一、知識點(diǎn)梳理
一、數(shù)列與不等式
數(shù)列與不等式的結(jié)合，一般有兩類題:一是利用基本不等式求解數(shù)列中的最值;二是與數(shù)列中的求和問題相聯(lián)系,證明不等式或求解參數(shù)的取值范圍,此類問題通常是抓住數(shù)列通項(xiàng)公式的特征,多采用先求和后利用放縮法或數(shù)列的單調(diào)性證明不等式,求解參數(shù)的取值范圍.
1.常見放縮公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）
；
（11）
；
（12）；
（13）．
（14）．
2.數(shù)學(xué)歸納法
（1）數(shù)學(xué)歸納法定義：對于某些與自然數(shù)有關(guān)的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性：先證明當(dāng)取第一個(gè)值時(shí)命題成立；然后假設(shè)當(dāng)（，）時(shí)命題成立，證明當(dāng)時(shí)命題也成立這種證明方法就叫做數(shù)學(xué)歸納法
注：即先驗(yàn)證使結(jié)論有意義的最小的正整數(shù)，如果當(dāng)時(shí)，命題成立，再假設(shè)當(dāng)（，）時(shí)，命題成立．（這時(shí)命題是否成立不是確定的），根據(jù)這個(gè)假設(shè)，如能推出當(dāng)時(shí)，命題也成立，那么就可以遞推出對所有不小于的正整數(shù)，，…，命題都成立．
（2）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的步驟與技巧
①用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟：
（1）證明：當(dāng)取第一個(gè)值結(jié)論正確；
（2）假設(shè)當(dāng)（，）時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)時(shí)結(jié)論也正確
由（1），（2）可知，命題對于從開始的所有正整數(shù)都正確
②用數(shù)學(xué)歸納法證題的注意事項(xiàng)
（1）弄錯起始．不一定恒為1，也可能或3（即起點(diǎn)問題）．
（2）對項(xiàng)數(shù)估算錯誤．特別是當(dāng)尋找與的關(guān)系時(shí)，項(xiàng)數(shù)的變化易出現(xiàn)錯誤（即跨度問題）．
（3）沒有利用歸納假設(shè)．歸納假設(shè)是必須要用的，假設(shè)是起橋梁作用的，橋梁斷了就過不去了，整個(gè)證明過程也就不正確了（即偽證問題）．
（4）關(guān)鍵步驟含糊不清．“假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，利用此假設(shè)證明時(shí)結(jié)論也成立”是數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵一步，也是證明問題最重要的環(huán)節(jié)，推導(dǎo)的過程中要把步驟寫完整，另外要注意證明過程的嚴(yán)謹(jǐn)性、規(guī)范性（即規(guī)范問題）．
二、題型精講精練
【典例1】（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）已知是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64．是公比大于0的等比數(shù)列，．
（I）求和的通項(xiàng)公式；
（II）記，
（i）證明是等比數(shù)列；
（ii）證明
【典例2】（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，．
（1）計(jì)算a2，a3，猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明；
（2）求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn．
【題型訓(xùn)練-刷模擬】
1.數(shù)列不等式
一、單選題
1．（2023春·北京海淀·高二人大附中?？计谥校┮阎獢?shù)列的前項(xiàng)和為，若對任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）已知數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對任意恒成立，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考二模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，若恒成立，則的最大值是（ ）
A．B．C．D．8
4．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和，，，若對恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（ ）
A．B．16C．D．32
5．（2023·福建·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，，恒成立，則的最小值為（ ）
A．3B．2C．1D．
6．（2023春·江西九江·高二校考期中）數(shù)列是首項(xiàng)和公比均為2的等比數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則使不等式成立的最小正整數(shù)的值是（ ）
A．8B．9C．10D．11
7．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，存在正偶數(shù)使得，且對任意正奇數(shù)有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023春·浙江衢州·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若，數(shù)列的前項(xiàng)積為，則使的最大整數(shù)為（ ）
A．20B．21C．22D．23
9．（2023·江西吉安·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)列不可能為等差數(shù)列B．對任意正數(shù)t，是遞增數(shù)列
C．若，則D．若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則
10．（2023·四川遂寧·校考模擬預(yù)測）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則稱數(shù)列是數(shù)列的“均值數(shù)列”．已知數(shù)列是數(shù)列的“均值數(shù)列”且，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
11．（2023春·浙江杭州·高二杭州市長河高級中學(xué)校考期中）已知數(shù)列滿足，若存在實(shí)數(shù)，使單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
12．（2022春·北京·高二清華附中?？计谥校τ跀?shù)列，若，都有（t為常數(shù)）成立，則稱數(shù)列具有性質(zhì)．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為，且具有性質(zhì)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
13．（2023春·河南開封·高二?？计谥校┮阎獢?shù)列的前n項(xiàng)和為，，若對任意正整數(shù)n，，，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
14．（2022秋·安徽合肥·高二統(tǒng)考期末）在數(shù)列中，若，且對任意的有，則使數(shù)列前n項(xiàng)和成立的n最大值為（ ）
A．9B．8C．7D．6
15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空題
16．（2023春·上?！じ呷y(tǒng)考開學(xué)考試）設(shè)為正數(shù)列的前項(xiàng)和，，，對任意的，均有，則的取值為 .
17．（2023·陜西延安·?？家荒＃┮阎獢?shù)列的前項(xiàng)和為，且，若，則正整數(shù)的最小值是 ．
18．（2023春·河南南陽·高二南陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且對于任意的，都有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍 ．
19．（2023春·山東德州·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若恒成立，則的最大值是 .
20．（2023·四川內(nèi)江·?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若對任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
21．（2023春·江西贛州·高二江西省全南中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列的前項(xiàng)和為，（），且，.若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
22．（2023春·遼寧錦州·高二校考階段練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，則存在正整數(shù)n，使得成立的實(shí)數(shù)組成的集合為
23．（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）已知正數(shù)數(shù)列滿足，且對任意，都有，則的取值范圍為 ．
三、解答題
24．（2024秋·湖北黃岡·高三浠水縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和滿足，數(shù)列滿足.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
25．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，是公差為1的等差數(shù)列.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)證明：.
26．（2023·湖南長沙·長郡中學(xué)?？家荒＃┮阎獢?shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)已知數(shù)列，證明：.
27．（2023·江西上饒·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，，求滿足條件的的最小值.
28．（2023春·云南·高三云南師大附中校考階段練習(xí)）數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為.
(1)求數(shù)列的前n項(xiàng)和；
(2)求證：
29．（2023·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)證明：．
30．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，.
(1)若，求，及數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，問：是否存在實(shí)數(shù)c，使得對所有成立？證明你的結(jié)論.
31．（2023春·江蘇·高三江蘇省前黃高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若對一切正整數(shù).不等式恒成立.求的最小值.
32．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若不等式對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
33．（2023春·江西贛州·高二江西省龍南中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列的前項(xiàng)和為，，，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，的前項(xiàng)和為，若對任意的正整數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
34．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)單調(diào)遞增的等差數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列.
（i）求的通項(xiàng)公式；
（ii）設(shè)，證明：.
35．（2023·海南海口·海南華僑中學(xué)?？家荒＃┮阎黜?xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，其中是數(shù)列的前n項(xiàng)和.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若對任意，且當(dāng)時(shí)，總有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
36．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，若對任意的正整數(shù)n都有
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若恒成立，求的最小值.
37．（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列滿足，.
