高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)(新高考)素養(yǎng)拓展21數(shù)列中的結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題(精講+精練)學(xué)生版+解析-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、知識(shí)點(diǎn)梳理
一、數(shù)列中的結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題
1．“結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題”：題目所給的三個(gè)可選擇的條件是平行的，即無(wú)論選擇哪個(gè)條件，都可解答題目，而且，在選擇的三個(gè)條件中，并沒(méi)有哪個(gè)條件讓解答過(guò)程比較繁雜，只要推理嚴(yán)謹(jǐn)、過(guò)程規(guī)范，都會(huì)得滿分．
2．?dāng)?shù)列求和的常用方法：
（1）對(duì)于等差等比數(shù)列，利用公式法直接求和；
（2）對(duì)于型數(shù)列，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，利用錯(cuò)位相減法求和；
（3）對(duì)于型數(shù)列，利用分組求和法；
（4）對(duì)于型數(shù)列，其中是公差為的等差數(shù)列，利用裂項(xiàng)相消法求和．
3．常見(jiàn)的裂項(xiàng)公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
二、題型精講精練
【典例1】（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．
①數(shù)列是等差數(shù)列：②數(shù)列是等差數(shù)列；③．
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．
【詳解】選①②作條件證明③：
[方法一]：待定系數(shù)法+與關(guān)系式
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
因?yàn)橐彩堑炔顢?shù)列，所以，解得；
所以，，故.
[方法二] ：待定系數(shù)法
設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等差數(shù)列的公差為，
則，將代入，
化簡(jiǎn)得對(duì)于恒成立．
則有，解得．所以．
選①③作條件證明②：
因?yàn)?，是等差?shù)列，
所以公差，
所以，即，
因?yàn)椋?br>所以是等差數(shù)列.
選②③作條件證明①：
[方法一]：定義法
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
因?yàn)椋?，解得或?br>當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足等差數(shù)列的定義，此時(shí)為等差數(shù)列；
當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去.
綜上可知為等差數(shù)列.
[方法二]【最優(yōu)解】：求解通項(xiàng)公式
因?yàn)?，所以，，因?yàn)橐矠榈炔顢?shù)列，所以公差，所以，故，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足上式，故的通項(xiàng)公式為，所以，，符合題意.
【題型訓(xùn)練-刷模擬】
一、解答題
1．（2023春·四川成都·高三樹(shù)德中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，________．請(qǐng)從以下二個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在題干的橫線上，并解答下列問(wèn)題：①成等比數(shù)列，②．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
2．（2023春·江蘇宿遷·高三江蘇省泗陽(yáng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，是正項(xiàng)等比數(shù)列，且.在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，回答下列問(wèn)題：
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)如果，寫(xiě)出的關(guān)系式，并求的值.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在①a4是a3與a5﹣8的等差中項(xiàng)；②S2，S3+4，S4成等差數(shù)列中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列橫線上，并解答．
在公比為2的等比數(shù)列{an}中，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若_____．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn．
4．（2023秋·河南·高三安陽(yáng)一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且．
(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)選取數(shù)列的第項(xiàng)構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)列，求的前項(xiàng)和．
5．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中?？茧A段練習(xí)）在①；②；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答所給問(wèn)題.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足 .
(1)求與；
(2)記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.
6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且， .請(qǐng)?jiān)冖?；②成等比?shù)列；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面題干中，并解答下面問(wèn)題.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．
7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，________________．請(qǐng)?jiān)冖?；②，，成等比?shù)列；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面題干中，并解答下面問(wèn)題．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為
(1)從下面兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，求的通項(xiàng)公式；
①；②；
(2)在（1）的條件下，若，求數(shù)列的前項(xiàng)和
9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）從①；②；③三個(gè)選項(xiàng)中，任選一個(gè)填入下列空白處，并求解.已知數(shù)列，滿足，且，，______，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
10．（2023·四川遂寧·四川省遂寧市第二中學(xué)校?？家荒＃┮阎獢?shù)列 ?的前?項(xiàng)和為?，且?， __________．請(qǐng)?jiān)?成等比數(shù)列;?，這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面題干中，并解答下面問(wèn)題．
(1)求數(shù)列 ?的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列 ?的前?項(xiàng)和?，求證：?．
11．（2023秋·江西宜春·高三江西省宜豐中學(xué)?？计谀┰冖伲虎冢虎?，，三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答．注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且______，
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，若數(shù)列滿足，求證：．
12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)首項(xiàng)為2的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，且滿足______________．
條件①：；條件②：；條件③：．
請(qǐng)?jiān)谝陨先齻€(gè)條件中，選擇一個(gè)補(bǔ)充在上面的橫線處，并解答以下問(wèn)題：
（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．）
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求證：數(shù)列的前n項(xiàng)和．
參考公式：．
13．（2023秋·湖北·高三湖北省云夢(mèng)縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，___________．請(qǐng)?jiān)冖?；②成等比?shù)列；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面題干中，并解答下面問(wèn)題．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．.
