浙教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)期中期末挑戰(zhàn)滿分沖刺卷特訓(xùn)06期中解答題(浙江精選歸納39道，第1-4章)(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．（2023春·浙江·八年級(jí)階段練習(xí)）計(jì)算：
(1)計(jì)算；
(2)計(jì)算．
2．（2023春·浙江紹興·八年級(jí)校考階段練習(xí)）計(jì)算：
(1)
(2)
(3)
(4)．
3．（2023春·浙江寧波·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
4．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中
5．（2023春·浙江·八年級(jí)階段練習(xí)）選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br>(1)．
(2)．
(3)．
6．（2023春·浙江紹興·八年級(jí)校考階段練習(xí)）選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br>(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
7．（2023春·浙江·八年級(jí)期中）若a，b，c都是實(shí)數(shù)，且，c為的小數(shù)部分，求的值．
8．（2021春·浙江金華·八年級(jí)校考期中）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
如圖是小亮和小芳的解答過(guò)程．
(1)_____________的解答過(guò)程是錯(cuò)誤的；
(2)錯(cuò)誤的解答過(guò)程原因在于未能正確地運(yùn)用二次根式的性質(zhì)：_____________；
(3)先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
9．（2021春·浙江紹興·八年級(jí)?？计谥校┮阎海蟮闹担?br>10．（2021春·浙江杭州·八年級(jí)杭州市十三中教育集團(tuán)（總校）?？计谥校┤鐖D所示，某品牌的牛奶包裝盒，高，底面為長(zhǎng)方形，將包裝剪開鋪平，得到如圖的紙樣．
（1）牛奶包裝盒底面長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是多少？
（2）若不改變牛奶盒的容積和高度，將生奶盒的底面改為正方形，能否節(jié)約包裝盒的紙張面積？若能，請(qǐng)計(jì)算每個(gè)生奶盒可節(jié)約的紙張面積；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
11．（2023春·浙江·八年級(jí)期中）已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
(1)求a的取值范圍；
(2)當(dāng)a取滿足條件的最小整數(shù)值時(shí)，求方程的根．
12．（2023春·浙江·八年級(jí)期中）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根和．
(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，求m的值．
13．（2021春·浙江杭州·八年級(jí)校考期中）已知關(guān)于的一元二次方程：．
(1)求證：這個(gè)方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
(2)若等腰的一邊長(zhǎng)，另兩邊b、c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求的周長(zhǎng)．
14．（2022春·浙江金華·八年級(jí)統(tǒng)考期中）某商場(chǎng)在去年底以每件元的進(jìn)價(jià)購(gòu)進(jìn)一批同型號(hào)的服裝，一月份以每件元的售價(jià)銷售了件，二、三月份該服裝暢銷，銷量持續(xù)走高，在售價(jià)不變的情況下，三月底統(tǒng)計(jì)知三月份的銷量達(dá)到了件．
(1)求二、三月份服裝銷售量的平均月增長(zhǎng)率；
(2)從四月份起商場(chǎng)因換季清倉(cāng)采用降價(jià)促銷的方式，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在三月份銷量的基礎(chǔ)上，該服裝售價(jià)每降價(jià)元，月銷售量增加件，當(dāng)每件降價(jià)多少元時(shí)，四月份可獲利元？
15．（2021春·浙江杭州·八年級(jí)期中）已知關(guān)于x的一元二次方程．
(1)證明方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
(2)設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，若，求m的值．
16．（2022春·浙江麗水·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知關(guān)于x的一元二次方程x2?(2m?2)x+(m2?2m)=0．
(1)請(qǐng)說(shuō)明該方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)情況；
(2)如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，且(x1+1)?(x2+1)=8，求m的值．
17．（2022春·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校┮阎匠蘹2+bx+a＝0①，和方程ax2+bx+1＝0②（a≠0）．
（1）若方程①的根為x1＝2，x2＝3，求方程②的根；
（2）當(dāng)方程①有一根為x＝r時(shí)，求證x＝是方程②的根；
（3）若a2b+b＝0，方程①的根是m與n，方程②的根是s和t，求的值．
18．（2023春·浙江·八年級(jí)期中）（1）是關(guān)于的一元二次方程的兩實(shí)根，且，求的值．
（2）已知：，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，設(shè)，，…，．根據(jù)根的定義，有，，將兩式相加，得，于是，得．
根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：
①直接寫出，的值．
②經(jīng)計(jì)算可得：，，，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)猜想，，之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．
19．（2023春·浙江·八年級(jí)期中）正月十五是中華民族傳統(tǒng)的節(jié)日——元宵節(jié)，家家掛彩燈、戶戶吃湯圓已成為世代相沿的習(xí)俗．位于北關(guān)古城內(nèi)的盼盼手工湯圓店，計(jì)劃在元宵節(jié)前用21天的時(shí)間生產(chǎn)袋裝手工湯圓，已知每袋湯圓需要0.3斤湯圓餡和0.5斤湯圓粉，而湯圓店每天能生產(chǎn)450斤湯圓餡或300斤湯圓粉（每天只能生產(chǎn)其中一種）．
(1)若這21天生產(chǎn)的湯圓餡和湯圓粉恰好配套，且全部及時(shí)加工成湯圓，則總共生產(chǎn)了多少袋手工湯圓？
(2)為保證手工湯圓的最佳風(fēng)味，湯圓店計(jì)劃把達(dá)21天生產(chǎn)的湯圓在10天內(nèi)銷售完畢．據(jù)統(tǒng)計(jì)，每袋手工湯圓的成本為13元，售價(jià)為25元時(shí)每天可售出225袋，售價(jià)每降低2元，每天可多售出75袋．湯圓店按售價(jià)25元銷售2天后，余下8天進(jìn)行降價(jià)促銷，第10天結(jié)束后將還未售出的手工湯圓以15元/袋的價(jià)格全部賣給古城小吃店，若最終獲利40500元，則促銷時(shí)每袋應(yīng)降價(jià)多少元？
20．（2022秋·浙江·八年級(jí)期中）如圖，已知中，，P、Q是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．
(1)出發(fā)2秒后，求PQ的長(zhǎng)；
(2)當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)幾秒鐘，能形成等腰三角形？
(3)當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求能使成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間（只要直接寫出答案）．
21．（2022春·浙江杭州·八年級(jí)杭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校?duì)于任意一個(gè)三位數(shù)k，如果k滿足各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都不為零，且十位上的數(shù)字的平方等于百位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之積的4倍，那么稱這個(gè)數(shù)為“喜鵲數(shù)”．例如：k＝169，因?yàn)?2＝4×1×9，所以169是“喜鵲數(shù)”．
(1)已知一個(gè)“喜鵲數(shù)”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c為正整數(shù)），請(qǐng)直接寫出a，b，c所滿足的關(guān)系式；判斷241 “喜鵲數(shù)”（填“是”或“不是”），并寫出一個(gè)“喜鵲數(shù)” ；
(2)利用（1）中“喜鵲數(shù)”k中的a，b，c構(gòu)造兩個(gè)一元二次方程ax2+bx+c＝0①與cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一個(gè)根，x＝n是方程②的一個(gè)根，求m與n滿足的關(guān)系式；
(3)在（2）中條件下，且m+n＝﹣2，請(qǐng)直接寫出滿足條件的所有k的值．
22．（2023春·浙江·八年級(jí)期中）2022年3月23日下午，“天宮課堂”再次開講．神舟十三號(hào)飛行乘組三名航天員又一次給全國(guó)的青少年帶來(lái)了精彩的太空實(shí)驗(yàn)，傳播了載人航天知識(shí)和文化．某學(xué)校為了解學(xué)生對(duì)“航空航天知識(shí)”的掌握情況，隨機(jī)抽取了40名學(xué)生進(jìn)行了測(cè)試，并對(duì)成績(jī)（滿分10分，成績(jī)?nèi)≌麛?shù)，7分以上（包括7分）為合格，9分以上（包括9分）為優(yōu)秀）進(jìn)行了整理，繪制了條形統(tǒng)計(jì)圖如下：
