Ⅰ、平行四邊的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用
1．在中，，點P為所在平面內(nèi)的一點，過點P分別作交于點，交于點，交于點．
(1)如圖1，若點在邊上，此時，直接寫出、、與滿足的數(shù)量關(guān)系；
(2)如圖2，當點P在內(nèi)，猜想并寫出、、與滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想；
(3)如圖3，當點P在外，猜想并寫出、、與滿足的數(shù)量關(guān)系．（不用說明理由）
2．如圖，中，，連結(jié)，是邊上一點，連結(jié)交于點．
（1）如圖1，連結(jié)，若，，求的面積；
（2）如圖2，延長至點，連結(jié)、，點在上，且，，過作于點．若，求證：．
3．在平行四邊形ABCD中，連接BD，若BD⊥CD，點E為邊AD上一點，連接CE．
(1)如圖1，點G在BD上，且DG＝DC，連接CG，過G作GH⊥CE于點H，連接DH并延長交AB于點M，若HG＝BM，求證：BM+DH＝DB；
(2)如圖2，∠ABC＝120°，AB＝，點N在BC邊上，BC＝4CN，若CE是∠DCB的角平分線，線段PQ（點P在點Q的左側(cè)）在線段CE上運動，PQ＝，連接BP、NQ，請直接寫出BP+PQ+QN的最小值．
4．如圖，在中，，．
（1）如圖1，求證：；
（2）如圖2，，求證：；
（3）如圖3，在（2）的條件下，，，求的面積．
5．已知：四邊形是平行四邊形，點E是邊的中點，連接，過點A作，垂足為點G，交邊于點F，點H是線段上一點，連接，，．
(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，延長交C邊于點K，連接，若，求證：；
(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，延長至點M，連接、，若，，，求的長．
6．如圖，在中，，，點E為邊AC的中點，，交AC于點E，交DE的延長線于點F，連結(jié)CD．
（1）求證：；
（2）求證：AC是DF的中垂線；
（3）過點D作DC的垂線交CF的延長線于點G，求證：．
7．如圖，在四邊形中，．
(1)如圖1，求證：四邊形是平行四邊形；
(2)如圖1，連接，射線沿翻折交邊于點E，點F，G在上，點H在上，連接，若，求證：；
(3)如圖2，在（2）的條件下，G為中點，若， ，求的長．
8．在ABCD中，O是對角線AC的中點，過點O的直線EF交AD于點E，交BC于點F，連結(jié)AF、CE．
(1)如圖1，求證：四邊形AFCE為平行四邊形；
(2)如圖2，若AB＝AF，∠ACB＝45°，過點B作BG⊥CE于點G，交AC于點H，交AF于點M．
①試判斷線段BH與AB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
②當∠CBG＝15°，BC＝2時，連結(jié)EH，求△CEH的面積．
9．在矩形ABCD（）中，點E在邊AD上，點F在DC延長線上，連接BE、BF，且．
(1)如圖1，求證，，
(2)如圖2，當E是AD中點時，求證：；
(3)如圖3，在（2）的條件下，過點E作交CD于點G，若，求線段DG的長．
10．（1）如圖1，在中，，，求證：；
（2）如圖2，是等邊三角形，點在邊上，，，交延長線于點，點為中點，試探究與的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）如圖3，點在邊上，于點，以為邊在右側(cè)作等邊，交 于點，求證：點是的中點．
Ⅱ、平面直角坐標系與平行四邊形
11．如圖，已知平行四邊形ABCO，C（m，n），A（n，0），其中m、n滿足，BC交y軸于點D．
（1）直接寫出坐標：A（ ， ），B（ ， ），C（ ， ）；
（2）已知，AG平分∠BAO，且分別交CO于點G、y軸于N，猜想線段AB、ON、CD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（3）點E是直線BD上任意一點，連接AE，點F是線段OA上任意一點，連接EF，點P、Q分別是線段AE、EF的中點，若點T（，0），點K是FT的中點，連接PK交線段OQ于點J，求證：點J是線段OQ的中點．
12．如圖，等腰三角形的一邊在軸的正半軸上，點的坐標為， ，動點從原點出發(fā)，在線段上以每秒2個單位的速度向點勻速運動，動點從原點出發(fā)，沿軸的正半軸以每秒1個單位的速度向上勻速運動，過點作軸的平行線分別交于，設(shè)動點，同時出發(fā)，當點到達點時，點也停止運動，他們運動的時間為秒 ．
（1）點的坐標為_____,的坐標為____；
（2）當為何值時，四邊形為平行四邊形；
（3）是否存在某一時刻，使為直角三角形？若存在，請求出此時的值；若不存在，請說明理由．
13．已知：如圖，在平面直角坐標系中，點A（a，0）、C（b，c），且a、b、c滿足=0．
（1）求點A、C的坐標；
（2）在x軸正半軸上有一點E，使∠ECA＝45°，求點E的坐標；
（3）如圖2，若點F、B分別在軸正半軸和軸正半軸上，且OB=OF，點P在第一象限內(nèi)，連接PF，過P作PM⊥PF交y軸于點M，在PM上截取PN=PF，連接PO、BN，過P作∠OPG=45°交BN于點G，求證：點G是BN的中點．
14．如圖，在平面直角坐標系中，已知直線是一次函數(shù)的圖像，直線是一次函數(shù)的圖像，點是兩直線的交點，點、、、分別是兩條直線與坐標軸的交點．
(1)用、分別表示點、、的坐標；
(2)若四邊形的面積是，且，試求點的坐標，并求出直線與的函數(shù)表達式；
(3)在（2）的條件下，是否存在一點，使以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．
15．如圖1，在平面直角坐標系中，已知一次函數(shù)交y軸于點，交x軸于點．
(1)求直線的函數(shù)表達式；
(2)直線a垂直平分交于點D，點P是直線a上一動點，且在點D的上方，設(shè)點P的縱坐標為m．
①用含m的代數(shù)式表示的面積________；
②當時，點P的坐標為________；
③在②的條件下，如圖2，點M，N為y軸上兩個動點，滿足，且點M在點N的上方，連接，，當四邊形周長最小時，直接寫出點N的坐標________．
16．已知：直線y＝+6與x軸、y軸分別相交于點A和點B，點C在線段AO上．將△ABO沿BC折疊后，點O恰好落在AB邊上點D處．
（1）直接寫出A、B兩點的坐標：A：_____，B：______；
（2）求出OC的長；
（3）如圖，點E、F是直線BC上的兩點，若△AEF是以EF為斜邊的等腰直角三角形，求點F的坐標；
（4）取AB的中點M，若點P在y軸上，點Q在直線AB上，是否存在以C、M、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出所有滿足條件的Q點坐標；若不存在，請說明理由．
17．如圖所示:直線:與軸,軸分別交于,兩點,為上一點,且橫坐標為1,過點作直線,與軸,軸分別交于,兩點．
（1）如圖1:在線段有一動點,過點作軸,交于點,連接,當時,求點的坐標;
（2）如圖2,將沿某一方向平移后經(jīng)過點,記平移后的直線為,為上一點,為上一點,直接寫出所有使得???為頂點的四邊形是平行四邊形的點的坐標,并把求其中一個點的坐標的過程寫出來．
