一、知識點梳理
一、截面問題的理論依據(jù)
(1)確定平面的條件
①不在同一平面的三點確定一個平面；②兩條平行線確定一個平面
(2)如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們相交于過此點的一條直線
(3)如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi)
(4)如果一條直線平行于一個平面，且經(jīng)過這條直線的平面與這個平面相交，那么這條直線就和交線平行
(5)如果兩個平面平行，第三個平面和它們相交，那么兩條交線平行
二、截面問題的基本思路
1.定義相關(guān)要素
①用一個平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集，叫做這個幾何體的截面.
②此平面與幾何體表面的交集(交線)叫做截線.
③此平面與幾何體的棱(或面)的交集(交點)叫做實截點.
④此平面與幾何體的棱(或面)的延長線的交點叫做虛截點.
⑤截面中能夠確定的一部分平面叫做截小面.
2.作截面的基本邏輯：找截點→連截線→圍截面
3.作截面的具體步驟
（1）找截點：方式1：延長截小面上的一條直線，與幾何體的棱、面(或其延長部分)相交，交點即截點
方式2：過一截點作另外兩截點連線的平行線，交幾何體的棱于截點
（2）連截線：連接同一平面內(nèi)的兩個截點，成截線
（3）圍截面：將各截線首尾相連，圍成截面
三、作截面的幾種方法
（1）直接法：有兩點在幾何體的同一個面上，連接該兩點即為幾何體與截面的交線，找截面實際就是找交線的過程。
（2）延長線法：同一個平面有兩個點，可以連線并延長至與其他平面相交找到交點。
（3）平行線法：過直線與直線外一點作截面，拖直線所在的面與點所在的平面平行，可以通過過點找直線的平行線找到幾何體的截面的交線。
模型演練：如下圖E、F是幾等分點，不影響作圖。可以先默認(rèn)為中點，等完全理解了，再改成任意等分點
方法：兩點成線相交法或者平行法
特征：1.三點中，有兩點連線在表面上.本題如下圖是EF（這類型的關(guān)鍵）；
2.“第三點”是在外棱上，如C1，注意：此時合格C1點特殊，在于它是幾何體頂點，實際上無論它在何處，只要在棱上就可以.
方法一：相交法，做法如下圖.
方法二：平行線法，做法如下圖.
四、正方體中的基本截面類型
二、題型精講精練
【典例1】用一個平面去截正方體，所得截面不可能是（ ）
A．直角三角形B．直角梯形C．正五邊形D．正六邊形
【答案】ABC
【分析】
根據(jù)正方體的幾何特征，我們可分別畫出用一個平面去截正方體得到的幾何體的圖形，然后逐一與四個答案中的圖形進行比照，即可判斷選項．
【詳解】
當(dāng)截面為三角形時，可能出現(xiàn)正三角形，但不可能出現(xiàn)直角三角形；
截面為四邊形時，可能出現(xiàn)矩形，平行四邊形，等腰梯形，但不可能出現(xiàn)直角梯形；
當(dāng)截面為五邊形時，不可能出現(xiàn)正五邊形；
截面為六邊形時，可能出現(xiàn)正六邊形，
故選：ABC．
【典例2】已知正四棱柱中，，，則該四棱柱被過點，C，E的平面截得的截面面積為______.
【答案】
【分析】在上取點，使得，連接，則四邊形是平行四邊形，
由勾股定理可得，再結(jié)合余弦定理與面積公式即可求解
【詳解】由題意，正四棱柱中，，，
可得，在上取點，使得，連接，則有，
所以四邊形是平行四邊形，由勾股定理可得
，
所以,所以，所以四邊形是平行四邊形的面積為，故答案為：
【典例3】如圖，在正方體中，，為棱的中點，為棱的四等分點（靠近點），過點作該正方體的截面，則該截面的周長是___________.
【答案】
【分析】首先根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理作出過點的正方體的截面，從而求截面的周長.
【詳解】如圖，取的中點，取上靠近點的三等分點，
連接，易證，則五邊形為所求截面.
因為，所以，
則，故該截面的周長是.故答案為：.
【典例4】已知三棱錐的所有棱長均相等，四個頂點在球的球面上，平面經(jīng)過棱，，的中點，若平面截三棱錐和球所得的截面面積分別為，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)平面截三棱錐所得三角形為正三角，即可求出三角形面積及外接圓面積，即可求解.
【詳解】設(shè)平面截三棱錐所得正三角邊長為a，截面圓的半徑為r，則，
由正弦定理可得，，，故選：B
【題型訓(xùn)練-刷模擬】
1.截面形狀問題
一、單選題
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）用一平面去截一長方體，則截面的形狀不可能是（ ）
A．四邊形B．五邊形C．六邊形D．七邊形
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知在正方體中，，，分別是，，的中點，則過這三點的截面圖的形狀是（ ）
A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知在長方體中，，點，，分別在棱，和上，且，，，則平面截長方體所得的截面形狀為（ ）
A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形
4．（2023秋·江蘇南京·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）在正方體中，過點B的平面與直線垂直，則截該正方體所得截面的形狀為（ ）
A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形
5．（2023·河南·模擬預(yù)測）在正方體中，M，N分別為AD，的中點，過M，N，三點的平面截正方體所得的截面形狀為（ ）
A．六邊形B．五邊形C．四邊形D．三角形
6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在如圖所示的棱長為20的正方體中，點為的中點，點在側(cè)面上，且到的距離為6，到的距離為5，則過點且與垂直的正方體截面的形狀是（ ）
A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形
7．（2023·上海·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖是長方體被一平面所截得到的幾何體，四邊形為截面，長方形為底面，則四邊形的形狀為（ ）
A．梯形B．平行四邊形
C．可能是梯形也可能是平行四邊形D．不確定
2.求截面的面積
一、單選題
1．（2022春·山西朔州·高一?？茧A段練習(xí)）在正方體中，棱長為3，E為棱上靠近的三等分點，則平面截正方體的截面面積為（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·安徽合肥·高三統(tǒng)考期末）已知正方體的棱長為2，M、N分別為、的中點，過 、的平面所得截面為四邊形，則該截面最大面積為（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考一模）如圖，正方體的一個截面經(jīng)過頂點及棱上一點，截面將正方體分成體積比為的兩部分，則的值為（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）已知三棱錐的所有棱長均為3，球O與棱PA，PB，PC都相切，且平面ABC被球O截得的截面面積為，則球O的半徑為（ ）．
A．1B．C．D．或
5．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測）若球是正三棱錐的外接球，，點在線段上，，過點作球的截面，則所得的截面中面積最小的截面的面積為（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·四川內(nèi)江·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知球O是正三棱錐（底面是正三角形，頂點在底面的射影為底面中心）的外接球，，，點E是線段BC的中點，過點E作球O的截面，則所得截面面積的最小值是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023秋·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體中，分別為棱的中點，過作該正方體外接球的截面，所得截面的面積的最小值為（ ）

