1．（2023春·浙江·八年級階段練習(xí)）我們知道，是一個無理數(shù)，將這個數(shù)減去整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分，即的整數(shù)部分是1，小數(shù)部分是，請回答以下問題：
(1)的小數(shù)部分是________，的小數(shù)部分是________．
(2)若a是的整數(shù)部分，b是的小數(shù)部分，求的平方根．
(3)若，其中x是整數(shù)，且，求的值．
2．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）像，…這樣的根式叫做復(fù)合二次根式．有一些復(fù)合二次根式可以借助構(gòu)造完全平方式進行化簡，如：
＝＝＝＝．
再如：
請用上述方法探索并解決下列問題：
(1)化簡：；
(2)化簡：；
(3)若，且a，m，n為正整數(shù)，求a的值．
3．（2023春·八年級單元測試）閱讀下列材料，然后回答問題．
①在進行二次根式的化簡與運算時，我們有時會碰上如一樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡： 以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．
②學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，最重要的是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想，其中一種數(shù)學(xué)思想叫做換元的思想，它可以簡化我們的計算，比如我們熟悉的下面這個題：已知 a?b?2，ab? ?3 ，求．我們可以把a?b和ab看成是一個整體，令 x?a?b ， y ? ab ，則．這樣，我們不用求出a，b，就可以得到最后的結(jié)果．
(1)計算：；
(2)m 是正整數(shù)， a ?，b ?且．求 m．
(3)已知，求的值．
4．（2023春·八年級單元測試）先閱讀下列解答過程：
形如的式子的化簡，只要我們找到兩個正數(shù)a，b，使，，即， ，那么便有．
例如：化簡．
解：首先把化為，這里，，
由于，，即，，
所以．
請根據(jù)材料解答下列問題：
(1)填空：______；
(2)化簡：（請寫出計算過程）；
(3)化簡：．
5．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）先閱讀，后解答：
，；像上述解題過程中，與、與相乘，積不含有二次根式，我們可將這兩個式子稱為互為有理化因式，上述解題過程也稱為分母有理化．
(1)的有理化因式是______；的有理化因式是______．
(2)（4）分將下列式子進行分母有理化：
①______； ②______．
(3)類比（2）中②的計算結(jié)果，計算：
．
6．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如，善于思考的小明進行了以下探索：
若設(shè)（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有．這樣小明就找到了一種把類似的式子化為平方式的方法，請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：
(1)若，當(dāng)a、b、m、n均為整數(shù)時，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a= ，b= ；
(2)若，且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值；
(3)化簡：．
7．（2021春·浙江臺州·八年級統(tǒng)考期中）（1）觀察下列各式的特點：
，
>，
，
，
…
根據(jù)以上規(guī)律可知：______（填“＞”“＜”或“＝”）．
（2）觀察下列式子的化簡過程：
，
，
＝，
…
根據(jù)觀察，請寫出式子（n≥2，且n是正整數(shù)）的化簡過程．
（3）根據(jù)上面（1）（2）得出的規(guī)律計算下面的算式：+||+???+||．
8．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）先閱讀下列解答過程，然后再解答：小芳同學(xué)在研究化簡中發(fā)現(xiàn)：首先把化為﹐由于，，即：， ，所以，
問題：
（1）填空：__________，____________﹔
（2）進一步研究發(fā)現(xiàn)：形如的化簡，只要我們找到兩個正數(shù)a，b（），使，，即，﹐那么便有： __________．
（3）化簡：（請寫出化簡過程）
9．（2019·浙江杭州·九年級）仔細(xì)閱讀以下內(nèi)容解決問題：第24屆國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)，設(shè)兩條直角邊的邊長為，，則面積為，四個直角三角形面積和小于正方形的面積得：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．在中，若，，用、代替，得，，即（*），我們把（*）式稱為基本不等式．利用基本不等式我們可以求函數(shù)的最大最小值．我們以“已知，求的最小值”為例給同學(xué)們介紹．
解：由題知，∵，，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即當(dāng)時，函數(shù)的最小值為．
總結(jié)：利用基本不等式求最值，若為定值，則有最小值．
請同學(xué)們根據(jù)以上所學(xué)的知識求下列函數(shù)的最值，并求出取得最值時相應(yīng)的取值．
（1）若，求函數(shù)的最小值；
（2）若，求的最小值；
（3）若，求函數(shù)的最小值．
10．（2022春·浙江金華·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）在一節(jié)數(shù)學(xué)課上，李老師出了這樣一道題目：
先化簡，再求值：，其中x＝9.
小明同學(xué)是這樣計算的：
解：＝x－1＋x－10＝2x－11．
當(dāng)x＝9時，原式＝2×9－11＝7．
小榮同學(xué)是這樣計算的：
解：＝x－1＋10－x＝9．
聰明的同學(xué)，誰的計算結(jié)果是正確的呢？錯誤的計算錯在哪里？
11．（2023春·浙江·八年級階段練習(xí)）閱讀理解以下內(nèi)容，解決問題：
解方程：．
解：，
方程即為：，
設(shè)，原方程轉(zhuǎn)化為：
解得，，，
當(dāng)時，即，，；
當(dāng)時，即，不成立．
綜上所述，原方程的解是，．
以上解方程的過程中，將其中作為一個整體設(shè)成一個新未知數(shù)，從而將原方程化為關(guān)于的一元二次方程，像這樣解決問題的方法叫做“換元法”（“元”即未知數(shù)）．
(1)已知方程：，若設(shè)，則利用“換元法”可將原方程化為關(guān)于的方程是______；
(2)仿照上述方法，解方程：．
12．（2022春·浙江杭州·八年級杭州外國語學(xué)校?？计谥校τ谌我庖粋€三位數(shù)k，如果k滿足各個數(shù)位上的數(shù)字都不為零，且十位上的數(shù)字的平方等于百位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之積的4倍，那么稱這個數(shù)為“喜鵲數(shù)”．例如：k＝169，因為62＝4×1×9，所以169是“喜鵲數(shù)”．
(1)已知一個“喜鵲數(shù)”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c為正整數(shù)），請直接寫出a，b，c所滿足的關(guān)系式 ；判斷241 “喜鵲數(shù)”（填“是”或“不是”），并寫出一個“喜鵲數(shù)” ；
(2)利用（1）中“喜鵲數(shù)”k中的a，b，c構(gòu)造兩個一元二次方程ax2+bx+c＝0①與cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一個根，x＝n是方程②的一個根，求m與n滿足的關(guān)系式；
(3)在（2）中條件下，且m+n＝﹣2，請直接寫出滿足條件的所有k的值．
13．（2022春·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）閱讀理解：
【材料一】若三個非零實數(shù)x，y，z中有一個數(shù)的平方等于另外兩個數(shù)的積，則稱三個實數(shù)x，y，z構(gòu)成“友好數(shù)”．
【材料二】若關(guān)于x的一元二次方程的兩根分別為，則有: ．
問題解決：
(1)實數(shù)4，6，9可以構(gòu)成“友好數(shù)”嗎？請說明理由；
(2)若三點均在函數(shù)（k為常數(shù)且）的圖象上，且這三點的縱坐標(biāo)構(gòu)成“友好數(shù)”，求實數(shù)t的值；
(3)設(shè)三個實數(shù)是“友好數(shù)”且滿足，其中是關(guān)于x的一元二次方程的兩個根，是拋物線與x軸的一個交點的橫坐標(biāo)．
①的值等于______________；