18．如圖（1），在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為(﹣1，0)，(3，0)，將線段AB先向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到線段CD，連接AC，BD．
（1）求點C、點D的坐標及S四邊形ABDC；
（2）點Q在y軸上，且S△QAB=S四邊形ABDC，求出點Q的坐標；
（3）如圖（2），點P是線段BD上任意一個點（不與B、D重合），連接PC、PO，試探索∠DCP、∠CPO、∠BOP之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
19．如圖，直線交軸負半軸于，交軸負半軸于，點在軸正半軸上，；
（1）如圖1，求的長；
（2）如圖2，點在線段上時，，連，設(shè)點縱坐標為，求的面積為（用含的式子表示）；
（3）如圖3，在（2）條件下，在線段上，，交延長線于點，連接，若，時，求的值．
20．已知等腰 Rt△ ABC中，∠ABC=90°，AB=BC， 已知點 A(－4，0)，點 B 在 y 軸正半軸上，（OB＜4）．
（1）如圖 1，若點 B（0， 2）求點 C 的坐標．
（2）如圖 2， CD⊥x 軸于 D，連接 BD，求∠ADB 的度數(shù)．
（3）如圖 3 中，將△ ABO 沿 AB 所在直線對折得△ ABP，以 BP 為直角邊作等腰 Rt△ PBQ， 其中BP=BQ．連接 CQ 交 PB 的延長線于 E．當點 B 在 y 軸上運動時，線段 BE 的長度是否變化?若變化求其變化范圍：若不變，求其值．
Ⅲ、三角形中位線的綜合應(yīng)用
21．如圖，已知在和中，．
(1)如圖1，若，，，，，連接，求線段的長；
(2)如圖2，若，，E、F分別為邊上的動點，與相交于點M，，連接，點N是的中點，證明：；
(3)在（2）的條件下，G是的中點，，連接，H是所在平面內(nèi)一點，連接，和關(guān)于直線成軸對稱圖形，連接，求的最小值．
22．如圖1，在中，，，點D，E分別在邊上，，連接，點F，H，G分別為的中點連接．
(1)觀察猜想：圖1中，線段與的關(guān)系是____________．
(2)探究證明：把繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接，判斷的形狀，并說明理由．
(3)拓展延伸：把繞點C在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，求面積的最大值．
23．如圖1，中，，點為中點，點為上一點，連結(jié)．已知．動點從點出發(fā)，以1個單位/秒的速度沿線段向終點運動，設(shè)點運動的時間為（秒）．

(1)求證：．
(2)若為等腰三角形時，求的值．
(3)如圖2，動點出發(fā)的同時，另有一點從點出發(fā)沿線段向終點運動，速度為個單位/秒，連結(jié)，將線段繞點分別向順時針和逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到線段和，當三點共線時，直接寫出的值為______．
24．已知：在中，，，點P是邊上一點，連接．
(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，將沿翻折得到，延長交于點Q，求證：；
(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，在上取一點E，連接，使，若，求的長．
25．如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A和點B分別在y軸和x軸上，連接，點C為的中點，．
(1)求點C坐標；
(2)點P從點O出發(fā)沿x軸正方向以每秒2個單位的速度運動，連接、，點P的運動時間為t秒，的面積為S，求用含t的式子表示S；
(3)在（2）的條件下，在y軸負半軸上有一點Q，連接，過點A作于點D，與交于點E，與x軸交于點F，當時，，求此時點Q的坐標．
26．如圖①所示，是某公園的平面示意圖，、、、分別是該公園的四個入口，兩條主干道、交于點，請你幫助公園的管理人員解決以下問題：
(1)若，，，公園的面積為 ；
(2)在（1）的條件下，如圖②，公園管理人員在參觀了武漢東湖綠道后，為提升游客游覽的體驗感，準備修建三條綠道、、，其中點在上，點在上，且（點與點、不重合），并計劃在與兩塊綠地所在區(qū)域種植郁金香，求種植郁金香區(qū)域的面積；
(3)若將公園擴大，此時，，，修建（2）中的綠道每千米費用為10萬元，請你計算該公園修建這三條綠道投入資金的最小值．
27．如圖，中，，于點O，，．
(1)求，的長；
(2)若點是射線上的一個動點，作于點，連接．
①當點在線段上時，若是以為腰的等腰三角形，請求出所有符合條件的的長；
②設(shè)直線交直線于點，連接，，若，則的長為______（直接寫出結(jié)果）．
28．在△ABC中，P是BC邊上的一動點，連接AP．
(1)如圖1，，，且．求：△ABP的面積．
(2)如圖2，若，以AP為邊作等腰Rt△APE，連接BE，F(xiàn)是BE的中點，連接AF，猜想PE，PB，AF之間有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．
(3)如圖3，作于D，于E，若，，，當DE最小時，請直接寫出DE的最小值．
29．在中，點P為邊中點，直線a繞頂點A旋轉(zhuǎn)，于點M．于點N，連接．
(1)如圖1，若點B，P在直線a的異側(cè)，延長交于點 E．求證：；
(2)若直線a繞點A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，點在直線a的同側(cè)，其它條件不變，此時，，求MN的長度．
(3)若過P點作于點G，試探究線段 和的數(shù)量關(guān)系．
30．已知，在中，點M是的中點，點D是線段上一點（不與點A重合）．過點D作的平行線，過點C作的平行線，兩線交于點E，連結(jié)．
(1)如圖1，當點D與M重合時，求證：四邊形是平行四邊形；
(2)如圖2，當點D不與M重合時，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；
(3)圖3，延長交于點H，若，且，求的度數(shù)．
31．已知，如圖1，△ABC中，AC＝BC，DE為△ABC的中位線，P為邊AB上一點，連接DP，以DP為一邊在右側(cè)作△DPQ，使DP＝DQ，且∠PDQ＝∠ACB，連接EQ并延長交直線BC于點H．
(1)求證：△APD≌△EQD；
(2)若∠ACB＝120°，判斷BC與CH的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
(3)在（2）的條件下，如圖2，延長DQ交BC于點G，若AC為2，求AP為何值時△HQG為直角三角形．
32．已知等腰直角與有公共頂點．
（1）如圖①，當點在同一直線上時，點為的中點，求的長；
（2）如圖②，將繞點旋轉(zhuǎn)，點分別是的中點，交于，交于．
①猜想與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你猜想的結(jié)論；
