一、知識(shí)點(diǎn)梳理
一、定點(diǎn)問題
定點(diǎn)問題是比較常見出題形式，化解這類問題的關(guān)鍵就是引進(jìn)變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量．
【一般策略】
①引進(jìn)參數(shù).一般是點(diǎn)的坐標(biāo)、直線的斜率、直線的夾角等.
②列出關(guān)系式.根據(jù)題設(shè)條件，表示出對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)直線或曲線方程.
③探究直線過定點(diǎn).一般化成點(diǎn)斜式或者直線系方程
二、定值問題
在解析幾何中，有些幾何量，如斜率、距離、面積、比值等基本量和動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)或動(dòng)線中的參變量無關(guān)，這類問題統(tǒng)稱為定值問題．這些問題重點(diǎn)考查學(xué)生方程思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用．
【一般策略】
①從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；
②引進(jìn)變量法：選擇適當(dāng)?shù)膭?dòng)點(diǎn)坐標(biāo)或動(dòng)直線中的系數(shù)為變量，然后把要證明為定值的量表示成上述變量的函數(shù)，最后把得到的函數(shù)化簡，消去變量得到定值
【常用結(jié)論】
結(jié)論1 過圓錐曲線上的任意一點(diǎn)P（x0，y0）作互相垂直的直線交圓錐曲線于點(diǎn)A，B，則直線AB必過一定點(diǎn)（等軸雙曲線除外）.
結(jié)論2 過圓錐曲線的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)P作圓錐曲線上的兩條切線，切點(diǎn)分別為點(diǎn)A，B，則直線AB必過焦點(diǎn).
結(jié)論3 過圓錐曲線外一點(diǎn)P作圓錐曲線上的兩條切線，切點(diǎn)分別為點(diǎn)A，B，則直線AB已知且必過定點(diǎn).
結(jié)論4 過圓錐曲線上的任意一點(diǎn)P（x0，y0）作斜率和為0的兩條直線交圓錐曲線于A，B兩點(diǎn)，則kAB為定值.
結(jié)論5 設(shè)點(diǎn)A，B是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是該橢圓上不同于A，B兩點(diǎn)的任意一點(diǎn)，直線PA，PB的斜率分別是k1，k2，則k1·k2=-b2a2
二、題型精講精練
【典例1】在平面直角坐標(biāo)系中， 橢圓：的左，右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，，．
(1)求橢圓的方程；
(2)不過點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，記直線、、的斜率分別為、、.若，證明直線過定點(diǎn)， 并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解析】（1）由題意知，，，，
∵，，
∴，解得，從而，
∴橢圓的方程為.
（2）設(shè)直線的方程為，，．
直線不過點(diǎn)，因此．
由 ，得，
時(shí)，，，
∴
，
由，可得，即，
故的方程為，恒過定點(diǎn)．
【典例2】已知橢圓，離心率為，點(diǎn)與橢圓的左、右頂點(diǎn)可以構(gòu)成等腰直角三角形．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)直線，的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說明理由．
【解析】解：（1）橢圓離心率為，即，
點(diǎn)與橢圓的左、右頂點(diǎn)可以構(gòu)成等腰直角三角形，
，，，故橢圓方程為．
（2）由直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，
聯(lián)立，得，
設(shè)，，，，則△，
，，
所以，
，
，
原點(diǎn)到的距離，
為定值．
【題型訓(xùn)練1-刷真題】
一、解答題
1．（22·23·全國·高考真題）已知橢圓的離心率是，點(diǎn)在上．
(1)求的方程；
(2)過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)分別為，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．
2．（21·22·全國·高考真題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過兩點(diǎn)．
(1)求E的方程；
(2)設(shè)過點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足．證明：直線HN過定點(diǎn)．
3．（21·22·全國·專題練習(xí)）如圖，中心在原點(diǎn)O的橢圓的右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線l的方程為：．
(1)求橢圓的方程；
(2)在橢圓上任取三個(gè)不同點(diǎn)，使，證明：為定值，并求此定值．
4．（19·20·山東·高考真題）已知橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)．
（1）求的方程：
（2）點(diǎn)，在上，且，，為垂足．證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．
【題型訓(xùn)練2-刷模擬】
1.定點(diǎn)問題
一、解答題
1．已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，直線與拋物線相交于不同的、兩點(diǎn)．
(1)求拋物線的方程；
(2)如果，直線是否過一定點(diǎn)，若過一定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)；若不過一定點(diǎn)，試說明理由．
2．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，離心率為．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)M為橢圓的左頂點(diǎn)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若，求證：直線過定點(diǎn)．
3．設(shè)拋物線的方程為，點(diǎn)為直線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，．
(1)當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，求過，，三點(diǎn)的圓的方程，并判斷直線與此圓的位置關(guān)系；
(2)求證：直線恒過定點(diǎn)．
4．已知圓，為圓內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí).
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；
(2)已知圓：在的內(nèi)部，是上不同的兩點(diǎn)，且直線與圓相切.求證：以為直徑的圓過定點(diǎn).
5．已知橢圓的左焦點(diǎn)為，且點(diǎn)在橢圓上.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)，若直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)，證明：直線過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)坐標(biāo).
6．已知雙曲線的一條漸近線方程為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為.
(1)求的方程；
(2)過雙曲線的右焦點(diǎn)作互相垂直的兩條弦（斜率均存在）、.兩條弦的中點(diǎn)分別為、，那么直線是否過定點(diǎn)?若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明原因；若過定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo).
7．在平面直角坐標(biāo)系中，，，M為平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，線段AM的垂直平分線交BM于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)N的軌跡是曲線C.
(1)求曲線C的方程；
(2)設(shè)動(dòng)直線l：與曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線相交于點(diǎn)Q，問是否存在定點(diǎn)H，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)H？若存在，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.
8．已知為橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積為．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)不經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若直線與的斜率之和為，證明：直線必過定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)．
9．已知橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上．
(1)求橢圓的方程；
(2)過的兩條互相垂直的直線分別交于兩點(diǎn)和兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)分別為，證明：直線必過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)．
10．在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的拋物線經(jīng)過點(diǎn).
(1)求的方程；
(2)若關(guān)于軸對(duì)稱，焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且與軸不垂直的直線交于，兩點(diǎn)，直線交于另一點(diǎn)，直線交于另一點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn).
11．平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線（）的離心率為，實(shí)軸長為4．

