一、知識點梳理
一、不等式的證明
證明不等式的過程中常使用構(gòu)造法，利用函數(shù)單調(diào)性、極值、最值加以證明．常見的構(gòu)造方法有：
(1)直接構(gòu)造法：證明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))轉(zhuǎn)化為證明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，進而構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)；
(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮，二是利用常見的放縮結(jié)論，如①對數(shù)形式：x≥1＋ln x（x＞0），當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時，等號成立.
②指數(shù)形式：ex≥x＋1（x∈R），當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時，等號成立.進一步可得到一組不等式鏈：ex＞x＋1＞x＞1＋ln x（x＞0，且x≠1）.
(3)構(gòu)造“形似”函數(shù)：稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，如移項、通分、取對數(shù)，把不等式轉(zhuǎn)化為左、右兩邊是相同結(jié)構(gòu)的式子的形式，根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”構(gòu)造輔助函數(shù)；
(4)構(gòu)造雙函數(shù)：若直接構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)難以判斷符號，導(dǎo)函數(shù)零點也不易求得，因此函數(shù)單調(diào)性與極值點都不易獲得，則可構(gòu)造函數(shù)f(x)和g(x)，利用其最值求解．在證明過程中，等價轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，此處f(x)min>g(x)max恒成立．從而f(x)>g(x)，但此處f(x)與g(x)取到最值的條件不是同一個“x的值”．
【常用結(jié)論】
1.破解含雙參不等式證明題的3個關(guān)鍵點
（1）轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參所滿足的關(guān)系式，并把含雙參的不等式轉(zhuǎn)化為含單參的不等式.
（2）巧構(gòu)造函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值.
（3）回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果.
總結(jié)：雙變量相關(guān)問題，解題策略是減少變量，方式為一個變量用另一個變量表示，或?qū)勺兞康恼w換元，如下列形式等常見形式
2.常見不等式（大題使用需要證明）
①，，，
②，；；
③；；
④；
⑤；
⑥；；，
二、題型精講精練
【典例1】已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時，證明
【解析】（1）的定義域為（0，＋∞），
當(dāng)，則當(dāng)x∈（0，＋∞）時，，故在（0，＋∞）上單調(diào)遞增.
當(dāng)，則當(dāng)x∈時，f′（x）＞0；當(dāng)x∈時，f′（x）＜0.
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）證明：由（1）知，當(dāng)a＜0時，f（x）在x＝－eq \f(1,2a)取得最大值，最大值為＝.
所以等價于，即.設(shè)g（x）＝ln x－x＋1，則g′（x）＝eq \f(1,x)－1.當(dāng)x∈（0,1）時，g′（x）＞0；當(dāng)x∈（1，＋∞）時，g′（x）＜0.所以g（x）在（0,1）上單調(diào)遞增，在（1，＋∞）上單調(diào)遞減.故當(dāng)x＝1時，g（x）取得最大值，最大值為g（1）＝0.所以當(dāng)x＞0時，g（x）≤0.從而當(dāng)a＜0時，，即.
【典例2】 求證：當(dāng)時，
【詳解】證明：當(dāng)時，欲證，只需證
，即證，令，
，令，解得，易得在上遞減，在上遞增，
，，令，解得，易得在上遞增，在上遞減，，故，所以當(dāng)時，
【典例3】已知函數(shù)，．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若、為函數(shù)的兩個極值點，證明：．
【（1）詳解】，．
令，則，的對稱軸為，△．
①時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時，△，可得，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
③當(dāng)時，△，由，解得，．
所以在，，上，，，函數(shù)是增函數(shù)；
在，，，，函數(shù)是減函數(shù)．
綜上可得，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，函數(shù)在，，上單調(diào)遞增，
在，上單調(diào)遞減．
【（2）詳解】證明：有兩個極值點，，由（1）知，，
所以，
要證，即證，即證，
因為，所以，所以即證，即證，，
令，，因為，
所以，所以在上單調(diào)遞減，所以（1），
所以恒成立，得證．
【題型訓(xùn)練1-刷真題】
一、解答題
1．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點．
（1）求a；
（2）設(shè)函數(shù)．證明:．
2．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)a，b為實數(shù)，且，函數(shù)
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，求a的取值范圍；
（3）當(dāng)時，證明：對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，滿足.