A．B．C．D．
8．（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在三棱錐中，平面，，，，點F為棱AV上一點，過點F作三棱錐的截面，使截面平行于直線VB和AC，當(dāng)該截面面積取得最大值時，（ ）
A．B．
C．D．
9．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）已知正方體的棱長為4，M，N分別是側(cè)面和側(cè)面的中心，過點M的平面與直線ND垂直，平面截正方體所得的截面記為S，則S的面積為（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校校考模擬預(yù)測）在三棱錐中，，平面平面，三棱錐的所有頂點都在球的球面上，分別在線段上運動（端點除外），.當(dāng)三棱錐的體積最大時，過點作球的截面，則截面面積的最小值為（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知正四棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長為，SC的中點為E，過點E做與SC垂直的平面，則平面截正四棱錐所得的截面面積為（ ）
A．B．C．D．
12．（2023春·湖北武漢·高一武漢市第十一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正四棱錐的體積為，底面的面積為，點、分別為、的中點，點為的靠近點的三等分點，過點、、的平面將該四棱錐分成上、下兩部分，截面形狀為四邊形，則該四邊形的面積為（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
13．（2023春·河北保定·高一定州一中?？茧A段練習(xí)）在棱長為2的正方體中，若E為棱的中點，則平面截正方體的截面面積為 ．
14．（2022·廣西桂林·校聯(lián)考二模）在三棱錐ABCD中，對棱，當(dāng)平面α與三棱錐ABCD的某組對棱均平行時，則三棱錐ABCD被平面α所截得的截面面積最大值為 .
15．（2019春·上?！じ叨虾Ｊ行轮懈呒壷袑W(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在正方體中，AB＝1，中點為Q，過三點的截面面積為 ．
16．（2023·江蘇常州·江蘇省前黃高級中學(xué)校考二模）在正四棱臺中，，，M為棱的中點，當(dāng)正四棱臺的體積最大時，平面截該正四棱臺的截面面積是 .
17．（2023·江西吉安·吉安三中?？家荒＃┤鐖D，正方體的棱長為為的中點，為棱上的動點，過點的平面截該正方體所得的截面記為S，則下列命題正確的是 .（請寫出所有正確命題的編號）
①當(dāng)時，S為等腰梯形；
②當(dāng)時，S與的交點滿足；
③當(dāng)時，S為六邊形；
④當(dāng)時，S的面積為.
3.求截面的周長
一、單選題
1．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考三模）如圖，在棱長為2的正方體中，是棱的中點，過三點的截面把正方體分成兩部分，則該截面的周長為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·四川南充·高三閬中中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，直四棱柱的所有棱長均為，，是側(cè)棱的中點，則平面截四棱柱所得的截面圖形的周長是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·江西鷹潭·貴溪市實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知正方體的棱長為2，點為線段的中點，若點平面，且平面，則平面截正方體所得截面的周長為（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在棱長為2的正方體中，點P是棱AB上的動點，過，P三點作正方體的截面，若截面把正方體分成體積之比為7：25的兩部分，則該截面的周長為（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在正方體中，，為棱的四等分點（靠近點），為棱的四等分點（靠近點），過點，，作該正方體的截面，則該截面的周長是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱長均為2，點E，F(xiàn)分別為棱BB1，A1C1的中點，若過點A，E，F(xiàn)作一截面，則截面的周長為（ ）
A．2+2B．C．D．
7．（2023春·廣西南寧·高三南寧三中校考專題練習(xí)）已知正方體的棱長為4，E，F(xiàn)分別是棱，BC的中點，則平面截該正方體所得的截面圖形周長為（ ）
A．6B．10C．D．
二、填空題
8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知長方體中，AB＝2，AD＝4，，E，F(xiàn)分別為，的中點，則過D，E，F(xiàn)三點截得長方體的截面周長為
9．（2023秋·四川成都·高三樹德中學(xué)校考開學(xué)考試）如圖，正方體的棱長為4，E是側(cè)棱的中點，則平面截正方體所得的截面圖形的周長是 ．

10．（2023春·上海黃浦·高三格致中學(xué)?？奸_學(xué)考試）正三棱柱中，所有棱長均為2，點、分別為棱、的中點，若過點、、作一截面，則截面的周長為 .
11．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在棱長為的正方體中，點分別是、、的中點，則過線段且平行于平面的截面圖形的周長為 .
12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，，，，為線段上的一動點，則過三點的平面截該三棱柱所得截面的最小周長為 ．

4.圓柱、圓錐、球的截面問題
一、單選題
1．（2023·山西陽泉·陽泉市第一中學(xué)校?？寄M預(yù)測）圓錐的母線長為4，側(cè)面積是底面積的倍，過圓錐的兩條母線作圓錐的截面，則該截面面積的最大值是（ ）
A．8B．C．D．
2．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）一個圓錐的底面圓和頂點都恰好在球的球面上，且球心在圓錐體內(nèi)部，若球的表面積為，到圓錐底面圓的距離為1，則該圓錐的側(cè)面積為（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·天津紅橋·統(tǒng)考二模）用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為，則球的體積為（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知球的一個截面的面積為，球心到該截面的距離比球的半徑小1，則球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）圓柱內(nèi)有一內(nèi)接正三棱錐，過棱錐的一條側(cè)棱和高作截面，正確的截面圖是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023秋·陜西西安·高三西安市鐵一中學(xué)?？计谀┤鐖D所示的幾何體是由一個圓柱挖去一個以圓柱上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐而得到的組合體，現(xiàn)用一個豎直的平面去截這個組合體，則截面圖形可能是（ ）
A．①②B．①③C．①④D．①⑤
7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）從一個底面圓半徑與高均為2的圓柱中挖去一個正四棱錐（以圓柱的上底面為正四棱錐底面的外接圓，下底面圓心為頂點）而得到的幾何體如圖所示，今用一個平行于底面且距底面為1的平面去截這個幾何體，則截面圖形的面積為（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若過圓錐的軸的截面為邊長為4的等邊三角形，正方體的頂點，，，在圓錐底面上，，，，在圓錐側(cè)面上，則該正方體的棱長為（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·海南?？凇ずＤ现袑W(xué)校考二模）傳說古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著“圓柱容球”，即：一個圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等.如圖是一個圓柱容球，為圓柱上下底面的圓心，為球心，為底面圓的一條直徑，若球的半徑，則平面DEF截球所得的截面面積最小值為（ ）

