一、知識(shí)點(diǎn)梳理
一、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式
1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式
如果等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，那么它的通項(xiàng)公式是．
2.等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式
設(shè)等差數(shù)列的公差為，其前項(xiàng)和．
注：數(shù)列是等差數(shù)列?（為常數(shù)）．
二、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值
1.公差為遞增等差數(shù)列，有最小值；
公差為遞減等差數(shù)列，有最大值；
公差為常數(shù)列．
2.在等差數(shù)列中
（1）若，則滿足的項(xiàng)數(shù)使得取得最大值；
（2）若，則滿足的項(xiàng)數(shù)使得取得最小值．
即若，則有最大值（所有正項(xiàng)或非負(fù)項(xiàng)之和）；
若，則有最小值（所有負(fù)項(xiàng)或非正項(xiàng)之和）．
二、題型精講精練
【典例1】（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．
(1)證明：是等差數(shù)列；
(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．
【答案】(1)證明見解析；
(2)．
【分析】（1）依題意可得，根據(jù)，作差即可得到，從而得證；
（2）法一：由（1）及等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出，即可得到的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得．
【詳解】（1）因?yàn)?，即①?br>當(dāng)時(shí)，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以為公差的等差數(shù)列．
（2）[方法一]：二次函數(shù)的性質(zhì)
由（1）可得，，，
又，，成等比數(shù)列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，當(dāng)或時(shí)，．
[方法二]：【最優(yōu)解】鄰項(xiàng)變號(hào)法
由（1）可得，，，
又，，成等比數(shù)列，所以，
即，解得，
所以，即有.
則當(dāng)或時(shí)，．
【整體點(diǎn)評(píng)】（2）法一：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值，適用于可以求出的表達(dá)式；
法二：根據(jù)鄰項(xiàng)變號(hào)法求最值，計(jì)算量小，是該題的最優(yōu)解．
【題型訓(xùn)練-刷模擬】
一、單選題
1．（2029·四川瀘州·統(tǒng)考三模）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
2．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則使取得最大值時(shí)n的值為（ ）
A．4B．5C．6D．7
9．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知無(wú)窮等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差為，若 ，則不正確的（ ）
A．?dāng)?shù)列單調(diào)遞減B．?dāng)?shù)列沒(méi)有最小值
C．?dāng)?shù)列{}單調(diào)遞減D．?dāng)?shù)列{}有最大值
4．（2029·湖北黃岡·黃岡中學(xué)?？级＃┮阎炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則取最大值時(shí)的值為（ ）
A．10B．11C．12D．19
5．（2029·河南·開封高中?？寄M預(yù)測(cè)）已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則當(dāng)取最大值時(shí)，的值為（ ）
A．9B．4C．5D．6
6．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，且，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．B．C．D．與均為的最大值
7．（2029·四川成都·成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列中，，且公差，則其前項(xiàng)和取得最大值時(shí)的值為（ ）
A．B．C．D．
8．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，都有，若，則（ ）
A．的最小值是B．的最小值是
C．的最大值是D．的最大值是
9．（2029·四川自貢·統(tǒng)考三模）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差為d，若，，則下列四個(gè)命題正確個(gè)數(shù)為（ ）①為的最小值 ② ③， ④為的最小值
A．1B．2C．9D．4
10．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)列是遞增的整數(shù)數(shù)列，若，，則的最大值為（ ）
A．25B．22C．24D．29
11．（2029·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，都有，若，則（ ）
A．的最小值是B．的最小值是
C．的最大值是D．的最大值是
12．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和為，若，，則在，，…，中最大的是（ ）
A．B．C．D．
19．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知各項(xiàng)為正的等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)的積為，且，若，數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，則當(dāng)取得最大值時(shí)，n等于（ ）
A．6B．7C．8D．9
14．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）等差數(shù)列的首項(xiàng)為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為.現(xiàn)有下列命題，其中是假命題的有（ ）
A．若有最大值，則數(shù)列的公差小于0
B．若，則使的最大的n為18
C．若，，則中最大
D．若，，則數(shù)列中的最小項(xiàng)是第9項(xiàng)
15．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)于數(shù)列，定義為的“優(yōu)值”．現(xiàn)已知數(shù)列的“優(yōu)值”，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．
C．D．的最小值為
16．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.若存在實(shí)數(shù)，，使得，且，當(dāng)時(shí)，取得最大值，則的值為（ ）
A．12或19B．11或12
C．10或11D．9或10
二、多選題
17．（2029·福建泉州·泉州五中校考模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，且，成等比數(shù)列，則（ ）
A．B．
C．當(dāng)時(shí)，是的最大值D．當(dāng)時(shí)，是的最小值
18．（2029春·河南·高三階段練習(xí)）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，若，則（ ）
