高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)(新高考)素養(yǎng)拓展18解三角形中的結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題(精講+精練)學(xué)生版+解析-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、知識(shí)點(diǎn)梳理
一、“結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題”的解題策略
（1）題目所給的三個(gè)可選擇的條件是平行的，無(wú)論選擇哪個(gè)條件，都可解答題目；
（2）在選擇的三個(gè)條件中，并沒(méi)有哪個(gè)條件讓解答過(guò)程比較繁雜，只要推理嚴(yán)謹(jǐn)、過(guò)程規(guī)范，都會(huì)得滿(mǎn)分，但計(jì)算要細(xì)心、準(zhǔn)確，避免出現(xiàn)低級(jí)錯(cuò)誤導(dǎo)致失分．
二、“正弦定理”與“余弦定理”的選用策略
在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定理更合適，或是兩個(gè)定理都要用，要抓住能夠利用某個(gè)定理的信息．
（1）如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時(shí)，要考慮用余弦定理；
（2）如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；
（9）以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．
三、“邊化角”或“角化邊”的變換策略
（1）若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”；
（2）若式子中含有、、的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；
（9）若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；
（4）代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置；
（5）含有面積公式的問(wèn)題，要考慮結(jié)合余弦定理求解；
（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到三角形的內(nèi)角和定理．
二、題型精講精練
【典例1】在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿(mǎn)足
(1)求角B；
(2)在①的外接圓的面積為，②的周長(zhǎng)為12，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，求的面積的最大值.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
【分析】（1）由已知，根據(jù)給的，先使用正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化全部轉(zhuǎn)化成角的關(guān)系，然后再利用,把換掉，展開(kāi)和差公式合并同類(lèi)項(xiàng)，然后根據(jù)角B的取值范圍，即可完成求解；
（2）由已知，根據(jù)第（1）問(wèn)計(jì)算出的角B，若選①，現(xiàn)根據(jù)給的外接圓的面積計(jì)算出外接圓半徑R，然后根據(jù)角B利用正弦定理計(jì)算出邊長(zhǎng)b，然后使用余弦定理結(jié)合基本不等式求解ac的最值，即可完成面積最值得求解；若選②，利用，表示出三邊關(guān)系，利用余弦定理借助基本不等式求解出a+c的最值，然后再利用基本不等式找到ac與a+c的關(guān)系，從而求解出面積的最值；若選③，可根據(jù)邊長(zhǎng)b、角B借助余弦定理使用基本不等式直接求解出ac的最值，即可完成面積最值得求解.
【詳解】（1）∵
∴
∴
，∴
∵∴∴
∵，∴
（2）若選①，設(shè)的外接圓半徑為R，
則，∴
∴
由余弦定理，得：
即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.即的面積的最大值為
若選②∵，∴
由余弦定理，
，又
∴
∴（舍）或，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立
∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立
若選③，由余弦定理，得：
即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
∴即的面積的最大值為
【題型訓(xùn)練1-刷真題】
一、解答題
1．（2029·北京·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)．
(1)若，求的值．
(2)已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使函數(shù)存在，求的值．
條件①：；
條件②：；
條件③：在區(qū)間上單調(diào)遞減．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
2．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）在中，，．
（1）求；
（2）再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，求邊上中線的長(zhǎng)．
條件①：；
條件②：的周長(zhǎng)為；
條件③：的面積為；
【題型訓(xùn)練2-刷模擬】
一、解答題
1．（2029·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．在下列三個(gè)條件①，，且；②；③中任選一個(gè)，回答下列問(wèn)題．
(1)求A；
(2)若，求面積的最大值．
2．（2029·北京東城·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).在下面兩個(gè)條件中選擇其中一個(gè)，完成下面兩個(gè)問(wèn)題：
條件①：在圖象上相鄰的兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心的距離為；
條件②：的一條對(duì)稱(chēng)軸為.
(1)求ω；
(2)將的圖象向右平移個(gè)單位（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在上的值域.
