1．如圖，分別以的直角邊，斜邊為邊向外作等邊和等邊，F(xiàn)為的中點，連接，，．則以下結(jié)論：①；②四邊形為平行四邊形；③，其中正確的有（ ）
A．0個B．1個C．2個D．3個
2．如圖，分別以的斜邊、直角邊為邊向外作等邊和等邊，為的中點，連接、，與相交于點，若，下列結(jié)論：①；②四邊形為平行四邊形；③；④．其中正確結(jié)論有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
3．如圖，中，對角線AC與BD相交于點E，，，將沿AC所在直線翻折180°到其原來所在的同一平面內(nèi)，若點B的落點記為，恰好，若點F為BC上一點，則的最短距離是（ ）
A．1B．C．D．
4．如圖，在平行四邊形ABCD中，分別以AB?AD為邊向外作等邊△ABE?△ADF，延長CB交AE于點G，點G在點A?E之間，連接CE?CF?EF，則以下四個結(jié)論：①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等邊三角形；④CG⊥AE．一定正確的有（ ）個
A．4個B．3個C．2個D．1個
5．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AH⊥BC，M是AC中點，CN＝2BN，BM交AN于O，BM交AH于I，若，則下面結(jié)論正確的是（ ）
①∠CAH＝∠ABC；②；③AO＝3NO；④．
A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④
6．如圖，的對角線、相交于點E，點O為的中點，連接并延長，交的延長線于點D，交于點G，連接、，若的面積為24，則的面積為（ ）
A．5B．3C．2D．1
7．如圖，正方形中，為上一點，線段的垂直平分線交于，為垂足，交正方形的兩邊于、，連接，則下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
8．如圖，在正方形紙片中，對角線，交于點，折疊正方形紙片，使落在上，點恰好與上的點重合，展開后，折疊分別交，于，，連接，下列結(jié)論：①②③④四邊形是菱形，正確的有（ ）
A．個B．個C．個D．個
9．如圖，在一張矩形紙片中，，，點，分別在， 邊上，將紙片沿直線折疊，點落在上的一點處，點落在點處，有以下四個結(jié)論：①四邊形是菱形；②平分；③線段的取值范圍為；④當(dāng)點與點A重合時，．以上結(jié)論中，你認(rèn)為正確的有（ ）個．
A．1B．2C．3D．4
10．如圖，在正方形中，以為邊作等邊三角形，連接，，，則下列結(jié)論：①；②；③和的面積比為；④．其中結(jié)論正確的序號有（ ）
A．①②④B．②③C．①③④D．①②③④
11．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E在邊CD上，且CE=1，連接AE，點F在邊AD上，連接BF，把△ABF沿BF翻折，點A恰好落在AE上的點G處，下列結(jié)論：①AE=BF；②AD=2DF；③ =6：④GE=0.2，其中正確的有（ ）
A．4個B．3個C．2個D．1個
12．如下圖，在菱形中，，，過菱形的對稱中心分別作邊，的垂線，交各邊于點，，，，則四邊形的周長為（ ）
A．B．C．D．
13．如圖，菱形ABCD中∠ABC＝60°，ΔABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM，則下列五個結(jié)論中正確的個數(shù)是（ ）
①△AMB ≌△ENB；②若菱形ABCD的邊長為2，則AM＋CM的最小值2；③連接AN，則AN⊥BE；④當(dāng)AM＋BM＋CM的最小值為時，菱形ABCD的面積也為．
A．1B．2C．3D．4
14．如圖，菱形中，與交于點O，，E為延長線上一點，使得，連接，分別交、于點F、G，連接，，則下列結(jié)論：①；②；③四邊形與四邊形的面積相等；④由點、、、構(gòu)成的四邊形是菱形．其中正確的結(jié)論個數(shù)是（ ）
A．4B．3C．2D．1
15．如圖，菱形ABCD中，，AC與BD交于點O，E為CD延長線上一點，且，連接BE，分別交AC，AD于點F、G，連接OG，則下列結(jié)論：
①；②；③由點A、B、D、E構(gòu)成的四邊形是菱形；④，其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①②B．①②③C．①③④D．②③④
16．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，，點E在邊AD上，，點F在邊BC上，將四邊形CDEF沿EF所在的直線翻折，點D恰好落在點O處，點C落在點處．下列結(jié)論中，正確的有（ ）
①；②過點O作于點P，是等腰直角三角形；③AB的長為
A．3個B．2個C．0個D．1個
17．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，BF⊥AC交CD于點F，DE⊥AC交AB于點E，垂足分別為M、N，連接EM、FN．則下列四個結(jié)論：①；②EM//FN；③；④當(dāng)時，四邊形DEBF是菱形；其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
18．如圖，在矩形ABCD中，點E、F分別在邊AB、BC上，且，將矩形沿直線EF折疊，點B恰好落在AD邊上的點P處，連接BP交EF于點Q，下列結(jié)論：
①；②≌；
③；④．
其中正確的結(jié)論是（ ）．
A．①②③④B．①②③C．②③④D．①③④
19．如圖，在正方形中，為對角線，為上一點，過點作，與、分別交于點，，為的中點，連接，，，，下列結(jié)論中結(jié)論正確的有（ ）
①；②；③；④若，則，其中結(jié)論正確的有（ ）
A．個B．個C．個D．個
20．如圖，在正方形ABCD的對角線AC上取一點E，使得，連接BE并延長BE到F，使，BF與CD相交于點H，若，有下列四個結(jié)論：①；②；③；④．則其中正確的結(jié)論有（ ）
A．①②③④B．①②④C．①②③D．①③④
二、填空題
21．如圖,中，，，在的同側(cè)作正、正和正，則四邊形面積的最大值是______________．
22．如圖，在中，，，將沿射線平移，得到，再將沿射線翻折，得到，連接、，則的最小值為 ____________
23．在中，，D為形內(nèi)一點，以為腰作等腰，使，連接，若分別是的中點，，則的長為_______．
24．如圖，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝3，E、F分別是邊BC和對角線BD上的動點，且BE＝DF，則AE＋AF的最小值為_________．
25．在矩形ABCD中，AD=8，AB=6，點E為射線DC上一個動點，把△ADE沿AE折疊，使點D落在點F處，若△CEF為直角三角形時，DE的長為______．
26．如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，，點P是線段AB上一點，連接OP，將OP繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到OQ，過點D作于點E，連接EQ，DQ，若，則的面積為_________．
