1.什么叫相似三角形？相似比指的是什么？2.全等三角形是相似三角形嗎？全等三角形的相似比是多少？3.相似三角形的判定方法有哪些？
對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形叫相似三角形，對應(yīng)邊的比也叫相似比.
全等三角形是相似三角形，其相似比為1.
如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為 k，它們對應(yīng)高的比各是多少？
解：如圖，分別作出 △ABC 和△A' B' C' 的高 AD 和 A' D' ．
則∠ADB＝∠A' D' B'＝90°.
∴△ABD ∽△A' B' D' .
結(jié)論：相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比．
圖中△ABC和△A′B′C′相似，AD、A′D′分別為對應(yīng)邊上的中線，BE、B′E′分別為對應(yīng)角的角平分線，那么它們之間有什么關(guān)系呢？
結(jié)論：相似三角形對應(yīng)的中線的比也等于相似比．
證明：∵ △ABC∽△A′B′C′，
又AD，A′D′分別為對應(yīng)邊的中線，
∴ △ABD∽△A′B′D′.
結(jié)論：相似三角形對應(yīng)的角平分線的比也等于相似比．
證明：∵ △ABC∽△A′B′C′.
∴ ∠ABC＝∠A′B′C′，∠BAC＝∠B′A′C′.
又BE，B′E′分別為對應(yīng)角的平方線.
∴ △ABE∽△A′B′E′.
∴ ∠ABE＝∠A′B′E′.
相似三角形性質(zhì)定理1相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.
圖中①②③分別是邊長為1，2，3的等邊三角形,它們都相似嗎？
①與②的相似比＝______，①與②的周長比＝______；①與③的相似比＝______，①與③的周長比＝______.
相似三角形性質(zhì)定理2和定理3
結(jié)論： 相似三角形的周長比等于相似比．
證明：設(shè)△ABC∽△A1B1C1，相似比為k，
求證：相似三角形的周長比等于相似比.
思考：怎么證明這一結(jié)論呢？
相似三角形性質(zhì)定理2相似三角形周長的比等于相似比.
①與②的相似比＝______，①與②的面積比＝______；①與③的相似比＝______，①與③的面積比＝______.
圖中①②③分別是邊長為1、2、3的等邊三角形，回答以下問題：
結(jié)論： 相似三角形的面積比等于相似比的平方．
求證：相似三角形的面積比等于相似比的平方.
證明：設(shè)△ABC∽△A′B′C′，相似比為k,
如圖，分別作出△ABC和△A′B′C′的高AD和A′D′.
∵△ABC和△A′B′C′都是直角三角形，并且∠B＝∠B′，
∴△ABD∽△A′B′D′，
∵△ABC∽△A′B′C′，
相似三角形性質(zhì)定理3相似三角形的面積比等于相似比的平方.
兩個(gè)相似三角形的兩條對應(yīng)邊的長分別是6 cm和8 cm，如果它們對應(yīng)的兩條角平分線的和為42 cm，那么這兩條角平分線的長分別是多少？
解：設(shè)較短的角平分線長為x cm，
解得x＝18.較長的角平分線長為24 cm.故這兩條角平分線的長分別為18 cm，24 cm.
∴△DEF∽△ABC，相似比為1 : 2，∴△DEF的周長＝ △ABC的周長，△DEF的周長為12.
如圖，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，△ABC的周長是24，求△DEF的周長．
解：在△ABC和△DEF中，
∵AB＝2DE，AC＝2DF，
∴ △ADE∽△ABC.
解 ∵ DE//BC，
1．如圖，在△ABC中，DE∥BC，AH是△ABC的角平分線，交DE于點(diǎn)G. DE : BC＝2 : 3，那么AG : GH＝________．
2．在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，如果△ABC的周長是16，面積是12，那么△DEF的周長、面積依次為________．
解：∵△ABC∽△DEF，
解得，EH＝3.2(cm).
答：EH的長為3.2 cm.
4．已知△ABC∽△DEF，BG、EH分△ABC和△DEF的角平分線，BC＝6 cm，EF＝4 cm，BG＝4.8 cm．求EH的長．
5．若△ABC∽△A′B′C′ ，它們的周長分別為60 cm和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，求BC，AC，A′B′，A′C′的長.
解：∵△ABC∽△A′B′C′ ，它們的周長分別為60 cm和72 cm，
∵AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，∴BC＝20 cm， AC＝25 cm， A′B′＝18 cm，A′C′＝30 cm.
∴ △ADE ∽△ABC.∵ 它們的相似比為 3 : 5，∴ 面積比為 9 : 25. 又∵ △ABC 的面積為 100 cm2，∴ △ADE 的面積為 36 cm2 .∴ 四邊形 BCDE 的面積為100－36＝64 (cm2).

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22.3 相似三角形的性質(zhì)

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