1．如圖所示四個(gè)圖標(biāo)中，屬于中心對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知一元二次方程x2＋k﹣3＝0有一個(gè)根為1，則k的值為（ ）
A．﹣2B．2C．﹣4D．4
3．下列各式中錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．=2
C．D．
4．如果一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的3倍，則這個(gè)多邊形是（ ）
A．三角形B．四邊形C．六邊形D．八邊形
5．用反證法證明命題“在三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角大于或等于60°”時(shí)，第一步應(yīng)先假設(shè)（ ）
A．三角形中有一個(gè)內(nèi)角小于B．三角形中有一個(gè)內(nèi)角大于
C．三角形的三個(gè)內(nèi)角都小于D．三角形的三個(gè)內(nèi)角都大于
6．2020年年初，新型冠狀病毒侵襲全國．全國人民在中國共產(chǎn)黨領(lǐng)導(dǎo)下，眾志成城，在抗疫斗爭中取得決定性勝利．我市某中學(xué)在“我為抗疫獻(xiàn)愛心”的捐贈(zèng)活動(dòng)中，某班40位同學(xué)捐款金額統(tǒng)計(jì)如下：
則在這次活動(dòng)中，該班同學(xué)捐款金額的眾數(shù)和中位數(shù)是（ ）A．B．C．D．
7．某微信群規(guī)定，群內(nèi)的每個(gè)人都要發(fā)一個(gè)紅包，并保證群內(nèi)其他人都能搶到且自己不能搶自己發(fā)的紅包，若此次搶紅包活動(dòng)，群內(nèi)所有人共收到1640個(gè)紅包，設(shè)群內(nèi)共有x個(gè)人，根據(jù)題意可列方程（ ）
A．B．
C．D．
8．如圖，在中，D是邊的中點(diǎn)，是的角平分線，于點(diǎn)E，連接．若，，則的長度是（ ）
A．4B．4.5C．5D．5.5
9．對于一元二次方程，下列說法：
①若，則；
②若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)根；
③若c是方程的一個(gè)根，則一定有成立；
②若是一元二次方程的根，則其中正確的（ ）
A．只有①②④B．只有①②③C．①②③④D．只有①②
10．如圖，在直角三角形中，，，，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，連接，以，為鄰邊作平行四邊形，連接，則的最小值為（ ）
A．3B．C．D．
二、填空題
11．二次根式中的取值范圍是______．
12．一組數(shù)據(jù)1，3，5，7，9的方差為________．
13．第五套人民幣中的5角硬幣色澤為鎳白色，正、反面的內(nèi)周邊緣均為正十一邊形，則其內(nèi)角和為______．
14．如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)是對角線上兩點(diǎn)，在條件①；②；③；④中，選擇一個(gè)條件添加，使四邊形DEBF是平行四邊形，可添加的條件有________．（寫出所有正確條件的序號）
15．如圖，平行四邊形的對角線，相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別是線段、的中點(diǎn)，若，的周長是18，則__________．
16．如圖，在?ABCD中，AD＝2AB，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上（不與A、B重合），連接EF、CF，則以下結(jié)論：
①∠DCF＝∠BCD；
②EF＝CF；
③S△BEC＜2S△CEF；
④∠DFE＝4∠AEF．
一定成立的是______．
三、解答題
17．計(jì)算：
(1)
(2)
18．解方程：
(1)
(2)
19．如圖，在中，E、F分別為邊的中點(diǎn)，連接．
(1)求證：四邊形是平行四邊形．
(2)當(dāng)時(shí)，求與之間的距離．
20．已知關(guān)于x的一元二次方程．
（1）若此方程的一個(gè)根是，求方程的另一根；
（2）求證：這個(gè)一元二次方程一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（3）設(shè)該一元二次方程的兩根為a，b，且2，a，b分別是一個(gè)直角三角形的三邊長，求m的值．
21．弘揚(yáng)中華傳統(tǒng)文化，感受中華詩詞的獨(dú)特魅力，校團(tuán)委會(huì)舉辦首屆“校園詩詞大會(huì)”，初賽共10道題，每題10分，王敏從初賽名單中隨機(jī)抽取部分同學(xué)的成績，繪制出如下的統(tǒng)計(jì)圖（1）和圖（2）．請根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：
(1)圖（1）a的值為___，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
(2)求被抽取的初賽成績的平均數(shù)，眾數(shù)和中位數(shù)；
(3)如果初賽成績在90分或90分以上的同學(xué)進(jìn)入復(fù)賽，請估計(jì)參加初賽的200位同學(xué)中有多少同學(xué)可以參加復(fù)賽．