27．如圖，在正方形中，E、F是射線上一動點，且，射線、分別交、延長線于G、H，連接；在下列結(jié)論中①；②，③；④；⑤若，則；⑥其中一定正確的是__________．（把正確的序號寫在橫線上）
28．如圖，在正方形中，E在上，N為延長線上一點，將沿翻折，使點C的對應(yīng)點F落在上，交于點G，連接交于點H，若，下列說法正確的有___________．
①；②；③；④當(dāng)，時，
29．如圖，在矩形中，，E、F分別是邊、上一點，，將沿翻折得，連接，當(dāng)_____時，是以為腰的等腰三角形．
30．如圖，在矩形中，點是的中點，點為上一點，將沿折疊后，點恰好落在上的點處，過點作交于點，若，，則______．
31．如圖，四邊形是長方形紙片，，對折長方形紙片．使與重合，折痕為．展平后再過點B折疊長方形紙片，使點A落在上的點N，折痕為，再次展平，連接，，延長交于點G．有如下結(jié)論：①；②；③是等邊三角形；④P為線段上一動點，H是線段上的動點，則的最小值是．其中正確結(jié)論的序號是______．
32．如圖，以的兩邊，為邊向形外作正方形，，則稱這兩個正方形為外展雙葉正方形．有以下5個結(jié)論：①面積與面積相等．②過點作邊的垂線交于點，則．③為邊的中點，延長線與交于點，則且．④連接、相交于點，則且．⑤連結(jié)，為的中點，則且．其中正確的結(jié)論是_________（填序號）．
33．如圖，分別以直角△ABC的斜邊AB，直角邊AC為邊向△MBC外作等邊△ABD和等邊△ACE，F(xiàn)為AB的中點，DE與AB交于點G，EF與AC交于點H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．給出如下結(jié)論：①EF⊥AC；②四邊形ADFE為菱形；③AD=4AG；④4FH=BD：其中正確結(jié)論的是________．
34．如圖，四邊形ABCD為菱形，AB=3，∠ABC=60°，點M為BC邊上一點且BM=2CM，過M作MNAB交AC，AD于點O，N，連接BN．若點P，Q分別為OC，BN的中點，則PQ的長度為________．
35．如圖，點E在正方形外，連接，過點A作的垂線交于點F．若．則下列結(jié)論：
①；
②；
③點B到直線的距離為；
④．
其中正確的結(jié)論是________.（填寫所有正確結(jié)論的序號）
36．如圖，， 是正方形 的邊 上的兩個動點，滿足 ，連接 交 于點 ，連接 交 于點 ，連接 ，若正方形的邊長為 ，則線段 的最小值是____．
特訓(xùn)06 期中選填壓軸題（題型歸納）
一、單選題
1．如圖，分別以的直角邊，斜邊為邊向外作等邊和等邊，F(xiàn)為的中點，連接，，．則以下結(jié)論：①；②四邊形為平行四邊形；③，其中正確的有（ ）
A．0個B．1個C．2個D．3個
【答案】C
【分析】由平行四邊形的判定定理判斷②正確，再由平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)判斷①正確，然后由三角形三邊關(guān)系判斷③錯誤，即可得出結(jié)論．
【解析】解：，，
，，
是等邊三角形，
，
，
，
為的中點，
，
，
，
四邊形為平行四邊形，故②正確；
四邊形為平行四邊形，
，
又，
，故①正確；
和都是等邊三角形，
，，，
，
，故③錯誤；
其中正確的有2個，
故選：C．
【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、含直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，證明四邊形為平行四邊形是解題的關(guān)鍵．
2．如圖，分別以的斜邊、直角邊為邊向外作等邊和等邊，為的中點，連接、，與相交于點，若，下列結(jié)論：①；②四邊形為平行四邊形；③；④．其中正確結(jié)論有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】D
【分析】首先證明Rt△ADF≌Rt△BAC，結(jié)合已知得到AE=DF，然后根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行得到DFAE，由一組對邊平行且相等可得四邊形ADFE是平行四邊形，故②正確；由∠DAC=∠DAB+∠BAC=90°，可得∠AHE=90°，故①正確；由2AG=AF可知③正確；在Rt△DBF和Rt△EFA中，BD＝FE，DF＝EA，可證Rt△DBF≌Rt△EFA，故④正確．
【解析】解：∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，
∴AD=BD=AB，AE=CE=AC，∠ADB=∠BAD=∠DBA=∠CAE=∠AEC=∠ACE=60°．
∵F是AB的中點，
∴∠BDF=∠ADF=30°，∠DFA=∠DFB=90°，BF=AF=AB．
∴AD=2AF．
∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，
∴BC=AB，
∴AF=BF=BC．
在Rt△ADF和Rt△BAC中，
AD＝BA ，AF＝BC，
∴Rt△ADF≌Rt△BAC（HL），
∴DF=AC，
∴AE=DF．
∵∠BAC=30°，
∴∠BAC+∠CAE=∠BAE=90°，
∴∠DFA=∠EAB，
∴DFAE，
∴四邊形ADFE是平行四邊形，故②正確；
∴AD=EF，ADEF，
設(shè)AC交EF于點H，
∴∠DAC=∠AHE．
∵∠DAC=∠DAB+∠BAC=90°，
∴∠AHE=90°，
∴EF⊥AC．①正確；
∵四邊形ADFE是平行四邊形，
∴2GF=2GA=AF．
∴AD=4AG．故③正確．
在Rt△DBF和Rt△EFA中，
BD＝FE，DF＝EA，
∴Rt△DBF≌Rt△EFA（HL）．故④正確，
綜上，①②③④都正確．
故選：D．
【點睛】本題考查全等三角形的判定、等邊三角形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定及性質(zhì)等，綜合性較強，熟練掌握上述性質(zhì)、定理是解題的關(guān)鍵．
3．如圖，中，對角線AC與BD相交于點E，，，將沿AC所在直線翻折180°到其原來所在的同一平面內(nèi)，若點B的落點記為，恰好，若點F為BC上一點，則的最短距離是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】由折疊的性質(zhì)，可得，，，由和，可得，由平行四邊形和折疊的性質(zhì)可求得，連接，易知是等邊三角形，繼而可得，然后根據(jù)平行四邊形和折疊的性質(zhì)可求得，利用勾股定理可求得，由垂線段最短可知，當(dāng)時，最短，然后根據(jù)勾股定理即可求得答案.
【解析】解：由折疊的性質(zhì)，可得：，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD//BC，
∴，
∴，
如圖，連接，作，
∴是等邊三角形，
∴，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴，
在中，，
∴，
由垂線段最短可知，當(dāng)時，最短，
在中，，，
∴，
∴.
故選：C.
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、垂線段最短等，熟練掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵.