(1)求數(shù)列前項(xiàng)和；
(2)證明：對任意的且時(shí)，
38．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：當(dāng)時(shí)，
(1)；
(2)；
(3)．
39．（2023秋·廣東陽江·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知數(shù)列中，是其前項(xiàng)的和，，.
(1)求，的值，并證明是等比數(shù)列；
(2)證明：.
40．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.
41．（2023春·遼寧大連·高二校聯(lián)考期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，是與的等差中項(xiàng).
(1)求證：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，若數(shù)列是遞增數(shù)列，求的取值范圍；
(3)設(shè)，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.
42．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)列滿足，，，，．
(1)求的通項(xiàng)；
(2)若，恒成立，求的取值范圍．
43．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)無窮數(shù)列滿足，．證明∶
(1)當(dāng)時(shí)，．
(2)不存在實(shí)數(shù)c，使得對所有的n都成立．
2.數(shù)學(xué)歸納法
一、解答題
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）首項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列滿足．
(1)證明：若為奇數(shù)，則對，都是奇數(shù)；
(2)若對，都有，求的取值范圍．
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列滿足.
(1)計(jì)算，猜想的通項(xiàng)公式并加以證明；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
3．（2023·江西宜春·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列中，，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列中，，證明：，（）．
4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，給定數(shù)列，其中，，．證明：
(1)．
(2)如果，那么當(dāng)時(shí)，必有．
5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，已知，，已知．證明：
(1)；
(2)．
6．（2022秋·廣東廣州·高三中山大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）已知數(shù)列滿足：，．
(1)證明：為等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列，求滿足的最大正整數(shù)n．
7．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，.
(1)計(jì)算,，猜想的通項(xiàng)公式并加以證明；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
8．（2023·遼寧·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列滿足，．
(1)計(jì)算：，猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；
(2)若，，求k的取值范圍．
9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，．
(1)若數(shù)列是常數(shù)數(shù)列，求m的值．
(2)當(dāng)時(shí)，證明：．
(3)求最大的正數(shù)m，使得對一切整數(shù)n恒成立，并證明你的結(jié)論．
10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足，，．
(1)證明：．
(2)設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明：．
11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，證明：
(1)．
(2)，其中無理數(shù)．
12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知每一項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列滿足，．
(1)證明：．
(2)證明：．
(3)記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明∶．
13．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，且數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：當(dāng)時(shí)，．
14．（2023秋·江蘇南京·高三南京市第一中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列滿足.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.
15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，．
(1)若數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)的和為，證明：當(dāng)時(shí)，．
16．（2023·上海浦東新·華師大二附中?？既＃?shù)列滿足，
(1)求的值；
(2)求數(shù)列前項(xiàng)和；
(3)令，，證明：數(shù)列的前項(xiàng)和滿足．
2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）
素養(yǎng)拓展22 數(shù)列與不等式（精講+精練）
一、知識點(diǎn)梳理
一、數(shù)列與不等式
數(shù)列與不等式的結(jié)合，一般有兩類題:一是利用基本不等式求解數(shù)列中的最值;二是與數(shù)列中的求和問題相聯(lián)系,證明不等式或求解參數(shù)的取值范圍,此類問題通常是抓住數(shù)列通項(xiàng)公式的特征,多采用先求和后利用放縮法或數(shù)列的單調(diào)性證明不等式,求解參數(shù)的取值范圍.
1.常見放縮公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）
；
（11）
；
（12）；
（13）．
（14）．
2.數(shù)學(xué)歸納法
（1）數(shù)學(xué)歸納法定義：對于某些與自然數(shù)有關(guān)的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性：先證明當(dāng)取第一個(gè)值時(shí)命題成立；然后假設(shè)當(dāng)（，）時(shí)命題成立，證明當(dāng)時(shí)命題也成立這種證明方法就叫做數(shù)學(xué)歸納法
注：即先驗(yàn)證使結(jié)論有意義的最小的正整數(shù)，如果當(dāng)時(shí)，命題成立，再假設(shè)當(dāng)（，）時(shí)，命題成立．（這時(shí)命題是否成立不是確定的），根據(jù)這個(gè)假設(shè)，如能推出當(dāng)時(shí)，命題也成立，那么就可以遞推出對所有不小于的正整數(shù)，，…，命題都成立．
（2）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的步驟與技巧
①用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟：
（1）證明：當(dāng)取第一個(gè)值結(jié)論正確；
（2）假設(shè)當(dāng)（，）時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)時(shí)結(jié)論也正確
由（1），（2）可知，命題對于從開始的所有正整數(shù)都正確
②用數(shù)學(xué)歸納法證題的注意事項(xiàng)
（1）弄錯起始．不一定恒為1，也可能或3（即起點(diǎn)問題）．
（2）對項(xiàng)數(shù)估算錯誤．特別是當(dāng)尋找與的關(guān)系時(shí)，項(xiàng)數(shù)的變化易出現(xiàn)錯誤（即跨度問題）．
（3）沒有利用歸納假設(shè)．歸納假設(shè)是必須要用的，假設(shè)是起橋梁作用的，橋梁斷了就過不去了，整個(gè)證明過程也就不正確了（即偽證問題）．
（4）關(guān)鍵步驟含糊不清．“假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，利用此假設(shè)證明時(shí)結(jié)論也成立”是數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵一步，也是證明問題最重要的環(huán)節(jié)，推導(dǎo)的過程中要把步驟寫完整，另外要注意證明過程的嚴(yán)謹(jǐn)性、規(guī)范性（即規(guī)范問題）．
二、題型精講精練
【典例1】（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）已知是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64．是公比大于0的等比數(shù)列，．
（I）求和的通項(xiàng)公式；
（II）記，
（i）證明是等比數(shù)列；
（ii）證明
【答案】（I），；（II）（i）證明見解析；（ii）證明見解析.
【分析】（I）由等差數(shù)列的求和公式運(yùn)算可得的通項(xiàng)，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式運(yùn)算可得的通項(xiàng)公式；
（II）（i）運(yùn)算可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可得證；
（ii）放縮得，進(jìn)而可得，結(jié)合錯位相減法即可得證.
【詳解】（I）因?yàn)槭枪顬?的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64．
所以，所以，
所以；
設(shè)等比數(shù)列的公比為，
所以，解得（負(fù)值舍去），
所以；
（II）（i）由題意，，
所以，
所以，且，
所以數(shù)列是等比數(shù)列；
（ii）由題意知，，
所以，
所以，
設(shè)，
則，
兩式相減得，
所以，
所以.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：
最后一問考查數(shù)列不等式的證明，因?yàn)闊o法直接求解，應(yīng)先放縮去除根號，再由錯位相減法即可得證.
【典例2】（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，．
（1）計(jì)算a2，a3，猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明；
（2）求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn．
【答案】（1），，，證明見解析；（2）.
【分析】（1）方法一：（通性通法）利用遞推公式得出，猜想得出的通項(xiàng)公式，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可；
（2）方法一：（通性通法）根據(jù)通項(xiàng)公式的特征，由錯位相減法求解即可．
【詳解】（1）
［方法一］【最優(yōu)解】：通性通法
由題意可得，，由數(shù)列的前三項(xiàng)可猜想數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即．
證明如下：
當(dāng)時(shí)，成立；
假設(shè)時(shí)，成立.
那么時(shí)，也成立.