②參考圖③，若為的中點，連接，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段的最小值是多少（直接寫出結(jié)果）．
33．（1）【母題呈現(xiàn)】如圖1，是的中位線，以為斜邊作，，求證：．
（2）【母題變式】如圖2，是的中位線，分別以為斜邊作和，，作交的延長線于點H，與交于點O．
①求證：；②求的度數(shù)．
（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，在中，分別以為斜邊作和，，點P是線段上一點，且，連接，請寫出與之間的一個等量關(guān)系，并證明．
特訓(xùn)03 平行四邊形（題型歸納）
一、解答題
1．在中，，點P為所在平面內(nèi)的一點，過點P分別作交于點，交于點，交于點．
(1)如圖1，若點在邊上，此時，直接寫出、、與滿足的數(shù)量關(guān)系；
(2)如圖2，當點P在內(nèi)，猜想并寫出、、與滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想；
(3)如圖3，當點P在外，猜想并寫出、、與滿足的數(shù)量關(guān)系．（不用說明理由）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）證平行四邊形，推出，，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)推出，推出即可；
（2）過點作分別交、于、兩點，推出，再推出即可；
（3）過點作分別交、于、兩點，推出，再推出即可．
【解析】（1）結(jié)論是，
證明：∵，，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
，
．
（2）結(jié)論是，
證明：過點作分別交、于、兩點，
由（1）得：，
四邊形是平行四邊形，
，
．
（3）結(jié)論是．
證明：過點作分別交、延長線于、兩點，
由（1）得：，
四邊形是平行四邊形，
，
．
即
【點睛】本題綜合考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定和等腰三角形的性質(zhì)等知識點，關(guān)鍵是熟練地運性質(zhì)進行推理和證明，題目含有一定的規(guī)律性，難度不大，但題型較好．
2．如圖，中，，連結(jié)，是邊上一點，連結(jié)交于點．
（1）如圖1，連結(jié)，若，，求的面積；
（2）如圖2，延長至點，連結(jié)、，點在上，且，，過作于點．若，求證：．
【答案】（1）；（2）見詳解．
【分析】（1）根據(jù)所給的60°，判斷出等邊三角形，得出BE=6，根據(jù)所給比例關(guān)系，求出CE，然后求出三角形面積；
（2）利用已知條件能夠求出≌，之后需要構(gòu)造全等圖形，使所求的BG+GD轉(zhuǎn)化在同一直線上，然后根據(jù)含有30°的特殊直角三角形的關(guān)系，即可證明出結(jié)果．
【解析】解：（1）
如圖：過A點作AN⊥BE，交BE于N．
∵，
∴△ABE為等邊三角形，
∴AB=BE=AE=6
即：AN=
∵
∴
∵BE=6
∴BC=10
∴EC=4
∴
即：的面積為．
（2）
如圖：延長GD至P使DP=BG，連接AP，
∵AH=AF，
∴∠AFH=∠AHF
即：∠AFB=∠AHD，
又∵AF=AH，BF=DH，
∴≌
∴AB=AD
又∵，，
∴∠ABG=∠ADP
∵BG=DP，
∴≌
∴AG=AP，∠BAG=∠DAP
∵∠ABC=60°
∴∠BAD=120°
即：∠GAP=120°
∴∠AGP=∠APG=60°，
又∵AM⊥GD
∴GP=2GM=AG，
∵BG=GP
∴BG+GD=GD+DP=GP
即：BG+GD=AG．
【點睛】本題重點考察在平行四邊形中利用平行四邊形的性質(zhì)證明圖形面積，以及構(gòu)造全等圖形求多邊之間的關(guān)系，構(gòu)造全等三角形是本題的解題關(guān)鍵．
3．在平行四邊形ABCD中，連接BD，若BD⊥CD，點E為邊AD上一點，連接CE．
(1)如圖1，點G在BD上，且DG＝DC，連接CG，過G作GH⊥CE于點H，連接DH并延長交AB于點M，若HG＝BM，求證：BM+DH＝DB；
(2)如圖2，∠ABC＝120°，AB＝，點N在BC邊上，BC＝4CN，若CE是∠DCB的角平分線，線段PQ（點P在點Q的左側(cè)）在線段CE上運動，PQ＝，連接BP、NQ，請直接寫出BP+PQ+QN的最小值．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）如圖1，過點D作DF⊥DM交CE于點F，設(shè)CE與BD交于點K，先證明△DCF≌△DGH（ASA），進而證得△DFH是等腰直角三角形，得出FH＝DH，再證明△DMB≌△CGH（AAS），推出CF＝BM，即可證得結(jié)論；
（2）如圖2，在CD上截取CG＝CN，連接GQ，過點B作BF∥CE，使BF＝PQ＝，連接DF交CE于點T，連接QF，過點F作FM⊥BD于點M，過點G作GH⊥DF于點H，應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)和含30°直角三角形三邊關(guān)系可得：BC＝2CD＝2，利用勾股定理可得BD＝，再利用含30°直角三角形三邊關(guān)系可得：BM＝BF＝，F(xiàn)M＝BM＝，進而可得DM＝，求得：FG＝，再證四邊形BPQF是平行四邊形，得出BP＝FQ，再證明△CNQ≌△CGQ（SAS），得出QN＝QG，根據(jù)FQ+QG≥FG，可得出：當點Q在線段FG上時，F(xiàn)Q+QG的最小值為FG，即BP+QN的最小值為FG，即可求得BP+PQ+QN的最小值．
【解析】（1）如圖1，過點D作DF⊥DM交CE于點F，設(shè)CE與BD交于點K，
∵BD⊥CD，DF⊥DM，GH⊥CE，
∴∠CDG＝∠FDH＝∠CHG＝90°，
∴∠CDF＝∠GDH，
∵∠DGH+∠HKG＝∠DCF+∠DKC＝90°，∠HKG＝∠DKC，
∴∠DCF＝∠DGH，
在△DCF和△DGH中，
，
∴△DCF≌△DGH（ASA），
∴DF＝DH，CF＝GH，
∵∠FDH＝90°，
∴△DFH是等腰直角三角形，
∴∠DFH＝∠DHF＝45°，F(xiàn)H＝DH，
∵DC＝DG，∠CDG＝90°，
∴∠CGD＝DCG＝45°，
∴∠CGD＝∠DHF，
∵∠CGD+∠GCH+∠CKG＝∠DHF+∠BDM+∠DKH＝180°，∠CKG＝∠DKH，
∴∠GCH＝∠BDM，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴ABCD，
∴∠DBM＝∠CDG＝90°＝∠CHG，
在△DMB和△CGH中，
，
∴△DMB≌△CGH（AAS），
∴DB＝CH，
∵CF＝GH，BM＝GH，
∴CF＝BM，
∵CF+FH＝CH，
∴BM+DH＝DB；
；
（2）如圖2，在CD上截取CG＝CN，連接GQ，過點B作BF∥CE，使BF＝PQ＝，
連接DF交CE于點T，連接QF，過點F作FM⊥BD于點M，過點G作GH⊥DF于點H，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴ABCD，CD＝AB＝，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BCD＝180°﹣120°＝60°，
