2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-8.3-圓的方程-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且圓心坐標(biāo)為(－1，1)的圓的一般方程是( )
A．x2＋y2－2x－2y＝0
B．x2＋y2－2x＋2y＝0
C．x2＋y2＋2x－2y＝0
D．x2＋y2＋2x＋2y＝0
2．若點(diǎn)P(1，1)在圓C：x2＋y2＋x－y＋k＝0的外部，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( )
A．(－2，＋∞) B． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,2)))
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,2))) D．(－2，2)
3．已知圓C經(jīng)過(guò)A(0，0)，B(2，0)，且圓心在第一象限，△ABC為直角三角形，則圓C的方程為( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝4
B．(x－ eq \r(2))2＋(y－ eq \r(2))2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－2)2＝5
4．已知半徑為1的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，4)，則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為( )
A．4 B．5
C．6 D．7
5．若k∈ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－2，0，\f(4,5)，3))，方程x2＋y2＋(k－1)x＋2ky＋k＝0不表示圓，則k的取值集合中元素的個(gè)數(shù)為( )
A．1 B．2
C．3 D．4
6．(多選)若實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋y2＋2x＝0，則( )
A． eq \f(y,x－1)的最大值為 eq \r(3)
B． eq \f(y,x－1)的最小值為－ eq \r(3)
C． eq \f(y,x－1)的最大值為 eq \f(\r(3),3)
D． eq \f(y,x－1)的最小值為－ eq \f(\r(3),3)
7．(多選)已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(－1，2)，B(2，1)，C(3，4)，則下列關(guān)于△ABC的外接圓圓M的說(shuō)法正確的是( )
A．圓M的圓心坐標(biāo)為(1，3)
B．圓M的半徑為 eq \r(5)
C．圓M關(guān)于直線x＋y＝0對(duì)稱
D．點(diǎn)(2，3)在圓M內(nèi)
8．(多選)已知圓C過(guò)點(diǎn)M(1，－2)且與兩坐標(biāo)軸均相切，則下列敘述正確的是( )
A．滿足條件的圓C的圓心在一條直線上
B．滿足條件的圓C有且只有一個(gè)
C．點(diǎn)(2，－1)在滿足條件的圓C上
D．滿足條件的圓C有且只有兩個(gè)，它們的圓心距為4 eq \r(2)
9．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標(biāo)是________，半徑是________．
10．已知兩點(diǎn)A(0，－3)，B(4，0)，若點(diǎn)P是圓C：x2＋y2－2y＝0上的動(dòng)點(diǎn)，則△ABP的面積的最小值為_(kāi)_______．
11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知過(guò)點(diǎn)M(－2，－1)的圓C和直線x－y＋1＝0相切，且圓心在直線y＝2x上，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______________．
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1．(多選)設(shè)有一組圓Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命題正確的是( )
A．不論k如何變化，圓心C始終在一條直線上
B．所有圓Ck均不經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，0)
C．經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，2)的圓Ck有且只有一個(gè)
D．所有圓的面積均為4π
2．已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋y2－4x－2y－4＝0，則x－y的最大值是( )
A．1＋ eq \f(3\r(2),2) B．4
C．1＋3 eq \r(2) D．72
3．已知圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則“E＝F＝0且D0，
即5k2－6k＋1>0，解得k>1或k< eq \f(1,5).
又知該方程不表示圓，所以k的取值范圍為 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，1)).
又因?yàn)閗∈ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－2，0，\f(4,5)，3))，所以滿足條件的k＝ eq \f(4,5)，即k的取值集合為 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(4,5))).
答案：A
6．解析：由題意可得方程x2＋y2＋2x＝0表示圓心坐標(biāo)為(－1，0)、半徑r＝1的圓，
則 eq \f(y,x－1)為圓上的點(diǎn)與點(diǎn)(1，0)連線的斜率的值．
設(shè)過(guò)點(diǎn)(1，0)的直線為y＝k(x－1)，
即kx－y－k＝0，即求直線kx－y－k＝0與圓相切時(shí)k的值，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到直線kx－y－k＝0的距離d＝r，
即 eq \f(|－2k|,\r(1＋k2))＝1，整理可得3k2＝1，
解得k＝± eq \f(\r(3),3)，所以 eq \f(y,x－1)∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))).
即 eq \f(y,x－1)的最大值為 eq \f(\r(3),3)，最小值為－ eq \f(\r(3),3).
答案：CD
7．解析：設(shè)△ABC的外接圓圓M的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
則 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋4－D＋2E＋F＝0，,4＋1＋2D＋E＋F＝0，,9＋16＋3D＋4E＋F＝0，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－2，,E＝－6，,F＝5.))