14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在①；②，；③，.這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，然后解答補(bǔ)充完整后的題目.
問(wèn)題:已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若__________.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
注:如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在①數(shù)列的前n項(xiàng)和；②且，，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并求解：
(1)已知數(shù)列滿足__________，求的通項(xiàng)公式；
(2)已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，前項(xiàng)和為，且滿足______.
①，；②；③.
從上述三個(gè)條件中選一個(gè)填在橫線上，并解決以下問(wèn)題：
(1)求；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
17．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．
(1)求與；
(2)在下列兩個(gè)條件中選一個(gè)，求數(shù)列的前30項(xiàng)和．
①；②．
注：如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
18．（2023春·江蘇鹽城·高三?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)令①；②；③從上面三個(gè)條件中任選一個(gè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，且________．在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問(wèn)題中，并解答．
（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答給分）
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求的前n項(xiàng)和．
20．（2023春·廣東惠州·高三校考階段練習(xí)）在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，然后解答補(bǔ)充完整的題目．
問(wèn)題：已知等差數(shù)列為其前n項(xiàng)和，若______________．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求證：數(shù)列的前n項(xiàng)和．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
21．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列為等比數(shù)列且公比，滿足．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若________，記數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
在①，②，，成等差數(shù)列，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在第（2）問(wèn)中，并對(duì)其求解．
注：若選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
22．（2023春·四川·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在①，②這兩個(gè)條件中選一個(gè)合適的補(bǔ)充在下面的橫線上，使得問(wèn)題可以解答，并寫(xiě)出完整的解答過(guò)程.
問(wèn)題：在各項(xiàng)均為整數(shù)的等差數(shù)列中，，公差為，且______.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
23．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及；
(2)若___________，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在第（2）問(wèn)中，并對(duì)其求解.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
24．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）記公差為1的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，______．從下面①②③三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面問(wèn)題中的橫線處并作答．
①；②；③，，成等比數(shù)列．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
25．（2023·河北衡水·河北衡水中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，公差是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列的第項(xiàng)，滿足__________（在①②中任選一個(gè)條件），，則將其去掉，數(shù)列剩余的各項(xiàng)按原順序組成一個(gè)新的數(shù)列，求的前20項(xiàng)和．
①②．
26．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列中，，，構(gòu)成等比數(shù)列，是其前項(xiàng)和，滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；
(2)若_________，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在第（2）問(wèn)中，并求解.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
27．（2023·陜西漢中·高三西鄉(xiāng)縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，在①，； ②，；③，；這三個(gè)條件中任選一個(gè)，將序號(hào)補(bǔ)充在下面橫線處，并根據(jù)題意解決問(wèn)題.問(wèn)題：若，且______，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答給分.）
28．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列，滿足：，，.
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)若___________（從下列三個(gè)條件中任選一個(gè)），求數(shù)列的前項(xiàng)和.①；②；③.
29．（2023·四川成都·成都實(shí)外?？寄M預(yù)測(cè)）數(shù)列的前n項(xiàng)和為滿足，已知．
(1)求；
(2)在①；②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為條件，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
30．（2023春·四川南充·高三閬中中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列與正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，且，，既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式．
(2)在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并完成求解．若__，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
31．（2023春·廣西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，在①且；②；③且，，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并求解：
(1)已知數(shù)列滿足______，求的通項(xiàng)公式；
(2)已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
32．（2023·江西南昌·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在①為等差數(shù)列，；②；③是等差數(shù)列，，，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并加以解答.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，__________.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）
素養(yǎng)拓展21 數(shù)列中的結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題（精講+精練）
一、知識(shí)點(diǎn)梳理
一、數(shù)列中的結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題
1．“結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題”：題目所給的三個(gè)可選擇的條件是平行的，即無(wú)論選擇哪個(gè)條件，都可解答題目，而且，在選擇的三個(gè)條件中，并沒(méi)有哪個(gè)條件讓解答過(guò)程比較繁雜，只要推理嚴(yán)謹(jǐn)、過(guò)程規(guī)范，都會(huì)得滿分．
2．?dāng)?shù)列求和的常用方法：
（1）對(duì)于等差等比數(shù)列，利用公式法直接求和；
（2）對(duì)于型數(shù)列，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，利用錯(cuò)位相減法求和；
（3）對(duì)于型數(shù)列，利用分組求和法；
（4）對(duì)于型數(shù)列，其中是公差為的等差數(shù)列，利用裂項(xiàng)相消法求和．
3．常見(jiàn)的裂項(xiàng)公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
二、題型精講精練
【典例1】（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．
①數(shù)列是等差數(shù)列：②數(shù)列是等差數(shù)列；③．
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．
【詳解】選①②作條件證明③：
[方法一]：待定系數(shù)法+與關(guān)系式
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
因?yàn)橐彩堑炔顢?shù)列，所以，解得；
所以，，故.
