【知識梳理】2
【真題自測】3
【考點突破】4
【考點1】直線與圓的位置關系4
【考點2】圓的切線、弦長問題5
【考點3】圓與圓的位置關系7
【分層檢測】8
【基礎篇】8
【能力篇】10
【培優(yōu)篇】10
考試要求：
1.能根據給定直線、圓的方程判斷直線與圓、圓與圓的位置關系.
2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的數學問題與實際問題.
知識梳理
1.直線與圓的位置關系
設圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直線l：Ax＋By＋C＝0，圓心C(a，b)到直線l的距離為d，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x－a）2＋（y－b）2＝r2，,Ax＋By＋C＝0))消去y(或x)，得到關于x(或y)的一元二次方程，其判別式為Δ.
2.圓與圓的位置關系
已知兩圓C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝req \\al(2,1)，
C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝req \\al(2,2)，
則圓心距d＝|C1C2|＝eq \r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2).
則兩圓C1，C2有以下位置關系：
1.圓的切線方程常用結論
(1)過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.
(2)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)過圓x2＋y2＝r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.
2.直線被圓截得的弦長的求法
(1)幾何法：運用弦心距d、半徑r和弦長的一半構成的直角三角形，計算弦長|AB|＝2eq \r(r2－d2).
(2)代數法：設直線y＝kx＋m與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于點M，N，將直線方程代入圓的方程中，消去y，得關于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，則|MN|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(（xM＋xN）2－4xM·xN).
真題自測
一、單選題
1．（2024·全國·高考真題）已知直線與圓交于兩點，則AB的最小值為（ ）
A．2B．3C．4D．6
2．（2024·全國·高考真題）已知b是的等差中項，直線與圓交于兩點，則AB的最小值為（ ）
A．1B．2C．4D．
3．（2023·全國·高考真題）已知實數滿足，則的最大值是（ ）
A．B．4C．D．7
4．（2023·全國·高考真題）過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（ ）
A．1B．C．D．
二、多選題
5．（2024·全國·高考真題）拋物線C：的準線為l，P為C上的動點，過P作的一條切線，Q為切點，過P作l的垂線，垂足為B，則（ ）
A．l與相切
B．當P，A，B三點共線時，
C．當時，
D．滿足的點有且僅有2個
三、填空題
6．（2023·全國·高考真題）已知直線與交于A，B兩點，寫出滿足“面積為”的m的一個值 ．
7．（2022·全國·高考真題）若雙曲線的漸近線與圓相切，則 ．
8．（2022·全國·高考真題）寫出與圓和都相切的一條直線的方程 ．
考點突破
【考點1】直線與圓的位置關系
一、單選題
1．（2024·安徽·模擬預測）已知直線，圓，則該動直線與圓的位置關系是（ ）
A．相離B．相切C．相交D．不確定
2．（2024·湖北·模擬預測）已知點是直線上的動點，由點向圓引切線，切點分別為且，若滿足以上條件的點有且只有一個，則（ ）
A．B．C．2D．
二、多選題
3．（2024·河北衡水·模擬預測）已知，動點滿足，則下列結論正確的是（ ）
A．點的軌跡圍成的圖形面積為
B．的最小值為
C．是的任意兩個位置點，則
D．過點的直線與點的軌跡交于點，則的最小值為
4．（23-24高三上·河北廊坊·期中）如圖，有一組圓都內切于點，圓，設直線與圓在第二象限的交點為，若，則下列結論正確的是（ ）
A．圓的圓心都在直線上
B．圓的方程為
C．若圓與軸有交點，則
D．設直線與圓在第二象限的交點為，則
三、填空題
5．（2022·全國·模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，過點的直線l與圓相交于M，N兩點，若，則直線l的斜率為 .
6．（19-20高一下·江蘇無錫·階段練習）在平面直角坐標系中，已知直角△中，直角頂點A在直線上，頂點在圓上，則點A橫坐標的取值范圍是 ．
反思提升：
判斷直線與圓的位置關系的常見方法
(1)幾何法：利用d與r的關系.
(2)代數法：聯立方程之后利用Δ判斷.
(3)點與圓的位置關系法：若直線恒過定點且定點在圓內，可判斷直線與圓相交.
【考點2】圓的切線、弦長問題
一、單選題
1．（23-24高二下·廣東茂名·階段練習）已知圓，直線.則直線被圓截得的弦長的最小值為（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·遼寧·模擬預測）過點作圓的切線，A為切點，，則的最大值是（ ）
A．B．C．4D．3
二、多選題
3．（2022·福建泉州·模擬預測）已知點在直線上，點在圓上，則下列說法正確的是（ ）
A．點到的最大距離為
B．若被圓所截得的弦長最大，則
C．若為圓的切線，則的取值范圍為
D．若點也在圓上，則到的距離的最大值為
4．（23-24高二上·湖南常德·期末）已知圓，直線，點在直線上運動，直線，分別與圓切于點，.則下列說法正確的是（ ）
A．最短為
B．最短時，弦所在直線方程為
C．存在點，使得
D．直線過定點為
三、填空題
5．（2022·四川成都·模擬預測）在平面直角坐標系中，已知直線與圓交于A，B兩點，若鈍角的面積為，則實數a的值是 ．
6．（2024·全國·模擬預測）在平面直角坐標系中，的坐標滿足，，已知圓，過作圓的兩條切線，切點分別為，當最大時，圓關于點對稱的圓的方程為 ．
反思提升：
弦長的兩種求法
(1)代數方法：將直線和圓的方程聯立方程組，消元后得到一個一元二次方程.在判別式Δ＞0的前提下，利用根與系數的關系，根據弦長公式求弦長.