A．B．
C．當(dāng)時(shí)，取得最大值D．當(dāng)時(shí)，取得最大值
19．（2029·湖北武漢·華中師大一附中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列是等差數(shù)列，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．為定值B．若，則時(shí)最大
C．若，使為負(fù)值的n值有9個(gè)D．若，則
20．（2029春·安徽亳州·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列B．
C．當(dāng)時(shí)，D．
21．（2029秋·山東濟(jì)南·高三統(tǒng)考期中）已知等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．的最大值為
C．的最小值為D．
22．（2029·江蘇鹽城·?？寄M預(yù)測(cè)）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，若，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則B．若，則最小
C．D．
29．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，且，則下列選項(xiàng)中正確的是（ ）
A．B．和均為的最大值
C．存在正整數(shù)，使得D．存在正整數(shù)，使得
三、填空題
24．（2029秋·遼寧·高三校聯(lián)考期末）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，為前項(xiàng)和，則最小值時(shí)， .
25．（2029春·河南信陽(yáng)·高三信陽(yáng)高中?？茧A段練習(xí)）已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.若，，則當(dāng)取最小值時(shí)，的值為 .
26．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）是數(shù)列的前n項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，取得最小值，寫出一個(gè)符合條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式，an= .
27．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）首項(xiàng)為正數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，現(xiàn)有下列4個(gè)命題：
①若，則；
②若，則；
③若，則中最大；
④若，則使的的最大值為11．
其中所有真命題的序號(hào)是 ．
28．（2029春·江西宜春·高三?？奸_學(xué)考試）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為且，當(dāng)取最大值時(shí)，的值為 ．
29．（2029·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知是等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，若僅當(dāng)時(shí)取到最小值，且，則滿足的n的最小值為 .
90．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則的最小值是 .
91．（2029秋·江西贛州·高三贛州市贛縣第三中學(xué)?？计谥校┮阎炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和為，并且，若對(duì)恒成立，則正整數(shù)的值為 .
四、解答題
92．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求，并求的最小值.
99．（2029·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列是遞減數(shù)列，設(shè)其前項(xiàng)和為，且滿足，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的最大值及相應(yīng)的的值．
94．（2029春·青海西寧·高三校考開學(xué)考試）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．
(1)證明：是等差數(shù)列；
(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．
95．（2029·遼寧丹東·統(tǒng)考二模）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)證明：．
96．（2029·貴州貴陽(yáng)·校聯(lián)考三模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，有．
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)若，，求的最大值．
2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）
素養(yǎng)拓展19 等差數(shù)列中Sn的最值問(wèn)題（精講+精練）
一、知識(shí)點(diǎn)梳理
一、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式
1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式
如果等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，那么它的通項(xiàng)公式是．
2.等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式
設(shè)等差數(shù)列的公差為，其前項(xiàng)和．
注：數(shù)列是等差數(shù)列?（為常數(shù)）．
二、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值
1.公差為遞增等差數(shù)列，有最小值；
公差為遞減等差數(shù)列，有最大值；
公差為常數(shù)列．
2.在等差數(shù)列中
（1）若，則滿足的項(xiàng)數(shù)使得取得最大值；
（2）若，則滿足的項(xiàng)數(shù)使得取得最小值．
即若，則有最大值（所有正項(xiàng)或非負(fù)項(xiàng)之和）；
若，則有最小值（所有負(fù)項(xiàng)或非正項(xiàng)之和）．
二、題型精講精練
【典例1】（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．
(1)證明：是等差數(shù)列；
(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．
【答案】(1)證明見解析；
(2)．
【分析】（1）依題意可得，根據(jù)，作差即可得到，從而得證；
（2）法一：由（1）及等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出，即可得到的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得．
【詳解】（1）因?yàn)?，即①?br>當(dāng)時(shí)，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以為公差的等差數(shù)列．
（2）[方法一]：二次函數(shù)的性質(zhì)
由（1）可得，，，
又，，成等比數(shù)列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，當(dāng)或時(shí)，．
[方法二]：【最優(yōu)解】鄰項(xiàng)變號(hào)法
由（1）可得，，，
又，，成等比數(shù)列，所以，
即，解得，
所以，即有.