9．（2029·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答問(wèn)題．
在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且______．
(1)求角C；
(2)若外接圓的面積為，求面積的最大值．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
4．（2029·寧夏石嘴山·平羅中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，且______．
(1)求的面積；
(2)若，求．
在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在橫線中，并解答．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
5．（2029·云南昆明·昆明一中校考模擬預(yù)測(cè)）的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，點(diǎn)O為的內(nèi)心，記△OBC，的面積分別為，，，已知，．
(1)若為銳角三角形，求AC的取值范圍；
(2)在①；②；③中選一個(gè)作為條件，判斷△ABC是否存在，若存在，求出的面積，若不存在，說(shuō)明理由．（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．）
6．（2029·四川成都·四川省成都列五中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且.
(1)求角的大小；
(2)若，且__________，求的周長(zhǎng).請(qǐng)?jiān)谙铝腥齻€(gè)條件中，選擇其中的一個(gè)條件補(bǔ)充到上面的橫線中，并完成作答.①；②的面積為；③.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，那么按第一解答計(jì)分.
7．（2029·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊為a，b，c，的面積為S，若.
(1)當(dāng)時(shí)，求A；
(2)若角B為的最大內(nèi)角.從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立，
①；②；③.
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.
8．（2029·云南曲靖·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在①；②；③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在下面問(wèn)題中的橫線上，然后求解.
問(wèn)題：在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，______.（說(shuō)明：只需選擇一個(gè)條件填入求解，如果三個(gè)都選擇并求解的，只按選擇的第一種情形評(píng)分）
(1)求角的大小；
(2)求內(nèi)切圓的半徑.
9．（2029·寧夏中衛(wèi)·統(tǒng)考二模）在①；②；
③；這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并進(jìn)行解答．問(wèn)題：在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且_______．
(1)求角C；
(2)若的內(nèi)切圓半徑為，求．
10．（2029·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，已知圓是的外接圓，圓的直徑.設(shè)，，，在下面給出條件中選一個(gè)條件解答后面的問(wèn)題，
①；
②；
③的面積為.選擇條件______.
(1)求的值；
(2)求的周長(zhǎng)的取值范圍.
11．（2029·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）中，角的對(duì)邊分別為，從下列三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，并解答問(wèn)題.①；②；③的面積為.
(1)求角A的大??；
(2)求的取值范圍.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
12．（2029·寧夏石嘴山·平羅中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在①，，；②；③三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解決該問(wèn)題．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，且滿(mǎn)足________．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
(1)求角；
(2)若，求面積的最大值．
19．（2029·山西呂梁·統(tǒng)考三模）在①；②，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并加以解答.
已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，___________.
(1)求的值；
(2)若的面積為2，，求的周長(zhǎng).
注：如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
14．（2029·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）從①，②（為的面積），③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面橫線上，并加以解答．
在中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且______．
(1)求角的大??；
(2)若，求的取值范圍．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
15．（2029·河北邯鄲·統(tǒng)考二模）已知條件：①；②；③.
從三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答.
問(wèn)題：在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，滿(mǎn)足：___________.
(1)求角的大?。?br>(2)若，與的平分線交于點(diǎn)，求周長(zhǎng)的最大值.