22．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E、F分別是BC、AC的中點(diǎn)，延長BA到點(diǎn)D，使AB＝2AD，連接DE、DF、AE、EF，AF與DE交于點(diǎn)O．
(1)試說明AF與DE互相平分；
(2)若AB＝8，BC＝12，求DE的長．
23．某公司投資新建了一商場，共有商鋪40間，據(jù)預(yù)測，當(dāng)每間的年租金定為10萬元時(shí)，可全部租出，每間的年租金每上漲萬元，就要少租出1間．
(1)當(dāng)每間商鋪的年租金定為15萬元時(shí)，能租出多少間？
(2)當(dāng)租出的商鋪為32間時(shí)，求該公司年租金？
(3)若該公司要為租出的商鋪每間每年交各種費(fèi)用2萬元，未租出的商鋪每間每年交各種費(fèi)用1萬元．當(dāng)每間商鋪的年租金定為多少萬元時(shí)，給公司的年收益（收益＝租金－各種費(fèi)用）為380萬元？
24．如圖，四邊形ABCD中，AB//CD，∠B＝∠D，點(diǎn)E為BC延長線上一點(diǎn)，連接AE，AE交CD于H，∠DCE的平分線交AE于G．
(1)求證：四邊形ABCD為平行四邊形；
(2)如圖1，若AB＝2AD＝10，H為CD的中點(diǎn)，HE＝6，求AC的長；
(3)如圖2，若∠BAC＝∠DAE，∠AGC＝2∠CAE，求∠CAE的度數(shù)．
金額（元）
20
30
35
50
100
學(xué)生數(shù)（人）
3
7
5
15
10
2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期期中模擬卷01
一、單選題
1．如圖所示四個(gè)圖標(biāo)中，屬于中心對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義進(jìn)行判斷，即可得出答案．
【解析】解：∵選項(xiàng)B、C、D中的圖形不能找到某一點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后和原圖形完全重合，∴都不是中心對稱圖形，故不符合題意；
∴選項(xiàng)A中的圖形能找到某一點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后和原圖形完全重合，∴是中心對稱圖形，故符合題意．
故選：A
【點(diǎn)睛】本題主要考查了中心對稱圖形．熟練掌握中心對稱圖形的概念是解本題的關(guān)鍵．把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對稱中心．
2．已知一元二次方程x2＋k﹣3＝0有一個(gè)根為1，則k的值為（ ）
A．﹣2B．2C．﹣4D．4
【答案】B
【分析】根據(jù)根的含義將代入一元二次方程x2＋k﹣3＝0求解即可．
【解析】解：∵一元二次方程x2＋k﹣3＝0有一個(gè)根為1，
∴將代入得，，解得：．
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查了已知一元二次方程的解求參數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程解得概念．
3．下列各式中錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．=2
C．D．
【答案】A
【分析】利用二次根式的加減法對A、C進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的性質(zhì)對B進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的除法法則對D進(jìn)行判斷．
【解析】解：A、與不能合并，所以A選項(xiàng)符合題意；
B、原式＝＝2，所以B選項(xiàng)不符合題意；
C、原式＝2-＝，所以C選項(xiàng)不符合題意；
D、原式＝2＝2，所以D選項(xiàng)不符合題意．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后合并同類二次根式即可，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑是解題的關(guān)鍵．
4．如果一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的3倍，則這個(gè)多邊形是（ ）
A．三角形B．四邊形C．六邊形D．八邊形
【答案】D
【分析】邊形的內(nèi)角和可以表示成，外角和為360°，根據(jù)題意列方程求解．
【解析】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為，依題意，得
，
解得，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的內(nèi)角和與外角和，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
5．用反證法證明命題“在三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角大于或等于60°”時(shí)，第一步應(yīng)先假設(shè)（ ）
A．三角形中有一個(gè)內(nèi)角小于B．三角形中有一個(gè)內(nèi)角大于
C．三角形的三個(gè)內(nèi)角都小于D．三角形的三個(gè)內(nèi)角都大于