②設(shè)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．
14．（2021春·浙江·八年級期末）如圖所示，中，．
（1）點P從點A開始沿邊向點B以的速度移動（至點B停止），點Q從點B開始沿邊向點C以的速度移動（至點C停止），當(dāng)一點停止運動后另一點也停止運動，如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)
①經(jīng)過幾秒，的面積等于？
②線段能否將分成面積相等的兩部分？若能，求出運動時間；若不能，說明理由．
（2）若點P沿射線方向從點A出發(fā)以的速度移動，點Q沿射線方向從點C出發(fā)以的速度移動，P，Q同時出發(fā)，幾秒后，的面積為？
15．（2020秋·浙江·九年級期末）已知關(guān)于x的一元二次方程．
（1）求證：這個方程的一根大于2，一根小于2；
（2）若對于時，相應(yīng)得到的一元二次方程的兩根分別為和和和，…，和和，試求的值．
16．（2021·浙江·九年級專題練習(xí)）已知關(guān)于x的方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0
（1）求證：無論k取何值，此方程總有實數(shù)根；
（2）若此方程有兩個整數(shù)根，求正整數(shù)k的值；
（3）若一元二次方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0滿足|x1﹣x2|＝3，求k的值．
17．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）閱讀如下材料，完成下列問題：
材料一：對于二次三項式求最值問題，有如下示例：
．因為，所以，所以，當(dāng)時，原式的最小值為2．
材料二：對于實數(shù)a，b，若，則．
完成問題：
（1）求的最小值；
（2）求的最大值；
（3）若實數(shù)m，n滿足．求的最大值．
18．（2023春·浙江·八年級階段練習(xí)）健康食品越來越受到人們的青睞，某公司在2016年推出兩種健康食品套餐，到年底共賣出萬份，其中套餐賣出萬份，兩種套餐共獲利潤萬元、已知銷售一份套餐可獲利潤元，銷售一份套餐可獲利潤元．
（1）用含的代數(shù)式表示；
（2）隨著市場需求不斷變化，經(jīng)營策略也隨之調(diào)整．2017年，該公司將每份套餐的利潤增加到元，每份套餐的利潤不變．經(jīng)核算，兩種套餐在這一年的銷售總量與2016年相同，其中套餐的銷售量增加，兩種套餐的總利潤增加萬元．
①求2017年每種套餐的銷售量；
②由于套餐的需求量逐年上漲，而原材料供應(yīng)不足，因此，2018年該公司將每份套餐的利潤在2017年的基礎(chǔ)上增加，2019年在2018年的基礎(chǔ)上又增加、若套餐在近三年銷售量不變的情況下，僅2019年一年就獲利萬元，求的值．
19．（2021春·浙江金華·八年級校考期中）如圖是證明勾股定理時用到的一個圖形，是和的邊長，顯然，我們把關(guān)于x的一元二次方程稱為“弦系一元二次方程”．請解決下列問題：
（1）判斷方程是否為“弦系一元二次方程”：______（填“是”或“否”）；
（2）求證：關(guān)于x的“弦系一元二次方程”必有實數(shù)根；
（3）若是“弦系一元二次方程”的一個根，且四邊形的周長是，求的面積．
20．（2022·浙江嘉興·九年級專題練習(xí)）閱讀理解：德國著名數(shù)學(xué)家高斯（C．F．Gauss，1777年4月30日-1855年2月23日，物理學(xué)家、天文學(xué)家、大地測量學(xué)家．）被認(rèn)為是歷史上最重要的數(shù)學(xué)家之一，并有"數(shù)學(xué)王子"的美譽．高斯從小就善于觀察和思考．在他讀小學(xué)時候就能在課堂上快速的計算出 ，今天我們可以將高斯的做法歸納如下：
令 ①
②
（右邊相加 共 組）①+②：有 ，解得： 請類比以上做法，回答，
題目：如下圖，有一個形如六邊形的點陣，它的中心是一個點，算第一層，第二層每邊有兩個點，第三層每邊有三個點，依此類推．
（1） 填寫下表：
（2） 寫出第層所對應(yīng)的點數(shù)；
（3） 如果某一層共個點，你知道它是第幾層嗎?
（4） 寫出層的六邊形點陣的總點數(shù)；
（5） 如果六邊形點陣圖的總點數(shù)是個，你知道它共有幾層嗎?
21．（2019·浙江杭州·九年級）設(shè)關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，．
（1）求的值；
（2）求證：，且；
（3）若，試求的最大值．
22．（2021春·浙江杭州·八年級統(tǒng)考期末）對于代數(shù)式ax2+bx+c，若存在實數(shù)n，當(dāng)x＝n時，代數(shù)式的值也等于n，則稱n為這個代數(shù)式的不變值．例如：對于代數(shù)式x2，當(dāng)x＝0時，代數(shù)式等于0；當(dāng)x＝1時，代數(shù)式等于1，我們就稱0和1都是這個代數(shù)式的不變值．在代數(shù)式存在不變值時，該代數(shù)式的最大不變值與最小不變值的差記作A．特別地，當(dāng)代數(shù)式只有一個不變值時，則A＝0．
（1）代數(shù)式x2﹣2的不變值是 ，A＝ ．
（2）說明代數(shù)式3x2+1沒有不變值；
（3）已知代數(shù)式x2﹣bx+1，若A＝0，求b的值．
23．（2023春·浙江杭州·九年級專題練習(xí)）2月20日，北京冬奧會圓滿落幕，在無與倫比的盛會背后，有著許多志愿者的辛勤付出．在志愿者招募之時，甲、乙兩所大學(xué)積極開展了志愿者選拔活動，現(xiàn)從兩所大學(xué)參加測試的志愿者中分別隨機抽取了10名志愿者的測試成績進行整理和分析（成績得分用x表示，共分成四組：A．，B．，C．，D．），下面給出了部分信息：
甲校10名志愿者的成績（分）為：．
乙校10名志愿者的成績分布如扇形圖所示，其中在C組中的數(shù)據(jù)為：．
甲、乙校抽取的志愿者成績統(tǒng)計表
(1)由上表填空：_______，_______，______________；
(2)你認(rèn)為哪個學(xué)校的志愿者測試成績的總體水平較好？請至少寫出兩條理由；
(3)若甲校參加測試的志愿者有200名，請估計甲校成績在90分及以上的約有多少人．
24．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）某公司有名職員，公司食堂供應(yīng)午餐．受新冠肺炎疫情影響，公司停工了一段時間．為了做好復(fù)工后職員取餐、用餐的防疫工作，食堂進行了準(zhǔn)備，主要如下：①將過去的自主選餐改為提供統(tǒng)一的套餐；②調(diào)查了全體職員復(fù)工后的午餐意向，結(jié)果如圖所示；③設(shè)置不交叉的取餐區(qū)和用餐區(qū)，并將用餐區(qū)按一定的間距要求調(diào)整為可同時容納人用餐；④規(guī)定：排隊取餐，要在食堂用餐的職員取餐后即進入用餐區(qū)用餐；⑤隨機邀請了名要在食堂取餐的職員進行了取餐、用餐的模擬演練，這名職員取餐共用時，用餐時間（含用餐與回收餐具）如表所示．為節(jié)約時間，食堂決定將第一排用餐職員人的套餐先擺放在相應(yīng)餐桌上，并在開始用餐，其他職員則需自行取餐．
（1）食堂每天需要準(zhǔn)備多少份午餐？
（2）食堂打算以參加演練的名職員用餐時間的平均數(shù)為依據(jù)進行規(guī)劃：前一批職員用餐后，后一批在食堂用餐的職員開始取餐．為避免擁堵，需保證每位取餐后進入用餐區(qū)的職員都有座位用餐，則該規(guī)劃是否可行？如果可行，請說明理由，并依此規(guī)劃，根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計的數(shù)據(jù)設(shè)計一個時間安排表，使得食堂不超過就可結(jié)束取餐、用餐服務(wù)，開始消殺工作；如果不可行，也請說明理由．
25．（2023春·八年級單元測試）某市民用水?dāng)M實行階梯水價，每人每月用水量中不超過w噸的部分按4元/噸收費，超出w噸的部分按10元/噸收費，該市隨機調(diào)查居民，獲得了他們3月份的每人用水量數(shù)據(jù)，繪制出如圖不完整的兩張統(tǒng)計圖表：請根據(jù)以下圖表提供的信息，解答下列問題：
表1
(1)觀察表1可知這次抽樣調(diào)查的中位數(shù)落在第_______組，表1中m的值為_________，n的值為_______；表2扇形統(tǒng)計圖中“用水量”部分的的圓心角為___________．
(2)如果w為整數(shù)，那么根據(jù)此次調(diào)查，為使80%以上居民在3月份的每人用水價格為4元/噸，w至少定為多少噸？
(3)利用（2）的結(jié)論和表1中的數(shù)據(jù)，假設(shè)表1中同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點值代替，估計該市居民3月份的人均水費．
26．（2018·浙江杭州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝13厘米，BC＝10厘米，AD⊥BC于點D，動點P從點A出發(fā)以每秒1厘米的速度在線段AD上向終點D運動，設(shè)動點運動時間為t秒.
