一、知識點梳理
一、累加法
形如型的遞推數(shù)列（其中是關于的函數(shù)）可構(gòu)造：
將上述個式子兩邊分別相加，可得：
= 1 \* GB3 ①若是關于的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；
= 2 \* GB3 ② 若是關于的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；
= 3 \* GB3 ③若是關于的二次函數(shù)，累加后可分組求和；
= 4 \* GB3 ④若是關于的分式函數(shù)，累加后可裂項求和．
二、累乘法
形如型的遞推數(shù)列（其中是關于的函數(shù)）可構(gòu)造：
將上述個式子兩邊分別相乘，可得：
三、構(gòu)造法
1.第一種形式：形如（其中均為常數(shù)且）型的遞推式
（1）若時，數(shù)列{}為等差數(shù)列；
（2）若時，數(shù)列{}為等比數(shù)列；
（9）若且時，數(shù)列{}為線性遞推數(shù)列，其通項可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來求．方法有如下兩種：
法一：設，展開移項整理得，與題設比較系數(shù)（待定系數(shù)法）得，即構(gòu)成以為首項，以為公比的等比數(shù)列．再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得
法二：由得兩式相減并整理得即構(gòu)成以為首項，以為公比的等比數(shù)列．求出的通項再轉(zhuǎn)化為累加法便可求出
2.第二種形式：形如型的遞推式
（1）當為一次函數(shù)類型（即等差數(shù)列）時：
法一：設，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得
法二：當?shù)墓顬闀r，由遞推式得：，兩式相減得：，令得：轉(zhuǎn)化為第一種形式，求出 ，再用累加法便可求出
（2）當為指數(shù)函數(shù)類型（即等比數(shù)列）時：
法一：設，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得
法二：當?shù)墓葹闀r，由遞推式得：——①，，兩邊同時乘以得——②，由①②兩式相減得，即，在轉(zhuǎn)化為第一種形式便可求出
法三：遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）或（其中p，q， r均為常數(shù)）時，要先在原遞推公式兩邊同時除以，得：，引入輔助數(shù)列（其中），得：再應用類型第一種形式的方法解決．
（9）當為任意數(shù)列時，可用通法：
在兩邊同時除以可得到，令，則，在轉(zhuǎn)化為累加法，求出之后得．
二、題型精講精練
【典例1】在數(shù)列中，，.求的通項公式.
【分析】利用累加法以及等差數(shù)列的求和公式可求出結(jié)果.
【詳解】因為，
所以當時，
，
又適合上式，所以.
【典例2】已知數(shù)列{an}，a1=1，(n＋1)an+1＝nan，求通項公式an.
【答案】an＝
【分析】由題得＝，再利用累乘法求解.
【詳解】∵(n＋1)an+1＝nan，，∴＝.
∴＝ (n≥2)．
以上各式相乘，得.∵an＝ (n≥2)
又a1＝1滿足上式，∴an＝(n∈N*)．
【典例9】已知數(shù)列中，，且對任意，都有．求數(shù)列的通項公式；
【分析】(1)構(gòu)造等比數(shù)列求通項；
【詳解】（1）由得
又，所以數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以.
【題型訓練1-刷真題】
一、單選題
1．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列滿足，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項和為，則（ ）
A．B．C．D．
二、解答題
9．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．
(1)求的通項公式；
(2)證明：．
【題型訓練2-刷模擬】
1.累加法
一、單選題
1．（2029·全國·高三專題練習）數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項公式為（ ）
A．B．
C．D．
2．（2029·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，則的通項公式為（ ）
A．B．C．D．
9．（2029·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，則（ ）
A．90B．91C．22D．29
4．（2029·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，則的通項為( )
A．B．
C．D．
5．（2029·全國·高三專題練習）若數(shù)列滿足且，則數(shù)列的第100項為（ ）
A．2B．9C．D．
6．（2029·全國·高三專題練習）已知是數(shù)列的前n項和，且對任意的正整數(shù)n，都滿足：，若，則（ ）
A．B．C．D．
7．（2029·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，且，則（ ）
A．6065B．6064C．4044D．4049
8．（2029·全國·高三專題練習）在數(shù)列中，，，則
A．B．C．D．
9．（2029·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，則的最小值為（ ）
A．10.5B．10.6C．10.4D．10.7
二、填空題
10．（2029·全國·高三專題練習）在數(shù)列中，，則數(shù)列中最大項的數(shù)值為 ．
11．（2029·全國·高三專題練習）設數(shù)列滿足，則= .
12．（2029·全國·高三專題練習）數(shù)列滿足，且對任意的都有，則數(shù)列的前100項的和為 .
