一、知識點梳理
一、三角形中線問題
如圖在中，為的中點，，然后再兩邊平方，轉(zhuǎn)化成數(shù)量關系求解?。ǔＳ茫?br>二、角平分線問題
如圖，在中，平分，角,,所對的邊分別為，，
①等面積法
（常用）
②內(nèi)角平分線定理：
或
③邊與面積的比值：
二、題型精講精練
【典例1】在中，內(nèi)角的對邊分別為，.
(1)求；
(2)若的面積為，求邊上的中線的長.
【分析】（1）利用二倍角公式，結(jié)合正弦定理、余弦定理及同角三角函數(shù)關系式即可求出結(jié)果；
（2）利用三角形面積公式，及（1）的相關結(jié)論，再結(jié)合平面向量的四邊形法則，利用向量的線性表示出，最后利用求模公式即可求邊上的中線的長.
【詳解】（1）因為，所以，
所以，即，所以，
由余弦定理及得：
，又，
所以，即，所以，
所以.
（2）由，所以，
由（1），所以，因為為邊上的中線，
所以，所以（通過平方，將向量轉(zhuǎn)化為數(shù)量）
，所以，
所以邊上的中線的長為：.
【典例2】在中.AB＝2，AC＝，BC＝4，D為AC上一點.
(1)若BD為AC邊上的中線，求BD；
(2)若BD為∠ABC的角平分線，求BD.
【分析】（1）利用余弦定理，先求得，然后求得.
（2）利用余弦定理，先求得，即可求得、，利用等面積法求得.
【詳解】（1）在中，，
因為BD為AC邊上的中線，所以，
在中，，所以（活用兩次余弦定理）
（2）在中，，
由于，所以.
因為BD為的角平分線，所以.
由，得（等面積法）
即，解得.
【題型訓練-刷模擬】
1.中線問題
一、解答題
1．（2029·全國·高三專題練習）在中，角，，的對邊分別是，，，已知．
（1）求；
（2）若邊上的中線的長為，求面積的最大值．
2．（青海省海東市2029屆高三第三次聯(lián)考數(shù)學試題）在中，內(nèi)角的對邊分別為，且．
(1)求角的值；
(2)若，求邊上的中線的最大值．
9．（2029·全國·高三專題練習）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，求邊中線的取值范圍．
4．（2029·全國·高三專題練習）在中，角的對邊分別為，且．
（1）求角A的值；
（2）若邊上的中線，求的面積．
5．（2029·河南洛陽·洛寧縣第一高級中學校考模擬預測）已知為的內(nèi)角所對的邊，向量,，且．
(1)求；
(2)若，的面積為，且，求線段的長．
6．（2029·全國·高三專題練習）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.
(1)求角A；
(2)若AD為BC邊上中線，，求△ABC的面積.
7．（2029·全國·高三專題練習）已知的三個內(nèi)角、、所對的邊分別為，，，．
（1）求角的大?。?br>（2）若，邊上的中線長為，求的周長．
8．（2029·全國·高三專題練習）中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.
(1)求角A的大小；
(2)若邊上的中線，求的面積.
9．（2029·遼寧·遼寧實驗中學校考模擬預測）已知中，，，
(1)求；
(2)若點D為BC邊上靠近點B的三等分點，求的余弦值．
10．（2029·全國·高三專題練習）在△ABC中，角所對的邊分別為，已知.
(1)求的大?。?br>(2)的面積等于，D為BC邊的中點，當中線AD長最短時，求AB邊長.
11．（重慶市九龍坡區(qū)2029屆高三二模數(shù)學試題）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.
(1)求角A；
(2)若，的面積為，求邊BC的中線AD的長.
12．（2029·全國·高三專題練習）銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．
(1)求角C的值；
(2)若，D為AB的中點，求中線CD的范圍．
19．（浙江省重點中學拔尖學生培養(yǎng)聯(lián)盟2029屆高三下學期6月適應性考試數(shù)學試題）在中，角的對邊分別為且，
(1)求；
(2)求邊上中線長的取值范圍．
14．（2029·全國·高三專題練習）△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.