【答案】C
【分析】反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立，可據(jù)此進(jìn)行判斷．
【解析】解：用反證法證明命題“三角形中至少有一個(gè)角大于或等于60°”時(shí)，
第一步應(yīng)假設(shè)這個(gè)三角形中三個(gè)內(nèi)角內(nèi)角都小于60°，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是反證法的應(yīng)用，反證法的一般步驟是：①假設(shè)命題的結(jié)論不成立；②從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；③由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定原命題的結(jié)論正確．
6．2020年年初，新型冠狀病毒侵襲全國．全國人民在中國共產(chǎn)黨領(lǐng)導(dǎo)下，眾志成城，在抗疫斗爭中取得決定性勝利．我市某中學(xué)在“我為抗疫獻(xiàn)愛心”的捐贈(zèng)活動(dòng)中，某班40位同學(xué)捐款金額統(tǒng)計(jì)如下：
則在這次活動(dòng)中，該班同學(xué)捐款金額的眾數(shù)和中位數(shù)是（ ）A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)眾數(shù)與中位數(shù)定義即可得出答案．
【解析】解：從表格中得知某班40位同學(xué)中捐款金額重復(fù)最多的是捐50元，
∴該班同學(xué)捐款金額的眾數(shù)是50元，
∵40為偶數(shù)，中位數(shù)位于，21兩人捐款的平均數(shù)，
∵捐款數(shù)額已經(jīng)從小到大進(jìn)行排序，3+7+5=1521，
∴第20位，21位捐款都是50元，元，
∴該班同學(xué)捐款金額的中位數(shù)是50元，
∴該班同學(xué)捐款金額的眾數(shù)和中位數(shù)是均是50元，50元．
故選擇C．
【點(diǎn)睛】本題考查集中趨勢的兩種量中位數(shù)與眾數(shù)，掌握集中趨勢的兩種量中位數(shù)與眾數(shù)是解題關(guān)鍵．
7．某微信群規(guī)定，群內(nèi)的每個(gè)人都要發(fā)一個(gè)紅包，并保證群內(nèi)其他人都能搶到且自己不能搶自己發(fā)的紅包，若此次搶紅包活動(dòng)，群內(nèi)所有人共收到1640個(gè)紅包，設(shè)群內(nèi)共有x個(gè)人，根據(jù)題意可列方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)該群一共有x人，則每人收到個(gè)紅包，根據(jù)群內(nèi)所有人共收到1640個(gè)紅包，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．
【解析】解：設(shè)該群一共有x人，則每人收到個(gè)紅包，
依題意，得：，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
8．如圖，在中，D是邊的中點(diǎn)，是的角平分線，于點(diǎn)E，連接．若，，則的長度是（ ）
A．4B．4.5C．5D．5.5
【答案】C
【分析】延長交于點(diǎn)F，通過證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)三角形中位線定理得出，即可得出結(jié)果．
【解析】解：延長，交于點(diǎn)F．
∵平分，
∴，，
在與中，
∴，
∴，，
又∵D是中點(diǎn)，
∴，
∴是的中位線，
∴．
∴．
故選C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形中位線，全等三角形等．熟練掌握三角形中位線定理，角平分線定義和垂直定義，三角形全等判定和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．
9．對于一元二次方程，下列說法：
①若，則；
②若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)根；
③若c是方程的一個(gè)根，則一定有成立；
②若是一元二次方程的根，則其中正確的（ ）
A．只有①②④B．只有①②③C．①②③④D．只有①②
【答案】A
【分析】根據(jù)一元二次方程的根、一元二次方程的根的判別式、等式的性質(zhì)解決此題．
【解析】①當(dāng)x=1時(shí)，a×12+b×1+c=a+b+c=0，那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根或有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)b2-4ac≥0成立，那么①一定正確．
②方程ax2+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則-4ac＞0，那么b2-4ac＞0，故方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有兩個(gè)不相等的實(shí)根，進(jìn)而推斷出②正確．