則對任意的，都有成立；
［方法二］：構(gòu)造法
由題意可得，．由得．，則，兩式相減得．令，且，所以，兩邊同時(shí)減去2，得，且，所以，即，又，因此是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，所以．
［方法三］：累加法
由題意可得，．
由得，即，，……．以上各式等號兩邊相加得，所以．所以．當(dāng)時(shí)也符合上式．綜上所述，．
［方法四］：構(gòu)造法
，猜想．由于，所以可設(shè)，其中為常數(shù)．整理得．故，解得．所以．又，所以是各項(xiàng)均為0的常數(shù)列，故，即．
（2）由（1）可知，
［方法一］：錯位相減法
，①
，②
由①②得：
，
即.
［方法二］【最優(yōu)解】：裂項(xiàng)相消法
，所以．
［方法三］：構(gòu)造法
當(dāng)時(shí)，，設(shè)，即，則，解得．
所以，即為常數(shù)列，而，所以．
故．
［方法四］：
因?yàn)?，令，則
，
，
所以．
故．
【整體點(diǎn)評】（1）方法一：通過遞推式求出數(shù)列的部分項(xiàng)從而歸納得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，是該類問題的通性通法，對于此題也是最優(yōu)解；
方法二：根據(jù)遞推式，代換得，兩式相減得，設(shè)，從而簡化遞推式，再根據(jù)構(gòu)造法即可求出，從而得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
方法三：由化簡得，根據(jù)累加法即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
方法四：通過遞推式求出數(shù)列的部分項(xiàng)，歸納得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)待定系數(shù)法將遞推式變形成，求出，從而可得構(gòu)造數(shù)列為常數(shù)列，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）
方法一：根據(jù)通項(xiàng)公式的特征可知，可利用錯位相減法解出，該法也是此類題型的通性通法；
方法二：根據(jù)通項(xiàng)公式裂項(xiàng)，由裂項(xiàng)相消法求出，過程簡單，是本題的最優(yōu)解法；
方法三：由時(shí)，，構(gòu)造得到數(shù)列為常數(shù)列，從而求出；
方法四：將通項(xiàng)公式分解成，利用分組求和法分別求出數(shù)列的前項(xiàng)和即可，其中數(shù)列的前項(xiàng)和借助于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過賦值的方式求出，思路新穎獨(dú)特，很好的簡化了運(yùn)算．
【題型訓(xùn)練-刷模擬】
1.數(shù)列不等式
一、單選題
1．（2023春·北京海淀·高二人大附中?？计谥校┮阎獢?shù)列的前項(xiàng)和為，若對任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用裂項(xiàng)相消求出，再將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，進(jìn)而求出結(jié)果.
【詳解】由，
得，
因?yàn)閷θ我獾?，不等式恒成立?br>所以，
解得或.
故選：.
2．（2023·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）已知數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對任意恒成立，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用裂項(xiàng)相消法求出，將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，然后利用基本不等式即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以
，
因?yàn)閷θ我夂愠闪ⅲ?br>也即對任意恒成立，
因?yàn)?br>（當(dāng)且僅當(dāng)，也即時(shí)等號成立）
所以，
故選：.
3．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考二模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，若恒成立，則的最大值是（ ）
A．B．C．D．8
【答案】B
【分析】根據(jù)遞推公式構(gòu)造數(shù)列，結(jié)合可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后參變分離，利用對勾函數(shù)性質(zhì)可解.
【詳解】因?yàn)?，所以，所以?shù)列是常數(shù)列，
又，所以，從而，
所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，故．
因?yàn)楹愠闪?，所以恒成立，即恒成立?br>設(shè)，則，從而．
記，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，，且，
所以的最小值是，所以．
故選：B
4．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和，，，若對恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（ ）
A．B．16C．D．32
【答案】D
【分析】根據(jù)，求出和的通項(xiàng)公式，代入不等式計(jì)算，再根據(jù)基本不等式即可求解得出.
【詳解】，
數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為2的等比數(shù)列，
，解得或（舍），
，即恒成立，
，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號，.
故選：.
5．（2023·福建·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，，恒成立，則的最小值為（ ）
A．3B．2C．1D．
【答案】C
【分析】通過等差數(shù)列的定義求出的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法求出，進(jìn)而確定m的最小值.
【詳解】，是等差數(shù)列，又∵，
∴，
故對，，
也符合上式，
，
故，即的最小值為1．
故選：C．
6．（2023春·江西九江·高二?？计谥校?shù)列是首項(xiàng)和公比均為2的等比數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則使不等式成立的最小正整數(shù)的值是（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】B
【分析】根據(jù)等比數(shù)列得，利用裂項(xiàng)求和可得，結(jié)合不等式的性質(zhì)代入求解即可得答案.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)和公比均為2的等比數(shù)列，所以，則，
所以，則，
不等式整理得，
當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，顯然不滿足不等式；
當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，顯然滿足不等式；
且當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，則不等式恒成立；
故當(dāng)不等式成立時(shí)的最小值為9.
故選：B.
7．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，存在正偶數(shù)使得，且對任意正奇數(shù)有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用累加法求出，對分為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論的單調(diào)性，結(jié)合能成立與恒成立的處理方法求出答案.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以當(dāng)時(shí)，，
又時(shí)也成立，
所以，
易得，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，單調(diào)遞增，
又當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，存在，即，
所以，此時(shí)有，所以，
又對于任意的正奇數(shù)，，即，
所以或恒成立，所以或，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是，
故選：D．
8．（2023春·浙江衢州·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若，數(shù)列的前項(xiàng)積為，則使的最大整數(shù)為（ ）
A．20B．21C．22D．23
【答案】B
【分析】先判斷出，從而得到，，，故可判斷與1的大小關(guān)系.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，
故為各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列.
因?yàn)?，故，故?br>故，，，
故，，
所以，
，
，
所以，
故選：B.
9．（2023·江西吉安·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)列不可能為等差數(shù)列B．對任意正數(shù)t，是遞增數(shù)列
C．若，則D．若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則
【答案】D
【分析】若為常數(shù)列1，1，1，…，此時(shí)，由此可判斷A；若存在正數(shù)t使得為遞增數(shù)列，則，顯然當(dāng)時(shí)就不成立，由此判斷B；，結(jié)合基本不等式可判斷C；當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，由可得，則，，結(jié)合等比數(shù)列求和公式求解可判斷D.
【詳解】對于A，若為常數(shù)列1，1，1，…，此時(shí)，故數(shù)列可以是等差數(shù)列，故A錯誤；
對于B，由，∴，
若存在正數(shù)t使得為遞增數(shù)列，則，顯然當(dāng)時(shí)不成立，故B錯誤；
對于C，已知，顯然數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，
又；時(shí)，，不滿足取等條件，則，即，故C錯誤；
對于D，當(dāng)時(shí)，，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，由選項(xiàng)C知，累乘可得，∴，
∴，滿足題意，故D正確.
故選：D.
10．（2023·四川遂寧·?？寄M預(yù)測）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則稱數(shù)列是數(shù)列的“均值數(shù)列”．已知數(shù)列是數(shù)列的“均值數(shù)列”且，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由題意可得，由可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法可求得，求出數(shù)列的最小值，可得出關(guān)于的不等式，解之即可.