(1)求C的方程；
(2)如圖，點(diǎn)A為雙曲線的下頂點(diǎn)，直線l過點(diǎn)且垂直于y軸（P位于原點(diǎn)與上頂點(diǎn)之間），過P的直線交C于G，H兩點(diǎn)，直線AG，AH分別與l交于M，N兩點(diǎn)，若直線的斜率滿足，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
12．已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，過點(diǎn)且與橢圓有相同焦點(diǎn)
(1)求E的離心率：
(2)設(shè)橢圓E的下頂點(diǎn)為A，設(shè)過點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T．證明：直線TN過定點(diǎn)．
13．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線，設(shè)動(dòng)點(diǎn)到直線的距離為，且．
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程，并指出它表示什么曲線；
(2)已知過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，直線與軸分別交于點(diǎn)，試問：線段的中點(diǎn)是否為定點(diǎn)，若是定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．
14．已知為橢圓：上一點(diǎn)，長軸長為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)不經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，若直線與的斜率之和為，證明：直線必過定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo).
15．橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，左?右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上.已知面積的最大值為，且與的面積之比為.
(1)求的方程；
(2)不垂直于坐標(biāo)軸的直線交于兩點(diǎn)，與不重合，直線與的斜率之積為.證明：過定點(diǎn).
2.定值問題
一、解答題
1．已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上異于左?右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，的周長為6，面積的最大值為：
(1)求橢圓的方程；
(2)直線與橢圓的另一交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為.若，.試問：是否為定值？并說明理由.
2．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓心為的動(dòng)圓過點(diǎn)，且在軸上截得的弦長為4，記的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程；
(2)已知及曲線上的兩點(diǎn)和，直線經(jīng)過定點(diǎn)，直線的斜率分別為，求證：為定值．
3．已知點(diǎn)是離心率為的橢圓上的一點(diǎn)．
(1)求橢圓C的方程；
(2)點(diǎn)P在橢圓上，點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B，直線AP和BP的斜率都存在且不為0，試問直線AP和BP的斜率之積是否為定值?若是，求此定值；若不是，請(qǐng)說明理由．
4．已知橢圓離心率等于且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線與軌跡交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說明理由．
5．過點(diǎn)的直線為為圓與軸正半軸的交點(diǎn).
(1)若直線與圓相切，求直線的方程：
(2)證明：若直線與圓交于兩點(diǎn)，直線的斜率之和為定值.
6．已知雙曲線C : 的左?右焦點(diǎn)分別為，，雙曲線C的右頂點(diǎn)A在圓 O :上，且.
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)動(dòng)直線與雙曲線C恰有1個(gè)公共點(diǎn)，且與雙曲線C的兩條漸近線分別交于點(diǎn)M，N，求△OMN (O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積．
7．已知圓，點(diǎn)，動(dòng)直線過定點(diǎn)．
(1)若直線與圓相切，求直線的方程；
(2)若直線與圓相交于兩點(diǎn)，則是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．
8．以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓過點(diǎn)．
(1)求橢圓的方程．
(2)設(shè)是橢圓上一點(diǎn)（異于），直線與軸分別交于兩點(diǎn)．證明在軸上存在兩點(diǎn)，使得是定值，并求此定值．
9．已知，M為平面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線E.
(1)求曲線E的方程；
(2)若，過點(diǎn)的動(dòng)直線交曲線E于P，Q（不同于A，B）兩點(diǎn)，直線AP與直線BQ的斜率分別記為，，求證：為定值，并求出定值.
10．已知雙曲線的實(shí)軸長為4，離心率為．過點(diǎn)的直線l與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)．
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知點(diǎn)，若直線QA，QB的斜率均存在，試問其斜率之積是否為定值？請(qǐng)給出判斷與證明．
11．已知橢圓C：過點(diǎn)，且．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過點(diǎn)的直線l交C于點(diǎn)M，N，直線分別交直線于點(diǎn)P，Q．求證：為定值．
12．已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，離心率.
(1)求的方程；
(2)若直線過點(diǎn)且與的右支交于M，N兩點(diǎn)，記的左、右頂點(diǎn)分別為，，直線，的斜率分別為，，證明：為定值.
13．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在E上．
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)F的直線l與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q為橢圓E的左頂點(diǎn)，直線QA，QB分別交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：為定值．
14．已知點(diǎn)到的距離是點(diǎn)到的距離的2倍.
(1)求點(diǎn)的軌跡方程；
(2)若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，過的直線與點(diǎn)的軌跡交于，兩點(diǎn)，探索是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.
15．已知橢圓：的離心率為，上焦點(diǎn)到上頂點(diǎn)的距離為2.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，與定直線：交于點(diǎn)，設(shè)，，證明：為定值.
16．已知圓的方程為，直線與圓交于兩點(diǎn)．