則當(dāng)或時(shí)，．
【整體點(diǎn)評(píng)】（2）法一：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值，適用于可以求出的表達(dá)式；
法二：根據(jù)鄰項(xiàng)變號(hào)法求最值，計(jì)算量小，是該題的最優(yōu)解．
【題型訓(xùn)練-刷模擬】
一、單選題
1．（2029·四川瀘州·統(tǒng)考三模）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知求得公差，得等差數(shù)列前項(xiàng)和，結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)得最小值．
【詳解】設(shè)公差為，
則，，
，
所以時(shí)，取得最小值．
故選：A．
2．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則使取得最大值時(shí)n的值為（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式列方程組求得和公差，寫出前項(xiàng)和，由二次函數(shù)性質(zhì)得結(jié)論．
【詳解】等差數(shù)列中，，
則，，
∴，
解得，．
∴，
∴當(dāng)時(shí)，取得最小值．
故選：B．
9．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知無(wú)窮等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差為，若 ，則不正確的（ ）
A．?dāng)?shù)列單調(diào)遞減B．?dāng)?shù)列沒(méi)有最小值
C．?dāng)?shù)列{}單調(diào)遞減D．?dāng)?shù)列{}有最大值
【答案】C
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的公差即可判斷AB,根據(jù)的函數(shù)特征即可結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解CD.
【詳解】由于公差，所以單調(diào)遞減，故A正確，由于為無(wú)窮的遞減等差數(shù)列，所以B正確，由，故為開口向下關(guān)于 的二次函數(shù)，且對(duì)稱軸為，由于對(duì)稱軸與1的關(guān)系不明確，所以無(wú)法確定單調(diào)性，但是由于開口向下，故有最大值，故C錯(cuò)誤，D正確，
故選：C
4．（2029·湖北黃岡·黃岡中學(xué)?？级＃┮阎炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則取最大值時(shí)的值為（ ）
A．10B．11C．12D．19
【答案】A
【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)得出即可求解.
【詳解】等差數(shù)列，，，
，，則取最大值時(shí)，.
故選：A.
5．（2029·河南·開封高中?？寄M預(yù)測(cè)）已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則當(dāng)取最大值時(shí)，的值為（ ）
A．9B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)和前項(xiàng)和公式，可推得，，從而得解．
【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列中，，即，
所以，
因?yàn)?，即?br>所以，
由為等差數(shù)列，得時(shí)，；時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值．
故選：D.
6．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，且，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．B．C．D．與均為的最大值
【答案】C
【分析】由可判斷B；由，分析可判斷A；由可判斷C；由，可判斷D.
【詳解】根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，依次分析選項(xiàng)：
是等差數(shù)列，若，則，故B正確；
又由得，則有，故A正確；
而C選項(xiàng)，，即，可得，
又由且，則，必有，顯然C選項(xiàng)是錯(cuò)誤的.
∵，，∴與均為的最大值，故D正確；
故選：C
7．（2029·四川成都·成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列中，，且公差，則其前項(xiàng)和取得最大值時(shí)的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由題意判斷出，即可得到答案.
【詳解】由等差數(shù)列的公差，知，，所以，故，則數(shù)列的前項(xiàng)和取得最大值時(shí)的值為.
故選：B
8．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，都有，若，則（ ）
A．的最小值是B．的最小值是
C．的最大值是D．的最大值是
【答案】C
【分析】通過(guò)分析得數(shù)列為遞減的等差數(shù)列，根據(jù)得，，即可得到有最大值，為.
【詳解】由得，∴數(shù)列為遞減的等差數(shù)列，
∵，∴，，
∴當(dāng)且時(shí)，，當(dāng)且時(shí)，，
∴有最大值，最大值為.
故選：C.
9．（2029·四川自貢·統(tǒng)考三模）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差為d，若，，則下列四個(gè)命題正確個(gè)數(shù)為（ ）①為的最小值 ② ③， ④為的最小值
A．1B．2C．9D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)，即可得，，從而確定，即可逐項(xiàng)判斷得答案.