A．B．C．D．
10．（2023·江西南昌·江西師大附中校考三模）已知正方體的棱長為，為棱上的一點，且滿足平面平面，則平面截四面體的外接球所得截面的面積為（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）在矩形中，，將沿對角線翻折至的位置，使得平面平面，則在三棱錐的外接球中，以為直徑的截面到球心的距離為（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某圓錐母線長為，底面半徑為，則過該圓錐頂點的平面截此圓錐所得截面面積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
13．（2023秋·重慶萬州·高三重慶市萬州第二高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知圓臺的上、下底面半徑分別為r，R，高為h，平面經(jīng)過圓臺的兩條母線，設(shè)截此圓臺所得的截面面積為S，則（ ）
A．當(dāng)時，S的最大值為
B．當(dāng)時，S的最大值為
C．當(dāng)時，S的最大值為
D．當(dāng)時，S的最大值為
二、填空題
14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓錐頂點為P，底面的中心為O，過直線OP的平面截該圓錐所得的截面是面積為的正三角形，則該圓錐的體積為 .
15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）將一個直角邊長為2的等腰直角三角形繞其直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所得圓錐的內(nèi)切球的表面積為 ．
16．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知某球的體積為，該球的某截面圓的面積為，則球面上的點到該截面圓心的最大距離為 ．
17．（2023秋·四川南充·高三四川省南充高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點，，是圓錐表面上的點，該圓錐的側(cè)面展開圖為以點為圓心，4為半徑的半圓，點是弧的中點，點是弧的中點（如圖），以圓錐底面圓心為球心，半徑為2的球被平面所截，則截面面積為 .
18．（2023·陜西西安·校聯(lián)考一模）某圓錐的底面半徑為1，高為3，在該圓錐內(nèi)部放置一個正三棱柱，則該正三棱柱體積的最大值為 ．
19．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）在圓柱中，底面圓半徑為，高為，上底面圓的直徑為,是底面圓弧上的一個動點，繞著底面圓周轉(zhuǎn)，則的面積的范圍 ．
20．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知三棱錐中，Q為BC中點，，側(cè)面底面，則過點Q的平面截該三棱錐外接球所得截面面積的取值范圍為 ．
21．（2023·江西上饒·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知四棱錐的各個頂點都在球O的表面上，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，，，，，M是線段AB上一點，且．過點M作球O的截面，所得截面圓面積的最小值為，則＝ ．
22．（2023春·重慶萬州·高三重慶市萬州第二高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知三棱錐的四個頂點在球的球面上，，是邊長為的正三角形，三棱錐的體積為，為的中點，則過點的平面截球所得截面面積的最小值是 .
2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）
素養(yǎng)拓展25 立體幾何中的截面問題（精講+精練）
一、知識點梳理
一、截面問題的理論依據(jù)
(1)確定平面的條件
①不在同一平面的三點確定一個平面；②兩條平行線確定一個平面
(2)如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們相交于過此點的一條直線
(3)如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi)
(4)如果一條直線平行于一個平面，且經(jīng)過這條直線的平面與這個平面相交，那么這條直線就和交線平行
(5)如果兩個平面平行，第三個平面和它們相交，那么兩條交線平行
二、截面問題的基本思路
1.定義相關(guān)要素
①用一個平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集，叫做這個幾何體的截面.
②此平面與幾何體表面的交集(交線)叫做截線.
③此平面與幾何體的棱(或面)的交集(交點)叫做實截點.
④此平面與幾何體的棱(或面)的延長線的交點叫做虛截點.
⑤截面中能夠確定的一部分平面叫做截小面.
2.作截面的基本邏輯：找截點→連截線→圍截面
3.作截面的具體步驟
（1）找截點：方式1：延長截小面上的一條直線，與幾何體的棱、面(或其延長部分)相交，交點即截點
方式2：過一截點作另外兩截點連線的平行線，交幾何體的棱于截點
（2）連截線：連接同一平面內(nèi)的兩個截點，成截線
（3）圍截面：將各截線首尾相連，圍成截面
三、作截面的幾種方法
（1）直接法：有兩點在幾何體的同一個面上，連接該兩點即為幾何體與截面的交線，找截面實際就是找交線的過程。
（2）延長線法：同一個平面有兩個點，可以連線并延長至與其他平面相交找到交點。
（3）平行線法：過直線與直線外一點作截面，拖直線所在的面與點所在的平面平行，可以通過過點找直線的平行線找到幾何體的截面的交線。
模型演練：如下圖E、F是幾等分點，不影響作圖?？梢韵饶J(rèn)為中點，等完全理解了，再改成任意等分點
方法：兩點成線相交法或者平行法
特征：1.三點中，有兩點連線在表面上.本題如下圖是EF（這類型的關(guān)鍵）；
2.“第三點”是在外棱上，如C1，注意：此時合格C1點特殊，在于它是幾何體頂點，實際上無論它在何處，只要在棱上就可以.
方法一：相交法，做法如下圖.
方法二：平行線法，做法如下圖.
四、正方體中的基本截面類型
二、題型精講精練
【典例1】用一個平面去截正方體，所得截面不可能是（ ）
A．直角三角形B．直角梯形C．正五邊形D．正六邊形
【答案】ABC
【分析】
根據(jù)正方體的幾何特征，我們可分別畫出用一個平面去截正方體得到的幾何體的圖形，然后逐一與四個答案中的圖形進行比照，即可判斷選項．
【詳解】
當(dāng)截面為三角形時，可能出現(xiàn)正三角形，但不可能出現(xiàn)直角三角形；
截面為四邊形時，可能出現(xiàn)矩形，平行四邊形，等腰梯形，但不可能出現(xiàn)直角梯形；
當(dāng)截面為五邊形時，不可能出現(xiàn)正五邊形；
截面為六邊形時，可能出現(xiàn)正六邊形，
故選：ABC．
【典例2】已知正四棱柱中，，，則該四棱柱被過點，C，E的平面截得的截面面積為______.
【答案】
【分析】在上取點，使得，連接，則四邊形是平行四邊形，
由勾股定理可得，再結(jié)合余弦定理與面積公式即可求解
【詳解】由題意，正四棱柱中，，，
可得，在上取點，使得，連接，則有，
所以四邊形是平行四邊形，由勾股定理可得
，
所以,所以，所以四邊形是平行四邊形的面積為，故答案為：
【典例3】如圖，在正方體中，，為棱的中點，為棱的四等分點（靠近點），過點作該正方體的截面，則該截面的周長是___________.
【答案】
【分析】首先根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理作出過點的正方體的截面，從而求截面的周長.
【詳解】如圖，取的中點，取上靠近點的三等分點，
連接，易證，則五邊形為所求截面.
因為，所以，
則，故該截面的周長是.故答案為：.
【典例4】已知三棱錐的所有棱長均相等，四個頂點在球的球面上，平面經(jīng)過棱，，的中點，若平面截三棱錐和球所得的截面面積分別為，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)平面截三棱錐所得三角形為正三角，即可求出三角形面積及外接圓面積，即可求解.
【詳解】設(shè)平面截三棱錐所得正三角邊長為a，截面圓的半徑為r，則，
由正弦定理可得，，，故選：B
【題型訓(xùn)練-刷模擬】
1.截面形狀問題
一、單選題
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）用一平面去截一長方體，則截面的形狀不可能是（ ）
A．四邊形B．五邊形C．六邊形D．七邊形
【答案】D
【分析】用平面去截正方體時最多和六個面相交得六邊形.
【詳解】
如圖，用平面去截正方體時最多和六個面相交得六邊形，
因此截面的形狀可能有：三角形、四邊形、五邊形、六邊形，
不可能為七邊形，
故選:D.
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知在正方體中，，，分別是，，的中點，則過這三點的截面圖的形狀是（ ）
A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形
【答案】D
【分析】利用平行畫出截面，進而判斷出正確答案.
【詳解】分別取、、的中點、、，連接、、，
在正方體中，，，分別是，，的中點，
，，，
六邊形是過，，這三點的截面圖，
過這三點的截面圖的形狀是六邊形．
故選：D
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知在長方體中，，點，，分別在棱，和上，且，，，則平面截長方體所得的截面形狀為（ ）
A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形
【答案】C
【分析】連接并延長交的延長線于點，連接并延長交于點，
過點作交于點，連接，即可得到截面圖形，從而得解.
【詳解】如圖連接并延長交的延長線于點，連接并延長交于點，
過點作交于點，連接，
則五邊形即為平面截該長方體所得的截面多邊形.
其中因為，，，
所以，則，所以，
又，所以，所以，
則，
顯然，則，所以.
故選：C
4．（2023秋·江蘇南京·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）在正方體中，過點B的平面與直線垂直，則截該正方體所得截面的形狀為（ ）
A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形
【答案】A
【分析】作出輔助線，證明出⊥平面，所以⊥，同理可證明⊥，得到⊥平面，故平面即為平面，得到截面的形狀.
【詳解】連接，
因為⊥平面，平面，
所以⊥，
又四邊形為正方形，所以⊥，
又，平面，
所以⊥平面，
因為平面，
所以⊥，
同理可證明⊥，
因為，平面，
故⊥平面，
故平面即為平面，
則截該正方體所得截面的形狀為三角形.

故選：A
5．（2023·河南·模擬預(yù)測）在正方體中，M，N分別為AD，的中點，過M，N，三點的平面截正方體所得的截面形狀為（ ）
A．六邊形B．五邊形C．四邊形D．三角形
【答案】B
【分析】在上取點，且，取中點為，在上取點，且.通過，可得，進而得出，.通過證明，得出.同理得出，即可得出正方體的截面圖形.
【詳解】
在上取點，且，取中點為，連接.
在上取點，且，連結(jié).
因為，，
所以，所以.
又，所以，所以，
所以，.
因為分別為的中點，所以，且.
根據(jù)正方體的性質(zhì)，可知，且，
所以，，且，
所以，四邊形是平行四邊形，
所以，，所以.
同理可得，.
所以，五邊形即為所求正方體的截面.
故選：B.
6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在如圖所示的棱長為20的正方體中，點為的中點，點在側(cè)面上，且到的距離為6，到的距離為5，則過點且與垂直的正方體截面的形狀是（ ）
A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形
【答案】B
【分析】根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)，以及正方體的截面的性質(zhì)、平面的基本性質(zhì)，即可求解.
【詳解】如圖所示，過點作分別交于點 ，因為，可得，
在正方體中，平面，所以
又,所以平面,平面,所以
過作交于點，則,設(shè)
則,所以，即,則
所以
在正方形中，取 的中點，連接
則與,則
所以,即
取的中點，過作交于點，連接，則
又平面,所以,由
所以平面，所以
又，所以 平面
連接，過作,由，則，所以(且)
連接，則四邊形為梯形，所以 平面
所以截面的形狀為四邊形邊形.
故選：B.
7．（2023·上海·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖是長方體被一平面所截得到的幾何體，四邊形為截面，長方形為底面，則四邊形的形狀為（ ）
A．梯形B．平行四邊形
C．可能是梯形也可能是平行四邊形D．不確定
【答案】B
【分析】根據(jù)長方體的性質(zhì)，結(jié)合面面平行的性質(zhì)有，即知的形狀.
【詳解】由長方體的性質(zhì)：各對面平行，易知，
∴為平行四邊形.
故選：B
2.求截面的面積
一、單選題
1．（2022春·山西朔州·高一校考階段練習(xí)）在正方體中，棱長為3，E為棱上靠近的三等分點，則平面截正方體的截面面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意運用基本事實作出截面，根據(jù)截面的幾何特征求其面積即可.
【詳解】延長交于點，連接交于點，如圖，
在正方體中，面面，
面面，面面
，又
四邊形是梯形，且為平面截正方體的截面.
又，在等腰梯形中，過作，