③由c是方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根，得ac2+bc+c=0．當(dāng)c≠0，則ac+b+1=0；當(dāng)c=0，則ac+b+1不一定等于0，那么③不一定正確．
④(2ax0+b)2＝4a2x02+b2+4abx0，由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0．由x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，則ax02+bx0+c＝0成立，那么④正確．
綜上：正確的有①②④，共3個(gè)．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判別式、等式的性質(zhì)，熟練掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判別式、等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
10．如圖，在直角三角形中，，，，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，連接，以，為鄰邊作平行四邊形，連接，則的最小值為（ ）
A．3B．C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)PQ與AC交于點(diǎn)O，作于，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得，根據(jù)勾股定理得，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，根據(jù)，得，當(dāng)P與重合時(shí)，OP的值最小，則PQ的值最小，進(jìn)行計(jì)算即可得．
【解析】解：如圖所示，設(shè)PQ與AC交于點(diǎn)O，作于，
在中，，
∴，
∴，
∵四邊形PAQC是平行四邊形，
∴，
∵，，
∴，
當(dāng)P與重合時(shí)，OP的值最小，則PQ的值最小，
∴PQ的最小值為：，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，平行四邊形的性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì)和垂線段最短的性質(zhì)．
二、填空題
11．二次根式中的取值范圍是______．
【答案】
【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于或等于0列出不等式并求解即可．
【解析】解：根據(jù)被開方數(shù)大于或等于0得．
解得．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查二次根式有意義的條件，熟練掌握該知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
12．一組數(shù)據(jù)1，3，5，7，9的方差為________．
【答案】8
【分析】根據(jù)方差公式S2= 計(jì)算即可得出答案.
【解析】解：∵ 數(shù)據(jù)為1，3，5，7，9，
∴平均數(shù)為：=5，
∴方差為：[（1-5）2+（3-5）2+（5-5）2+（7-5）2+（9-5）2] =8.
故答案為8.
【點(diǎn)睛】本題考查方差的計(jì)算，熟記方差公式是解題關(guān)鍵.
13．第五套人民幣中的5角硬幣色澤為鎳白色，正、反面的內(nèi)周邊緣均為正十一邊形，則其內(nèi)角和為______．
【答案】1620°
【分析】邊形的內(nèi)角和是，把多邊形的邊數(shù)代入公式，就得到多邊形的內(nèi)角和．
【解析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式，得．
故答案為：1620°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形內(nèi)角與外角的知識(shí)點(diǎn)，解決本題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用多邊形的內(nèi)角和公式，是需要熟記的內(nèi)容，此題難度不太．
14．如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)是對角線上兩點(diǎn)，在條件①；②；③；④中，選擇一個(gè)條件添加，使四邊形DEBF是平行四邊形，可添加的條件有________．（寫出所有正確條件的序號）
【答案】②③④
【分析】通過證明三角形全等，得出四邊形DEBF的一組對邊平行且相等，即可得出其是平行四邊形．
【解析】四邊形ABCD是平行四邊形
①若，不能證明
則不能證明四邊形DEBF是平行四邊形
②若
在和中，
，即
則四邊形DEBF是平行四邊形
③若，則
在和中，
，即
則四邊形DEBF是平行四邊形
④若
在和中，
，即
則四邊形DEBF是平行四邊形
故答案為：②③④．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟記平行四邊形的判定是解題關(guān)鍵．
15．如圖，平行四邊形的對角線，相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別是線段、的中點(diǎn)，若，的周長是18，則__________．
【答案】
