什么叫兩個(gè)數(shù)的比？2與－3的比，－4與6的比，如何表示？其比值相等嗎？用小學(xué)學(xué)過的方法可說成什么？可寫成什么形式？
寫成2∶－3＝－4∶6.
可以說2，－3，－4，6成比例，
兩張地圖中，黃鶴樓與長(zhǎng)江的距離為何不同嗎？
如果選用同一個(gè)長(zhǎng)度單位得兩條先線段AB,CD的長(zhǎng)度分別是m , n,那么這兩條線段的比就是它們長(zhǎng)度的比，即
一 比例線段的基本概念
其中a，d叫做比例外項(xiàng)，b，c叫做比例內(nèi)項(xiàng)．如果作為比例內(nèi)項(xiàng)的兩條線段是相等的，即線段a、b、c之間有a∶b＝b∶c，那么線段b叫做線段a、c的比例中項(xiàng)．
判斷下列線段a、b、c、d是否是成比例線　
（1）a＝4，b＝6，c＝5，d＝10；
∴　線段a、b、c、d 不是成比例線段．
∴　線段a、b、c、d是成比例線段．
若a:b=k , 說明a是b的 k 倍；
兩條線段的比與所采用的長(zhǎng)度單位無關(guān)，但求比時(shí)兩條線段的長(zhǎng)度單位必須一致；
兩條線段的比值是一個(gè)沒有單位的正數(shù)；
如圖的(1)和(2)都是故宮太和殿的照片，(2)是由(1)縮小得到的.
在照片(1)中任意取四個(gè)點(diǎn)P，Q，A ,B在照片(2)找出對(duì)應(yīng)的兩個(gè)點(diǎn)P′，Q′，A′, B′量出線段PQ，P′Q′，AB， A′B′的長(zhǎng)度.計(jì)算它們的長(zhǎng)度的比值.
二 比例的基本性質(zhì)及合比、等比性質(zhì)
問題：如果四個(gè)數(shù)a , b, c, d成比例，即 = 那么ad = bc嗎？反過來如果ad = bc,那么a , b, c , d四個(gè)數(shù)成比例嗎？
如果四個(gè)數(shù)a,b,c,d成比例，即 = 那么ad=bc嗎？
由此可得到比例的基本性質(zhì)：
如果 = ，那么 ad=bc.
在等式兩邊同時(shí)乘以bd,得ad=bc
如果ad=bc,那么等式 = 還成立嗎？
在等式中，四個(gè)數(shù)a,b,c,d可以為任意數(shù)，而在分式中，分母不能為0.
如果ad=bc（a,b,c,d都不等于0），那么 = .
根據(jù)下列條件，求 a : b 的值：
（1） 4a=5b ；
解（1）∵ 4a=5b，
解：解法1：由比例的基本性質(zhì)，
得2（a+3b）=7×2b.
由此可得到比例的合比性質(zhì)
則 a = kb, c = kd , e= kf .
由此可得到比例的又一性質(zhì)：
在△ABC與△DEF中，已知 ，且△ABC的周長(zhǎng)為18cm,求△DEF得周長(zhǎng).
∴4(AB + BC + CA)=3(DE + EF + FD).
又 △ABC的周長(zhǎng)為18cm，
即 AB+BC+CA=18cm.
∴ △DEF的周長(zhǎng)為24cm.
在地圖或工程圖紙上，都標(biāo)有比例尺，比例尺就是圖上距離與實(shí)際距離的比，現(xiàn)在一長(zhǎng)比例尺為1∶5000的圖紙上，量得一個(gè)△ABC的三邊：AC＝3cm，BC＝4cm，AB＝5cm，這個(gè)圖紙所反映的實(shí)際△A’B’C’的周長(zhǎng)是多少？
解：根據(jù)題意，得
∵ AB+BC+AC=5+4+3=12（cm），
答：實(shí)際△A'B'C'的周長(zhǎng)是600m
∴ A'B'+B'C'+A'C'=12×5000=60000(cm)=600（m）.
解 設(shè)AP=x，那么PB=a-x.根據(jù)題意，得 a:x=x:(a-x),
即 x2+ax-a2=0.
通過上面兩幅圖片可以看出來，蒙娜麗莎的頭和兩肩在整幅畫面中都處于完美的體現(xiàn)了黃金分割，使得這幅油畫看起來是那么的和諧和完美.
黃 金 分 割 在 藝術(shù) 上 的 應(yīng) 用
打開地圖，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)那些好茶產(chǎn)地大多位于北緯30度左右。特別是紅茶中的極品“祁紅”，產(chǎn)地在安徽的祁門，也恰好在此緯度上。這不免讓人聯(lián)想起許多與北緯30度有關(guān)的地方。奇石異峰，名川秀水的黃山，廬山，九寨溝等等。銜遠(yuǎn)山，吞長(zhǎng)江的中國(guó)三大淡水湖也恰好在這黃金分割的緯度上。