[方法二] ：待定系數(shù)法
設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等差數(shù)列的公差為，
則，將代入，
化簡(jiǎn)得對(duì)于恒成立．
則有，解得．所以．
選①③作條件證明②：
因?yàn)?，是等差?shù)列，
所以公差，
所以，即，
因?yàn)椋?br>所以是等差數(shù)列.
選②③作條件證明①：
[方法一]：定義法
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
因?yàn)?，所以，解得或?br>當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足等差數(shù)列的定義，此時(shí)為等差數(shù)列；
當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去.
綜上可知為等差數(shù)列.
[方法二]【最優(yōu)解】：求解通項(xiàng)公式
因?yàn)椋?，，因?yàn)橐矠榈炔顢?shù)列，所以公差，所以，故，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足上式，故的通項(xiàng)公式為，所以，，符合題意.
【題型訓(xùn)練-刷模擬】
一、解答題
1．（2023春·四川成都·高三樹(shù)德中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，________．請(qǐng)從以下二個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在題干的橫線上，并解答下列問(wèn)題：①成等比數(shù)列，②．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先設(shè)等差數(shù)列的公差為，再根據(jù)等差數(shù)列的求和公式和等比中項(xiàng)的性質(zhì)，根據(jù)條件①②分別列出關(guān)于首項(xiàng)與公差的方程，解出的值，即可計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）先根據(jù)第（1）題的結(jié)果計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再運(yùn)用裂項(xiàng)相消法即可計(jì)算出前項(xiàng)和．
【詳解】（1）由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，
方案一：選擇條件①
，
根據(jù)成等比數(shù)列得,代入得，又，
化簡(jiǎn)整理，可得，
由于，所以，
，．
方案二：選擇條件②
由，可得，又，
解得，
，
（2）由（1）可得，
則
．
2．（2023春·江蘇宿遷·高三江蘇省泗陽(yáng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，是正項(xiàng)等比數(shù)列，且.在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，回答下列問(wèn)題：
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)如果，寫(xiě)出的關(guān)系式，并求的值.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，根據(jù)所選條件得到方程，求出、，即可求出通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可得，即可得到、的關(guān)系，從而得到，再利用分組求和法及等比數(shù)列求和公式計(jì)算可得.
【詳解】（1）若選①，，
設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，
則，解得或（舍去），
則，.
若選②，，
設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)的公比為.
因?yàn)椋?，解得?br>所以.
又因?yàn)?，所以?br>解得，所以.
若選③，，
設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為.
因?yàn)椋?br>則，解得，
則，.
（2）因?yàn)椋?br>所以，即，即，
所以
.
3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在①a4是a3與a5﹣8的等差中項(xiàng)；②S2，S3+4，S4成等差數(shù)列中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列橫線上，并解答．
在公比為2的等比數(shù)列{an}中，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若_____．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）選①利用等差中項(xiàng)公式與等比通項(xiàng)公式可求解；選②利用等差中項(xiàng)公式與等比求和公式可求解；
（2）求出的通項(xiàng)結(jié)合裂項(xiàng)法求和即可．
（1）選①：因?yàn)閍3，a4，a5﹣8成等差數(shù)列，
所以2a4＝a3+a5﹣8，
所以，
解得，
所以．
選②：因?yàn)镾2，S3+4，S4成等差數(shù)列，
所以2（S3+4）＝S2+S4，
即
所以，
解得，
所以；
（2）因?yàn)椋?br>所以
所以
所以
4．（2023秋·河南·高三安陽(yáng)一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且．
(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)選取數(shù)列的第項(xiàng)構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)列，求的前項(xiàng)和．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義證明即可；
（2）先求得的通項(xiàng)公式，再結(jié)合等比數(shù)列的求和公式求得．
【詳解】（1）解：證明：∵ ，
∴ 由已知得，
即．
∴ 數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列．
（2）解：由（1）知數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列，
又，首項(xiàng)為，
，
．
．
．
5．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中?？茧A段練習(xí)）在①；②；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答所給問(wèn)題.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足 .