(注：是自然對數(shù)的底數(shù))
3．（2020·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù)，其中e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）證明：函數(shù)在上有唯一零點；
（Ⅱ）記x0為函數(shù)在上的零點，證明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
【題型訓(xùn)練2-刷模擬】
一、解答題
1．（2023·北京密云·統(tǒng)考三模）已知函數(shù).
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)證明：.
2．（2023·山西呂梁·統(tǒng)考三模）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)在上的零點個數(shù)；
(2)當(dāng)且時，記，探究與1的大小關(guān)系，并說明理由.
3．（2023·山東淄博·統(tǒng)考三模）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)證明：當(dāng)時，.
4．（2023·河南洛陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)若，求的極值；
(2)，若函數(shù)有兩個零點，且，求證：.
5．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)判斷的導(dǎo)函數(shù)在上零點的個數(shù)，并說明理由；
(2)證明：當(dāng)時，.
注：.
6．（2023·山東聊城·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)證明：當(dāng)，且時，．
7．（2023春·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性.
(2)若存在兩個零點，且曲線在和處的切線交于點.
①求實數(shù)的取值范圍；
②證明：.
8．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)．
(1)若在上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)當(dāng)時，證明：，．
9．（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)，是方程的兩根，，證明：．
10．（2023·安徽黃山·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，
(1)試判斷函數(shù)在上是否存在極值.若存在，說出是極大值還是極小值；若不存在，說明理由.
(2)設(shè)，若，證明：不等式在上恒成立.
11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中．
(1)若有兩個零點，求的取值范圍；
(2)若，求的取值范圍．
12．（2023春·四川雅安·高三雅安中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)試問曲線是否存在過原點的切線？若存在，求切點的坐標；若不存在，請說明理由．
(2)證明：．（參考數(shù)據(jù)：）
2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）
素養(yǎng)拓展11 導(dǎo)數(shù)中的不等式證明問題（精講+精練）
一、知識點梳理
一、不等式的證明
證明不等式的過程中常使用構(gòu)造法，利用函數(shù)單調(diào)性、極值、最值加以證明．常見的構(gòu)造方法有：
(1)直接構(gòu)造法：證明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))轉(zhuǎn)化為證明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，進而構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)；
(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮，二是利用常見的放縮結(jié)論，如①對數(shù)形式：x≥1＋ln x（x＞0），當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時，等號成立.
②指數(shù)形式：ex≥x＋1（x∈R），當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時，等號成立.進一步可得到一組不等式鏈：ex＞x＋1＞x＞1＋ln x（x＞0，且x≠1）.
(9)構(gòu)造“形似”函數(shù)：稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，如移項、通分、取對數(shù)，把不等式轉(zhuǎn)化為左、右兩邊是相同結(jié)構(gòu)的式子的形式，根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”構(gòu)造輔助函數(shù)；
(4)構(gòu)造雙函數(shù)：若直接構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)難以判斷符號，導(dǎo)函數(shù)零點也不易求得，因此函數(shù)單調(diào)性與極值點都不易獲得，則可構(gòu)造函數(shù)f(x)和g(x)，利用其最值求解．在證明過程中，等價轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，此處f(x)min>g(x)max恒成立．從而f(x)>g(x)，但此處f(x)與g(x)取到最值的條件不是同一個“x的值”．
【常用結(jié)論】
1.破解含雙參不等式證明題的9個關(guān)鍵點
（1）轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參所滿足的關(guān)系式，并把含雙參的不等式轉(zhuǎn)化為含單參的不等式.
（2）巧構(gòu)造函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值.
（9）回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果.
總結(jié)：雙變量相關(guān)問題，解題策略是減少變量，方式為一個變量用另一個變量表示，或?qū)勺兞康恼w換元，如下列形式等常見形式
2.常見不等式（大題使用需要證明）
①，，，
②，；；
③；；
④；
⑤；
⑥；；，
二、題型精講精練
【典例1】已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時，證明
【解析】（1）的定義域為（0，＋∞），
當(dāng)，則當(dāng)x∈（0，＋∞）時，，故在（0，＋∞）上單調(diào)遞增.
當(dāng)，則當(dāng)x∈時，f′（x）＞0；當(dāng)x∈時，f′（x）＜0.
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）證明：由（1）知，當(dāng)a＜0時，f（x）在x＝－eq \f(1,2a)取得最大值，最大值為＝.