.
故選：C.
2．（2022秋·安徽合肥·高三統(tǒng)考期末）已知正方體的棱長為2，M、N分別為、的中點，過 、的平面所得截面為四邊形，則該截面最大面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】畫出圖形，可得最大面積的截面四邊形為等腰梯形，根據(jù)梯形的面積公式求解即可.
【詳解】如圖所示，最大面積的截面四邊形為等腰梯形，
其中，高為，
故面積為.
故選:D．
3．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考一模）如圖，正方體的一個截面經(jīng)過頂點及棱上一點，截面將正方體分成體積比為的兩部分，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】畫出截面，得到截面把正方體分為三棱臺和另一幾何體，根據(jù)棱臺體積公式求出，進而求出的值.
【詳解】設(shè)正方體棱長為1，，
如圖所示，該截面把正方體分為幾何體和另一幾何體，
由面面平行的性質(zhì)可知：，
延長，相交于點，則平面，且平面，
又平面平面，
所以在直線上，即三線共點，
所以幾何體為三棱臺，
其中三棱臺上底面積是，下底面積為，高等于1，
所以，解得：，
所以.
故選：C
4．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）已知三棱錐的所有棱長均為3，球O與棱PA，PB，PC都相切，且平面ABC被球O截得的截面面積為，則球O的半徑為（ ）．
A．1B．C．D．或
【答案】B
【分析】過點P向底面ABC作垂線，垂足為，連接，由球O截平面ABC所得的截面面積為，得截面圓的半徑為，設(shè)球O的半徑為R，得，過O作PA的垂線，垂足為D，得∽，可得，進而求得．
【詳解】過點P向底面ABC作垂線，垂足為，連接，則球心O在線段或其延長線上，
為正的中心，則，．
設(shè)球O的半徑為R，因為球O截平面ABC所得的截面面積為，
所以截面圓的半徑為，所以，．
過O作PA的垂線，垂足為D，則，
∽，所以．
①當(dāng)點O在線段上時，，即，
則，且，解得；
②當(dāng)點O在線段的延長線上時，，即，
則，且，解得或，
當(dāng)時，點O，重合，此時點O不在線段的延長線上，故舍去；當(dāng)時，切點D不在棱PA上，不符合題意．
綜合①②可知，，
故選：B．
5．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考模擬預(yù)測）若球是正三棱錐的外接球，，點在線段上，，過點作球的截面，則所得的截面中面積最小的截面的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)是球心，是等邊三角形的中心，在三角形中，有，可求得，再利用可得過且垂直的截面圓最小即可.
【詳解】
如圖所示，其中是球心，是等邊三角形的中心，
可得，，
設(shè)球的半徑為，在三角形中，由，
即，解得，即，
所以，
因為在中，，，
所以，，，
由題知，截面中面積最小時，截面圓與垂直，
設(shè)過且垂直的截面圓的半徑為，則，
所以，最小的截面面積為.
故選：A
6．（2023·四川內(nèi)江·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知球O是正三棱錐（底面是正三角形，頂點在底面的射影為底面中心）的外接球，，，點E是線段BC的中點，過點E作球O的截面，則所得截面面積的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】如圖，是在底面的射影，求出底面外接圓的半徑和幾何體外接球的半徑，當(dāng)截面垂直于時截面面積最小，求出截面圓的半徑即得解.
【詳解】如圖：

是在底面的射影，由正弦定理得，的外接圓半徑.
由勾股定理得棱錐的高設(shè)球的半徑為，
則，解得，
所以，即與重合，
所以當(dāng)過點E作球O的截面垂直于時，截面面積最小，
此時截面半徑為，截面面積為.故選：A.
7．（2023秋·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體中，分別為棱的中點，過作該正方體外接球的截面，所得截面的面積的最小值為（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】易得正方體外接球的球心在其中心點處，要使過的平面截該球得到的截面面積最小，則截面圓的圓心為線段的中點求解.
【詳解】解：如圖，

正方體外接球的球心在其中心點處，球的半徑，
要使過的平面截該球得到的截面面積最小，則截面圓的圓心為線段的中點，
連接，則，
所以，
此時截面圓的半徑，
此時，截面面積的最小值.
故選：C.
8．（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在三棱錐中，平面，，，，點F為棱AV上一點，過點F作三棱錐的截面，使截面平行于直線VB和AC，當(dāng)該截面面積取得最大值時，（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】通過作平行線作出題中的截面，并結(jié)合線面平行以及線面垂直說明其為矩形，利用三角形相似表示出矩形的兩邊長，并求得其面積表達式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)確定截面面積取得最大值時參數(shù)的值，解直角三角形即可求得答案.
【詳解】根據(jù)題意，在平面VAC內(nèi)，過點F作，交VC于點E；
在平面VBC內(nèi)，過點E作，交BC于點Q；
在平面VAB內(nèi)，過點F作，交AB于點D，連接DQ，如圖所示，
因為，則∽，設(shè)其相似比為k，即，
則；
又因為，，，
由余弦定理得，，則，即．
又平面，平面，所以，．
又，則，．
因為，則∽，則，
因為，所以，即,
同理可得，即，
因為，，則，
故四邊形為平行四邊形；而平面，平面，
故平面，同理平面，
即四邊形為截面圖形；
又平面，平面，則，
又，所以．
故平行四邊形為矩形，則，
所以當(dāng)時，有最大值，則，
在中，,
故選：B
9．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）已知正方體的棱長為4，M，N分別是側(cè)面和側(cè)面的中心，過點M的平面與直線ND垂直，平面截正方體所得的截面記為S，則S的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量確定截面形狀，再計算截面面積作答.
【詳解】正方體的棱長為4，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
側(cè)面的中心，側(cè)面的中心，而，有，
顯然點M在平面與平面的交線上，設(shè)為這條交線上任意一點，
，而平面，則，
即，令，得點，令，得點，連，
平面與平面必相交，設(shè)為這條交線上任意一點，，
由，即，令，得點，連，
因為平面平面，則平面與平面的交線過點G，與直線FE平行，
過G作交于，，
由得，即，顯然平面與平面都相交，
則平面與直線相交，令交點為，，由得，
連接得截面五邊形，即截面為五邊形，
，取中點，連接，則，
在中，，
的面積，
在中，，
邊上的高，
梯形面積，
所以S的面積為.
故選：C
【點睛】方法點睛：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點在幾何體的棱上；平行線法，截面與幾何體的兩個平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個面平行；延長交線得交點，截面上的點中至少有兩個點在幾何體的同一平面上.
10．（2023·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校?？寄M預(yù)測）在三棱錐中，，平面平面，三棱錐的所有頂點都在球的球面上，分別在線段上運動（端點除外），.當(dāng)三棱錐的體積最大時，過點作球的截面，則截面面積的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】取的中點,證得為球心，利用二次函數(shù)求出三棱錐的體積最大時的取值，當(dāng)垂直于截面時，截面圓的面積最小，求得截面圓的半徑.
【詳解】如圖，取的中點,連接,
因為，所以，即為球心，
則球的半徑,又,所以,
又平面平面，平面平面平面.
所以平面，
設(shè)，則,所以，
所以三棱錐的體積.
當(dāng)時,取得最大值，
由于，在中，由余弦定理得:

根據(jù)球的性質(zhì)可知，當(dāng)垂直于截面時，截面圓的面積最小，
設(shè)此時截面圓的半徑為，所以.
則截面面積的最小值為.
故選:C.
11．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知正四棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長為，SC的中點為E，過點E做與SC垂直的平面，則平面截正四棱錐所得的截面面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意垂直關(guān)系可得平面截正四棱錐所得的截面面為四邊形，結(jié)合根據(jù)相似求長度，進而根據(jù)面積公式即可求解.
【詳解】連接，
由題意可得：，即為等邊三角形，
且E為SC的中點，可得，
故平面，
連接，設(shè)，連接，
可得平面，
且平面，則，
，平面，所以平面，
平面，則，
在直線取一點，連接，使得，
在中，，
因為，可得，
故，
同理在棱取一點，使得，連接，則，
故平面截正四棱錐所得的截面面為四邊形，
因為，則//，
由，可得，
所以四邊形的面積.
故選：A.
12．（2023春·湖北武漢·高一武漢市第十一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知正四棱錐的體積為，底面的面積為，點、分別為、的中點，點為的靠近點的三等分點，過點、、的平面將該四棱錐分成上、下兩部分，截面形狀為四邊形，則該四邊形的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】連接、，設(shè)，連接，連接并延長交于點，連接、、、，在中，過點作交于點，交于點，過點作交于點，證明出，計算出、的長，進而可求得截面四邊形的面積.
【詳解】連接、，設(shè)，連接，
易知為正四棱錐的高，連接交于點．
因為點、分別為、的中點，則，
因為，所以，為的中點．
連接并延長交于點，連接、、、，
因為四邊形為正方形，則，
因為平面，平面，所以，，
因為，、平面，所以，平面，
因為平面，所以，，則，
四邊形為所求的截面四邊形，如圖1．
因為正四棱錐的體積為，底面的面積為，
所以底面是邊長為的正方形，則，
由，可得，
在中，過點作交于點，交于點，
過點作交于點，如圖2．
因為，則．
又為的中點，為的中點，所以，，
，，
所以，，
則，，所以，
故，所以，則，
得．
故四邊形的面積為，
故選：C．
【點睛】方法點睛：用一個平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集叫做這個幾何體的截面，利用平面的性質(zhì)確定截面形狀是解決截面問題的關(guān)鍵．
（1）平面的四個公理及推論；
（2）直線和平面平行的判定和性質(zhì)；
（3）兩個平面平行的性質(zhì)；
（4）球的截面的性質(zhì)．
二、填空題
13．（2023春·河北保定·高一定州一中?？茧A段練習(xí)）在棱長為2的正方體中，若E為棱的中點，則平面截正方體的截面面積為 ．
【答案】
【分析】作出截面截面，為的中點，則可得截面是邊長為的菱形，求出其面積即可.
【詳解】如圖，在正方體中，
平面平面，
平面與平面的交線必過且平行于，
故平面經(jīng)過的中點，連接，得截面，
易知截面是邊長為的菱形，其對角線，
，截面面積．
故答案為：．
14．（2022·廣西桂林·校聯(lián)考二模）在三棱錐ABCD中，對棱，當(dāng)平面α與三棱錐ABCD的某組對棱均平行時，則三棱錐ABCD被平面α所截得的截面面積最大值為 .
【答案】3
【分析】每組對棱棱長相等，所以可以把三棱錐ABCD放入長方體中，設(shè)長寬高分別為x，y，z，求出，由線面平行得線線平行，證明當(dāng)是所在棱中點時面積最大，按截面與哪對棱平行分類討論求得截面面積的最大值.
【詳解】因為每組對棱棱長相等，所以可以把三棱錐ABCD放入長方體中，設(shè)長寬高分別為x，y，z，則，則.
當(dāng)平面α與三棱錐ABCD的對棱AB，CD均平行時，截而為四邊形EFGH，，，
設(shè)，則，，同理，（或其補角）是異面直線所成的角，
，其中為定值，
，時，取得最大值，即截面面積最大，此時是所在棱中點，
由長方體性知最大面積為長方體上下底面面積的一半，
同樣地，當(dāng)平面a與三棱錐ABCD的對棱AC，BD均平行時，截面最大面積為；當(dāng)平面α與三棱錐ABCD的對棱AD，BC均平行時，截面最大面積為.
故答案為：3.
15．（2019春·上海·高二上海市新中高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方體中，AB＝1，中點為Q，過三點的截面面積為 ．
【答案】
【分析】先作出經(jīng)過三點的截面，如圖所示為梯形，然后求出截面的面積即可
【詳解】解：如圖所示，取的中點P，連接、AQ和，
∵分別是，的中點，
∴，且，
∵，∴，
所以四邊形是過三點的截面，且四邊形是梯形，
∵AB＝1，
∴，，，
且等腰梯形的高為，
∴截面面積為，
故答案為：
16．（2023·江蘇常州·江蘇省前黃高級中學(xué)?？级＃┰谡睦馀_中，，，M為棱的中點，當(dāng)正四棱臺的體積最大時，平面截該正四棱臺的截面面積是 .
【答案】
【分析】設(shè)，上底面和下底面的中心分別為，，過作，該四棱臺的高，可求得該四棱臺的體積為，利用基本不等式可得該四棱臺的體積的最大值，此時，，.取，的中點，，連接，，可得平面就是截面，求解即可.
【詳解】設(shè)，上底面和下底面的中心分別為，，過作，
該四棱臺的高，
在上下底面由勾股定理可知，.
在梯形中，，
所以該四棱臺的體積為，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時，，.
取，的中點，，連接，，顯然有，
由于平面，平面，所以平面，因此平面就是截面.
顯然，
在直角梯形中，，
因此在等腰梯形中，，
同理在等腰梯形中，，
在等腰梯形中，設(shè)，，
則，
，
所以梯形的面積為.
故答案為:.
【點睛】總結(jié)點睛：
解決與幾何體截面的問題，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：
（1）根據(jù)空間中的線面關(guān)系，找到線線平行或者垂直，進而確定線面以及面面關(guān)系，
（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達到空間問題平面化的目的；
（3）求長度下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于長度的方程，并求解.
17．（2023·江西吉安·吉安三中校考一模）如圖，正方體的棱長為為的中點，為棱上的動點，過點的平面截該正方體所得的截面記為S，則下列命題正確的是 .（請寫出所有正確命題的編號）
①當(dāng)時，S為等腰梯形；
②當(dāng)時，S與的交點滿足；
③當(dāng)時，S為六邊形；
④當(dāng)時，S的面積為.
【答案】①②④
【分析】①作出輔助線，找到S為四邊形，證明出其為等腰梯形；②作出輔助線，找到S，利用各邊長度與相似，求出；③在②的分析基礎(chǔ)上，得到S為五邊形；④作出輔助線，得到S為菱形，求出對角線，進而求出面積.
【詳解】當(dāng)時，S為等腰梯形，理由如下：
如圖1，連接，，因為為的中點，為上的中點，
所以∥，
所以四邊形為S，其中，
所以S為等腰梯形，①正確；
當(dāng)時，S與的交點滿足，理由如下：
如圖2，延長至點E，使得，連接EA，EQ交于點R，
取AD中點N，DE中點M，連接MQ，MN，PN，
則，DN=CP，所以四邊形CQMD與四邊形PCDN均為平行四邊形，
所以MQ∥NP∥CD，且MQ=NP=CD，所以四邊形MNPQ為平行四邊形，
所以PQ∥MN，由中位線的性質(zhì)可知：MN∥AE，所以PQ∥AE，
所以四邊形AEQP即為S，其中，
所以，所以，②正確；
當(dāng)時，S為五邊形，理由如下：
如圖3，根據(jù)②的分析，隨著Q點在圖2的基礎(chǔ)上沿著向上移動，
則點E點沿著射線向上移動，此時AE與相交于點G，
EQ與相交于點R，連接GR，故所截得的S為五邊形，故③錯誤；
當(dāng)時，S的面積為，理由如下：
如圖4，點Q與重合，此時G為的中點，可證得：∥，AP∥GQ，
其中，所以S為菱形APQG，
且，S的面積為，④正確.