(1)求與；
(2)記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系，逐個(gè)條件進(jìn)行列方程，計(jì)算求解即可.
（2）利用錯(cuò)位相減法進(jìn)行計(jì)算求解即可.
【詳解】（1）選①，由①得，，時(shí)，，得；
時(shí)，，得，故為首項(xiàng)是，公比是的等比數(shù)列，；.
選②，由②得，，得，
時(shí)，；
時(shí)，，整理得，
，故為等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比，故，
.
選③，，則，，
則，得，故為等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比，故，
.
（2）根據(jù)題意，，得
，
，
兩式相減，得
，
，
6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且， .請(qǐng)?jiān)冖伲虎诔傻缺葦?shù)列；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面題干中，并解答下面問(wèn)題.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．
【答案】(1)詳見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）選取一個(gè)條件利用等差等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí)通過(guò)公式法即可求得通項(xiàng)公式.
（2）利用放縮和裂項(xiàng)相消即可證明不等式.
【詳解】（1）由已知，所以
所以數(shù)列是等差數(shù)列，公差，
若選①
又因?yàn)椋裕?br>解得，所以.
若選②
又因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以
所以，解得
所以.
若選③
又因?yàn)?，所?br>解得，所以
（2）因?yàn)椋桑?）知，，所以
所以，所以
所以
又因?yàn)?，所?br>7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，________________．請(qǐng)?jiān)冖伲虎?，，成等比?shù)列；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面題干中，并解答下面問(wèn)題．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）確定數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列公式分別計(jì)算三種情況得到答案.
（2）確定，再利用錯(cuò)位相減法計(jì)算得到答案.
【詳解】（1），所以，即，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列．
若選①：由，得，即，
所以，解得．所以，
即數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
若選②：由，，成等比數(shù)列，得，
則，所以，所以．
若選③：因?yàn)?，所以，所以?br>所以．
（2），則，
則，，
兩式相減得：，
故．
8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為
(1)從下面兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，求的通項(xiàng)公式；
①；②；
(2)在（1）的條件下，若，求數(shù)列的前項(xiàng)和
【答案】(1)答案見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為若選①，根據(jù)求解即可；若選②，根據(jù)兩式相減可得公比，再代入求得即可；
（2）代入（1）中可得，再根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解即可
【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，，
若選①，，，
時(shí)，，
可得，，
所以；
若選②，，所以，
可得，所以，，；
（2），，所以，
所以是公比為首項(xiàng)為的等比數(shù)列，
故.
9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）從①；②；③三個(gè)選項(xiàng)中，任選一個(gè)填入下列空白處，并求解.已知數(shù)列，滿足，且，，______，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
【答案】選①，選②，選③
【分析】先根據(jù)遞推公式可得，進(jìn)而得到.選①：化簡(jiǎn)可得，直接可得；選②：化簡(jiǎn)可得，再代入裂項(xiàng)求和即可；選③：，錯(cuò)位相減求和即可.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>又因?yàn)?，所以，所以?
選①：，
所以，
選②：，
所以，
選③：，所以，
，
兩式相減，可得
10．（2023·四川遂寧·四川省遂寧市第二中學(xué)校校考一模）已知數(shù)列 ?的前?項(xiàng)和為?，且?， __________．請(qǐng)?jiān)?成等比數(shù)列;?，這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面題干中，并解答下面問(wèn)題．
(1)求數(shù)列 ?的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列 ?的前?項(xiàng)和?，求證：?．
【答案】(1)任選一條件，都有?；
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)得到數(shù)列?是首項(xiàng)為?，公差為 1 的等差數(shù)列，然后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式或前項(xiàng)和公式列方程求解即可；
（2）利用錯(cuò)位相減法得到，即可得到，然后根據(jù)得到數(shù)列是遞增數(shù)列，即可得到.
【詳解】（1）因?yàn)椋?所以?，即?，
所以數(shù)列?是首項(xiàng)為?，公差為 1 的等差數(shù)列，其公差?．
若選，
由，得?，即，
所以，解得?，
所以，即數(shù)列?的通項(xiàng)公式為；
若選，，成等比數(shù)列，
由，，成等比數(shù)列，得?，
則，所以?，所以；
若選，
因?yàn)椋?，所以?，
所以.