(1)請(qǐng)補(bǔ)充完成下面的成績(jī)統(tǒng)計(jì)分析表：
(2)男生說(shuō)他們的合格率、優(yōu)秀率均高于女生，所以他們的成績(jī)好于女生，但女生不同意男生的說(shuō)法，認(rèn)為女生的成績(jī)好于男生，請(qǐng)給出兩條支持女生的理由；
(3)后面又追加了男女共5名同學(xué)（其中女生多于男生）的成績(jī)，這5名同學(xué)成績(jī)均為優(yōu)秀，下面是關(guān)于追加后女生成績(jī)信息的統(tǒng)計(jì)：
請(qǐng)求出追加后女生的人數(shù)，并說(shuō)明理由．
23．（2021春·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校┌耍?）班為了組隊(duì)參加學(xué)校舉行的“五水共治”知識(shí)競(jìng)賽，在班里選取了若干名學(xué)生，分成人數(shù)相同的甲、乙兩組，進(jìn)行了四次“五水共治”模擬競(jìng)賽，將成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)和優(yōu)秀率分別繪制成如圖的統(tǒng)計(jì)圖．
根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，回答下列問(wèn)題：
(1)求第三次模擬競(jìng)賽成績(jī)的優(yōu)秀率和乙組在第四次模擬競(jìng)賽中成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)．
(2)已求得甲組成績(jī)優(yōu)秀人數(shù)的平均數(shù)，方差，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明，哪一組成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)較穩(wěn)定？
24．（2021春·浙江紹興·八年級(jí)校聯(lián)考期中）我市某中學(xué)舉辦“網(wǎng)絡(luò)安全知識(shí)競(jìng)賽”，初、高中部根據(jù)初賽成績(jī)各選出5名選手組成初中代表隊(duì)和高中代表隊(duì)參加學(xué)校決賽，兩個(gè)隊(duì)各選出的5名選手的決賽成績(jī)?nèi)鐖D所示：
(1)根據(jù)圖示求出a，b的值；
(2)結(jié)合兩隊(duì)成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù)進(jìn)行分析，哪個(gè)隊(duì)的決賽成績(jī)較好？
(3)計(jì)算初中代表隊(duì)決賽成績(jī)的方差，并判斷哪一個(gè)代表隊(duì)選手成績(jī)較為穩(wěn)定．
25．（2022春·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在四邊形中，E，F(xiàn)分別為，上的點(diǎn)，且，連接，，若四邊形是平行四邊形．求證：四邊形是平行四邊形．
26．（2021春·浙江杭州·八年級(jí)期中）如圖，在中，是的中點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)若，求四邊形的面積．
27．（2021春·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形中，對(duì)角線和交于點(diǎn)O，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，連接．
(1)求證：．
(2)若，且，，求的長(zhǎng)．
28．（2020春·浙江·八年級(jí)期中）在中，，、分別是、的中點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接、、、，與交于點(diǎn)O．
(1)試說(shuō)明與互相平分；
(2)若，，求的長(zhǎng)．
29．（2021春·浙江·八年級(jí)期中）如圖，在平行四邊形中，，，，
(1)平行四邊形的面積為________．
(2)若是邊的中點(diǎn)，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿所在直線翻折得到，連接，則長(zhǎng)度的最小值是________．
30．（2022春·浙江溫州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E、F分別是BC、AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)D，使AB＝2AD，連接DE、DF、AE、EF，AF與DE交于點(diǎn)O．
(1)試說(shuō)明AF與DE互相平分；
(2)若AB＝8，BC＝12，求DE的長(zhǎng)．
31．（2022秋·浙江紹興·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，中，，于點(diǎn)，，．
(1)求，的長(zhǎng)；
(2)若點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作于點(diǎn)，連接．當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，若是以為腰的等腰三角形，請(qǐng)求出所有符合條件的的長(zhǎng)．
32．（2022秋·浙江杭州·八年級(jí)杭州市采荷中學(xué)?？计谥校┤鐖D，中，，于點(diǎn)O，，．
(1)求，的長(zhǎng)；
(2)若點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作于點(diǎn)，連接．
①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，若是以為腰的等腰三角形，請(qǐng)求出所有符合條件的的長(zhǎng)；
②設(shè)直線交直線于點(diǎn)，連接，，若，則的長(zhǎng)為______（直接寫出結(jié)果）．
33．（2022春·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，四邊形ABCD中，AB//CD，∠B＝∠D，點(diǎn)E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AE，AE交CD于H，∠DCE的平分線交AE于G．
(1)求證：四邊形ABCD為平行四邊形；
(2)如圖1，若AB＝2AD＝10，H為CD的中點(diǎn)，HE＝6，求AC的長(zhǎng)；
(3)如圖2，若∠BAC＝∠DAE，∠AGC＝2∠CAE，求∠CAE的度數(shù)．
34．（2021春·浙江溫州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=10cm，過(guò)點(diǎn)A作AD//BC，且點(diǎn)D在點(diǎn)A的右側(cè)．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AD方向以每秒1cm的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿射線CB方向以每秒2cm的速度運(yùn)動(dòng)，在線段QC上取點(diǎn)E，使得QE=2cm，連結(jié)PE，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
(1)①AP=_______，CE=________；(用含t的式子表示)
②若PE⊥BC，求BQ的長(zhǎng)；
(2)請(qǐng)問(wèn)是否存在t的值，使以A，B，E，P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
35．（2023春·浙江·八年級(jí)期中）已知□ABCD，∠BAD＝30°，AD⊥BD于點(diǎn)D，且AB＝6．點(diǎn)P是射線BA上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BD，交BD所在直線于點(diǎn)E．點(diǎn)Q是射線CD上一動(dòng)點(diǎn)，且CQ＝2AP．設(shè)BP的長(zhǎng)度為m．
(1)當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上時(shí)，
①請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示DE；
②當(dāng)m＝3.6時(shí)，求證：QE=QD；
(2)在點(diǎn)P的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，
①當(dāng)m為何值時(shí)，△DEQ為直角三角形？
②若以QD，QE為鄰邊構(gòu)造□DFEQ．當(dāng)點(diǎn)F恰好落在□ABCD的邊界上時(shí)，直接寫出m的值．
36．（2022秋·浙江溫州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D1，中，，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連結(jié)．已知．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度沿線段向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（秒）．

(1)求證：．
(2)若為等腰三角形時(shí)，求的值．
(3)如圖2，動(dòng)點(diǎn)出發(fā)的同時(shí)，另有一點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿線段向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，速度為個(gè)單位/秒，連結(jié)，將線段繞點(diǎn)分別向順時(shí)針和逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到線段和，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出的值為______．