4．如圖，在平行四邊形ABCD中，分別以AB?AD為邊向外作等邊△ABE?△ADF，延長CB交AE于點G，點G在點A?E之間，連接CE?CF?EF，則以下四個結(jié)論：①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等邊三角形；④CG⊥AE．一定正確的有（ ）個
A．4個B．3個C．2個D．1個
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，對選項一一求證，判定正確選項．
【解析】解：在?ABCD中，∠ADC=∠ABC，AD=BC，CD=AB，
∵△ABE、△ADF都是等邊三角形，
∴AD=DF，AB=EB，∠ADF=∠ABE=60°，
∴DF=BC，CD=BC，
∴∠CDF=360°-∠ADC-60°=300°-∠ADC，
∠EBC=360°-∠ABC-60°=300°-∠ABC，
∴∠CDF=∠EBC，
在△CDF和△EBC中，
DF=BC，∠CDF=∠EBC，CD=EB，
∴△CDF≌△EBC（SAS），故①正確；
在?ABCD中，∠DAB=180°-∠ADC，
∴∠EAF=∠DAB+∠DAF+∠BAE=180°-∠ADC+60°+60°=300°-∠ADC，
∴∠CDF=∠EAF，故②正確；
同理可證△CDF≌△EAF，
∴EF=CF，
∵△CDF≌△EBC，
∴CE=CF，
∴EC=CF=EF，
∴△ECF是等邊三角形，故③正確；
當(dāng)CG⊥AE時，
∵△ABE是等邊三角形，
∴∠ABG=30°，
∴∠ABC=180°-30°=150°，
∵∠ABC=150°無法求出，故④錯誤；
綜上所述，正確的結(jié)論有①②③．
故選：B．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定、等邊三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，綜合性強，解題的關(guān)鍵是考查學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)知識的能力．
5．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AH⊥BC，M是AC中點，CN＝2BN，BM交AN于O，BM交AH于I，若，則下面結(jié)論正確的是（ ）
①∠CAH＝∠ABC；②；③AO＝3NO；④．
A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④
【答案】A
【分析】①證明∠ABC與∠CAH都是∠BAH的余角，便可判斷①的正誤；②設(shè)AN的中點為E，連接EM，根據(jù)中位線的性質(zhì)可得，，證明ME=BN，再證明△OBN≌△OME，得OE=ON，進(jìn)而得AN=4ON，再由等高的三角形的面積比等于底邊之比求得△ABO的面積，便可判斷②的正誤；③由②得OE=ON，AE=EN得AO與ON的關(guān)系，便可判斷③的正誤；④過點C作CF⊥BC，與BM的延長線交于點F，證明△AMI≌△CMF，得AI=CF，當(dāng)H不是BC的中點時，，此時，便可判斷④的正誤．
【解析】解：①∵∠BAC=90°，AH⊥BC，
∴∠ABC+∠BAH=∠BAH+∠CAH=90°，
∴∠CAH=∠ABC，故①正確；
②設(shè)AN的中點為E，連接EM，
∵M(jìn)是AC中點，E是AN的中點，
∴ME是△ACN的中位線，
∴，
∵CN=2BN，
∴ME=BN，
∵，
∴∠OBN=∠OME，
∵∠BON=∠MOE，
∴△OBN≌△OME（AAS），
∴ON=OE，
∵AE=EN，
∴AN=4ON，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正確；
③∵AE=EN，OE=ON，
∴AO=3NO，故③正確；
④過點C作CF⊥BC，與BM的延長線交于點F，
又∵AH⊥BC，
∴
∴∠AIM=∠F，
∵M(jìn)是AC的中點，
∴AM=CM，
∵∠AMI=∠CMF，
∴△AMI≌△CMF（AAS），
∴AI=CF，
∵，
當(dāng)H不是BC的中點時，，
∴，故④錯誤；
故選：A．
【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形的中位線定理，三角形的面積，關(guān)鍵在于構(gòu)造全等三角形．
6．如圖，的對角線、相交于點E，點O為的中點，連接并延長，交的延長線于點D，交于點G，連接、，若的面積為24，則的面積為（ ）
A．5B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】利用平行四邊形的對角線、相交于點，可得，即點為的中點，由于點為的中點，所以為的中位線，可得，且；利用可得，進(jìn)而得出；利用高相等的三角形的面積比等于它們底的比可得；利用，可得，利用，可得，答案可得．
【解析】解：四邊形是平行四邊形，
，
，
是的中位線，
，，
，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，，
在和中，
，
，
，
，
故選：C．
【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，平行線的性質(zhì)，三角形的面積，三角形全等的判定與性質(zhì)，利用高相等的三角形的面積比等于它們底的比是解題的關(guān)鍵．
7．如圖，正方形中，為上一點，線段的垂直平分線交于，為垂足，交正方形的兩邊于、，連接，則下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【答案】B
【分析】①過N作，則，先證明△BSN是等腰直角三角形，得出，再由，證明，得出，證出，即可得出；
②，是等腰直角三角形，，即可得出；
③假設(shè)成立，證明，得出，可判斷③不一定成立；
④過P作的平行線交于K，證出，，即可得出結(jié)論．
【解析】解：①正確；過N作分別交、于S、T，則，
∵四邊形是正方形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵線段的垂直平分線交于點N，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正確；
由①得：，是等腰直角三角形，，
∴，故②正確；
∵，，
∴，
若，
則．
∵，
∴，
∴，顯然不一定成立，故③錯誤；
過P作的平行線交于K，
∴．
∵垂直平，
∴，
∵，
∴，
∴，
作于點G，作于點H，
則，
由①得：，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正確；
故選：B．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；本題難度較大，綜合性強，特別是需要通過作輔助線證明三角形全等．
8．如圖，在正方形紙片中，對角線，交于點，折疊正方形紙片，使落在上，點恰好與上的點重合，展開后，折疊分別交，于，，連接，下列結(jié)論：①②③④四邊形是菱形，正確的有（ ）
A．個B．個C．個D．個
【答案】C
【分析】由四邊形是正方形和折疊性質(zhì)得出，，再由三角形的內(nèi)角和求出．故①正確；由四邊形是正方形和折疊性質(zhì)，判斷出四邊形是平行四邊形，再由，得出四邊形是菱形．利用的直角三角形，由勾股定理得出，，得出，故②④正確；由四邊形是正方形和折疊性質(zhì)，得到，所以，故③錯誤．
【解析】解：由四邊形是正方形和折疊性質(zhì)得出，，
，
故①正確；
由四邊形是正方形和折疊性質(zhì)得出，，，，
，
，
，
又，
，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是菱形．
在中，，在中，，
，
故②④正確．
由四邊形是正方形和折疊性質(zhì)知，，，，
在和中，
，
，
故③錯誤．
綜上可知，①②④正確．
故選C．
【點睛】本題主要考查了折疊問題，菱形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握圖形折疊前后對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等．
9．如圖，在一張矩形紙片中，，，點，分別在， 邊上，將紙片沿直線折疊，點落在上的一點處，點落在點處，有以下四個結(jié)論：①四邊形是菱形；②平分；③線段的取值范圍為；④當(dāng)點與點A重合時，．以上結(jié)論中，你認(rèn)為正確的有（ ）個．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】先判斷出四邊形是平行四邊形，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明，判斷出①正確；
②根據(jù)菱形的對角線平分一組對角線可得，然后求出只有時平分，判斷出②錯誤；
③點H與點A重合時，設(shè)，表示出，利用勾股定理列出方程求解得到的最小值，點G與點D重合時，，求出，然后寫出的取值范圍，判斷出③正確；
④過點F作于M，求出，再利用勾股定理列式求解得到EF，判斷出④正確．
【解析】解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴四邊形是菱形，故①正確；
②∴
∴只有時，平分，
故②錯誤；
③點H與點A重合時，設(shè)，則，
在中，，
即，
解得，
點E與點D重合時，，
∴，
∴線段的取值范圍為，
故③正確；
過點F作于M，則，
由勾股定理得，，
故④正確；
綜上所述，結(jié)論正確的有①③④共3個，
故選：C．
【點睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了折疊問題與菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理的綜合應(yīng)用，熟練掌握菱形的判定定理和性質(zhì)定理、勾股定理是解本題的關(guān)鍵．
10．如圖，在正方形中，以為邊作等邊三角形，連接，，，則下列結(jié)論：①；②；③和的面積比為；④．其中結(jié)論正確的序號有（ ）
A．①②④B．②③C．①③④D．①②③④
【答案】D
【分析】由正方形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可得，由等腰三角形的性質(zhì)可得，故①正確；利用證明，可判斷②，由三角形的面積公式可得，，可得和的面積比為，故③正確；由直角三角形的性質(zhì)可得，可得，故④正確，即可求解．
【解析】解：∵四邊形是正方形，是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，故①正確；
∵，
∴，故②正確；
過點P作于H，于G，過點C作交的延長線于N，如圖所示：
∵是等邊三角形，，
∴，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵，
，
∴和的面積比為，故③正確；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正確，
綜上所述：①②③④．
故選：D．
【點睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積公式等知識，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)與適當(dāng)作輔助線是解答此題的關(guān)鍵．