蝴蝶身長(zhǎng)與雙翅展開后的長(zhǎng)度之比, 普通樹葉的寬與長(zhǎng)之比也接近0.618;
人體肚臍不但是黃金點(diǎn)美化身型，有時(shí)還是醫(yī)療效果黃金點(diǎn)，許多民間名醫(yī)在肚臍上貼藥治好了某些疾病。人體最感舒適的溫度是23℃(體溫)，也是正常人體溫(37℃)的黃金點(diǎn)(23=37×0.618).這說明醫(yī)學(xué)與0.618有千絲萬縷聯(lián)系,尚待開拓研究。人體還有幾個(gè)黃金點(diǎn)：肚臍上部分的黃金點(diǎn)在咽喉，肚臍以下部分的黃金點(diǎn)在膝蓋，上肢的黃金點(diǎn)在肘關(guān)節(jié).上肢與下肢長(zhǎng)度之比均近似0.618.
1.判斷下列各組線段是否成比例線段，為什么？
2.下列各組線段中成比例線段的是　　（　?。?br/>（1）a=4，b=2，c=5，d=10
（2）a=3，b=2，c=8，d=6
B. a=4，b=6，c=5，d=10
D. a=2，b=3，c=4，d=1
3.如果線段a＝32cm，b＝8cm，那么a和b的比例中項(xiàng)是(　　)
A．20cm　　　B．18cm　　C．16cm　　D．14cm
解： 設(shè)比例中項(xiàng)為c， 由比例中項(xiàng)定義得：a∶c＝c∶d， c2＝ab＝32×8，c＝16，選C.
6．在中華經(jīng)典美文閱讀中，小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)自己的一本書的寬與長(zhǎng)之比為黃金比，已知這本書的長(zhǎng)為20cm，則它的寬約為(　 )
A．12.36cm B．13.6cmC．32.9cm D．7.54cm
7.在中華經(jīng)典美文閱讀中，小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)自己的一本書的寬與長(zhǎng)之比為黃金比，已知這本書的長(zhǎng)為20 cm，則它的寬約為( )(A)12.36 cm (B)13.6 cm (C)32.36 cm (D)7.64 cm
【解析】選A. 0.618×20=12.36(cm).
8. 如圖:在△ABC中，AB=AC, ∠BAC=36°， BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D, 求證：D是AC的黃金分割點(diǎn).
證明：在等腰△ABC中，頂角∠A=36°，所以∠ABC=∠C=72°，∵BD為∠ABC的平分線，∴∠ABD=∠DBC=36°，在△ACB和△BCD中，∠BDC=72°∵∠C=∠C，∠A=∠CBD=36°，∴△ACB∽△BCD，∴AC：BC=BC：DC；
∵∠DBC=36°，∠C=72°，∴∠BDC=72°，∴BD=BC，∴AD=BC，∴AC：AD=AD：DC；即點(diǎn)D是AC的黃金分割點(diǎn)．
∵∠A=∠ABD，∴AD=BD.
②與單位無關(guān)，本身沒有單位；
③兩條線段有順序要求.
①概念：項(xiàng)、比例內(nèi)項(xiàng)、比例外項(xiàng)；
②四條線段有順序要求；
點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC,如果 = , 那么稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割.點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn),AC與AB的比稱為黃金比.
一條線段有兩個(gè)黃金分割點(diǎn)
黃金比：較長(zhǎng)線段：原線段 =

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初中數(shù)學(xué)滬科版（2024）九年級(jí)上冊(cè)電子課本

22.1 比例線段

版本： 滬科版（2024）

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