（I）求△ABC的面積；
（II）若sinA：sinC=9：2，求AC邊上的中線BD的長．
15．（2029·全國·高三專題練習）在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．
(1)求角C的大?。?br>(2)若，邊AB的中點為D，求中線CD長的取值范圍．
16．（2029·江蘇鎮(zhèn)江·揚中市第二高級中學?？寄M預測）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且，.
(1)求角的大??；
(2)若，點滿足，點滿足，求.
17．（2029·全國·高三專題練習）在中，
(1)求角A的大小
(2)若BC邊上的中線，且，求的周長
18．（2029·全國·高三專題練習）在銳角中，角所對的邊分別為，且.
(1)求角的大??；
(2)若邊，邊的中點為，求中線長的取值范圍.
2.角平分線問題
一、解答題
1．（2029·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考一模）在中，角所對的邊分別為．，角的角平分線交于點，且，．
(1)求角的大小；
(2)求線段的長．
2．（2029·內(nèi)蒙古呼和浩特·呼市二中校考模擬預測）內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，邊上的高為，
(1)求c的值；
(2)設是的角平分線，求的長.
9．（2029·全國·高三專題練習）在中，角，，所對的邊分別為，，，且．
(1)求角的大??；
(2)若角的角平分線與交于點，，，求的面積．
4．（2029·安徽蚌埠·統(tǒng)考模擬預測）已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，且滿足.
(1)求角；
(2)若的面積為，點在邊上，是的角平分線，且，求的周長.
5．（2029·全國·高三專題練習）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.
(1)求的大??；
(2)若邊上的高為，且的角平分線交于點，求的最小值.
6．（2029·全國·高三專題練習）在中，內(nèi)角的對邊分別為，且．
(1)求角的大小，
(2)若，角的角平分線交于，且，求的面積．
7．（2029·陜西安康·陜西省安康中學?？寄M預測）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，，， ，外接圓面積為.
(1)求；
(2)若為角的角平分線，交于點，求的長.
8．（2029·全國·高三專題練習）在 中，已知.
(1)求的值；
(2)若是的角平分線，求的長．
9．（2029·全國·高三專題練習）中，，，，.
(1)若，，求的長度；
(2)若為角平分線，且，求的面積.
10．（2029·全國·高三專題練習）在△ABC中，記角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知tanB
(1)若，求tanC的值：
(2)已知中線AM交BC于M，角平分線AN交BC于N，且求△ABC的面積．
11．（2029秋·四川成都·高三石室中學校考階段練習）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)求角A的大?。?br>(2)若，
①的角平分線交于M，求線段的長；
②若D是線段上的點，E是線段上的點，滿足，求的取值范圍．
12．（2029·廣東深圳·深圳中學校聯(lián)考模擬預測）已知的內(nèi)角的對邊分別為 ，且.
(1)求角B；
(2)設的角平分線交于點D，若，求的面積的最小值.
19．（2029·陜西西安·陜西師大附中校考模擬預測）在中，角的對邊分別為，已知，
(1)求角的大??；
(2)若的角平分線交于點，且，求的最小值，
14．（2029·全國·高三專題練習）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.且滿足（a+2b）csC+ccsA=0.
(1)求角C的大??；
(2)設AB邊上的角平分線CD長為2，求△ABC的面積的最小值.
15．（2029·全國·高三專題練習）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，，．已知．
(1)求；
(2)若外接圓面積為，求的最大值；
(9)若，且的角平分線，求．
16．（2029·全國·高三專題練習）已知銳角，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且．
(1)證明：；
(2)若為的角平分線，交AB于D點，且．求的值．
2024年高考數(shù)學高頻考點題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）
素養(yǎng)拓展17 解三角形中三角形的中線和角平分線問題（精講+精練）
一、知識點梳理
一、三角形中線問題
如圖在中，為的中點，，然后再兩邊平方，轉(zhuǎn)化成數(shù)量關系求解！（常用）
二、角平分線問題
如圖，在中，平分，角,,所對的邊分別為，，
①等面積法
（常用）
②內(nèi)角平分線定理：
或
③邊與面積的比值：
二、題型精講精練
【典例1】在中，內(nèi)角的對邊分別為，.