11．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E在邊CD上，且CE=1，連接AE，點F在邊AD上，連接BF，把△ABF沿BF翻折，點A恰好落在AE上的點G處，下列結(jié)論：①AE=BF；②AD=2DF；③ =6：④GE=0.2，其中正確的有（ ）
A．4個B．3個C．2個D．1個
【答案】C
【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)證明△ABF△DAE，即可判斷①和②，再根據(jù)面積法求出AH長，再根據(jù)勾股定理求出FH，即可判斷③，根據(jù)AE和AG的長度，求出GE的長，即可判斷④．
【解析】解：∵四邊形ABCD為正方形
∴AB=AD=CD=4，∠BAD=∠D=90o
∵CE=1
∴DE=3
由折疊的性質(zhì)可知，△ABF△GBF，BF垂直平分AG
∴BF⊥AE，AH=GH
∴∠BAH+∠ABH=
∵∠FAH+∠BAH=
∴∠ABH=∠FAH
在△ABF和△DAE中

∴△ABF△DAE（ASA）
∴AF=DE=3，BF=AE
故①正確；
∵DF=AD-AF=4-3=1
∴AD=4DF
故②錯誤；
在Rt△ABF中，BF=，
∴
∵
∴4×3=5AH
∴AH=
∴AG=2AH=，F(xiàn)H==
∴
③錯誤；
∵AE=BF=5
∴GE=AE=AG=5-=
④正確；
綜上，正確結(jié)論是①④
故選：C．
【點睛】本題考查了在正方形背景下的全等和翻折，掌握正方形和翻折的性質(zhì)是解題關(guān)鍵，翻折總結(jié)：翻折得全等、得軸對稱．
12．如下圖，在菱形中，，，過菱形的對稱中心分別作邊，的垂線，交各邊于點，，，，則四邊形的周長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先證明是等邊三角形，求出EF，同理可證都是等邊三角形，然后求出EH，GF，F(xiàn)G即可．
【解析】解：如圖，連接BD，AC，
∵四邊形ABCD是菱形，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
同法可證，都是等邊三角形，
∴，，
∴四邊形EFGH的周長為．
故選：A．
【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．
13．如圖，菱形ABCD中∠ABC＝60°，ΔABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM，則下列五個結(jié)論中正確的個數(shù)是（ ）
①△AMB ≌△ENB；②若菱形ABCD的邊長為2，則AM＋CM的最小值2；③連接AN，則AN⊥BE；④當(dāng)AM＋BM＋CM的最小值為時，菱形ABCD的面積也為．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】①根據(jù)菱形的性質(zhì)，運用“SAS”證明即可；②根據(jù)菱形性質(zhì)可得A與C關(guān)于對角線BD對稱，可知AM+CM最小為AC長；③先假設(shè)AN⊥BE，而后逆推即可判斷；④根據(jù)圖形特征得出當(dāng)M點位于BD與CE的交點處時，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長，過E點作EF⊥BC，交CB的延長線于F，在Rt△EFC中利用勾股定理求解，繼而求得菱形的面積即可判斷④．
【解析】解①∵△ABE是等邊三角形，
∴BA=BE，∠ABE=60°．
∵∠MBN=60°，
∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN．即∠MBA=∠NBE．
又∵M(jìn)B=NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS），故①正確；
②連接AC交BD于點O，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC，BD⊥AC，AO=CO．
∴點A和點C關(guān)于直線BD對稱，
∴當(dāng)M點與O點重合時，AM+CM的值最小為AC的值．
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AC=2．
即AM+CM的值最小為2，故②正確；
③假設(shè)AN⊥BE，且AE=AB，
∴AN是BE的垂直平分線，
∴EN=BN=BM=MA，
∴M點與O點重合，
∵條件沒有確定M點與O點重合，故③錯誤；
④如圖，連接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，
∴AM=EN，
∵∠MBN=60°，MB=NB，
∴△BMN是等邊三角形，
∴BM=MN，
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM，
根據(jù)“兩點之間線段最短”，得EN+MN+CM=EC最短，
∴當(dāng)M點位于BD與CE的交點處時，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長．
過E點作EF⊥BC交CB的延長線于F，
∴∠EBF=180°﹣120°=60°，
設(shè)菱形的邊長為x，∴BF=，EF=，
在Rt△EFC中，∵，
∴，
解得x=2，
，
∴菱形的面積為，
故④不正確．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、軸對稱求最值以及勾股定理，綜合運用以上知識，添加輔助線是解題的關(guān)鍵．
14．如圖，菱形中，與交于點O，，E為延長線上一點，使得，連接，分別交、于點F、G，連接，，則下列結(jié)論：①；②；③四邊形與四邊形的面積相等；④由點、、、構(gòu)成的四邊形是菱形．其中正確的結(jié)論個數(shù)是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【分析】首先根據(jù)菱形的性質(zhì)及，并結(jié)合直角三角形的性質(zhì)可得，從而得到，最后利用平行線的性質(zhì)可得，故結(jié)論①正確；
由菱形的性質(zhì)可得，再證明，得到，最后利用中位線定理可得，故結(jié)論②正確；
根據(jù)可得，再根據(jù)可得，所以四邊形與四邊形面積相等，故結(jié)論③正確；
先證明四邊形是平行四邊形，再證明是等邊三角形，得到，最后利用菱形的判定可證明四邊形是菱形，故結(jié)論④正確．
【解析】解：∵四邊形是菱形，
∴，，，，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
故結(jié)論①正確；
∵四邊形是菱形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴是的中位線，
∴，
故結(jié)論②正確；
∵，，
∴，，
∴四邊形與四邊形面積相等，
故結(jié)論③正確；
∵，
∴，
又∵，即，
∴四邊形是平行四邊形，
∵四邊形是菱形，
∴，
又∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∴四邊形是菱形，
故結(jié)論④正確．
故選：A．
【點睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識．熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
15．如圖，菱形ABCD中，，AC與BD交于點O，E為CD延長線上一點，且，連接BE，分別交AC，AD于點F、G，連接OG，則下列結(jié)論：
①；②；③由點A、B、D、E構(gòu)成的四邊形是菱形；④，其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①②B．①②③C．①③④D．②③④
【答案】C
【分析】①由AAS證明△ABG≌△DEG，得出AG=DG，證出OG是△ABD的中位線，得出OG=AB，①正確；
③先證明四邊形ABDE是平行四邊形，證出△ABD、△BCD是等邊三角形，得出AB=BD=AD，因此OD=AG，得出四邊形ABDE是菱形，③正確；
②連接FD，由等邊三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得F到△ABD三邊的距離相等，則S△BDF=S△ABF=2S△BOF=2S△DOF=S四邊形ODGF，則S四邊形ODGF=S△ABF，②錯誤；即可得出結(jié)論．
④∵連接CG，由O、G分別是AC，AD的中點，得到，則S△ACD＝4S△AOG，再由S△AOG＝S△BOG，得到S△ACD＝4S△BOG，故④正確；
【解析】∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠BAG＝∠EDG，
∵CD＝DE，
∴AB＝DE，
在△ABG和△DEG中，
，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG＝DG，
∴OG是△ABD的中位線，
∴OG＝AB，故①正確；
∵AB∥CE，AB＝DE，
∴四邊形ABDE是平行四邊形，
∵∠BCD＝∠BAD＝60°，
∴△ABD、△BCD是等邊三角形，
∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，
∴平行四邊形ABDE是菱形，故③正確；
∵連接CG，
∵O、G分別是AC，AD的中點，
∴，
∴S△ACD＝4S△AOG，
∵，
∴S△AOG＝S△BOG，
∴S△ACD＝4S△BOG，故④正確；
連接FD，如圖：
∵△ABD是等邊三角形，AO平分∠BAD，BG平分∠ABD，
∴F到△ABD三邊的距離相等，
∴S△BDF＝S△ABF＝2S△BOF＝2S△DOF＝S四邊形ODGF，
∴S四邊形ODGF＝S△ABF，故②錯誤；
正確的是①③④，
故選C．
【點睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理以及三角形面積等知識，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵．
16．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，，點E在邊AD上，，點F在邊BC上，將四邊形CDEF沿EF所在的直線翻折，點D恰好落在點O處，點C落在點處．下列結(jié)論中，正確的有（ ）
①；②過點O作于點P，是等腰直角三角形；③AB的長為
A．3個B．2個C．0個D．1個
【答案】D
【分析】根據(jù)矩形對角線相等且互相平分，可知是等腰三角形，再由，求出進(jìn)而求出，根據(jù)翻折的性質(zhì)及三角形外角可得，再根據(jù)，可判斷是等腰直角三角形．根據(jù)是等腰直角三角形，且，求出的長，再進(jìn)一步求出的長．
【解析】解：①四邊形是矩形，
，，
，
，
，
四邊形沿所在的直線翻折，點恰好落在點處，
，
，
是的外角，
，
①錯誤，不符合題意；
②過點作于點，如圖所示：
，
，
由①得，，
，
是等腰直角三角形．故②正確，符合題意；
③在中，設(shè)，則由②得，
是等腰直角三角形，
即，解得，
，
過點作，如圖所示：
，
，
，
，，
，
四邊形是矩形，
，
，故③錯誤，不符合題意；
正確的結(jié)論只有②．即一個正確的結(jié)論，
故選：D．