(1)若坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，且過點(diǎn)，求直線的方程；
(2)已知點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若在軸上方，且滿足，在圓上是否存在定點(diǎn)，使得的面積為定值？若存在，求出的面積；若不存在，說明理由．
【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）
素養(yǎng)拓展34 圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題（精講+精練）
一、知識(shí)點(diǎn)梳理
一、定點(diǎn)問題
定點(diǎn)問題是比較常見出題形式，化解這類問題的關(guān)鍵就是引進(jìn)變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量．
【一般策略】
①引進(jìn)參數(shù).一般是點(diǎn)的坐標(biāo)、直線的斜率、直線的夾角等.
②列出關(guān)系式.根據(jù)題設(shè)條件，表示出對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)直線或曲線方程.
③探究直線過定點(diǎn).一般化成點(diǎn)斜式或者直線系方程
二、定值問題
在解析幾何中，有些幾何量，如斜率、距離、面積、比值等基本量和動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)或動(dòng)線中的參變量無關(guān)，這類問題統(tǒng)稱為定值問題．這些問題重點(diǎn)考查學(xué)生方程思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用．
【一般策略】
①從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；
②引進(jìn)變量法：選擇適當(dāng)?shù)膭?dòng)點(diǎn)坐標(biāo)或動(dòng)直線中的系數(shù)為變量，然后把要證明為定值的量表示成上述變量的函數(shù)，最后把得到的函數(shù)化簡，消去變量得到定值
【常用結(jié)論】
結(jié)論1 過圓錐曲線上的任意一點(diǎn)P（x0，y0）作互相垂直的直線交圓錐曲線于點(diǎn)A，B，則直線AB必過一定點(diǎn)（等軸雙曲線除外）.
結(jié)論2 過圓錐曲線的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)P作圓錐曲線上的兩條切線，切點(diǎn)分別為點(diǎn)A，B，則直線AB必過焦點(diǎn).
結(jié)論3 過圓錐曲線外一點(diǎn)P作圓錐曲線上的兩條切線，切點(diǎn)分別為點(diǎn)A，B，則直線AB已知且必過定點(diǎn).
結(jié)論4 過圓錐曲線上的任意一點(diǎn)P（x0，y0）作斜率和為0的兩條直線交圓錐曲線于A，B兩點(diǎn)，則kAB為定值.
結(jié)論5 設(shè)點(diǎn)A，B是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是該橢圓上不同于A，B兩點(diǎn)的任意一點(diǎn)，直線PA，PB的斜率分別是k1，k2，則k1·k2=-b2a2
二、題型精講精練
【典例1】在平面直角坐標(biāo)系中， 橢圓：的左，右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，，．
(1)求橢圓的方程；
(2)不過點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，記直線、、的斜率分別為、、.若，證明直線過定點(diǎn)， 并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解析】（1）由題意知，，，，
∵，，
∴，解得，從而，
∴橢圓的方程為.
（2）設(shè)直線的方程為，，．
直線不過點(diǎn)，因此．
由 ，得，
時(shí)，，，
∴
，
由，可得，即，
故的方程為，恒過定點(diǎn)．
【典例2】已知橢圓，離心率為，點(diǎn)與橢圓的左、右頂點(diǎn)可以構(gòu)成等腰直角三角形．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)直線，的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說明理由．
【解析】解：（1）橢圓離心率為，即，
點(diǎn)與橢圓的左、右頂點(diǎn)可以構(gòu)成等腰直角三角形，
，，，故橢圓方程為．
（2）由直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，
聯(lián)立，得，
設(shè)，，，，則△，
，，
所以，
，
，
原點(diǎn)到的距離，
為定值．
【題型訓(xùn)練1-刷真題】
一、解答題
1．（22·23·全國·高考真題）已知橢圓的離心率是，點(diǎn)在上．
(1)求的方程；
(2)過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)分別為，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．
【答案】(1)
(2)證明見詳解
【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，進(jìn)而可得結(jié)果；
（2）設(shè)直線的方程，進(jìn)而可求點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理驗(yàn)證為定值即可.
【詳解】（1）由題意可得，解得，
所以橢圓方程為.
（2）由題意可知：直線的斜率存在，設(shè)，
聯(lián)立方程，消去y得：，
則，解得，
可得，
因?yàn)?，則直線，
令，解得，即,
同理可得，
則
，
所以線段的中點(diǎn)是定點(diǎn).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解定值問題的三個(gè)步驟
（1）由特例得出一個(gè)值，此值一般就是定值；
（2）證明定值，有時(shí)可直接證明定值，有時(shí)將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)(某些變量)無關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；
（3）得出結(jié)論．
2．（21·22·全國·高考真題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過兩點(diǎn)．
(1)求E的方程；
(2)設(shè)過點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足．證明：直線HN過定點(diǎn)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）將給定點(diǎn)代入設(shè)出的方程求解即可；
（2）設(shè)出直線方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，分情況討論斜率是否存在，即可得解.
【詳解】（1）解：設(shè)橢圓E的方程為，過，
則，解得，，
所以橢圓E的方程為：.
（2），所以，
①若過點(diǎn)的直線斜率不存在，直線.代入，
可得，，代入AB方程，可得
，由得到.求得HN方程：
，過點(diǎn).
②若過點(diǎn)的直線斜率存在，設(shè).
聯(lián)立得，
可得，，
且
聯(lián)立可得
可求得此時(shí)，
將，代入整理得，
將代入，得
顯然成立，
綜上，可得直線HN過定點(diǎn)
【點(diǎn)睛】求定點(diǎn)、定值問題常見的方法有兩種：
①從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；
②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.
3．（21·22·全國·專題練習(xí)）如圖，中心在原點(diǎn)O的橢圓的右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線l的方程為：．
(1)求橢圓的方程；
(2)在橢圓上任取三個(gè)不同點(diǎn)，使，證明：為定值，并求此定值．
【答案】(1)
(2)證明見解析，
【分析】(1)根據(jù)準(zhǔn)線的幾何性質(zhì)，求出a，再算出b，可得橢圓方程；
(2)根據(jù)題設(shè)，分別求出 與x軸正方向的夾角之間的關(guān)系，代入 中計(jì)算即可.
【詳解】（1）設(shè)橢圓方程為．因焦點(diǎn)為，故半焦距，又右準(zhǔn)線的方程為，
從而由已知，因此，，
故所求橢圓方程為；
（2）
記橢圓的右頂點(diǎn)為A，并設(shè)（1，2，3），不失一般性，
假設(shè) ，且，．
又設(shè)點(diǎn)在上的射影為，因橢圓的離心率，從而有
．
解得 ．
因此，
而，
故為定值．
綜上，橢圓方程為；.
【點(diǎn)睛】本題的難點(diǎn)在于運(yùn)用橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離表達(dá)為到準(zhǔn)線的距離乘以離心率，再對(duì)運(yùn)用三角函數(shù)計(jì)算化簡.
4．（19·20·山東·高考真題）已知橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)．
（1）求的方程：
（2）點(diǎn)，在上，且，，為垂足．證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．
【答案】（1）；（2）詳見解析.
【分析】（1）由題意得到關(guān)于的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程.
（2）方法一：設(shè)出點(diǎn)，的坐標(biāo)，在斜率存在時(shí)設(shè)方程為, 聯(lián)立直線方程與橢圓方程，根據(jù)已知條件，已得到的關(guān)系，進(jìn)而得直線恒過定點(diǎn)，在直線斜率不存在時(shí)要單獨(dú)驗(yàn)證，然后結(jié)合直角三角形的性質(zhì)即可確定滿足題意的點(diǎn)的位置.
【詳解】（1）由題意可得：，解得：，
故橢圓方程為：.
(2)［方法一］：通性通法
設(shè)點(diǎn)，
若直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，
代入橢圓方程消去并整理得：，
可得，，
因?yàn)?，所以，即?br>根據(jù),代入整理可得：
，
所以，
整理化簡得，
因?yàn)椴辉谥本€上，所以，
故，于是的方程為，
所以直線過定點(diǎn)直線過定點(diǎn).
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可得，
由得：，
得，結(jié)合可得：，
解得：或（舍）.
此時(shí)直線過點(diǎn).
令為的中點(diǎn)，即，
若與不重合，則由題設(shè)知是的斜邊，故，
若與重合，則，故存在點(diǎn)，使得為定值.
［方法二］【最優(yōu)解】：平移坐標(biāo)系
將原坐標(biāo)系平移，原來的O點(diǎn)平移至點(diǎn)A處，則在新的坐標(biāo)系下橢圓的方程為，設(shè)直線的方程為．將直線方程與橢圓方程聯(lián)立得，即，化簡得，即．
設(shè)，因?yàn)閯t，即．
代入直線方程中得．則在新坐標(biāo)系下直線過定點(diǎn)，則在原坐標(biāo)系下直線過定點(diǎn)．
又，D在以為直徑的圓上．的中點(diǎn)即為圓心Q．經(jīng)檢驗(yàn)，直線垂直于x軸時(shí)也成立．
故存在，使得．
［方法三］：建立曲線系
A點(diǎn)處的切線方程為，即．設(shè)直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為．由題意得．
則過A，M，N三點(diǎn)的二次曲線系方程用橢圓及直線可表示為（其中為系數(shù)）．
用直線及點(diǎn)A處的切線可表示為（其中為系數(shù)）．
即．
對(duì)比項(xiàng)、x項(xiàng)及y項(xiàng)系數(shù)得
將①代入②③，消去并化簡得，即．
故直線的方程為，直線過定點(diǎn)．又，D在以為直徑的圓上．中點(diǎn)即為圓心Q．
經(jīng)檢驗(yàn)，直線垂直于x軸時(shí)也成立．故存在，使得．
［方法四］：
設(shè)．
若直線的斜率不存在，則．
因?yàn)?，則，即．
由，解得或（舍）．
所以直線的方程為．
若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，則．
令，則．
又，令，則．
因?yàn)?，所以?br>即或．
當(dāng)時(shí)，直線的方程為．所以直線恒過，不合題意；
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，所以直線恒過．
綜上，直線恒過，所以．
又因?yàn)?，即，所以點(diǎn)D在以線段為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)．
取線段的中點(diǎn)為，則．
所以存在定點(diǎn)Q，使得為定值．
【整體點(diǎn)評(píng)】（2）方法一：設(shè)出直線方程，然后與橢圓方程聯(lián)立，通過題目條件可知直線過定點(diǎn)，再根據(jù)平面幾何知識(shí)可知定點(diǎn)即為的中點(diǎn)，該法也是本題的通性通法；
方法二：通過坐標(biāo)系平移，將原來的O點(diǎn)平移至點(diǎn)A處，設(shè)直線的方程為，再通過與橢圓方程聯(lián)立，構(gòu)建齊次式，由韋達(dá)定理求出的關(guān)系，從而可知直線過定點(diǎn)，從而可知定點(diǎn)即為的中點(diǎn)，該法是本題的最優(yōu)解；
方法三：設(shè)直線，再利用過點(diǎn)的曲線系，根據(jù)比較對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)可求出的關(guān)系，從而求出直線過定點(diǎn)，故可知定點(diǎn)即為的中點(diǎn)；
方法四：同方法一，只不過中間運(yùn)算時(shí)采用了一元二次方程的零點(diǎn)式賦值，簡化了求解以及的計(jì)算．
【題型訓(xùn)練2-刷模擬】
1.定點(diǎn)問題
一、解答題
1．已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，直線與拋物線相交于不同的、兩點(diǎn)．
(1)求拋物線的方程；
(2)如果，直線是否過一定點(diǎn)，若過一定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)；若不過一定點(diǎn)，試說明理由．
【答案】(1)
(2)過定點(diǎn)
【分析】（1）將點(diǎn)代入拋物線方程，可得，從而可得答案；
（2）設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，由數(shù)量積公式結(jié)合韋達(dá)定理可得，進(jìn)而可得答案.
【詳解】（1）由題意可知，將點(diǎn)代入拋物線方程，
可得，解得，
則拋物線方程為．
（2）因?yàn)?，直線與拋物線相交于不同的、兩點(diǎn)，
所以直線不與x軸平行，
可設(shè)，與聯(lián)立，得，
設(shè)，，∴，．
由
，解得，
∴過定點(diǎn)．
2．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，離心率為．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)M為橢圓的左頂點(diǎn)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若，求證：直線過定點(diǎn)．
【答案】(1);
(2)證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)條件求出的值即可；
（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程后利用兩直線垂直可算出.
【詳解】（1）由題意得：，，，
故可知，
橢圓方程為：.
（2）
M為橢圓C的左頂點(diǎn)，
又由（1）可知：，設(shè)直線AB的方程為：，，
聯(lián)立方程可得：，
則，即，
由韋達(dá)定理可知：，，
，則，
，
又，
，
，
展開后整理得：，解得：或，
當(dāng)時(shí)，AB的方程為：，經(jīng)過點(diǎn)，不滿足題意，舍去，
當(dāng)時(shí)，AB的方程為：，恒過定點(diǎn).
所以直線過定點(diǎn)．
3．設(shè)拋物線的方程為，點(diǎn)為直線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，．
(1)當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，求過，，三點(diǎn)的圓的方程，并判斷直線與此圓的位置關(guān)系；
(2)求證：直線恒過定點(diǎn)．
【答案】(1)，相切
(2)證明見解析
【分析】（1）設(shè)過點(diǎn)的切線方程，代入，整理得，令，可得，的坐標(biāo)，進(jìn)而可得的中點(diǎn)，根據(jù)即可求解圓的方程，從而可判斷圓與直線相切；
（2）利用導(dǎo)數(shù)法，確定切線的斜率，得切線方程，由此可得直線的方程，從而可得結(jié)論；
【詳解】（1）當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，代入，整理得，
令，解得，
代入方程得，故得，，
因?yàn)榈闹悬c(diǎn)，且,
從而過，，三點(diǎn)的圓的圓心為，半徑為，
故其方程為．
圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓與直線相切
（2）由已知得，求導(dǎo)得，切點(diǎn)分別為,，,，
故過點(diǎn),的切線斜率為，從而切線方程為,即,
又切線過點(diǎn),，所以得①,即,
同理可得過點(diǎn),的切線為，
又切線過點(diǎn),，所以得②即,
即點(diǎn),,,均滿足,故直線的方程為,
又,為直線上任意一點(diǎn)，故對(duì)任意成立，
所以，，從而直線恒過定點(diǎn),
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中定點(diǎn)問題的兩種解法
（1）引進(jìn)參數(shù)法：先引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系，找到定點(diǎn).
（2）特殊到一般法：先根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).
4．已知圓，為圓內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí).
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；
(2)已知圓：在的內(nèi)部，是上不同的兩點(diǎn)，且直線與圓相切.求證：以為直徑的圓過定點(diǎn).
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)橢圓定義求解即可.
（2）根據(jù)題意設(shè)出直線方程，利用直線與圓相切得到k與m的關(guān)系，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，以為直徑的圓過原點(diǎn)，先猜后證的方法，猜測恒過原點(diǎn)，再驗(yàn)證以為直徑的圓過原點(diǎn)即可.
【詳解】（1）
因?yàn)辄c(diǎn)是線段的垂直平分線上的一點(diǎn)
所以
因?yàn)?br>所以點(diǎn)的軌跡C是以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓
其中，，
所以點(diǎn)Q的軌跡C的方程為：
（2）
（i）當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，不妨設(shè)，，
此時(shí)，所以，故以為直徑的圓過點(diǎn).
（ii）當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線方程為，，，
因?yàn)橹本€與圓相切，所以點(diǎn)到直線的距離為，
即.
由得，
所以，，
所以，
所以，故以為直徑的圓過點(diǎn).
綜上所述，以為直徑的圓過定點(diǎn).
5．已知橢圓的左焦點(diǎn)為，且點(diǎn)在橢圓上.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)，若直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)，證明：直線過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)坐標(biāo).
【答案】(1)
(2)證明見解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為
【分析】（1）根據(jù)左焦點(diǎn)可知的值，根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，可以得到另一組關(guān)系式，從而求出，.
（2）先設(shè)直線的斜截式方程，再聯(lián)立直線和橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理將點(diǎn)縱坐標(biāo)為的信息轉(zhuǎn)化為直線方程系數(shù)的值或關(guān)系，從而找出直線所過定點(diǎn).
【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的左焦點(diǎn)，可得，
由定義知點(diǎn)到橢圓的兩焦點(diǎn)的距離之和為，
，故，
則，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由橢圓的方程，可得，
且直線斜率存在，
設(shè)，設(shè)直線的方程為：，
與橢圓方程聯(lián)立得：
，
則
直線的方程為，
直線的方程為，
由直線和直線交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4得，
即
又因點(diǎn)在橢圓上，故，
得，
同理，點(diǎn)在橢圓上，得，
即
即
即
即
化簡可得，即，
解得或，
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線過點(diǎn)，與題意不符.
故，直線的方程為，直線恒過點(diǎn)

