一、知識(shí)點(diǎn)梳理
一、平面向量中的最值（范圍）問(wèn)題
平面向量中的范圍、最值問(wèn)題是熱點(diǎn)問(wèn)題，也是難點(diǎn)問(wèn)題，此類問(wèn)題綜合性強(qiáng)，體現(xiàn)了知識(shí)的交匯組合．其基本題型是根據(jù)已知條件求某個(gè)變量的范圍、最值，比如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系數(shù)的范圍等，解題思路通常有兩種：
一是“形化”，即利用平面向量的幾何意義，先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或取值范圍問(wèn)題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷；
二是“數(shù)化”，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，先把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程的有解等問(wèn)題，然后利用函數(shù)、不等式、方程有關(guān)知識(shí)來(lái)解決．
二、極化恒等式
設(shè)a，b是平面內(nèi)的兩個(gè)向量，則有
證明：，①，②
將兩式相減可得，這個(gè)等式在數(shù)學(xué)上我們稱為極化恒等式．
①幾何解釋1（平行四邊形模型）以，為一組鄰邊構(gòu)造平行四邊形，，則，由，得．
即“從平行四邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)邊向量的數(shù)量積是和對(duì)角線長(zhǎng)與差對(duì)角線長(zhǎng)平方差的”．
②幾何解釋2（三角形模型）在平行四邊形模型結(jié)論的基礎(chǔ)上，若設(shè)M為對(duì)角線的交點(diǎn)，則由變形為，得，
該等式即是極化恒等式在三角形中的體現(xiàn)，也是我們最常用的極化恒等式的幾何模型．
注：具有三角幾何背景的數(shù)學(xué)問(wèn)題利用極化恒等式考慮尤為簡(jiǎn)單，讓“秒殺”向量成為另一種可能；我們從極化恒等式看到向量的數(shù)量積可轉(zhuǎn)化為中線長(zhǎng)與半底邊長(zhǎng)的平方差，此恒等式的精妙之處在于建立向量與幾何長(zhǎng)度(數(shù)量)之間的橋梁，實(shí)現(xiàn)向量與幾何、代數(shù)的巧妙結(jié)合．
二、題型精講精練
【典例1】（極化恒等式的應(yīng)用）已知中，，且的最小值為，若為邊上任意一點(diǎn)，求的最小值．
解：令（其中），則三點(diǎn)共線（如圖），從而的幾何意義表示點(diǎn)到直線的距離為，這說(shuō)明是等邊三角形，為邊上的高，故．
取的中點(diǎn)，則由向量極化恒等式可得，
其中為點(diǎn)到邊的距離．
即當(dāng)點(diǎn)在垂足（非端點(diǎn)）處時(shí)，達(dá)到最小值．
【典例2】（數(shù)量積的最值（范圍））已知，若點(diǎn)M是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，
依題意，所以，
，所以，
所以.故選：C.
【典例3】（模的最值（范圍））已知向量，，，滿足，記的最大值為，最小值為，則（ ）
A．B．2C．D．1
【答案】A
【解析】在中，設(shè)，則，
因?yàn)?，即，所以為等邊三角形?br>以為鄰邊作平行四邊形，設(shè)交于點(diǎn)，
可得，則，
因?yàn)?，取的起點(diǎn)為，
可知的終點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，
如圖，當(dāng)點(diǎn)為的延長(zhǎng)線與圓的交點(diǎn)時(shí)，的最大值為；
當(dāng)點(diǎn)為線段與圓的交點(diǎn)時(shí)，的最小值為；
所以.故選：A.
【典例4】（夾角的最值（范圍））平面向量，滿足，且，則與夾角的余弦值的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由兩邊平方得，又，則.
，當(dāng)時(shí)取等號(hào).則與夾角的余弦值的最大值.故選：A.