（2）由題可知，所以，
，
兩式相減得
，
所以，
所以，又，
所以數(shù)列是遞增數(shù)列，，故.
11．（2023秋·江西宜春·高三江西省宜豐中學(xué)校考期末）在①；②；③，，三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答．注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且______，
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，若數(shù)列滿足，求證：．
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）選擇條件①，因式分解計(jì)算可得，再根據(jù)與的關(guān)系結(jié)合相減法即可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式；選擇條件②，直接根據(jù)與的關(guān)系結(jié)合相減法，可得遞推關(guān)系式，確定列是等差數(shù)列，按照等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可得；選擇條件③，利用累乘法求解，再根據(jù)與的關(guān)系結(jié)合相減法即可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）得，則，直接按照裂項(xiàng)相消法求和即可證明不等式.
【詳解】（1）解：選擇條件①，因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以，則，
當(dāng)時(shí)，，
所以兩式相減得：，即，則，
當(dāng)時(shí)，，所以符合上式，
所以；
選擇條件②，因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，
所以兩式相減得：，整理得，
因?yàn)椋裕?br>當(dāng)時(shí)，，所以或（舍），
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，則；
選擇條件③，因?yàn)椋裕?br>累乘得：，，
所以，，又符合式子，所以，，
當(dāng)時(shí)，，
所以兩式相減得：，即，
又符合上式，所以；
（2）由（1）得：，則，
所以
.
12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)首項(xiàng)為2的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，且滿足______________．
條件①：；條件②：；條件③：．
請(qǐng)?jiān)谝陨先齻€(gè)條件中，選擇一個(gè)補(bǔ)充在上面的橫線處，并解答以下問(wèn)題：
（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．）
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求證：數(shù)列的前n項(xiàng)和．
參考公式：．
【答案】(1)；
(2)證明見(jiàn)解析.
【分析】(1)選擇①，由條件證明為等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式求的通項(xiàng)公式；
選擇②，由條件，結(jié)合關(guān)系，證明，利用累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
選擇③，先證明，由此得為常數(shù)，再求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求，利用裂項(xiàng)相消法求，由此完成證明.
【詳解】（1）若選擇條件①：因?yàn)?，所以，又?br>所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列．
所以，所以．
若選擇條件②：因?yàn)椋裕?br>當(dāng)時(shí)，，整理得，，
所以，
累乘得，，
當(dāng)時(shí)，，符合上式，
所以．
若選擇條件③：因?yàn)?，所以，即?br>所以，所以數(shù)列為常數(shù)列，
又，所以，即．
（2）由（1）知：，結(jié)合參考公式可得
所以
所以
.
13．（2023秋·湖北·高三湖北省云夢(mèng)縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，___________．請(qǐng)?jiān)冖?；②成等比?shù)列；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面題干中，并解答下面問(wèn)題．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．.
【答案】(1)，
(2)，
【分析】首先由，可得為首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列.
對(duì)于（1），當(dāng)選①②時(shí)，代入，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，若選③，
由可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
對(duì)于（2），由（1）可知，則，后利用錯(cuò)位相減法可得答案.
【詳解】（1），所以，即，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列．
若選①：由，得，即，
解得．所以，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為，．
若選②：由成等比數(shù)列，得，
解得，所以，．
若選③：因?yàn)?，解得?br>所以，．
（2），則，
則，，
兩式相減得：，
故，．
14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在①；②，；③，.這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，然后解答補(bǔ)充完整后的題目.
問(wèn)題:已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若__________.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
注:如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若選①，利用與關(guān)系可推導(dǎo)得到；若選②，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式可構(gòu)造方程求得公差，進(jìn)而得到；若選③，利用等差數(shù)列求和公式可構(gòu)造方程求得公差，進(jìn)而利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得；
（2）由（1）可得，采用裂項(xiàng)相消法可求得.
【詳解】（1）若選條件①，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)且時(shí)，；
經(jīng)檢驗(yàn)：滿足；
；
若選條件②，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，
解得：，；
若選條件③，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，
解得：，.
（2）由（1）得：，
.
15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在①數(shù)列的前n項(xiàng)和；②且，，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并求解：
(1)已知數(shù)列滿足__________，求的通項(xiàng)公式；
(2)已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）若選①，時(shí)，利用和的關(guān)系可求出，檢驗(yàn)即可得出答案；若選②，由已知可推得是等差數(shù)列，根據(jù)已知求出公差，即可得出的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）知，進(jìn)而根據(jù)已知可得，.代入整理裂項(xiàng)可得，求和即可得出結(jié)果.