37．（2021春·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，平行四邊形中，為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)不與、重合，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)．
(1)若為中點(diǎn)，求證：．
(2)若，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的長(zhǎng)度是否改變，若不變，求；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由
(3)在(2)的條件下，為直線上的一點(diǎn)，設(shè)，若、、、四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示．
38．（2021春·浙江金華·八年級(jí)?？计谥校?shí)驗(yàn)與探究：
(1)在圖1，圖2，圖3中，已知的頂點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)（如圖所示），寫出圖1，圖2，圖3中的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，它們分別是_____________，_____________，_____________；
(2)在圖4中，給出的頂點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)（如圖所示），求出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)（點(diǎn)C的坐標(biāo)用含a，b，c，d，e，f的代數(shù)式表示）；
(3)通過(guò)對(duì)圖1，圖2，圖3，圖4的觀察和頂點(diǎn)C的坐標(biāo)的探究，你會(huì)發(fā)現(xiàn)：無(wú)論處于平面直角坐標(biāo)系中哪個(gè)位置，當(dāng)其頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（如圖4）時(shí)，四個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)a，c，m，e之間都滿足等量關(guān)系：_____________，縱坐標(biāo)b，d，n，f之間都滿足等量關(guān)系：_____________（不必證明）．
39．（2021春·浙江·八年級(jí)期末）如圖，四邊形中，，點(diǎn)E為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，交于H．的平分線交于G．
（1）求證：四邊形為平行四邊形；
（2）如圖1，若，H為的中點(diǎn)，，求的長(zhǎng)；
（3）如圖2，若
①，求的度數(shù)；
②_____（用含有n的式子表示）
平均分
方差
中位數(shù)
合格率
優(yōu)秀率
男生
6.52
2.9
56%
16%
女生
2.8
53%
13%
眾數(shù)
中位數(shù)
追加前
8
追加后
9
7.5
平均分（分）
中位數(shù)（分）
眾數(shù)（分）
方差
初中部
a
85
b
高中部
85
80
100
160
特訓(xùn)06 期中解答題（浙江精選歸納39道，第1-4章）
一、解答題
1．（2023春·浙江·八年級(jí)階段練習(xí)）計(jì)算：
(1)計(jì)算；
(2)計(jì)算．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化簡(jiǎn)二次根式，再根據(jù)二次根式的加減計(jì)算法則求解即可；
（2）根據(jù)二次根式的混合計(jì)算法則求解即可．
【解析】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的加減計(jì)算，二次根式的加減和乘法乘方的混合計(jì)算，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．
2．（2023春·浙江紹興·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：
(1)
(2)
(3)
(4)．
【答案】(1)1
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先化簡(jiǎn)各二次根式，然后合并即可；
（2）先利用二次根式的乘法法則計(jì)算，然后化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)二次根式，再合并即可；
（3）先化簡(jiǎn)各二次根式，然后合并即可；
（3）利用完全平方公式、平方差公式計(jì)算即可．
【解析】（1）解：原式
；
（2）原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的計(jì)算，掌握二次根式的性質(zhì)，乘法法則以及合并同類二次根式法則是解題的關(guān)鍵．
3．（2023春·浙江寧波·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）先化為最簡(jiǎn)二次根式同時(shí)變除法為乘法，再按乘法分配律運(yùn)算即可；
（2）先化為最簡(jiǎn)二次根式同時(shí)去括號(hào)，再合并同類二次根式即可；
（3）先利用乘法分配律運(yùn)算，再進(jìn)行二次根式混合運(yùn)算即可；
（4）先利用平方差公式運(yùn)算，再進(jìn)行二次根式混合運(yùn)算即可；
（5）利用完全平方公式計(jì)算；
（6）分子和分母同乘以分母的有理化因式，再進(jìn)行運(yùn)算．
【解析】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，平方差公式，完全平方公式和分母有理化，熟練掌握二次根式的各個(gè)運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
4．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中
【答案】；
【分析】先根據(jù)平方差公式和單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則去括號(hào)，然后合并同類項(xiàng)化簡(jiǎn)，最后代值計(jì)算即可．
【解析】解：
，
當(dāng)時(shí)，原式．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
5．（2023春·浙江·八年級(jí)階段練習(xí)）選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br>(1)．
(2)．
(3)．
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用直接開方法解一元二次方程即可；
（3）利用公式法解一元二次方程即可．
【解析】（1）解：，
去括號(hào)得，
移項(xiàng)得，，
，
解得：，；
（2）解：，
，
，
解得：，；
（3）解：，
去括號(hào)得，，
移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得，，
∴，
∴，
∴，
解得：，．
【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．
6．（2023春·浙江紹興·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br>(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
(4)
(5)，
【分析】（1）先移項(xiàng)，再利用因式分解法求解即可；
（2）先移項(xiàng)，再利用因式分解法求解即可；
（3）先把系數(shù)化為1，再直接開平方求解即可；
（4）先移項(xiàng)，再利用完全平方公式求解即可；
（5）先移項(xiàng)，去括號(hào)，合并同類項(xiàng)，再利用因式分解法求解即可．
【解析】（1）解：，
移項(xiàng)得：，
提取公因式得：，
，，
，；
（2）解：，
移項(xiàng)得：，
因式分解得：，
，，
，；
（3）解：，
系數(shù)化為1得：，
開平方得：，
，，
，；
（4）解：
移項(xiàng)得：，
因式分解得：，
，
；
（5）解：，
移項(xiàng)得：，
去括號(hào)得：，
化簡(jiǎn)得：，
因式分解得：，
，，
，．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法，根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用合適的方法是解題的關(guān)鍵．
7．（2023春·浙江·八年級(jí)期中）若a，b，c都是實(shí)數(shù)，且，c為的小數(shù)部分，求的值．
【答案】
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件求出a值，從而得到b值，再估算出的范圍，從而得到小數(shù)部分，即為c值，代入計(jì)算即可．
【解析】解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的小數(shù)部分為，即，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，無(wú)理數(shù)的估算，利用被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)得出a的值是解題關(guān)鍵．
8．（2021春·浙江金華·八年級(jí)?？计谥校┫然?jiǎn)，再求值：，其中．
如圖是小亮和小芳的解答過(guò)程．
(1)_____________的解答過(guò)程是錯(cuò)誤的；
(2)錯(cuò)誤的解答過(guò)程原因在于未能正確地運(yùn)用二次根式的性質(zhì)：_____________；
(3)先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
【答案】(1)小亮
(2)（或）
(3)
【分析】（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)，判斷出小亮的計(jì)算是錯(cuò)誤的；
（2）錯(cuò)誤原因是：二次根式的性質(zhì)的應(yīng)用錯(cuò)誤；
（3）先根據(jù)配方法把被開方數(shù)配成完全平方，然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，再代入計(jì)算即可．