注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分
16．（2029·海南·海口市瓊山華僑中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中并解答．
問(wèn)題：已知函數(shù)______．
(1)求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，S為的面積．若在處有最小值，求面積的最大值．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
17．（2029·江蘇·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并完成解答．
在中，內(nèi)角，，所對(duì)應(yīng)的邊分別為，，，且滿(mǎn)足________．
(1)求；
(2)若，，為邊上的一點(diǎn)，且，求．
18．（2029·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在①；②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中并解答．
問(wèn)題：已知△ABC中，點(diǎn)M在線段BC上，且，，，．
(1)求的值；
(2)求AM的值．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）
素養(yǎng)拓展18 解三角形中的結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題（精講+精練）
一、知識(shí)點(diǎn)梳理
一、“結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題”的解題策略
（1）題目所給的三個(gè)可選擇的條件是平行的，無(wú)論選擇哪個(gè)條件，都可解答題目；
（2）在選擇的三個(gè)條件中，并沒(méi)有哪個(gè)條件讓解答過(guò)程比較繁雜，只要推理嚴(yán)謹(jǐn)、過(guò)程規(guī)范，都會(huì)得滿(mǎn)分，但計(jì)算要細(xì)心、準(zhǔn)確，避免出現(xiàn)低級(jí)錯(cuò)誤導(dǎo)致失分．
二、“正弦定理”與“余弦定理”的選用策略
在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定理更合適，或是兩個(gè)定理都要用，要抓住能夠利用某個(gè)定理的信息．
（1）如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時(shí)，要考慮用余弦定理；
（2）如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；
（9）以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．
三、“邊化角”或“角化邊”的變換策略
（1）若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”；
（2）若式子中含有、、的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；
（9）若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；
（4）代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置；
（5）含有面積公式的問(wèn)題，要考慮結(jié)合余弦定理求解；
（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到三角形的內(nèi)角和定理．
二、題型精講精練
【典例1】在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿(mǎn)足
(1)求角B；
(2)在①的外接圓的面積為，②的周長(zhǎng)為12，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，求的面積的最大值.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
【分析】（1）由已知，根據(jù)給的，先使用正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化全部轉(zhuǎn)化成角的關(guān)系，然后再利用,把換掉，展開(kāi)和差公式合并同類(lèi)項(xiàng)，然后根據(jù)角B的取值范圍，即可完成求解；
（2）由已知，根據(jù)第（1）問(wèn)計(jì)算出的角B，若選①，現(xiàn)根據(jù)給的外接圓的面積計(jì)算出外接圓半徑R，然后根據(jù)角B利用正弦定理計(jì)算出邊長(zhǎng)b，然后使用余弦定理結(jié)合基本不等式求解ac的最值，即可完成面積最值得求解；若選②，利用，表示出三邊關(guān)系，利用余弦定理借助基本不等式求解出a+c的最值，然后再利用基本不等式找到ac與a+c的關(guān)系，從而求解出面積的最值；若選③，可根據(jù)邊長(zhǎng)b、角B借助余弦定理使用基本不等式直接求解出ac的最值，即可完成面積最值得求解.
【詳解】（1）∵
∴
∴
，∴
∵∴∴
∵，∴
（2）若選①，設(shè)的外接圓半徑為R，
則，∴
∴
由余弦定理，得：
即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.即的面積的最大值為
若選②∵，∴
由余弦定理，
，又
∴
∴（舍）或，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立
∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立
若選③，由余弦定理，得：
即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
∴即的面積的最大值為
【題型訓(xùn)練1-刷真題】
一、解答題
1．（2029·北京·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)．
(1)若，求的值．
(2)已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使函數(shù)存在，求的值．
條件①：；
條件②：；
條件③：在區(qū)間上單調(diào)遞減．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】(1).
(2)條件①不能使函數(shù)存在；條件②或條件③可解得，.
【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值；
（2）若選條件①不合題意；若選條件②，先把的解析式化簡(jiǎn)，根據(jù)在上的單調(diào)性及函數(shù)的最值可求出，從而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若選條件③：由的單調(diào)性可知在處取得最小值，則與條件②所給的條件一樣，解法與條件②相同．
【詳解】（1）因?yàn)?br>所以，
因?yàn)?，所?
（2）因?yàn)椋?br>所以，所以的最大值為，最小值為.
若選條件①：因?yàn)榈淖畲笾禐椋钚≈禐?，所以無(wú)解，故條件①不能使函數(shù)存在；
若選條件②：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，
所以,所以,,
所以，
又因?yàn)椋裕?br>所以，
所以，因?yàn)?，所?
所以，；
若選條件③：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在處取得最小值，即.
以下與條件②相同．
2．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）在中，，．
（1）求；
（2）再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，求邊上中線的長(zhǎng)．
條件①：；
條件②：的周長(zhǎng)為；
條件③：的面積為；
【答案】（1）；（2）答案不唯一，具體見(jiàn)解析．
【分析】（1）由正弦定理化邊為角即可求解；
（2）若選擇①：由正弦定理求解可得不存在；
若選擇②：由正弦定理結(jié)合周長(zhǎng)可求得外接圓半徑，即可得出各邊，再由余弦定理可求；
若選擇③：由面積公式可求各邊長(zhǎng)，再由余弦定理可求.