(1)求；
(2)若的面積為，求邊上的中線的長.
【分析】（1）利用二倍角公式，結(jié)合正弦定理、余弦定理及同角三角函數(shù)關系式即可求出結(jié)果；
（2）利用三角形面積公式，及（1）的相關結(jié)論，再結(jié)合平面向量的四邊形法則，利用向量的線性表示出，最后利用求模公式即可求邊上的中線的長.
【詳解】（1）因為，所以，
所以，即，所以，
由余弦定理及得：
，又，
所以，即，所以，
所以.
（2）由，所以，
由（1），所以，因為為邊上的中線，
所以，所以（通過平方，將向量轉(zhuǎn)化為數(shù)量）
，所以，
所以邊上的中線的長為：.
【典例2】在中.AB＝2，AC＝，BC＝4，D為AC上一點.
(1)若BD為AC邊上的中線，求BD；
(2)若BD為∠ABC的角平分線，求BD.
【分析】（1）利用余弦定理，先求得，然后求得.
（2）利用余弦定理，先求得，即可求得、，利用等面積法求得.
【詳解】（1）在中，，
因為BD為AC邊上的中線，所以，
在中，，所以（活用兩次余弦定理）
（2）在中，，
由于，所以.
因為BD為的角平分線，所以.
由，得（等面積法）
即，解得.
【題型訓練-刷模擬】
1.中線問題
一、解答題
1．（2029·全國·高三專題練習）在中，角，，的對邊分別是，，，已知．
（1）求；
（2）若邊上的中線的長為，求面積的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由正弦定理化角為邊，結(jié)合余弦定理可得，即可求出；
（2）由平方可得，利用基本不等式可得，即可求出面積最值.
【詳解】解：（1）因為，
所以由正弦定理可得，
即．
再由余弦定理可得，即．
因為，所以．因為，所以．
（2）因為，所以，
即．
因為，所以，當且僅當時取等，
故，則的最大值為．
2．（青海省海東市2029屆高三第三次聯(lián)考數(shù)學試題）在中，內(nèi)角的對邊分別為，且．
(1)求角的值；
(2)若，求邊上的中線的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）切化弦后，結(jié)合兩角和差公式和誘導公式可求得，進而得到；
（2）利用余弦定理和基本不等式可求得范圍，根據(jù)，平方后，結(jié)合向量數(shù)量積定義和運算律可求得結(jié)果.
【詳解】（1），，
，又，.
（2）由余弦定理得：（當其僅當時取等號），
，，
，
，
，即的最大值為.
9（2029·全國·高三專題練習）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，求邊中線的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)余弦定理求解即可得角；
（2）根據(jù)中線性質(zhì)可得，在左右兩側(cè)平方，應用向量的數(shù)量積公式求值即可.
【詳解】（1）由已知可得，
由余弦定理可得，整理得，
由余弦定理可得，又，
所以．
（2）因為M為的中點，所以，
則，
即．
因為，所以．
所以，
所以．
4．（2029·全國·高三專題練習）在中，角的對邊分別為，且．
（1）求角A的值；
（2）若邊上的中線，求的面積．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用正弦定理、兩角和的正弦公式化簡題設中的邊角關系可得
（2）結(jié)合（1）可得為等腰三角形，在中利用余弦定理可求，從而可求的面積.
【詳解】（1）由正弦定理可得，
整理得到，
因為，故，故，
因為，故.
（2）因為，，故，故為等腰三角形且.
設，則，
由余弦定理可得，故，
所以，故.
