑為 1.2 米，
∴ AF = AH－FH = 2 (米)，DF = 1.2÷2 = 0.6 (米).
∴△ADF ∽△ACH，
解得 CH = 0.9米.
答：地面上陰影部分的面積為 2.54 平方米.
∴ 陰影部分的面積為：
πCH2= π ×0.92≈2.54(平方米).

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22.3 相似三角形的性質

版本： 滬科版（2024）

年級： 九年級上冊

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