∵BD⊥CD，CD＝，
∴∠CBD＝90°﹣60°＝30°，
∴BC＝2CD＝2，
∴BD＝＝＝，
∵CE平分∠DCB，
∴∠BCE＝∠DCE＝∠DCB＝×60°＝30°，
∵BFCE，
∴∠CBF＝∠BCE＝30°，
∴∠DBF＝∠CBF+∠CBD＝30°+30°＝60°，
∵FM⊥BD，BF＝，
∴BM＝BF＝＝，F(xiàn)M＝BM＝×＝，
∴DM＝BD-BM＝＝，
∴DF＝＝＝，
∵DF2+BF2＝，
∴DF2+BF2＝BD2，
∴BF⊥DF，
∵BFCE，
∴CE⊥DF，
∵∠DCE＝30°，
∴∠CDF＝90°-30°＝60°，
∵BC＝2，BC＝4CN，
∴CN＝＝，
∴CG＝CN＝，
∴DG＝CD-CG＝-＝，
∵GH⊥DF，∠CDF＝60°，
∴DH＝DG＝＝，GH＝DH＝×＝，
∴FH＝DF-DH＝+＝，
∴FG＝＝＝，
∵BFCE，BF＝PQ，
∴四邊形BPQF是平行四邊形，
∴BP＝FQ，
在△CNQ和△CGQ中，
，
∴△CNQ≌△CGQ（SAS），
∴QN＝QG，
∵FQ+QG≥FG，
∴當點Q在線段FG上時，F(xiàn)Q+QG的最小值為FG，
∴BP+QN的最小值為FG，
∵PQ＝，F(xiàn)G＝，
∴BP+PQ+QN的最小值為FG+PQ＝＝，
故BP+PQ+QN的最小值為．
；
【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，截長補短方法，熟練運用所學(xué)知識點是解題關(guān)鍵
4．如圖，在中，，．
（1）如圖1，求證：；
（2）如圖2，，求證：；
（3）如圖3，在（2）的條件下，，，求的面積．
【答案】（1）證明過程見解析；（2）證明過程見解析；（3）
【分析】（1）根據(jù)已知條件求得∠BCD=∠CBA，即可得解；
（2）證明∠DCB+∠A=∠DCB+∠ACD=90°，即可得解；
（3）過點作于點，過點作，過作交于點,于點,過點作于點,過點作分別交，于點,連接,分別證明，，通過導(dǎo)角可得是等腰直角三角形，進而求得,進而求得的面積．
【解析】解：（1）證明：∵，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠CAB+∠CBA=90°，
又∵，
∴∠BCD=∠CBA，
∴BD=CD；
（2）證明：∠FED=∠DCB+∠CFE=∠DCB+∠A-45°，
∵，
∴∠DCB+∠A=∠DCB+∠ACD=90°，
∴∠FED=90°-45°=45°；
（3）如圖，過點作于點，過點作，過作交于點,于點,過點作于點,
即為的角平分線，
在與中，
（AAS）
過點作分別交，于點,
四邊形是平行四邊形
是等腰直角三角形
又
①
設(shè)
則
，
,
②
連接,如圖，
是等腰直角三角形
③
在與中
，
是等腰直角三角形
【點睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，等角對等邊，平行四邊形的性質(zhì)與判定，添加輔助線是解題的關(guān)鍵．
5．已知：四邊形是平行四邊形，點E是邊的中點，連接，過點A作，垂足為點G，交邊于點F，點H是線段上一點，連接，，．
(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，延長交C邊于點K，連接，若，求證：；
(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，延長至點M，連接、，若，，，求的長．
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析；
(3)
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，利用等量關(guān)系得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得G是AH的中點，則可得AG是△ABH的中位線，進而可求證結(jié)論．
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，進而可根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，又根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合平行線的性質(zhì)可得，，根據(jù)三角形內(nèi)角和可得∠KBF=∠BKF，可得△BFK為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)即可求證結(jié)論．
（3）連接，作，垂足為點R，作交的延長線于點N，根據(jù)平行四邊形的判定及性質(zhì)可得，，則，利用勾股定理的逆定理得△AKD為直角三角形，且，則可得，進而可得，利用SAS可得，進而可得，根據(jù)利用勾股定理即可求解．
(1)
證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
∴，
∴△ADH為等腰三角形，
∵，
∴，
∴G是的中點，
∴E是的中點，
∴EG是△ABH的中位線，且EG與DE在同一直線上，
∴．
(2)
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴∠KBF=∠BKF，HF⊥BK，
∴△BFK為等腰三角形，
∴HF為BK的垂直平分線，
∴BH=HK．
(3)
連接，作，垂足為點R，作交的延長線于點N，如圖所示：
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵E是的中點，
∴，
∴，
設(shè)，
∴
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴△AKD為直角三角形，且，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了平行線的判定及性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理及勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理及判定定理，巧妙借助輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵．
6．如圖，在中，，，點E為邊AC的中點，，交AC于點E，交DE的延長線于點F，連結(jié)CD．
（1）求證：；
（2）求證：AC是DF的中垂線；
（3）過點D作DC的垂線交CF的延長線于點G，求證：．
【答案】（1）證明見詳解；（2）證明見詳解；（3）證明見詳解．
【分析】（1）根據(jù)，，點E為邊AC的中點，可得，可證DE是AC的垂直平分線，得出，再根據(jù)，點E為邊AC的中點，可得點D為邊AB的中點，則有，證得；
（2）首先證明四邊形DBCF為平行四邊形，可得DF=BC，再證明，進而得到，，即可證出DE=EF，由（1）知，證得AC是DF的中垂線；