5．（2029·河南洛陽·洛寧縣第一高級中學?？寄M預測）已知為的內(nèi)角所對的邊，向量,，且．
(1)求；
(2)若，的面積為，且，求線段的長．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)平面向量垂直的坐標表示以及正弦定理、余弦定理可求出；
（2）根據(jù)三角形面積公式求出，根據(jù)平面向量運算律可求出結(jié)果.
【詳解】（1）因為，所以．
由正弦定理，得，即，
由余弦定理，得，
因為，所以.
（2），解得，
因為，則，
所以，.
6．（2029·全國·高三專題練習）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.
(1)求角A；
(2)若AD為BC邊上中線，，求△ABC的面積.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用正弦定理邊化角，再用三角恒等變換即可求解；
（2）利用，分別在△和△運用余弦定理可得
，再在△運用余弦定理得，兩式聯(lián)立即可求得，最后直接用三角形面積公式即可求解.
【詳解】（1）由正弦定理得，
∴，
∴,
∴，
∵，∴，
又∵, ∴,
（2）由已知得，，
在△中，由余弦定理得，
在△中，由余弦定理得，
又∵,
∴，
在△中，由余弦定理得，
以上兩式消去得, 解得或（舍去），
則.
7．（2029·全國·高三專題練習）已知的三個內(nèi)角、、所對的邊分別為，，，．
（1）求角的大小；
（2）若，邊上的中線長為，求的周長．
【答案】（1）；（2）6．
【分析】（1）利用正弦定理邊化角以及兩角和的正弦公式化簡可求得結(jié)果；
（2）根據(jù)兩邊平方可得，根據(jù)余弦定理可得，聯(lián)立求出和，由此可求出，則可得三角形的周長.
【詳解】（1）因為，所以，
根據(jù)正弦定理得，
所以，
所以，
所以，
因為、、是的三個內(nèi)角，
所以，，，
因為，所以．
（2）因為是邊上的中線，所以，
所以，
所以，
所以，
所以①，
又因為，所以，即②，
由①②，解得，，，
則，所以，
∴，故的周長為6．
8．（2029·全國·高三專題練習）中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.
(1)求角A的大??；
(2)若邊上的中線，求的面積.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)，利用正弦定理轉(zhuǎn)化為，再利用兩角和的正弦公式求解；
（2）在中，由余弦定理得到，然后分別在和中，利用余弦定理結(jié)合，兩式相加得到，聯(lián)立求得c，再利用三角形面積公式求解.
【詳解】（1）解；因為，
所以，
所以，
即 ，
因為 ，
所以 ，
所以；
（2）在中，由余弦定理得，
即①，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
因為，
兩式相加得②，
由①②得，
所以.
9．（2029·遼寧·遼寧實驗中學?？寄M預測）已知中，，，
(1)求；
(2)若點D為BC邊上靠近點B的三等分點，求的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由商數(shù)關系、和角正弦公式及三角形內(nèi)角和性質(zhì)可得，進而有，由和差角余弦公式得，同角平方關系及三角形內(nèi)角性質(zhì)求各角大小，即可得結(jié)果；
（2）取，應用余弦定理求，進而求的余弦值.
【詳解】（1）由題意，
又，故，而，
且，所以，
，所以或（舍），
故，且，則，，故.
（2）不妨取，則，，

.
10．（2029·全國·高三專題練習）在△ABC中，角所對的邊分別為，已知.
(1)求的大??；
(2)的面積等于，D為BC邊的中點，當中線AD長最短時，求AB邊長.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）可得，化簡可求出，從而得到的大小；
（2）由的面積等于可得，利用余弦定理和基本不等式可求出中線AD長最短時AB的邊長.
(1)可得，
即，因為
從而，而，
所以.
(2)，
當且僅當，即時，等號成立，
此時，
故.
11．（重慶市九龍坡區(qū)2029屆高三二模數(shù)學試題）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.
(1)求角A；
(2)若，的面積為，求邊BC的中線AD的長.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）應用正弦定理結(jié)合,可得可得角；
（2）根據(jù)余弦定理及的面積，求得，再根據(jù)向量關系平方應用數(shù)量積公式求解即可.