【題型訓(xùn)練-刷模擬】
1.極化恒等式的應(yīng)用
1．如圖，BC、DE是半徑為1的圓O的兩條直徑， ，則
A．B．C．D．
2．如圖，在中，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn).若以為圓心?半徑為1的圓與線段交于兩點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．如圖，在中，是的中點(diǎn)，在邊上，且，與交于點(diǎn)，若，則的值是
A．B．C．D．3
4．已知的斜邊的長(zhǎng)為4，設(shè)是以為圓心，1為半徑的圓上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）．
A． B． C． D．
5．已知圖中正六邊形的邊長(zhǎng)為6，圓O的圓心為正六邊形的中心，直徑為4，若點(diǎn)P在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，為圓O的直徑，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
6．已知邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD內(nèi)接于圓O，點(diǎn)P是正方形ABCD四條邊上的動(dòng)點(diǎn)，MN是圓O的一條直徑，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
7．在中，，為鈍角，是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，若的最小值為，則__________．
8．如圖，圓為的內(nèi)切圓，已知，過(guò)圓心的直線交圓于兩點(diǎn)，則的取值范圍是_________．
2.數(shù)量積的最值（范圍）問(wèn)題
一、單選題
1．（2023·河南安陽(yáng)·統(tǒng)考三模）已知菱形的邊長(zhǎng)為，，為菱形的中心，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·湖北武漢·武漢二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知是半徑為2，圓心角為的扇形，點(diǎn)分別在上，且，點(diǎn)是圓弧上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則的最小值為（ ）

A．B．C．D．
3．（2023·河南新鄉(xiāng)·新鄉(xiāng)市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在中，，，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知半徑為1的圓O上有三個(gè)動(dòng)點(diǎn)A，B，C，且，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┮阎鰽BC是單位圓O的內(nèi)接三角形，若，則的最大值為（ ）
A．B．C．2D．
6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知邊長(zhǎng)為2的菱形中，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，，點(diǎn)E在邊BC上，，若G為線段DC上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．2B．
C．D．4
8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓為銳角的外接圓，，點(diǎn)在圓上，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
9．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）在中，，，，則的取值范圍是 .
10．（2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖所示，△ABC是邊長(zhǎng)為8的等邊三角形，點(diǎn)P為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，長(zhǎng)度為6的線段EF的中點(diǎn)為點(diǎn)B，則的取值范圍是 .
11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，中，為中點(diǎn)，為圓心為、半徑為1的圓的動(dòng)直徑，則的取值范圍是 .
12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在中，已知，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，且 ，點(diǎn)F為線段DE上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是 ．
13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，是其外心，，，.邊，上分別有兩動(dòng)點(diǎn)，，線段恰好將分為面積相等的兩部分.則的最大值為 .
14．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形中．以為圓心，1為半徑的圓分別交，于點(diǎn)，．當(dāng)點(diǎn)在劣弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值為 ．
3.模的最值（范圍）問(wèn)題
一、單選題
1．（2023·陜西榆林·?？寄M預(yù)測(cè)）已知向量，滿足，，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·新疆·統(tǒng)考二模）已知向量，滿足，，（θ為與的夾角），則的最小值為（ ）
A．B．C．1D．2
3．（2023·北京海淀·校考三模）已知為單位向量，向量滿足，，則的最大值為（ ）
A．1B．2C．D．4
4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，，都是單位向量，若，則的最大值為（ ）
A．B．2C．D．
5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知平面向量、、滿足，，，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知在三角形ABC中，，點(diǎn)M，N分別為邊AB，AC上的動(dòng)點(diǎn)，，其中，點(diǎn)P，Q分別為MN，BC的中點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)，且保持，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知平面向量滿足，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知單位向量與向量垂直，若向量滿足，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知均為單位向量，且?jiàn)A角為，若向量滿足，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，則的最大值為 ．
12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量 滿足，則的最大值是 ．
13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）平面向量滿足，與的夾角為，且則的最小值是 ．
14．（2023秋·重慶沙坪壩·高三重慶南開(kāi)中學(xué)校考期末）已知向量，，，滿足，，，，若，則的最小值為 .
15．（2023·遼寧沈陽(yáng)·東北育才學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）已知平面向量，，且滿足，若為平面單位向量，則的最大值
16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為正交基底，且，分別為的中點(diǎn)，若，則的最小值為 .
17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，，滿足，，若，則的取值范圍是
4.夾角的最值（范圍）問(wèn)題
一、單選題
1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，，若向量，的夾角是銳角，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知非零向量，的夾角為，，且，則夾角的最小值為（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知與均為單位向量，其夾角為．若，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知單位向量，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒成立，則向量的夾角的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知平面向量，滿足，記與夾角為，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）平面向量，滿足，且，則與夾角的正弦值的最大值為（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，滿足，，則與的夾角的最大值為（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若平面向量，，滿足，，，，則，夾角的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）平面向量滿足，則與夾角最大值時(shí)為（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知不共線的平面向量，滿足，，，則與的夾角的余弦取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知平面向量、、滿足，則與所成夾角的最大值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
12．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知向量、滿足，，且，則與的夾角的取值范圍是 .
13．（2023春·重慶·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）已知非零向量，滿足，且，則的最大值為 ．
14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知△ABC的面積為S滿足，且，與的夾角為θ.則與夾角的取值范圍 ．
15．（2023·上海閔行·上海市七寶中學(xué)校考二模）已知單位向量，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立，則向量的夾角的最小值為 .