所以等價于，即.設(shè)g（x）＝ln x－x＋1，則g′（x）＝eq \f(1,x)－1.當(dāng)x∈（0,1）時，g′（x）＞0；當(dāng)x∈（1，＋∞）時，g′（x）＜0.所以g（x）在（0,1）上單調(diào)遞增，在（1，＋∞）上單調(diào)遞減.故當(dāng)x＝1時，g（x）取得最大值，最大值為g（1）＝0.所以當(dāng)x＞0時，g（x）≤0.從而當(dāng)a＜0時，，即.
【典例2】 求證：當(dāng)時，
【詳解】證明：當(dāng)時，欲證，只需證
，即證，令，
，令，解得，易得在上遞減，在上遞增，
，，令，解得，易得在上遞增，在上遞減，，故，所以當(dāng)時，
【典例9】已知函數(shù)，．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若、為函數(shù)的兩個極值點，證明：．
【（1）詳解】，．
令，則，的對稱軸為，△．
①時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時，△，可得，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
③當(dāng)時，△，由，解得，．
所以在，，上，，，函數(shù)是增函數(shù)；
在，，，，函數(shù)是減函數(shù)．
綜上可得，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，函數(shù)在，，上單調(diào)遞增，
在，上單調(diào)遞減．
【（2）詳解】證明：有兩個極值點，，由（1）知，，
所以，
要證，即證，即證，
因為，所以，所以即證，即證，，
令，，因為，
所以，所以在上單調(diào)遞減，所以（1），
所以恒成立，得證．
【題型訓(xùn)練1-刷真題】
一、解答題
1．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點．
（1）求a；
（2）設(shè)函數(shù)．證明:．
【答案】（1）；（2）證明見詳解
【分析】（1）由題意求出，由極值點處導(dǎo)數(shù)為0即可求解出參數(shù)；
（2）由（1）得，且，分類討論和，可等價轉(zhuǎn)化為要證，即證在和上恒成立，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和換元法即可求解
【詳解】（1）由，，
又是函數(shù)的極值點，所以，解得；
（2）[方法一]：轉(zhuǎn)化為有分母的函數(shù)
由（Ⅰ）知，，其定義域為．
要證，即證，即證．
（ⅰ）當(dāng)時，，，即證．令，因為，所以在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，所以．
（ⅱ）當(dāng)時，，，即證，由（?。┓治鲋趨^(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，所以．
綜合（ⅰ）（ⅱ）有．
[方法二] 【最優(yōu)解】：轉(zhuǎn)化為無分母函數(shù)
由（1）得，，且，
當(dāng) 時，要證，， ，即證，化簡得；
同理，當(dāng)時，要證，， ，即證，化簡得；
令，再令，則，，
令，，
當(dāng)時，，單減，故；
當(dāng)時，，單增，故；
綜上所述，在恒成立.
[方法三] ：利用導(dǎo)數(shù)不等式中的常見結(jié)論證明
令，因為，所以在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）．故當(dāng)且時，且，，即，所以．
（?。┊?dāng)時，，所以，即，所以．
（ⅱ）當(dāng)時，，同理可證得．
綜合（?。áⅲ┑茫?dāng)且時，，即．
【整體點評】（2）方法一利用不等式的性質(zhì)分類轉(zhuǎn)化分式不等式：當(dāng)時，轉(zhuǎn)化為證明，當(dāng)時，轉(zhuǎn)化為證明，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進而證得；方法二利用不等式的性質(zhì)分類討論分別轉(zhuǎn)化為整式不等式：當(dāng)時，成立和當(dāng)時，成立，然后換元構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性進而證得，通性通法，運算簡潔，為最優(yōu)解；方法三先構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，證得常見常用結(jié)論（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）．然后換元得到，分類討論，利用不等式的基本性質(zhì)證得要證得不等式，有一定的巧合性.
2．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)a，b為實數(shù)，且，函數(shù)
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，求a的取值范圍；
（9）當(dāng)時，證明：對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，滿足.
(注：是自然對數(shù)的底數(shù))
【答案】(1)時，在上單調(diào)遞增；時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；
(2)；
(9)證明見解析.
【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論即可確定函數(shù)的單調(diào)性；
(2)將原問題進行等價轉(zhuǎn)化，然后構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)并進行放縮即可確定實數(shù)a的取值范圍；
(9)方法一：結(jié)合(2)的結(jié)論將原問題進行等價變形，然后利用分析法即可證得題中的結(jié)論成立.
