知識(shí)點(diǎn)1 旋轉(zhuǎn)的定義
1.(2022獨(dú)家原創(chuàng))下列運(yùn)動(dòng)形式屬于旋轉(zhuǎn)的是( )
A.火箭騰空而起 B.“復(fù)興號(hào)”高鐵在鐵軌上飛馳 C.時(shí)鐘上指針的轉(zhuǎn)動(dòng) D.冰球在冰面上滾動(dòng)
2.如圖所示的運(yùn)動(dòng)員只經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)不能得到的是( )
3.如圖,△ABD經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)后到達(dá)△ACE的位置,∠BAC=30°,下列說(shuō)法不正確的是( )
A.點(diǎn)A是旋轉(zhuǎn)中心 B.∠DAC是一個(gè)旋轉(zhuǎn)角
C.若是順時(shí)針旋轉(zhuǎn),則至少旋轉(zhuǎn)了330°D.若是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),則至少旋轉(zhuǎn)了30°
4.如圖所示,△ABC是等邊三角形,D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),連接AD,△ACD經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)后到達(dá)△BCE的位置.
(1)旋轉(zhuǎn)中心是 ,若逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),則至少旋轉(zhuǎn)了 度;
(2)如果M是AD的中點(diǎn),那么經(jīng)過(guò)上述旋轉(zhuǎn)后,點(diǎn)M轉(zhuǎn)到的位置為 .
知識(shí)點(diǎn)2 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)
5.如圖,將三角形ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)85°得到三角形AB'C',若∠C'AB'=60°,則∠CAB'=( )
A.60° B.85° C.25° D.15°
6.將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)55°,得到△ADE,若∠E=70°且AD⊥BC于點(diǎn)F,則∠BAC的度數(shù)為( )
A.65° B.70° C.75° D.80°
7.(2022湖北咸寧崇陽(yáng)月考)如圖,在等邊△ABC中,D是邊AC上一點(diǎn),連接BD,將△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△BAE,連接ED,若BC=8,BD=7,則△AED的周長(zhǎng)是( )
A.10 B.12 C.14 D.15
8.(2021吉林中考)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,3),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0),連接AB,若將△ABO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△A'BO',則點(diǎn)A'的坐標(biāo)為 .
9.(2022江蘇鹽城濱海期中)如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,將斜邊AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AB',連接B'C,則△AB'C的面積為 .
知識(shí)點(diǎn)3 旋轉(zhuǎn)作圖
10.如圖,以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心,將△ABC按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°,
作出旋轉(zhuǎn)后的圖形(不用寫(xiě)作法).
11.(2022吉林長(zhǎng)春綠園月考)如圖,方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形,直線MN與直線GH交于點(diǎn)O,△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.
(1)畫(huà)出△ABC關(guān)于直線MN對(duì)稱的△A1B1C1;
(2)畫(huà)出將△ABC繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°所得到的△A2B2C2.
能力提升全練
12.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=α,將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'B'C,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'在邊AC上(不與點(diǎn)A,C重合),則∠AA'B'的度數(shù)為( )
A.α B.α-45° C.45°-α D.90°-α
13.如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=3,將一個(gè)無(wú)限大的直角尺M(jìn)ON的直角頂點(diǎn)O與BC邊上的中點(diǎn)D重合并繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn),分別交AB、AC所在的直線于點(diǎn)E、F,連接EF,若BE=1,則EF的長(zhǎng)度為( )
A.5 B.17C.17或5 D.無(wú)法確定
14.(2019遼寧阜新中考,12,)如圖,在△ABC中,AC=BC,將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△ADE.若AB=2,∠ACB=30°,則線段CD的長(zhǎng)度為 .
15.(2021浙江臺(tái)州溫嶺期中,15,)如圖,點(diǎn)E在正方形ABCD的邊CB上,將△DCE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△DAF的位置,連接EF,過(guò)點(diǎn)D作EF的垂線,垂足為點(diǎn)H,與AB交于點(diǎn)G,若AG=4,BG=3,則BE的長(zhǎng)為 .
16.()如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=CD=4,∠B=∠C=60°,M是線段BC的中點(diǎn),將△MDC繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn),得到△MD'C',當(dāng)MD'與AB交于點(diǎn)E,且MC'與AD交于點(diǎn)F時(shí),得到以點(diǎn)E、F、A為頂點(diǎn)的△AEF.在此過(guò)程中,△AEF的周長(zhǎng)的最小值是 .