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知，結(jié)合，的周長是18，求出的長，利用三角形中位線定理求出的長．
【解析】解：∵平行四邊形的對角線，相交于點(diǎn)O，
∴點(diǎn)O是，的中點(diǎn)，
∵，
∴，
∵的周長是18，
∴，
∵平行四邊形的對角線，相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別是線段、的中點(diǎn)，
∴，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形中位線定理以及平行四邊形的性質(zhì)的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是求出的長，此題難度不大．
16．如圖，在?ABCD中，AD＝2AB，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上（不與A、B重合），連接EF、CF，則以下結(jié)論：
①∠DCF＝∠BCD；
②EF＝CF；
③S△BEC＜2S△CEF；
④∠DFE＝4∠AEF．
一定成立的是______．
【答案】①②③
【分析】延長，交延長線于，分別利用平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)得出，得出對應(yīng)線段之間關(guān)系進(jìn)而得出答案．
【解析】解：是的中點(diǎn)，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，故①正確；
如圖，延長，交延長線于，
四邊形是平行四邊形，
，
，
為中點(diǎn)，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，故②正確；
，
，即，
，
，
，
，
故；，
，
；
故③成立；
設(shè)，則，
，
，
，
，
，故④不正確．
正確的有①②③，
故答案為：①②③．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是得出．
三、解答題
17．計(jì)算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分別化簡各項(xiàng)，再作加減法運(yùn)算即可；
（2）利用完全平方公式展開，再進(jìn)行計(jì)算即可．
【解析】（1）解：
；
（2）解：
．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握完全平方公式及二次根式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
18．解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）根據(jù)因式分解法求解即可；
（2）根據(jù)公式法求解即可．
【解析】（1）解：，
∴，
∴或，
∴，；
（2）解：，
∴，
∴，
∴，．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，常見的解法有：直接開平方法、配方法、公式法以及因式分解法，靈活選用一元二次方程的解法進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．
19．如圖，在中，E、F分別為邊的中點(diǎn)，連接．
(1)求證：四邊形是平行四邊形．
(2)當(dāng)時(shí)，求與之間的距離．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出，根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)得出，推出，即可得出結(jié)論．
（2）過點(diǎn)A作的垂線，垂足為G，根據(jù)，算出BG的長度，通過勾股定理解直角三角形即可．
【解析】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形．
（2）過點(diǎn)A作的垂線，垂足為G，
∵在中，，
∴，
∴，
∴與之間的距離為．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，勾股定理解直角三角形，解題關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和判定，以及正確作輔助線．
20．已知關(guān)于x的一元二次方程．
（1）若此方程的一個(gè)根是，求方程的另一根；
（2）求證：這個(gè)一元二次方程一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（3）設(shè)該一元二次方程的兩根為a，b，且2，a，b分別是一個(gè)直角三角形的三邊長，求m的值．
【答案】（1）5；（2）見解析；（3）或
【分析】（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，求出m值，可得另一個(gè)根；
（2）利用根的判別式求出關(guān)于m的代數(shù)式，整理成非負(fù)數(shù)的形式即可判定b2-4ac≥0；
（3）把原方程因式分解，求出方程的兩個(gè)根，分別探討不同的數(shù)值為斜邊，利用勾股定理解決問題．
【解析】解：（1）∵方程的一個(gè)根是，
∴，，
∴，
解得：m=2，
∴；
所以另一個(gè)根為5