【解析】（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)，判斷出小亮的計(jì)算是錯(cuò)誤的，
故答案為：小亮；
（2）二次根式的性質(zhì)為：（或），
故答案為：（或）；
（3）解：原式，
，
，
原式
．
【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的化簡(jiǎn)求值，要熟練掌握二次根式的性質(zhì)：．
9．（2021春·浙江紹興·八年級(jí)?？计谥校┮阎?，求的值．
【答案】
【分析】直接把代入要求的代數(shù)式中進(jìn)行求解即可．
【解析】解：當(dāng)時(shí)，
原式．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握完全平方公式和二次根式的混合計(jì)算法則．
10．（2021春·浙江杭州·八年級(jí)杭州市十三中教育集團(tuán)（總校）校考期中）如圖所示，某品牌的牛奶包裝盒，高，底面為長(zhǎng)方形，將包裝剪開鋪平，得到如圖的紙樣．
（1）牛奶包裝盒底面長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是多少？
（2）若不改變牛奶盒的容積和高度，將生奶盒的底面改為正方形，能否節(jié)約包裝盒的紙張面積？若能，請(qǐng)計(jì)算每個(gè)生奶盒可節(jié)約的紙張面積；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）長(zhǎng)為8cm，寬為5cm；（2）能，cm2
【分析】（1）設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，寬為，列出方程組，解之即可；
（2）設(shè)底面正方形邊長(zhǎng)為，分別計(jì)算前后單個(gè)紙盒的面積，作差比較即可．
【解析】解：（1）設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，寬為，且；
由題意可得：，
解得：或，舍去）；
長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，寬為．
（2）設(shè)底面正方形邊長(zhǎng)為，則有，
，（舍去），
此時(shí)單個(gè)紙盒的面積為，
原來(lái)紙盒的面積為，
，
，
能節(jié)約包裝盤的紙張面積，且每個(gè)牛奶盤可節(jié)約．
【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的應(yīng)用和剪紙的相關(guān)內(nèi)容，解題的關(guān)鍵在于熟記長(zhǎng)方體的體積公式并準(zhǔn)確運(yùn)算．
11．（2023春·浙江·八年級(jí)期中）已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
(1)求a的取值范圍；
(2)當(dāng)a取滿足條件的最小整數(shù)值時(shí)，求方程的根．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式進(jìn)行求解即可；
（2）先結(jié)合（1）求出得到原方程為，解方程即可得到答案．
【解析】（1）解：∵關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴，
∴；
（2）解：∵a取滿足條件的最小整數(shù)值，
∴，
∴原方程為，
∴，
解得，．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判別式，對(duì)于一元二次方程，若，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
12．（2023春·浙江·八年級(jí)期中）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根和．
(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用“”即可求解；
（2）先對(duì)左邊進(jìn)行變形，得到兩根之和與兩根之差，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式進(jìn)行求解即可．
【解析】（1）根據(jù)題意得，
解得；
（2）根據(jù)題意得，
∵，
∴，
∴或，
即或，
解得或，
而，
∴m的值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，涉及到了因式分解等知識(shí)，解題關(guān)鍵是理解題意，正確求解．
13．（2021春·浙江杭州·八年級(jí)校考期中）已知關(guān)于的一元二次方程：．
(1)求證：這個(gè)方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
(2)若等腰的一邊長(zhǎng)，另兩邊b、c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求的周長(zhǎng)．
【答案】(1)見解析
(2)10
【分析】（1）先計(jì)算△，化簡(jiǎn)得到，易得，然后根據(jù)△的意義即可得到結(jié)論；
（2）利用求根公式計(jì)算出方程的兩根，，則可設(shè)，，然后討論：當(dāng)、為腰；當(dāng)、為腰，分別求出邊長(zhǎng)，但要滿足三角形三邊的關(guān)系，最后計(jì)算周長(zhǎng)．
【解析】（1）解：證明：
，
無(wú)論取什么實(shí)數(shù)值，，
，
無(wú)論取什么實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；
（2），
，，
，恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，設(shè)，，
當(dāng)、為腰，則，即，解得，此時(shí)三角形的周長(zhǎng)；
當(dāng)、為腰時(shí)，，此時(shí)，故此種情況不存在．
綜上所述，的周長(zhǎng)為10．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式：當(dāng)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．也考查了三角形三邊的關(guān)系以及分類討論思想的運(yùn)用．
14．（2022春·浙江金華·八年級(jí)統(tǒng)考期中）某商場(chǎng)在去年底以每件元的進(jìn)價(jià)購(gòu)進(jìn)一批同型號(hào)的服裝，一月份以每件元的售價(jià)銷售了件，二、三月份該服裝暢銷，銷量持續(xù)走高，在售價(jià)不變的情況下，三月底統(tǒng)計(jì)知三月份的銷量達(dá)到了件．
(1)求二、三月份服裝銷售量的平均月增長(zhǎng)率；
(2)從四月份起商場(chǎng)因換季清倉(cāng)采用降價(jià)促銷的方式，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在三月份銷量的基礎(chǔ)上，該服裝售價(jià)每降價(jià)元，月銷售量增加件，當(dāng)每件降價(jià)多少元時(shí)，四月份可獲利元？
【答案】(1)
(2)每件降價(jià)10元，四月份可獲利10400元
【分析】（1）由題意可得：一月份的銷售量為：320件；設(shè)二月份到三月份銷售額的月平均增長(zhǎng)率，則二月份的銷售量為：；三月份的銷售量為：，又知三月份的銷售量為：500件，由此等量關(guān)系列出方程求出x的值，即求出了平均增長(zhǎng)率；
（2）利用銷量×每件商品的利潤(rùn)求出即可．
【解析】（1）設(shè)二、三月份銷售量的平均月增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意得：
解得：（不合題意，舍去）．
答：二、三月份銷售量的平均月增長(zhǎng)率為．
（2）解：設(shè)每件降價(jià)y元，根據(jù)題意得：
整理得：
解得：（不合，舍去）．
答：每件降價(jià)10元，四月份可獲利10400元
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確的列出方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
15．（2021春·浙江杭州·八年級(jí)期中）已知關(guān)于x的一元二次方程．
(1)證明方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
(2)設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，若，求m的值．
【答案】(1)見詳解
(2)
【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式可直接進(jìn)行求解；
（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可直接進(jìn)行求解．
【解析】（1）解：∵，
∴，
∴
=
=4＞0，
∴該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）解：由（1）及根與系數(shù)的關(guān)系可得：，
∵，
∴，
代入得：，整理得：，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
16．（2022春·浙江麗水·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知關(guān)于x的一元二次方程x2?(2m?2)x+(m2?2m)=0．
(1)請(qǐng)說(shuō)明該方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)情況；
(2)如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，且(x1+1)?(x2+1)=8，求m的值．
【答案】(1)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
(2)m=3或-3
【分析】（1）根據(jù)根的判別式先求出Δ的值，再判斷即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2=2m-2，x1?x2=m2-2m，代入計(jì)算即可求出答案．
【解析】（1）解：∵a=1，b=?(2m?2)，c= m2?2m，
∴ =2-4(m2-2m)=4m2-8m+4-4m2+8m=4＞0，
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）解：∵(x1+1)?(x2+1)=8，