16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，滿足，，，則向量與的夾角的最大值是 ．
17．（2023·北京海淀·高三專題練習(xí)）已知平面向量滿足，則向量與夾角的最大值是 ．
2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）
素養(yǎng)拓展15 平面向量中的最值（范圍）問(wèn)題（精講+精練）
一、知識(shí)點(diǎn)梳理
一、平面向量中的最值（范圍）問(wèn)題
平面向量中的范圍、最值問(wèn)題是熱點(diǎn)問(wèn)題，也是難點(diǎn)問(wèn)題，此類問(wèn)題綜合性強(qiáng)，體現(xiàn)了知識(shí)的交匯組合．其基本題型是根據(jù)已知條件求某個(gè)變量的范圍、最值，比如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系數(shù)的范圍等，解題思路通常有兩種：
一是“形化”，即利用平面向量的幾何意義，先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或取值范圍問(wèn)題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷；
二是“數(shù)化”，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，先把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程的有解等問(wèn)題，然后利用函數(shù)、不等式、方程有關(guān)知識(shí)來(lái)解決．
二、極化恒等式
設(shè)a，b是平面內(nèi)的兩個(gè)向量，則有
證明：，①，②
將兩式相減可得，這個(gè)等式在數(shù)學(xué)上我們稱為極化恒等式．
①幾何解釋1（平行四邊形模型）以，為一組鄰邊構(gòu)造平行四邊形，，則，由，得．
即“從平行四邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)邊向量的數(shù)量積是和對(duì)角線長(zhǎng)與差對(duì)角線長(zhǎng)平方差的”．
②幾何解釋2（三角形模型）在平行四邊形模型結(jié)論的基礎(chǔ)上，若設(shè)M為對(duì)角線的交點(diǎn)，則由變形為，得，
該等式即是極化恒等式在三角形中的體現(xiàn)，也是我們最常用的極化恒等式的幾何模型．
注：具有三角幾何背景的數(shù)學(xué)問(wèn)題利用極化恒等式考慮尤為簡(jiǎn)單，讓“秒殺”向量成為另一種可能；我們從極化恒等式看到向量的數(shù)量積可轉(zhuǎn)化為中線長(zhǎng)與半底邊長(zhǎng)的平方差，此恒等式的精妙之處在于建立向量與幾何長(zhǎng)度(數(shù)量)之間的橋梁，實(shí)現(xiàn)向量與幾何、代數(shù)的巧妙結(jié)合．
二、題型精講精練
【典例1】（極化恒等式的應(yīng)用）已知中，，且的最小值為，若為邊上任意一點(diǎn)，求的最小值．
解：令（其中），則三點(diǎn)共線（如圖），從而的幾何意義表示點(diǎn)到直線的距離為，這說(shuō)明是等邊三角形，為邊上的高，故．
取的中點(diǎn)，則由向量極化恒等式可得，
其中為點(diǎn)到邊的距離．
即當(dāng)點(diǎn)在垂足（非端點(diǎn)）處時(shí)，達(dá)到最小值．
【典例2】（數(shù)量積的最值（范圍））已知，若點(diǎn)M是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，
依題意，所以，
，所以，
所以.故選：C.
【典例3】（模的最值（范圍））已知向量，，，滿足，記的最大值為，最小值為，則（ ）
A．B．2C．D．1
【答案】A
【解析】在中，設(shè)，則，
因?yàn)?，即，所以為等邊三角形?br>以為鄰邊作平行四邊形，設(shè)交于點(diǎn)，
可得，則，
因?yàn)?，取的起點(diǎn)為，
可知的終點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，
如圖，當(dāng)點(diǎn)為的延長(zhǎng)線與圓的交點(diǎn)時(shí)，的最大值為；
當(dāng)點(diǎn)為線段與圓的交點(diǎn)時(shí)，的最小值為；
所以.故選：A.
【典例4】（夾角的最值（范圍））平面向量，滿足，且，則與夾角的余弦值的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由兩邊平方得，又，則.
，當(dāng)時(shí)取等號(hào).則與夾角的余弦值的最大值.故選：A.
【題型訓(xùn)練-刷模擬】
1.極化恒等式的應(yīng)用
1．如圖，BC、DE是半徑為1的圓O的兩條直徑， ，則
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)閳A半徑為1是直徑，所以根據(jù)向量加法和減法法則知：；又是直徑，所以則
故選 B
2．如圖，在中，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn).若以為圓心?半徑為1的圓與線段交于兩點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】由題意，，且，，
所以，，
所以，
易知，當(dāng)時(shí)，最小，
所以，即，解得，
故的最小值為．故選 B
3．如圖，在中，是的中點(diǎn)，在邊上，且，與交于點(diǎn)，若，則的值是
A．B．C．D．3
【答案】B
【解析】過(guò)作交于.因?yàn)镸是AC的中點(diǎn)，故是的中點(diǎn)，
故是的中位線，故且.又，故，故且.