【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與橢圓關(guān)系中的直線恒過定點(diǎn)問題，遵循“求誰設(shè)誰”的思路，將目標(biāo)直線設(shè)為的形式，將條件轉(zhuǎn)化為的值或與的關(guān)系式，從而得出定點(diǎn)，側(cè)重?cái)?shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于偏難題.
6．已知雙曲線的一條漸近線方程為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為.
(1)求的方程；
(2)過雙曲線的右焦點(diǎn)作互相垂直的兩條弦（斜率均存在）、.兩條弦的中點(diǎn)分別為、，那么直線是否過定點(diǎn)?若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明原因；若過定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo).
【答案】(1)
(2)直線過定點(diǎn)
【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)到漸近線距離及漸近線方程列方程組，解方程；
（2）設(shè)直線、方程，分別聯(lián)立直線與雙曲線，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系得、坐標(biāo)，寫出直線方程，可得直線過定點(diǎn).
【詳解】（1）設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
依題意漸近線方程為，即，
有，
解得，
；
（2）由（1）可知右焦點(diǎn)，
設(shè)直線：，，，
由聯(lián)立直線與雙曲線，
化簡得，，
故，，
，
又，則，
同理可得：
，
，
化簡得，
故直線過定點(diǎn).
【點(diǎn)睛】(1)解答直線與雙曲線的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．
(2)涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．
7．在平面直角坐標(biāo)系中，，，M為平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，線段AM的垂直平分線交BM于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)N的軌跡是曲線C.
(1)求曲線C的方程；
(2)設(shè)動(dòng)直線l：與曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線相交于點(diǎn)Q，問是否存在定點(diǎn)H，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)H？若存在，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)
(2)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為
【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，得到軌跡為橢圓，再計(jì)算得到橢圓方程．
（2）聯(lián)立方程，根據(jù)有唯一交點(diǎn)得到，解得P，Q的坐標(biāo)，假設(shè)存在定點(diǎn)，則，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到答案．
【詳解】（1）由垂直平分線的性質(zhì)可知，
所以.
又，
所以點(diǎn)N的軌跡C是以，為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓.
設(shè)曲線C的方程為，則，，
所以，
所以曲線C的方程為.
（2）
由，消去y并整理，得，
因?yàn)橹本€l：與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，
所以，即，
所以，
此時(shí)，，
所以，
由，得，
假設(shè)存在定點(diǎn)，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)H，則，
又，，
所以，
整理，得對(duì)任意實(shí)數(shù)，k恒成立，
所以，
解得，
故存在定點(diǎn)，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)H.
8．已知為橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積為．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)不經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若直線與的斜率之和為，證明：直線必過定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)證明見解析，定點(diǎn)為
【分析】（1）根據(jù)題意求出即可得解；
（2）分設(shè)，直線的斜率不存在和存在兩種情況討論，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)不經(jīng)過點(diǎn)的直線方程為：，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出
，再根據(jù)直線與的斜率之和為求出的關(guān)系，即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）由點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積為可知，
解得：，
，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：；
（2）設(shè)，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則，
由，
解得，此時(shí)，故重合，不符合題意，
所以直線的斜率一定存在，設(shè)不經(jīng)過點(diǎn)的直線方程為：，
由得，
，
，
，
，
，
，
，
直線必過定點(diǎn)．