(2)幾何方法：若弦心距為d，圓的半徑長為r，則弦長l＝2eq \r(r2－d2).
求過某點的圓的切線問題時，應首先確定點與圓的位置關系，再求切線方程.若點在圓上(即為切點)，則過該點的切線只有一條；若點在圓外，則過該點的切線有兩條，此時注意斜率不存在的切線.
【考點3】圓與圓的位置關系
一、單選題
1．（2024·陜西銅川·模擬預測）已知，，若圓上存在點P滿足，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·安徽馬鞍山·階段練習）兩圓與的公共弦長為（ ）
A．B．C．D．1
二、多選題
3．（22-23高二上·浙江紹興·階段練習）以下四個命題表述正確的是（ ）
A．橢圓上的點到直線的最大距離為
B．已知圓C：，點P為直線上一動點，過點P向圓C引兩條切線PA、PB，AB為切點，直線AB經過定點
C．曲線：與曲線：恰有三條公切線，則m＝4
D．圓上存在4個點到直線l：的距離都等于1
4．（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）已知圓，則下列結論正確的有（ ）
A．若圓和圓外離，則
B．若圓和圓外切，則
C．當時，圓和圓有且僅有一條公切線
D．當時，圓和圓相交
三、填空題
5．（2024·浙江麗水·二模）已知圓，若對于任意的，存在一條直線被圓所截得的弦長為定值，則 .
6．（2023·全國·模擬預測）圓與圓的公切線長為 .
反思提升：
1.判斷兩圓的位置關系時常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關系，一般不采用代數法.
2.若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項得到.
分層檢測
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）若直線與圓有交點，則（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·全國·模擬預測）已知P為直線上一點，過點P作圓的一條切線，切點為A，則的最小值為（ ）
A．1B．C．D．2
3．（2024·貴州六盤水·三模）已知直線與圓相交于A，B兩點，若，則（ ）
A．B．1C．D．﹣2
4．（2021·江西·模擬預測）已知圓，過點向這個圓作兩條切線，則兩切線的夾角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
5．（2024·遼寧沈陽·三模）設橢圓的左?右焦點分別為是上的動點，則下列說法正確的是（ ）
A．的最大值為8
B．橢圓的離心率
C．面積的最大值等于12
D．以線段為直徑的圓與圓相切
6．（2023·浙江紹興·模擬預測）已知圓和圓，則（ ）
A．圓的半徑為4
B．軸為圓與的公切線
C．圓與公共弦所在的直線方程為
D．圓與上共有6個點到直線的距離為1
7．（2023·河北·三模）在平面直角坐標系中，已知圓與圓，分別為圓和圓上的動點，下列說法正確的是（ ）
A．過點作圓M的切線有且只有一條
B．若圓和圓恰有3條公切線，則
C．若PQ的最小值為1，則
D．若，則直線的斜率的最大值為
三、填空題
8．（2024·天津·二模）設直線和圓相交于兩點.若，則實數 .
9．（2023·天津武清·模擬預測）已知點，，經過點作圓的切線與軸交于點，則 ．
10．（23-24高三下·天津南開·階段練習）已知直線與圓相交于兩點，且，則實數
四、解答題
11．（2020·云南保山·模擬預測）已知圓經過，，三點．
（1）求圓的標準方程；
（2）求經過點且和圓相切的直線的方程．
12．（22-23高二上·天津和平·期中）已知圓心為的圓經過點和，且圓心在直線上，求：
(1)求圓心為的圓的標準方程；
(2)設點在圓上，點在直線上，求的最小值；
(3)若過點的直線被圓所截得弦長為，求該直線的方程．
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·山東聊城·二模）若圓與圓恰有一條公切線，則下列直線一定不經過點的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
2．（2024·山東青島·三模）已知動點 分別在圓 和 上，動點 在 軸上，則（ ）
A．圓的半徑為3
B．圓和圓相離
C．的最小值為
D．過點做圓的切線，則切線長最短為
三、填空題
3．（2024·天津武清·模擬預測）已知直線與圓C：相交于A，B兩點，且，則實數 .
四、解答題
4．（2025·安徽·一模）橢圓的上頂點為，圓在橢圓內．
(1)求的取值范圍；
(2)過點作圓的兩條切線，切點為，切線與橢圓的另一個交點為，切線與橢圓的另一個交點為．是否存在圓，使得直線與之相切，若存在求出圓的方程，若不存在，說明理由．
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2024·四川雅安·三模）若拋物線的焦點為，直線與拋物線交于，兩點，，圓為的外接圓，直線與圓相切于點，點為圓上任意一點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
2．（2024·遼寧丹東·一模）已知圓，直線與交于兩點，點為弦的中點，，則（ ）
A．弦有最小值為B．有最小值為
C．面積的最大值為D．的最大值為9
三、填空題
3．（2022·青?！つM預測）如圖，平面直角坐標系中，，，圓Q過坐標原點O且與圓L外切．若拋物線與圓L，圓Q均恰有一個公共點，則p＝ ．
位置關系
相離
相切
相交
圖形
量化
方程觀點
Δ0
幾何觀點
d>r
d＝r
dr1＋r2
d

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