【詳解】等差數(shù)列中，，則，故②正確；
又，所以，故，則，故③正確；
于是可得等差數(shù)列滿足，其為遞增數(shù)列，則，又，所以為的最小值，故①正確，④不正確；
則四個(gè)命題正確個(gè)數(shù)為.
故選：C.
10．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)列是遞增的整數(shù)數(shù)列，若，，則的最大值為（ ）
A．25B．22C．24D．29
【答案】D
【分析】數(shù)列是遞增的整數(shù)數(shù)列，要取最大值，則遞增幅度要盡可能為小的整數(shù)，所以，可得是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.
【詳解】數(shù)列是遞增的整數(shù)數(shù)列，要取最大值，則遞增幅度要盡可能為小的整數(shù).
假設(shè)遞增的幅度為，，，
，解得，
當(dāng)時(shí)，，不滿足題意.
當(dāng)時(shí)，，滿足，所以的最大值為29.
故選：D.
11．（2029·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，都有，若，則（ ）
A．的最小值是B．的最小值是
C．的最大值是D．的最大值是
【答案】A
【分析】由結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可知數(shù)列為遞增的等差數(shù)列，由可得，，即可求出，有最小值，且最小值為.
【詳解】由，得，即，
所以數(shù)列為遞增的等差數(shù)列.
因?yàn)椋?，即?br>則，，所以當(dāng)且時(shí)，；
當(dāng)且時(shí)，.因此，有最小值，且最小值為.
故選：A.
12．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和為，若，，則在，，…，中最大的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由，，知，得最大值是，從而判斷結(jié)果．
【詳解】∵等差數(shù)列前n項(xiàng)和，
由，，得，
∴，
故為遞減數(shù)列，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以最大值是，
則當(dāng)時(shí)，且單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，∴最大．
故選：B．
19．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知各項(xiàng)為正的等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)的積為，且，若，數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，則當(dāng)取得最大值時(shí)，n等于（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【分析】設(shè)首項(xiàng)為，由題可知，則數(shù)列為等差數(shù)列，后由，
可得，即可得答案.
【詳解】設(shè)首項(xiàng)為，因等比數(shù)列各項(xiàng)為正，則，，則數(shù)列為等差數(shù)列.
，又由題可得，則
，即數(shù)列為遞減等差數(shù)列.
則數(shù)列前7項(xiàng)為正數(shù)，則當(dāng)取得最大值時(shí)，n等于7.
故選：B
14．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）等差數(shù)列的首項(xiàng)為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為.現(xiàn)有下列命題，其中是假命題的有（ ）
A．若有最大值，則數(shù)列的公差小于0
B．若，則使的最大的n為18
C．若，，則中最大
D．若，，則數(shù)列中的最小項(xiàng)是第9項(xiàng)
【答案】B
【分析】由有最大值可判斷A；由，可得，，利用可判斷BC； ，得，，
可判斷D.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，∵有最大值，∴ 等差數(shù)列一定有負(fù)數(shù)項(xiàng)，
∴等差數(shù)列為遞減數(shù)列，故公差小于0，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，∵，且，
∴，，
∴，，
則使的最大的n為17，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C，∵，，
∴，，
故中最大，故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D，∵，，
∴，，
故數(shù)列中的最小項(xiàng)是第9項(xiàng)，故選項(xiàng)D正確.
故選：B.
15．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)于數(shù)列，定義為的“優(yōu)值”．現(xiàn)已知數(shù)列的“優(yōu)值”，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．
C．D．的最小值為
【答案】B
【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)條件得到，求出；利用等差數(shù)列求和公式及分組求和得到；先得到，解不等式，得到時(shí)，且；并利用等差數(shù)列求和公式求出最小值.
【詳解】由題意可知，，則①，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，②，
①-②得，，解得，當(dāng)時(shí)也成立，
，A正確；
，B錯(cuò)誤；
，令，解得：，且，
故當(dāng)或9時(shí)，的前項(xiàng)和取最小值，
最小值為，CD正確．
故選：B
16．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.若存在實(shí)數(shù)，，使得，且，當(dāng)時(shí)，取得最大值，則的值為（ ）
A．12或19B．11或12
C．10或11D．9或10
【答案】B
【分析】根據(jù)變形為，令，則，由此可設(shè)函數(shù)，利用其導(dǎo)數(shù)推得，結(jié)合可得，即，從而推得，，結(jié)合等差數(shù)列的單調(diào)性即可求得答案.