【詳解】由題意，即，
當(dāng)時(shí)，，
又，則滿足，故對任意的，，
則，
，
易知是遞增數(shù)列，所以，數(shù)列的最小值是，
由題意，整理可得，解得．
故選：B．
11．（2023春·浙江杭州·高二杭州市長河高級中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列滿足，若存在實(shí)數(shù)，使單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】解法一：由單調(diào)遞增可得恒成立，則，分析和應(yīng)用排除法確定正確選項(xiàng)；
解法二：借助函數(shù)的知識，將數(shù)列單調(diào)性轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象即可得解.
【詳解】解法一：由單調(diào)遞增，得，
由，得，
∴.
時(shí)，得①，
時(shí)，得，即②，
若，②式不成立，不合題意；
若，②式等價(jià)為，與①式矛盾，不合題意.
綜上，排除B，C，D.
解法二：設(shè)，函數(shù)對稱軸為，則，
聯(lián)立，可得兩函數(shù)的交點(diǎn)為，
若要，則，，所以，
又只要求存在實(shí)數(shù)，所以.
故選：A.
12．（2022春·北京·高二清華附中?？计谥校τ跀?shù)列，若，都有（t為常數(shù)）成立，則稱數(shù)列具有性質(zhì)．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為，且具有性質(zhì)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)數(shù)列的新定義推得數(shù)列是遞增數(shù)列，從而得到，整理化簡得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值，從而得解.
【詳解】依題意，得，則，
所以數(shù)列是遞增數(shù)列，故，
因?yàn)?，則，整理得，
令，則，
令，得；令，得；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，所以在或處取得最小值，
又，，所以，
故，則，
所以的取值范圍為.
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是理解數(shù)列新定義，推得是遞增數(shù)列，從而將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的恒成立問題，從而得解.
13．（2023春·河南開封·高二?？计谥校┮阎獢?shù)列的前n項(xiàng)和為，，若對任意正整數(shù)n，，，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)與的關(guān)系結(jié)合等比數(shù)列的概念可得，進(jìn)而可得，然后結(jié)合條件可得，然后分類討論即得.
【詳解】因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，，則，
即，又，
所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以，則，又，
所以為首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，
則，則，
所以，又，
則，又，
所以，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，而，則，解得；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，而，則；
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：C
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)遞推關(guān)系構(gòu)造數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后通過討論結(jié)合數(shù)列不等式恒成立問題即得.
14．（2022秋·安徽合肥·高二統(tǒng)考期末）在數(shù)列中，若，且對任意的有，則使數(shù)列前n項(xiàng)和成立的n最大值為（ ）
A．9B．8C．7D．6
【答案】B
【分析】由題知數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，進(jìn)而得，再根據(jù)錯位相減法得，進(jìn)而將不等式轉(zhuǎn)化為，令，再結(jié)合其單調(diào)性求解即可.
【詳解】解：因?yàn)閷θ我獾挠校?br>所以，即數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，
所以，，
所以，
，
所以
，
所以，
所以即為，
所以，
令，
則，即，
所以為單調(diào)遞減數(shù)列，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，滿足，
當(dāng)時(shí)，，不滿足，
所以成立的n最大值為，
所以，數(shù)列前n項(xiàng)和成立的n最大值為.
故選：B
15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】
（1）下面先證明．由，，則，，，化為：，
時(shí)，，
，，，，
，
又，
，可得，
時(shí)，，因此，得，
（2）下面證明．
，，化為：，
，
化為：，
，，，，，
，
，可得．
綜上可得：．
．
故選．
二、填空題
16．（2023春·上?！じ呷y(tǒng)考開學(xué)考試）設(shè)為正數(shù)列的前項(xiàng)和，，，對任意的，均有，則的取值為 .
【答案】2
【分析】由已知遞推式，結(jié)合與的關(guān)系及等比數(shù)列的定義，可判斷是公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列，寫出、，根據(jù)題設(shè)不等式恒成立可得恒成立，即可求值.
【詳解】由題設(shè)知：當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，
綜上知：是公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列，即，而，
∴由題設(shè)知：對任意的，有成立，又，
∴，整理得：恒成立，而時(shí)，
∴.
故答案為：2.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由與的關(guān)系及等比數(shù)列的定義求、，根據(jù)數(shù)列不等式恒成立求值即可.
17．（2023·陜西延安·?？家荒＃┮阎獢?shù)列的前項(xiàng)和為，且，若，則正整數(shù)的最小值是 ．
【答案】6
【分析】根據(jù)的關(guān)系作差可得，進(jìn)而求解，即可求解不等式.
【詳解】當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，①，②，①-②整理得，
．又，
是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
，
令，,
解得，
正整數(shù)的最小值是6．
故答案為：6
18．（2023春·河南南陽·高二南陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且對于任意的，都有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，可知，即可得出，再分類討論n為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)實(shí)數(shù)的不同取值范圍，取交集即可．
【詳解】，，
兩式相減得：，
對于任意的，都有恒成立，對于任意的，都有恒成立，對于任意的恒成立，
當(dāng)時(shí)，，由單調(diào)遞增，則；
當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閱握{(diào)遞減，則．
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是：．
故答案為：
19．（2023春·山東德州·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若恒成立，則的最大值是 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意得到，求得，得到，把不等式的恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立，設(shè)，化簡得到，結(jié)合的值，求得的最小值是，即可求解.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以數(shù)列是常數(shù)列，則，可得，故，
因?yàn)楹愠闪?，所以恒成立，即恒成立，設(shè)，則，從而，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，所以的最小值是，即?br>所以實(shí)數(shù)的最大值為.
故答案為：.
20．（2023·四川內(nèi)江·?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若對任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】利用的關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再用裂項(xiàng)相消法求得，再根據(jù)不等式的恒成立問題以及函數(shù)的單調(diào)性與最值，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，滿足上式，
所以.
所以，
所以，
由，可得，即，
因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，有最小值為10，
所以，所以，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
21．（2023春·江西贛州·高二江西省全南中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列的前項(xiàng)和為，（），且，.若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【分析】由得，兩式相減可證明數(shù)列為等差數(shù)列，繼而可求出，令，通過可知，當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，故可求出最大值，進(jìn)而可求 的取值范圍.
【詳解】由，可得.
兩式相減，可得，所以數(shù)列為等差數(shù)列.
因?yàn)?，，所以，所以，?br>則.令，則.
當(dāng)時(shí)，，數(shù)列單調(diào)遞減，
而，，，
所以數(shù)列中的最大項(xiàng)為1，故，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為: .
22．（2023春·遼寧錦州·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，則存在正整數(shù)n，使得成立的實(shí)數(shù)組成的集合為
【答案】
【分析】先累加求得，再分析二次不等式有解可得或，再分析的最小值即可
【詳解】由題，，累加可得，故，顯然，故要存在正整數(shù)n，使成立，即，即或，故存在正整數(shù)n，使或，故或，即或，故直接分析的最小值即可.又，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號，綜上有，故或.
故答案為：
23．（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）已知正數(shù)數(shù)列滿足，且對任意，都有，則的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】由已知可得出，解得，結(jié)合，可得，令，求出數(shù)列的最大項(xiàng)的值，可得出的取值范圍，進(jìn)而可得出的取值范圍.
【詳解】由題意可知，對任意，都有，則，則，
整理可得，，
解不等式可得，
當(dāng)時(shí)，，所以，，
令，
則數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，所以，，，
所以，.
下面來說明，當(dāng)時(shí)，對任意的，.
由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
，則，可得，
由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上為增函數(shù)，
則，可得，
假設(shè)當(dāng)時(shí)，，
由于函數(shù)在上為增函數(shù)，則，
可得.