【詳解】（1）若選①：數(shù)列的前n項(xiàng)和.
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，上式仍成立，
∴的通項(xiàng)公式為．
若選②：且，.
由可得，所以是和的等差中項(xiàng)，
所以是等差數(shù)列.
設(shè)公差為，則由，可得，所以.
所以的通項(xiàng)公式為．
（2）解：設(shè)的公比為.
由（1）知，
又，所以，
即，又，所以，
所以，的通項(xiàng)公式為.
則，
所以．
16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，前項(xiàng)和為，且滿足______.
①，；②；③.
從上述三個(gè)條件中選一個(gè)填在橫線上，并解決以下問(wèn)題：
(1)求；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）當(dāng)選①時(shí)，分為奇數(shù)，偶數(shù)時(shí)，分別計(jì)算即可得到結(jié)果；當(dāng)選②時(shí)，根據(jù)與的關(guān)系，即可得到結(jié)果；當(dāng)選③時(shí)，根據(jù)條件得到是常數(shù)數(shù)列，從而得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，由裂項(xiàng)相消法即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）選①
因?yàn)?，所以?dāng)為奇數(shù)時(shí)，；
同理，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.
所以.
選②
因?yàn)椋?）所以當(dāng)時(shí)，，（**）
（*）-（**），得，即，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為1的常數(shù)列，
所以.
選③
因?yàn)?，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)為的常數(shù)列，
所以，所以當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，也符合上式.所以.
（2）由（1）得，，
所以
17．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．
(1)求與；
(2)在下列兩個(gè)條件中選一個(gè)，求數(shù)列的前30項(xiàng)和．
①；②．
注：如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】(1)
(2)選①，；選②，.
【分析】（1）由條件得出與d的方程組求解，即可由公式法得出結(jié)果；
（2）①由裂項(xiàng)相消法求和，②由分組求和法求和.
【詳解】（1）由得①，
由得②，
聯(lián)立①②解得，∴；
（2）選①，，
∴數(shù)列的前30項(xiàng)和；
選②，，
∴數(shù)列的前30項(xiàng)和；
18．（2023春·江蘇鹽城·高三?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)令①；②；③從上面三個(gè)條件中任選一個(gè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
【答案】(1)
(2)答案見(jiàn)解析
【分析】(1)根據(jù)的關(guān)系求通項(xiàng)公式；
(2)選①，利用錯(cuò)位相減法求和，選②，利用裂項(xiàng)相消求和，選③，利用并項(xiàng)求和以及等差數(shù)列前項(xiàng)和公式.
【詳解】（1），
兩式相減得，
數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
；
（2）由（1）可知，
若選①：，
.
兩式相減得：，
所以.
若選②：
.
若選③：
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.
綜上得：.
19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，且________．在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問(wèn)題中，并解答．
（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答給分）
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前和公式結(jié)合已知條件求出首項(xiàng)和公差，進(jìn)而即可求出通項(xiàng)公式；
(2)由(1)得，再利用分組求和法即可求得.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，
若選擇條件①，
由題可得，解得，
若選擇條件②，
由題可得，解得，
.
（2）由(1)知，選擇兩個(gè)條件中的任何一個(gè)，都有，
則，
20．（2023春·廣東惠州·高三?？茧A段練習(xí)）在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，然后解答補(bǔ)充完整的題目．
問(wèn)題：已知等差數(shù)列為其前n項(xiàng)和，若______________．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求證：數(shù)列的前n項(xiàng)和．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）選①由與的關(guān)系求解即可；選②③由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式求解即可；（2）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消法證明即可.
【詳解】（1）若選①：在等差數(shù)列中，，
當(dāng)時(shí)，，
也符合，
∴；
若選②：在等差數(shù)列中，
，
，解得
；
若選③：在等差數(shù)列中，
，解得
；
（2）證明：由（1）得，
所以
21．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列為等比數(shù)列且公比，滿足．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若________，記數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
在①，②，，成等差數(shù)列，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在第（2）問(wèn)中，并對(duì)其求解．
注：若選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出數(shù)列的公比，進(jìn)而判斷數(shù)列為等差數(shù)列，再求出通項(xiàng)作答.
（2）選①②③，分別求出數(shù)列的通項(xiàng)，結(jié)合（1），利用分組求和法求解作答.
【詳解】（1）因?yàn)椋?，，?br>令得，又?jǐn)?shù)列為等比數(shù)列，即有，而，解得，則，
因此，即數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
所以.