【點睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)與翻折的性質(zhì)，熟練運用矩形的性質(zhì)與判定和翻折中不變的量是解題的關(guān)鍵．
17．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，BF⊥AC交CD于點F，DE⊥AC交AB于點E，垂足分別為M、N，連接EM、FN．則下列四個結(jié)論：①；②EM//FN；③；④當(dāng)時，四邊形DEBF是菱形；其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AB=CD，AB//CD，∠DAE=∠BCF=90°，OD=OB=OA=OC，AD=BC，AD//BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到DE⊥AC，根據(jù)垂直的定義得到∠DNA=∠BMC=90°，由全等三角形的性質(zhì)得到DN=BM，∠ADE=∠CBF，故①正確；證△ADE≌△CBF（ASA），得出AE=FC，DE=BF，故③正確；證四邊形NEMF是平行四邊形，得出EM//FN，故②正確；證四邊形DEBF是平行四邊形，證出∠ODN=∠ABD，則DE=BE，得出四邊形DEBF是菱形；故④正確；即可得出結(jié)論．
【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB//CD，∠DAE=∠BCF=90°，OD=OB=OA=OC，AD=BC，AD//BC，
∴∠DAN=∠BCM，
∵BF⊥AC，DE//BF，
∴DE⊥AC，
∴∠DNA=∠BMC=90°，
在△DNA和△BMC中，
，
∴△DNA≌△BMC（AAS），
∴DN=BM，∠ADE=∠CBF，故①正確；
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE=FC，DE=BF，故③正確；
∴DE-DN=BFBM，即NE=MF，
∵DE//BF，
∴四邊形NEMF是平行四邊形，
∴EM//FN，故②正確；
∵AB=CD，AE=CF，
∴BE=DF，
∵BE//DF，
∴四邊形DEBF是平行四邊形，
∵AO=AD，
∴AO=AD=OD，
∴△AOD是等邊三角形，
∴∠ADO=∠DAN=60°，
∴∠ABD=90°-∠ADO=30°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADN=∠ODN=30°，
∴∠ODN=∠ABD，
∴DE=BE，
∴四邊形DEBF是菱形；故④正確；
故選：D．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)和菱形的判定，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
18．如圖，在矩形ABCD中，點E、F分別在邊AB、BC上，且，將矩形沿直線EF折疊，點B恰好落在AD邊上的點P處，連接BP交EF于點Q，下列結(jié)論：
①；②≌；
③；④．
其中正確的結(jié)論是（ ）．
A．①②③④B．①②③C．②③④D．①③④
【答案】A
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，，，的面積的面積，再逐個判斷即可．
【解析】解：∵，
∴，，
∵將矩形沿直線EF折疊，點B恰好落在AD邊上的點P處，
∴，即，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵將矩形沿直線EF折疊，點B恰好落在AD邊上的點P處，
∴，，
，
∴，
∴①正確；
∵將矩形沿直線EF折疊，點B恰好落在AD邊上的點P處，
∴，
∴．
在和中，
，
∴≌，
∴②正確；
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴③正確；
∵，，，
∴，
∴的面積為，
∵將矩形沿直線EF折疊，點B恰好落在AD邊上的點P處，
∴的面積為，
∴，
∴④正確；
故選：A．
【點睛】本題考查了翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識點，能綜合性運用性質(zhì)進(jìn)行推理是解題的關(guān)鍵．
19．如圖，在正方形中，為對角線，為上一點，過點作，與、分別交于點，，為的中點，連接，，，，下列結(jié)論中結(jié)論正確的有（ ）
①；②；③；④若，則，其中結(jié)論正確的有（ ）
A．個B．個C．個D．個
【答案】D
【分析】根據(jù)正方形，為對角線，，可知四邊形是矩形，由此可證、
、、是等腰直角三角形，為的中點，，可知是等腰
直角三角形，由此即可求解．
【解析】解：結(jié)論①，
∵正方形中，為對角線，，
∴，，
∴，四邊形是矩形，、是等腰直角三角形，
∴，
∴，故結(jié)論①正確；
結(jié)論②，
由結(jié)論①正確可知，是等腰直角三角形，為的中點，
∴，且、是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，且，
∴，
∴，
∵，故結(jié)論②正確；
結(jié)論③，
∵、、、是等腰直角三角形，，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，故結(jié)論③正確；
結(jié)論④若，則，
由結(jié)論②正確，可知；由結(jié)論③正確可知，，
且、、、是等腰直角三角形，
∴，即是等腰直角三角形，
如圖所示，過點作于，設(shè)，則，，，
∴，，
∴，故結(jié)論④正確；
綜上所示，正確的有①②③④，
故選：．
【點睛】本題是四邊形與三角形的綜合，主要考查正方形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，掌握正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
20．如圖，在正方形ABCD的對角線AC上取一點E，使得，連接BE并延長BE到F，使，BF與CD相交于點H，若，有下列四個結(jié)論：①；②；③；④．則其中正確的結(jié)論有（ ）
A．①②③④B．①②④C．①②③D．①③④
【答案】B
【分析】根據(jù)可得到，根據(jù)可計算出OE，從而計算出AE，根據(jù)可計算出的值，證明是等邊三角形，進(jìn)一步證明得到,從而推算出．
【解析】解：∵ ，
∴，
∴，
故①正確；
如下圖所示，連接BD交AC于點O,
∵,
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴,
∴，
∴，
∴②正確；
∵，，
∴，
故③錯誤；
如下圖所示，連接DF，
∵，
∴，
∴，
∴,
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∴,
∴,
∵ ,
∴，
∴，
∵，，
∴,
∴,
故④正確，
故選：B．
【點睛】本題考查正方形、全等三角形、等腰三角形、等邊三角形和直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識．
二、填空題
21．如圖,中，，，在的同側(cè)作正、正和正，則四邊形面積的最大值是______________．
【答案】
【分析】先延長交于點，得出，再判定四邊形為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出：四邊形的面積，最后根據(jù)，判斷的最大值即可．
【解析】延長交于點，
∵在正和正中，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
又∵，
∴，
∵和都是等邊三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∴四邊形的面積，
又∵，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
即四邊形面積的最大值為，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造平行四邊形的高線是解答本題的關(guān)鍵．
22．如圖，在中，，，將沿射線平移，得到，再將沿射線翻折，得到，連接、，則的最小值為 ____________
【答案】45
【分析】連接，作點D關(guān)于直線的對成點T，連接、、．首先證明B、A、T共線，求出，證明四邊形EGCD是平行四邊形，推出，進(jìn)而得到，根據(jù)，即可解決問題．
【解析】解：如圖，連接、，作點D關(guān)于直線的對成點T，連接、、．
∵，，將沿射線平移，得到，再將沿射線翻折，得到，
∴，，，
∵，
∴，
∵D、T關(guān)于對稱，
∴，，
∴，
∵，
∴B、A、T共線，
∴，
∵， ，
∴四邊形EGCD是平行四邊形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
則的最小值為45．
故答案為：45．
【點睛】本題考查軸對稱，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會運用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．
23．在中，，D為形內(nèi)一點，以為腰作等腰，使，連接，若分別是的中點，，則的長為_______．
【答案】2
【分析】如圖，連接，取的中點F，連接，先證明，得，根據(jù)三角形的中位線定理可得，，由平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可得，所以是等邊三角形，可得結(jié)論．
【解析】解：如圖，連接，取的中點F，連接，
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵M(jìn)是的中點，F(xiàn)是的中點，
∴是的中位線，
∴，
∴，
同理得，，，
，
∵，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴．
故答案為：2．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、三角形的中位線定理等知識的綜合運用，解題的關(guān)鍵是證明△FMN是等邊三角形．
24．如圖，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝3，E、F分別是邊BC和對角線BD上的動點，且BE＝DF，則AE＋AF的最小值為_________．
【答案】
【分析】的下方作，在上截取，使得，連接，．證明，推出，，根據(jù)求解即可．
【解析】解：如圖，的下方作，在上截取，使得，連接，．
∵四邊形是菱形，，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，當(dāng)E點在AT上時取等號，
∴，
∴的最小值為，
故答案為：．
【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，兩點之間線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題．
25．在矩形ABCD中，AD=8，AB=6，點E為射線DC上一個動點，把△ADE沿AE折疊，使點D落在點F處，若△CEF為直角三角形時，DE的長為______．
【答案】或8或或???????