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；
（3）求證直線過定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來證明.
9．已知橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上．
(1)求橢圓的方程；
(2)過的兩條互相垂直的直線分別交于兩點(diǎn)和兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)分別為，證明：直線必過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)，證明見解析
【分析】（1）確定焦點(diǎn)得到，解得，，得到橢圓方程.
（2）考慮斜率存在和不存在的情況，設(shè)出直線，聯(lián)立方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，確定中點(diǎn)坐標(biāo)得到直線的方程，取代入計(jì)算得到答案.
【詳解】（1）橢圓的左焦點(diǎn)為，，則右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，
取得到，即，又，
解得，，（舍去負(fù)值），故橢圓方程為，
（2）當(dāng)兩條直線斜率存在時(shí)，設(shè)的直線方程為，，，
則，整理得到，
，
故，，即，

同理可得：，則，
故直線的方程為：，
取，
.
故直線過定點(diǎn).
當(dāng)有直線斜率不存在時(shí)，為軸，過點(diǎn).
綜上所述：直線必過定點(diǎn)
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了橢圓方程，定點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中利用設(shè)而不求的思想，根據(jù)韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵，此方法是考查的重點(diǎn)，需要熟練掌握.
10．在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的拋物線經(jīng)過點(diǎn).
(1)求的方程；
(2)若關(guān)于軸對(duì)稱，焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且與軸不垂直的直線交于，兩點(diǎn)，直線交于另一點(diǎn)，直線交于另一點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn).
【答案】(1)或
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，代入點(diǎn)的坐標(biāo)即可求解，
（2）利用拋物線方程分別可設(shè)的坐標(biāo)，進(jìn)而可根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求解斜率，即可得直線的方程， 結(jié)合直線經(jīng)過的點(diǎn)，即可代入化簡求解.
【詳解】（1）若的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)拋物線的方程為，
將點(diǎn)代入，得，解得，故的方程為；
若的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)拋物線的方程為，
將點(diǎn)代入，得，解得，故的方程為；
綜上所述：的方程為或.
（2）由（1）知拋物線的方程為，則其焦點(diǎn)，
若直線不過點(diǎn)，如圖，

設(shè)，，，，
由題意可知：直線的斜率存在且不為0，
則直線的斜率，
所以直線的方程為，即，
同理直線，的方程分別為，
由直線過定點(diǎn)，可得，
由直線，過焦點(diǎn)，可得，
對(duì)于直線的方程為，
由，得，
整理得，
又因?yàn)椋裕?br>令，解得，
故直線恒過定點(diǎn)
若直線過點(diǎn)，直線即為直線，
其方程為，即，
顯然直線過點(diǎn)；
綜上所述：直線過定點(diǎn).
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中定點(diǎn)問題的兩種解法
（1）引進(jìn)參數(shù)法：先引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系，找到定點(diǎn).
（2）特殊到一般法：先根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).
技巧：若直線方程為,則直線過定點(diǎn);
若直線方程為 (為定值),則直線過定點(diǎn)
11．平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線（）的離心率為，實(shí)軸長為4．