故，故，，故.
又，故，即.
化簡(jiǎn)得，所以.故選 A
4．已知的斜邊的長(zhǎng)為4，設(shè)是以為圓心，1為半徑的圓上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如圖所示，在上，不妨取的中點(diǎn)，則．
設(shè)圓的半徑為，而，則：
．
因此的取值范圍是．故選C
5．已知圖中正六邊形的邊長(zhǎng)為6，圓O的圓心為正六邊形的中心，直徑為4，若點(diǎn)P在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，為圓O的直徑，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)檎呅蔚倪呴L(zhǎng)為6，圓O的圓心為正六邊形的中心，直徑為4，所以正六邊形的內(nèi)切圓的半徑為，外接圓的半徑，
又由
，
因?yàn)?，即，可得?br>所以的取值范圍是.故選：D
6．已知邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD內(nèi)接于圓O，點(diǎn)P是正方形ABCD四條邊上的動(dòng)點(diǎn)，MN是圓O的一條直徑，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)圓的半徑為，則，所以.
如圖，根據(jù)向量加法的三角形法則可知
，，且，
所以.
由已知可得，正方形上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，
所以，所以.
故選：D.
7．在中，，為鈍角，是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，若的最小值為，則__________．
【解析】取的中點(diǎn)，取，，
，
因?yàn)榈淖钚≈担?br>所以．作，垂足為，如圖，
則，又，所以，
因?yàn)椋?br>所以由正弦定理得：，，
所以
．故答案為：.
8．如圖，圓為的內(nèi)切圓，已知，過(guò)圓心的直線交圓于兩點(diǎn)，則的取值范圍是_________．
【解析】圓O的半徑為1，考慮到P、Q兩點(diǎn)都是動(dòng)點(diǎn)，不妨將，這樣一轉(zhuǎn)化，，，而，若，則．
若Q在的投影為的中點(diǎn)時(shí)，，因此的取值范圍是．
2.數(shù)量積的最值（范圍）問(wèn)題
一、單選題
1．（2023·河南安陽(yáng)·統(tǒng)考三模）已知菱形的邊長(zhǎng)為，，為菱形的中心，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)，其中，將、用基底表示，再利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的最小值.
【詳解】設(shè)，其中，
由平面向量數(shù)量積的定義可得，
，
因?yàn)闉榱庑蔚闹行?，則，
所以，
，
因此，的最小值為.
故選：C.
2．（2023·湖北武漢·武漢二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知是半徑為2，圓心角為的扇形，點(diǎn)分別在上，且，點(diǎn)是圓弧上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則的最小值為（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算得，結(jié)合基本不等式即可求得最值.
【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系

則，設(shè)，則，
所以，
因?yàn)?，所以，又，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立
則的最大值為，所以的最大值為，即的最小值為.
故選：A.
3．（2023·河南新鄉(xiāng)·新鄉(xiāng)市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在中，，，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)，利用余弦定理可求得，根據(jù)向量數(shù)量積定義可得，利用三角形三邊關(guān)系可求得的范圍，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)，則，
由余弦定理得：，
；
，，，
即的取值范圍為.
故選：D.
4．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知半徑為1的圓O上有三個(gè)動(dòng)點(diǎn)A，B，C，且，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)和向量的坐標(biāo)，用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算.，轉(zhuǎn)化為直線與圓有公共點(diǎn)求參數(shù)最值問(wèn)題.
【詳解】因?yàn)?，又，所以，所以?br>以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系：

則，，設(shè)，則，
，，
所以，
設(shè)，即，
依題意直線與圓有公共點(diǎn)，
所以，得，
所以的最小值為.
故選：A
5．（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┮阎鰽BC是單位圓O的內(nèi)接三角形，若，則的最大值為（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】由題設(shè)易知且，，進(jìn)而求即可得答案.
【詳解】由圓O是△ABC的外接圓，且，故，
所以，，
則
，
僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
故選：A
6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知邊長(zhǎng)為2的菱形中，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)，根據(jù)線性運(yùn)算進(jìn)行變換可求得；以菱形對(duì)角線交點(diǎn)為原點(diǎn)，對(duì)角線所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示出，得到關(guān)于的二次函數(shù)，求得二次函數(shù)最小值即為結(jié)果.
【詳解】由題意知：，設(shè)

以與交點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系：
，，設(shè)
則，

當(dāng)時(shí)，
本題正確選項(xiàng)：
【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算問(wèn)題，涉及到利用定義的運(yùn)算和數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，解題關(guān)鍵是能夠通過(guò)線性運(yùn)算進(jìn)行變換，通過(guò)數(shù)量積運(yùn)算的定義求得夾角；再通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系的方式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，通過(guò)函數(shù)關(guān)系求解得到最值.