【分析】先利用勾股定理計算出AC=10，當(dāng)△CEF為直角三角形時，有幾種情況：①當(dāng)點F落在矩形內(nèi)部時，如圖1所示．根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠AFE=∠D=90°，設(shè)DE=x，則EF=x，CE=6-x，然后在Rt△CEF中運用勾股定理可計算出x即可．②當(dāng)點F落在AB延長線上時，如圖2所示．此時四邊形ADEF為正方形，得出DE=AD=8．③當(dāng)點F落在BC邊上時，如圖3所示，易知AF=AD=8，BF=
，設(shè)DE=EF=x，CE=6-x，然后在Rt△CEF中運用勾股定理可計算出x即可；④當(dāng)點F落在CB延長線上時，如圖4，設(shè)DE=EF=x，CE=x-6，BF=，然后在Rt△CEF中運用勾股定理可計算出x即可．
【解析】∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=∠B=90°，CD=AB=6，
∴AC==10，
當(dāng)△CEF為直角三角形時，有下列幾種情況：
①當(dāng)點F落在矩形內(nèi)部時，F(xiàn)落在AC上，如圖1所示．
由折疊的性質(zhì)得：EF=DE，AF=AD=8，CF=2，
設(shè)DE=x，則EF=x，
∴CE=6-x，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：
∵EF2+CF2=CE2，
∴x2+22=（6-x）2，
解得，
∴；
②當(dāng)點F落在AB延長線上時，如圖2所示．
此時四邊形ADEF為正方形，
∴DE=AD=8．
③當(dāng)點F落在BC邊上時，如圖3：
易知AF=AD=8，BF=
，設(shè)DE=EF=x，CE=6-x，
在Rt△EFC中，x2=（6-x）2+（8-）2，
∴，
∴；
④當(dāng)點F落在CB延長線上時，如圖4，
設(shè)DE=EF=x，CE=x-6，
則BF=，
在Rt△CEF中，
解得．
綜上所述，DE的長為或8或或．
故答案為：或8或或
【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理、正方形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握折疊和矩形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
26．如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，，點P是線段AB上一點，連接OP，將OP繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到OQ，過點D作于點E，連接EQ，DQ，若，則的面積為_________．
【答案】
【分析】先求出，，如圖所示，以O(shè)為原點，以AC所在的直線為y軸，以BD所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，過點P作PF⊥y軸于F，過點Q作QH⊥x軸于H，求出直線AB的解析式，設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，），利用乙先三垂直模型證明△OHQ≌△OFP推出點Q的坐標(biāo)為（，m），則點Q在直線上，設(shè)直線與x軸交于M，與y軸交于T，過點E作EN⊥OD于N，則點M的坐標(biāo)為（-1，0），點T的坐標(biāo)為（0，），推出∠EDB=60°，求出，證明△AOD≌△MOT，推出∠OMT=∠EDB=60°，得到，則．
【解析】解：∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴AC⊥BD，，
∴，
∴，
如圖所示，以O(shè)為原點，以AC所在的直線為y軸，以BD所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，過點P作PF⊥y軸于F，過點Q作QH⊥x軸于H，
∴點A的坐標(biāo)為（0，1），點B的坐標(biāo)為（，0），
設(shè)直線AB的解析式為，
∴，
∴，
∴直線AB的解析式為，
設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，），
∴
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OP=OQ，∠POQ=90°，
∴∠HOQ+∠POH=90°，
又∵∠FOP+∠POH=90°，
∴∠HOQ=∠FOP，
又∵∠OHQ=∠OFP=90°，
∴△OHQ≌△OFP（AAS），
∴OH=OF，QH=PF，
∴點Q的坐標(biāo)為（，m），
∴點Q在直線上，
設(shè)直線與x軸交于M，與y軸交于T，過點E作EN⊥OD于N，
∴點M的坐標(biāo)為（-1，0），點T的坐標(biāo)為（0，）
∴，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴，AD=AB=2，
∴，∠ADB=∠CBD=30°，
∴∠OAD=60°，
又∵DE⊥BE，
∴∠ADE=30°，
∴，∠EDB=60°，
∴，BE=3，
∴，
∵，
∴△AOD≌△MOT（SAS），
∴∠OMT=∠OAD=60°，
∴∠OMT=∠EDB=60°，
∴，
∴
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與幾何綜合，菱形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，平行線的性質(zhì)與判定，正確得出點Q在直線上運動是解題的關(guān)鍵．
27．如圖，在正方形中，E、F是射線上一動點，且，射線、分別交、延長線于G、H，連接；在下列結(jié)論中①；②，③；④；⑤若，則；⑥其中一定正確的是__________．（把正確的序號寫在橫線上）
【答案】①③④⑥
【分析】由正方形的性質(zhì)，易證△AEB≌△CEB，從而可判斷①的正確性；假設(shè)結(jié)論正確，可推出AE⊥BD，顯然AE是不可能總垂直BD的，故可得②不正確；如圖1，在BC上取BM=DH，連接AM，則可證△ABM≌△ADH，根據(jù)全等的性質(zhì)及已知條件，可得△AMG≌△AHG，從而可得③正確；由△AMG≌△AHG，從而，而△AGM與△BCD等高，故可得⑥正確；如圖1，延長AM到N，使MN=HF，連接BN、EN，則可證△ABN≌△ADF，△ANE≌△AFE，故有BN=DF，EN=EF，且易得∠EBN=90°，在Rt△EBN中，由勾股定理即可判斷④正確；如圖2，延長CD到P，使DP=BG，連接AP，則易證△ADP≌△ABG，可得AP=AG，且易得∠PAF=∠EAF=45°，從而可證得△APH≌△AGH，易得GH=BG+DH，若設(shè)CH=a，CG=b，由勾股定理有：，另一方面，可得GH=BG+DH=5a-b，因此可得，則，故可判斷⑤錯誤．
【解析】∵四邊形ABCD為正方形
∴AB=AD=BC=CD，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，∠ABE=∠CBE=∠ADB=45°
在△AEB和△CEB中

∴△AEB≌△CEB(SAS)
∴AE=CE
故①正確
若，則∠HGC=∠EAF=45°，∠GHC=∠F
∵∠HCG=90°
∴∠GHC=45°
∴∠GHC=∠F=45°
∴∠AEF=90°
∴AE⊥BD
但只有當(dāng)E點是線段BD的中點時，才有AE⊥BD，其它位置是不垂直的
故②不正確
如圖1，在BC上取BM=DH，連接AM
∵AB=AD，∠ABC=∠ADH=90°，BM=DH
∴ △ABM≌△ADH(SAS)
∴AM=AH，∠BAM=∠DAH
∵∠BAM+∠MAD=∠DAB=90°
∴ ∠MAH=∠DAH+∠MAD =∠BAM+∠MAD=90°
∵
∴
∵AG=AG
∴△AMG≌△AHG(SAS)
∴GM=GH
∴BG=GM+BM=GH+DH
故③正確
∵△AMG≌△AHG
∴
∵△AGM與△BCD的高分別為AB、CD，且AB=CD
∴
∵GM=GH，BC=AB
∴
故⑥正確
如圖1，延長AM到N，使MN=HF，連接BN、EN，則AM+MN=AH+HF，即AN=AF
∵∠BAM=∠DAH，AB=AD
∴△ABN≌△ADF(SAS)
∴BN=DF，∠ABN=∠ADF
∵∠ADF=180°-∠ADB=180°-45°=135°
∴∠ABN=135°
∴ ∠EBN=∠ABN-∠ABD=135°-45°=90°