【詳解】(1)，
①若，則，所以在上單調(diào)遞增；
②若，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，單調(diào)遞增.
綜上可得，時，在上單調(diào)遞增；
時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.
(2)有2個不同零點有2個不同解有2個不同的解，
令，則，
記，
記，
又，所以時，時，，
則在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，，
.
即實數(shù)的取值范圍是.
(9)[方法一]【最優(yōu)解】：
有2個不同零點，則，故函數(shù)的零點一定為正數(shù).
由(2)可知有2個不同零點，記較大者為，較小者為，
，
注意到函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
故，又由知，
，
要證，只需，
且關(guān)于的函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以只需證，
只需證，
只需證，
，只需證在時為正，
由于，故函數(shù)單調(diào)遞增，
又，故在時為正，
從而題中的不等式得證.
[方法二]：分析+放縮法
有2個不同零點，不妨設(shè)，由得（其中）．
且．
要證，只需證，即證，只需證．
又，所以，即．
所以只需證．而，所以，
又，所以只需證．
所以，原命題得證．
[方法三]：
若且，則滿足且，由（Ⅱ）知有兩個零點且．
又，故進一步有．
由可得且，從而．．
因為，
所以，
故只需證．
又因為在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，故只需證，即，注意時有，故不等式成立．
【整體點評】本題第二、三問均涉及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點問題，其中第三問難度更大，涉及到三種不同的處理方法，
方法一：直接分析零點，將要證明的不等式消元，代換為關(guān)于的函數(shù)，再利用零點反代法，換為關(guān)于的不等式，移項作差構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析范圍.
方法二：通過分析放縮，找到使得結(jié)論成立的充分條件，方法比較冒險！
方法三：利用兩次零點反代法，將不等式化簡，再利用函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為與0比較大小，代入函數(shù)放縮得到結(jié)論.
9．（2020·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù)，其中e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）證明：函數(shù)在上有唯一零點；
（Ⅱ）記x0為函數(shù)在上的零點，證明：
（?。?br>（ⅱ）．
【答案】（I）證明見解析，（II）（i）證明見解析，（ii）證明見解析.
【分析】（I）方法一：先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，再結(jié)合零點存在定理證明結(jié)論；
（II）（i）先根據(jù)零點化簡不等式，轉(zhuǎn)化求兩個不等式恒成立，構(gòu)造差函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定最值，即可證得不等式；
（ii）方法一：先根據(jù)零點條件轉(zhuǎn)化：，再根據(jù)放縮，轉(zhuǎn)化為證明不等式，最后構(gòu)造差函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)進行證明.
【詳解】（I）[方法一]：單調(diào)性+零點存在定理法
在上單調(diào)遞增，
，
所以由零點存在定理得在上有唯一零點．
[方法二]【最優(yōu)解】：分離常數(shù)法
函數(shù)在內(nèi)有唯一零點等價于方程在內(nèi)有唯一實根，又等價于直線與只有1個交點．
記，由于在內(nèi)恒成立，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，故．
因此，當(dāng)時，直線與只有1個交點．
（II）（i），
，
令
一方面： ，
在單調(diào)遞增，，
，
另一方面：，
所以當(dāng)時，成立，
因此只需證明當(dāng)時，，
因為
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以，
在單調(diào)遞減，，，
綜上，.
（ii）[方法一]：分析+構(gòu)造函數(shù)法
，
，，
，因為，所以，
，
只需證明，
即只需證明，
令，
則，
，即成立，
因此.
[方法二]【最優(yōu)解】：放縮轉(zhuǎn)化法
．
設(shè)，則由得．
從而只要證．
上式左邊．
使用不等式可得
【整體點評】（Ⅰ）方法一：直接研究函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)零點存在定理證得結(jié)論，為通性通法；方法二：先分離常數(shù)，轉(zhuǎn)化為證明水平直線與函數(shù)的圖象交點個數(shù)問題，為最優(yōu)解；
（Ⅱ）（?。┩ㄟ^分析，轉(zhuǎn)化，然后構(gòu)造函數(shù)證得；
（ⅱ）方法一：構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，求得最小值，然后根據(jù)條件放縮轉(zhuǎn)化為證明不等式．利用作差法構(gòu)造關(guān)于實數(shù)的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得此不等式，為該題的通性通法；方法二：利用放縮判定的導(dǎo)函數(shù)大于零，確定單調(diào)性，得到其最小值，轉(zhuǎn)化為，然后利用不等式放縮證明，運算相對簡潔，為最優(yōu)解.