【詳解】由等差數(shù)列中， ，即 ,
而，即有,
令 ，則有 ，
令函數(shù) ，則 ,
當(dāng) 時(shí)， ， 單調(diào)遞減；當(dāng) 時(shí)，，單調(diào)遞增,
故,從而有 ，則有 ,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立;
同理 ，即 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立,
又，所以，故有，所以, ,
則 ,從而 ,得 ,
又，，所以，故等差數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，
當(dāng)或時(shí)，取得最大值，所以或 ，
故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查的是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和最大值問(wèn)題，思路是不難，大，即確定數(shù)列是遞減數(shù)列，判斷前多少項(xiàng)為非負(fù)項(xiàng)即可，但關(guān)鍵點(diǎn)在于如何求得正負(fù)項(xiàng)分界的項(xiàng)，即求得，，所以這里的關(guān)鍵是利用，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合最值解決這一問(wèn)題.
二、多選題
17．（2029·福建泉州·泉州五中?？寄M預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，且，成等比數(shù)列，則（ ）
A．B．
C．當(dāng)時(shí)，是的最大值D．當(dāng)時(shí)，是的最小值
【答案】ACD
【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)得到方程，即可得到，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式及單調(diào)性判斷即可.
【詳解】因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，即，
整理得，因?yàn)?，所以?br>所以，則，故A正確、B錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，此時(shí)，
所以當(dāng)或時(shí)取得最大值，即，故C正確；
當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，此時(shí)，
所以當(dāng)或時(shí)取得最小值，即，故D正確；
故選：ACD
18．（2029春·河南·高三階段練習(xí)）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，若，則（ ）
A．B．
C．當(dāng)時(shí)，取得最大值D．當(dāng)時(shí)，取得最大值
【答案】BC
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，即可結(jié)合選項(xiàng)判斷.
【詳解】，所以，故，
當(dāng)時(shí)，取得最大值.故BC正確，AD錯(cuò)誤.
故選：BC
19．（2029·湖北武漢·華中師大一附中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列是等差數(shù)列，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．為定值B．若，則時(shí)最大
C．若，使為負(fù)值的n值有9個(gè)D．若，則
【答案】AD
【分析】根據(jù)題意利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，可判斷A；利用結(jié)合，解得公差，判斷數(shù)列的單調(diào)性，可判斷B；求得等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，解不等式可判斷C；求出數(shù)列公差和首項(xiàng)，即可求得，判斷D.
【詳解】由數(shù)列是等差數(shù)列，，有，即，
由等差數(shù)列性質(zhì)得為定值，選項(xiàng)A正確．
當(dāng)時(shí)，，公差，則數(shù)列是遞減數(shù)列，
則，，故時(shí)，最大，選項(xiàng)B錯(cuò)誤．
當(dāng)時(shí)，由于，則，，
令得，又，
故為負(fù)值的值有2個(gè)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤．
當(dāng)時(shí)，設(shè)公差為d，即，結(jié)合,即,
解得，，故，選項(xiàng)D正確．
故選：AD
20．（2029春·安徽亳州·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列B．
C．當(dāng)時(shí)，D．
【答案】ABC
【分析】由得，即可判斷AB；結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)求和公式與等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷CD.
【詳解】A：由，得，
，，則數(shù)列為遞減數(shù)列，故A正確；
B：由選項(xiàng)A的分析可知，，故B正確；
C：因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以?br>因?yàn)閿?shù)列是遞減數(shù)列，所以當(dāng)時(shí)，，故C正確；
D：，故D錯(cuò)誤；
故選：ABC.
21．（2029秋·山東濟(jì)南·高三統(tǒng)考期中）已知等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．的最大值為
C．的最小值為D．
【答案】ACD
【分析】先由數(shù)列為等差數(shù)列，得再由等差數(shù)列通項(xiàng)公式和求和公式對(duì)選項(xiàng)逐一分析即可.
【詳解】對(duì)于A,數(shù)列為等差數(shù)列，，
數(shù)列為遞減的等差數(shù)列，
故A正確，
對(duì)于B, 數(shù)列為遞減的等差數(shù)列，
的最大值為，
故B錯(cuò)，
對(duì)于C,
由得
的最小值為,即，
故C正確，
對(duì)于D,
故D正確.