19．（2029·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的各項均不為零，且滿足，（，），則的通項公式 ．
14．（2029·全國·高三專題練習）數(shù)列中，且，則 .
三、解答題
15．（2029·全國·高三專題練習）已知等差數(shù)列的首項為，公差為2.數(shù)列滿足
(1)求取得最小值時的值；
(2)若，證明：.
16．（2029·陜西西安·西安市大明宮中學?？寄M預測）在數(shù)列中，，.
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前n項和.
17．（2029·河南鄭州·模擬預測）已知數(shù)列滿足：，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)令，求數(shù)列的前n項和．
18．（2029·全國·高三專題練習）某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，下圖①、②、③、④為她們刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮，現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設第個圖形包含個小正方形.

(1)求出；
(2)歸納出與的關系式，并根據(jù)你得到的關系式求的表達式；
(9)求證：.
19．（2029·內(nèi)蒙古赤峰·校聯(lián)考三模）設各項都為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，且，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設函數(shù)，且，求數(shù)列的前n項和．
20．（2029·全國·學軍中學校聯(lián)考二模）設數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)在數(shù)列的任意與項之間，都插入個相同的數(shù)，組成數(shù)列，記數(shù)列的前項的和為，求的值.
2.累乘法
一、單選題
1．（2029·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，且，則（ ）
A．B．0C．1D．2
2．（2029·全國·高三專題練習）已知，，則數(shù)列的通項公式是（ ）
A．B．C．D．n
9．（2029·全國·高三專題練習）數(shù)列中，，（為正整數(shù)），則的值為（ ）
A．B．C．D．
4．（2029·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前項和，且，則（ ）
A．B．C．D．
5．（2029·四川綿陽·綿陽南山中學實驗學校校考模擬預測）若數(shù)列滿足且，則滿足不等式的最大正整數(shù)為（ ）
A．20B．19C．21D．22
二、填空題
6．（2029·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，則的通項公式為 ．
7．（2029·全國·高三專題練習）在數(shù)列中，若，，則的通項公式為 ．
8．（2029·全國·高三專題練習）數(shù)列滿足：，，則通項 ．
三、解答題
9．（2029·浙江金華·校考三模）已知等差數(shù)列的各項均為正數(shù)，，.
(1)求的前項和；
(2)若數(shù)列滿足，，求的通項公式.
10．（2029春·山東臨沂·高三?？茧A段練習）已知數(shù)列的首項為1，前項和為，且滿足.
(1)求的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和.
11．（2029春·山西呂梁·高二統(tǒng)考階段練習）已知數(shù)列滿足．
(1)若是等比數(shù)列，且成等差數(shù)列，求的通項公式；
(2)若是公差為2的等差數(shù)列，證明：．
12．（2029·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預測）已知是數(shù)列的前項和，，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和．
19．（2029·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前項和為，．
(1)證明：是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項積．
9.構(gòu)造法
一、單選題
1．（2029·江蘇淮安·江蘇省盱眙中學?？寄M預測）在數(shù)列中，，且，則的通項為（ ）
A．B．
C．D．
2．（2029·全國·高三專題練習）已知數(shù)列中，，則等于（ ）
A．B．
C．D．
9．（2029·全國·高三專題練習）在數(shù)列中,,,則（ ）
A．是等比數(shù)列B．是等比數(shù)列
C．是等比數(shù)列D．是等比數(shù)列
4．（2029·全國·高三專題練習）已知數(shù)列中，，，則數(shù)列的前10項和（ ）
A．B．C．D．2
5．（2029·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前項和為，若，則（ ）
A．B．C．D．2029
6．（2029·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前項和為，若，則（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
7．（2029·全國·高三專題練習）已知數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項公式為 .
8．（2029·全國·高三對口高考）數(shù)列中，，，則 ．
9．（2029·全國·高三專題練習）數(shù)列{an}滿足，，則數(shù)列{an}的通項公式為 .
10．（2029·全國·高三專題練習）已知數(shù)列中，，若，則正整數(shù)的值為 .
11．（2029·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項公式 ．
12．（2029·全國·高三專題練習）數(shù)列的前項和為，滿足，且，則的通項公式是 ．
19．（2029·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，則 ．
三、解答題
14．（2029·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，．
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)若，為數(shù)列的前n項和，求．
15．（2029·貴州畢節(jié)·?？寄M預測）已知數(shù)列，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和．
16．（2029·全國·高三專題練習）若，，.
(1)求證：；
(2)令，寫出、、、的值，觀察并歸納出這個數(shù)列的通項公式.