由上可知，當(dāng)時(shí)，對任意的，.
綜上所述，的取值范圍是.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用數(shù)列不等式恒成立求數(shù)列首項(xiàng)的取值范圍，解題的關(guān)鍵就是由得出關(guān)于的不等式，通過解不等式可得出關(guān)于數(shù)列不等式恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為數(shù)列最值來求解.
三、解答題
24．（2024秋·湖北黃岡·高三浠水縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和滿足，數(shù)列滿足.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依題意可得，再根據(jù)，作差得到數(shù)列是以為首項(xiàng)，為等差的等差數(shù)列，即可求出通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消法求出，即可求出的取值范圍，從而得到，即可得解.
【詳解】（1）由，得，
當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，，
化簡得，
∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為等差的等差數(shù)列，
所以.
（2）由（1）可得，
∴數(shù)列的前項(xiàng)和.
∵，
∴單調(diào)遞增，∴，
∵，
∴，
若使得對一切恒成立，則，解得，
∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.
25．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，是公差為1的等差數(shù)列.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出的通項(xiàng)公式，得到與的關(guān)系，得到與的關(guān)系，利用累乘法即可求得的通項(xiàng)公式.
（2）由（1）結(jié)論求得，對進(jìn)行放縮并裂項(xiàng)，即可得結(jié)論.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，
則，即，
當(dāng)時(shí)，，
則，即，
由題可知，，故，
當(dāng)時(shí)，
，
當(dāng)時(shí)，滿足，
故的通項(xiàng)公式為.
（2）證明：由（1）可知：，
所以，
所以
.
26．（2023·湖南長沙·長郡中學(xué)?？家荒＃┮阎獢?shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)已知數(shù)列，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，由已知等式變形可得，利用累加法可求得在時(shí)的表達(dá)式，然后檢驗(yàn)時(shí)的情形，綜合可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)時(shí)，驗(yàn)證所證不等式成立，當(dāng)時(shí)，由放縮法可得出，再結(jié)合等比數(shù)列求和公式可證得原不等式成立，綜合可得出結(jié)論.
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，在等式兩邊同除后得，
所以，，
上述等式累加得，即，所以，.
又時(shí)，滿足該式，故.
（2）解：由，所以，，
所以，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，.
綜上所述，對任意的，.
27．（2023·江西上饒·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，，求滿足條件的的最小值.
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由成等比，求得，再由，求得或者，進(jìn)而得到，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）求得，得到，
令，進(jìn)而得到的最小值.
【詳解】（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)槌傻缺?，所以?br>可得，整理得，
又因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，所以?br>可得，解得或者，
當(dāng)時(shí)， ，不合題意舍去；
當(dāng)時(shí)， ，則，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2）解：由，可得，
所以，
當(dāng)時(shí)，
，
令，可得，
即，解得，所以的最小值為.
28．（2023春·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為.
(1)求數(shù)列的前n項(xiàng)和；
(2)求證：
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由遞推公式，可得為等比數(shù)列，求出通項(xiàng)后得，利用分組求和求數(shù)列的前n項(xiàng)和；
（2）利用放縮得，裂項(xiàng)相消求和證得.
【詳解】（1）由，得，
故是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，得．
，
所以數(shù)列的前項(xiàng)和為．
（2）證明：，
所以，
，，故．
29．（2023·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）解法一：由已知等式變形可得，計(jì)算出的值，再利用累乘法可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
解法二：由已知條件計(jì)算出的值，推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）利用錯位相減法求出，進(jìn)而可證得結(jié)論成立.
【詳解】（1）解：解法一：由題①，，即②，由①②得，
由得，
所以當(dāng)時(shí)，，
也滿足，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
解法二：由題，①，，即②，由①②得，
由，得，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
（2）證明：由（1）知，
所以，
兩式作差得，
所以.
30．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，.
(1)若，求，及數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，問：是否存在實(shí)數(shù)c，使得對所有成立？證明你的結(jié)論.
【答案】(1)，，
(2)存在，證明見解析
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由題意得.又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為0，公差為1的等差數(shù)列，則.
由題意知，所以.
取，3，得，.
【反思】也可根據(jù)及題意計(jì)算得，，猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法給出證明.
（2）（解法1）利用數(shù)學(xué)歸納法.
設(shè)，則.
令，即，解得.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明加強(qiáng)命題：.
當(dāng)時(shí)，，，所以成立.
假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，即.
因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，所以，故.
因此，所以.
因此，即當(dāng)時(shí)命題也成立.
綜上，存在，使得對一切成立.
（解法2）當(dāng)時(shí)，由題意得，從而得到
.①
假設(shè)存在實(shí)數(shù)c，使得對所有都成立，又，則
.
結(jié)合式①得.由，解得.
由式①得
.
解得.
綜上，得.
故存在，使得對一切成立.
31．（2023春·江蘇·高三江蘇省前黃高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若對一切正整數(shù).不等式恒成立.求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用與的關(guān)系得到,即,再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可;
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論得到對一切正整數(shù)恒成立,分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求解數(shù)列最小值問題.令,設(shè)當(dāng)時(shí),最大,列不等式組求解即可.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí),,得,
當(dāng)時(shí),,
整理得,
等式兩邊同除得,
則數(shù)列是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列,
所以,
則.
（2）不等式對一切正整數(shù)恒成立,
即對一切正整數(shù)恒成立.
令,設(shè)當(dāng)時(shí),最大,
則,
解得,
因?yàn)?
所以,
又,
則,
即的最小值為.
32．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列滿足．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若不等式對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用兩式相減可得結(jié)果；
（2）將不等式恒成立化為對恒成立，再利用數(shù)列的單調(diào)性求出右邊的最小值即可得解.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，得，
當(dāng)時(shí)，，
整理得，即，
又時(shí)，也適合上式，
故.
（2）若不等式對恒成立，即對恒成立，
即對恒成立，
令，
則
，
則為遞增數(shù)列，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，
所以.
33．（2023春·江西贛州·高二江西省龍南中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列的前項(xiàng)和為，，，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，的前項(xiàng)和為，若對任意的正整數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義以及的關(guān)系求解；
（2）利用錯位相減法可求得，在根據(jù)題意得即可求解.
【詳解】（1）由，得，又，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，
∴，即，
∴當(dāng)時(shí)，
，
又不滿足上式，所以.
（2）由（1）知，∴，
∴，①
，②
①?②得：，
整理得，
又因?yàn)閷θ我獾恼麛?shù)，恒成立，所以，
∵，
∴在上單調(diào)遞增，，
由，可得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
34．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)單調(diào)遞增的等差數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列.
（i）求的通項(xiàng)公式；
（ii）設(shè)，證明：.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）證明見解析.
【分析】（1）由數(shù)列的遞推關(guān)系式得到，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解；
（2）（i）設(shè)數(shù)列的公差為，根據(jù)題意，結(jié)合等比中項(xiàng)公式列出方程，求得，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解；
（ii）由（i）得到，利用放縮法和裂項(xiàng)求和，即可求解.
【詳解】（1）解：因?yàn)椋傻茫?br>兩式相減可得，即，
則，
又因?yàn)?，可得?br>所以當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，不滿足上式，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為
（2）解：（i）設(shè)數(shù)列的公差為，
因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，且，
所以，
整理得，解得或，
因?yàn)?，可得?br>又因?yàn)椋詳?shù)列的通項(xiàng)公式為.