同理可得：△ANE≌△AFE
∴EN=EF
在Rt△EBN中，由勾股定理得：
∴
故④正確
當(dāng)AB=3CH時，此時點H在邊CD上
設(shè)CH=a，CG=b，則AB=CD=BC=3a，DH=AB-CH=2a，BG=BC-CG=3a-b
如圖2，延長CD到P，使DP=BG，連接AP
∵AB=AD，∠ABC=∠ADP=90°，BG=DP
∴△ABG ≌△ADP(SAS)
∴AG=AP，∠BAG=∠DAP
∴∠GAP=∠GAD+∠DAP=∠GAD+∠BAG=∠DAB=90°
∵∠EAF=45°
∴∠PAF=∠EAF=45°
∵AH=AH
∴△APH≌△AGH(SAS)
∴PH=GH
∵PH=DP+DH
∴GH=BG+DH=3a-b+2a=5a-b
在Rt△GHC中，由勾股定理有：
∴
整理得：
∴CD =3a=
故⑤錯誤
故答案為：①③④⑥
【點睛】本題是正方形的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，涉及到截長補短的方法，綜合性強，難度較大，是一道經(jīng)典的好題，實際上是所謂的“半角”問題，也是平時和中考?？嫉膲狠S題型．
28．如圖，在正方形中，E在上，N為延長線上一點，將沿翻折，使點C的對應(yīng)點F落在上，交于點G，連接交于點H，若，下列說法正確的有___________．
①；②；③；④當(dāng)，時，
【答案】①②④
【分析】由軸對稱的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和為即可判斷①；由全等三角形的判定與性質(zhì)和矩形的判定與性質(zhì)可判斷②；由平行線的性質(zhì)和折疊對③中的結(jié)論進(jìn)行反推，得到不一定成立的結(jié)論，即可判斷③；作輔助線構(gòu)造等腰直角三角形，利用勾股定理即可判定④．
【解析】解：∵四邊形是正方形，
∴，
由翻折可知：，
∴，
∵，
∴，
由翻折得：，
∴，
∴，故①正確；
過C點作于M，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
過E點作，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
由翻折知，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故②正確；
∵與平行，
∴，
∴，
由折疊知，，
∵，且與不一定相等，
∴與不一定相等，
∴與不一定相等，
∴不一定等于，故③不正確；
連接交于點，
由折疊知，，
∵，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由折疊得，
∴，
設(shè)，
∴中，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，故④正確；
故答案為：①②④．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、圖形的折疊、勾股定理等知識，解題關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造矩形或等腰直角三角形，本題綜合性較強，對學(xué)生的要求較高．
29．如圖，在矩形中，，E、F分別是邊、上一點，，將沿翻折得，連接，當(dāng)_____時，是以為腰的等腰三角形．
【答案】或
【分析】設(shè)，則，由翻折得：．當(dāng)′時，作，由，EF平分可證得，則，所以，，分，和兩種情況進(jìn)行求解即可．
【解析】解：∵四邊形是矩形，
∴，
設(shè)，則，
由翻折得：，
作于點，如圖，
∵，
∴，
∴，
∵沿翻折得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
當(dāng)是以為腰的等腰三角形時，
①時，則：，
即，
解得，
∴；
②時，在中，，
即：，
解得：；
∴；
綜上，當(dāng)或時，是以為腰的等腰三角形；
故答案為：或．
【點睛】本題考查了矩形中的折疊問題、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識點，根據(jù)題意列方程是解答本題的關(guān)鍵．
30．如圖，在矩形中，點是的中點，點為上一點，將沿折疊后，點恰好落在上的點處，過點作交于點，若，，則______．
【答案】####2.625
【分析】連接，根據(jù)矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)證明，設(shè)，則，，再根據(jù)勾股定理可得，解得，即；由，易知，則，在中，根據(jù)勾股定理可得，解得，即可獲得答案．
【解析】解：如下圖，連接，
∵四邊形為矩形，，，
∴，，，
∵點是的中點，
∴，
由折疊的性質(zhì)可得，，，， ，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
設(shè)，則，，
∴在中，可有，
即，解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識，正確作出所需輔助線是解題關(guān)鍵．
31．如圖，四邊形是長方形紙片，，對折長方形紙片．使與重合，折痕為．展平后再過點B折疊長方形紙片，使點A落在上的點N，折痕為，再次展平，連接，，延長交于點G．有如下結(jié)論：①；②；③是等邊三角形；④P為線段上一動點，H是線段上的動點，則的最小值是．其中正確結(jié)論的序號是______．
【答案】①③④
【分析】①連接，易得是等邊三角形，得到，進(jìn)而得到，推出，從而得到；②根據(jù)所對的直角邊是斜邊的一半，求出；③由①即可得到是等邊三角形；④點與點關(guān)于對稱，，當(dāng)三點共線時，的值最小為的長，過點作，交于點，交于點，此時最小，進(jìn)行求解即可．
【解析】解：①連接，
∵對折長方形紙片．使與重合，折痕為，
∴，
∵過點B折疊長方形紙片，使點A落在上的點N，折痕為，
∴，，
∴，
∴為等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；故①正確；
②∵，，
∴；故②錯誤；
③∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等邊三角形；故③正確；
④由題意，得：點與點關(guān)于對稱，
∴，
∴當(dāng)三點共線時，的值最小為的長，
過點作，交于點，交于點，此時最小，
∵為等邊三角形，
∴，
∴，
∴的值最小為；故④正確；
綜上：正確的是①③④；
故答案為：①③④．
【點睛】本題考查矩形的折疊問題，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定，含的直角三角形，利用軸對稱解決線段和最小問題．本題的綜合性較強，熟練掌握矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，證明三角形全等，是解題的關(guān)鍵．
32．如圖，以的兩邊，為邊向形外作正方形，，則稱這兩個正方形為外展雙葉正方形．有以下5個結(jié)論：①面積與面積相等．②過點作邊的垂線交于點，則．③為邊的中點，延長線與交于點，則且．④連接、相交于點，則且．⑤連結(jié)，為的中點，則且．其中正確的結(jié)論是_________（填序號）．
【答案】①②③④⑤
【分析】①作，作，證明，推出，由三角形面積公式即可判斷；
②作出圖2的輔助線，證明/，推出，得到，再證明，即可判斷；
③作出圖3的輔助線，證明，再證明，即可判斷；
④作出圖4的輔助線，證明，推出，再證明，即可判斷；
⑤作出圖5的輔助線，證明和，推出，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可判斷．
【解析】解：①如圖1，過點C作于點M，過點H作的延長線于點N，則，
∵四邊形和四邊形都是正方形，
∴，，，
∴，
又∵，
∴（同角的補角相等），
在和中，，
∴，
∴，
又∵，，且，
∴面積與面積相等，故①正確；
②如圖2，過點A作的垂線交于點D，設(shè)垂足為K，過點H作于點Q，過點F作的延長線于點T，則，
∵，
∴，
∴（同角的余角相等），
在和中，，
∴，
∴，
同理可證，
∴，
在和中，，
∴，
∴，故②正確；
③如圖3，延長至L，使，連接，則，
∵O為邊的中點，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由②得，
∴，
∵，
∴
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