(1)求AD的長；
(2)當(dāng)P、C兩點的距離為時，求t的值；
(3)動點M從點C出發(fā)以每秒2厘米的速度在射線CB上運動．點M與點P同時出發(fā)，且當(dāng)點P運動到終點D時，點M也停止運動．是否存在t值，使得？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．
備用圖
27．（2022春·浙江杭州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在長方形ABCD中，邊AB、BC的長（AB＜BC）是方程x2-7x+12=0的兩個根．點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿△ABC邊 A→B→C→A的方向運動，運動時間為t（秒）．
（1）求AB與BC的長；
（2）當(dāng)點P運動到邊BC上時，試求出使AP長為時運動時間t的值；
（3）當(dāng)點P運動到邊AC上時，是否存在點P，使△CDP是等腰三角形？若存在，請求出運動時間t的值；若不存在，請說明理由．
28．（2022秋·浙江溫州·八年級瑞安市安陽實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)是，連接．若動點從點出發(fā)沿著線段以個單位每秒的速度向終點運動，設(shè)運動時間為秒．
(1)求線段的長．
(2)連接，當(dāng)為等腰三角形時，過點作線段的垂線與直線交于點，求點的坐標(biāo)；
(3)已知點為的中點，連接，點關(guān)于直線的對稱點記為(如圖2)，在整個運動過程中，若點恰好落在內(nèi)部(不含邊界)，請直接寫出的取值范圍．
甲校
乙校
平均數(shù)
87
87
中位數(shù)
87.5
b
方差
79.4
眾數(shù)
c
95
用餐時間
人數(shù)
組別
月用水量x噸/人
頻數(shù)
頻率
第一組
100
0.1
第二組
n
第三組
200
0.2
第四組
m
0.25
第五組
150
0.15
第六組
50
0.05
第七組
50
0.05
第八組
50
0.05
合計
1
特訓(xùn)01 第1-3章 壓軸題 （浙江精選歸納）
一、解答題
1．（2023春·浙江·八年級階段練習(xí)）我們知道，是一個無理數(shù)，將這個數(shù)減去整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分，即的整數(shù)部分是1，小數(shù)部分是，請回答以下問題：
(1)的小數(shù)部分是________，的小數(shù)部分是________．
(2)若a是的整數(shù)部分，b是的小數(shù)部分，求的平方根．
(3)若，其中x是整數(shù)，且，求的值．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)11．
【分析】（1）確定的整數(shù)部分，即可確定它的小數(shù)部分；確定的整數(shù)部分，即可確定的整數(shù)部分，從而確定的小數(shù)部分；
（2）確定的整數(shù)部分，即知a的值，同理可確定的整數(shù)部分，從而求得它的小數(shù)部分，即b的值，則可以求得代數(shù)式+1的值，從而求得其平方根；
（3）由得即，從而得x=9，y=，將x、y的值代入原式即可求解．
【解析】（1）解：∵，
∴的整數(shù)部分為3，
∴的小數(shù)部分為，
∵，
∴，
∴即，
∴的整數(shù)部分為1，
∴的小數(shù)部分為，
故答案為：，；
（2）解：∵，a是的整數(shù)部分，
∴a=9，
∵，
∴的整數(shù)部分為1，
∵b是的小數(shù)部分，
∴，
∴
∵9的平方根等于，
∴的平方根等于；
（3）解：∵，
∴即，
∵，其中x是整數(shù)，且，
∴x=9，y=，
∴．
【點睛】本題考查了無理數(shù)的估算、求平方根以及求代數(shù)式的值，關(guān)鍵是掌握二次根式的大小估算方法．
2．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）像，…這樣的根式叫做復(fù)合二次根式．有一些復(fù)合二次根式可以借助構(gòu)造完全平方式進行化簡，如：
＝＝＝＝．
再如：
請用上述方法探索并解決下列問題：
(1)化簡：；
(2)化簡：；
(3)若，且a，m，n為正整數(shù)，求a的值．
【答案】(1)
(2)
(3)14或46
【分析】（1）利用題中復(fù)合二次根式借助構(gòu)造完全平方式的新方法求解；
（2）利用題中復(fù)合二次根式借助構(gòu)造完全平方式的新方法求解；
（3）利用完全平方公式，結(jié)合整除的意義求解．
【解析】（1）
（2）
（3）∵，
∴，，
∴
又∵、n為正整數(shù)，
∴，或者，
∴當(dāng)時，；
當(dāng)時，．
∴a的值為：或．
【點睛】此題考查活用完全平方公式，把數(shù)分解成完全平方式，進一步利用公式因式分解化簡，注意在整數(shù)分解時參考后面的二次根號里面的數(shù)值．
3．（2023春·八年級單元測試）閱讀下列材料，然后回答問題．
①在進行二次根式的化簡與運算時，我們有時會碰上如一樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡： 以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．
②學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，最重要的是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想，其中一種數(shù)學(xué)思想叫做換元的思想，它可以簡化我們的計算，比如我們熟悉的下面這個題：已知 a?b?2，ab? ?3 ，求．我們可以把a?b和ab看成是一個整體，令 x?a?b ， y ? ab ，則．這樣，我們不用求出a，b，就可以得到最后的結(jié)果．
(1)計算：；
(2)m 是正整數(shù)， a ?，b ?且．求 m．
(3)已知，求的值．
【答案】(1)
(2)m=2
(3)
【分析】（1）由題目所給出的規(guī)律進行計算即可；
（2）先求出再由進行變形再求值即可；
（3）先得到，然后可得，最后由，求出結(jié)果
【解析】（1）原式
，
（2）∵a ?，b ?，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴2，
∵m 是正整數(shù)，
∴m=2．
（3）由得出，
∴，
∵，
∵，
∴．
【點睛】本題考查了二次根式的混合運算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后進行二次根式的乘除運算，再合并即可．在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．
4．（2023春·八年級單元測試）先閱讀下列解答過程：
形如的式子的化簡，只要我們找到兩個正數(shù)a，b，使，，即， ，那么便有．
例如：化簡．
解：首先把化為，這里，，
由于，，即，，
所以．
請根據(jù)材料解答下列問題：
(1)填空：______；
(2)化簡：（請寫出計算過程）；
(3)化簡：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）化簡時，根據(jù)范例確定a，b值為3和1；
（2）將轉(zhuǎn)化為：，即可求解；
（3）先把各項中分母的無理式變成 的形式，再進行分母有理化后，進行計算即可求解．
【解析】（1）解：在中，m=4，n=3，由于3+1=4，3×1=3
即，
∴=；
故答案為：；
（2）原式
．
（3）原式
．
【點睛】本題考查二次根式根號內(nèi)含有根號的式子化簡，分母有理化．二次根式根號內(nèi)含有根號的式子化簡主要利用了完全平方公式，所以一般二次根式根號內(nèi)含有根號的式子化簡是符合完全平方公式的特點的式子．
5．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）先閱讀，后解答：
，；像上述解題過程中，與、與相乘，積不含有二次根式，我們可將這兩個式子稱為互為有理化因式，上述解題過程也稱為分母有理化．
(1)的有理化因式是______；的有理化因式是______．
(2)（4）分將下列式子進行分母有理化：
①______； ②______．
(3)類比（2）中②的計算結(jié)果，計算：
．
【答案】(1)，；
(2)，；
(3)
【分析】（1）根據(jù)有理化因式的定義，仿照閱讀中例子，得到、的有理化因式；
（2）分子和分母都乘以各自分母的有理化因式，化去分母中的根號即可；
（3）先分母有理化，然后合并同類二次根式即可．
【解析】（1）解：（1）的有理化因式是，的有理化因式是；
故答案為：，；
（2）①，
②；
故答案為：，；
（3）
．
【點睛】此題考查了分母有理化，掌握分母有理化的概念及準(zhǔn)確找出二次根式的有理化因式是解答問題的關(guān)鍵．
6．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如，善于思考的小明進行了以下探索：
若設(shè)（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有．這樣小明就找到了一種把類似的式子化為平方式的方法，請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：
(1)若，當(dāng)a、b、m、n均為整數(shù)時，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a= ，b= ；
(2)若，且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值；
(3)化簡：．
【答案】(1)
(2)28或12
(3)
【分析】（1）根據(jù)完全平方公式展開，即可用m、n表示出a、b；
（2）利用完全平方公式展開可得到，6＝2mn，利用a、m、n均為正整數(shù)得到m＝1，n＝3或m＝3，n＝1，然后由分別計算即可；
（3）令，兩邊平方并整理得，然后利用（1）中的結(jié)論化簡得到，從而可求出t的值，即為原式化簡的結(jié)果．
【解析】（1）∵，
∴，
∴．
故答案為：，；
（2）∵，
∴，6=2mn，
∴mn=3．
∵a、m、n均為正整數(shù)，
∴m=1，n=3或m=3，n=1．
當(dāng)m=1，n=3時，；
當(dāng)m=3，n=1時，．
∴a的值為28或12；
（3）令，
則
∴．
【點睛】本題考查二次根式的混合運算，完全平方公式的計算，正確理解被開方數(shù)的變化方式及完全平方公式的計算法則是解題的關(guān)鍵．
7．（2021春·浙江臺州·八年級統(tǒng)考期中）（1）觀察下列各式的特點：
，
>，
，
，
…
根據(jù)以上規(guī)律可知：______（填“＞”“＜”或“＝”）．
（2）觀察下列式子的化簡過程：
，
，
＝，
…
根據(jù)觀察，請寫出式子（n≥2，且n是正整數(shù)）的化簡過程．
（3）根據(jù)上面（1）（2）得出的規(guī)律計算下面的算式：+||+???+||．
【答案】（1）＞；（2）見解析；（3）
【分析】（1）根據(jù)題目所給的例題大小關(guān)系可直接得到答案；
（2）把分子分母同時乘以，然后化簡即可得到答案；
（3）根據(jù)（2）中的規(guī)律可得，，，分別把絕對值里面的式子化簡計算即可．
【解析】解：（1）∵，
>，
，
，
…，
∴，
∴，
故答案為：＞；
（2）
=
=；
（3）原式
．
【點睛】此題主要考查了分母有理化，關(guān)鍵是注意觀察題目所給的例題，找出其中的規(guī)律，然后再進行計算．
8．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）先閱讀下列解答過程，然后再解答：小芳同學(xué)在研究化簡中發(fā)現(xiàn)：首先把化為﹐由于，，即：， ，所以，
問題：
（1）填空：__________，____________﹔
（2）進一步研究發(fā)現(xiàn)：形如的化簡，只要我們找到兩個正數(shù)a，b（），使，，即，﹐那么便有： __________．
（3）化簡：（請寫出化簡過程）
【答案】（1），；（2）；（3）
【分析】（1）根據(jù)題目所給的方法將根號下的數(shù)湊成完全平方的形式進行計算；
（2）根據(jù)題目給的a，b與m、n的關(guān)系式，用一樣的方法列式算出結(jié)果；
（3）將寫成，4寫成，就可以湊成完全平方的形式進行計算．
【解析】解：（1）；
；
（2）；
（3）==．
【點睛】本題考查二次根式的計算和化簡，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的運算法則．
9．（2019·浙江杭州·九年級）仔細(xì)閱讀以下內(nèi)容解決問題：第24屆國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)，設(shè)兩條直角邊的邊長為，，則面積為，四個直角三角形面積和小于正方形的面積得：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．在中，若，，用、代替，得，，即（*），我們把（*）式稱為基本不等式．利用基本不等式我們可以求函數(shù)的最大最小值．我們以“已知，求的最小值”為例給同學(xué)們介紹．
解：由題知，∵，，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即當(dāng)時，函數(shù)的最小值為．
總結(jié)：利用基本不等式求最值，若為定值，則有最小值．
請同學(xué)們根據(jù)以上所學(xué)的知識求下列函數(shù)的最值，并求出取得最值時相應(yīng)的取值．
（1）若，求函數(shù)的最小值；
（2）若，求的最小值；
（3）若，求函數(shù)的最小值．
【答案】（1），；（2），；（3），
【分析】（1）仿照上面的例子變形得到，求出最小值即可；
（2）仿照上面的例子變形得到，求出最小值即可；
（3）仿照上面的例子變形得到，求出最小值即可.