17．（2029春·云南昭通·高三?？茧A段練習）已知數(shù)列滿足，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項和．
18．（2029·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，．
(1)證明：是等比數(shù)列；
(2)證明：存在兩個等比數(shù)列，，使得成立．
19．（2029·全國·高三專題練習）設數(shù)列的前n項和為Sn，滿足，且成等差數(shù)列．
(1)求的值；
(2)求數(shù)列的通項公式．
20．（2029·遼寧鞍山·統(tǒng)考模擬預測）已知數(shù)列的前項和為，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)記，求數(shù)列的前項和．
2024年高考數(shù)學高頻考點題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）
素養(yǎng)拓展20 累加、累乘、構(gòu)造法求數(shù)列通項公式（精講+精練）
一、知識點梳理
一、累加法
形如型的遞推數(shù)列（其中是關于的函數(shù)）可構(gòu)造：
將上述個式子兩邊分別相加，可得：
= 1 \* GB3 ①若是關于的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；
= 2 \* GB3 ② 若是關于的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；
= 3 \* GB3 ③若是關于的二次函數(shù)，累加后可分組求和；
= 4 \* GB3 ④若是關于的分式函數(shù)，累加后可裂項求和．
二、累乘法
形如型的遞推數(shù)列（其中是關于的函數(shù)）可構(gòu)造：
將上述個式子兩邊分別相乘，可得：
三、構(gòu)造法
1.第一種形式：形如（其中均為常數(shù)且）型的遞推式
（1）若時，數(shù)列{}為等差數(shù)列；
（2）若時，數(shù)列{}為等比數(shù)列；
（9）若且時，數(shù)列{}為線性遞推數(shù)列，其通項可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來求．方法有如下兩種：
法一：設，展開移項整理得，與題設比較系數(shù)（待定系數(shù)法）得，即構(gòu)成以為首項，以為公比的等比數(shù)列．再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得
法二：由得兩式相減并整理得即構(gòu)成以為首項，以為公比的等比數(shù)列．求出的通項再轉(zhuǎn)化為累加法便可求出
2.第二種形式：形如型的遞推式
（1）當為一次函數(shù)類型（即等差數(shù)列）時：
法一：設，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得
法二：當?shù)墓顬闀r，由遞推式得：，兩式相減得：，令得：轉(zhuǎn)化為第一種形式，求出 ，再用累加法便可求出
（2）當為指數(shù)函數(shù)類型（即等比數(shù)列）時：
法一：設，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得
法二：當?shù)墓葹闀r，由遞推式得：——①，，兩邊同時乘以得——②，由①②兩式相減得，即，在轉(zhuǎn)化為第一種形式便可求出
法三：遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）或（其中p，q， r均為常數(shù)）時，要先在原遞推公式兩邊同時除以，得：，引入輔助數(shù)列（其中），得：再應用類型第一種形式的方法解決．
（9）當為任意數(shù)列時，可用通法：
在兩邊同時除以可得到，令，則，在轉(zhuǎn)化為累加法，求出之后得．
二、題型精講精練
【典例1】在數(shù)列中，，.求的通項公式.
【分析】利用累加法以及等差數(shù)列的求和公式可求出結(jié)果.
【詳解】因為，
所以當時，
，
又適合上式，所以.
【典例2】已知數(shù)列{an}，a1=1，(n＋1)an+1＝nan，求通項公式an.
【答案】an＝
【分析】由題得＝，再利用累乘法求解.
【詳解】∵(n＋1)an+1＝nan，，∴＝.
∴＝ (n≥2)．
以上各式相乘，得.∵an＝ (n≥2)
又a1＝1滿足上式，∴an＝(n∈N*)．
【典例9】已知數(shù)列中，，且對任意，都有．求數(shù)列的通項公式；
【分析】(1)構(gòu)造等比數(shù)列求通項；
【詳解】（1）由得
又，所以數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以.
【題型訓練1-刷真題】
一、單選題
1．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列滿足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先通過遞推關系式確定除去，其他項都在范圍內(nèi)，再利用遞推公式變形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放縮可得出．
【詳解】∵，易得，依次類推可得
由題意，，即，
∴，
即，，，…，，
累加可得，即，
∴，即，,
又，
∴，，，…，，
累加可得，
∴，
即，∴，即；
綜上：．
故選：B．
【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是利用遞推關系進行合理變形放縮.