（3）首先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ADG=∠G，再證明∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，然后再推出∠1=∠DCB=∠B，再由∠A+∠ADG=∠1可得∠A+∠G=∠B．
【解析】證明：（1）∵，，點E為邊AC的中點，
∴
∴DE是AC的垂直平分線，
∴，
又∵，點E為邊AC的中點，
∴點D為邊AB的中點，
∴，
∴；
（2）∵DE∥BC，CF∥AB，
∴四邊形DBCF為平行四邊形，
∴DF=BC，
∵D為邊AB的中點，DE∥BC，
∴，
∴
∴DE=EF，
由（1）知，
∴AC是DF的中垂線；
（3）如圖示：
∵DB∥CF，
∴∠ADG=∠G，
∵∠ACB=90°，D為邊AB的中點，
∴CD=DB=AD，
∴∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，
∵DG⊥DC，
∴∠DCA+∠1=90°，
∵∠DCB+∠DCA=90°，
∴∠1=∠DCB=∠B，
∵∠A+∠ADG=∠1，
∴∠A+∠DGC=∠B．
【點睛】此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，以及直角三角形的性質(zhì)，熟練地應(yīng)用相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7．如圖，在四邊形中，．
(1)如圖1，求證：四邊形是平行四邊形；
(2)如圖1，連接，射線沿翻折交邊于點E，點F，G在上，點H在上，連接，若，求證：；
(3)如圖2，在（2）的條件下，G為中點，若， ，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)已知條件利用兩組對邊互相平行即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)，可得出，再根據(jù)已知條件表示出，，即可得出結(jié)論；
（3）在上截取，延長交于N，過D作交于P．
可得出為等邊三角形，得出，設(shè)，則，可得出，再利用勾股定理可得出．
（1）
∵，
∴，
∵．
∴．
∵，
∴四邊形是平行四邊形．
（2）
∵，
∴，
∵，
∴，．
設(shè)，則，
∵，
∴，
∴，
∵射線沿翻折交邊于點E，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴．
（3）
在上截取，作EK⊥BC于K，延長交于N，過D作交于P．
∵，，
∴．
∴
∵，
∴
∵
∴
∴．
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵
∴，
∵
∴，
∴為等邊三角形，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴
設(shè)，則，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴解得，
∴．
【點睛】本題考查了四邊形的綜合知識，題中多次用到三角形全等的判定以及性質(zhì)，還利用了等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題時要細心，本題難度比較大．
8．在ABCD中，O是對角線AC的中點，過點O的直線EF交AD于點E，交BC于點F，連結(jié)AF、CE．
(1)如圖1，求證：四邊形AFCE為平行四邊形；
(2)如圖2，若AB＝AF，∠ACB＝45°，過點B作BG⊥CE于點G，交AC于點H，交AF于點M．
①試判斷線段BH與AB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
②當∠CBG＝15°，BC＝2時，連結(jié)EH，求△CEH的面積．
【答案】(1)見解析
(2)①AB=BH，理由見解析；②
【分析】（1）通過證明AE∥CF，AE=CF，一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形即可；
（2）①由平行四邊形證得∠ABC+∠BAD=180°，∠DAF=∠AFB，∠DAC=∠ACB=45°，∠ECF=∠AFB=∠ABF，再進一步證得∠BAC=90°-∠ECA，∠AHB =90°-∠ECA，從而得∠AHB=∠BAC，最后由等角對等邊即可得證；
②如圖，證明△ABH為等邊三角形，構(gòu)造30°的直角三角形CGH，直角三角形CGQ，令HG=x，將三角形的各邊用含x的式子表示，根據(jù)勾股定理求出 ，由三角形面積公式求出，將x2整體代入求出三角形面積即可．
（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AE∥BC，∴∠EAO=∠OCF，∠AEO=∠CFO，∵O是對角線AC的中點，∴AO=CO，∴△AEO≌△CFO(AAS)∴AE=FC，∴四邊形AFCE為平行四邊形；
（2）①AB=BH，理由如下，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∠DAF=∠AFB，∠DAC=∠ACB=45°，∴∠BAC=180°-∠DAC-∠ABF，由（1）知四邊形AFCE為平行四邊形，∴AF∥CE，∴∠ECF=∠AFB=∠ABF，∴∠BAC=180°-∠DAC-∠ECF=180°-45°-(45°+∠ECA)=90°-∠ECA∵BG⊥CE，∴∠BGC=90°，∠GHC=90°-∠ECA又∵∠AHB=∠GHC，∴∠AHB =90°-∠ECA，∴∠AHB=∠BAC，∴AB=BH．②如圖，以CB為一邊作∠BCQ=15°，角的另一邊交BG于點Q，∵∠CBG=15°，∴∠CBG=∠BCQ，∠GQC=∠CBG+∠BCQ=30°∴BQ=CQ，∵∠CBG=15°，∠ACB＝45°∴∠AHB=∠CBG+∠ACB=60°由①知BH=AB，∴△ABH為等邊三角形，在△CHG中，∠GHC=∠AHB=60°,令HG=x，則CH=2HG=2x，∴CG=，在△CGQ中，∠GQC=30°,∴CQ=2CG=，∴，BQ=CQ=，在Rt△BCG中，∵BC=，CG=，BG=BQ+QG=+3x∴解得，∵CE=AF，AB=AF，AB=BH，∴CE=BH=BG-HG=+3x-x=+2x，∵∴
【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，30°的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等，難度較大，屬于壓軸題，巧妙構(gòu)造30°的直角三角形是解題關(guān)鍵．
9．在矩形ABCD（）中，點E在邊AD上，點F在DC延長線上，連接BE、BF，且．
(1)如圖1，求證，，
(2)如圖2，當E是AD中點時，求證：；
(3)如圖3，在（2）的條件下，過點E作交CD于點G，若，求線段DG的長．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)
【分析】（1）設(shè)，則，，根據(jù)，即有，則有，在中，可得，即有；
（2）連接EC并延長交BF的延長線于點H，延長CE交BA延長線于點G，先證得，再證，即可得證結(jié)論；