【題型訓(xùn)練2-刷模擬】
一、解答題
1．（2029·北京密云·統(tǒng)考三模）已知函數(shù).
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）計算出、的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出所求切線的方程；
（2），其中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，證明出，即可證得結(jié)論成立.
【詳解】（1）解：因為，則，
所以，，，
所以，曲線在點處的切線方程為，
即.
（2）解：令，其中，
，
令，其中，
則，
當(dāng)時，且不恒為零，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，，即.
2．（2029·山西呂梁·統(tǒng)考三模）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)在上的零點個數(shù)；
(2)當(dāng)且時，記，探究與1的大小關(guān)系，并說明理由.
【答案】(1)答案見解析
(2)，理由見解析
【分析】（1）求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性和極值情況，并結(jié)合端點值大小，分類討論得到函數(shù)的零點個數(shù)；
（2）判斷出，不等式同構(gòu)變形得到，構(gòu)造，得到其單調(diào)性，并構(gòu)造的單調(diào)性，證明出結(jié)論.
【詳解】（1），，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，，其中，
若，即時，零點個數(shù)為0，
若，即時，零點個數(shù)為1，
若，即時，零點個數(shù)為2，
若，即時，零點個數(shù)為1，
若，即時，零點個數(shù)為0，
綜上：當(dāng)或時，零點個數(shù)為0，
當(dāng)或時，零點個數(shù)為1，
當(dāng)時，零點個數(shù)為2.
（2），理由如下：
，，
當(dāng)時，，故，
當(dāng)時，，故，
要證，即證，其中，
故即證，
令，，即證，
，
令，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故在上恒成立，
所以在上恒成立，
則在上單調(diào)遞增，
則，
令，，
，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，即，結(jié)論得證.
【點睛】導(dǎo)函數(shù)求解參數(shù)取值范圍，當(dāng)函數(shù)中同時出現(xiàn)與，通常使用同構(gòu)來進行求解，本題難點是變形得到，從而構(gòu)造進行求解.
9．（2029·山東淄博·統(tǒng)考三模）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)證明：當(dāng)時，.
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間是和
(2)證明見解析
【分析】（1）確定函數(shù)定義域，求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，計算最值確定恒成立，得到答案.
（2）構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，將導(dǎo)函數(shù)設(shè)為新函數(shù)，再次求導(dǎo)，將導(dǎo)函數(shù)設(shè)為新函數(shù)，再次求導(dǎo)，利用隱零點代換得到的單調(diào)區(qū)間，計算最值得到，再構(gòu)造函數(shù)，同理得到，得到證明.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，.
令函數(shù)，.
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，
所以，即恒成立，
故的單調(diào)遞增區(qū)間是和.
（2）當(dāng)時，，即當(dāng)時，.
令，，
令，，
令，.
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，
又，，
所以存在，使得.
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
，故當(dāng)時，；當(dāng)時，，
即當(dāng)時，；當(dāng)時，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
于是，所以.
令函數(shù)，.
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，
則.
因為，所以，故，
得.
綜上所述：當(dāng)時，.
【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，證明不等式，意在考查學(xué)生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中將不等式的證明轉(zhuǎn)化為和是解題的關(guān)鍵，證明不等式引入中間函數(shù)是一個重要技巧，需要熟練掌握.
4．（2029·河南洛陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)若，求的極值；
(2)，若函數(shù)有兩個零點，且，求證：.
【答案】(1)極大值為，無極小值；
(2)證明見解析.
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出的極值作答.
（2）根據(jù)函數(shù)零點的意義，轉(zhuǎn)化為線與函數(shù)圖象有兩個交點，求出，再借助零點建立兩個方程消去a，構(gòu)造函數(shù)證明即可作答.
【詳解】（1）當(dāng)時，定義域為，
求導(dǎo)得，令，
求導(dǎo)得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，取得極大值，無極小值，
所以的極大值為，無極小值.
（2）依題意，，，因為函數(shù)有兩個零點，且，
而，則，
因此函數(shù)的兩個零點分別是直線與函數(shù)圖象的兩個交點橫坐標，
，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，
而，時，恒有，于是，即，
令，顯然有，
則有，令，
求導(dǎo)得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，，
即有，從而，又，
所以.