（2）b2-4ac
=（m+5）2-20m
=m2-10m+25
=（m-5）2≥0，
∴這個(gè)一元二次方程一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（3）原方程可變?yōu)椋▁-m）（x-5）=0，
則方程的兩根為x1=m，x2=5，
∴直角三角形三邊為2，5，m；
∴m＞0，
①若m為直角三角形的斜邊時(shí)，則：
∴22+52=m2，
解得：m=（負(fù)值舍去），
②若5為直角三角形的斜邊時(shí)，則：
∴22+m2=52，
解得：m=（負(fù)值舍去）．
【點(diǎn)睛】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，利用根的判別式b2-4ac探討根的情況，以及用因式分解法解一元二次方程，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)；注意分類討論思想的滲透．
21．弘揚(yáng)中華傳統(tǒng)文化，感受中華詩詞的獨(dú)特魅力，校團(tuán)委會(huì)舉辦首屆“校園詩詞大會(huì)”，初賽共10道題，每題10分，王敏從初賽名單中隨機(jī)抽取部分同學(xué)的成績，繪制出如下的統(tǒng)計(jì)圖（1）和圖（2）．請根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：
(1)圖（1）a的值為___，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
(2)求被抽取的初賽成績的平均數(shù)，眾數(shù)和中位數(shù)；
(3)如果初賽成績在90分或90分以上的同學(xué)進(jìn)入復(fù)賽，請估計(jì)參加初賽的200位同學(xué)中有多少同學(xué)可以參加復(fù)賽．
【答案】(1)25；補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖見解析
(2)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)分別為82分，90分，80分；
(3)估計(jì)參加復(fù)賽的同學(xué)大約有90人．
【分析】（1）求出調(diào)查總?cè)藬?shù)，可確定出a的值，求得90分的人數(shù)，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖即可；
（2）求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，眾數(shù)，以及中位數(shù)即可；
（3）求出初賽成績在90分或90分以上的同學(xué)占的百分比，乘以200即可得到結(jié)果．
【解析】（1）解：根據(jù)題意得：
被抽取的總?cè)藬?shù)為：2÷10%=20（人），
a%=5÷20=25%，即a=25，
90分的人數(shù)為：20×30%=6（人），
補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖：
故答案為：25；
（2）解：∵被抽取的初賽成績的平均數(shù)為：82（分），
∴這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是82分；
∵這組數(shù)據(jù)中，90分出現(xiàn)了6次，出現(xiàn)次數(shù)最多，
∴這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為90分；
∵將這組數(shù)據(jù)按照從小到大順序排列，其中處于中間的兩個(gè)數(shù)都是80分，
∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為80分；
故這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)分別為82分，90分，80分；
（3）解：根據(jù)題意得：×200=90（人），
則估計(jì)參加復(fù)賽的同學(xué)大約有90人．
【點(diǎn)睛】此題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖，扇形統(tǒng)計(jì)圖，平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)，用樣本估計(jì)總體，弄清題中的數(shù)據(jù)是解本題的關(guān)鍵．
22．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E、F分別是BC、AC的中點(diǎn)，延長BA到點(diǎn)D，使AB＝2AD，連接DE、DF、AE、EF，AF與DE交于點(diǎn)O．
(1)試說明AF與DE互相平分；
(2)若AB＝8，BC＝12，求DE的長．
【答案】(1)證明見解析；
(2)
【分析】（1）結(jié)合已知條件推知四邊形AEFD是平行四邊形，在該平行四邊形的兩條對角線互相平分；
（2）根據(jù)勾股定理求得AC的長度，然后由平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理來求DO的長度，即可求得DE的長．
（1）
證明：∵E、F分別是BC、AC的中點(diǎn)，
∴EF是△ABC的中位線，
∴EFAB且EF＝AB．