故答案為：①②④
3.求截面的周長
一、單選題
1．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考三模）如圖，在棱長為2的正方體中，是棱的中點，過三點的截面把正方體分成兩部分，則該截面的周長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】畫出截面圖形，利用已知條件，轉(zhuǎn)化求解截面周長即可．
【詳解】如圖，取BC的中點，連接EF，AF，,
、分別為棱、的中點，則，正方體中，則有，所以平面為所求截面，
因為正方體的棱長為2，所以，，，所以四邊形的周長為.
故選：A.
2．（2023春·四川南充·高三閬中中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，直四棱柱的所有棱長均為，，是側(cè)棱的中點，則平面截四棱柱所得的截面圖形的周長是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用作延長線找交點法，得出截面圖形為梯形，求出梯形周長即為所求.
【詳解】連接 與的延長線交于點, 連 接與交于點,
因為 , 所以為的中點, 則為的中點,
所以截面為梯形 ,
因為所有棱長均為2,，
所以,,
,
,
故梯形 的周長為 .
故選：D.
3．（2023·江西鷹潭·貴溪市實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知正方體的棱長為2，點為線段的中點，若點平面，且平面，則平面截正方體所得截面的周長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】記的中點分別為E，F(xiàn)，先證三角形即為平面截正方體所得截面，然后可得周長.
【詳解】記的中點分別為E，F(xiàn)，連接，
由正方體性質(zhì)可知，平面，
因為平面，所以
又為正方形，所以
因為，平面，所以平面，
因為平面，所以
因為P，E分別為的中點，所以，所以，
同理可證，
又，平面
所以平面，
所以三角形即為平面截正方體所得截面，
易知三角形為正三角形，
所以截面周長為.
故選：C

4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在棱長為2的正方體中，點P是棱AB上的動點，過，P三點作正方體的截面，若截面把正方體分成體積之比為7：25的兩部分，則該截面的周長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】如圖所示，過點作,交于點,則四邊形就是過點的截面，設(shè)，，根據(jù)已知求出即得解.
【詳解】解：如圖所示，過點作,交于點,則四邊形就是過點的截面，設(shè)，，
則臺體的體積，
解之得，
所以,,
所以截面的周長為.
故選：D
5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在正方體中，，為棱的四等分點（靠近點），為棱的四等分點（靠近點），過點，，作該正方體的截面，則該截面的周長是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)正方體的特征，作出過點，，的該正方體的截面，計算相關(guān)線段的長，即可求得答案.
【詳解】設(shè)為的三等分點，靠近B點，連接,并延長交延長線于P，
設(shè)為的三等分點，靠近點，連接,并延長交延長線于Q，
則∽，由于，故,
同理求得,故兩點重合，則,
故，而，故,
同理可得,即四邊形為平行四邊形，
連接,則五邊形即為過點，，所作的正方體的截面，
由題意可知
故該截面的周長是 ，
故選：C
6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱長均為2，點E，F(xiàn)分別為棱BB1，A1C1的中點，若過點A，E，F(xiàn)作一截面，則截面的周長為（ ）
A．2+2B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意先作出截面，進而算出截面各邊的長度，最后得到答案.
【詳解】如圖，在正三棱柱中，延長AF與CC1的延長線交于M，連接EM交B1C1于P，連接FP，則四邊形AEPF為所求截面.
過E作EN平行于BC交CC1于N，則N為線段CC1的中點，由相似于可得MC1=2，由相似于可得：，
在中，，則，
在中，，則，
在中，，則，
在中，，
由余弦定理：，則，
所以截面周長為：.
故選：B.
【點睛】本題主要考查幾何體的截面問題，其中根據(jù)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，利用平面的性質(zhì)作出幾何體的截面是問題的關(guān)鍵，平常注意方法的總結(jié)和歸納.
7．（2023春·廣西南寧·高三南寧三中?？紝ｎ}練習(xí)）已知正方體的棱長為4，E，F(xiàn)分別是棱，BC的中點，則平面截該正方體所得的截面圖形周長為（ ）
A．6B．10C．D．
【答案】D
【分析】取的中點，連接,則,取的中點，連接，延長交于，連接交于點，連接，作出截面圖形，然后再分別求出各邊長，從而得出答案.
【詳解】取的中點，連接,則,取的中點，連接，則
所以, 則直線平面
延長交于，連接交于點，連接,則為的中點.
則平面截該正方體所得的截面圖形為
由條件可得,則, 則
,
取 的中點，連接，則，所以
所以,則
則
所以截面圖形周長為
故選：D
二、填空題
8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知長方體中，AB＝2，AD＝4，，E，F(xiàn)分別為，的中點，則過D，E，F(xiàn)三點截得長方體的截面周長為
【答案】
【分析】利用確定平面的公里，作延長以及平行，可得截面，根據(jù)中位線以及勾股定理，可得答案.
【詳解】延長EF分別交，的延長線于點M，N，連接MD，ND，分別交，于點Q，P，
連接PF，EQ，則過D，E，F(xiàn)三點截得長方體的平面為五邊形DQEFP．
過F點作，過E點作，所以是的中點，是的中點．
在中，，，所以．
在中，，所以，AQ＝2，
則，，．
同理在中，，在中，，CP＝2，
所以，，所以截面周長為．
故答案為：.
9．（2023秋·四川成都·高三樹德中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，正方體的棱長為4，E是側(cè)棱的中點，則平面截正方體所得的截面圖形的周長是 ．

【答案】
【分析】過點作的平行線即可延展平面，則可得到截面，再求周長即可.
【詳解】取中點，連接，,

∵中點為，E是側(cè)棱的中點，
∴,,
又在直角三角形中,
∴,
∵正方體中，
∴四邊形為平行四邊形,
∴
∴,
四點共面，即為正方體的截面.
在直角三角形中,
同理,則截面周長為.
故答案為:.
10．（2023春·上海黃浦·高三格致中學(xué)?？奸_學(xué)考試）正三棱柱中，所有棱長均為2，點、分別為棱、的中點，若過點、、作一截面，則截面的周長為 .
【答案】
【分析】將正三棱柱擴大成正三棱柱，其中，再解三角形可得答案.
【詳解】如下圖所示，將正三棱柱擴大成正三棱柱，其中，
則點E為AH1的中點，點F為AC2的中點，設(shè) ，則 ，所以過點A、E、F的截面為AEGF，
因為和均為兩直角邊分別為2， 1的直角三角形，所以，
在中，連接H1F交于，則為的重心，
所以，因為，所以，
又因為平面，所以三角形為直角三角形，且，所以，所以截面的周長為.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查幾何體的截面的相關(guān)計算，關(guān)鍵在于根據(jù)公理作出所求的截面，再運用解三角形的相關(guān)知識得以解決.
11．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在棱長為的正方體中，點分別是、、的中點，則過線段且平行于平面的截面圖形的周長為 .
【答案】
【分析】結(jié)合面面平行性質(zhì)定理畫出截面圖形，再求出截面圖形的邊長，即可得出答案.
【詳解】取的中點為，連接，，
因為點分別是、、的中點，
由正方體性質(zhì)可得，所以四點共面，
因為，平面，平面，
所以平面，
因為，，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，又平面，平面，
所以平面，
又，平面，
所以平面平面，
四邊形即為經(jīng)過線段且平行于平面的截面圖，
正方體棱長為，所以，，，，
所以截面圖形周長為.
故答案為：.