所以△ABC的外接圓圓M的方程為x2＋y2－2x－6y＋5＝0，
即(x－1)2＋(y－3)2＝5.
故圓M的圓心坐標(biāo)為(1，3)，圓M的半徑為 eq \r(5).
因?yàn)橹本€x＋y＝0不經(jīng)過(guò)圓M的圓心(1，3)，
所以圓M不關(guān)于直線x＋y＝0對(duì)稱．
因?yàn)?2－1)2＋(3－3)2＝1＜5，
故點(diǎn)(2，3)在圓M內(nèi)．
答案：ABD
8．解析：因?yàn)閳AC和兩個(gè)坐標(biāo)軸都相切，且過(guò)點(diǎn)M(1，－2)，
所以設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，－a)(a＞0)，
故圓心在直線y＝－x上，A正確；
設(shè)圓C的方程為(x－a)2＋(y＋a)2＝a2，
把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入可得a2－6a＋5＝0，
解得a＝1或a＝5，則圓心坐標(biāo)為(1，－1)或(5，－5)，
所以滿足條件的圓C有且只有兩個(gè)，故B錯(cuò)誤；
圓C的方程分別為(x－1)2＋(y＋1)2＝1，
(x－5)2＋(y＋5)2＝25，將點(diǎn)(2，－1)代入這兩個(gè)方程可知其在圓C上，故C正確；
它們的圓心距為 eq \r((5－1)2＋(－5＋1)2)＝4 eq \r(2)，D正確．
答案：ACD
9．解析：依據(jù)圓的方程特征，得a2＝a＋2，
解得a＝－1或2.
當(dāng)a＝－1時(shí)，方程為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
整理得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
則圓心為(－2，－4)，半徑是5；
當(dāng)a＝2時(shí)，4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，
即x2＋y2＋x＋2y＋ eq \f(5,2)＝0，該方程不表示圓．
答案：(－2，－4) 5
10．解析：求△ABP面積的最小值，
即求P到直線AB距離的最小值，
即為圓心到直線AB的距離減去半徑．
直線AB的方程為 eq \f(x,4)＋ eq \f(y,－3)＝1，
即3x－4y－12＝0，
圓x2＋y2－2y＝0，
即為x2＋(y－1)2＝1，圓心為(0，1)，半徑為1.
∵圓心到直線AB的距離為d＝ eq \f(|－4－12|,5)＝ eq \f(16,5)，
∴P到直線AB的最小值為 eq \f(16,5)－1＝ eq \f(11,5).
∵|AB|＝ eq \r(32＋42)＝5，
∴△ABP面積的最小值為 eq \f(1,2)×5× eq \f(11,5)＝ eq \f(11,2).
答案： eq \f(11,2)
11．解析：根據(jù)題意，圓心在直線y＝2x上，
則設(shè)圓心為(n，2n)，圓的半徑為r.
又圓C過(guò)點(diǎn)M(－2，－1)且與直線x－y＋1＝0相切，
則有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1((n＋2)2＋(2n＋1)2＝r2，,\f(|n－2n＋1|,\r(2))＝r，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n＝－1，,r＝\r(2)，))
則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y＋2)2＝2.
答案：(x＋1)2＋(y＋2)2＝2
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1．解析：圓心坐標(biāo)為(k，k)，在直線y＝x上，A正確；
令(3－k)2＋(0－k)2＝4，
化簡(jiǎn)得2k2－6k＋5＝0.
∵Δ＝36－40＝－4＜0，
∴2k2－6k＋5＝0無(wú)實(shí)數(shù)根，B正確；
由(2－k)2＋(2－k)2＝4，
化簡(jiǎn)得k2－4k＋2＝0.
∵Δ＝16－8＝8＞0，有兩個(gè)不相等實(shí)根，
∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，2)的圓Ck有兩個(gè)，C錯(cuò)誤；
由圓的半徑為2，得圓的面積為4π，D正確．
答案：ABD
2．解析：法一：由x2＋y2－4x－2y－4＝0，得(x－2)2＋(y－1)2＝9，
此方程表示以(2，1)為圓心、3為半徑的圓．
設(shè)t＝x－y，則x－y－t＝0.設(shè)圓心(2，1)到直線x－y－t＝0的距離為d，則d＝ eq \f(|2－1－t|,\r(12＋(－1)2))＝ eq \f(|1－t|,\r(2)).