【點睛】思路點睛：涉及雙變量的不等式證明問題，將所證不等式等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù)，再借助導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理.
5．（2029·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)判斷的導(dǎo)函數(shù)在上零點的個數(shù)，并說明理由；
(2)證明：當(dāng)時，.
注：.
【答案】(1)零點的個數(shù)為1，理由見解析
(2)證明見解析
【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷的導(dǎo)函數(shù)在上得單調(diào)性，再結(jié)合零點的存在性定理即可得出結(jié)論；
（2）令，則，即，再結(jié)合（1）利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)的最小值，再證明的最小值大于零即可.
【詳解】（1），
令，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，
又，
所以的導(dǎo)函數(shù)在上零點的個數(shù)為1；
（2）令，
則，即，
由（1）可知存在，使得，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又因為，存在，使得，即，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
令，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，
所以時，，
即當(dāng)時，恒成立.
【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：
（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進而構(gòu)造輔助函數(shù)；
（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；
（9）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).
6．（2029·山東聊城·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)證明：當(dāng)，且時，．
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)得，然后分，，分別討論，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為，然后構(gòu)造函數(shù)，證明其單調(diào)性，即可得到證明.
【詳解】（1），，
①當(dāng)，即時，，在區(qū)間單調(diào)遞增．
②當(dāng)，即時，
令，得，令，得，
所以在區(qū)間單調(diào)遞增；在區(qū)間單調(diào)遞減．
③當(dāng)，即時，
若，則，在區(qū)間單調(diào)遞增．
若，令，得，令，得，
所以在區(qū)間單調(diào)遞減；在區(qū)間單調(diào)遞增．
綜上，時，在區(qū)間單調(diào)遞增；在區(qū)間單調(diào)遞減；
時，在區(qū)間單調(diào)遞增
時，在區(qū)間單調(diào)遞減、在區(qū)間單調(diào)遞增．
（2）證明：要證，即證，
即證．
令，，則，
所以在區(qū)間單調(diào)遞增，所以時，，
即時，．
令，，則在時恒成立，
所以，且時，單調(diào)遞增，
因為時，，，且，
所以，且時，，即．
所以，且時，．
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查了用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，難度較難，解決本題的關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，用其單調(diào)性去證明不等式.
7．（2029春·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性.
(2)若存在兩個零點，且曲線在和處的切線交于點.
①求實數(shù)的取值范圍；
②證明：.
【答案】(1)答案見解析
(2)①；②證明見解析
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分成，兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）①利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖像得出實數(shù)的取值范圍；
②由曲線在和處的切線方程聯(lián)立，得出，又存在兩個零點，代入得出，
要證，只需證，即證，只要證即可.
【詳解】（1）.
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，令，得.
當(dāng)時，，當(dāng)時，，.
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）①由（1）知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，不可能有兩個零點，
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，所以，
又，；，；
所以的取值范圍是.
②曲線在和處的切線分別是，
聯(lián)立兩條切線方程得，所以.
因為所以.
要證，只需證，
即證，只要證.
令，.
則，所以在上單調(diào)遞減，
所以，
所以，所以.
【點睛】已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍問題方法點睛：
可以通過構(gòu)造函數(shù)，分情況討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理，根據(jù)零點個數(shù)，考慮圖像的交點情況，得出參數(shù)的取值范圍.
8．（2029·山東煙臺·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)．
(1)若在上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)當(dāng)時，證明：，．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）求得，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，進而轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，求得，得出函數(shù)的單調(diào)性和最大值，即可求解.
（2）當(dāng)時，得到且，當(dāng)時，只需使得，利用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)遞增，得到；當(dāng)時，顯然滿足；
當(dāng)時，由和，得到，即可得證.
【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得，
因為在上單調(diào)遞增，可得在上恒成立，
即在上恒成立，即在上恒成立，
令，可得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，即為最大值，
所以，即實數(shù)a的取值范圍為.
（2）解：當(dāng)時，，可得
當(dāng)時，可得，
要使得，只需使得，
令，可得，所以單調(diào)遞增，
又由，所以，所以單調(diào)遞增，所以；
當(dāng)時，可得且，所以，滿足；
當(dāng)時，可得，
因為且，所以，所以，
綜上可得，對于，都有.