12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，，，，為線段上的一動點，則過三點的平面截該三棱柱所得截面的最小周長為 ．

【答案】/
【分析】利用直三棱柱的側(cè)面展開圖求解即可.
【詳解】由題意可知過三點的平面截該三棱柱所得截面的周長即的周長，
因為直三棱柱，所以各側(cè)面均為矩形，
所以，
直三棱柱的側(cè)面部分展開圖如圖所示，

則在矩形中，
所以過三點的平面截該三棱柱所得截面的最小周長為，
故答案為：
4.圓柱、圓錐、球的截面問題
一、單選題
1．（2023·山西陽泉·陽泉市第一中學(xué)校?？寄M預(yù)測）圓錐的母線長為4，側(cè)面積是底面積的倍，過圓錐的兩條母線作圓錐的截面，則該截面面積的最大值是（ ）
A．8B．C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)圓錐底面半徑為，母線為，軸截面頂角為，則根據(jù)題意可得與的關(guān)系，從而可求出為鈍角，由此可得當(dāng)圓錐兩條母線互相垂直時，截面面積最大，然后可求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為r，母線為l，軸截面頂角為，則，得，
所以，
因為為銳角，所以，即，則θ為鈍角，
所以當(dāng)圓錐兩條母線互相垂直時，截面面積最大，最大值為.
故選：A.
2．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）一個圓錐的底面圓和頂點都恰好在球的球面上，且球心在圓錐體內(nèi)部，若球的表面積為，到圓錐底面圓的距離為1，則該圓錐的側(cè)面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意求圓錐底面圓的半徑和母線，進而求側(cè)面積.
【詳解】設(shè)球的半徑為，則，解得.
設(shè)圓錐底面圓的半徑為，則，
圓錐的高為3，圓錐的母線長為，
所以該圓錐的側(cè)面積為.
故選：A.
【點睛】本題考查圓錐的外接球，考查直觀想象的核心素養(yǎng).
3．（2023·天津紅橋·統(tǒng)考二模）用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為，則球的體積為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用圓的面積公式和球心到截面圓的距離、截面圓半徑及球的半徑的關(guān)系，結(jié)合球的體積公式即可求解.
【詳解】設(shè)截面圓的半徑為，球的半徑為,
由題意可知，解得，，
所以球的體積為.
故選：D.
4．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知球的一個截面的面積為，球心到該截面的距離比球的半徑小1，則球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)截面圓的半徑為，球的半徑為，依題意得到且，即可求出，從而求出球的表面積.
【詳解】依題意設(shè)截面圓的半徑為，球的半徑為，因為截面的面積為，所以，
又，即，解得，
所以球的表面積.
故選：B
5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）圓柱內(nèi)有一內(nèi)接正三棱錐，過棱錐的一條側(cè)棱和高作截面，正確的截面圖是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)截面在圓柱底面所形成的截痕直接判斷即可.
【詳解】圓柱底面為正三棱錐底面三角形的外接圓，如下圖所示，
則過棱錐的一條側(cè)棱和高作截面，棱錐頂點為圓柱上底面的中心，可得截面圖如下圖，
故選：D.
6．（2023秋·陜西西安·高三西安市鐵一中學(xué)?？计谀┤鐖D所示的幾何體是由一個圓柱挖去一個以圓柱上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐而得到的組合體，現(xiàn)用一個豎直的平面去截這個組合體，則截面圖形可能是（ ）
A．①②B．①③C．①④D．①⑤
【答案】D
【分析】根據(jù)截面的位置，可判斷截面圖形的形狀.
【詳解】一個圓柱挖去一個圓錐后，剩下的幾何體被一個豎直的平面所截后，圓柱的輪廓是矩形除去一條邊，
當(dāng)截面經(jīng)過圓柱上下底面的圓心時，圓錐的截面為三角形除去一條邊，所以①正確；
當(dāng)截面不經(jīng)過圓柱上下底面的圓心時，圓錐的截面為拋物線的一部分，所以⑤正確；
故選:D
【點睛】本題考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，幾何體截面形狀的判斷，屬于中檔題.
7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）從一個底面圓半徑與高均為2的圓柱中挖去一個正四棱錐（以圓柱的上底面為正四棱錐底面的外接圓，下底面圓心為頂點）而得到的幾何體如圖所示，今用一個平行于底面且距底面為1的平面去截這個幾何體，則截面圖形的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出截面截圓柱所得的圓面的面積，再求出截面截正四棱錐所得的正方形的面積，從而得出答案.
【詳解】截面圖形應(yīng)為圓面中挖去一個正方形，且圓的半徑是2，
則截面圓的面積為：
設(shè)正四棱錐的底面正方形邊長為，則，所以
正四棱錐的底面正方形的面積為
由圓錐中截面的性質(zhì)，可得圓面中挖去一個正方形與正四棱錐的底面正方形相似
設(shè)圓面中挖去一個正方形的面積為，正四棱錐的底面正方形為
則,從而
所以截面圖形的面積為．
故選：C．
8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若過圓錐的軸的截面為邊長為4的等邊三角形，正方體的頂點，，，在圓錐底面上，，，，在圓錐側(cè)面上，則該正方體的棱長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)正方體棱長為，根據(jù)題意得，分析求解即可.
【詳解】根據(jù)題意過頂點和正方體上下兩個平面的對角線作軸截面如下所示：
所以，，所以，，
為矩形，設(shè)，所以，所以，
所以，即，即，解得.
故選：C.
9．（2023·海南?？凇ずＤ现袑W(xué)?？级＃﹤髡f古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著“圓柱容球”，即：一個圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等.如圖是一個圓柱容球，為圓柱上下底面的圓心，為球心，為底面圓的一條直徑，若球的半徑，則平面DEF截球所得的截面面積最小值為（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】過作于，設(shè)到平面的距離為，平面截得球的截面圓的半徑為，由求解判斷.
【詳解】由球的半徑為，可知圓柱的底面半徑為，圓柱的高為，過作于，如圖所示：

則由題可得，
設(shè)平面截得球的截面圓的半徑為，
當(dāng)EF在底面圓周上運動時，
到平面的距離
所以
所以平面截得球的截面面積最小值為，
故D正確；
故選：D.
10．（2023·江西南昌·江西師大附中?？既＃┮阎襟w的棱長為，為棱上的一點，且滿足平面平面，則平面截四面體的外接球所得截面的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由題意證得是的中點，由四面體的外接球的直徑為，得到半徑，設(shè)是外接球的球心，求得球心到平面的距離，根據(jù)球的截面圓的性質(zhì)，求得截面圓的半徑，進而求得截面圓的面積.
【詳解】在正方體中，設(shè)平面平面，且平面，
由平面平面，可得，所以是的中點，
又四面體的外接球的直徑為，可得半徑，
設(shè)是的中點即球心，球心到平面的距離為，
又設(shè)與的交點為，則，則，
則，則截面圓的半徑，
所以截面圓的面積為.
故選：A．

11．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）在矩形中，，將沿對角線翻折至的位置，使得平面平面，則在三棱錐的外接球中，以為直徑的截面到球心的距離為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】如圖，取的中點為，連接，過作，垂足為，連接，可證為三棱錐的外接球的球心，利用解直角三角形可求，據(jù)此可求球心到以為直徑的截面的距離.
【詳解】如圖，取的中點為，連接，過作，垂足為，連接.
因為三角形為直角三角形，故，
同理，故，
所以為三棱錐的外接球的球心，而，