故選：ACD
22．（2029·江蘇鹽城·校考模擬預(yù)測(cè)）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，若，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則B．若，則最小
C．D．
【答案】ACD
【分析】根據(jù)題意得，再分和兩種情況討論求解即可.
【詳解】解：因?yàn)?，即?br>因?yàn)椋?br>所以，
所以當(dāng)，，所以，即，所以，所以，最小，此時(shí)；
當(dāng)，，所以，即，所以，即所以，，此時(shí)；
故ACD滿足題意.
故選：ACD
29．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，且，則下列選項(xiàng)中正確的是（ ）
A．B．和均為的最大值
C．存在正整數(shù)，使得D．存在正整數(shù)，使得
【答案】ACD
【分析】設(shè)數(shù)列公差為d，根據(jù)已知條件和判斷公差正負(fù)，求出和d關(guān)系，逐項(xiàng)驗(yàn)證即可.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為d，由得，化簡(jiǎn)得；
∵，
∴，即，∴，
∴，，∴d＜0，故數(shù)列為減數(shù)列，故A正確；
，，，故為的最大值，故B錯(cuò)誤；
，故，故C正確；
時(shí)，，即，
又由得，
∴，解得，故D正確.
故選：ACD.
三、填空題
24．（2029秋·遼寧·高三校聯(lián)考期末）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，為前項(xiàng)和，則最小值時(shí)， .
【答案】或
【分析】求出時(shí)的范圍即可得答案.
【詳解】令得，
即當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
最小值時(shí)，或
故答案為：或.
25．（2029春·河南信陽(yáng)·高三信陽(yáng)高中校考階段練習(xí)）已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.若，，則當(dāng)取最小值時(shí)，的值為 .
【答案】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式及下標(biāo)和性質(zhì)得到，，即可判斷.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>又，所以，則
所以為遞增的等差數(shù)列，且，
所以，即當(dāng)取最小值時(shí)，的值為.
故答案為：
26．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）是數(shù)列的前n項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，取得最小值，寫出一個(gè)符合條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式，an= .
【答案】（答案不唯一）
【分析】根據(jù)題意，找一個(gè)符合題意的等差數(shù)列即可得到正確答案.
【詳解】由題意，我們可以取一個(gè)等差數(shù)列：
當(dāng)時(shí)，時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.
所以符合題意.
故答案為：（答案不唯一）
27．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）首項(xiàng)為正數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，現(xiàn)有下列4個(gè)命題：
①若，則；
②若，則；
③若，則中最大；
④若，則使的的最大值為11．
其中所有真命題的序號(hào)是 ．
【答案】②③④
【分析】①由題意可以推出，不能推出，判斷①錯(cuò)誤；②由題意可得，判斷出②正確；③由題意可得，判斷出③正確；④由題意可得，進(jìn)而，判斷出④正確．
【詳解】若，則，不能推出，即不能推出，故①錯(cuò)誤；
若，則，即，則，故②正確；
若，則，
所以，則中最大，故③正確；
若，則，
即，
因?yàn)槭醉?xiàng)為正數(shù)，則公差小于0，則，
則，，
則使的的最大值為11，故④正確．
故答案為：②③④．
28．（2029春·江西宜春·高三?？奸_學(xué)考試）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為且，當(dāng)取最大值時(shí)，的值為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，用首項(xiàng)表示公差，代入前項(xiàng)和公式，化簡(jiǎn)得到為關(guān)于開口向下的二次函數(shù)，進(jìn)而求出其最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的的值.
【詳解】因?yàn)?，所以，即，化?jiǎn)后可得．
，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，取得最大值．
故答案為：.
29．（2029·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知是等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，若僅當(dāng)時(shí)取到最小值，且，則滿足的n的最小值為 .
【答案】11
【分析】由前n項(xiàng)和有最小值可知，得出，所以，再由即可求出n的最小值.
【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)取到最小值，
所以，所以，
因?yàn)椋?，即，所?
，則，因?yàn)椋?br>所以，解之得：,因?yàn)?，所以n的最小值為11.
故答案為：11.
90．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則的最小值是 .
【答案】
【分析】根據(jù) 的關(guān)系可得，進(jìn)而由等差數(shù)列求和公式求解，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解最值.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，即，解得或.因?yàn)?，所?