2．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項和為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】顯然可知，，利用倒數(shù)法得到，再放縮可得，由累加法可得，進而由局部放縮可得，然后利用累乘法求得，最后根據(jù)裂項相消法即可得到，從而得解．
【詳解】因為，所以，．
由
，即
根據(jù)累加法可得，，當且僅當時取等號，
，
由累乘法可得，當且僅當時取等號，
由裂項求和法得：
所以，即．
故選：A．
【點睛】本題解題關鍵是通過倒數(shù)法先找到的不等關系，再由累加法可求得，由題目條件可知要證小于某數(shù)，從而通過局部放縮得到的不等關系，改變不等式的方向得到，最后由裂項相消法求得．
二、解答題
9．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．
(1)求的通項公式；
(2)證明：．
【答案】(1)
(2)見解析
【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式求得，得到，利用和與項的關系得到當時，,進而得：，利用累乘法求得，檢驗對于也成立，得到的通項公式；
（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項求和法得到，進而證得.
【詳解】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差為的等差數(shù)列，
∴,∴,
∴當時，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
顯然對于也成立，
∴的通項公式；
（2）
∴
【題型訓練2-刷模擬】
1.累加法
一、單選題
1．（2029·全國·高三專題練習）數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項公式為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)，利用累加法結(jié)合等差數(shù)列前n項和的公式即可得出答案.
【詳解】解：因為，
則，
，
，
，
累加得，
所以.
當n=1時也成立
故選：A.
2．（2029·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，則的通項公式為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】由得，∴
，∴，當時也符合，∴數(shù)列的通項公式為.故選C.
9．（2029·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，則（ ）
A．90B．91C．22D．29
【答案】B
【分析】根據(jù)題意利用累加法求解即可
【詳解】因為數(shù)列滿足，，
所以，，，，
所以，
所以，
故選：B
4．（2029·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，則的通項為( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先把，利用累加法和裂項相消法可求答案.
【詳解】因為，所以，則當時，，
將個式子相加可得，
因為，則，當時，符合題意，
所以.
故選：D.
5．（2029·全國·高三專題練習）若數(shù)列滿足且，則數(shù)列的第100項為（ ）
A．2B．9C．D．
【答案】B
【分析】直接用累加法求解即可．
【詳解】解：由題意，因為，
所以，

，
，
以上99個式子累加得，
．
故選：B．
6．（2029·全國·高三專題練習）已知是數(shù)列的前n項和，且對任意的正整數(shù)n，都滿足：，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】運用累加法求得的通項公式，再運用裂項相消法求和即可.
【詳解】解：當時，由累加法可得：，
所以（），
又因為，
所以（），
當時，，符合，
所以（），
所以，
所以．
故選：A.
7．（2029·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，且，則（ ）
A．6065B．6064C．4044D．4049
【答案】B
【分析】先由得到，再利用裂項抵消法進行求解.
【詳解】因為，
所以，
即，
所以，，
，，
累加，得，
即，即，n=1成立
則.
故選：B.
8．（2029·全國·高三專題練習）在數(shù)列中，，，則
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】試題分析：在數(shù)列中，
故選A.
9．（2029·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，則的最小值為（ ）
A．10.5B．10.6C．10.4D．10.7
【答案】A
【分析】由所給表達式，結(jié)合累加法可求得的通項公式；
進而求得的表達式，因為取正整數(shù)，利用最低點附近的求的最小值．
【詳解】因為，所以由遞推公式可得

當時，等式兩邊分別相加，得
，
因為，則，而滿足上式，
所以，
即,，
函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又因為 ，，
當時，，
當時，，
因為，
所以的最小值為，
故選: .
二、填空題
10．（2029·全國·高三專題練習）在數(shù)列中，，則數(shù)列中最大項的數(shù)值為 ．
【答案】10
【分析】利用累加法，求出是一個二次函數(shù)類型的數(shù)列，通過二次函數(shù)的最值求解即可
【詳解】當時，
，
所以當時，數(shù)列{}中最大項的數(shù)值為10.
故答案為：10.
11．（2029·全國·高三專題練習）設數(shù)列滿足，則= .
【答案】
【分析】利用累加法和等比數(shù)列的前項和公式直接求通項即可.
【詳解】因為數(shù)列滿足，，
所以當時，
.
所以，，
因為，也滿足上式，
所以數(shù)列的通項公式為，
故答案為：
12．（2029·全國·高三專題練習）數(shù)列滿足，且對任意的都有，則數(shù)列的前100項的和為 .
【答案】
【分析】先根據(jù)累加法求出數(shù)列的通項公式，然后利用裂項求和進行求解.
【詳解】由，則，……，于是，則，故數(shù)列的前項的和為：.