（2）若選①，由（1）知數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，
由得，，解得，則，
因此，
即有數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)4為公差的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是以4為首項(xiàng)4為公比的等比數(shù)列，
所以．
選②，由（1）及，，成等差數(shù)列得，即，，則，
因此，
即有數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)4為公差的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是以4為首項(xiàng)4為公比的等比數(shù)列，
所以．
若選③，由（1）及得，解得，則，
因此，
即有數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)4為公差的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是以4為首項(xiàng)4為公比的等比數(shù)列，
所以．
22．（2023春·四川·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在①，②這兩個(gè)條件中選一個(gè)合適的補(bǔ)充在下面的橫線上，使得問(wèn)題可以解答，并寫(xiě)出完整的解答過(guò)程.
問(wèn)題：在各項(xiàng)均為整數(shù)的等差數(shù)列中，，公差為，且______.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本計(jì)算求解即可；
（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法計(jì)算求解即可.
【詳解】（1）解：若選①，則，，故不能選①，
若選②：依題意可得，解得
故．
（2）解：由（1）知，，
則，
所以，
所以
，
故．
23．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及；
(2)若___________，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在第（2）問(wèn)中，并對(duì)其求解.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
【答案】(1)，；
(2)見(jiàn)解析.
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式即可得到關(guān)于的方程組，解出即可；
（2）選①則，利用乘公比錯(cuò)位相減法即可求出；選①則，則用裂項(xiàng)相消法即可求出；選③則，分奇偶討論即可求出.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)為，則，
,解得，
所以.
（2）選①：由（1）知,,所以
,.兩式相減得:
所以.
選②：由（1）,
所以.
選③：由（1）,則，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
所以.
24．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）記公差為1的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，______．從下面①②③三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面問(wèn)題中的橫線處并作答．
①；②；③，，成等比數(shù)列．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）選①②，利用等差數(shù)列通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，求出即可；選③，利用等比中項(xiàng)列式求出即可作答.
（2）由（1）的結(jié)論，求出，再利用錯(cuò)位相減法求和作答.
【詳解】（1）選條件①，，則，即，而公差，因此，
所以.
選條件②，，則，而公差，解得
所以.
選條件③，，，成等比數(shù)列，即，，成等比數(shù)列，有，解得，
所以.
（2）由（1）知，，
，
則，
兩式相減得，
所以．
25．（2023·河北衡水·河北衡水中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，公差是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列的第項(xiàng)，滿足__________（在①②中任選一個(gè)條件），，則將其去掉，數(shù)列剩余的各項(xiàng)按原順序組成一個(gè)新的數(shù)列，求的前20項(xiàng)和．
①②．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)等差和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，列出基本量方程組，即可求解；
（2）若選擇①，得，可知剩下的項(xiàng)就是原數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)，代入等比數(shù)列求和公式，即可求解；
若選擇②，，根據(jù)，討論為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況，即可判斷求解.
【詳解】（1）設(shè)的公差為的公比為，
因?yàn)?，所以?br>聯(lián)立消得，解得或與矛盾，
故，代回計(jì)算得，
所以
（2）若選①，則有，
所以剩余的項(xiàng)就是原數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)，
相當(dāng)于剩余的項(xiàng)以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，
所以；
若選②，則有，
因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的為整數(shù)，滿足，
當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的不為整數(shù)，不滿足，
所以剩余的項(xiàng)就是原數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)，
相當(dāng)于剩余的項(xiàng)以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，
所以；
26．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列中，，，構(gòu)成等比數(shù)列，是其前項(xiàng)和，滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；
(2)若_________，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在第（2）問(wèn)中，并求解.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
【答案】(1)，
(2)答案見(jiàn)解析
【分析】（1）由題知，進(jìn)而結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式解方程即可得，，再求解通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和；
（2）選①：結(jié)合（1）得，進(jìn)而根據(jù)分組求和的方法求解即可；
選②：結(jié)合（1）得，進(jìn)而結(jié)合裂項(xiàng)求和的方法求解即可；
選③：結(jié)合（1）得，再根據(jù)錯(cuò)位相減法求解即可；
【詳解】（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，
依題意可得，則
解得，，
所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
綜上：，；
（2）解：選①
由（1）可知：
∴
∵
∴
選②
由（1）可知：
∴
∵
選③
由（1）可知：，∴
∵
則
于是得
兩式相減得，
所以.