當(dāng)時(shí)，，所以，即，即.因?yàn)椋?，所以，即，則，從而，故，當(dāng)或時(shí)，取得最小值，最小值是.
故答案為：
91．（2029秋·江西贛州·高三贛州市贛縣第三中學(xué)?？计谥校┮阎炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和為，并且，若對(duì)恒成立，則正整數(shù)的值為 .
【答案】
【分析】根據(jù)已知條件將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題，再利用等差數(shù)列的下角標(biāo)性質(zhì)及等差數(shù)列前項(xiàng)和公式即可求解.
【詳解】由題意可知，所以，
同理得，所以.
結(jié)合，可得.
當(dāng)時(shí)，取得最大值為，
要使對(duì)恒成立，只需要，即可，
所以,，即.
所以正整數(shù)的值為.
故答案為：.
四、解答題
92．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求，并求的最小值.
【答案】(1)；
(2)，最小值為．
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式由列出方程即可解出，從而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)或者鄰項(xiàng)變號(hào)法即可判斷何時(shí)取最小值，并根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求出以及其最小值．
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可得
因?yàn)椋?，解得?br>故.
（2）由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可得.
因?yàn)?，所以，則當(dāng)或時(shí)，取得最小值.
99．（2029·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列是遞減數(shù)列，設(shè)其前項(xiàng)和為，且滿足，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的最大值及相應(yīng)的的值．
【答案】(1)
(2)25，或5
【分析】（1）利用數(shù)列前項(xiàng)和的定義及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列公差為，則
由，得，
將代入上式解得或（舍），
所以的通項(xiàng)公式為．
（2）由（1）得，
所以，
故數(shù)列是以10為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
令，解得，
故，
即當(dāng)或5時(shí)，取得最大值25．
94．（2029春·青海西寧·高三?？奸_學(xué)考試）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．
(1)證明：是等差數(shù)列；
(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．
【答案】(1)證明見解析；
(2)．
【分析】（1）依題意可得，根據(jù)，作差即可得到，從而得證；
（2）法一：由（1）及等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出，即可得到的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得．
【詳解】（1）因?yàn)?，即①?br>當(dāng)時(shí)，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以為公差的等差數(shù)列．
（2）[方法一]：二次函數(shù)的性質(zhì)
由（1）可得，，，
又，，成等比數(shù)列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，當(dāng)或時(shí)，．
[方法二]：【最優(yōu)解】鄰項(xiàng)變號(hào)法
由（1）可得，，，
又，，成等比數(shù)列，所以，
即，解得，
所以，即有.
則當(dāng)或時(shí)，．
【整體點(diǎn)評(píng)】（2）法一：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值，適用于可以求出的表達(dá)式；
法二：根據(jù)鄰項(xiàng)變號(hào)法求最值，計(jì)算量小，是該題的最優(yōu)解．
95．（2029·遼寧丹東·統(tǒng)考二模）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義，結(jié)合數(shù)列前項(xiàng)和與第項(xiàng)的關(guān)系進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)等差數(shù)列的單調(diào)性進(jìn)行求解證明即可.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，
由，兩式相減，得
．所以數(shù)列從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差為，
因?yàn)?，所以?br>所以當(dāng)時(shí)，，顯然不適合，
故；
（2）因?yàn)?，，?shù)列從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差為，
所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，
當(dāng)，所以當(dāng)時(shí)，有最大值，
最大值為，所以.
96．（2029·貴州貴陽(yáng)·校聯(lián)考三模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，有．
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)若，，求的最大值．
【答案】(1)證明見解析
(2)60
【分析】（1）由及的關(guān)系求得，可得數(shù)列是等差數(shù)列．
（2）求得,后用二次函數(shù)求最大值.
【詳解】（1）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有①，
所以當(dāng)時(shí)，②，
由①?②，整理可得，所以數(shù)列是等差數(shù)列．
（2）由（1）可知是等差數(shù)列，所以
可得
所以數(shù)列的公差，
所以，
所以，
又，所以當(dāng)或時(shí)，取到最大值為60．

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高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)(新高考)素養(yǎng)拓展15平面向量中的最值(范圍)問(wèn)題(精講+精練)學(xué)生版+解析：

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高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)(新高考)素養(yǎng)拓展14平面向量中等和線的應(yīng)用(精講+精練)學(xué)生版+解析：

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