(1)求C的方程；
(2)如圖，點(diǎn)A為雙曲線的下頂點(diǎn)，直線l過點(diǎn)且垂直于y軸（P位于原點(diǎn)與上頂點(diǎn)之間），過P的直線交C于G，H兩點(diǎn)，直線AG，AH分別與l交于M，N兩點(diǎn)，若直線的斜率滿足，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用給定條件，求出即可得解.
（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的方程，與雙曲線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及斜率坐標(biāo)公式列式計(jì)算得解.
【詳解】（1）因?yàn)榈膶?shí)軸長為4，即，解得，
又離心率，則，
所以雙曲線C的方程為.
（2）設(shè)，，，依題意，直線GH斜率存在，設(shè)直線，，
由（1）知，，則直線，直線，
由點(diǎn)M在直線l上，得，代入直線AG方程，得，
則點(diǎn)M坐標(biāo)，因此，又，
由，得，整理得，
由消去y并整理得，則，，
又
，而，
因此，
則，解得，此時(shí)成立，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：與圓錐曲線相交的直線過定點(diǎn)問題，設(shè)出直線的斜截式方程，與圓錐曲線方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理求解.
12．已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，過點(diǎn)且與橢圓有相同焦點(diǎn)
(1)求E的離心率：
(2)設(shè)橢圓E的下頂點(diǎn)為A，設(shè)過點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T．證明：直線TN過定點(diǎn)．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）結(jié)合橢圓的定義求，即可求解離心率；
（2）先根據(jù)兩條特殊直線的交點(diǎn)，判斷定點(diǎn)的坐標(biāo)，再設(shè)過點(diǎn)的一般方程，聯(lián)立橢圓方程，得到韋達(dá)定理，求得直線的方程，并代入定點(diǎn)坐標(biāo)，驗(yàn)證是否成立，即可判斷是否過定點(diǎn).
【詳解】（1）橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，，
設(shè)橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
因?yàn)椋?br>則，所以橢圓的離心率為；
（2）由（1）可得橢圓的方程是，，
所以，
當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率不存在，直線，代入，
可得，
由方程，令，可得，
即，此時(shí)直線；
當(dāng)過點(diǎn)的直線過原點(diǎn)時(shí)，直線與橢圓方程聯(lián)立，
得交點(diǎn)坐標(biāo)分別是，設(shè)，
聯(lián)立，解得，此時(shí)直線，
聯(lián)立，得兩條直線交點(diǎn)，
所以若直線過定點(diǎn)，則應(yīng)是；
若過點(diǎn)的直線斜率存在，設(shè)，，
聯(lián)立，得，
，解得或，
可得，
則，
，
聯(lián)立，可得，，
可求得此時(shí)
，將代入，
得
，
成立，
綜上，可得直線過定點(diǎn).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
13．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線，設(shè)動(dòng)點(diǎn)到直線的距離為，且．
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程，并指出它表示什么曲線；
(2)已知過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，直線與軸分別交于點(diǎn)，試問：線段的中點(diǎn)是否為定點(diǎn)，若是定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)，表示中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓
(2)是定點(diǎn)，
【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，用坐標(biāo)表示已知等式化簡后可得；
（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，，由韋達(dá)定理得，，求出點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算并代入，化簡可得．
【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，由得：，
整理得：，即 ，
它表示中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且長軸長為4，短軸長為2 ；
（2）設(shè)直線的方程為，即
由得：
由得：，
設(shè)點(diǎn)，，則， ，
直線的方程為，令得：，所以點(diǎn)，
直線的方程為，令得：，所以點(diǎn) ，
∴
，
∴ ，即線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴ 線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)，其坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查主要考查拋物線中直線過定點(diǎn)問題，解題方法是設(shè)而不求的思想方程，即設(shè)直線方程為，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，，直線方程代入拋物線方程后應(yīng)用韋達(dá)定理得，代入已知求出參數(shù)值，然后由直線方程得定點(diǎn)坐標(biāo)．
14．已知為橢圓：上一點(diǎn)，長軸長為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)不經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，若直線與的斜率之和為，證明：直線必過定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo).
【答案】(1)
(2)證明見解析，定點(diǎn)為
【分析】（1）根據(jù)長軸長確定，再計(jì)算，得到答案.
（2）設(shè)直線，聯(lián)立方程得到根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)斜率的關(guān)系計(jì)算化簡得到，代入直線方程得到定點(diǎn).
【詳解】（1）長軸長為，故，
為橢圓：上一點(diǎn)，故，
橢圓方程為：；
（2）直線與軸平行時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性知斜率和為，不成立；
設(shè)直線：，，，直線不過，則，
則，則，
，即，則，
，
即，
整理得到，
化簡得到，，則，
直線方程，直線過定點(diǎn).
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了橢圓方程，直線過定點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中，利用設(shè)而不求的思想，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系來計(jì)算定點(diǎn)，可以簡化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵.
15．橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，左?右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上.已知面積的最大值為，且與的面積之比為.
(1)求的方程；
(2)不垂直于坐標(biāo)軸的直線交于兩點(diǎn)，與不重合，直線與的斜率之積為.證明：過定點(diǎn).
【答案】(1)
(2)過定點(diǎn).
【分析】（1）根據(jù)幾何關(guān)系得到點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)，面積最大，結(jié)合與面積之比，得到方程組，求出，得到橢圓方程；
（2）方法一：設(shè)的方程，代入，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)斜率之積得到方程，求出或，檢驗(yàn)后得到符合要求，并求出所過定點(diǎn)；
方法二：設(shè)直線的方程為，橢圓方程變形得到，聯(lián)立得到，若是上的點(diǎn)，則斜率為，得到，故，求出，求出定點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】（1）當(dāng)點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)，的面積最大，
此時(shí)，
又，
故，解得，
曲線的方程為.
（2）方法一：設(shè)直線的方程為，代入得
，
設(shè)，
得，

則，
，
即，解得或.
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，直線過定點(diǎn)，
而與不重合，不合題意.
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，
此時(shí)直線過定點(diǎn)，滿足要求.
方法二：由題意，直線不經(jīng)過點(diǎn)，
設(shè)直線的方程為①.
由方程得.
②.
由①②得，
.
若是上的點(diǎn)，則斜率為，
，
的斜率，即，解得.
的方程為，即，故過定點(diǎn).
【點(diǎn)睛】處理定點(diǎn)問題的思路：
（1）確定題目中的核心變量（此處設(shè)為），
（2）利用條件找到與過定點(diǎn)的曲線的聯(lián)系，得到有關(guān)與的等式，
（3）所謂定點(diǎn)，是指存在一個(gè)特殊的點(diǎn)，使得無論的值如何變化，等式恒成立，此時(shí)要將關(guān)于與的等式進(jìn)行變形，直至找到，
①若等式的形式為整式，則考慮將含的式子歸為一組，變形為“”的形式，讓括號(hào)中式子等于0，求出定點(diǎn)；
②若等式的形式是分式，一方面可考慮讓分子等于0，一方面考慮分子和分母為倍數(shù)關(guān)系，可消去變?yōu)槌?shù).
2.定值問題
一、解答題
1．已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上異于左?右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，的周長為6，面積的最大值為：
(1)求橢圓的方程；
(2)直線與橢圓的另一交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為.若，.試問：是否為定值？并說明理由.
【答案】(1)
(2)，理由見解析
【分析】（1）利用橢圓的定義及橢圓的性質(zhì)即可求解；
（2）根據(jù)已知條件作出圖形并設(shè)出直線方程，將直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.
【詳解】（1）設(shè)橢圓的方程為，則
由橢圓的定義及的周長為6，知①，
由于為橢圓上異于左?右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，得到軸距離最大為，
因?yàn)榈拿娣e的最大值為，
所以②，
又③，
聯(lián)立①②③，得，
所以橢圓的方程為.
（2）為定值，理由如下：
根據(jù)已知條件作出圖形如圖所示,

設(shè)，則，
因?yàn)樵跈E圓內(nèi)部，則直線與橢圓一定有兩交點(diǎn)，
聯(lián)立消去得：，
，
又，且，
所以，同理
所以.
所以為定值.
2．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓心為的動(dòng)圓過點(diǎn)，且在軸上截得的弦長為4，記的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程；
(2)已知及曲線上的兩點(diǎn)和，直線經(jīng)過定點(diǎn)，直線的斜率分別為，求證：為定值．
【答案】(1)
(2)證明見詳解
【分析】（1）設(shè)圓心，由兩點(diǎn)距離公式和幾何法求弦長公式化簡計(jì)算，可得，化簡即可求解；
（2）設(shè)直線BD的方程、，聯(lián)立拋物線方程，消元并利用韋達(dá)定理可得，結(jié)合兩點(diǎn)求斜率公式可得，即可證明.
【詳解】（1）設(shè)圓心，半徑為，由圓心為的動(dòng)圓過點(diǎn)，
所以，
又圓心為的動(dòng)圓在y軸上截得的弦長為4，所以，
此時(shí)，解得，
所以曲線E是拋物線，其方程為；
（2）易知直線BD的斜率不為0，
設(shè)直線BD的方程為，即，
，消去x，得，
或，
設(shè)，則，
，
所以，
即為定值1.