整理得x1x2+(x1+x2)+1=8，
∵x1+x2=2m-2，x1x2=m2-2m，
∴m2-2m+2m-2+1=8，
∴m2=9，
∴m=3或m=-3．
【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解法．
17．（2022春·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校┮阎匠蘹2+bx+a＝0①，和方程ax2+bx+1＝0②（a≠0）．
（1）若方程①的根為x1＝2，x2＝3，求方程②的根；
（2）當(dāng)方程①有一根為x＝r時(shí)，求證x＝是方程②的根；
（3）若a2b+b＝0，方程①的根是m與n，方程②的根是s和t，求的值．
【答案】（1）x1＝，x2＝；（2）見解析；（3）1
【分析】（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求得a、b的值，即可得到方程②，然后利用因式分解法解方程②即可；
（2）根據(jù)方程根的定義得到r2+br+a=0，兩邊同除r2得+1＝0，即可證得x=是方程②的根；
（3）根據(jù)題意b=0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到m+n=0，s+t=0，從而得到m=-n，s=-t，即可得到ms=nt，進(jìn)而求得=1．
【解析】解：（1）∵方程x2+bx+a＝0的根為x1＝2，x2＝3，
∴﹣b＝2+3＝5，a＝2×3＝6，
∴方程②為6x2﹣5x+1＝0，
（3x﹣1）（2x﹣1）＝0，
∴方程②的根為x1＝，x2＝；
（2）∵方程①有一根為x＝r，
∴r2+br+a＝0，
兩邊同除r2得+1＝0，
∴是方程ax2+bx+1＝0的根，
∴x＝是方程②的根；
（3）∵a2b+b＝0，
∴b＝0，
∵方程①的根是m與n，方程②的根是s和t，
∴m+n＝0，mn＝a，s+t＝0，st＝，
∴a＝＝mn，m＝﹣n，s＝﹣t，
∴ms＝nt，
∴＝1．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，．
18．（2023春·浙江·八年級(jí)期中）（1）是關(guān)于的一元二次方程的兩實(shí)根，且，求的值．
（2）已知：，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，設(shè)，，…，．根據(jù)根的定義，有，，將兩式相加，得，于是，得．
根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：
①直接寫出，的值．
②經(jīng)計(jì)算可得：，，，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)猜想，，之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．
【答案】（1）1；（2）①，；②，證明見解析
【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得出，．由，可得，即得出關(guān)于k的一元二次方程，解出k的值，再根據(jù)一元二次方程根的判別式驗(yàn)證，舍去不合題意的值即可；
（2）①根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得出，，進(jìn)而可求出，；②由一元二次方程的解的定義可得出，兩邊都乘以，得：①，同理可得：②，再由①+②，得：．最后結(jié)合題意即可得出，即．
【解析】解：（1）∵是關(guān)于的一元二次方程的兩實(shí)根，
∴，，
∴，
整理，得：，
解得：，．
當(dāng)時(shí)，，
∴此時(shí)原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，
∴不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，
∴此時(shí)原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴符合題意，
∴的值為1；
（2）①∵，
∴．
∵，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴，，
∴，；
②猜想：．
證明：根據(jù)一元二次方程根的定義可得出，兩邊都乘以，得：①，
同理可得：②，
由①+②，得：，
∵，，，
∴，即．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的判別式，一元二次方程的解的定義．掌握一元二次方程的根的判別式為，且當(dāng)時(shí)，該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，該方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．熟記一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：和是解題關(guān)鍵．
19．（2023春·浙江·八年級(jí)期中）正月十五是中華民族傳統(tǒng)的節(jié)日——元宵節(jié)，家家掛彩燈、戶戶吃湯圓已成為世代相沿的習(xí)俗．位于北關(guān)古城內(nèi)的盼盼手工湯圓店，計(jì)劃在元宵節(jié)前用21天的時(shí)間生產(chǎn)袋裝手工湯圓，已知每袋湯圓需要0.3斤湯圓餡和0.5斤湯圓粉，而湯圓店每天能生產(chǎn)450斤湯圓餡或300斤湯圓粉（每天只能生產(chǎn)其中一種）．
(1)若這21天生產(chǎn)的湯圓餡和湯圓粉恰好配套，且全部及時(shí)加工成湯圓，則總共生產(chǎn)了多少袋手工湯圓？
(2)為保證手工湯圓的最佳風(fēng)味，湯圓店計(jì)劃把達(dá)21天生產(chǎn)的湯圓在10天內(nèi)銷售完畢．據(jù)統(tǒng)計(jì)，每袋手工湯圓的成本為13元，售價(jià)為25元時(shí)每天可售出225袋，售價(jià)每降低2元，每天可多售出75袋．湯圓店按售價(jià)25元銷售2天后，余下8天進(jìn)行降價(jià)促銷，第10天結(jié)束后將還未售出的手工湯圓以15元/袋的價(jià)格全部賣給古城小吃店，若最終獲利40500元，則促銷時(shí)每袋應(yīng)降價(jià)多少元？
【答案】(1)總共生產(chǎn)了袋手工湯圓
(2)促銷時(shí)每袋應(yīng)降價(jià)3元
【分析】（1）設(shè)總共生產(chǎn)了袋手工湯圓，利用這21天生產(chǎn)的湯圓餡和湯圓粉恰好配套做等量關(guān)系列出方程即可；
（2）設(shè)促銷時(shí)每袋應(yīng)降價(jià)元，利用最終獲利40500元做等量關(guān)系列出方程即可．
【解析】（1）設(shè)總共生產(chǎn)了袋手工湯圓，
依題意得，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，
答：總共生產(chǎn)了袋手工湯圓
（2）設(shè)促銷時(shí)每袋應(yīng)降價(jià)元，
當(dāng)剛好10天全部賣完時(shí)，
依題意得，
整理得：
，
∴方程無(wú)解
∴10天不能全部賣完
∴第10天結(jié)束后將還未售出的手工湯圓以15元/袋的價(jià)格全部賣給古城小吃店的利潤(rùn)為
∴依題意得，
解得
∵要促銷
∴
即促銷時(shí)每袋應(yīng)降價(jià)3元．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程，需要注意分情況討論．
20．（2022秋·浙江·八年級(jí)期中）如圖，已知中，，P、Q是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．
(1)出發(fā)2秒后，求PQ的長(zhǎng)；
(2)當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)幾秒鐘，能形成等腰三角形？
(3)當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求能使成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間（只要直接寫出答案）．
【答案】(1)
(2)秒
(3)6.6秒或6秒或5.5秒
【分析】（1）根據(jù)題意可求得AP和BQ，則可求得BP，由勾股定理即可得出結(jié)論；
（2）用t可分別表示出BP和BQ，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到，可得到關(guān)于t的方程，可求得t；
（3）用t分別表示出AQ和CQ，利用等腰三角形的性質(zhì)可分和三種情況，分別得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，則，
∵，
∴，
在中，由勾股定理可得，
即PQ的長(zhǎng)為；
（2）由題意可知，
∵，
∴，
當(dāng)為等腰三角形時(shí)，則有，
∴，
解得，
∴出發(fā)秒后能形成等腰三角形；
（3）在中，由勾股定理可求得，
當(dāng)點(diǎn)Q在AC上時(shí)，，
∴，
∵為等腰三角形，
∴有和三種情況，
①當(dāng)時(shí)，
如圖1，過(guò)B作，
則，
在中，求得，
在中，由勾股定理可得，
即，
解得或（舍去）；
②當(dāng)時(shí)，則，
解得；
③當(dāng)時(shí)，則，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得；
綜上可知當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為6.6秒或6秒或5.5秒時(shí)，為等腰三角形．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是用時(shí)間t表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng)，化“動(dòng)”為“靜”是解決這類問(wèn)題的一般思路，注意方程思想的應(yīng)用．
21．（2022春·浙江杭州·八年級(jí)杭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校?duì)于任意一個(gè)三位數(shù)k，如果k滿足各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都不為零，且十位上的數(shù)字的平方等于百位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之積的4倍，那么稱這個(gè)數(shù)為“喜鵲數(shù)”．例如：k＝169，因?yàn)?2＝4×1×9，所以169是“喜鵲數(shù)”．