7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，，點(diǎn)E在邊BC上，，若G為線段DC上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．2B．
C．D．4
【答案】B
【分析】利用向量的數(shù)量積的定義及數(shù)量積的運(yùn)算，結(jié)合向量的線性運(yùn)算即可求解.
【詳解】由題意可知，如圖所示
因?yàn)榱庑蜛BCD的邊長(zhǎng)為2，，
所以,，
設(shè)，則
，
因?yàn)?，所?
,
,
當(dāng)時(shí)，的最大值為.
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決此題的關(guān)鍵是利用向量的線性運(yùn)算求出，結(jié)合向量數(shù)量積定義和運(yùn)算即可.
8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓為銳角的外接圓，，點(diǎn)在圓上，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】把轉(zhuǎn)化為，由余弦定理、數(shù)量積的定義得，討論的位置得，結(jié)合銳角三角形恒成立，即可得范圍.
【詳解】由為銳角三角形，則外接圓圓心在三角形內(nèi)部，如下圖示，
又，而，若外接圓半徑為r，
則，故，且，即，
由，
對(duì)于且在圓上，當(dāng)為直徑時(shí)，當(dāng)重合時(shí)，
所以，
綜上，，
銳角三角形中，則，即恒成立，
所以，則恒成立，
綜上，.故選: C
二、填空題
9．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）在中，，，，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】利用正弦定理和向量數(shù)量積的定義得，再根據(jù)的范圍和正切函數(shù)的值域即可求出其范圍.
【詳解】根據(jù)正弦定理得，即，
，
，
，
即的取值范圍.
故答案為：.
10．（2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖所示，△ABC是邊長(zhǎng)為8的等邊三角形，點(diǎn)P為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，長(zhǎng)度為6的線段EF的中點(diǎn)為點(diǎn)B，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】由向量的數(shù)量積公式得出，求出的最大值和最小值即可得出結(jié)果.
【詳解】由線段EF的中點(diǎn)為點(diǎn)B，得出.
.當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)A或點(diǎn)C時(shí)，取最大值8.
當(dāng)點(diǎn)P位于的中點(diǎn)時(shí)，取最小值，即，
∴的取值范圍為，∴的取值范圍為.
故答案為：.
11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，中，為中點(diǎn)，為圓心為、半徑為1的圓的動(dòng)直徑，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】由向量的運(yùn)算得出，再由的范圍得出的取值范圍.
【詳解】
，且.
即
設(shè)與的夾角為，則.
因?yàn)椋?
故答案為：
12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在中，已知，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，且 ，點(diǎn)F為線段DE上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】設(shè)，以為基底，將分別用表示，再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律把用表示，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
設(shè)，
則
，
，
則
，
對(duì)于，其開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，取得最大值，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，
所以的取值范圍是.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了平面向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積的運(yùn)算，以為基底，將分別用表示，是解決本題的關(guān)鍵.
13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，是其外心，，，.邊，上分別有兩動(dòng)點(diǎn)，，線段恰好將分為面積相等的兩部分.則的最大值為 .
【答案】
【分析】利用余弦定理求出，再由正弦定理求出外接圓半徑，利用外心定義及數(shù)量積定義計(jì)算出、及的值，又，利用數(shù)量積運(yùn)算表示，利用基本不等式即可求出最值.
【詳解】在中，由余弦定理即及，，.
得，設(shè)，
因?yàn)榫€段恰好將分為面積相等的兩部分，
所以，
因?yàn)槭瞧渫庑?，所以，?br>由正弦定理得，
且，
又，
所以
因?yàn)?，且，所以?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)即，等號(hào)成立，
此時(shí)，即的最大值為.故答案為：
14．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形中．以為圓心，1為半徑的圓分別交，于點(diǎn)，．當(dāng)點(diǎn)在劣弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值為 ．
【答案】
【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，
則，設(shè)，
則，
則，
由，得，
所以當(dāng)，即時(shí)，取得最小值.
故答案為：.
3.模的最值（范圍）問(wèn)題
一、單選題
1．（2023·陜西榆林·校考模擬預(yù)測(cè)）已知向量，滿足，，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由向量的數(shù)量積與模的關(guān)系消元化簡(jiǎn)計(jì)算即可.
【詳解】設(shè)向量，的夾角為，則，
易知，即
所以，所以，即.
故選：D.
2．（2023·新疆·統(tǒng)考二模）已知向量，滿足，，（θ為與的夾角），則的最小值為（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【分析】由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，結(jié)合平面向量的模長(zhǎng)的計(jì)算公式求解即可.
【詳解】因?yàn)橄蛄浚瑵M足，，（θ為與的夾角），
則，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
即的最小值為1，即的最小值為1.