【解析】解：（1）由題知，
∵，
∴
∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
即當(dāng)時，函數(shù)的最小值為4；
（2）由題知，
∵，
∴
∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
即當(dāng)時，函數(shù)的最小值為4；
（3）由題知，
∵，
∴
∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
即當(dāng)時，函數(shù)的最小值為6.
【點睛】本題是對二次根式和不等式的綜合考查，讀懂題意，準(zhǔn)確變形是解決本題的關(guān)鍵.
10．（2022春·浙江金華·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）在一節(jié)數(shù)學(xué)課上，李老師出了這樣一道題目：
先化簡，再求值：，其中x＝9.
小明同學(xué)是這樣計算的：
解：＝x－1＋x－10＝2x－11．
當(dāng)x＝9時，原式＝2×9－11＝7．
小榮同學(xué)是這樣計算的：
解：＝x－1＋10－x＝9．
聰明的同學(xué)，誰的計算結(jié)果是正確的呢？錯誤的計算錯在哪里？
【答案】小榮同學(xué)的計算結(jié)果是正確的；小明同學(xué)錯在對的化簡.
【解析】試題分析：根據(jù)二次根式的性質(zhì)=-a（a＜0），可判斷小明同學(xué)的計算是錯誤的.
試題解析：小榮同學(xué)的計算結(jié)果是正確的；
小明同學(xué)錯在對的化簡，應(yīng)為=10-x.
11．（2023春·浙江·八年級階段練習(xí)）閱讀理解以下內(nèi)容，解決問題：
解方程：．
解：，
方程即為：，
設(shè)，原方程轉(zhuǎn)化為：
解得，，，
當(dāng)時，即，，；
當(dāng)時，即，不成立．
綜上所述，原方程的解是，．
以上解方程的過程中，將其中作為一個整體設(shè)成一個新未知數(shù)，從而將原方程化為關(guān)于的一元二次方程，像這樣解決問題的方法叫做“換元法”（“元”即未知數(shù)）．
(1)已知方程：，若設(shè)，則利用“換元法”可將原方程化為關(guān)于的方程是______；
(2)仿照上述方法，解方程：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)完全平方公式由，得，再變形原方程便可；
（2）設(shè)，則，得，再解一元二次方程，最后代入所設(shè)代數(shù)式解方程便可．
【解析】（1）設(shè)，
則，
可化為：，
即，
故答案為：；
（2）設(shè)，則，
原方程可化為：，
整理得，
，
或，
或，
當(dāng)時，，
解得，
當(dāng)時，無解，
檢驗，當(dāng)時，左邊右邊，
是原方程的解，
故原方程的解為：．
【點睛】本題主要考查了換元法，無理方程，關(guān)鍵掌握換元法的思想方法．
12．（2022春·浙江杭州·八年級杭州外國語學(xué)校?？计谥校τ谌我庖粋€三位數(shù)k，如果k滿足各個數(shù)位上的數(shù)字都不為零，且十位上的數(shù)字的平方等于百位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之積的4倍，那么稱這個數(shù)為“喜鵲數(shù)”．例如：k＝169，因為62＝4×1×9，所以169是“喜鵲數(shù)”．
(1)已知一個“喜鵲數(shù)”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c為正整數(shù)），請直接寫出a，b，c所滿足的關(guān)系式 ；判斷241 “喜鵲數(shù)”（填“是”或“不是”），并寫出一個“喜鵲數(shù)” ；
(2)利用（1）中“喜鵲數(shù)”k中的a，b，c構(gòu)造兩個一元二次方程ax2+bx+c＝0①與cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一個根，x＝n是方程②的一個根，求m與n滿足的關(guān)系式；
(3)在（2）中條件下，且m+n＝﹣2，請直接寫出滿足條件的所有k的值．
【答案】(1)b2﹣4ac＝0；不是；121
(2)mn＝1
(3)121，242，363，484
【分析】（1）根據(jù)喜鵲數(shù)的定義解答即可；
（2）根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式解答即可；
（3）求出m與n互為倒數(shù)，又m+n＝﹣2，得出m＝﹣1，n＝﹣1，求出b＝a+c，a＝c，結(jié)合喜鵲數(shù)的定義即可得出答案．
【解析】（1）∵k＝100a+10b+c是喜鵲數(shù)，
∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0；
∵42＝16，4×2×1＝8，16≠8，
∴241不是喜鵲數(shù)；
∵各個數(shù)位上的數(shù)字都不為零，百位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之積的4倍，
∴十位上的數(shù)字的平方最小為4，
∵22＝4，4×1×1＝4，
∴最小的“喜鵲數(shù)”是121．
故答案為：b2﹣4ac＝0；不是；121．
（2）∵x＝m是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一個根，x＝n是一元二次方程cx2+bx+a＝0的一個根，
∴am2+bm+c＝0，cn2+bn+a＝0，
將cn2+bn+a＝0兩邊同除以n2得：a（）2+b（）+c＝0，
∴將m、看成是方程ax2+bx+c的兩個根，
∵b2﹣4ac＝0，
∴方程ax2+bx+c有兩個相等的實數(shù)根，
∴m＝，即mn＝1；
故答案為：mn＝1．
（3）∵m+n＝﹣2，mn＝1，
∴m＝﹣1，n＝﹣1，
∴a﹣b+c＝0，
∴b＝a+c，
∵b2＝4ac，
∴（a+c）2＝4ac，
解得：a＝c，
∴滿足條件的所有k的值為121，242，363，484．
故答案為：121，242，363，484．
【點睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是弄清喜鵲數(shù)的定義．
13．（2022春·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）閱讀理解：
【材料一】若三個非零實數(shù)x，y，z中有一個數(shù)的平方等于另外兩個數(shù)的積，則稱三個實數(shù)x，y，z構(gòu)成“友好數(shù)”．
【材料二】若關(guān)于x的一元二次方程的兩根分別為，則有: ．
問題解決：
(1)實數(shù)4，6，9可以構(gòu)成“友好數(shù)”嗎？請說明理由；
(2)若三點均在函數(shù)（k為常數(shù)且）的圖象上，且這三點的縱坐標(biāo)構(gòu)成“友好數(shù)”，求實數(shù)t的值；
(3)設(shè)三個實數(shù)是“友好數(shù)”且滿足，其中是關(guān)于x的一元二次方程的兩個根，是拋物線與x軸的一個交點的橫坐標(biāo)．
①的值等于______________；
②設(shè)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．
【答案】(1)4，6，9可以構(gòu)成“友好數(shù)”，理由見解析
(2) 或
(3)① 0， ②
【分析】（1）根據(jù) “友好數(shù)”的定義即可得出4，6，9可以構(gòu)成“友好數(shù)”；
（2）由y1，y2，y3構(gòu)成“友好數(shù)”，分三種情況討論求解即可；
（3）①由三個實數(shù)是“友好數(shù)”且滿足，其中是關(guān)于x的一元二次方程的兩個根得，進而求得a+b+c=0；
②由①得，從而有，進而求得求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．
（1）
解：∵62＝4×9，
∴4，6，9可以構(gòu)成“友好數(shù)”；
（2）
解：∵y1，y2，y3構(gòu)成“友好數(shù)”，
∴有三種可能：
①，由題得，即t2＝（t﹣1）（t+1），無解．
②，由題得，即（t﹣1）2＝t（t+1），解得．