【詳解】（1）因為,所以,
可得,
又由兩角和差正弦公式可得,
,，
所以,
.
（2）因為,所以,
因為余弦定理得,又已知,
可得,即得.
因為BC的中線AD,可得,
.
12．（2029·全國·高三專題練習）銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．
(1)求角C的值；
(2)若，D為AB的中點，求中線CD的范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化簡可得出，結(jié)合角為銳角可求得結(jié)果；
（2）由余弦定理可得出，利用平面向量的線性運算可得出，由平面向量數(shù)量積的運算可得出，利用正弦定理結(jié)合正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍，可得出的取值范圍，即可得解
【詳解】（1）由，
，
，，，．
（2），，，
由余弦定理有：，，
所以，，
由正弦定理，，，，
，
，因為為銳角三角形，所以且，
則，,則，．
19．（浙江省重點中學拔尖學生培養(yǎng)聯(lián)盟2029屆高三下學期6月適應性考試數(shù)學試題）在中，角的對邊分別為且，
(1)求；
(2)求邊上中線長的取值范圍．
【答案】(1)6
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意利用正弦定理進行邊角轉(zhuǎn)化，分析運算即可；
（2）利用余弦定理和基本不等式可得，再根據(jù)，結(jié)合向量的相關運算求解.
【詳解】（1）因為，
由正弦定理可得，
整理得，
且，則，可得，即，
且，則，
由正弦定理，其中為的外接圓半徑，
可得，
又因為，
所以.
（2）在中，由余弦定理，即，
則，當且僅當時，等號成立，
可得，即
設邊上的中點為D，
因為，則
，
即，所以邊上中線長的取值范圍為.
14．（2029·全國·高三專題練習）△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.
（I）求△ABC的面積；
（II）若sinA：sinC=9：2，求AC邊上的中線BD的長．
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）首先根據(jù)正弦定理，將原等式中的邊化為角，再利用兩角和的正弦公式化簡，求出,再根據(jù)，得到，最后代入面積公式
（Ⅱ）由,得，根據(jù)上一問的結(jié)果可求，再根據(jù)中線表示向量為，兩邊平方后得到結(jié)果.
【詳解】（Ⅰ）,由正弦定理可化為：
,,即,
,,
又,
得,,即，
的面積
（Ⅱ）由,得，
，又，解得：，
又,
,
,
即邊上的中線的長為.
15．（2029·全國·高三專題練習）在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．
(1)求角C的大??；
(2)若，邊AB的中點為D，求中線CD長的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由正弦定理化角為邊得，再利用余弦定理可得結(jié)果；
（2）由余弦定理結(jié)合數(shù)量積運算得，由正弦定理可得，，所以，結(jié)合角的范圍，利用三角函數(shù)性質(zhì)可求得的范圍，即可得出答案.
【詳解】（1）已知，
由正弦定理可得，即，
所以，
因為，所以．
（2）由余弦定理可得，
又，
則，
由正弦定理可得，
所以，，
所以，
由題意得，解得，則，
所以，所以，
所以，所以中線CD長的取值范圍為．
16．（2029·江蘇鎮(zhèn)江·揚中市第二高級中學?？寄M預測）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且，.
(1)求角的大小；
(2)若，點滿足，點滿足，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理得到，因為，求得，進而求得，即可求得的大?。?br>（2）在中，由余弦定理求得，再由，根據(jù)向量的數(shù)量積的運算公式，求得，再在中，求得，得到，進而得到，分別在和中，求得，，利用余弦定理求得，進而求得的值.
【詳解】（1）解：因為，可得，
由正弦定理得，可得，
又因為，可得，則，
因為，所以，可得，所以，
又因為，可得，所以.