故選：C.
3．（2023·北京海淀·?？既＃┮阎獮閱挝幌蛄?，向量滿足，，則的最大值為（ ）
A．1B．2C．D．4
【答案】C
【分析】設(shè)，，根據(jù)求出，再根據(jù)得到，最后根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示及二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.
【詳解】依題意設(shè)，，
由，所以，則，
又，且，
所以，即，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
即的最大值為.
故選：C
4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，，都是單位向量，若，則的最大值為（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到，設(shè)，即可得到，再由求出的范圍，即可得解.
【詳解】由，得，即．
設(shè)，則，顯然，
所以．
又，所以，
所以，即的最大值為．
故選：C．
5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知平面向量、、滿足，，，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】在平面內(nèi)一點(diǎn)，作，，，取的中點(diǎn)，計(jì)算出、的值，利用向量三角不等式可求得的最大值.
【詳解】在平面內(nèi)一點(diǎn)，作，，，則，則，
因?yàn)?，則，故為等腰直角三角形，則，
取的中點(diǎn)，則，
所以，，所以，，
因?yàn)椋?br>所以，，則，
所以，.
當(dāng)且僅當(dāng)、同向時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為.
故選：B.
6．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知在三角形ABC中，，點(diǎn)M，N分別為邊AB，AC上的動(dòng)點(diǎn)，，其中，點(diǎn)P，Q分別為MN，BC的中點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)，再計(jì)算，得到函數(shù)，最后根據(jù)二次函數(shù)在區(qū)間最值的求法即可求解.
【詳解】，
則，
而，
，
而的對(duì)稱軸為，
故當(dāng)時(shí)，，
故選：B
7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)，且保持，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】建立坐標(biāo)系，設(shè)，表示出各點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)向量的模和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出．
【詳解】解：如圖，以為原點(diǎn)，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
，，
，
則，，，
設(shè)，則，
則，，
，，
，，
，
，其中，
，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為．
故選：A．
8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知平面向量滿足，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)已知條件可得，，，設(shè)，，，可得點(diǎn)的軌跡為圓，由圓的性質(zhì)即可求解.
【詳解】因?yàn)?，所以，?br>，因?yàn)?，所以?br>設(shè)，，，
，，
所以，
即，
所以點(diǎn)在以為圓心，半徑的圓上，
表示圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)的距離，
所以的最小值為，
故選：D.
9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知單位向量與向量垂直，若向量滿足，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由題意不妨設(shè)，設(shè)，由模的坐標(biāo)表示得點(diǎn)在圓上，由的幾何意義，只要求得圓心到原點(diǎn)的距離后可得結(jié)論．
【詳解】由題意不妨設(shè)，設(shè)，則．
∵，∴，即表示圓心為，半徑為1的圓，設(shè)圓心為P，∴．
∵表示圓P上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，，∴的取值范圍為，
故選：C．
10．（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知均為單位向量，且?jiàn)A角為，若向量滿足，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】將向量的起點(diǎn)平移到原點(diǎn)，設(shè)向量，，的終點(diǎn)分別為，將化為，得點(diǎn)在以為直徑的圓上，利用圓的知識(shí)可求出結(jié)果.
【詳解】將向量的起點(diǎn)平移到原點(diǎn)，設(shè)向量，，的終點(diǎn)分別為，
則，，
由得，得，
則點(diǎn)在以為直徑的圓上，
因?yàn)榫鶠閱挝幌蛄浚見(jiàn)A角為，不妨設(shè)，，
則，，所以以為直徑的圓的圓心，半徑為，
又，所以，
即的最大值為.
故選：D
二、填空題
11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】利用向量模的坐標(biāo)形式可求的最大值.
【詳解】，所以
當(dāng)時(shí)，的最大值為：.
故答案為：.
12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量 滿足，則的最大值是 ．
【答案】
【分析】由題意可設(shè)的坐標(biāo)，設(shè)，利用求得的終點(diǎn)的軌跡方程，即可求得答案.
【詳解】因?yàn)槭瞧矫鎯?nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，
故不妨設(shè)，設(shè)，
由得：，
即，即，
則的終點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上，
故的最大值為，
故答案為：
13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）平面向量滿足，與的夾角為，且則的最小值是 ．
【答案】
【分析】設(shè)，，設(shè)，根據(jù)結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算求得C的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓,利用的幾何意義可求得答案.
【詳解】由題意不妨設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，令，，設(shè)，
由于,
∴，∴，
即，故C的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓,
故，
故答案為：
14．（2023秋·重慶沙坪壩·高三重慶南開(kāi)中學(xué)?？计谀┮阎蛄?，，，滿足，，，，若，則的最小值為 .