故答案為：
19．（2029·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的各項均不為零，且滿足，（，），則的通項公式 ．
【答案】
【分析】變換得到，設，得到，利用累加法計算得到答案.
【詳解】，則，
設，，則，
，
而也符合該式，故，故.
故答案為：
14．（2029·全國·高三專題練習）數(shù)列中，且，則 .
【答案】100
【分析】先裂項，然后由累加法可得.
【詳解】∵ ，∴
∵=9，即=9，解得n=100
故答案為：100
三、解答題
15．（2029·全國·高三專題練習）已知等差數(shù)列的首項為，公差為2.數(shù)列滿足
(1)求取得最小值時的值；
(2)若，證明：.
【答案】(1)2；
(2)證明見解析.
【分析】（1）利用累加法結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即得；
（2）利用裂項求和法結(jié)合條件即得.
【詳解】（1）由，得，
累加可得：，
所以，
顯然取最小值時，的值為2.
（2）若，則，即，
所以
顯然時，，
可得.
16．（2029·陜西西安·西安市大明宮中學?？寄M預測）在數(shù)列中，，.
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前n項和.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由得，然后利用累加法求出即可得證；
（2），利用分組求和法和錯位相減法可得答案.
【詳解】（1）由得，
∴，
，
??，
，
∴，
∴，，,
∴數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）由（1）可得，
∴，
令，①
∴，②
錯位相減，②﹣①，得：
，
∴.
17．（2029·河南鄭州·模擬預測）已知數(shù)列滿足：，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)令，求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)
(2)且
【分析】（1）由，利用累加法求數(shù)列通項公式，注意驗證；
（2）由題設得，討論的奇偶性分別求出對應前n項和即可.
【詳解】（1），
當時
，檢驗知：當時上式也成立，
故．
（2）．
當為偶數(shù)時，；
當為奇數(shù)時，且，
又時滿足上式，此時；
且.
18．（2029·全國·高三專題練習）某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，下圖①、②、③、④為她們刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮，現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設第個圖形包含個小正方形.

(1)求出；
(2)歸納出與的關系式，并根據(jù)你得到的關系式求的表達式；
(9)求證：.
【答案】(1)41
(2)，
(9)證明見解析
【分析】（1）直接根據(jù)圖形中小正方形排列規(guī)律可得；
（2）先對已知的前幾個圖形中小正方形個數(shù)作差（后一個減去前一個），從而找出規(guī)律，進而歸納出，然后利用累加法求出；
（9）根據(jù)的特點，利用裂項相消法求和，進而證出不等式.
【詳解】（1）∵，，，，
∴.
（2）∵，，，，
，
∴，，
，，，
以上各式相加得，
∴，
又時，也適合，
∴.
（9）當時，，
，
∴.
19．（2029·內(nèi)蒙古赤峰·校聯(lián)考三模）設各項都為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，且，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設函數(shù)，且，求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）由遞推關系，根據(jù)累加法求數(shù)列的通項公式；
（2）由條件可得，利用錯位相減法求數(shù)列的前n項和.
【詳解】（1）由，可得，
當時，，
以上各式分別相加得，又，
所以當時，，
經(jīng)檢驗符合，
所以，；
（2），
，
，
兩式相減得：
，
所以，
故，
所以.
20．（2029·全國·學軍中學校聯(lián)考二模）設數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)在數(shù)列的任意與項之間，都插入個相同的數(shù)，組成數(shù)列，記數(shù)列的前項的和為，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由條件證明數(shù)列為等比數(shù)列，利用累加法求數(shù)列的通項公式；
（2）數(shù)列中在之前共有項，由此確定前項的值，再分組，結(jié)合等比求和公式可求得答案.
【詳解】（1）因為，
所以，又，
所以數(shù)列為首項為1，公比為的等比數(shù)列，
所以，
所以當時，
，
所以，
所以當時，，又也滿足該關系，
所以數(shù)列的通項公式為；
（2）數(shù)列中在之前共有項，
當時，，當時
2.累乘法
一、單選題
1．（2029·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，且，則（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】A
【分析】通過累乘法可求出，再利用遞推式求出，進而答案可求.
【詳解】解：，
，∴
∴，，∴，∴，
故選：A.
2．（2029·全國·高三專題練習）已知，，則數(shù)列的通項公式是（ ）
A．B．C．D．n
【答案】D
【分析】根據(jù)題意可得，再利用累乘法計算可得；
【詳解】由，得，
即，
則，，，…，，
由累乘法可得，所以，
又，符合上式，所以.
故選：D．
9．（2029·全國·高三專題練習）數(shù)列中，，（為正整數(shù)），則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】結(jié)合遞推式特征，利用累乘法算出，進而可得答案.