9．（2029·福建泉州·泉州五中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)，是方程的兩根，，證明：．
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）求得，設(shè)，得到，分和，兩種情況，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求得在處的切線方程為，令，再令，結(jié)合單調(diào)性求得，求得，進而求得切線方程為，令，求得出函數(shù)的單調(diào)性，得到，進而證得，即可求解.
【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得，
設(shè)，可得，
①當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增；
②當(dāng)時，令，解得.
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，單調(diào)遞增.
綜上，當(dāng)時，在單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
（2）解：由，可得且，
所以在處的切線方程為，即.
令，
令，
因為，所以在上單調(diào)遞增，
又因為，所以當(dāng)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)，，單調(diào)遞增.
所以，即，
所以，，
可得在處的切線方程為，即.
令，
，
因為，所以在上單調(diào)遞增.
又因為，所以當(dāng)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)，，單調(diào)遞增，
所以，即，
所以，，
所以
【點睛】方法總結(jié)：利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問題：
1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；
2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；
9、適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；
4、構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).
10．（2029·安徽黃山·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，
(1)試判斷函數(shù)在上是否存在極值.若存在，說出是極大值還是極小值；若不存在，說明理由.
(2)設(shè)，若，證明：不等式在上恒成立.
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1），令，因此在單調(diào)遞減，，討論正負即可判斷出極值的情況；
（2）由分析知，要證明在上恒成立，即證，即證，令，求出，原不等式證明變?yōu)樽C明即可.
【詳解】（1）由題可知，
則，令
由于，則，所以函數(shù)在單調(diào)遞減.
當(dāng)趨近于0時，趨近于正無窮，又.
①當(dāng)，即時，，
則函數(shù)在單調(diào)遞增，所以在上無極值.
②當(dāng)，即時，則在上有唯一零點.
所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
所以是函數(shù)的一個極大值點，且無極小值.
綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)無極值；
當(dāng)時，函數(shù)有極大值，但無極小值.
（2）由題可知：，且.
由可得，
化簡得
由于且，所以不等式；
所以要證明原不等式成立；
只要證：在時恒成立.
只要證：.
令，則
令，
則，在為增函數(shù)，故，
于是，在為增函數(shù)，故，
只要證：（這里），
下面先證明：，
令，則.
在為減函數(shù)，故，即，
只要證：，
只要證：，
令，則.
在是單調(diào)遞增，因此，即.
綜上所述，原不等式成立.
【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：
（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進而構(gòu)造輔助函數(shù)；
（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；
（9）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).
11．（2029·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中．
(1)若有兩個零點，求的取值范圍；
(2)若，求的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由題可得方程有兩個解，然后構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)進而即得；
（2）由題知恒成立，進而轉(zhuǎn)化為證明當(dāng)時，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合條件可得只需證明即可，再構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式即得.
【詳解】（1）由有兩個零點，得方程有兩個解，
設(shè)，則，
由，可得，單調(diào)遞增，由，可得，單調(diào)遞減，
所以的最大值為，當(dāng)時，當(dāng)時，，
所以可得函數(shù)的大致圖象，
所以，解得，
所以，有兩個零點時，的取值范圍是；
（2）設(shè)，即，則恒成立，
由，，可得，
下面證明當(dāng)時，，即證，
令，則證，，
令為開口向上的二次函數(shù)，對稱軸為，
由（1）可知，故在時單調(diào)遞增，
則，
下面只需證明即可，即證，
令，則，
令，則，
所以函數(shù)單調(diào)遞減，且，
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故，即，從而不等式得證，
綜上，的取值范圍是．
【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：
（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進而構(gòu)造輔助函數(shù)；
（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；
（9）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).
12．（2029春·四川雅安·高三雅安中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)試問曲線是否存在過原點的切線？若存在，求切點的坐標；若不存在，請說明理由．
(2)證明：．（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】(1)存在，切點坐標為；
(2)證明見解析.
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點坐標，再求出切線方程即可作答.
（2）等價變形不等式，構(gòu)造函數(shù)，，再分別求出其最值判斷作答.
【詳解】（1）假設(shè)曲線存在過原點的切線，并設(shè)切點為，
函數(shù)，求導(dǎo)得，
則，整理得，解得，則，
所以曲線存在過原點的切線，且切點坐標為．
（2），不等式，
設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)得，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，則，
設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)得，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，則，
因為，即有，因此，
所以．

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