(1)已知一個(gè)“喜鵲數(shù)”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c為正整數(shù)），請(qǐng)直接寫出a，b，c所滿足的關(guān)系式；判斷241 “喜鵲數(shù)”（填“是”或“不是”），并寫出一個(gè)“喜鵲數(shù)” ；
(2)利用（1）中“喜鵲數(shù)”k中的a，b，c構(gòu)造兩個(gè)一元二次方程ax2+bx+c＝0①與cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一個(gè)根，x＝n是方程②的一個(gè)根，求m與n滿足的關(guān)系式；
(3)在（2）中條件下，且m+n＝﹣2，請(qǐng)直接寫出滿足條件的所有k的值．
【答案】(1)b2﹣4ac＝0；不是；121
(2)mn＝1
(3)121，242，363，484
【分析】（1）根據(jù)喜鵲數(shù)的定義解答即可；
（2）根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式解答即可；
（3）求出m與n互為倒數(shù)，又m+n＝﹣2，得出m＝﹣1，n＝﹣1，求出b＝a+c，a＝c，結(jié)合喜鵲數(shù)的定義即可得出答案．
【解析】（1）∵k＝100a+10b+c是喜鵲數(shù)，
∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0；
∵42＝16，4×2×1＝8，16≠8，
∴241不是喜鵲數(shù)；
∵各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都不為零，百位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之積的4倍，
∴十位上的數(shù)字的平方最小為4，
∵22＝4，4×1×1＝4，
∴最小的“喜鵲數(shù)”是121．
故答案為：b2﹣4ac＝0；不是；121．
（2）∵x＝m是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一個(gè)根，x＝n是一元二次方程cx2+bx+a＝0的一個(gè)根，
∴am2+bm+c＝0，cn2+bn+a＝0，
將cn2+bn+a＝0兩邊同除以n2得：a（）2+b（）+c＝0，
∴將m、看成是方程ax2+bx+c的兩個(gè)根，
∵b2﹣4ac＝0，
∴方程ax2+bx+c有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴m＝，即mn＝1；
故答案為：mn＝1．
（3）∵m+n＝﹣2，mn＝1，
∴m＝﹣1，n＝﹣1，
∴a﹣b+c＝0，
∴b＝a+c，
∵b2＝4ac，
∴（a+c）2＝4ac，
解得：a＝c，
∴滿足條件的所有k的值為121，242，363，484．
故答案為：121，242，363，484．
【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是弄清喜鵲數(shù)的定義．
22．（2023春·浙江·八年級(jí)期中）2022年3月23日下午，“天宮課堂”再次開講．神舟十三號(hào)飛行乘組三名航天員又一次給全國(guó)的青少年帶來(lái)了精彩的太空實(shí)驗(yàn)，傳播了載人航天知識(shí)和文化．某學(xué)校為了解學(xué)生對(duì)“航空航天知識(shí)”的掌握情況，隨機(jī)抽取了40名學(xué)生進(jìn)行了測(cè)試，并對(duì)成績(jī)（滿分10分，成績(jī)?nèi)≌麛?shù)，7分以上（包括7分）為合格，9分以上（包括9分）為優(yōu)秀）進(jìn)行了整理，繪制了條形統(tǒng)計(jì)圖如下：
(1)請(qǐng)補(bǔ)充完成下面的成績(jī)統(tǒng)計(jì)分析表：
(2)男生說(shuō)他們的合格率、優(yōu)秀率均高于女生，所以他們的成績(jī)好于女生，但女生不同意男生的說(shuō)法，認(rèn)為女生的成績(jī)好于男生，請(qǐng)給出兩條支持女生的理由；
(3)后面又追加了男女共5名同學(xué)（其中女生多于男生）的成績(jī)，這5名同學(xué)成績(jī)均為優(yōu)秀，下面是關(guān)于追加后女生成績(jī)信息的統(tǒng)計(jì)：
請(qǐng)求出追加后女生的人數(shù)，并說(shuō)明理由．
【答案】(1)表格見詳解
(2)理由見詳解
(3)追加后女生的人數(shù)為18人，理由見詳解
【分析】（1）根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖可進(jìn)行求解；
（2）根據(jù)（1）中的數(shù)據(jù)可進(jìn)行求解；
（3）根據(jù)題意及（1）中的數(shù)據(jù)可進(jìn)行求解．
【解析】（1）解：由條形統(tǒng)計(jì)圖可得：女生的平均分為；
男生的人數(shù)為25人，則中位數(shù)為第13位，即為7，女生人數(shù)為15人，則中位數(shù)為第8位，即為7；
所以補(bǔ)充成績(jī)統(tǒng)計(jì)分析表如下：
（2）解：由（1）可知：女生的平均分比男生高，并且女生的方差比男生的方差小，說(shuō)明女生的整體波動(dòng)較小，所以女生的成績(jī)比男生好；
（3）解：設(shè)追加女生的人數(shù)為x人，由題意可知追加的女生成績(jī)均為9分，且中位數(shù)為7.5，說(shuō)明x必為奇數(shù)，且中位數(shù)為第9、10兩人的平均數(shù)，由此可知，
∴追加后女生的人數(shù)為18人．
【點(diǎn)睛】本題主要考查中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)及方差，熟練掌握中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)及方差是解題的關(guān)鍵．
23．（2021春·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校┌耍?）班為了組隊(duì)參加學(xué)校舉行的“五水共治”知識(shí)競(jìng)賽，在班里選取了若干名學(xué)生，分成人數(shù)相同的甲、乙兩組，進(jìn)行了四次“五水共治”模擬競(jìng)賽，將成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)和優(yōu)秀率分別繪制成如圖的統(tǒng)計(jì)圖．
根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，回答下列問(wèn)題：
(1)求第三次模擬競(jìng)賽成績(jī)的優(yōu)秀率和乙組在第四次模擬競(jìng)賽中成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)．
(2)已求得甲組成績(jī)優(yōu)秀人數(shù)的平均數(shù)，方差，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明，哪一組成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)較穩(wěn)定？
【答案】(1)，9
(2)甲組績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)較穩(wěn)定
【分析】（1）根據(jù)計(jì)算總?cè)藬?shù)人，根據(jù)計(jì)算優(yōu)秀總?cè)藬?shù)，依次計(jì)算即可．
（2）計(jì)算乙組優(yōu)秀人數(shù)的平均數(shù)，方差，比較判斷即可．
【解析】（1）根據(jù)題意，得參賽總?cè)藬?shù)為：人，
∴第三次模擬競(jìng)賽成績(jī)的優(yōu)秀率為；
∵在第四次模擬競(jìng)賽中成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)為人，甲組有8人，
∴乙組在第四次模擬競(jìng)賽中成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)為：17-8=9（人）．
（2）∵乙組在模擬競(jìng)賽中成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)的平均數(shù)為，方差，
∴，
∴甲組績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)較穩(wěn)定．
【點(diǎn)睛】本題考查了樣本容量的計(jì)算，平均數(shù)，方差，熟練掌握平均數(shù)，方差的計(jì)算，并靈活運(yùn)用決策是解題的關(guān)鍵．
24．（2021春·浙江紹興·八年級(jí)校聯(lián)考期中）我市某中學(xué)舉辦“網(wǎng)絡(luò)安全知識(shí)競(jìng)賽”，初、高中部根據(jù)初賽成績(jī)各選出5名選手組成初中代表隊(duì)和高中代表隊(duì)參加學(xué)校決賽，兩個(gè)隊(duì)各選出的5名選手的決賽成績(jī)?nèi)鐖D所示：
(1)根據(jù)圖示求出a，b的值；
(2)結(jié)合兩隊(duì)成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù)進(jìn)行分析，哪個(gè)隊(duì)的決賽成績(jī)較好？
(3)計(jì)算初中代表隊(duì)決賽成績(jī)的方差，并判斷哪一個(gè)代表隊(duì)選手成績(jī)較為穩(wěn)定．
【答案】(1)85，85
(2)由表格知初中部和高中部的平均分相同，但是初中部的中位數(shù)高，故初中部決賽成績(jī)較好
(3)70，初中代表隊(duì)比較穩(wěn)定
【分析】(1)根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式和眾數(shù)的定義分別進(jìn)行求解即可；
(2)在平均數(shù)相同的情況下，中位數(shù)高的那個(gè)對(duì)的決賽成績(jī)較好；
(3)首先求出各個(gè)隊(duì)的方差，根據(jù)方差的意義得出答案．
【解析】（1）解：平均分，眾數(shù)；
（2）由表格知初中部和高中部的平均分相同，但是初中部的中位數(shù)高，故初中部決賽成績(jī)較好．
（3），
∵，
∴初中代表隊(duì)比較穩(wěn)定．
【點(diǎn)睛】此題考查方差的意義，方差反映一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，方差越大說(shuō)明數(shù)據(jù)波動(dòng)越大．