【詳解】（1），則由正弦定理可得，
，，，，
，解得；
（2）若選擇①：由正弦定理結(jié)合（1）可得，
與矛盾，故這樣的不存在；
若選擇②：由（1）可得，
設(shè)的外接圓半徑為，
則由正弦定理可得，
，
則周長(zhǎng)，
解得，則，
由余弦定理可得邊上的中線的長(zhǎng)度為：
；
若選擇③：由（1）可得，即，則，解得，
則由余弦定理可得邊上的中線的長(zhǎng)度為：
.
【題型訓(xùn)練2-刷模擬】
一、解答題
1．（2029·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．在下列三個(gè)條件①，，且；②；③中任選一個(gè)，回答下列問(wèn)題．
(1)求A；
(2)若，求面積的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）條件①：根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示轉(zhuǎn)化，求得；條件②：根據(jù)正弦定理轉(zhuǎn)化為，求得；條件③：將條件中的余弦轉(zhuǎn)化為正弦，再用正弦定理與余弦定理求得.
（2）根據(jù)余弦定理及基本不等式求得面積的最大值．
【詳解】（1）選擇條件①，因?yàn)椋?，且?br>所以，
即，所以，
由為銳角三角形可知，則，
故，，
選擇條件②，因?yàn)?，由正弦定理可得?br>由為銳角三角形可知，所以，
則，即，
由為銳角三角形可知，故．
選擇條件③，因?yàn)椋?br>所以，
即，
由正弦定理可得，
根據(jù)余弦定理可得，
由為銳角三角形可知，故，
（2）因?yàn)?，由?）可得，
所以根據(jù)余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，滿(mǎn)足條件．
則，
故面積的最大值為．
2．（2029·北京東城·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).在下面兩個(gè)條件中選擇其中一個(gè)，完成下面兩個(gè)問(wèn)題：
條件①：在圖象上相鄰的兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心的距離為；
條件②：的一條對(duì)稱(chēng)軸為.
(1)求ω；
(2)將的圖象向右平移個(gè)單位（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三角函數(shù)的恒等變換對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，再分別由條件①②求的值．
（2）由三角函數(shù)的平移變換得的解析式，再由函數(shù)的定義域求值域即可．
【詳解】（1）
選①：圖象上相鄰兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心的距離為，
則，則，
選②：的一條對(duì)稱(chēng)軸為，
則，
，又，則，
于是
（2）將的圖象向右移個(gè)單位長(zhǎng)度（縱坐標(biāo)不變），
得到函數(shù)的圖象
，
，
，
的值域?yàn)椋?br>9．（2029·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答問(wèn)題．
在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且______．
(1)求角C；
(2)若外接圓的面積為，求面積的最大值．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)正弦定理、兩角和的正弦公式和輔助角公式化簡(jiǎn)計(jì)算，即可求出C；
（2）根據(jù)正弦定理可得，利用余弦定理和基本不等式計(jì)算可得，結(jié)合三角形的面積公式計(jì)算即可求解.
【詳解】（1）選條件①．
，
由正弦定理得．
因?yàn)?，所以?br>故．
因?yàn)?，所以，得?br>又，所以．
選條件②．
由得．
由正弦定理得，
得，
得．
而，所以，即，
而，所以．
選條件③．
由及正弦定理得，
因?yàn)?，所以?
即，即，
所以，而，所以．
（2）設(shè)外接圓的半徑為R，則，故．
由正弦定理可得．
所以，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以，
故面積的最大值為．
4．（2029·寧夏石嘴山·平羅中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，且______．
(1)求的面積；
(2)若，求．
在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在橫線中，并解答．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若選①則根據(jù)余弦定理得，且，于是利用平方公式得，即可得的值，再根據(jù)面積公式即可得的面積；若選②根據(jù)向量數(shù)量積定義得，且，于是利用平方公式得，即可得的值，再根據(jù)面積公式即可得的面積；
（2）由正弦定理得即可求得的值.