3．已知點(diǎn)是離心率為的橢圓上的一點(diǎn)．
(1)求橢圓C的方程；
(2)點(diǎn)P在橢圓上，點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B，直線AP和BP的斜率都存在且不為0，試問直線AP和BP的斜率之積是否為定值?若是，求此定值；若不是，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)為定值.
【分析】（1）根據(jù)題意，由條件列出關(guān)于的方程，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，得到直線的斜率，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程得到其橫縱坐標(biāo)關(guān)系式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）由，可得，即①，
將點(diǎn)代入橢圓方程可得②，
由①②可得，
所以橢圓方程為.
（2）由題意可得在橢圓上，直線和的斜率分別為均存在，設(shè)，
則，，則①，
又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，即，
代入①可得，，
所以直線AP和BP的斜率之積為定值.
4．已知橢圓離心率等于且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線與軌跡交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說明理由．
【答案】(1)
(2)是定值，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)題意，由條件列出關(guān)于的方程，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，由弦長公式可得，再表示出點(diǎn)到直線的距離，由三角形的面積公式，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）由題意得，解得，所以橢圓的方程為.
（2）
設(shè)，聯(lián)立直線和橢圓方程可得：，
消去可得：，所以
，
即，則，
， ，
把韋達(dá)定理代入可得：，
整理得，
又，
而點(diǎn)到直線的距離，
所以，
把代入，則，可得是定值1．
5．過點(diǎn)的直線為為圓與軸正半軸的交點(diǎn).
(1)若直線與圓相切，求直線的方程：
(2)證明：若直線與圓交于兩點(diǎn)，直線的斜率之和為定值.
【答案】(1)或
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)已知求出圓心、半徑，設(shè)出直線方程，根據(jù)直線與圓相切列出方程求解，即可得出答案；
（2）求出，設(shè)出直線方程，代入圓的方程，根據(jù)韋達(dá)定理得出.進(jìn)而表示出直線的斜率，整理即可得出證明.
【詳解】（1）由已知可得，圓心，半徑.
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，方程為，此時(shí)直線與圓不相切；
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線斜率為，則方程為，即.
由直線與圓相切，可知圓心到直線的距離，
整理可得，，
解得或.
所以，直線的方程為或.
綜上所述，直線的方程為或.
（2）由題設(shè)得到點(diǎn)，
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，方程為，
此時(shí)直線與圓的交點(diǎn)為，，
則；
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，
代入圓的方程可得.
設(shè)點(diǎn)，
則.
所以，
，
則
.
綜上所述，與的斜率之和為定值.
故與的斜率之和為定值.
6．已知雙曲線C : 的左?右焦點(diǎn)分別為，，雙曲線C的右頂點(diǎn)A在圓 O :上，且.
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)動(dòng)直線與雙曲線C恰有1個(gè)公共點(diǎn)，且與雙曲線C的兩條漸近線分別交于點(diǎn)M，N，求△OMN (O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)雙曲線C的半焦距為c，通過點(diǎn)在圓上易得的值，通過，求解的值，進(jìn)而得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線與軸相交于點(diǎn)，當(dāng)動(dòng)直線的斜率不存在時(shí)，求解三角形的面積；當(dāng)動(dòng)直線的斜率存在時(shí)，且斜率，不妨設(shè)直線，由直線與雙曲線的位置關(guān)系得，聯(lián)立方程求解M，N縱坐標(biāo)，求解面積即可.
【詳解】（1）設(shè)雙曲線C的半焦距為c，
由點(diǎn)在圓O :上，得a=1，
由，得，
所以==3，
所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）設(shè)直線與軸相交于點(diǎn)，雙曲線C的漸近線方程為
當(dāng)直線的斜率在存在時(shí)，直線為1，|，
得|MN||OD|1
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，顯然，則
把直線的方程與方程C:聯(lián)立得3=0
由直線與軌跡C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
且與雙曲線C的兩條漸近線分別相交可知直線與雙曲線的漸近線不平行，
所以，且，
于是得，
得，
設(shè)，
由，得，
同理得，
所以=|==
綜上，△OMN 的面積為.
7．已知圓，點(diǎn)，動(dòng)直線過定點(diǎn)．
(1)若直線與圓相切，求直線的方程；
(2)若直線與圓相交于兩點(diǎn)，則是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)或；
(2)是，定值為6.
【分析】（1）討論直線的斜率，設(shè)切線方程，利用點(diǎn)線距離公式列方程求參數(shù)，即得切線方程；
（2）設(shè)，聯(lián)立與圓的方程，應(yīng)用韋達(dá)定理、斜率兩點(diǎn)式化簡求，即可得結(jié)論.
【詳解】（1）當(dāng)斜率不存在時(shí)，的方程為，此時(shí)與圓不相切；
當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)的方程為，
，解得或，
直線的方程為或.
（2）設(shè)且，由（1）知：，
聯(lián)立，整理得，
顯然，且，
則.
8．以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓過點(diǎn)．
(1)求橢圓的方程．
(2)設(shè)是橢圓上一點(diǎn)（異于），直線與軸分別交于兩點(diǎn)．證明在軸上存在兩點(diǎn)，使得是定值，并求此定值．
【答案】(1)；
(2)證明見解析，定值為.
【分析】（1）根據(jù)給定條件，設(shè)出橢圓方程，利用待定系數(shù)法求解即得.
（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量共線探討出點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出，并確定的坐標(biāo)，再計(jì)算即得.
【詳解】（1）設(shè)橢圓方程為，則，解得，
所以橢圓的方程為．
（2）設(shè)，，
則，由，得，而，于是，
，同理，而，于是，
則，
，
令，而是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則，得，
于是，
所以存在和，使得是定值，且定值為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）引出變量法，解題步驟為先選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞浚侔岩C明為定值的量用上述變量表示，最后把得到的式子化簡，得到定值；（2）特例法，從特殊情況入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)．
9．已知，M為平面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線E.
(1)求曲線E的方程；
(2)若，過點(diǎn)的動(dòng)直線交曲線E于P，Q（不同于A，B）兩點(diǎn)，直線AP與直線BQ的斜率分別記為，，求證：為定值，并求出定值.
【答案】(1)
(2)證明見解析；
【分析】（1）利用圓錐曲線的定義即可得曲線方程，但要注意只有雙曲線右支；
（2）設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組，根據(jù)韋達(dá)定理進(jìn)行運(yùn)算可證為定值，之后求出定值即可.
【詳解】（1）由題可知，則的軌跡是實(shí)軸長為，
焦點(diǎn)為即的雙曲線的右支，則，
所以曲線的方程為：(或).
（2）由題可知過點(diǎn)的動(dòng)直線斜率存在且不為，則設(shè)斜率為，
所以直線的方程為：，設(shè)，，