∵
∴，故③正確；
④如圖4，連接相交于，設(shè)交于點W，
∵
∴，即
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，故④正確；
⑤如圖5，延長至I，使，連接并延長交于J，
∵四邊形和四邊形都是正方形，
∴，，，
∵S是的中點，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，且，
∴，即，故⑤正確；
綜上所述，正確的有①②③④⑤，
故答案為：①②③④⑤．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形的面積公式，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
33．如圖，分別以直角△ABC的斜邊AB，直角邊AC為邊向△MBC外作等邊△ABD和等邊△ACE，F(xiàn)為AB的中點，DE與AB交于點G，EF與AC交于點H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．給出如下結(jié)論：①EF⊥AC；②四邊形ADFE為菱形；③AD=4AG；④4FH=BD：其中正確結(jié)論的是________．
【答案】①③④
【分析】根據(jù)30°的直角三角形性質(zhì)及等邊三角形性質(zhì)可得出△ABC≌△EFA，△DBF≌△EFA，再由中位線的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行判斷，從而得到答案．
【解析】解：在等邊三角形△ACE中：∠EAC=60°，AE=AC，
∵∠BAC=30°，
∴∠FAE=∠ACB=90°，
∵在中：，
∵F為AB的中點，
∴AB=2AF，AF=FB，
∴BC=AF =FB，
∵∠FAE=∠ACB=90°，AE=AC，BC=AF，
∴△ABC≌△EFA，
∴FE=AB，∠AEF=∠BAC=30°，
∴，
∴EF平分∠AEC，
在等邊三角形△ACE中：AE=EC,EF平分∠AEC，
∴H為AC的中點, EF⊥AC，故①正確，
在等邊三角形△ABD中：AD=BD,F為AB的中點,∠ADB=60°，
∵FD⊥AB，DF平分∠ADB，
∴∠AFD=∠BFD=90°，∠ADF=30°，
∵，
∴，
∴，
∴AF與ED不垂直，
∴四邊形ADFE不是菱形；故②說法不正確；
∵，
∴△DBF≌△EFA，
∴AE=DF，
∵，
∴，
∴四邊形ADFE為平行四邊形，
∴，
∵，
∴，故③說法正確，
∵F為AB的中點,H為AC的中點，
∴，
∵在中：，
∴，
∵AB=BD，
∴，故④說法正確；
故答案為:①③④．
【點睛】此題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形，中位線的判定及性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，涉及幾何知識點較多，靈活運用各個知識點，掌握線段的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
34．如圖，四邊形ABCD為菱形，AB=3，∠ABC=60°，點M為BC邊上一點且BM=2CM，過M作MNAB交AC，AD于點O，N，連接BN．若點P，Q分別為OC，BN的中點，則PQ的長度為________．
【答案】
【分析】連接BD交AC于E，連接QE，過Q作QF⊥AC于F，證△ABC是等邊三角形，得∠ACB=60°，AC=AB=3，再證QE是△BDN的中位線，得QE=DN=，，則∠AEQ=∠ACB=60°，可證得△CMO是等邊三角形，得OC=CM=1，最后由勾股定理求解即可．
【解析】解：連接BD交AC于E，連接QE，過Q作QF⊥AC于F，如圖所示：
∵四邊形ABCD是菱形，AB=3，
∴BC=CD=AD=AB=3，BE=DE，AE=CE，，，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°，AC=AB=3，
∴AE=CE=AC=，
∵BM=2CM，BM+CM=BC=3，
∴CM=1，
∵，，
∴四邊形MNDC是平行四邊形，
∴DN=CM=1，
∵Q是BN的中點，BE=DE，
∴QE是△BDN的中位線，
∴QE=DN=，，
∴∠AEQ=∠ACB=60°，
∵QF⊥AC，
∴∠EQF=90°﹣60°=30°，
∴EF=QE=，
∴，
∵，
∴∠CMN=∠ABC=60°，
∵∠ACB=60°，
∴△CMO是等邊三角形，
∴OC=CM=1，
∵P是OC的中點，
∴PC=OC=，
∴PE=AC-AE-CP=3--=1，
∴PF=PE+EF=1+=，
在Rt△PQF中，由勾股定理得：，
故答案為：．
【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、勾股定理等知識；本題綜合性強，熟練掌握菱形的性質(zhì)和三角形中位線定理，作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵
35．如圖，點E在正方形外，連接，過點A作的垂線交于點F．若．則下列結(jié)論：
①；
②；
③點B到直線的距離為；
④．
其中正確的結(jié)論是________.（填寫所有正確結(jié)論的序號）
【答案】①②③④
【分析】由正方形的性質(zhì)可知，，得出，結(jié)合題意可得出，即證明，從而可用“”證明，故①正確；根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出，結(jié)合全等的性質(zhì)可得，進(jìn)而即可求出，故②正確；過點B作，交延長線于點G，則的長即為點B到直線的距離．根據(jù)勾股定理可求出，從而可求出．又易證為等腰直角三角形，即得出，故③正確；由全等的性質(zhì)可得，即得出，結(jié)合三角形的面積公式即可求出，故④正確．
【解析】∵四邊形是正方形，
∴，，
∴.
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，故①正確；
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，故②正確；
如圖，過點B作，交延長線于點G，則的長即為點B到直線的距離．
∵，，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，故③正確；
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，故④正確．
故答案為：①②③④．
【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識．熟練掌握上述知識，并能夠正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．
36．如圖，， 是正方形 的邊 上的兩個動點，滿足 ，連接 交 于點 ，連接 交 于點 ，連接 ，若正方形的邊長為 ，則線段 的最小值是____．
【答案】
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，，然后利用證明和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得，利用證明和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得，從而得到，然后求出，取的中點O，連接OF、，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，利用勾股定理列式求出，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知當(dāng)O、F、C三點共線時，的長度最?。?br>【解析】解：在正方形中，，，，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
取的中點O，連接，
則，
在中，，
根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，，
∴當(dāng)O、F、C三點共線時，的長度最小，
最小值．
故答案為：．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，確定出CF最小時點F的位置是解題關(guān)鍵，也是本題的難點．

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