【詳解】（1）若選①，由余弦定理得，整理得，則，
又，則，，則；
若選②，則，又，則，
又，得，則；
（2）由正弦定理得：，則，則，．
5．（2029·云南昆明·昆明一中?？寄M預(yù)測(cè)）的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，點(diǎn)O為的內(nèi)心，記△OBC，的面積分別為，，，已知，．
(1)若為銳角三角形，求AC的取值范圍；
(2)在①；②；③中選一個(gè)作為條件，判斷△ABC是否存在，若存在，求出的面積，若不存在，說(shuō)明理由．（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．）
【答案】(1)
(2)答案見(jiàn)解析
【分析】（1）由題意，根據(jù)的內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，利用正、余弦定理可得，結(jié)合角C的取值范圍即可求解；
（2）選擇①，根據(jù)正弦定理可得，由（1）得，方程無(wú)解即△ABC不存在．選擇②，根據(jù)三角恒等變換可得，由（1）得，解得，結(jié)合三角形的面積公式計(jì)算即可.選擇③，由（1），根據(jù)余弦定理可得，方程無(wú)解即△ABC不存在．
【詳解】（1）設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，因?yàn)椋?br>所以，化簡(jiǎn)得：，
所以，因?yàn)?，所以，所以?br>因?yàn)?，所以?br>因?yàn)闉殇J角三角形，
所以，，解得：，
所以，所以AC的取值范圍為．
（2）選擇①，因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以，所以?br>由（1）知，，所以，
整理得，方程無(wú)實(shí)數(shù)解，所以不存在．
選擇②，由得：，
所以，即，所以，
由（1）知，，
所以，所以，解得，
所以存在且唯一，的面積．
選擇③，因?yàn)?，所以?br>由（1）知，，所以，
整理得，
方程無(wú)實(shí)數(shù)解，所以不存在．
6．（2029·四川成都·四川省成都列五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且.
(1)求角的大?。?br>(2)若，且__________，求的周長(zhǎng).請(qǐng)?jiān)谙铝腥齻€(gè)條件中，選擇其中的一個(gè)條件補(bǔ)充到上面的橫線中，并完成作答.①；②的面積為；③.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，那么按第一解答計(jì)分.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)條件，利用和正弦的和角公式，化簡(jiǎn)即可得出結(jié)果；
（2）選①，利用正弦定理和條件得出，選②，利用條件和三角形面積公式得出，選③，利用條件和數(shù)量積的定義得出
，再利用余弦定即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）由正弦定理：，
因?yàn)?，所以?br>所以，因?yàn)?，所以，得到，又，所?
（2）若選①，根據(jù)正弦定理和（1）可知，，
所以，所以，得到，
若選②，由題知，得到，
若選③，即，由數(shù)量積定義得，得到，
故三個(gè)條件任選一個(gè)條件，都可以得到，
由余弦定理，得，整理得，
即，則或（舍去），
所以的周長(zhǎng)為.
7．（2029·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊為a，b，c，的面積為S，若.
(1)當(dāng)時(shí)，求A；
(2)若角B為的最大內(nèi)角.從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立，
①；②；③.
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.
【答案】(1)；
(2)答案見(jiàn)詳解.
【分析】（1）由題意，根據(jù)正弦定理、特殊角的三角函數(shù)值和輔助角公式化簡(jiǎn)計(jì)算可得，即可求解；
（2）分別以①②③中選取2個(gè)作為條件，根據(jù)正、余弦定理和三角形的面積公式計(jì)算，可證得第9個(gè)條件成立.
【詳解】（1），
由正弦定理得，
當(dāng)時(shí)，，
得，即，
又，所以，得；
（2）若選①②為條件.
，
由余弦定理得，又，所以.
由（1），得，
有，又，解得.
又，得，
由正弦定理得，即，
解得，所以，即③成立；
若選①③為條件.
，
由余弦定理得，又，所以.
由，得.
由（1）得，由正弦定理得，解得，
由余弦定理得，則，即②成立；
若選②③為條件.
，
由（1）得，由正弦定理得，所以.
由余弦定理得，
即，有，
即，等式兩邊同時(shí)平方，得，
解得或.
當(dāng)時(shí)，，則，與B為的最大內(nèi)角矛盾，
故，又由余弦定理得，
即，即①成立.