聯(lián)立 ，可得，
則 ，可得，即或，
則
，
所以為定值，定值為.
10．已知雙曲線的實(shí)軸長為4，離心率為．過點(diǎn)的直線l與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)．
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知點(diǎn)，若直線QA，QB的斜率均存在，試問其斜率之積是否為定值？請(qǐng)給出判斷與證明．
【答案】(1)
(2)斜率之積為定值4，證明見解析
【分析】（1）由雙曲線的實(shí)軸長和離心率，求出與，可得雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）分直線l斜率存在和不存在兩種類型，通過聯(lián)立方程組，設(shè)點(diǎn)，利用韋達(dá)定理表示直線QA，QB的斜率之積，化簡得定值.
【詳解】（1）雙曲線的實(shí)軸長為4，則，即，
雙曲線離心率為，則雙曲線是等軸雙曲線，得．
所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）當(dāng)直線QA，QB的斜率均存在，其斜率之積為定值4，證明如下：
過點(diǎn)的直線l，若斜率不存在，則直線方程為，
與雙曲線方程聯(lián)立解得，，.
直線l斜率存在，設(shè)直線斜率為，直線方程為，
雙曲線漸近線方程為，當(dāng)時(shí)，直線l與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，
由，消去得，
設(shè)，，有，，
，
，
當(dāng)直線QA，QB的斜率均存在，
.
所以當(dāng)直線QA，QB的斜率均存在，其斜率之積為定值4.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
解答直線與雙曲線的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情況，強(qiáng)化有關(guān)直線與雙曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．
11．已知橢圓C：過點(diǎn)，且．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過點(diǎn)的直線l交C于點(diǎn)M，N，直線分別交直線于點(diǎn)P，Q．求證：為定值．
【答案】(1)；
(2)證明見解析.
【分析】（1）由點(diǎn)在橢圓上及，代入橢圓求得，即可得橢圓方程；
（2）令，，聯(lián)立橢圓，應(yīng)用韋達(dá)定理得且，點(diǎn)斜式寫出直線的方程求出P，Q的縱坐標(biāo)，再由及韋達(dá)公式代入化簡即可證.
【詳解】（1）由題設(shè)，則，故橢圓C的方程為，
（2）由題設(shè)，直線l的斜率一定存在，令，，聯(lián)立橢圓，
整理得，且，
所以，且，
由題意，直線的斜率必存在，
則，令，則；
同理，令，則；
所以
將韋達(dá)公式代入整理得，為定值.

12．已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，離心率.
(1)求的方程；
(2)若直線過點(diǎn)且與的右支交于M，N兩點(diǎn)，記的左、右頂點(diǎn)分別為，，直線，的斜率分別為，，證明：為定值.
【答案】(1)
(2)證明見解析；
【分析】（1）利用離心率的概念求出即可；
（2）根據(jù)直線過定點(diǎn)設(shè)出直線，聯(lián)立，分別求出斜率，最后得到斜率的比值即可.
【詳解】（1）因?yàn)榈挠医裹c(diǎn)為，所以的半焦距，
又離心率為，所以，所以，所以，
故的方程為.
（2）易知，.
設(shè)，，易知直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，
由，消去x可得，
，且
又因?yàn)橹本€與的右支交于M，N兩點(diǎn)，所以
所以
，
即為定值.
13．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在E上．
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)F的直線l與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q為橢圓E的左頂點(diǎn)，直線QA，QB分別交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：為定值．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）利用焦點(diǎn)坐標(biāo)與點(diǎn)在橢圓上建立方程組求解即可；
（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，寫出直線QA，QB的方程，求出的坐標(biāo)，再坐標(biāo)表示，將韋達(dá)定理代入證明其為定值.
【詳解】（1）由題意得，又點(diǎn)在橢圓上，
則，解得，
故所求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由題意知直線的斜率不為，可設(shè)方程為，
聯(lián)立，消得，
則，
設(shè)
由韋達(dá)定理得，，
則，
且
，
又則直線的方程為：，
令得，，
同理可得，，
故，
由，
則，
則.
即為定值.

【點(diǎn)睛】處理圓錐曲線中定值問題的方法：
（1）從特殊入手，求出定值，再證明與變量無關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理過程中消去變量，從而得到定值.
14．已知點(diǎn)到的距離是點(diǎn)到的距離的2倍.
(1)求點(diǎn)的軌跡方程；
(2)若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，過的直線與點(diǎn)的軌跡交于，兩點(diǎn)，探索是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)
(2)是定值，
【分析】(1)設(shè)點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求距離公式計(jì)算化簡即可；
(2)設(shè)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式代入圓方程中可得的軌跡方程，直線的方程、，，聯(lián)立圓方程，利用韋達(dá)定理表示出,，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示化簡計(jì)算即可；
【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，由題意可得，即，
化簡可得.
（2）設(shè)點(diǎn)，由（1）點(diǎn)滿足方程:，，
代入上式消去可得，即的軌跡方程為，

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為，則直線的方程為，
由，消去，得，顯然，
設(shè)，則，，
又，，
則
.
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，，.
故是定值，即.
15．已知橢圓：的離心率為，上焦點(diǎn)到上頂點(diǎn)的距離為2.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，與定直線：交于點(diǎn)，設(shè)，，證明：為定值.
【答案】(1)；
(2)證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)給定條件，列式求出即可.
（2）按直線的斜率存在與否探討，利用韋達(dá)定理，結(jié)合平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算推理即得.
【詳解】（1）令橢圓：半焦距為c，則，解得
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.
（2）由（1）知，，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線：，不妨令，而，
則，，此時(shí)；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線：，
由消去y得：，
易知，設(shè)，，，
則，，，
，
由，得，則，
同理由，得，
則，
所以為定值0.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）引出變量法，解題步驟為先選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞?，再把要證明為定值的量用上述變量表示，最后把得到的式子化簡，得到定值；
（2）特例法，從特殊情況入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)．
16．已知圓的方程為，直線與圓交于兩點(diǎn)．

(1)若坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，且過點(diǎn)，求直線的方程；
(2)已知點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若在軸上方，且滿足，在圓上是否存在定點(diǎn)，使得的面積為定值？若存在，求出的面積；若不存在，說明理由．
【答案】(1)；
(2)存在點(diǎn)，使為定值.
【分析】（1）設(shè)直線的方程為：，根據(jù)原點(diǎn)到直線的距離為，解出的值即可；
（2）設(shè)，直線的方程為：，利用韋達(dá)定理及，可得，，從而得點(diǎn)的軌跡為，設(shè)，可得，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】（1）解：設(shè)直線的方程為：，
因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離為，
所以，解得，
所以直線的方程為；
（2）解：設(shè)，直線的方程為：，
由，可得，
則，
，
所以，
因?yàn)樵谳S上方，所以，所以，
又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，
又因?yàn)?，?br>所以，
即，整理得：，
又因?yàn)椋?br>整理得：，
代入，
化簡得，
所以或，
當(dāng)時(shí)，直線過定點(diǎn)不符題意，
所以，所以，
所以點(diǎn)在直線上，
即點(diǎn)的軌跡為，
所以直線，即，且，
假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)，其坐標(biāo)為，
則點(diǎn)到直線的距離，
所以，
所以當(dāng)，即，，時(shí)，
為定值，此時(shí)的坐標(biāo)為，
所以存在點(diǎn)，使為定值.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是得出點(diǎn)的軌跡，為后面設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)和求的坐標(biāo)作好鋪墊.

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