25．（2022春·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在四邊形中，E，F(xiàn)分別為，上的點(diǎn)，且，連接，，若四邊形是平行四邊形．求證：四邊形是平行四邊形．
【答案】證明見解析．
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得，，則，再證，即可得出結(jié)論．
【解析】證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴四邊形是平行四邊形．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證出是解題的關(guān)鍵．
26．（2021春·浙江杭州·八年級(jí)期中）如圖，在中，是的中點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)若，求四邊形的面積．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)四邊形是平行四邊形，得，，根據(jù)是的中點(diǎn)，，即可判定四邊形是平行四邊形；
（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)四邊形是平行四邊形，得，，又根據(jù)四邊形是平行四邊形，，；根據(jù)直角三角形中，所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，勾股定理，求出，的長(zhǎng)度，即可求解．
【解析】（1）∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
又∵F是AD的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四邊形是平行四邊形，
（2）∵四邊形是平行四邊形
∴，
又∵四邊形是平行四邊形
∴，
∴
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)
∴
∵
∴
∴
∴
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和判定，勾股定理，直角三角形中，所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．
27．（2021春·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形中，對(duì)角線和交于點(diǎn)O，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，連接．
(1)求證：．
(2)若，且，，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見解析
(2)16
【分析】（1）由平行四邊形性質(zhì)，，再結(jié)合中點(diǎn)條件，利用“”即可證明．
（2）根據(jù)題意得出為等腰三角形，由F是的中點(diǎn)，可得，利用勾股定理求解即可．
【解析】（1）證明：∵平行四邊形，
∴，，，
∴，
∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，
∴，，
∴，
在三角形和中，
，
．
（2）根據(jù)題意得
∴，
∵平行四邊形，
，
∴為等腰三角形，
∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，
∴，
在中，，，
，
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，掌握平行四邊形性質(zhì)和全等三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．
28．（2020春·浙江·八年級(jí)期中）在中，，、分別是、的中點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接、、、，與交于點(diǎn)O．
(1)試說(shuō)明與互相平分；
(2)若，，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）結(jié)合已知條件推知四邊形是平行四邊形，則該平行四邊形的兩條對(duì)角線互相平分；
（2）根據(jù)勾股定理求得的長(zhǎng)度，然后由平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理來(lái)求的長(zhǎng)度．
【解析】（1）∵、分別是、的中點(diǎn)，
∴是的中位線，
∴且．
又，即，
∴，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴與互相平分；
（2）∵在中，，，，
∴由勾股定理得，
又由（1）知，，且，
∴．
∴在中，，，，
∴由勾股定理得．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理．理解三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
29．（2021春·浙江·八年級(jí)期中）如圖，在平行四邊形中，，，，
(1)平行四邊形的面積為________．
(2)若是邊的中點(diǎn)，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿所在直線翻折得到，連接，則長(zhǎng)度的最小值是________．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，，根據(jù)含度角的直角三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而求得四邊形的面積；
（2）連接，過(guò)點(diǎn)作于，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，以及兩點(diǎn)直線線段最短可得到，當(dāng)折線與線段重合時(shí)，線段的長(zhǎng)度最短，根據(jù)勾股定理即可求解．
【解析】（1）解：過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于，
四邊形是平行四邊形，
，，，
，
，
四邊形的面積；
故答案為：；
（2）連接，過(guò)點(diǎn)作于，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)；
四邊形為平行四邊形，
，，
點(diǎn)為的中點(diǎn)，，
，，
，，
，
由勾股定理得：，
，
由翻折變換的性質(zhì)得：，
，
，當(dāng)折線與線段重合時(shí)，線段的長(zhǎng)度最短，
此時(shí)，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱求線段最值問(wèn)題，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
30．（2022春·浙江溫州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E、F分別是BC、AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)D，使AB＝2AD，連接DE、DF、AE、EF，AF與DE交于點(diǎn)O．
(1)試說(shuō)明AF與DE互相平分；
(2)若AB＝8，BC＝12，求DE的長(zhǎng)．
【答案】(1)證明見解析；
(2)
【分析】（1）結(jié)合已知條件推知四邊形AEFD是平行四邊形，在該平行四邊形的兩條對(duì)角線互相平分；
（2）根據(jù)勾股定理求得AC的長(zhǎng)度，然后由平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理來(lái)求DO的長(zhǎng)度，即可求得DE的長(zhǎng)．
（1）
證明：∵E、F分別是BC、AC的中點(diǎn)，
∴EF是△ABC的中位線，
∴EFAB且EF＝AB．
又AB＝2AD，即AD＝AB，
∴ADEF，AD＝EF，
∴四邊形AEFD是平行四邊形，
∴AF與DE互相平分；
（2）
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，BC＝12，
∴由勾股定理得
又由（1）知，OA＝OF，且AF＝CF，
∴，
∴在△AOD中，∠DAO＝90°，AD＝AB＝4，OA＝，
∴由勾股定理得，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理，勾股定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)．三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．
31．（2022秋·浙江紹興·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，中，，于點(diǎn)，，．
(1)求，的長(zhǎng)；
(2)若點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作于點(diǎn)，連接．當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，若是以為腰的等腰三角形，請(qǐng)求出所有符合條件的的長(zhǎng)．
【答案】(1)5，
(2)2或
【分析】（1）根據(jù)可得的長(zhǎng)，分別根據(jù)勾股定理可得和的長(zhǎng)；
（2）分兩種情況：和時(shí)，分別畫圖，根據(jù)三角形的中位線定理和證明三角形全等可解決問(wèn)題．
【解析】（1）解：，，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
；
（2）分兩種情況：
當(dāng)時(shí)，過(guò)作于，如圖1所示：
，
，
，
是的中位線，
；
當(dāng)時(shí)，如圖2所示：
在和中，
，
，
，
；
綜上所述，的長(zhǎng)為2或．
【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、分類討論等知識(shí)；正確作出輔助線是等腰三角形是解題的關(guān)鍵．
32．（2022秋·浙江杭州·八年級(jí)杭州市采荷中學(xué)?？计谥校┤鐖D，中，，于點(diǎn)O，，．
(1)求，的長(zhǎng)；
(2)若點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作于點(diǎn)，連接．
①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，若是以為腰的等腰三角形，請(qǐng)求出所有符合條件的的長(zhǎng)；