③，由題得，即（t+1）2＝t（t﹣1），解得．
∴滿足條件的 或 ；
（3）
①∵三個實數(shù)是“友好數(shù)”且滿足，其中是關(guān)于x的一元二次方程的兩個根，
∴，
∴，
∵是拋物線與x軸的一個交點的橫坐標(biāo)，
∴a+b+c=0，
故答案為0；
②由①得 a+b+c＝0， 兩邊同除以a，得
，
∴，
∴，
即函數(shù)關(guān)系式為：．
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的解析式，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及新定義，正確理解新定義是解題的關(guān)鍵．
14．（2021春·浙江·八年級期末）如圖所示，中，．
（1）點P從點A開始沿邊向點B以的速度移動（至點B停止），點Q從點B開始沿邊向點C以的速度移動（至點C停止），當(dāng)一點停止運動后另一點也停止運動，如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)
①經(jīng)過幾秒，的面積等于？
②線段能否將分成面積相等的兩部分？若能，求出運動時間；若不能，說明理由．
（2）若點P沿射線方向從點A出發(fā)以的速度移動，點Q沿射線方向從點C出發(fā)以的速度移動，P，Q同時出發(fā)，幾秒后，的面積為？
【答案】（1）①3秒或5秒；②不能，理由見解析；（2）s或5s或s
【分析】（1）①設(shè)經(jīng)過x秒后，根據(jù)△PBQ的面積等于15cm2．得出方程，解之即可；
②根據(jù)三角形面積公式列出方程，根據(jù)一元二次方程根的判別式解答；
（2）分點P在線段AB上，點Q在線段CB上、點P在線段AB上，點Q在射線CB上、點P在射線AB上，點Q在射線CB上三種情況，根據(jù)三角形面積公式列出方程，解方程得到答案．
【解析】解：（1）①設(shè)經(jīng)過x秒后，△PBQ的面積等于15cm2．
由題意得：，
解得：x=3或x=5，
答：經(jīng)過3秒或5秒后，△PBQ的面積等于15cm2．
②不能，
理由如下：假設(shè)經(jīng)過y s，線段PQ能將△ABC分成面積相等的兩部分，
∵S△ABC==48（cm2），
∴，
解得：此方程無實數(shù)根，
∴線段PQ不能將△ABC分成面積相等的兩部分；
（2）①當(dāng)點P在線段AB上，點Q在線段CB上時，設(shè)運動時間為m s，此時0＜m＜6，
依題意得：，
解得：m=或（舍去），
∴m=；
②當(dāng)點P在線段AB上，點Q在射線CB上時，設(shè)運動時間為n s，此時6＜n＜8，
依題意得：，
解得：n1=n2=7；
③當(dāng)點P在射線AB上，點Q在射線CB上時，設(shè)運動時間為k s，此時k＞8，
依題意得：，
解得：k=（舍去）或，
∴k=，
綜上所述：經(jīng)過s或5s或s，△PBQ的面積為1cm2．
【點睛】本題考查的是三角形的面積計算、一元二次方程的解法，靈活運用分情況討論思想、正確列出方程是解題的關(guān)鍵．
15．（2020秋·浙江·九年級期末）已知關(guān)于x的一元二次方程．
（1）求證：這個方程的一根大于2，一根小于2；
（2）若對于時，相應(yīng)得到的一元二次方程的兩根分別為和和和，…，和和，試求的值．
【答案】（1）見解析；（2）
【分析】（1）設(shè)方程的兩根是，，得出，，代入，，求出其結(jié)果是，求出即可；
（2）得出，，把變形為，代入后得出，推出，求出即可．
【解析】解：（1）證明：設(shè)方程的兩根是，，
則，，
，
，
，
即這個方程的一根大于2，一根小于2；
（2），
對于，2，3，，2019，2020時，相應(yīng)得到的一元二次方程的兩根分別為和，和，和，，和，和，
．
【點睛】本題考查了根與系數(shù)的應(yīng)用，解（1）小題的關(guān)鍵是看看式子（α1-2）（β1-2）結(jié)果的符號，解（2）小題的關(guān)鍵是找出所求的式子的計算規(guī)律，本題題型較好，但有一定的難度．
16．（2021·浙江·九年級專題練習(xí)）已知關(guān)于x的方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0
（1）求證：無論k取何值，此方程總有實數(shù)根；
（2）若此方程有兩個整數(shù)根，求正整數(shù)k的值；
（3）若一元二次方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0滿足|x1﹣x2|＝3，求k的值．
【答案】（1）見解析；（2）k＝1或k＝3；（3）k的值為﹣3或0
【分析】（1）分k+1=0和k+1≠0兩種情況考慮：當(dāng)k+1=0時，方程為一元一次方程，有實數(shù)根；當(dāng)k+1≠0時，根的判別式△=（k-3）2≥0，由此可得出方程有實數(shù)根．綜上即可證出結(jié)論；
（2）由方程有兩個實數(shù)根，可得出k≠-1，利用求根公式求出x1、x2的值，由x1=-1和x2為整數(shù)以及k為正整數(shù)，即可求出k的值；
（3）結(jié)合（2）的結(jié)論即可得出關(guān)于k的含絕對值符號的分式方程，解方程即可得出結(jié)論，經(jīng)檢驗后，此題得解．
【解析】解：（1）證明：當(dāng)k+1=0，即k=-1時，原方程為-4x-4=0，
解得：x=-1；
當(dāng)k+1≠0，即k≠-1時，△=（3k-1）2-4（k+1）（2k-2）=k2-6k+9=（k-3）2≥0，
∴方程有實數(shù)根，
綜上可知：無論k取何值，此方程總有實數(shù)根；
（2）∵方程有兩個整數(shù)根，
∴，，且k≠﹣1，
∵x2為整數(shù)，k為正整數(shù)，
∴k=1或k=3；
（3）由（2）得x1=-1，，且k≠-1，
∴|x1-x2|=，
解得：k=-3或k=0，
經(jīng)檢驗k=﹣3或k=0是原方程的解，
故k的值為﹣3或0．
【點睛】本題考查了根的判別式、解含絕對值符號的分式方程以及利用公式法解方程，解題的關(guān)鍵是：（1）分k+1=0和k+1≠0兩種情況考慮；（2）找出x1=﹣1，；（3）找出關(guān)于k的含絕對值符號的分式方程．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，利用根的判別式的符號得出方程解的情況是關(guān)鍵．
17．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）閱讀如下材料，完成下列問題：
材料一：對于二次三項式求最值問題，有如下示例：
．因為，所以，所以，當(dāng)時，原式的最小值為2．
材料二：對于實數(shù)a，b，若，則．
完成問題：
（1）求的最小值；
（2）求的最大值；
（3）若實數(shù)m，n滿足．求的最大值．
【答案】（1）-5；（2）（3）
【分析】（1）按照材料一配方即可求最值；
（2）把原式化成，求最小值即可；
（3）根據(jù)已知得到，即或，代入求最值即可．
【解析】解：（1），因為，所以，所以，當(dāng)時，原式的最小值為-5．
（2），
當(dāng)取最小值時，原式最大，
由（1）可知，最小值為2，
此時的最大值為；
（3）∵，
∴，
，
或，
或，
=，
最大值是，的最大值為；
或=，
最大值是，的最大值為；
綜上，的最大值為
【點睛】本題考查了配方法求最值，解題關(guān)鍵是熟練運用配方法求代數(shù)式的最值．
18．（2023春·浙江·八年級階段練習(xí)）健康食品越來越受到人們的青睞，某公司在2016年推出兩種健康食品套餐，到年底共賣出萬份，其中套餐賣出萬份，兩種套餐共獲利潤萬元、已知銷售一份套餐可獲利潤元，銷售一份套餐可獲利潤元．
（1）用含的代數(shù)式表示；
（2）隨著市場需求不斷變化，經(jīng)營策略也隨之調(diào)整．2017年，該公司將每份套餐的利潤增加到元，每份套餐的利潤不變．經(jīng)核算，兩種套餐在這一年的銷售總量與2016年相同，其中套餐的銷售量增加，兩種套餐的總利潤增加萬元．
①求2017年每種套餐的銷售量；
②由于套餐的需求量逐年上漲，而原材料供應(yīng)不足，因此，2018年該公司將每份套餐的利潤在2017年的基礎(chǔ)上增加，2019年在2018年的基礎(chǔ)上又增加、若套餐在近三年銷售量不變的情況下，僅2019年一年就獲利萬元，求的值．
【答案】（1）（或）；（2）①2017年項套餐銷售量為萬份，2017年項套餐銷售量為萬份；② .