【詳解】因為，
所以，
所以，
故選：A
4．（2029·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前項和，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】，又由，后由累乘法可得答案.
【詳解】注意到，則當時，.
故.
故選：B
5．（2029·四川綿陽·綿陽南山中學實驗學校?？寄M預測）若數(shù)列滿足且，則滿足不等式的最大正整數(shù)為（ ）
A．20B．19C．21D．22
【答案】A
【分析】由題意利用累乘法可得，解不等式即可得解.
【詳解】,
當時，，
，
當時，，，
又 ，，解得，
又 ，故所求的最大值為.
故答案為：A.
【點睛】本題考查了累乘法求數(shù)列通項的應用，考查了一元二次不等式的解法，屬于中檔題.
二、填空題
6．（2029·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，則的通項公式為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)累乘法求出當時的通項公式，并驗證也滿足，從而得到的通項公式.
【詳解】因為數(shù)列滿足，，則，
所以，當時，，
也滿足，所以，對任意的，．
故答案為：
7．（2029·全國·高三專題練習）在數(shù)列中，若，，則的通項公式為 ．
【答案】
【分析】將變?yōu)?，利用累乘法即可求得答?
【詳解】由題意知，故，
故
，
故答案為：
8．（2029·全國·高三專題練習）數(shù)列滿足：，，則通項 ．
【答案】
【分析】當時，與兩式相減，可得出，再由累乘法計算即可得出答案.
【詳解】由題意得：①，
當時，，
當時，②，
①②得：，
所以，，，，…，，
累乘得，當時，不滿足，
則．
故答案為：.
三、解答題
9．（2029·浙江金華·?？既＃┮阎炔顢?shù)列的各項均為正數(shù)，，.
(1)求的前項和；
(2)若數(shù)列滿足，，求的通項公式.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)得到，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求出公差，代入等差數(shù)列的前項和公式進而求解；
（2）結(jié)合（1）的結(jié)論得到，進而得到，利用累乘法求出.
【詳解】（1）等差數(shù)列中，因為，所以，
又因為等差數(shù)列的各項均為正數(shù).所以，
又因為，所以.
所以.
（2）由（1）得，因為，且，所以，
所以.
所以.
所以.
當時也符合.
所以的通項公式為.
10．（2029春·山東臨沂·高三?？茧A段練習）已知數(shù)列的首項為1，前項和為，且滿足.
(1)求的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用得，再根據(jù)累乘法可求出；
（2）根據(jù)錯位相減法可求出結(jié)果.
【詳解】（1）因為，，所以，
當時，，所以，
所以，所以，因為，所以，
所以，
所以當時，，
又時，也符合，
所以.
（2）由（1）知，，所以，
所以，
，
所以，
所以，
所以.
11．（2029春·山西呂梁·高二統(tǒng)考階段練習）已知數(shù)列滿足．
(1)若是等比數(shù)列，且成等差數(shù)列，求的通項公式；
(2)若是公差為2的等差數(shù)列，證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）設的公比為q，由題意列式求得q，再結(jié)合已知可得，即可求得答案；
（2）由已知求得的通項公式，可得，利用累乘法求得的表達式，再用裂項求和法證明結(jié)論.
【詳解】（1）設的公比為q，由于成等差數(shù)列，
故，而，故，
解得，
由，得，
即是等比數(shù)列，且，故；
（2）證明：是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，故，
由，得，
故
，
又符合上式，
故
.
12．（2029·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預測）已知是數(shù)列的前項和，，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用與的關系，結(jié)合累乘法即可求出數(shù)列的通項公式；
（2）分和利用等差數(shù)列的求和公式求解即可.
【詳解】（1）由，則，
兩式相減得：，
整理得：，
即時，，
所以時，，
又時，，得，也滿足上式．
故．
（2）由（1）可知：．
記，設數(shù)列的前項和．
當時，；
當時，
綜上：
19．（2029·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前項和為，．
(1)證明：是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項積．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)與的關系化簡，可得，由等差數(shù)列的定義得證；
（2）由（1）求出，再由累乘法求解.
【詳解】（1）由，得．
所以，
即，整理得，
上式兩邊同時除以，得．
又，所以，即，
所以是首項為2，公差為1的等差數(shù)列．
（2）由（1）知，．
所以．
所以．
9.構(gòu)造法
一、單選題
1．（2029·江蘇淮安·江蘇省盱眙中學?？寄M預測）在數(shù)列中，，且，則的通項為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】依題意可得，即可得到是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式計算可得；
【詳解】解：∵，∴，
由，得，∴數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴，即．
故選：A
2．（2029·全國·高三專題練習）已知數(shù)列中，，則等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分析得到數(shù)列是一個以2為首項，以4為公比的等比數(shù)列，求出數(shù)列的通項即得解.