（2）解：在中，因為且，
由余弦定理得，即，
即，解得或（舍去），
設，因為，可得，
所以，
所以，即，
又因為，所以，所以，
在中，可得，可得，
因為，所以，
在中，可得，
所以，
在中，可得，
所以，
在中，可得，
所以
17．（2029·全國·高三專題練習）在中，
(1)求角A的大小
(2)若BC邊上的中線，且，求的周長
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理可求角的大小；
（2）由面積公式可得，再在和中，由余弦定理可得，最后用完全平方公式可求的值，即可求得三角形的周長.
【詳解】（1）由已知，
由正弦定理得：，
由余弦定理得：，
在中，因為，
所以；
（2）由，得①，
由（1）知，即②，
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
因為，所以③，
由①②③，得，
所以，
所以的周長.
18．（2029·全國·高三專題練習）在銳角中，角所對的邊分別為，且.
(1)求角的大?。?br>(2)若邊，邊的中點為，求中線長的取值范圍.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由余弦定理結(jié)合正弦定理，可得出角的正切即可求出角；
（2）由，結(jié)合正弦定理應用輔助角公式，根據(jù)銳角三角形中角的范圍，即可應用三角函數(shù)值域求出范圍
【詳解】（1）由余弦定理得，
即，
由正弦定理得
，
，即，
.
（2）由余弦定理得：，則.
由正弦定理得
所以，
因為是銳角三角形，所以，即，
則.中線長的取值范圍是.
2.角平分線問題
一、解答題
1．（2029·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考一模）在中，角所對的邊分別為．，角的角平分線交于點，且，．
(1)求角的大?。?br>(2)求線段的長．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）由兩角和與差公式化簡求角即可；
（2）利用面積公式列方程解出線段的長．
【詳解】（1）在中，由已知，可得：
則有：，
即
又，即有，
而，所以．
（2）在中，由（1）知，因為為角的角平分線，
則有，
由得：
解得，
所以線段的長為．
2．（2029·內(nèi)蒙古呼和浩特·呼市二中校考模擬預測）內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，邊上的高為，
(1)求c的值；
(2)設是的角平分線，求的長.
【答案】(1)9
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合三角形面積公式運算求解；
（2）根據(jù)題意可得，結(jié)合三角形面積公式運算求解.
【詳解】（1）由的面積，則，
且，解得，
故c的值為9.
（2）由（1）可得：，
由題意可得：，
∵，則，
即，解得，
故的長.
9．（2029·全國·高三專題練習）在中，角，，所對的邊分別為，，，且．
(1)求角的大?。?br>(2)若角的角平分線與交于點，，，求的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化角為邊，再根據(jù)余弦定理即可得解；
（2）根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合等面積法求出，即可得解.
【詳解】（1）因為，
所以根據(jù)正弦定理可得，即，
由余弦定理可得，
因為，所以；
（2）由，
得，解得，所以的面積為.
4．（2029·安徽蚌埠·統(tǒng)考模擬預測）已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，且滿足.
(1)求角；
(2)若的面積為，點在邊上，是的角平分線，且，求的周長.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題中等式和二倍角公式，正弦定理，余弦定理整理可得.
（2）利用三角形面積公式，先求，再利用余弦定理求即可.
【詳解】（1），
，
由正弦定理得，
，
又，.
（2）
，
，
，
由題意知，
，
，
，
，
，故.
的周長為.
5．（2029·全國·高三專題練習）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.
(1)求的大??；
(2)若邊上的高為，且的角平分線交于點，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理進行邊化角，結(jié)合三角恒等變換整理；（2）根據(jù)等面積可得，利用余弦定理得和基本不等式可得，根據(jù)面積得，整理分析．
【詳解】（1）由正弦定理得，得，
因為，所以，即.
（2）因為，所以.
由余弦定理得，得（當且僅當時，等號成立），即.
因為，所以.
因為，所以.
因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，
所以，即.故的最小值為.
6．（2029·全國·高三專題練習）在中，內(nèi)角的對邊分別為，且．
(1)求角的大小，
(2)若，角的角平分線交于，且，求的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意和三角函數(shù)的基本關系式化簡得，利用正弦定理和余弦定理，得到，即可求解；
（2）由的角平分線將分為和，得到，化簡得到，又由余弦定理得到，聯(lián)立求得的值，結(jié)合面積公式，即可求解.