17.()如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1,4),B(4,1),C(4,3).
(1)畫(huà)出將△ABC向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到的△A1B1C1;
(2)畫(huà)出將△ABC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的△A2B2C2.
素養(yǎng)探究全練
18.在矩形ABCD中,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),點(diǎn)F是BC的中點(diǎn),連接EF,G是EF的中點(diǎn),連接DG.在△BEF中,BE=2,∠BFE=30°.若將△BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),則在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中,線段DG的長(zhǎng)的最大值是( )
A.67 B.217 C.10 D.12
19.[邏輯推理](2021山東濱州中考)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,AB=2.若點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn),則PA+PB+PC的最小值為 .
答案全解全析
基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練
1.C 選項(xiàng)A、B中的運(yùn)動(dòng)可看作是平移;選項(xiàng)D中的運(yùn)動(dòng)是滾動(dòng),不是旋轉(zhuǎn);選項(xiàng)C中的運(yùn)動(dòng)是旋轉(zhuǎn).
2.C 選項(xiàng)A、B、D中的運(yùn)動(dòng)員都可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)題圖得到,而選項(xiàng)C中的運(yùn)動(dòng)員是通過(guò)翻折題圖得到的.故選C.
3.B 由題圖可知,旋轉(zhuǎn)前后點(diǎn)A沒(méi)有發(fā)生變化,故點(diǎn)A是旋轉(zhuǎn)中心.易知∠BAC和∠DAE都是旋轉(zhuǎn)角,∠DAC不是旋轉(zhuǎn)角.∵∠BAC=30°,∴逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí),至少旋轉(zhuǎn)了30°,順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí),至少旋轉(zhuǎn)了330°.故選B.
4.解析 (1)點(diǎn)C;60.
(2)BE的中點(diǎn).
5.C ∵將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)85°得到△AB'C',∴∠C'AC=85°.
∵∠C'AB'=60°,
∴∠CAB'=∠C'AC-∠C'AB'=85°-60°=25°.故選C.
C ∵將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)55°得到△ADE,∠E=70°,
∴∠BAD=55°,∠ACB=∠E=70°,∵AD⊥BC,∴∠DAC=20°,∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=75°.
D ∵將△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BAE,
∴BD=BE,∠DBE=60°,CD=AE,∴△DBE是等邊三角形,∴DE=BD=7,
∴△AED的周長(zhǎng)=AE+AD+DE=CD+AD+DE=8+7=15.
8.(7,4)
解析 如圖,作A'C⊥x軸于點(diǎn)C,由題可知∠O'=90°,O'B⊥x軸,∴四邊形O'BCA'為矩形,∴BC=A'O'=OA=3,A'C=O'B=OB=4,∴OC=OB+BC=7,∴點(diǎn)A'的坐標(biāo)為(7,4).
9.8
解析 如圖,作B'H⊥AC于H,∴∠AHB'=90°,∴∠HAB'+∠HB'A=90°,由題可知,∠BAC+∠HAB'=∠BAB'=90°,∴∠HB'A=∠BAC.
又∵∠ACB=∠AHB',AB=AB',∴△ACB≌△B'HA,∴AC=B'H.
∵∠ACB=90°,AB=5,BC=3,∴AC=BA2-BC2=52-32=4,∴B'H=AC=4,
∴S△AB'C=12AC·B'H=12×4×4=8.
10.解析 如圖所示,△A'B'C'即為所求.
11.解析 (1)如圖所示,△A1B1C1即為所求.
(2)如圖所示,△A2B2C2即為所求.
能力提升全練
12.C ∵將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'B'C,∴AC=A'C,∠BAC=∠CA'B',∠ACA'=90°,∴△ACA'是等腰直角三角形,∴∠CA'A=45°.∵∠BAC=α,∴∠CA'B'=α,∴∠AA'B'=45°-α.
13.C 分兩種情況討論:①如圖1,當(dāng)點(diǎn)E、F在線段AB、AC上時(shí),連接AD,
∵AB=AC,∠BAC=90°,D為BC的中點(diǎn),∴BD=AD=CD,AD⊥BC,∠B=∠1=∠2=45°.又∵∠EDF=90°,∴∠BDE=∠ADF,∴△BDE≌△ADF(ASA),∴AF=BE=1.∵AE=3-1=2,∴在Rt△AEF中,由勾股定理得EF=12+22=5.