（3）過點E作于K，延長EK交BF于L，先證明四邊形ELFG為平行四邊形，再證明，得到KL=DG，BL=EG，在求證KL是中位線，進而求出KL的長度，設(shè)，則，由（2）知，在和中，利用勾股定理得：，即可求出KL，則DG得解．
(1)
∵矩形ABCD，
∴，
在中，設(shè)，則，，
∵，
∴，
∴，
在中，
，
∴；
(2)
連接EC并延長交BF的延長線于點H，延長CE交BA延長線于點G，
如圖，
∵E為AD中點，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即；
(3)
根據(jù)（2）的結(jié)論有，
過點E作于K，延長EK交BF于L，
如圖，
0
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四邊形ELFG為平行四邊形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，可證長方形ABKE，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
在中，，，
∴（中位線）
設(shè)，則，由（2）知，
∴，
在和中，
利用勾股定理得：，
∵，
∴，
∴解得：，
∴．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理、中位線的判定與性質(zhì)、解一元二次方程等知識，作出科學(xué)的輔助線，證得是解答本題的關(guān)鍵．
10．（1）如圖1，在中，，，求證：；
（2）如圖2，是等邊三角形，點在邊上，，，交延長線于點，點為中點，試探究與的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）如圖3，點在邊上，于點，以為邊在右側(cè)作等邊，交 于點，求證：點是的中點．
【答案】（1）見解析；（2）MF⊥BC，證明見解析；（3）見解析
【分析】（1）取AB中點D，連接CD，求得△BCD為等邊三角形，再根據(jù)∠A+∠DCA=∠BDC=60°，得出∠A=30°，根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求得∠BCA=90°，即可證明；
（2）延長AE至點G，使GE=AE，連接DG，MG并延長交BC延長線于點H，連接CG，
根據(jù)條件得出△ADG是等邊三角形，進而得到△BAD≌△CAG，以及△EAM≌△EGC(AAS)，從而得四邊形AMGC為平行四邊形，求出△CGH與△BMH是等邊三角形，根據(jù)BF=HF即可求證；
（3）過B作EC的平行線交EF的延長線于點G，根據(jù)條件求出△BFG≌△CFE即可求證點是的中點．
【解析】解：（1）證明：如圖1，取AB中點D，連接CD，
∴AB=2BD=2AD
∵AB=2BC
∴BD=BC=AD
∵∠B=60°
∴△BCD為等邊三角形
∴∠BCD=∠BDC=60°
∵AD=CD
∴∠A=∠DCA
且∠A+∠DCA=∠BDC=60°
∴∠A=30°
∴∠BCA=180°-∠B-∠A
=180°-60°-30°
=90°
∴；
（2）MF⊥BC，
證明：如圖2，延長AE至點G，使GE=AE，連接DG，MG并延長交BC延長線于點H，連接CG，
∵，GE=AE，
∴AD=DG
∵∴∠DAE=60°
∴△ADG是等邊三角形
∴AD=DG=AG
∵∠BAC=∠DAE=60°
∴∠BAD=∠CAG
∵AB=AC，AD=AG
∴△BAD≌△CAG
∴BD=CG，∠ACG=∠B=60°=∠BAC
∴CG∥AB
∴∠EAM=∠EGC，∠EMA=∠ECG
∴△EAM≌△EGC(AAS)
∴AM=CG
∵AM∥CG
∴四邊形AMGC為平行四邊形，
∴MG∥AC
∴∠MHB=∠ACB=60°，∠AMH=∠BAC=60°
∵∠GCH=180°-∠ACB-∠ACG=60°
∴∠GCH=∠H=∠CGH=60°
∴△CGH是等邊三角形
∴CH=CG=BD
∵∠AMH=∠B=∠H=60°
∴△BMH是等邊三角形
∵點為中點，
∴DF=CF
又∵BD=CH
∴BF=HF
∴MF⊥BC；
（3）證明：如圖3，過B作EC的平行線交EF的延長線于點G，
∵△ABC、△AHE為等邊三角形
∴AB=AC，AH=AE，∠BAC=∠HAE=∠AEH=∠AHE=60°
∴∠BAH=∠CAE
∴△BAH≌△CAE(SAS)
∴BH=CE，∠AEC=∠AHB=90°
∴∠HEC=∠AEC-∠AEH=30°
∵BG∥EC
∴∠BGH=∠HEC=30°
∵∠AHB=90°，∠AHE=60°
∴∠BHG=180°-∠AHB-∠AHE=30°
∴∠BHG=∠BGH
∴BG=BH=EC
∵∠G=∠FEC，∠BFG=∠CFE
∴△BFG≌△CFE(AAS)
∴BF=CF
∴F為BC的中點．
【點睛】本題主要考查了直角三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
11．如圖，已知平行四邊形ABCO，C（m，n），A（n，0），其中m、n滿足，BC交y軸于點D．
（1）直接寫出坐標：A（ ， ），B（ ， ），C（ ， ）；
（2）已知，AG平分∠BAO，且分別交CO于點G、y軸于N，猜想線段AB、ON、CD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（3）點E是直線BD上任意一點，連接AE，點F是線段OA上任意一點，連接EF，點P、Q分別是線段AE、EF的中點，若點T（，0），點K是FT的中點，連接PK交線段OQ于點J，求證：點J是線段OQ的中點．
【答案】（1）A（5，0），B（2，5），C（-3，5）；（2）AB =CD+ON，理由見解析；（3）證明解析
【分析】（1）先利用二次根數(shù)的性質(zhì)求出m，n，然后利用平行四邊形的性質(zhì)求解即可；
（2）在y軸負半軸取P（0，-3），連接AP，先證明△CDO≌POA，然后證明∠PAN=∠PNA，
得到NP=AP，即可得到結(jié)論；
（3）連接QK，PQ，PO，證明四邊形PQKO是平行四邊形即可.
【解析】解：（1）∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴A（5，0），C（-3，5），
∴OA=5，
∴BC=5，
∴B（2，5）；
（2）AB =CD+ON，理由如下：
∵B（2，5），C（-3，5），D為BC與y軸的交點，
∴D（0，5），
∴CD=3，OD=OA，
在y軸負半軸取P（0，-3），連接AP
∴OP=CD=3
∵∠CDO=∠AOP=90°，
∴△CDO≌POA（SAS），
∴∠COD=∠PAO，CO=PA，
∵四邊形ABCO是平行四邊形，
∴AB∥CO，∠C=∠OAB，CO=AB，
∴∠OGA=∠BAG，
∵AG平分∠BAO，
∴∠BAG=∠OAG
設(shè)∠BAG=∠OAG=∠OGA=x，則∠C=2x，∠GOD=90°-2x，
∴∠ONA=90°-x，∠PAN=∠GAO+∠PAO=90°-x，
∴∠PAN=∠PNA，
∴NP=AP，
∴PN=CO，
又∵CO=AB
∴AB=PN=ON+OP=CD+ON；
（3）如圖所示，連接QK，PQ，PO，
∵點P、Q分別是線段AE、EF的中點，
∴PE=PA，QE=QF，
∴QP是三角形AEF的中位線，
∴，PQ∥AF，
設(shè)OF=a，則AF=5-a，，，
∴，
∴四邊形PQKO是平行四邊形，
∴J是線段OQ的中點.