②設(shè)直線交直線于點(diǎn)，連接，，若，則的長(zhǎng)為______（直接寫出結(jié)果）．
【答案】(1)，；
(2)①6或；②或
【分析】（1）由題意可得，再由勾股定理求得、即可；
（2）①分兩種情況：和時(shí)，分別畫圖，根據(jù)三角形的中位線定理和證明三角形全等可解決問(wèn)題；
②分兩種情況：
當(dāng)在線段上時(shí)，如圖3，過(guò)作于，根據(jù)同高三角形面積的比等于對(duì)應(yīng)底邊的比，得，可得，證明是等腰三角形，得，最后利用勾股定理可得結(jié)論；
當(dāng)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)作于，同計(jì)算可得結(jié)論．
【解析】（1）解：由題意可得：，
由勾股定理可得，，
即，
（2）①分兩種情況：
當(dāng)時(shí)，過(guò)作于，如圖1所示：
，
，
，
是的中位線，
；
當(dāng)時(shí)，如圖2所示：
在和中，
，
，
，
；
綜上所述，的長(zhǎng)為6或；
②分兩種情況：
當(dāng)在線段上時(shí)，過(guò)作于，如圖3所示：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
；
當(dāng)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)作于，如圖4所示：
同理得：，
，
，
同理得：是等腰三角形，
，
，
中，；
綜上所述，的長(zhǎng)為或，
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積、勾股定理、分類討論等知識(shí)；證明是等腰三角形是解題的關(guān)鍵．
33．（2022春·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，四邊形ABCD中，AB//CD，∠B＝∠D，點(diǎn)E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AE，AE交CD于H，∠DCE的平分線交AE于G．
(1)求證：四邊形ABCD為平行四邊形；
(2)如圖1，若AB＝2AD＝10，H為CD的中點(diǎn)，HE＝6，求AC的長(zhǎng)；
(3)如圖2，若∠BAC＝∠DAE，∠AGC＝2∠CAE，求∠CAE的度數(shù)．
【答案】(1)證明見解析
(2)AC＝
(3)∠CAE＝36°
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠B＝∠DCE，推出∠D＝∠DCE，得出ADBC，由平行四邊形的判定可得結(jié)論；
（2）由點(diǎn)H是CD的中點(diǎn)可得△ADH≌△ECH（AAS），則CH＝CE＝AD＝5，由等腰三角形三角形合一的性質(zhì)可得出HG＝GE＝3，進(jìn)而求出AG的長(zhǎng)，由勾股定理可得出CG的長(zhǎng)，進(jìn)而求出AC的長(zhǎng)；
（3）設(shè)∠CAG＝x，∠DCG＝z，∠BAC＝y(tǒng)，△AHD中，x+2y+2z＝180°，△ACG中，x+2x+y+z＝180°，相減可得結(jié)論；
【解析】（1）證明：∵ABCD，
∴∠B＝∠DCE，
∵∠B＝∠D，
∴∠D＝∠DCE，
∴ADBC；
∴四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）解：由（1）知四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵AB＝2AD＝10，點(diǎn)H是CD的中點(diǎn)，
∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝10，DH＝CH＝5，
∵ADBC，
∴∠D＝∠DCE，∠DAE＝∠E，
∴△ADH≌△ECH（AAS），
∴AH＝HE＝6，AD＝CE＝5，
∴CH＝CE＝5，
∵CG平分∠DCE，
∴CG⊥HE，HG＝GE＝3，
∴AG＝9，
在Rt△CGE中，GE＝3，CE＝5，
由勾股定理可得CG＝4，
∴AC＝＝；
（3）解：設(shè)∠CAG＝x，∠DCG＝z，∠BAC＝y(tǒng)，
則∠EAD＝y(tǒng)，∠D＝∠DCE＝2z，∠AGC＝2∠CAE＝2x，
∵AB∥CD，
∴∠AHD＝∠BAH＝x+y，∠ACD＝∠BAC＝y(tǒng)，
△AHD中，x+2y+2z＝180°①，
△ACG中，x+2x+y+z＝180°，
即3x+y+z＝180°，
∴6x+2y+2z＝360°②，
②﹣①得：5x＝180°，
解得：x＝36°，
∴∠CAE＝36°．
【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．
34．（2021春·浙江溫州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=10cm，過(guò)點(diǎn)A作AD//BC，且點(diǎn)D在點(diǎn)A的右側(cè)．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AD方向以每秒1cm的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿射線CB方向以每秒2cm的速度運(yùn)動(dòng)，在線段QC上取點(diǎn)E，使得QE=2cm，連結(jié)PE，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
(1)①AP=_______，CE=________；(用含t的式子表示)
②若PE⊥BC，求BQ的長(zhǎng)；
(2)請(qǐng)問(wèn)是否存在t的值，使以A，B，E，P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)①t，2t-2；②
(2)存在，t=4秒或12秒
【分析】（1）①由運(yùn)動(dòng)知AP=t，CQ=2t，即可得出結(jié)論；②作AM⊥BC于M，由已知條件得出AB=AC，由等腰三角形的性質(zhì)得出BM=CM，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出AM=BC=5，證出△APN和△CEN是等腰直角三角形，得出PN=AP=t，CE=NE=5-t，由CE=CQ-QE=2t-2得出方程，解方程即可；
（2）分兩種情況，由平行四邊形的判定得出AP=BE，得出方程，解方程即可．
【解析】（1）解：①由運(yùn)動(dòng)知，AP=t，CQ=2t，
∵在線段QC上取點(diǎn)E，使得QE=2cm，
∴CE=CQ-EQ=2t-2，
故答案為t，2t-2；
②作AM⊥BC于M，如圖所示，
∵∠BAC=90°，∠B=45°，
∴∠C=45°=∠B，
∴AB=AC，
∴BM=CM，
∴AM＝BC＝5cm，
∵ADBC，
∴∠PAC=∠C=45°，
∵PE⊥BC，
∴PE=AM=5，PE⊥AD，
∴△APN和△CEN是等腰直角三角形，
∴PN=AP=t，CE=NE=5-t，
∵CE=CQ-QE=2t-2，
∴5-t=2t-2，
∴t=，
∴BQ=BC-CQ=10-2×=；
（2）存在，t=4或12s；理由如下：當(dāng)點(diǎn)Q、E在線段BC上時(shí)，
若以A，B，E，P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，
則AP=BE，
∴t=10-2t+2，
解得：t=4，
當(dāng)點(diǎn)Q、E在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，
若以A，B，E，P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，
則AP=BE，
t=2t-2-10，
解得：t=12，
∴存在t的值，使以A，B，E，P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，t=4秒或12秒．
【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，用方程的思想解決問(wèn)題是解本題的關(guān)鍵．
35．（2023春·浙江·八年級(jí)期中）已知□ABCD，∠BAD＝30°，AD⊥BD于點(diǎn)D，且AB＝6．點(diǎn)P是射線BA上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BD，交BD所在直線于點(diǎn)E．點(diǎn)Q是射線CD上一動(dòng)點(diǎn)，且CQ＝2AP．設(shè)BP的長(zhǎng)度為m．
(1)當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上時(shí)，
①請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示DE；
②當(dāng)m＝3.6時(shí)，求證：QE=QD；
(2)在點(diǎn)P的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，
①當(dāng)m為何值時(shí)，△DEQ為直角三角形？
②若以QD，QE為鄰邊構(gòu)造□DFEQ．當(dāng)點(diǎn)F恰好落在□ABCD的邊界上時(shí)，直接寫出m的值．
【答案】(1)①；②見解析
(2)①；②
【分析】（1）①利用△BPE是含30°的直角三角形求出BE，再用即可求；②求出QD，可得DE=QD，從而得出△DEQ是等邊三角形，從而得證．
（2）①P在邊AB上和當(dāng)P在邊AB的延長(zhǎng)線上兩種情況討論，分別求出m的值；②分點(diǎn)F在AD和BC兩種情況討論，利用含30°的直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)果．
【解析】（1）解：①∵PE⊥BD，AD⊥BD
∴PEAD
又∵∠BAD＝30°
∴∠BPE=30°
∴．
∵AB=6，AD⊥BD，∠BAD＝30°
∴，
∴．
②∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD=AB=6，ABCD
∵AB=6，BP=m，
∴AP=6-m，
∵CQ＝2AP
∴CQ＝12-2m，
∴
∴當(dāng)m＝3.6，，
∴，
∵AD⊥BD，∠BAD＝30°，
∴∠ABD=60°，
又∵ABCD
∴∠EDQ=∠ABD=60°，
∴△DEQ是等邊三角形，
∴QE=QD．
（2）①（i）當(dāng)P在邊AB上時(shí)，點(diǎn)Q在CD上即3

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