【答案】
【分析】令，進(jìn)而根據(jù)向量模的不等式關(guān)系得，且，再求向量的模，并結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可得答案.
【詳解】設(shè)，則，
所以，
，
由二次函數(shù)性質(zhì)可得，，即：
所以，
所以的最小值為
故答案為： .
15．（2023·遼寧沈陽(yáng)·東北育才學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）已知平面向量，，且滿足，若為平面單位向量，則的最大值
【答案】
【分析】先根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式求出與的夾角，根據(jù)條件，可設(shè)，再設(shè)，根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積公式，以及三角恒等變換和三角函數(shù)的性質(zhì)得出，即可求出結(jié)果.
【詳解】解：，設(shè)與的夾角為，
，
，又，則，
不妨設(shè)，再設(shè)，
則
，
即，
所以的最大值為.
故答案為：.
16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為正交基底，且，分別為的中點(diǎn)，若，則的最小值為 .
【答案】
【分析】由為正交基底，且，結(jié)合向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算可得，再由分別為的中點(diǎn)，可得，再利用基本不等式可求得其最小值.
【詳解】因?yàn)闉檎换祝裕?br>因?yàn)椋?br>所以，
所以，
因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為，
故答案為：
17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，，滿足，，若，則的取值范圍是
【答案】[11，13]
【分析】依題意可得、、三點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，且是圓的直徑，所以，設(shè)、的夾角為，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律及定義得到，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.
【詳解】解：因?yàn)椋?br>所以、、三點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，
又，
所以，所以，
所以是圓的直徑，
所以，
所以，
設(shè)、的夾角為，
則
，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以，
即的取值范圍是.
故答案為：
4.夾角的最值（范圍）問(wèn)題
一、單選題
1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，，若向量，的夾角是銳角，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由題知，進(jìn)而解不等式組即可得答案.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)橄蛄浚膴A角是銳角，所以，解得，且．
所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：C
2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知非零向量，的夾角為，，且，則夾角的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】應(yīng)用向量數(shù)量積運(yùn)算律及題設(shè)可得，注意等號(hào)成立條件，結(jié)合已知不等條件求范圍，即可得最小值.
【詳解】由有，即，
前一個(gè)等號(hào)成立條件為，整理得.
由于，所以，于是夾角為的最小值為.
故選：C
3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知與均為單位向量，其夾角為．若，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由向量模與夾角的公式得，進(jìn)而結(jié)合向量的夾角范圍求解即可.
【詳解】解：因?yàn)榕c均為單位向量，其夾角為，，
所以，即，
因?yàn)?，所以，即.
故選：C
4．（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知單位向量，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒成立，則向量的夾角的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用平面向量數(shù)量積與模長(zhǎng)的關(guān)系結(jié)合一元二次不等式恒成立的解法計(jì)算即可.
【詳解】設(shè)向量的夾角為θ，因?yàn)椋裕?br>則，即恒成立.
所以，解得，
故的夾角的取值范圍是.
故選：A.
5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知平面向量，滿足，記與夾角為，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由向量的數(shù)量積把用表示后，利用函數(shù)的知識(shí)可得最小值．
【詳解】設(shè)，則，
令，則，，
由得，，
∴時(shí)，取得最大值，∴的最小值為．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的夾角，掌握關(guān)鍵是由平面向量的數(shù)量積把表示為的函數(shù)，然后由函數(shù)的性質(zhì)得出最小值．
6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）平面向量，滿足，且，則與夾角的正弦值的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)，，則，設(shè)，，，根據(jù)均值不等式計(jì)算最值，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系得到答案.
【詳解】如圖所示：設(shè)，，則，設(shè)，，，
，
當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故，
當(dāng)最小時(shí)，最大，
故與夾角的正弦值的最大值為.
故選：B
7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，滿足，，則與的夾角的最大值為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)與夾角為，，由，可得，整理可得，根據(jù)均值不等式和余弦函數(shù)圖象，即可求得與的夾角的最大值.
【詳解】設(shè)與夾角為，
整理可得：，即
，代入
可得
可得：，即
整理可得：
當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)
故，結(jié)合，
根據(jù)余弦函數(shù)圖象可知最大值：
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求兩個(gè)向量夾角最值問(wèn)題，解題關(guān)鍵是掌握向量數(shù)量積公式和根據(jù)均值不等式求最值的方法，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.
8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若平面向量，，滿足，，，，則，夾角的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用，與即可確定在上的投影與在上的投影，方向?yàn)閤軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，即可確定，的橫坐標(biāo)，設(shè)出坐標(biāo)由得到兩向量縱坐標(biāo)的關(guān)系后，列出，夾角的余弦值的式子，利用基本不等式確定余弦值的范圍，即可確定，夾角的范圍，注意即，的夾角為銳角.