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，坐標與圖形，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解.
12．如圖，等腰三角形的一邊在軸的正半軸上，點的坐標為， ，動點從原點出發(fā)，在線段上以每秒2個單位的速度向點勻速運動，動點從原點出發(fā)，沿軸的正半軸以每秒1個單位的速度向上勻速運動，過點作軸的平行線分別交于，設(shè)動點，同時出發(fā)，當點到達點時，點也停止運動，他們運動的時間為秒 ．
（1）點的坐標為_____,的坐標為____；
（2）當為何值時，四邊形為平行四邊形；
（3）是否存在某一時刻，使為直角三角形？若存在，請求出此時的值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）（t，t），（10-t，t）；（2）當t為時，四邊形POEF是平行四邊形；（3）t=和4時，使△PEF為直角三角形．
【分析】（1）過點A作AD⊥OB，由點A的坐標為（6，8），可得OD=6，AD=8，然后由勾股定理得：OA=10，由OA=OB可得：OB=10，進而可得：BD=4，進而可得點B的坐標為：（10，0），然后設(shè)OA的關(guān)系式：y=kx，然后將A（6，8）代入即可得直線OA的關(guān)系式，然后設(shè)直線AB的關(guān)系式為：y=kx+b，然后將A，B兩點代入，即可確定直線AB的關(guān)系式，由過點Q作x軸的平行線分別交OA，AB于E，F(xiàn)，可知點Q、E、F三點的縱坐標相等均為t，然后由點E在OA上，點F在AB上，將點E、F的縱坐標分別代入對應(yīng)的關(guān)系式，即可得到得到點E、F的坐標；
（2）由EF∥OP，欲使四邊形POEF是平行四邊形，只需EF=OP即可，從而可得關(guān)于t的等式，解答即可；
（3）分三種情況討論：①PE⊥EF，②PE⊥PF，③EF⊥PF即可．
【解析】解：（1）過點A作AD⊥OB，垂足為D，如圖1，
∵點A的坐標為（6，8），
∴OD=6，AD=8，
由勾股定理得：OA=10，
∵OA=OB，
∴OB=10，
∴BD=4，
∴點B的坐標為：（10，0），
設(shè)直線OA的關(guān)系式：y=kx，
將A（6，8）代入上式，得：
6k=8，
解得：k=，
所以直線OA的關(guān)系式：y=x，
設(shè)直線AB的關(guān)系式為：y=kx+b，
將A，B兩點代入上式得：
，
解得： ，
所以直線AB的關(guān)系式為：y=-2x+20，
∵過點Q作x軸的平行線分別交OA，AB于E，F(xiàn)，
∴點Q、E、F三點的縱坐標相等，
∵動點Q從原點O出發(fā)，沿y軸的正半軸以每秒1個單位的速度向上勻速運動，
動點P從原點O出發(fā)，在線段OB上以每秒2個單位的速度向點B勻速運動，
∴t秒后，OQ=t，OP=2t，
∴Q、E、F三點的縱坐標均為t，
將點E的縱坐標t代入y=x，得：x=t，
∴E點的坐標為：（t，t），
將點E的縱坐標t代入y=-2x+20，得：x=10-t，
∴F點的坐標為：（10-t，t），
故答案為：（t，t），（10-t，t）；
（2）由（1）知：E（t，t），F(xiàn)（10-t，t），
∴EF=10-t-t=10-t，
∵四邊形POEF是平行四邊形，
∴EF∥OP，且EF=OP，
即10-t=2t，
解得：t=，
∴當t為時，四邊形POEF是平行四邊形；
（3）過點E作EM⊥OB，垂足為M，過點F作FN⊥OB，垂足為N，
可得四邊形EMNF是矩形，如圖2，
①當PE⊥PF時，PE2+PF2=EF2，
由（1）知：OM=t，EM=FN=t，ON=10-t，EF=10-t，
∴PM=t，PN=10-t，
∵PE2=ME2+MP2，PF2=PN2+FN2，
∴t2+（t）2+（10-t）2+t2=（10-t）2，
解得：t1=0（舍去），t2=；
②當PE⊥EF時，如圖3，可得四邊形EPNF是矩形，
∵四邊形EPNF是矩形，
∴EF=PN，
即：EF=ON-OP，
∴10-t=10-t-2t，
解得t=0（舍去）；
③當EF⊥PF時，如圖4，可得四邊形EMPF是矩形，
∵四邊形EMPF是矩形，
∴EF=MP，
即EF=OP-OM，
∴10-t=2t-t，
解得：t=4，
∴當t=和4時，使△PEF為直角三角形．
【點睛】此題考查一次函數(shù)的綜合題型，待定系數(shù)求一次函數(shù)的關(guān)系式，點的坐標的確定，動點問題，平行四邊形的判定，勾股定理的應(yīng)用及矩形的性質(zhì)，解第（3）的關(guān)鍵是：分三種情況討論：①PE⊥EF，②PE⊥PF，③EF⊥PF．
13．已知：如圖，在平面直角坐標系中，點A（a，0）、C（b，c），且a、b、c滿足=0．
（1）求點A、C的坐標；
（2）在x軸正半軸上有一點E，使∠ECA＝45°，求點E的坐標；
（3）如圖2，若點F、B分別在軸正半軸和軸正半軸上，且OB=OF，點P在第一象限內(nèi)，連接PF，過P作PM⊥PF交y軸于點M，在PM上截取PN=PF，連接PO、BN，過P作∠OPG=45°交BN于點G，求證：點G是BN的中點．
【答案】（1）（-3，0）；（3，-2）；（2）（2，0）；（3）證明見詳解
【分析】（1）根據(jù)題意，由算術(shù)平方根，絕對值和平方數(shù)的非負性，求出a、b、c的值，即可得出點A、C的坐標；
（2）通過輔助線作圖，構(gòu)造一線三垂直模型，證明，求出點G的坐標，由等面積法求出AE長度即可求出點E坐標；
（3）作EO⊥OP交PG的延長線于E，連接EB、EN、PB，只要證明四邊形ENPB是平行四邊形即可．
【解析】（1）由題意知，=0，
所以a=-3，b=3，c=-2，
點A坐標為（-3，0），點C坐標為（3，-2），
故答案為：（-3，0）；（3，-2）；
（2）過點A作AC的垂線，交CE的延長線于點G，過點A作x軸的垂線KL，過點C作KL的垂線于點K ，過點G作KL的垂線于點L，過點G作x軸的垂線于M，過點C作x軸的垂線于N，
∵∠ECA＝45°，AG⊥AC，
∴∠CAG=90°，AG=AC，△CAG為等腰直角三角形，
由一線三垂直模型可知，∠GAL=∠ACK，
在△ALG和△CKA中

∴，
∴AL=CK=AN=3+3=6，LG=AK=CN=2，