【詳解】（1）解：因為，
由三角函數(shù)的基本關系式，可得
由正弦定理和，
即，
又由正弦定理得，
由余弦定理得，
因為，所以.
（2）解：由的角平分線將分為和，如圖所示，
可得，
因為，可得，且，
所以，
即，整理得，即，
又由，可得，即，
又由，
即，解得或（舍去），
所以的面積為.
7．（2029·陜西安康·陜西省安康中學?？寄M預測）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，，， ，外接圓面積為.
(1)求；
(2)若為角的角平分線，交于點，求的長.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理，角化邊可得與的關系，由和外接圓半徑可得，再由余弦定理即可解得；
（2）使用等面積法建立方程，求解即可.
【詳解】（1）由已知，∵，
∴由正弦定理得，∴，
∵，，∴，即.
設外接圓半徑為，則外接圓面積，∴，
∴由正弦定理，得，，
∵，∴或.
當時，由余弦定理，∴，
解得，∴（舍）；
當時，由余弦定理，∴，
解得，∴.
綜上所述，.
（2）
由第（1）問知，，若為角的角平分線，則，
如圖，設，，的面積分別為，，，
則，
∴
∴，
∴解得，.
8．（2029·全國·高三專題練習）在 中，已知.
(1)求的值；
(2)若是的角平分線，求的長．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用余弦定理求出邊的長，再利用正弦定理求出 （2）利用三角形的面積公式及面積關系，建立關于邊的關系式求解即可得到答案
【詳解】（1）在中，由余弦定理
整理得
解得或
由于，所以
因為，所以，所以
由正弦定理得：，故
（2）設，
由及三角形的面積公式可得：

整理得
在中，由余弦定理
由得
則
9．（2029·全國·高三專題練習）中，，，，.
(1)若，，求的長度；
(2)若為角平分線，且，求的面積.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）從向量角度，以為基底，表示出，再用向量法計算的模長，即的長度；
（2）用正弦定理的面積公式分別A表示出，，面積，列出等式計算即可求出A的正弦值，繼而求出面積.
【詳解】（1）∵，，∴，
又∵在中，，，，
∴，
∴，即：.
（2）在中，，
又∵，
∴，∴，∴，
∴，
∴.
10．（2029·全國·高三專題練習）在△ABC中，記角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知tanB
(1)若，求tanC的值：
(2)已知中線AM交BC于M，角平分線AN交BC于N，且求△ABC的面積．
【答案】(1)或；
(2).
【分析】（1）利用同角關系式可得或sin，然后利用和角公式即得；
（2）由題可得，利用角平分線定理及條件可得，進而可得，，即得.
【詳解】（1）因為，
所以，
解得或sin,
當時，，，
所以，；
當時，因為，
所以，又，
所以．
（2）∵，
∴，，
∴，即，
∴，
由角平分線定理可知，，又，
所以，
由，可得，
∴，，
所以．
11．（2029秋·四川成都·高三石室中學?？茧A段練習）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)求角A的大??；
(2)若，
①的角平分線交于M，求線段的長；
②若D是線段上的點，E是線段上的點，滿足，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角的關系，結(jié)合二倍角公式求解即可；
（2）①法一：在與中根據(jù)正弦定理可得，再根據(jù)結(jié)合數(shù)量積運算求解即可；
法二：根據(jù)，結(jié)合面積公式列式求解即可；
②法一：根據(jù)平面向量基本定理可得，進而求得范圍；
法二：以所在直線為x軸，過點A垂直于的直線為y軸，建立平面直角坐標系，根據(jù)坐標運算求解即可
【詳解】（1），則，故，所以，因為，
可得，由，所以．
（2）①法一：在與中，
由正弦定理得，
即，故，
所以，
所以
法二：在中，由是的角平分線
所以
由知：
即，解得
②法一：由，得
又
所以．
的取值范圍為；
法二：以所在直線為x軸，過點A垂直于的直線為y軸，建立平面直角坐標系，由．則
因為，
所以．
所以
由，得的取值范圍為
12．（2029·廣東深圳·深圳中學校聯(lián)考模擬預測）已知的內(nèi)角的對邊分別為 ，且.
