一、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式
1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式
如果等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，那么它的通項(xiàng)公式是．
2.等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式
設(shè)等差數(shù)列的公差為，其前項(xiàng)和．
注：數(shù)列是等差數(shù)列?（為常數(shù)）．
二、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值
1.公差為遞增等差數(shù)列，有最小值；
公差為遞減等差數(shù)列，有最大值；
公差為常數(shù)列．
2.在等差數(shù)列中
（1）若，則滿足的項(xiàng)數(shù)使得取得最大值；
（2）若，則滿足的項(xiàng)數(shù)使得取得最小值．
即若，則有最大值（所有正項(xiàng)或非負(fù)項(xiàng)之和）；
若，則有最小值（所有負(fù)項(xiàng)或非正項(xiàng)之和）．
二、題型精講精練
【典例1】（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．
(1)證明：是等差數(shù)列；
(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2)．
【分析】（1）依題意可得，根據(jù)，作差即可得到，從而得證；
（2）法一：由（1）及等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出，即可得到的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得．
【詳解】（1）因?yàn)椋储伲?br>當(dāng)時(shí)，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以為公差的等差數(shù)列．
（2）[方法一]：二次函數(shù)的性質(zhì)
由（1）可得，，，
又，，成等比數(shù)列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，當(dāng)或時(shí)，．
[方法二]：【最優(yōu)解】鄰項(xiàng)變號(hào)法
由（1）可得，，，
又，，成等比數(shù)列，所以，
即，解得，
所以，即有.
則當(dāng)或時(shí)，．
【整體點(diǎn)評(píng)】（2）法一：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值，適用于可以求出的表達(dá)式；
法二：根據(jù)鄰項(xiàng)變號(hào)法求最值，計(jì)算量小，是該題的最優(yōu)解．
【題型訓(xùn)練-刷模擬】
一、單選題
1．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考三模）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則使取得最大值時(shí)n的值為（ ）
A．4B．5C．6D．7
3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知無(wú)窮等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差為，若 ，則不正確的（ ）
A．?dāng)?shù)列單調(diào)遞減B．?dāng)?shù)列沒(méi)有最小值
C．?dāng)?shù)列{}單調(diào)遞減D．?dāng)?shù)列{}有最大值
4．（2023·湖北黃岡·黃岡中學(xué)校考二模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則取最大值時(shí)的值為（ ）
A．10B．11C．12D．13
5．（2023·河南·開(kāi)封高中?？寄M預(yù)測(cè)）已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則當(dāng)取最大值時(shí)，的值為（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，且，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．B．C．D．與均為的最大值
7．（2023·四川成都·成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列中，，且公差，則其前項(xiàng)和取得最大值時(shí)的值為（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，都有，若，則（ ）
A．的最小值是B．的最小值是
C．的最大值是D．的最大值是
9．（2023·四川自貢·統(tǒng)考三模）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差為d，若，，則下列四個(gè)命題正確個(gè)數(shù)為（ ）①為的最小值 ② ③， ④為的最小值
A．1B．2C．3D．4
10．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）數(shù)列是遞增的整數(shù)數(shù)列，若，，則的最大值為（ ）
A．25B．22C．24D．23
11．（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，都有，若，則（ ）
A．的最小值是B．的最小值是
C．的最大值是D．的最大值是
12．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和為，若，，則在，，…，中最大的是（ ）
A．B．C．D．
13．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知各項(xiàng)為正的等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)的積為，且，若，數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，則當(dāng)取得最大值時(shí)，n等于（ ）
A．6B．7C．8D．9
14．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）等差數(shù)列的首項(xiàng)為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為.現(xiàn)有下列命題，其中是假命題的有（ ）
A．若有最大值，則數(shù)列的公差小于0
B．若，則使的最大的n為18
C．若，，則中最大
D．若，，則數(shù)列中的最小項(xiàng)是第9項(xiàng)
15．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）對(duì)于數(shù)列，定義為的“優(yōu)值”．現(xiàn)已知數(shù)列的“優(yōu)值”，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．
C．D．的最小值為
16．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.若存在實(shí)數(shù)，，使得，且，當(dāng)時(shí)，取得最大值，則的值為（ ）
A．12或13B．11或12
C．10或11D．9或10
二、多選題
17．（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，且，成等比數(shù)列，則（ ）
A．B．
C．當(dāng)時(shí)，是的最大值D．當(dāng)時(shí)，是的最小值
18．（2023春·河南·高三階段練習(xí)）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，若，則（ ）
A．B．
C．當(dāng)時(shí)，取得最大值D．當(dāng)時(shí)，取得最大值
19．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列是等差數(shù)列，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．為定值B．若，則時(shí)最大
C．若，使為負(fù)值的n值有3個(gè)D．若，則
20．（2023春·安徽亳州·高三校考階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列B．
C．當(dāng)時(shí)，D．
21．（2023秋·山東濟(jì)南·高三統(tǒng)考期中）已知等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．的最大值為
C．的最小值為D．
22．（2023·江蘇鹽城·校考模擬預(yù)測(cè)）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，若，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則B．若，則最小
C．D．
23．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，且，則下列選項(xiàng)中正確的是（ ）
A．B．和均為的最大值
C．存在正整數(shù)，使得D．存在正整數(shù)，使得
三、填空題
24．（2023秋·遼寧·高三校聯(lián)考期末）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，為前項(xiàng)和，則最小值時(shí)， .
25．（2023春·河南信陽(yáng)·高三信陽(yáng)高中?？茧A段練習(xí)）已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.若，，則當(dāng)取最小值時(shí)，的值為 .
26．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）是數(shù)列的前n項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，取得最小值，寫(xiě)出一個(gè)符合條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式，an= .
27．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）首項(xiàng)為正數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，現(xiàn)有下列4個(gè)命題：
①若，則；
②若，則；
③若，則中最大；
④若，則使的的最大值為11．
其中所有真命題的序號(hào)是 ．
28．（2023春·江西宜春·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為且，當(dāng)取最大值時(shí)，的值為 ．
29．（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知是等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，若僅當(dāng)時(shí)取到最小值，且，則滿足的n的最小值為 .
30．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則的最小值是 .
31．（2023秋·江西贛州·高三贛州市贛縣第三中學(xué)?？计谥校┮阎炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和為，并且，若對(duì)恒成立，則正整數(shù)的值為 .
四、解答題
32．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求，并求的最小值.
33．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列是遞減數(shù)列，設(shè)其前項(xiàng)和為，且滿足，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的最大值及相應(yīng)的的值．
34．（2023春·青海西寧·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．
(1)證明：是等差數(shù)列；
(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．
35．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考二模）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)證明：．
36．（2023·貴州貴陽(yáng)·校聯(lián)考三模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，有．
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)若，，求的最大值．

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