【分析】（1）根據(jù)題意，找出題目的等量關(guān)系，列出方程，解方程即可得到答案；
（2）①根據(jù)題意，先確定A和B套餐的銷售量，然后列出方程組，解方程組即可得到答案；
②分別求出B套餐2017年、2018年、2019年的盈利，然后列出方程，解方程即可．
【解析】解：（1）根據(jù)題意，B套餐賣出份，則
，
∴（或）；
依題意得，2017年項套餐銷售量為：萬份，
項套餐銷售量為：萬份，
根據(jù)題意得：
解得：
所以2017年項套餐銷售量為（萬份）
2017年項套餐銷售量為(萬份）
依題意可知，
2017年項套餐每份盈利元，
2018年項套餐每份盈利元，
2019年項套餐每份盈利元，
所以根據(jù)題意得：

設(shè)，則
解得：
(不符合題意，舍去）
．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)用，以及列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，正確理解題意，列出方程進行解題．
19．（2021春·浙江金華·八年級校考期中）如圖是證明勾股定理時用到的一個圖形，是和的邊長，顯然，我們把關(guān)于x的一元二次方程稱為“弦系一元二次方程”．請解決下列問題：
（1）判斷方程是否為“弦系一元二次方程”：______（填“是”或“否”）；
（2）求證：關(guān)于x的“弦系一元二次方程”必有實數(shù)根；
（3）若是“弦系一元二次方程”的一個根，且四邊形的周長是，求的面積．
【答案】（1）是；（2）證明見講解；（3）1
【分析】（1）利用a2+b2＝c2判定即可；
（2）只要證明△≥0即可解決問題．
（3）當(dāng)x＝﹣1時，有ac+b＝0，即a+bc，由2a+2bc＝6，推出c＝2，推出a2+b2＝c2＝4，a+b＝2，由（a+b）2＝a2+2ab+b2，可得ab＝2，由此即可解決問題．
【解析】解：（1）因為，b，a2+b2＝c2，
所以c，
所以，
故方程x2x0是“弦系一元二次方程”．
故答案為：是
（2）由題意，得△＝（c）2﹣4ab＝2c2﹣4ab，
∵a2+b2＝c2，
∴2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0，
即△≥0，
∴關(guān)于x的“弦系一元二次方程”ax2cx+b＝0必有實數(shù)根；
（3）解：當(dāng)x＝﹣1時，有ac+b＝0，即a+bc，
∵2a+2bc＝6，即2（a+b）c＝6，
∴3c＝6，
∴c＝2，
∴a2+b2＝c2＝4，a+b＝2，
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴ab＝2，
∴S△ABCab＝1．
【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用、一元二次方程根的判別式、完全平方公式等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
20．（2022·浙江嘉興·九年級專題練習(xí)）閱讀理解：德國著名數(shù)學(xué)家高斯（C．F．Gauss，1777年4月30日-1855年2月23日，物理學(xué)家、天文學(xué)家、大地測量學(xué)家．）被認(rèn)為是歷史上最重要的數(shù)學(xué)家之一，并有"數(shù)學(xué)王子"的美譽．高斯從小就善于觀察和思考．在他讀小學(xué)時候就能在課堂上快速的計算出 ，今天我們可以將高斯的做法歸納如下：
令 ①
②
（右邊相加 共 組）①+②：有 ，解得： 請類比以上做法，回答，
題目：如下圖，有一個形如六邊形的點陣，它的中心是一個點，算第一層，第二層每邊有兩個點，第三層每邊有三個點，依此類推．
（1） 填寫下表：
（2） 寫出第層所對應(yīng)的點數(shù)；
（3） 如果某一層共個點，你知道它是第幾層嗎?
（4） 寫出層的六邊形點陣的總點數(shù)；
（5） 如果六邊形點陣圖的總點數(shù)是個，你知道它共有幾層嗎?
【答案】（1）；（2） ；（3） 層；（4） ；（5） 層．
【分析】題干：根據(jù)倒序相加法計算即可；
（1）用該層對應(yīng)的點數(shù)18，加上前一格中所有層的總點數(shù)19即可得到答案；
（2）列出每一層上的點數(shù)得到規(guī)律即可得到答案；
（3）根據(jù)（2）得到的公式列方程解答；
（4）將前面各層上的點數(shù)相加得到，根據(jù)（1）的計算方法求出答案；
（5）根據(jù)（4）得到的公式列方程解答即可.
【解析】題干：設(shè)①，②，
①+②得，
∴
∴答案：
（1） 第四列應(yīng)填：18+19=37；
（2）第1層上的點數(shù)為1，
第2層上的點數(shù)為6=，
第3層上的點數(shù)為6+6=，
第4層上的點數(shù)為6+6+6=，
，
第n層上的點數(shù)為，；
（3）=96，
解答n=17，
∴第 層共 個點；
（4）
=
=；
（5）由（4）得=631，
解得n=15，或n=-14（舍去），
∴六邊形點陣圖的第層的總點數(shù)是個.
【點睛】此題考查圖形類規(guī)律的探究，一元二次方程的實際應(yīng)用，有理數(shù)的混合運算，正六邊形的性質(zhì)，觀察并運算得到點陣圖的計算規(guī)律，并運算高斯速算法進行計算是解題的關(guān)鍵.
21．（2019·浙江杭州·九年級）設(shè)關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，．
（1）求的值；
（2）求證：，且；
（3）若，試求的最大值．
【答案】（1）；（2）見解析；（3）取最大值．
【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，得到，，再將原式轉(zhuǎn)化為代入即可得解；
（2）一元二次方程根的判別式大于等于0，以及兩個和與積的關(guān)系判斷即可；
（3）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合（1）答案以及已知不等式求解即可．
【解析】（1）解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，，
∴，
∴
（2）證明：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，
∴Δ=1-4a≥0,
∴，即，
∴，，
由此可知：且
∴且
命題得證．
（3）解：由題，
當(dāng)時，取最大值，
又∵，
∴滿足條件．
即當(dāng)時，取最大值．
【點睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，以及根的判別式，熟練掌握這些知識是解題的關(guān)鍵．
22．（2021春·浙江杭州·八年級統(tǒng)考期末）對于代數(shù)式ax2+bx+c，若存在實數(shù)n，當(dāng)x＝n時，代數(shù)式的值也等于n，則稱n為這個代數(shù)式的不變值．例如：對于代數(shù)式x2，當(dāng)x＝0時，代數(shù)式等于0；當(dāng)x＝1時，代數(shù)式等于1，我們就稱0和1都是這個代數(shù)式的不變值．在代數(shù)式存在不變值時，該代數(shù)式的最大不變值與最小不變值的差記作A．特別地，當(dāng)代數(shù)式只有一個不變值時，則A＝0．
（1）代數(shù)式x2﹣2的不變值是 ，A＝ ．
（2）說明代數(shù)式3x2+1沒有不變值；
（3）已知代數(shù)式x2﹣bx+1，若A＝0，求b的值．
【答案】（1）﹣1和2；3；（2）見解析；（3）﹣3或1
【分析】（1）根據(jù)不變值的定義可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，再做差后可求出A的值；
（2）由方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式可得出方程3x2﹣x+1＝0沒有實數(shù)根，進而可得出代數(shù)式3x2+1沒有不變值；
（3）由A＝0可得出方程x2﹣（b+1）x+1＝0有兩個相等的實數(shù)根，進而可得出△＝0，解之即可得出結(jié)論．
【解析】解：（1）依題意，得：x2﹣2＝x，
即x2﹣x﹣2＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝2，
∴A＝2﹣（﹣1）＝3．
故答案為﹣1和2；3．
（2）依題意，得：3x2 +1＝x，
∴3x2﹣x+1＝0，
∵△＝（﹣1）2﹣4×3×1＝﹣11＜0，
∴該方程無解，即代數(shù)式3x2+1沒有不變值．
（3）依題意，得：方程x2﹣bx+1= x即x2﹣（b+1）x+1＝0有兩個相等的實數(shù)根，
∴△＝[﹣（b+1）]2﹣4×1×1＝0，
∴b1＝﹣3，b2＝1．
答：b的值為﹣3或1．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及根的判別式，根據(jù)不變值的定義，求出一元二次方程的解是解題的關(guān)鍵．
23．（2023春·浙江杭州·九年級專題練習(xí)）2月20日，北京冬奧會圓滿落幕，在無與倫比的盛會背后，有著許多志愿者的辛勤付出．在志愿者招募之時，甲、乙兩所大學(xué)積極開展了志愿者選拔活動，現(xiàn)從兩所大學(xué)參加測試的志愿者中分別隨機抽取了10名志愿者的測試成績進行整理和分析（成績得分用x表示，共分成四組：A．，B．，C．，D．），下面給出了部分信息：
甲校10名志愿者的成績（分）為：．
乙校10名志愿者的成績分布如扇形圖所示，其中在C組中的數(shù)據(jù)為：．
甲、乙校抽取的志愿者成績統(tǒng)計表
(1)由上表填空：_______，_______，______________；
(2)你認(rèn)為哪個學(xué)校的志愿者測試成績的總體水平較好？請至少寫出兩條理由；
(3)若甲校參加測試的志愿者有200名，請估計甲校成績在90分及以上的約有多少人．
【答案】(1)
(2)乙校較好，理由見解析
(3)甲校成績在90分及以上的約有80人
【分析】（1）先通過扇形統(tǒng)計圖求出各組數(shù)據(jù)的情況，即可求出a、b的值，再根據(jù)題目中給出的甲校的具體值，就可以算出c和的值；
（2）可從中位數(shù)、眾數(shù)和方差的角度進行分析即可；
（3）算出甲校90分以上人數(shù)的占比，再用總?cè)藬?shù)200去乘即可；
【解析】（1）由扇形統(tǒng)計圖數(shù)據(jù)可知，C組數(shù)據(jù)有三人，占比為30%
A的圓心角度數(shù)為36°
∴A的占比為×100%=10%
∴B的占比=1-10%-30%-40%=20%
∴a=20
又∵乙校各檔次的人數(shù)分別為1人、2人、3人、4人
∴中位數(shù)是第五位和第六位數(shù)，分別是88和89
∴b==88.5
根據(jù)方差的公式，可算出82.8
觀察甲的數(shù)據(jù)，可發(fā)現(xiàn)眾數(shù)c為87.