8．（2029·云南曲靖·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在①；②；③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在下面問(wèn)題中的橫線上，然后求解.
問(wèn)題：在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，______.（說(shuō)明：只需選擇一個(gè)條件填入求解，如果三個(gè)都選擇并求解的，只按選擇的第一種情形評(píng)分）
(1)求角的大小；
(2)求內(nèi)切圓的半徑.
【答案】(1)條件選擇見(jiàn)解析，
(2)
【分析】（1）選①，利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)即可得解；
選②，根據(jù)兩角差的余弦公式結(jié)合三角形內(nèi)角和定理化簡(jiǎn)即可；
選③，利用正弦定理化邊為角，再結(jié)合商數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)即可；
（2）先利用余弦定理求出，再根據(jù)三角形的面積公式求出面積，再根據(jù)等面積法即可得解.
【詳解】（1）選①，由正弦定理得，
因?yàn)椋?，所以?br>化簡(jiǎn)得，所以，
因?yàn)椋裕?br>選②，因?yàn)椋?br>所以，
所以，
又因?yàn)?，所以?br>選③，因?yàn)?，由正弦定理得?br>而，
，
因?yàn)椋裕?br>又因?yàn)?，所以?br>（2）由（1）知，，
所以，
所以，
設(shè)內(nèi)切圓的半徑為周長(zhǎng)為，
因?yàn)?，故?br>所以，即內(nèi)切圓的半徑為.
9．（2029·寧夏中衛(wèi)·統(tǒng)考二模）在①；②；
③；這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并進(jìn)行解答．問(wèn)題：在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且_______．
(1)求角C；
(2)若的內(nèi)切圓半徑為，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）選擇①根據(jù)兩角和的正切公式化簡(jiǎn)可得角，選擇②由正弦定理統(tǒng)一為邊，再由余弦定理求解，選擇③根據(jù)正弦定理統(tǒng)一為角，由輔助角公式求解；
（2）由余弦定理及三角形面積公式聯(lián)立求解即可.
【詳解】（1）選擇①：由已知得，
所以，
在中，，所以．
選擇②：由已知及正弦定理得，
所以，所以，
因?yàn)?，所以?br>選擇③：由正弦定理可得，
又，所以，則，
則，故．
又因?yàn)椋裕?br>解得．
（2）由余弦定理得，①
由等面積公式得．
即．
整理得，②
聯(lián)立①②，解得，
所以．
10．（2029·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，已知圓是的外接圓，圓的直徑.設(shè)，，，在下面給出條件中選一個(gè)條件解答后面的問(wèn)題，
①；
②；
③的面積為.選擇條件______.
(1)求的值；
(2)求的周長(zhǎng)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若選①利用正弦定理將邊化角，再結(jié)合兩角和的余弦公式及誘導(dǎo)公式求出，在利用正弦定理計(jì)算可得；若選②，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、和差角公式及誘導(dǎo)公式求出，在利用正弦定理計(jì)算可得；若選③，利用面積公式及余弦定理求出，在利用正弦定理計(jì)算可得；
（2）由題知，設(shè)，，利用正弦定理得到，，再根據(jù)三角恒等變換公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.
【詳解】（1）若選①，因?yàn)椋?br>由正弦定理可得，
顯然，所以，
即，所以，所以，又，所以，
因?yàn)橥饨訄A的半徑，所以.
若選②，因?yàn)椋?br>所以，
即，
所以，
所以，所以，又，所以，
因?yàn)橥饨訄A的半徑，所以.
若選③，的面積為，則，
由余弦定理可得，所以，所以，又，所以，
因?yàn)橥饨訄A的半徑，所以.
（2）由題知，設(shè)，，
由正弦定理，
所以，，
所以
，
因?yàn)?，所以，所以?br>所以.
11．（2029·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）中，角的對(duì)邊分別為，從下列三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，并解答問(wèn)題.①；②；③的面積為.