圖1
②如圖2,當(dāng)點(diǎn)E、F在AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí),連接AD,同理可證△EBD≌△FAD,∴AF=BE=1.又∵AE=AB+BE=4,∴EF=42+12=17.
綜上所述,EF=5或17.
圖2
14.2
解析 如圖,連接CE,∵△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△ADE,
∴AD=AB=2,AE=AC,∠CAE=60°,∠AED=∠ACB=30°,∴△ACE為等邊三角形,
∴∠AEC=60°,∵∠AED=30°,∴ED平分∠AEC,∴DE垂直平分AC,∴DC=DA=2.
15.5611
解析 如圖,連接EG,∵將△DCE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△DAF的位置,
∴DF=DE,AF=CE,∠EDF=90°,∴△DEF為等腰直角三角形,∵DG⊥EF,∴EH=FH,∴DG垂直平分EF,∴FG=GE.∵AG=4,BG=3,∴BC=AB=7.設(shè)BE=x,則AF=CE=7-x,
∴GE=FG=4+7-x=11-x.∵∠B=90°,∴GE2=GB2+BE2,∴(11-x)2=9+x2,解得x=5611,∴BE=5611.
16.4+23
解析 如圖,連接AM,過(guò)點(diǎn)D作DP⊥BC于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)A作AQ⊥BC于點(diǎn)Q,則AQ∥DP.∵AD∥BC,∴四邊形ADPQ是平行四邊形,
∴QP=AD=4,∵∠C=∠B=60°,∴∠BAQ=∠CDP=30°,∴CP=12CD=2,BQ=12AB=2,∴BC=2+2+4=8.∵點(diǎn)M是BC的中點(diǎn),∴CM=BM=4,∴CD=CM.易知△MCD,△MAB,△MAD和△MC'D'是等邊三角形,∴∠BMA=∠BME+∠AME=60°,∠EMF=∠AMF+∠AME=60°,∴∠BME=∠AMF.在△BME與△AMF中,
∠B=∠FAM,BM=AM,∠BME=∠AMF,∴△BME≌△AMF(ASA),∴BE=AF,ME=MF,∴AE+AF=AE+BE=AB.∵∠EMF=60°,∴△EMF是等邊三角形,EF=MF.∵M(jìn)F的最小值為點(diǎn)M到AD的距離,等于DP的長(zhǎng),又易得DP=23,∴EF的最小值是23,∵△AEF的周長(zhǎng)=AE+AF+EF=AB+EF,∴△AEF的周長(zhǎng)的最小值為4+23.
17.解析 (1)如圖所示,△A1B1C1即為所求.
(2)如圖所示,△A2B2C2即為所求.
素養(yǎng)探究全練
C 如圖,將△BEF旋轉(zhuǎn)到圖中位置,連接BD、BG,∵在△BEF中,
∠EBF=90°,BE=2,∠BFE=30°,∴EF=2BE=4,BF=23.∵旋轉(zhuǎn)前點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),點(diǎn)F是BC的中點(diǎn),∴CD=AB=2BE=4,BC=2BF=43,∴BD=8.∵在Rt△BEF中,點(diǎn)G是EF的中點(diǎn),∴BG=12EF=2,∴在△BEF旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中,BG的長(zhǎng)不變,∵在△DBG中,BG+BD>GD,∴當(dāng)D,B,G三點(diǎn)共線,且D、G兩點(diǎn)在點(diǎn)B的兩側(cè)時(shí),DG的長(zhǎng)最大,此時(shí),DG=BG+BD=2+8=10,∴DG的長(zhǎng)的最大值為10.故選C.
19.7
解析 如圖,將△ACP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AC'P',連接PP',BC',由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AP'=AP,AC'=AC,P'C'=PC,∠CAC'=∠PAP'=60°,∴△APP'是等邊三角形,
∴PP'=AP,∴PA+PB+PC=PP'+PB+P'C',∴當(dāng)B、P、P'、C'在同一條直線上時(shí),PA+PB+PC的值最小.在△BAC中,
∵∠ACB=90°,∠BAC=30°,AB=2,∴BC=1,∴AC'=AC=3.∵∠BAC=30°,∠CAC'=60°,∴∠BAC'=90°,∴BC'=AB2+AC'2=22+(3)2=7,∴PA+PB+PC的最小值為7.

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23.1 圖形的旋轉(zhuǎn)

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