【詳解】設(shè)，，，以O(shè)為原點(diǎn)，方向?yàn)閤軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，
，，，
，，三者直接各自的夾角都為銳角，
，，，
，，即在上的投影為1，在上的投影為3，
，，如圖
，
即，且
則，
由基本不等式得，
，
與的夾角為銳角，
，
由余弦函數(shù)可得：與夾角的取值范圍是，
故選：C.
9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）平面向量滿足，則與夾角最大值時(shí)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)條件對(duì)兩邊平方即可得出,從而可求出,進(jìn)而即可得出然后根據(jù)基本不等式即可得出求出向量夾角的最大值,判斷出，.
【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄繚M足，所以，
所以，所以.
由夾角公式，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立）.
因?yàn)?，所以，即時(shí)最大.
此時(shí).
故選：D
10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知不共線的平面向量，滿足，，，則與的夾角的余弦取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】不妨設(shè)，由題意得到向量的終點(diǎn)的軌跡，結(jié)合條件，利用雙曲線上點(diǎn)的特征，數(shù)形結(jié)合得到結(jié)論.
【詳解】∵，不妨設(shè)，由，得，
令，其對(duì)應(yīng)點(diǎn)N的軌跡是以（﹣2，0），（2，0）為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，
方程為：，
實(shí)半軸為1，虛半軸為，又，則，
此時(shí)與x軸的夾角為，
則滿足的N在圖中雙曲線N點(diǎn)的上方或在雙曲線上與N點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)下方的位置，如圖位置：
又雙曲線的漸近線為，所以與的夾角范圍為，所以與的夾角的余弦取值范圍為
故選：B．
11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知平面向量、、滿足，則與所成夾角的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)與夾角為，與所成夾角為，利用平面向量的數(shù)量積可得出，并可得出，利用基本不等式可求得的最小值，可得出的取值范圍，即可得解.
【詳解】設(shè)與夾角為，與所成夾角為，
，
所以，，①
，②
又，③
②與③聯(lián)立可得，④
①④聯(lián)立可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，，，則，
故與所成夾角的最大值是，
故選：A.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求平面向量夾角的方法：
（1）定義法：利用向量數(shù)量積的定義得，其中兩向量的取值范圍是；
（2）坐標(biāo)法：若非零向量、，則.
二、填空題
12．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知向量、滿足，，且，則與的夾角的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據(jù)給定條件，利用平面向量的數(shù)量積求出向量夾角的余弦范圍作答.
【詳解】因?yàn)?，，且，則有，
因此，而，余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，即有，
所以與的夾角的取值范圍是.
故答案為：
13．（2023春·重慶·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知非零向量，滿足，且，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】將兩邊平方，再利用基本不等式即可得解.
【詳解】，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，
所以，
所以的最大值為.
故答案為：.
14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知△ABC的面積為S滿足，且，與的夾角為θ.則與夾角的取值范圍 ．
【答案】.
【分析】由題，結(jié)合面積公式，向量點(diǎn)乘定義，可得，進(jìn)一步討論θ的取值范圍即可
【詳解】由題，，∴，
，，θ為銳角，
∵，即，又，
∴，即，∴，
，
故答案為：
15．（2023·上海閔行·上海市七寶中學(xué)?？级＃┮阎獑挝幌蛄浚魧?duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立，則向量的夾角的最小值為 .
【答案】
【分析】把兩邊平方得到關(guān)于的一元二次不等式，利用一元二次不等式恒成立的條件以及兩向量夾角的余弦公式求得結(jié)果.
【詳解】，是單位向量，由得：，
依題意，不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，
則，解得，
而，則，
又，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
因此，
所以向量，的夾角的取值范圍為.則向量的夾角的最小值為.
故答案為：.
16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，滿足，，，則向量與的夾角的最大值是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)條件化簡(jiǎn)整理可得，然后利用向量的夾角公式和均值不等式即可求解.
【詳解】由，得．
又由，得，則，
即，即，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以向量與的夾角的最大值是.
故答案為：.
17．（2023·北京海淀·高三專題練習(xí)）已知平面向量滿足，則向量與夾角的最大值是 ．
【答案】
【分析】設(shè)，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求得，再利用向量夾角余弦的表示，結(jié)合基本不等式即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
設(shè)，則當(dāng)與同向時(shí)，取得最大值為，
當(dāng)與反向時(shí)，取得最小值為，故，
又，則，
所以，
設(shè)與的夾角為，則，
由于在上單調(diào)遞減，故要求的最大值，則求的最小值即可，
因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以，即的最小值為，
因?yàn)?，所以此時(shí)，即向量與夾角的最大值為.
故答案為：

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