（ii）由（i）知，，
可得，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
綜上可得，對于任意，都有.
35．（2023·海南海口·海南華僑中學(xué)?？家荒＃┮阎黜?xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，其中是數(shù)列的前n項(xiàng)和.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若對任意，且當(dāng)時(shí)，總有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由與的關(guān)系式即可證得數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出，再由裂項(xiàng)相消法可證明，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）∵，∴
當(dāng)時(shí)，，解得.
當(dāng)時(shí)，，
即，
∵，∴，
∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
∴.
（2）因?yàn)椋?br>∴當(dāng)時(shí)， ，
∴
，
∴，
∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.
36．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，若對任意的正整數(shù)n都有
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若恒成立，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，利用數(shù)列通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系求解；
（2）由（1）得到，從而得到，再分n為奇數(shù)和n為偶數(shù)，結(jié)合恒成立求解.
【詳解】（1）由，
得當(dāng)時(shí)，有，
二式相減并化簡得，
由于，則，
所以有，
又，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
所以
（2）結(jié)合（1）可知，
所以，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，
又，
所以單調(diào)遞增，又時(shí)，，
所以隨著Tn的增大而增大，
則，，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，
，
所以單調(diào)遞減，又時(shí)，，
所以隨著Tn的增大而減小，
所以則，，
綜上：，且，
又因?yàn)楹愠闪ⅲ?br>所以，所以的最小值為.
37．（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列滿足，.
(1)求數(shù)列前項(xiàng)和；
(2)證明：對任意的且時(shí)，
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)和的形式，求通項(xiàng).常寫出式子取n以及n-1的形式作差，并檢驗(yàn)n=1時(shí)的情況，求得為等比數(shù)列，求和即可；
（2）證明數(shù)列不等式，常用放縮法.放縮后構(gòu)造函數(shù)，用單調(diào)性證明不等式成立.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
兩式相減得：
所以，又符合此式，
綜上所述，
所以數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為，所以
（2）由（1）可知，所以
故只需證明
下面先證明對任意的且都有
記，則在上恒成立，
所以在上是增函數(shù)，又，故
當(dāng)且時(shí)，，所以，即
所以，，…，累加的原式得證
38．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：當(dāng)時(shí)，
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）直接作差得，根據(jù)差的符號可得．轉(zhuǎn)化為證明，利用反證法可得；再證，利用得與同號，即得結(jié)論；
（2）放縮構(gòu)造裂項(xiàng)：，即得，再根據(jù)裂項(xiàng)求和法可得；
（3）放縮構(gòu)造裂項(xiàng)：，再利用裂項(xiàng)相消法求和得結(jié)論.
【詳解】（1）由于，則．
若，則，與矛盾，從而，
所以.
又，
所以，與同號.
又，則，即．
（2）由于，則，
所以，，
即，
所以.
當(dāng)時(shí)，
，
從而.
當(dāng)時(shí)，，從而．
（3）由（1）知，，，
所以，，
所以，．
39．（2023秋·廣東陽江·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知數(shù)列中，是其前項(xiàng)的和，，.
(1)求，的值，并證明是等比數(shù)列；
(2)證明：.
【答案】(1)，，證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)題目條件代入即可求出，的值，利用構(gòu)造法即可證明是等比數(shù)列；
（2）根據(jù)（1）求出，再結(jié)合放縮法即可進(jìn)行證明.
【詳解】（1）由，得，
所以，，
由，得，
所以，.
證明如下：
由，得，
所以，
所以，所以，
所以，
因?yàn)?，所以，?br>即數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.
（2）由（1）知，，
，，
，
因?yàn)?，所以?br>于是，
其中，
于是，
所以.
即.
40．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）變形，是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，即可求解；
（2）根據(jù)題意解得，，由此證明.
【詳解】（1），又，
是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
.
（2）由（1），，
，
，
.
41．（2023春·遼寧大連·高二校聯(lián)考期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，是與的等差中項(xiàng).
(1)求證：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，若數(shù)列是遞增數(shù)列，求的取值范圍；
(3)設(shè)，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.
【答案】(1)證明見解析，
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）依題意可得，再根據(jù)，作差得到，即可得到，再由，即可得證，從而求出的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可知，即可得到，依題意可得，即可得到，再分為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論，參變分離，分別求出參數(shù)的取值范圍，即可得解；
（3）首先證明，即可證明當(dāng)時(shí)，，即可得證.
【詳解】（1）證明：是與的等差中項(xiàng)，
①，
于是有②，
①②，即，
，
又，，，
，，
，即有，
又，，
是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，.
（2）由（1）可知，，
，，
所以，
是遞增數(shù)列，，，
當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，，即恒成立，
數(shù)列單調(diào)遞增，，
當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，，即恒成立
數(shù)列單調(diào)遞減，，
綜上，的取值范圍是.
（3），，
即，
當(dāng)時(shí)，
.
，，
當(dāng)時(shí)，，綜上所述，.
42．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)列滿足，，，，．
(1)求的通項(xiàng)；
(2)若，恒成立，求的取值范圍．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)遞推公式找出數(shù)列規(guī)律，得到是等比數(shù)列，由此求出其通項(xiàng)公式，繼而得到的通項(xiàng)；
（2）將代入不等式中，可知不等式左邊為正數(shù)，右邊符號不確定，因此分類討論n為偶數(shù)和奇數(shù)時(shí)的取值范圍，取交集即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以?br>又，其中，，
由此可得，
所以，，
所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.
所以，解得，其中，，
檢驗(yàn)：根據(jù)通項(xiàng)公式計(jì)算可得，，所以.
（2）由（1）可知，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，取最小值，即，解得或；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，取最小值，即，解得或；
綜上：或，
故的取值范圍為.
43．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)無窮數(shù)列滿足，．證明∶
(1)當(dāng)時(shí)，．
(2)不存在實(shí)數(shù)c，使得對所有的n都成立．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，結(jié)合基本不等式可得，對已知遞推式兩邊平方，當(dāng)時(shí)，利用放縮法可證得結(jié)論；
（2）利用反證法，假設(shè)存在常數(shù)使得對所有的都成立，然后平方后利用放縮法推理即可.
【詳解】（1）由知．
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號；
當(dāng)時(shí)，
……
．
所以．
（2）假設(shè)存在常數(shù)使得對所有的都成立，
則，
下面先證明：（且），
令（），則，
所以在上遞增，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以（且），
所以，
即．
當(dāng)足夠大時(shí)，矛盾．
所以假設(shè)不成立，不存在（這里用到不等式）．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查數(shù)列與不等式的綜合問題，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查數(shù)列不等式恒成立問題，解題有關(guān)鍵是對已知遞推式兩邊平方，然后連續(xù)利用放縮法可證得結(jié)論，考查數(shù)學(xué)計(jì)算能力和邏輯推理能力，屬于難題.
2.數(shù)學(xué)歸納法
一、解答題
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）首項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列滿足．
(1)證明：若為奇數(shù)，則對，都是奇數(shù)；
(2)若對，都有，求的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析
(2)或
【分析】（1）利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明；
（2）利用，得到不等式，求出或，作差法得到與，從而對，都有，得到的取值范圍.
【詳解】（1）因?yàn)?，則，所以，
又首項(xiàng)為正數(shù)，則
利用數(shù)學(xué)歸納法證明：
已知是奇數(shù)，時(shí)成立．
假設(shè)是奇數(shù)，其中為正整數(shù)，則由遞推關(guān)系得是奇數(shù)，即時(shí)也成立．
由，可知對任何，都是奇數(shù)．
（2）由，得，于是或．
，
因?yàn)樗械木笥?，因此與同號．
因此，對一切都有的充要條件是或．
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列滿足.