(1)求角A的大小；
(2)求的取值范圍.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
【答案】(1)選擇條件見(jiàn)解析，
(2)
【分析】（1）選①②時(shí)，利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換即可求得答案；選③時(shí)，龍三角形面積公式結(jié)合余弦定理即可求得答案；
（2）方法一：利用三角恒等變換化簡(jiǎn)為只含有一個(gè)三角函數(shù)的形式，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)，即可得答案；
方法二：利用余弦定理可得，再由正弦定理邊化角，可得，結(jié)合基本不等式即可求得答案.
【詳解】（1）選擇①由正弦定理可得，，
因?yàn)?，所?，即，
因?yàn)椋?，所以?br>所以，即；
選擇②，則，
由正弦定理得，
因?yàn)?，所?，即，
因?yàn)?，所以，所以，即?br>選擇③由，
可得，即，
所以，由于，故.
（2）方法一：

因?yàn)?，所以?br>所以，
所以，
即的取值范圍為
方法二：由余弦定理，，
再由正弦定理，，
因?yàn)椋?br>所以，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立.
又因?yàn)?，，所?，
即的取值范圍為.
12．（2029·寧夏石嘴山·平羅中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在①，，；②；③三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解決該問(wèn)題．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，且滿(mǎn)足________．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
(1)求角；
(2)若，求面積的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）選①：由，得到，利用正弦定理和三角形內(nèi)角性質(zhì)化簡(jiǎn)得到，求得，即可求解；
選②：由正弦定理和三角函數(shù)的性質(zhì)得到，得到，即可求解；
選③：由余弦定理求得，即可求解；
（2）由余弦定理求得，結(jié)合基本不等式求得，結(jié)合面積公式，即可求解.
【詳解】（1）解：選①：因?yàn)椋?br>由，可得，
由正弦定理得:
，
因?yàn)椋傻?，所以?br>又因?yàn)?，可得，所以?br>因?yàn)?，所?
選②：因?yàn)椋?br>由正弦定理得，
又因?yàn)?，可得，則，
即，可得，
因?yàn)?，所?
選③：因?yàn)?，可得?br>由余弦定理得，
又因?yàn)?，所?
（2）解：因?yàn)椋遥?
由余弦定理知，即，
可得，
又由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以，
所以的面積，
即的面積的最大值為.
19．（2029·山西呂梁·統(tǒng)考三模）在①；②，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并加以解答.
已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，___________.
(1)求的值；
(2)若的面積為2，，求的周長(zhǎng).
注：如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)所選條件，利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)，可求的值；
（2）由面積公式求得，再利用余弦定理求得，可得的周長(zhǎng).
【詳解】（1）若選①，由已知得，所以，
由正弦定理得，
又，所以，所以，又，
由，，解得.
若選②，由已知及正弦定理得，
所以，
所以，
所以，
又，所以，所以，又，
由，，解得.
（2）由的面積為2，得，所以，
由（1）可得，
由余弦定理得，
所以，所以，
所以的周長(zhǎng)為.
14．（2029·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）從①，②（為的面積），③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面橫線上，并加以解答．
在中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且______．
(1)求角的大??；
(2)若，求的取值范圍．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）選條件①：利用正弦定理結(jié)合余弦定理可得出，求出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；
選條件②：利用三角形的面積公式結(jié)合切化弦可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；
選條件③：利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式可得出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；
（2）利用余弦定理可得出，利用基本不等式結(jié)合三角形三邊關(guān)系可求得的取值范圍.
【詳解】（1）解：選條件①：因?yàn)?，所以由正弦定理得?
由余弦定理得，整理得，
由余弦定理得，因?yàn)?，所以?br>選條件②：因?yàn)椋?br>由三角形的面積公式可得，
因?yàn)?、，則，，所以，，
因?yàn)椋裕?br>選條件③：因?yàn)椋?br>由正弦定理可得，
所以，，
所以，．
因?yàn)?、，則，所以，故.
（2）解：由及正弦定理得，所以．
又由（1）知，所以由余弦定理得，
由基本不等式可得，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
又，所以，
所以的取值范圍為．
15．（2029·河北邯鄲·統(tǒng)考二模）已知條件：①；②；③.
從三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答.
問(wèn)題：在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，滿(mǎn)足：___________.