又AB＝2AD，即AD＝AB，
∴ADEF，AD＝EF，
∴四邊形AEFD是平行四邊形，
∴AF與DE互相平分；
（2）
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，BC＝12，
∴由勾股定理得
又由（1）知，OA＝OF，且AF＝CF，
∴，
∴在△AOD中，∠DAO＝90°，AD＝AB＝4，OA＝，
∴由勾股定理得，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理，勾股定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)．三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．
23．某公司投資新建了一商場，共有商鋪40間，據(jù)預(yù)測，當(dāng)每間的年租金定為10萬元時(shí)，可全部租出，每間的年租金每上漲萬元，就要少租出1間．
(1)當(dāng)每間商鋪的年租金定為15萬元時(shí)，能租出多少間？
(2)當(dāng)租出的商鋪為32間時(shí)，求該公司年租金？
(3)若該公司要為租出的商鋪每間每年交各種費(fèi)用2萬元，未租出的商鋪每間每年交各種費(fèi)用1萬元．當(dāng)每間商鋪的年租金定為多少萬元時(shí)，給公司的年收益（收益＝租金－各種費(fèi)用）為380萬元？
【答案】(1)30間
(2)448萬元
(3)每間商鋪的年租金定為15萬元或16萬元．
【分析】（1）根據(jù)租出間數(shù)=40-少租的房間數(shù)計(jì)算即可；
（2）先計(jì)算出每間房的租金，再利用租出去的房間數(shù)乘以每間房的租金即可；
（3）設(shè)每間商鋪的年租金定為x萬元，直接根據(jù)收益=租金-各種費(fèi)用=380萬元作為等量關(guān)系列方程求解即可．
【解析】（1）解：租出房間數(shù)為：（間），
（2）解：當(dāng)租出的商鋪為32間時(shí)，
每間房的租金為：10+（40-32）×=14（萬元），
年租金為：32×14=448（萬元）．
（3）解：設(shè)每間商鋪的年租金定為x萬元時(shí)， 由題意，得

整理得：
解得：
∴每間商鋪的年租金定為15萬元或16萬元．
【點(diǎn)睛】本題考查銷售問題在一元二次方程中的應(yīng)用．解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．
24．如圖，四邊形ABCD中，AB//CD，∠B＝∠D，點(diǎn)E為BC延長線上一點(diǎn)，連接AE，AE交CD于H，∠DCE的平分線交AE于G．
(1)求證：四邊形ABCD為平行四邊形；
(2)如圖1，若AB＝2AD＝10，H為CD的中點(diǎn)，HE＝6，求AC的長；
(3)如圖2，若∠BAC＝∠DAE，∠AGC＝2∠CAE，求∠CAE的度數(shù)．
【答案】(1)證明見解析
(2)AC＝
(3)∠CAE＝36°
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠B＝∠DCE，推出∠D＝∠DCE，得出ADBC，由平行四邊形的判定可得結(jié)論；
（2）由點(diǎn)H是CD的中點(diǎn)可得△ADH≌△ECH（AAS），則CH＝CE＝AD＝5，由等腰三角形三角形合一的性質(zhì)可得出HG＝GE＝3，進(jìn)而求出AG的長，由勾股定理可得出CG的長，進(jìn)而求出AC的長；
（3）設(shè)∠CAG＝x，∠DCG＝z，∠BAC＝y(tǒng)，△AHD中，x+2y+2z＝180°，△ACG中，x+2x+y+z＝180°，相減可得結(jié)論；
【解析】（1）證明：∵ABCD，
∴∠B＝∠DCE，
∵∠B＝∠D，
∴∠D＝∠DCE，
∴ADBC；
∴四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）解：由（1）知四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵AB＝2AD＝10，點(diǎn)H是CD的中點(diǎn)，
∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝10，DH＝CH＝5，
∵ADBC，
∴∠D＝∠DCE，∠DAE＝∠E，
∴△ADH≌△ECH（AAS），
∴AH＝HE＝6，AD＝CE＝5，
∴CH＝CE＝5，
∵CG平分∠DCE，
∴CG⊥HE，HG＝GE＝3，
∴AG＝9，
在Rt△CGE中，GE＝3，CE＝5，
由勾股定理可得CG＝4，
∴AC＝＝；
（3）解：設(shè)∠CAG＝x，∠DCG＝z，∠BAC＝y(tǒng)，
則∠EAD＝y(tǒng)，∠D＝∠DCE＝2z，∠AGC＝2∠CAE＝2x，
∵AB∥CD，
∴∠AHD＝∠BAH＝x+y，∠ACD＝∠BAC＝y(tǒng)，
△AHD中，x+2y+2z＝180°①，
△ACG中，x+2x+y+z＝180°，
即3x+y+z＝180°，
∴6x+2y+2z＝360°②，
②﹣①得：5x＝180°，
解得：x＝36°，
∴∠CAE＝36°．
【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．
金額（元）
20
30
35
50
100
學(xué)生數(shù)（人）
3
7
5
15
10

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