（2）解：從中位數(shù)來看，乙校的中位數(shù)高于甲校的中位數(shù)，所以乙校志愿者的成績的中等水平好于甲校；
從眾數(shù)來看，乙校的眾數(shù)高于甲校的眾數(shù)，所以乙校大多數(shù)志愿者的成績好于甲校大多數(shù)志愿者的成績；
從方差來看，乙校的方差低于甲校的方差，乙校志愿者的成績更加穩(wěn)定，所以我認(rèn)為乙校較好．（可以從平均數(shù)、中位數(shù)、方差、眾數(shù)等角度分析，言之有理即可）
（3）解：甲校成績在90分以上的有4人，占比為40%；
∴（人）
答：甲校成績在90分及以上的約有80人．
【點睛】本題考查扇形統(tǒng)計圖和表格信息的綜合，求平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和方差，以及用樣本的數(shù)據(jù)估計總體，理解各統(tǒng)計圖的信息并靈活運用是解決本題的關(guān)鍵．
24．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）某公司有名職員，公司食堂供應(yīng)午餐．受新冠肺炎疫情影響，公司停工了一段時間．為了做好復(fù)工后職員取餐、用餐的防疫工作，食堂進行了準(zhǔn)備，主要如下：①將過去的自主選餐改為提供統(tǒng)一的套餐；②調(diào)查了全體職員復(fù)工后的午餐意向，結(jié)果如圖所示；③設(shè)置不交叉的取餐區(qū)和用餐區(qū)，并將用餐區(qū)按一定的間距要求調(diào)整為可同時容納人用餐；④規(guī)定：排隊取餐，要在食堂用餐的職員取餐后即進入用餐區(qū)用餐；⑤隨機邀請了名要在食堂取餐的職員進行了取餐、用餐的模擬演練，這名職員取餐共用時，用餐時間（含用餐與回收餐具）如表所示．為節(jié)約時間，食堂決定將第一排用餐職員人的套餐先擺放在相應(yīng)餐桌上，并在開始用餐，其他職員則需自行取餐．
（1）食堂每天需要準(zhǔn)備多少份午餐？
（2）食堂打算以參加演練的名職員用餐時間的平均數(shù)為依據(jù)進行規(guī)劃：前一批職員用餐后，后一批在食堂用餐的職員開始取餐．為避免擁堵，需保證每位取餐后進入用餐區(qū)的職員都有座位用餐，則該規(guī)劃是否可行？如果可行，請說明理由，并依此規(guī)劃，根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計的數(shù)據(jù)設(shè)計一個時間安排表，使得食堂不超過就可結(jié)束取餐、用餐服務(wù)，開始消殺工作；如果不可行，也請說明理由．
【答案】（1）460份；（2）可行，見解析，
【分析】（1）根據(jù)扇形圖的數(shù)據(jù)，可以直接求出食堂需準(zhǔn)備午餐份數(shù)；
（2）先估計出參加演練的100名職員用餐時間的平均數(shù)為19min，取餐職員取餐時間平均為0.1 min，根據(jù)這個數(shù)據(jù)對第一批和第二批的排隊取餐、用餐時間分別進行預(yù)估，即可解答本題．
【解析】（1）解法一：500×64%＋500×28%＝460（份）
答：食堂每天需要準(zhǔn)備460份午餐；
解法二：500－500×8%＝460（份）
答：食堂每天需要準(zhǔn)備460份午餐；
（2）解：①可以估計參加演練的100名職員用餐時間的平均數(shù)為：
=19（min），
參加演練的100名職員取餐的人均時間：（min）；
可以估計：該公司用餐職員的用餐時間平均為19 min，
取餐職員取餐時間平均為0.1 min；
根據(jù)表格，可以估計第一批職員用餐19 min后，
空出的座位有：160×60%＝96（個）.
而第二批職員此時開始排隊取餐，
取完餐坐滿這96個空位所用的時間約為：96×0.1＝9.6（min）；
根據(jù)表格，可以估計：第一批職員用餐19 min后，剩下的職員在6 min后即可全部結(jié)束用餐，
因為9.6＞6，
所以第二批取餐進入用餐區(qū)的職員都能保證有座位；
②可以估計140名只取餐的職員，需要14min可取完餐；
可設(shè)計時間安排表如下：
【點睛】本題主要考查的是數(shù)據(jù)的統(tǒng)計與分析，解題的關(guān)鍵是讀準(zhǔn)題意，認(rèn)真分析每批次人取餐和用餐時間．
25．（2023春·八年級單元測試）某市民用水?dāng)M實行階梯水價，每人每月用水量中不超過w噸的部分按4元/噸收費，超出w噸的部分按10元/噸收費，該市隨機調(diào)查居民，獲得了他們3月份的每人用水量數(shù)據(jù)，繪制出如圖不完整的兩張統(tǒng)計圖表：請根據(jù)以下圖表提供的信息，解答下列問題：
表1
(1)觀察表1可知這次抽樣調(diào)查的中位數(shù)落在第_______組，表1中m的值為_________，n的值為_______；表2扇形統(tǒng)計圖中“用水量”部分的的圓心角為___________．
(2)如果w為整數(shù)，那么根據(jù)此次調(diào)查，為使80%以上居民在3月份的每人用水價格為4元/噸，w至少定為多少噸？
(3)利用（2）的結(jié)論和表1中的數(shù)據(jù)，假設(shè)表1中同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點值代替，估計該市居民3月份的人均水費．
【答案】(1)四##0.15##250##72°
(2)3
(3)8.8元
【分析】（1）用1減去其余七個小組的頻率得到n值為0.15；用第一組的頻數(shù)與頻率求出這次隨機抽查總?cè)藬?shù)為1000人，用總?cè)藬?shù)1000乘0.25求出m值為250人；用1000乘n值0.15得到第二組人數(shù)為150人，根據(jù)前三組人數(shù)和與前四組人數(shù)和推出中位數(shù)落在第四組；
（2）前五組人數(shù)和超過80%，w值確定在第五組最高值3噸；
（3）總水費等于除以總?cè)藬?shù)1000得到人均水費，總水費為4元/噸的部分總水費與10元/噸的部分總水費的和，每部分總水費等于水總噸數(shù)乘以單價，每部分水總噸數(shù)等于各組人均噸數(shù)乘以人數(shù)．
【解析】（1）n=1-(0.1+0.2+0.25+0.15+0.05+0.05+0.05)=0.15，
（人），
（人）
，
（人），
∵100+150+200=450501，
∴第500與第501個數(shù)在第四組，中位數(shù)落在第四組；
故答案為，四；0.15；250；72°；
（2）∵0.1+0.15+0.2+0.25+0.15=0.85=85%>80%，
∴為使80%以上居民在3月份的每人用水價格為4元/噸，w至少定為3噸；
（3）（元）．
答：估計該市居民3月份的人均水費為8.8元．
【點睛】本題考查了階梯計費，頻數(shù)與頻率，中位數(shù)，熟練掌握分段階梯計費意義，超出部分意義，頻數(shù)與頻率的定義中位數(shù)定義和算法，是解決此類問題的關(guān)鍵．
26．（2018·浙江杭州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝13厘米，BC＝10厘米，AD⊥BC于點D，動點P從點A出發(fā)以每秒1厘米的速度在線段AD上向終點D運動，設(shè)動點運動時間為t秒.