(1)計(jì)算，猜想的通項(xiàng)公式并加以證明；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）利用遞推公式得出，猜想得出的通項(xiàng)公式，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可；
（2）由錯位相減法求解即可.
【詳解】（1）由，， ，，
猜想的通項(xiàng)公式為.
證明如下：（數(shù)學(xué)歸納法）
①.當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立；
②.假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，即成立；其中，
則，即時(shí)，結(jié)論也成立，
由①和②可知，∴
（2）解法一：
令，則前項(xiàng)和 （1）
由（1）兩邊同乘以2得： （2）
由（1）（2）得，
化簡得.
解法二：由（1）可知，
，①
，②
由①②得：
，
即.
3．（2023·江西宜春·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列中，，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列中，，證明：，（）．
【答案】(1)，
(2)證明見解析
【分析】（1）由題意可得，即數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出的通項(xiàng)公式；
（2）由用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.
【詳解】（1）由題設(shè)：，
，
，
．
所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
＝，
即的通項(xiàng)公式為，．
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（?。┊?dāng)時(shí)，因，，所以
，結(jié)論成立．
（ⅱ）假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即，
也即．
當(dāng)時(shí)，
，
又，
所以
．
也就是說，當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立．
根據(jù)（?。┖停áⅲ┲?，．
4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，給定數(shù)列，其中，，．證明：
(1)．
(2)如果，那么當(dāng)時(shí)，必有．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）用數(shù)學(xué)歸納法可證；作商可證；
（2）用反證法可證.
【詳解】（1）先用數(shù)學(xué)歸納法可證：
①當(dāng)時(shí)，，結(jié)論成立.
②假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即，
那么當(dāng)時(shí)，，
即.
由①②可知對任意時(shí)都有，亦有.
∵，
∴．
綜上可知，．
（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，．
由（1）知單調(diào)遞減，∴．
從而，
∴．
∵，∴，∴．
這與題設(shè)條件矛盾．∴假設(shè)不成立．當(dāng)時(shí)，必有．
5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，已知，，已知．證明：
(1)；
(2)．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可；
（2）根據(jù)，利用裂項(xiàng)相消法，結(jié)合放縮法即可求解.
【詳解】（1）時(shí)，，
假設(shè)，，
則時(shí)，，
綜上，，
所以，
即
（2）由題可得，
即，
,
∴，．
6．（2022秋·廣東廣州·高三中山大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列滿足：，．
(1)證明：為等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列，求滿足的最大正整數(shù)n．
【答案】(1)證明見解析，
(2)13
【分析】（1）法一：化簡已知條件得到，從而證得為等差數(shù)列，并求得.法二：先猜想，然后利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，再結(jié)合等差數(shù)列的定義證得為等差數(shù)列.
（2）利用分組求和法求得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求得正確答案.
【詳解】（1）法一：①，得②，
②－①，得，即，
所以數(shù)列是等差數(shù)列，
又，∴，，公差，所以．
法二：令時(shí)，，，，
令時(shí)，，猜想．
下面數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)時(shí)，，，，
②假設(shè)當(dāng)時(shí)，，
則當(dāng)時(shí)，，
解得，所以成立．
綜上所述，時(shí)，．
，所以數(shù)列是等差數(shù)列.
（2），
所以，
即
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
，，
所以滿足條件的最大正整數(shù)為13．
7．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，.
(1)計(jì)算,，猜想的通項(xiàng)公式并加以證明；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1),,,證明見解析;
(2).
【分析】（1）分別,，即可求得,,由此可猜想，用數(shù)學(xué)歸納法證明即可；
（2）結(jié)合（1）的結(jié)論可得的表達(dá)式，分組求和即可求得答案.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
猜想.
證明如下：
當(dāng)時(shí)，成立；
假設(shè)時(shí)，成立；
那么時(shí)，,
即時(shí)，，
則對任意的，都有成立.
（2）由題意得，
.
8．（2023·遼寧·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列滿足，．
(1)計(jì)算：，猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；
(2)若，，求k的取值范圍．
【答案】(1)，，，，，證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)遞推式寫出對應(yīng)項(xiàng)，并猜測通項(xiàng)公式，應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明即可；
（2）利用作差法求的最小項(xiàng)，根據(jù)恒成立求參數(shù)范圍.
【詳解】（1）由題設(shè)，，，，
猜測，數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
由上及已知有均滿足，
假設(shè)，成立，則，滿足上式；
綜上，且.
（2）取，故，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，且為最小項(xiàng)，
所以有，則.
9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，．
(1)若數(shù)列是常數(shù)數(shù)列，求m的值．
(2)當(dāng)時(shí)，證明：．
(3)求最大的正數(shù)m，使得對一切整數(shù)n恒成立，并證明你的結(jié)論．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)正數(shù)m的最大值是2，證明見解析
【分析】（1）由可求出m的值；
（2）由，得兩式相減化簡可證得結(jié)論；
（3）假設(shè)，則可得與矛盾，所以要使得對一切整數(shù)n恒成立，只可能是，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明.
【詳解】（1）若數(shù)列是常數(shù)列，則，
解得．
顯然，當(dāng)時(shí)，有．
（2）由條件得，
得．
因?yàn)椋?br>以上兩式相減得．
因?yàn)?，，?br>所以，
所以與同號．
因?yàn)?，所以?br>所以．
（3）首先證明．
假設(shè)，因?yàn)椋?br>所以．
這說明，當(dāng)時(shí)，越來越大，顯然不可能滿足．
所以要使得對一切整數(shù)n恒成立，只可能是．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)時(shí)，恒成立．
當(dāng)時(shí)，顯然成立．
假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，即，
則當(dāng)時(shí)，成立．
綜上可知對一切正整數(shù)n恒成立．
因此，正數(shù)m的最大值是2．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查數(shù)列與不等式的綜合問題，考查反證法和數(shù)學(xué)歸納法，第（3）問解題的關(guān)鍵是先利用反證法得到，然后再利用反證法證明時(shí)，恒成立即可，考查數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于較難題.
10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足，，．
(1)證明：．
(2)設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明：．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）利用數(shù)學(xué)歸納法及不等式證明即可；
（2）變形，進(jìn)而可得，放縮可得 ，由此證得結(jié)論．
【詳解】（1）先用數(shù)學(xué)歸納法證明．
當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，即，則，
∴．
故當(dāng)時(shí)結(jié)論也成立，由歸納原理知對成立．
作出函數(shù)的圖象，如圖，，的方程，

根據(jù)割線的位置易知，
從而．
綜上可知．
（2）∵，且，
設(shè)，，
則，∴在上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)時(shí)，，即.
∴．
∵，∴，
∴，，
∴．
從而．
11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，證明：
(1)．
(2)，其中無理數(shù)．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）使用數(shù)學(xué)歸納法證明；
（2）把進(jìn)行變形，整體可變形為乘法結(jié)構(gòu)，然后取對數(shù)，最后利用函數(shù)不等式進(jìn)行裂項(xiàng)放縮，結(jié)合累加法及數(shù)列求和證明．
【詳解】（1）以下用數(shù)學(xué)歸納法證明．
①當(dāng)時(shí)，，不等式成立．
②假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，即．
當(dāng)時(shí)，．
∴當(dāng)時(shí)，不等式也成立．
綜上可知，對所有成立．
（2）由（1）知，由得．
不等號兩邊取以為底的對數(shù)，可得．
令，則，
∴在上單調(diào)遞增，故，即，
∴，
即，
則，，…，，
累加可得
，
∴，∴．
12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知每一項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列滿足，．
(1)證明：．
(2)證明：．
(3)記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明∶．
【答案】(1)證明見解析.