因為，平面，平面平面，
平面平面，故平面，
而平面，故.
在直角三角形中，，故，
故，
在直角三角形中，，
故，故.
設(shè)球心到以為直徑的截面的距離為，
則，
故選：B.
【點睛】思路點睛：三棱錐外接球的球心，可根據(jù)球心的定義來判斷（即球心到各頂點的距離相等），而球面截面圓的半徑、球心到截面的距離、球的半徑可構(gòu)成直角三角形.
12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某圓錐母線長為，底面半徑為，則過該圓錐頂點的平面截此圓錐所得截面面積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出圓錐的高，設(shè)過圓錐頂點的截面為，設(shè)，表示的面積，再運用基本不等式求最值即可．
【詳解】設(shè)圓錐頂點為，底面直徑為，圓心，另有一任意弦，為的中點，連接、、，
如圖，設(shè)為過圓錐頂點的截面，
因為底面，，
因為，為的中點，所以，
由題意可知：，，
設(shè)，，則，，
所以，
，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
故過該圓錐頂點的平面截此圓錐所得截面面積的最大值為．
故選：A．
13．（2023秋·重慶萬州·高三重慶市萬州第二高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知圓臺的上、下底面半徑分別為r，R，高為h，平面經(jīng)過圓臺的兩條母線，設(shè)截此圓臺所得的截面面積為S，則（ ）
A．當(dāng)時，S的最大值為
B．當(dāng)時，S的最大值為
C．當(dāng)時，S的最大值為
D．當(dāng)時，S的最大值為
【答案】D
【分析】通過將圓臺補成圓錐，利用圖形分和討論即可.
【詳解】如圖,將圓臺補成圓錐.
設(shè)圓臺的母線長為,則,等腰梯形為過兩母線的截面.
設(shè)，由，得,
則，
當(dāng)時，，當(dāng)最大，即截面為軸截面時面積最大，
則的最大值為.
當(dāng)時,，當(dāng)時，截面面積最大，
則的最大值為.
故選：D.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵的是通過補圖，利用三角形相似和三角形面積公式得到，然后再分和討論即可.
二、填空題
14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓錐頂點為P，底面的中心為O，過直線OP的平面截該圓錐所得的截面是面積為的正三角形，則該圓錐的體積為 .
【答案】
【分析】由題設(shè)正三角形的邊長為，得到底面圓的半徑為，圓錐的高為，結(jié)合圓錐的體積公式，即可求解.
【詳解】由題意，過直線的平面截該圓錐所得的截面是面積為的正三角形，
設(shè)正三角形的邊長為，可得，解得，
∴底面圓的半徑為，圓錐的高為，
所以該圓錐的體積為.
故答案為：.
15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）將一個直角邊長為2的等腰直角三角形繞其直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所得圓錐的內(nèi)切球的表面積為 ．
【答案】
【分析】作圓錐的軸截面，利用等面積法求出內(nèi)切球的半徑，即可求得內(nèi)切球的表面積.
【詳解】依題意，作圓錐的軸截面為等腰直角三角形，
截得其內(nèi)切球的大圓是此等腰直角三角形的內(nèi)切圓，
圓錐的底面半徑為2，則其母線長為，
設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為r，
則，所以，
所以內(nèi)切球的表面積為 故答案為：
16．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知某球的體積為，該球的某截面圓的面積為，則球面上的點到該截面圓心的最大距離為 ．
【答案】3
【分析】先求出球心到平面的距離為，再求點到該截面圓的最大距離.
【詳解】設(shè)截面圓的半徑為，球的半徑為，球心到平面的距離為，
則，
因為球的體積為所以
因為截面圓的面積為，所以，故，
所以，
所以球面上的點到該截面圓圓心的最大距離為，故最大距離為.
故答案為:.
17．（2023秋·四川南充·高三四川省南充高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點，，是圓錐表面上的點，該圓錐的側(cè)面展開圖為以點為圓心，4為半徑的半圓，點是弧的中點，點是弧的中點（如圖），以圓錐底面圓心為球心，半徑為2的球被平面所截，則截面面積為 .
【答案】
【分析】還原圓錐，作出示意圖，求得底面圓半徑，進而根據(jù)等體積法求得底面圓心到截面圓的距離，從而求得截面圓的半徑，可得答案.
【詳解】根據(jù)題意，還原圓錐如下所示：D點在如圖示 的中點處，
不妨設(shè)該圓錐底面半徑為，高為，底面圓圓心為，
根據(jù)題意，，圓錐底面圓周長為，
解得，
由勾股定理可得，
平面截以圓錐底面圓心為球心，半徑為2的球的截面為一個圓，
不妨設(shè)截面圓半徑為，設(shè)球心到面的距離為，
在中，，，
則，
由等體積法可得，，
即，
解得，
故可得，，
故截面圓面積為，
故答案為：
18．（2023·陜西西安·校聯(lián)考一模）某圓錐的底面半徑為1，高為3，在該圓錐內(nèi)部放置一個正三棱柱，則該正三棱柱體積的最大值為 ．
【答案】
【分析】作出對應(yīng)的圖形，設(shè)正三棱柱上底面外接圓的半徑為r，利用題意得出三棱柱的高，，進而求出體積的表達式，利用導(dǎo)數(shù)求出體積的最值即可.
【詳解】如圖，設(shè)正三棱柱上底面外接圓的半徑為r，三棱柱的高為h,根據(jù)題意作出圓錐的軸截面，
由可得，則該三棱柱的高，，
則該三棱柱的體積，，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；
所以時，V取得最大值，且最大值為．
故答案為：.
19．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）在圓柱中，底面圓半徑為，高為，上底面圓的直徑為,是底面圓弧上的一個動點，繞著底面圓周轉(zhuǎn)，則的面積的范圍 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，設(shè)上頂面圓心記為，下底面圓心記為，連接，過點作，垂足為點，由于為定值，則的大小隨著的長短變化而變化，由圖可知當(dāng)點與點重合時以及當(dāng)點與點重合，分別求解的最大值和最小值，即可得到的面積的范圍．
【詳解】解：如圖1，設(shè)上底面圓心記為，下底面圓心記為，
連接，過點作，垂足為點，
則，
根據(jù)題意，為定值2，所以的大小隨著的長短變化而變化，
如圖2所示，當(dāng)點與點重合時，，
此時取得最大值為；
如圖3所示，當(dāng)點與點重合，取最小值2，
此時取得最小值為，
綜上所述，的取值范圍為.
故答案為：.
20．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知三棱錐中，Q為BC中點，，側(cè)面底面，則過點Q的平面截該三棱錐外接球所得截面面積的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】連接，找到球心到平面和平面的射影為和的中心,，再通過面面垂直的性質(zhì)定理和線面垂直的性質(zhì)定理得到，再利用勾股定理求出相關(guān)長度，找到截面圓的最值情況，代入計算即可得到答案.
【詳解】連接,由,
可知：和是等邊三角形,
設(shè)三棱錐外接球的球心為,
所以球心到平面和平面的射影是和的中心,，
是等邊三角形,為中點,所以,
又因為側(cè)面底面,側(cè)面底面，側(cè)面，
所以底面,而底面,因此,
所以是矩形,應(yīng)為和是邊長為4的等邊三角形,
所以兩個等邊三角形的高,
在矩形中,，
連接,所以,
設(shè)過點的平面為,當(dāng)時,此時所得截面的面積最小,該截面為圓形,
可得,
因此圓的半徑為,
所以此時面積為,當(dāng)點在以為圓心的大圓上時,此時截面的面積最大,
面積為:,所以截面的面積范圍為.
故答案為：.

21．（2023·江西上饒·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知四棱錐的各個頂點都在球O的表面上，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，，，，，M是線段AB上一點，且．過點M作球O的截面，所得截面圓面積的最小值為，則＝ ．
【答案】或
【分析】根據(jù)給定的幾何體，確定球心O的位置并求出球半徑，再利用球的截面圓性質(zhì)及余弦定理求解作答.
【詳解】在等腰梯形中，連接，如圖，
因為，，，則，，
于是，取中點，連接，則，得均為正三角形，
即有，即是梯形外接圓圓心，
而O為四棱錐的外接球球心，因此平面，又PA⊥平面ABCD，
則，而為球O的弦，則過點O垂直于的平面必過的中點E，連接，
于是，而，即有，四邊形為矩形，，
因此球O的半徑，過點M的球O的最小截面圓所在平面必垂直于，
而此截面圓半徑為，則，連接，在中，，
在中，，，
即有，解得或，
所以或.
故答案為：或
【點睛】關(guān)鍵點睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接問題時，關(guān)鍵是確定球心的位置，再利用球的截面小圓性質(zhì)求解.
22．（2023春·重慶萬州·高三重慶市萬州第二高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知三棱錐的四個頂點在球的球面上，，是邊長為的正三角形，三棱錐的體積為，為的中點，則過點的平面截球所得截面面積的最小值是 .
【答案】
【分析】先根據(jù)條件可證明，，，故三棱錐放入正方體中，正方體的外接球即是三棱錐的外接球，從而即可求出球的半徑，過點的平面截球所得截面面積的最小時，截面與垂直，求得截面圓半徑即可．
【詳解】設(shè)在底面上的射影為，如圖，

因為，由全等得為的中心，
由題可知，，由，解得
在正中，可得.
從而直角三角形中解得.
同理，又是邊長為的正三角形，
所以，則，同理，，
因此正三棱錐可看作正方體的一角，
正方體的外接球與三棱錐的外接球相同，正方體對角線的中點為球心.
記外接球半徑為，則，
過點的平面截球所得截面面積的最小時，截面與垂直，此時截面圓半徑滿足，
由得，所以，所以截面面積的最小值為.
故答案為：

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