(1)求AD的長；
(2)當(dāng)P、C兩點的距離為時，求t的值；
(3)動點M從點C出發(fā)以每秒2厘米的速度在射線CB上運動．點M與點P同時出發(fā)，且當(dāng)點P運動到終點D時，點M也停止運動．是否存在t值，使得？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．
備用圖
【答案】（1）12cm（2）（3）t的值為或或
【解析】（1）∵ AB=AC，AD⊥BC；
∴ BD=BC=5cm，且∠ADB=90．
∴ ．
即AD的長為12cm．
（2）AP= t，PD="12" -t，
又由，得．
解得，．
（3）假設(shè)存在t，使得S△PMD＝S△ABC．
① 若點M在線段CD上，即時，PD=12－t，DM=5－2t；
由S△PMD＝S△ABC，即
解，得 （舍去）； ． ………………………… 8分
② 若點M在射線DB上，即．
由S△PMD＝S△ABC 得
解，得；. ………………………… 10分
綜上，存在t的值為或或，使得S△PMD＝S△ABC．（11分）
（1）根據(jù)勾股定理求得AD的長；
（2）表示出PD=12-t，S△PDC=15，得 (12-t)=15，求得t的值即可；
（3）假設(shè)存在t，使得S△PMD= S△ABC．分兩種情況進行討論：①若點M在線段CD上，②若點M在射線DB上，從而求得t的值；
27．（2022春·浙江杭州·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在長方形ABCD中，邊AB、BC的長（AB＜BC）是方程x2-7x+12=0的兩個根．點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿△ABC邊 A→B→C→A的方向運動，運動時間為t（秒）．
（1）求AB與BC的長；
（2）當(dāng)點P運動到邊BC上時，試求出使AP長為時運動時間t的值；
（3）當(dāng)點P運動到邊AC上時，是否存在點P，使△CDP是等腰三角形？若存在，請求出運動時間t的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1) AB＝3，BC＝4；(2) t＝4；(3) t為10秒或9.5秒或秒時，△CDP是等腰三角形．
【分析】（1）解一元二次方程即可求得邊長；
（2）結(jié)合圖形，利用勾股定理求解即可；
（3）根據(jù)題意，分為：PC＝PD，PD＝PC，PD＝CD，三種情況分別可求解.
【解析】解：(1)∵x2－7x＋12＝0，
∴(x－3)(x－4)＝0，
∴＝3或＝4，
則AB＝3，BC＝4，
(2)由題意得，
∴，(舍去)，
則t＝4時，AP＝．
(3)存在點P，使△CDP是等腰三角形．
①當(dāng)PC＝PD＝3時， t＝ ＝10(秒) ．
②當(dāng)PD＝PC(即P為對角線AC中點)時，AB＝3，BC＝4．
∴AC＝ ＝5，CP1＝ AC＝2.5，
∴t＝ ＝9.5(秒)．
③當(dāng)PD＝CD＝3時，作DQ⊥AC于Q，
，，
∴PC＝2PQ＝，
∴(秒)，
可知當(dāng)t為10秒或9.5秒或秒時，△CDP是等腰三角形．
28．（2022秋·浙江溫州·八年級瑞安市安陽實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)是，連接．若動點從點出發(fā)沿著線段以個單位每秒的速度向終點運動，設(shè)運動時間為秒．
(1)求線段的長．
(2)連接，當(dāng)為等腰三角形時，過點作線段的垂線與直線交于點，求點的坐標(biāo)；
(3)已知點為的中點，連接，點關(guān)于直線的對稱點記為(如圖2)，在整個運動過程中，若點恰好落在內(nèi)部(不含邊界)，請直接寫出的取值范圍．
【答案】(1)
(2),,
(3)當(dāng)時，點恰好落在內(nèi)部(不含邊界)
【分析】（1）勾股定理直接求解即可；
（2）分三種情形，分別討論，即可求解；
（3）當(dāng)在上時，過點作軸于點，過點作，過點作軸于點，因為點為的中點，由（2）可知，，根據(jù)等面積法求得，進而得出, , ，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出，，繼而求得，在中，，即可求解．
【解析】（1）解：∵點的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)是，
∴，
∴;
（2）當(dāng)時，如圖，過點作軸于點，軸于點，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
設(shè),
在中，，
在中，，
∴
即
解得：，
∴；
當(dāng)時，如圖，過點作軸于點，軸于點，過點作于點，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
設(shè)，，
在中，，
解得：，
即，
在中，，
在中，，
∴，
即，
解得：，
∴，
當(dāng)時，如圖，
∵，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
綜上所述，或或，
（3）如圖，當(dāng)在上時，過點作軸于點，過點作，過點作軸于點，
∵點為的中點，
由（2）可知，，
則，
∵， ，
∴，
∴，
∴,
∴，
∵，
∴，
∵對稱，∴，，
∴，
即，
∴，
在中，
∴
解得（舍去）或
當(dāng)點運動到點，此時重合，此時，解得，
∴當(dāng)時，點恰好落在內(nèi)部(不含邊界) ．
【點睛】本題考查了勾股定理，解一元二次方程，坐標(biāo)與圖形，等腰三角形的性質(zhì)，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
甲校
乙校
平均數(shù)
87
87
中位數(shù)
87.5
b
方差
79.4
眾數(shù)
c
95
用餐時間
人數(shù)
時間
取餐、用餐安排
12:00—12:19
第一批160名在食堂用餐的職員用餐；
僅在食堂取餐的140名職員取餐
12:19—13:00
第二批160名在食堂用餐的職員取餐、用餐
13:00
食堂進行消殺工作
組別
月用水量x噸/人
頻數(shù)
頻率
第一組
100
0.1
第二組
n
第三組
200
0.2
第四組
m
0.25
第五組
150
0.15
第六組
50
0.05
第七組
50
0.05
第八組
50
0.05
合計
1

相關(guān)試卷

浙教版八年級數(shù)學(xué)下冊期中期末挑戰(zhàn)滿分沖刺卷期末模擬卷01(原卷版+解析)：

這是一份浙教版八年級數(shù)學(xué)下冊期中期末挑戰(zhàn)滿分沖刺卷期末模擬卷01(原卷版+解析)，共26頁。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

浙教版八年級數(shù)學(xué)下冊期中期末挑戰(zhàn)滿分沖刺卷期中模擬卷01(原卷版+解析)：

這是一份浙教版八年級數(shù)學(xué)下冊期中期末挑戰(zhàn)滿分沖刺卷期中模擬卷01(原卷版+解析)，共25頁。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

蘇科版八年級數(shù)學(xué)下冊期中期末滿分沖刺卷特訓(xùn)06期中選填壓軸題(題型歸納)(原卷版+解析)：

這是一份蘇科版八年級數(shù)學(xué)下冊期中期末滿分沖刺卷特訓(xùn)06期中選填壓軸題(題型歸納)(原卷版+解析)，共76頁。試卷主要包含了單選題，填空題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

蘇科版七年級數(shù)學(xué)下冊滿分沖刺卷特訓(xùn)03第8-9章壓軸題(江蘇精選歸納)(原卷版+解析)

蘇科版七年級數(shù)學(xué)下冊滿分沖刺卷特訓(xùn)03第8-9章壓軸題(江蘇精選歸納)(原卷版+解析)
蘇科版七年級數(shù)學(xué)下冊滿分沖刺卷特訓(xùn)01平面圖形的基本認(rèn)識(二)壓軸題(江蘇精選歸納)(原卷版+解析)

蘇科版七年級數(shù)學(xué)下冊滿分沖刺卷特訓(xùn)01平面圖形的基本認(rèn)識(二)壓軸題(江蘇精選歸納)(原卷版+解析)
滬教版七年級數(shù)學(xué)上冊期中期末挑戰(zhàn)滿分沖刺卷特訓(xùn)02期中解答壓軸題(第9章)(原卷版+解析)

滬教版七年級數(shù)學(xué)上冊期中期末挑戰(zhàn)滿分沖刺卷特訓(xùn)02期中解答壓軸題(第9章)(原卷版+解析)
滬教版七年級數(shù)學(xué)上冊期中期末挑戰(zhàn)滿分沖刺卷特訓(xùn)01期中選填壓軸題(第9章)(原卷版+解析)

滬教版七年級數(shù)學(xué)上冊期中期末挑戰(zhàn)滿分沖刺卷特訓(xùn)01期中選填壓軸題(第9章)(原卷版+解析)
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期中專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部