【詳解】
所以所以數(shù)列是一個以2為首項，以4為公比的等比數(shù)列，
所以.
故選：C
9．（2029·全國·高三專題練習）在數(shù)列中,,,則（ ）
A．是等比數(shù)列B．是等比數(shù)列
C．是等比數(shù)列D．是等比數(shù)列
【答案】B
【分析】根據(jù)變形整理為,再求出,根據(jù)等比數(shù)列的定義即可選出選項.
【詳解】解:由題知,
所以,
又因為,
所以是等比數(shù)列,
且首項為4,公比為2.
故選:B
4．（2029·全國·高三專題練習）已知數(shù)列中，，，則數(shù)列的前10項和（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】將遞推式兩邊同時倒下，然后構(gòu)造等差數(shù)列求出數(shù)列的通項公式，再利用裂項相消法求和即可.
【詳解】解：∵，
∴，
∴．
∴數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，
∴，∴．
∴，
∴數(shù)列的前10項和．
故選:C．
5．（2029·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前項和為，若，則（ ）
A．B．C．D．2029
【答案】A
【分析】根據(jù)與的關系，可推得數(shù)列是等比數(shù)列，進而得出的表達式，即可求出，代入對數(shù)式，根據(jù)對數(shù)的運算，即可得出答案.
【詳解】因為，即.
當時，，即；
當時，，
所以，
所以.
又，
所以數(shù)列是等比數(shù)列，首項為，公比為，
所以，
所以，
所以.
故選：A.
6．（2029·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前項和為，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令，求出的值，令，由得出，兩式作差推導出，可知數(shù)列是等比數(shù)列，確定該等比數(shù)列的公比和首項，進而可求得的值.
【詳解】當時，，解得；
當時，由可得，
上述兩式作差得，所以，，
設，可得，可得，解得，
所以，，，可得，
所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，
所以，，因此，.
故選：C.
【點睛】方法點睛：已知數(shù)列的遞推關系求通項公式的典型方法：
（1）當出現(xiàn)時，構(gòu)造等差數(shù)列；
（2）當出現(xiàn)時，構(gòu)造等比數(shù)列；
（9）當出現(xiàn)時，用累加法求解；
（4）當出現(xiàn)時，用累乘法求解.
二、填空題
7．（2029·全國·高三專題練習）已知數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項公式為 .
【答案】
【分析】依題意可得，即可得到是為首項，為公比的等比數(shù)列，從而求出數(shù)列的通項公式.
【詳解】因為，
設，即，
根據(jù)對應項系數(shù)相等則，解得，故，
所以是為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以，即.
故答案為：
8．（2029·全國·高三專題練習）數(shù)列中，，，則 ．
【答案】
【分析】先兩邊取倒數(shù)，再構(gòu)造等差數(shù)列即可求解．
【詳解】由，，可得，
所以，即(定值)，
故數(shù)列以為首項，為公差的等差數(shù)列，
所以，
所以，所以．
故答案為：．
9．（2029·全國·高三專題練習）數(shù)列{an}滿足，，則數(shù)列{an}的通項公式為 .
【答案】．
【分析】已知式兩邊同除以，構(gòu)造一個等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式可得結(jié)論．
【詳解】∵，所以，即，
∴是等差數(shù)列，而，
所以，
所以．
故答案為：．
10．（2029·全國·高三專題練習）已知數(shù)列中，，若，則正整數(shù)的值為 .
【答案】8
【分析】推導出數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公差，可求得數(shù)列的通項公式，進而可得，解方程即可得解
【詳解】因為，可得，
因為，則，即，可得，
對任意的，所以，等式兩邊取倒數(shù)可得，則，
所以，數(shù)列為等差數(shù)列，且其首項為，公差為1，
所以，故，
由可得.
故答案為：8.
11．（2029·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項公式 ．
【答案】
【分析】利用條件構(gòu)造數(shù)列，可得數(shù)列為等差數(shù)列即求.
【詳解】∵，
∴，
即．又，，
∴數(shù)列是以9為首項，1為公差的等差數(shù)列，
∴，
∴數(shù)列的通項公式．
故答案為：.