(1)求角B；
(2)設的角平分線交于點D，若，求的面積的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式化簡求值，可得答案.
（2）根據(jù)三角形的面積之間的關系，即，可得，結(jié)合基本不等式，即可求得答案.
【詳解】（1）由已知及正弦定理得：，
又在中，,
∴，
即，
又，∴,
又，∴，即角B的大小為.
（2）∵.
是的角平分線，而，
∴，
即，∴.
∵，∴，
∵，∴，即,
當且僅當時取等號，則，
即的面積的最小值為.
19．（2029·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預測）在中，角的對邊分別為，已知，
(1)求角的大小；
(2)若的角平分線交于點，且，求的最小值，
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦函數(shù)的和差公式化簡題設條件，從而得到，由此得解；
（2）利用三角面積公式推得，從而利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【詳解】（1）因為，
所以，
所以，
由于，則，所以，即，
又，所以.
（2）因為的角平分線交于點，且，，

根據(jù)三角形面積公式可得，
等式兩邊同除以可得，則，
則，
當且僅當，即時，等式成立，
故的最小值為.
14．（2029·全國·高三專題練習）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.且滿足（a+2b）csC+ccsA=0.
(1)求角C的大小；
(2)設AB邊上的角平分線CD長為2，求△ABC的面積的最小值.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）先通過正弦定理進行邊化角，進而結(jié)合兩角和與差的正弦公式將式子化簡，然后求得答案；
（2）在和中，分別運用正弦定理，進而求出，然后在中再次運用正弦定理得到，最后通過三角形面積公式結(jié)合基本不等式求得答案.
【詳解】（1）根據(jù)題意，由正弦定理可知：，則，因為，所以，則，而，于是.
（2）由（1）可知，，在中，設，則，
在中，由正弦定理得：，
在中，由正弦定理得：，
所以.
在中，由正弦定理得：，
所以.
由基本不等式可得：，當且僅當時取“=”.
于是，.即△ABC的面積的最小值為.
15．（2029·全國·高三專題練習）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，，．已知．
(1)求；
(2)若外接圓面積為，求的最大值；
(9)若，且的角平分線，求．
【答案】(1)
(2)
(9)
【分析】（1）由已知得，由余弦邊角關系即可求值；
（2）由正弦定理求外接圓半徑，由（1）得，進而求得，應用余弦定理、基本不等式求最值，注意等號成立條件.
（9）利用等面積法得，由二倍角余弦公式求，即可求結(jié)果.
【詳解】（1）由題知，即，
由，解得．
（2）由外接圓面積為得外接圓半徑，
由（1），所以，
由正弦定理得，解得，
由余弦定理得，即，
化簡得，當且僅當a＝c時等號成立．
所以ac的最大值為．
（9）因為BD是的角平分線，則，
所以的面積，
所以，則，
由，所以，解得（負值舍去），
綜上，．
16．（2029·全國·高三專題練習）已知銳角，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且．
(1)證明：；
(2)若為的角平分線，交AB于D點，且．求的值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理可將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合角度關系轉(zhuǎn)化得，即可證得；
（2）由為的角平分線，，可得，根據(jù)面積公式可求得，再由三角形為銳角三角形可得的范圍，由平方公式二倍角公式可得的值，根據(jù)和差公式得的值，由余弦定理求得，再根據(jù)正弦定理的的值即可.
【詳解】（1）證明：因為，由正弦定理得：
，又，
所以，整理得．
又，則，即.
（2）因為為的平分線，且，
所以，則，
所以，可得，
因為為銳角三角形，所以，解得，
所以，所以，
所以，
在中，由余弦定理可得，所以，
由正弦定理得.

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