依題意知，直線x－y－t＝0與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9有公共點(diǎn)，
∴d＝ eq \f(|1－t|,\r(2))≤3，即|1－t|≤3 eq \r(2)，
∴－3 eq \r(2)≤t－1≤3 eq \r(2)，即1－3 eq \r(2)≤t≤1＋3 eq \r(2)，
∴t的最大值為1＋3 eq \r(2)，
即x－y的最大值為1＋3 eq \r(2).
法二：由x2＋y2－4x－2y－4＝0，得(x－2)2＋(y－1)2＝9.設(shè)x＝2＋3cs θ，y＝1＋3sin θ，θ∈[0，2π)，
∴x－y＝2＋3cs θ－1－3sin θ＝1＋3(cs θ－sin θ)＝1＋3 eq \r(2)cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))).
∵θ＋ eq \f(π,4)∈ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(9,4)π))，
∴cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))∈[－1，1]，
∴(x－y)max＝1＋3 eq \r(2).
答案：C
3．解析：圓C與y軸相切于原點(diǎn)?圓C的圓心在x軸上(設(shè)坐標(biāo)為(a，0))，且半徑r＝|a|.∴當(dāng)E＝F＝0且D0.
答案：A
4．解析：由題意得，圓C的半徑為 eq \r(1＋1)＝ eq \r(2)，圓心坐標(biāo)為(1， eq \r(2))，∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－ eq \r(2))2＝2.
答案：A
5．解析：根據(jù)題意，設(shè)圓C2的圓心為(a，b)，
圓C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，其圓心為(－1，1)，半徑為2，
若圓C2與圓C1關(guān)于直線x－y－1＝0對(duì)稱，則圓C1與C2的圓心關(guān)于直線x－y－1＝0對(duì)稱，且圓C2的半徑為2，則有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b－1,a＋1)＝－1，,\f(a－1,2)－\f(b＋1,2)－1＝0，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝－2，))
則圓C2的方程為(x－2)2＋(y＋2)2＝4.
答案：B
6．解析：設(shè)圓上任意一點(diǎn)為(x1，y1)，中點(diǎn)為(x，y)，
則 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(x1＋4,2)，,y＝\f(y1－2,2)，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝2x－4，,y1＝2y＋2.))
代入x2＋y2＝4得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，
化簡(jiǎn)得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
答案：A
7．解析：設(shè)M(x，y)，A(a，0)，B(0，b)，
則 eq \r(a2＋b2)＝10，a2＋b2＝100，
且 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a＋0,2)＝x，,\f(0＋b,2)＝y(tǒng)，))∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2x，,b＝2y，))代入a2＋b2＝100，
得4x2＋4y2＝100，
即點(diǎn)M的軌跡方程為x2＋y2＝25.
答案：x2＋y2＝25
8．解析：設(shè)P(x0，y0)，d＝|PB|2＋|PA|2＝x eq \\al(2,0)＋(y0＋1)2＋x eq \\al(2,0)＋(y0－1)2＝2(x eq \\al(2,0)＋y eq \\al(2,0))＋2.x eq \\al(2,0)＋y eq \\al(2,0)為圓上任一點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，∴(x eq \\al(2,0)＋y eq \\al(2,0))max＝(5＋1)2＝36，∴dmax＝74.
答案：74
9．解析：圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4，
圓心C(2，1)，半徑R＝2，
圓心C到直線3x＋4y＋5＝0的距離d＝ eq \f(|6＋4＋5|,\r(32＋42))＝3，
設(shè)P到直線AB的距離為h，
則S△ABP＝ eq \f(1,2)·|AB|·h＝h.
∵d－R≤h≤d＋R，∴1≤h≤5，
∴S△ABP∈[1，5]，
即△ABP的面積的取值范圍為[1，5].
答案：[1，5]
10．解析：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋y2＝2，
圓心為C(2，0)，半徑為r＝ eq \r(2).
若在圓C上存在兩點(diǎn)A，B，在直線l上存在一點(diǎn)P，使得∠APB＝90°，過(guò)P作圓的兩條切線PM，PN(M，N為切點(diǎn))，則由題意得∠MPN≥90°，
而當(dāng)CP⊥l時(shí)，∠MPN最大，只要此最大角≥90°即可，此時(shí)圓心C到直線l的距離為d＝|CP|＝ eq \f(|6＋m|,5)，
所以 eq \f(r,d)＝ eq \f(\r(2),\f(|6＋m|,5))≥ eq \f(\r(2),2)，解得－16≤m≤4.答案： eq \r(2) [－16，4]

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