27．（2023·陜西漢中·高三西鄉(xiāng)縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，在①，； ②，；③，；這三個(gè)條件中任選一個(gè)，將序號(hào)補(bǔ)充在下面橫線處，并根據(jù)題意解決問(wèn)題.問(wèn)題：若，且______，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答給分.）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，根據(jù)，，成等比數(shù)列，由求解；
（2）選①，由，，得到時(shí)，求解；選②，由，，得到時(shí)，，兩式相減求解；選③，由，，得到時(shí)，，兩式相減求解.進(jìn)而得到，再利用分組求和求解.
【詳解】（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
因?yàn)?，，成等比?shù)列，
所以，
解得或（舍去）.
所以，.
（2）選①，由，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)等式也成立，
所以，
選②，由，，①
當(dāng)時(shí)，，②
②-①得，即，
所以是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，
當(dāng)時(shí)等式也成立，
所以，
選③，由，，①
當(dāng)時(shí)
當(dāng)時(shí)，，②
②-①得，即，又，
所以是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，
所以，
則，
，
28．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列，滿足：，，.
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)若___________（從下列三個(gè)條件中任選一個(gè)），求數(shù)列的前項(xiàng)和.①；②；③.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【詳解】（1）證明：因?yàn)椋?br>所以，
所以，
又因?yàn)?，所以?shù)列是首項(xiàng)為1公比為的等比數(shù)列；
（2）由（1）知，
又因?yàn)椋?br>所以數(shù)列為常數(shù)列.
若選條件①或③，均可得，
所以，所以.
若選②，因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?br>所以，所以，所以，所以.
29．（2023·四川成都·成都實(shí)外?？寄M預(yù)測(cè)）數(shù)列的前n項(xiàng)和為滿足，已知．
(1)求；
(2)在①；②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為條件，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】(1)
(2)選①：
選②：
【分析】（1）利用與的關(guān)系求得的通項(xiàng)公式；
（2）求出的通項(xiàng)公式，利用分組求和求得.
【詳解】（1）由題意，當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，由, 可得,
兩式相減，可得:，整理得，
又，∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
∴.
（2）選①：
由(1)可得，.
則
.
選②：由(1)可得，
則
.
30．（2023春·四川南充·高三閬中中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列與正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，且，，既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式．
(2)在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并完成求解．若__，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)，
(2)答案見(jiàn)解析
【分析】（1）確定，得到，解得答案.
（2）若選擇①，，若選擇②，，若選擇③，，分別利用裂項(xiàng)相消法，錯(cuò)位相減法和裂項(xiàng)相消法計(jì)算得到答案.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，
根據(jù)題意，即，
解得或（舍），故，，
（2）若選條件①：，
；
若選條件②：
，
兩式相減得：
整理得到：；
若選條件③：
，
.
31．（2023春·廣西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，在①且；②；③且，，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并求解：
(1)已知數(shù)列滿足______，求的通項(xiàng)公式；
(2)已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若選①，由已知可推得，進(jìn)而得出數(shù)列是常數(shù)列，從而得出；若選②，由已知推得，進(jìn)而根據(jù)與的關(guān)系，即可推得；若選③，根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)，可推得數(shù)列是等差數(shù)列.然后由已知求得，即可得出.
（2）根據(jù)已知可求出，然后根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算以及裂項(xiàng)化簡(jiǎn)可得，然后相加即可得出.
【詳解】（1）若選①且
由可得.
又，
所以數(shù)列是常數(shù)列，且，所以.
若選②
由已知可得，.
當(dāng)時(shí)，有；
當(dāng)時(shí)，有，
，
兩式作差可得，，
所以.
又滿足，所以.
若選③且，
由可得，，
所以，數(shù)列是等差數(shù)列.
又，，
所以，所以，
所以.
（2）由（1）知，，所以.
設(shè)等比數(shù)列公比為，
由已知可得，解得，
所以.
所以，
所以.
32．（2023·江西南昌·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在①為等差數(shù)列，；②；③是等差數(shù)列，，，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并加以解答.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，__________.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式以及由遞推關(guān)系求通項(xiàng)的方法代入即可求解；（2）兩次使用乘工筆錯(cuò)位相減即可求解.
【詳解】（1）若選①，設(shè)的公差為，
由題意可得解得，
所以.
若選②，當(dāng)時(shí)，，解得；
由題得，
所以當(dāng)時(shí)，，
作差得，
即，
又，
所以，
所以是公差為2的等差數(shù)列，
所以.
若選③，設(shè)的公差為，
所以，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
解得或（舍去），
所以，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，也滿足，
所以.
（2）由（1）可得，所以.
所以，①
所以，②
①-②得，
令③
則，④
③-④得，
所以，
所以，
所以.

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