12．（2029·全國·高三專題練習）數(shù)列的前項和為，滿足，且，則的通項公式是 ．
【答案】
【分析】由題意可證得是以為首項，為公比的等比數(shù)列，即可求出，再由與的關系求出的通項公式
【詳解】，，且，
，是以為首項，為公比的等比數(shù)列．
，．
時，，
且不滿足上式，所以．
故答案為：.
19．（2029·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，則 ．
【答案】
【分析】由遞推公式找到對應的不動點方程，巧用“不動點法”求數(shù)列的通項公式.
【詳解】設，令得：，解得：；
，化簡得，，
所以，從而，
故，
又，所以是首項和公差均為的等差數(shù)列，
從而，故．
故答案為：
三、解答題
14．（2029·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，．
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)若，為數(shù)列的前n項和，求．
【答案】(1)證明見解析
(2)，
【分析】（1）根據(jù)遞推公式證明為定值即可；
（2）先由（1）求得數(shù)列的通項，從而可得數(shù)列的的通項，再利用錯位相減法求解即可.
【詳解】（1）因為，
所以，
又，
所以是以為首項，以9為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）知，故，
所以，
故，
則，
兩式相減得
，
所以.
15．（2029·貴州畢節(jié)·?？寄M預測）已知數(shù)列，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用構(gòu)造等比數(shù)列的方法求出通項公式作答.
（2）由（1）及已知，利用錯位相減法求和作答.
【詳解】（1）因為數(shù)列滿足，則，
因此數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，即，則，
所以數(shù)列的通項公式是.
（2）由（1）知，，
則，
于是有，
兩式相減得，
所以.
16．（2029·全國·高三專題練習）若，，.
(1)求證：；
(2)令，寫出、、、的值，觀察并歸納出這個數(shù)列的通項公式.
【答案】(1)證明見解析
(2)，，，，
【分析】（1）假設，根據(jù)已知條件得出，解得，結(jié)合題設條件推出矛盾，即可證得原結(jié)論成立；
（2）根據(jù)遞推公式可寫出、、、的值，由此可歸納出數(shù)列的通項公式，然后通過遞推公式得出，可知數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，即可求得數(shù)列的通項公式.
【詳解】（1）證明：假設，因，，則，解得或，
于是得或，與題設且矛盾，故假設不成立，所以成立.
（2）解：因，，，
則，，，
，
顯然有，，，，，
猜想，
由得，即，
又，因此數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以，，則，所以.
17．（2029春·云南昭通·高三?？茧A段練習）已知數(shù)列滿足，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意得數(shù)列為常數(shù)列，可數(shù)列的通項公式；
（2）利用錯位相減法求數(shù)列前n項和.
【詳解】（1）由，得，所以數(shù)列為常數(shù)列，有，∴
（2），
，
，
兩式相減，，
所以
18．（2029·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，．
(1)證明：是等比數(shù)列；
(2)證明：存在兩個等比數(shù)列，，使得成立．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）由構(gòu)造出，用等比數(shù)列定義證明即可；
（2）通過兩次構(gòu)造等比數(shù)列，求出的通項公式，根據(jù)通項公式得出結(jié)論即可.
【詳解】（1）由已知，，∴，
∴，
顯然與，矛盾，∴，
∴，
∴數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.
（2）∵，∴，
∴，
顯然與，矛盾，∴，
∴∴，
∴數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
∴，①，
又∵由第（1）問，，②，
∴②①得，，
∴存在，，兩個等比數(shù)列，， 使得成立．
19．（2029·全國·高三專題練習）設數(shù)列的前n項和為Sn，滿足，且成等差數(shù)列．
(1)求的值；
(2)求數(shù)列的通項公式．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）令、及三個數(shù)成等差數(shù)列列方程組求解即可.
（2）運用數(shù)列通項與其前n項和關系并構(gòu)造數(shù)列可求得的通項公式.
【詳解】（1）因為，
所以令得：，即：①，
令得：，即：②，
又因為，，成等差數(shù)列，
所以，即③，
將③代入①②可得，即
由①②③得：，，故的值為1.
（2）因為，
當時，，
兩式作差可得：，
所以，，
由（1）知，，
所以，
即：，，
將代入得：，符合，
綜上，.
故數(shù)列的通項公式為.
20．（2029·遼寧鞍山·統(tǒng)考模擬預測）已知數(shù)列的前項和為，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)記，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)求出首項及，構(gòu)造法求出通項公式；
（2）求出，從而利用裂項相消法求和.
【詳解】（1）當時，，解得，
當時，．
可得，
整理得：，
從而，
又，所以數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列；
所以，
所以，經(jīng)檢驗，滿足，
綜上，數(shù)列的通項公式為；
（2）由（1）得，所以，所以，
，
所以

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