(2)證明見解析.
(3)證明見解析.
【分析】（1）解法一可利用數(shù)學(xué)歸納法證明；解法二構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性證明.
（2）用數(shù)學(xué)歸納法由（1）知，再由數(shù)學(xué)歸納法可證.
（3）由，得，再求和即可.
【詳解】（1）解法一：由題意知，．
①當(dāng)時(shí)，，，，成立．
②假設(shè)時(shí)，結(jié)論成立，即．
∵，
∴．
故時(shí)，結(jié)論也成立．
由①②可知，對于，都有成立．
解法二：，，，成立．
令，顯然單調(diào)遞減．
∵，假設(shè)，
則，即，
故，即．
故對于，都有成立．
（2）由（1）知，∴．
同理，由數(shù)學(xué)歸納法可證，．
猜測．下面給出證明．
∵，∴與異號．
注意到，知，，
即．
∴，
從而可知．
（3）
，
∴
，
∴
．
13．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，且數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：當(dāng)時(shí)，．
【答案】(1)
(2)證明見解析.
【分析】（1）由題可得，后由可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可得，，后由數(shù)學(xué)歸納法可證明結(jié)論.
【詳解】（1）由題，時(shí)，有，則
，
則.
注意到，則.
（2）由（1）可得，則
當(dāng)時(shí)，.
故所證結(jié)論相當(dāng)于，，.
當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立；
假設(shè)時(shí)，結(jié)論成立，則，
當(dāng)時(shí)，因，，則.
綜上，結(jié)論成立.
14．（2023秋·江蘇南京·高三南京市第一中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列滿足.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.
【答案】(1)；
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)已知兩式化簡，分別求得和.
（2）由（1）利用求和公式可得，再利用數(shù)學(xué)歸納法即可得證.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br>又，所以，
所以，.
（2）由（1）知，，，
則，
，
當(dāng)時(shí)，，，故；
當(dāng)時(shí)，，，故；
假設(shè)當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，所以?br>故，則，即，
所以，則，
綜上：.
15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，．
(1)若數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)的和為，證明：當(dāng)時(shí)，．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由數(shù)列單調(diào)性和作差法得到，再利用數(shù)學(xué)歸納法得到，，得到結(jié)論；
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明出，從而得到當(dāng)時(shí)，，由題目條件得到，結(jié)合等比數(shù)列求和公式證明出，從而證明出結(jié)論.
【詳解】（1）∵，
∴．
下面由及數(shù)學(xué)歸納法證明，過程如下：
，假設(shè)，
則，即，證畢；
從而可由及數(shù)學(xué)歸納法證明，理由如下：
，故，滿足，
假設(shè)，則，
結(jié)合，可得，證畢；
（2）由已知得，，
，
可證，理由如下：
因?yàn)?，所以，即?br>，故，即，
假設(shè)，，
則，，
從而，，證畢.
當(dāng)時(shí)，．
由得
．
∴當(dāng)時(shí)，．
【點(diǎn)睛】數(shù)列不等式問題，常常需要進(jìn)行放縮，放縮后變形為等差數(shù)列或等比數(shù)列，在結(jié)合公式進(jìn)行證明，又或者放縮后可使用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求和，常常使用作差法和數(shù)學(xué)歸納法，導(dǎo)數(shù)法等，技巧性較強(qiáng).
16．（2023·上海浦東新·華師大二附中?？既＃?shù)列滿足，
(1)求的值；
(2)求數(shù)列前項(xiàng)和；
(3)令，，證明：數(shù)列的前項(xiàng)和滿足．
【答案】(1)；
(2)；
(3)證明見解析.
【分析】(1)根據(jù)已知條件，分別取n＝1，2，3即可依次算出；
(2)用作差法求出的通項(xiàng)公式，再求其前n項(xiàng)和；
(3)求，猜想，用數(shù)學(xué)歸納法證明；用導(dǎo)數(shù)證明，令，得，用這個(gè)不等式對放縮即可得證.
【詳解】（1）依題，
；
（2）依題當(dāng)時(shí)，，
，又也適合此式，
，
數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，故；
（3），，
，
，
，
猜想： ①
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
(i)當(dāng)n＝1，2時(shí)，已證明①成立；
(ii)假設(shè)當(dāng)時(shí)，①成立，即.
從而
.
故①成立.
先證不等式 ②
令，
則.
，即②成立.
在②中令，得到 ③
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，由①及③得：



.
證明完畢.
【點(diǎn)睛】本題是數(shù)列的綜合性大題，關(guān)鍵是猜想，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；根據(jù)結(jié)論構(gòu)造不等式，令，得，然后用這個(gè)不等式對放縮.

相關(guān)試卷

高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)(新高考)素養(yǎng)拓展21數(shù)列中的結(jié)構(gòu)不良問題(精講+精練)學(xué)生版+解析：

這是一份高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)(新高考)素養(yǎng)拓展21數(shù)列中的結(jié)構(gòu)不良問題(精講+精練)學(xué)生版+解析，共63頁。試卷主要包含了知識點(diǎn)梳理，題型精講精練等內(nèi)容，歡迎下載使用。

高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)(新高考)素養(yǎng)拓展20累加、累乘、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)公式(精講+精練)學(xué)生版+解析：

這是一份高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)(新高考)素養(yǎng)拓展20累加、累乘、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)公式(精講+精練)學(xué)生版+解析，共63頁。試卷主要包含了知識點(diǎn)梳理，累乘法，構(gòu)造法等內(nèi)容，歡迎下載使用。

高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)(新高考)素養(yǎng)拓展19等差數(shù)列中Sn的最值問題(精講+精練)學(xué)生版+解析：

這是一份高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)(新高考)素養(yǎng)拓展19等差數(shù)列中Sn的最值問題(精講+精練)學(xué)生版+解析，共41頁。試卷主要包含了知識點(diǎn)梳理，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)(新高考)素養(yǎng)拓展15平面向量中的最值(范圍)問題(精講+精練)學(xué)生版+解析

高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)(新高考)素養(yǎng)拓展15平面向量中的最值(范圍)問題(精講+精練)學(xué)生版+解析
高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)(新高考)素養(yǎng)拓展14平面向量中等和線的應(yīng)用(精講+精練)學(xué)生版+解析

高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)(新高考)素養(yǎng)拓展14平面向量中等和線的應(yīng)用(精講+精練)學(xué)生版+解析
高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)(新高考)素養(yǎng)拓展11導(dǎo)數(shù)中的不等式證明問題(精講+精練)學(xué)生版+解析

高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)(新高考)素養(yǎng)拓展11導(dǎo)數(shù)中的不等式證明問題(精講+精練)學(xué)生版+解析
素養(yǎng)拓展22 數(shù)列與不等式（精講+精練）-【一輪復(fù)習(xí)講義】2025年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）

素養(yǎng)拓展22 數(shù)列與不等式（精講+精練）-【一輪復(fù)習(xí)講義】2025年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部