(1)求角的大??；
(2)若，與的平分線交于點(diǎn)，求周長(zhǎng)的最大值.
注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分
【答案】(1)條件選擇見(jiàn)解析，；
(2).
【分析】（1）選①，利用余弦定理求解作答；選②，利用二倍角正弦、正弦定理邊化角求解作答；選③，利用二倍角的余弦公式計(jì)算作答.
（2）根據(jù)給定條件，結(jié)合（1）的結(jié)論求出，再利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換求解作答.
【詳解】（1）選擇條件①，，
在中，由余弦定理得，
整理得，則，又，
所以.
選擇條件②，，
于是，
在中，由正弦定理得，，
因?yàn)?，則，即，
因?yàn)?，因此，即，又?br>所以.
選擇條件③，，
在中，因?yàn)?，即?br>則，又，即有，則，
所以.
（2）由（1）知，，有，
而與的平分線交于點(diǎn)，即有，于是，
設(shè)，則，且，
在中，由正弦定理得，，
所以，，
所以的周長(zhǎng)為
，由，得，
則當(dāng)，即時(shí)，的周長(zhǎng)取得最大值，
所以周長(zhǎng)的最大值為.
16．（2029·海南·?？谑协偵饺A僑中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中并解答．
問(wèn)題：已知函數(shù)______．
(1)求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，S為的面積．若在處有最小值，求面積的最大值．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】(1)最小正周期，單調(diào)遞減區(qū)間為
(2)
【分析】（1）三個(gè)條件中任選一個(gè)，利用三角恒等變換化簡(jiǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解；
（2）根據(jù)的解析式及三角函數(shù)的性質(zhì)求得，．由余弦定理結(jié)合基本不等式可得，從而可得面積的最大值．
【詳解】（1）選擇條件①：
．
所以函數(shù)的最小正周期．
令，解得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．
選擇條件②：
，
所以函數(shù)的最小正周期．
令，解得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．
選擇條件③：
，
所以函數(shù)的最小正周期．
令，解得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2）因?yàn)椋?br>所以當(dāng)，即時(shí)，．
因?yàn)樵谔幱凶钚≈?，且，所以，?br>由余弦定理可得，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故面積的最大值為．
17．（2029·江蘇·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并完成解答．
在中，內(nèi)角，，所對(duì)應(yīng)的邊分別為，，，且滿(mǎn)足________．
(1)求；
(2)若，，為邊上的一點(diǎn)，且，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）選①：由條件和正弦定理得，根據(jù)得出，根據(jù)二倍角公式得出，進(jìn)而得出，再結(jié)合的范圍即可求出；選②：由二倍角公式及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系得出，解出，再結(jié)合的范圍即可求出；
（2）首先在中，由余弦定理求出和，在中，由正弦定理得出，由得出代入，結(jié)合二倍角公式即可得出答案．
【詳解】（1）選擇①：
在中，由正弦定理，得．
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，所以?br>所以，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋?br>所以，
所以，所以．
選擇②：
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以，即，
解得或（舍去），
因?yàn)?，所以?br>（2）在中，由余弦定理，
得，解得，
，
在中，由正弦定理得：，
得，
因?yàn)椋?br>所以，
所．
18．（2029·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在①；②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中并解答．
問(wèn)題：已知△ABC中，點(diǎn)M在線段BC上，且，，，．
(1)求的值；
(2)求AM的值．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）選擇條件①，利用切化弦公式、正弦兩角和公式、正弦定理進(jìn)行求解；
選擇條件②，利用余弦二倍角公式、正弦定理進(jìn)行求解；
（2）由，得，接合余弦定理進(jìn)行求解.
【詳解】（1）若選擇條件①：
依題意，，，
故，
即，
由正弦定理，得．
在△ABM中，有，①
在△ACM中，有，②
因?yàn)?，所以?br>又
所以得．
若選擇條件②：
因?yàn)椋?br>所以，
即，由正弦定理，得，
故．
在△ABM中，有，①
在△ACM中，有．②
因?yàn)?，所以，?br>所以得．
（2）由（1）可知，，
在△ABM中，，
在△ACM中，，
因?yàn)?，所以?br>所以，所以．

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