∴GM=6，OM=3-2=1，
∴點G坐標為（-1，3），
在Rt△ANC中，AN=6，CN=2，由勾股定理得，AG=AC=，
由等面積法，得，
∴，
∴AE=5，
∴OE=AE-OA=5-3=2，
故點E坐標為（2，0），
故答案為：（2，0）；
（3）如圖，作EO⊥OP交PG的延長線于E，連接EB、EN、PB，
∵∠EOP=90°，∠EPO=45°，
∴∠OEP=∠EPO=45°，
∴EO=PO，
∵∠EOP=∠BOF=90°，
∴∠EOB=∠POF，
在△EOB和△POF中，
∴△EOB≌△POF，
∴EB=PF=PN，∠1=∠OFP，
∵∠2+∠PMO=180°，
∵∠MOF=∠MPF=90°，
∴∠OMP+∠OFP=180°，
∴∠2=∠OFP=∠1，
∴EB∥PN，
∵EB=PN，
∴四邊形ENPB是平行四邊形，
∴BG=GN，
即點G是BN的中點．
【點睛】本題考查了算術(shù)平方根，絕對值和平方數(shù)的非負性，一線三垂直模型，等面積法求線段長度，三角形全等的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)應(yīng)用，熟練掌握圖形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
14．如圖，在平面直角坐標系中，已知直線是一次函數(shù)的圖像，直線是一次函數(shù)的圖像，點是兩直線的交點，點、、、分別是兩條直線與坐標軸的交點．
(1)用、分別表示點、、的坐標；
(2)若四邊形的面積是，且，試求點的坐標，并求出直線與的函數(shù)表達式；
(3)在（2）的條件下，是否存在一點，使以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)A(-m，0)， B（，0），P(，)
(2)
PA的表達式為：
PB的表達式為：
(3)存在；D1，D2， D3．
【分析】(1)A點是直線y=x+m與x軸的交點．令y=0，求出x即可得到A點的橫坐標．B點是直線y=－3x+n與x軸的交點，令y=0，求出x即可得到B點的橫坐標．聯(lián)立y=x+m 與 y=－3x+n，求出P點坐標即可．
（2）根據(jù)，把n表示成，再把p點坐標表示成P()．根據(jù)四邊形PQOB的面積=△ABP的面積－△AOQ的面積列方程求出m，從而求出n，最后帶入PA，PB的表達式中即可
（3）過點P作直線PM平行于x軸，過點B作AP的平行線交PM于點D1，過點A作BP的平行線交PM于點D2，過點A、B分別做BP、AP的平行線交于點D3．根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等很容易得到D1、D2的坐標，根據(jù)兩直線平行斜率相同，得到AD3、BD3的表達式，再把這兩個表達式聯(lián)立起來解方程組得到D3的坐標
【解析】（1）在直線中，令y=0，得
∴點A(-m，0)
在直線中，令y=0，得
∴點B（，0）
由 得
∴點P(，)
（2）∵
∴
得
∴
∴P()
∵S四邊形PQOB=S△ABP- S△AOQ =
∴

解得
∵m>0
∴m=4
∴
∴
∴PA的表達式為：
PB的表達式為：
（3）
存在
過點P作直線PM平行于x軸，過點B作AP的平行線交PM于點D1，過點A作BP的平行線交PM于點D2，過點A、B分別做BP、AP的平行線交于點D3．
①∵PD1∥AB，BD1∥AP
∴四邊形PABD1是平行四邊形，此時PD1=AB，易得D1；
②∵PD2∥AB，AD2∥BP
∴四邊形PBAD2是平行四邊形．此時PD2=AB，易得D2；
③∵BD3∥AP，AD3∥BP
∴四邊形BPAD3是平行四邊形
∵BD3∥AP且B（2，0）
∴yBD3=x-2．同理可得yAD3= -3x-12
得
D3
綜上，存在一點，使以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形
D1；D2； D3
【點睛】本題是一道綜合性題目，考查了兩條直線的交點問題和坐標與圖形的性質(zhì)，三角形的面積，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，已知三點求平行四邊形的第四個點的坐標 ．解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法．
15．如圖1，在平面直角坐標系中，已知一次函數(shù)交y軸于點，交x軸于點．
(1)求直線的函數(shù)表達式；
(2)直線a垂直平分交于點D，點P是直線a上一動點，且在點D的上方，設(shè)點P的縱坐標為m．
①用含m的代數(shù)式表示的面積________；
②當時，點P的坐標為________；
③在②的條件下，如圖2，點M，N為y軸上兩個動點，滿足，且點M在點N的上方，連接，，當四邊形周長最小時，直接寫出點N的坐標________．
【答案】(1)
(2)①；②；③
【分析】（1）根據(jù)點A和點B坐標應(yīng)用待定系數(shù)法即可．
（2）①根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和一次函數(shù)解析式求出點D坐標，進而用m表示PD的長度，再根據(jù)三角形面積公式計算即可．
②根據(jù)①中△ABP面積公式求出m的值，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)確定點P的橫坐標，即可求出點P的坐標．
③在直線a上取一點，作點Q關(guān)于y軸的對稱點C，連接BC，其與y軸的交點即為N．根據(jù)四邊形周長公式確定當PM+BN取得最小值時，四邊形BPMN的周長取得最小值，根據(jù)平行四邊形的判定定理和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)確定CN=PM，進而確定當B，N，C三點共線時，四邊形BPMN的周長取得最小值，根據(jù)點B和點C坐標應(yīng)用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，進而即可求出點N的坐標．
（1）
解：將點，，代入得：
解得
∴直線的函數(shù)表達式為．
（2）
解：①∵直線a垂直平分交于點D，
∴點D的橫坐標為-3．
∵點D在直線AB上，
∴．
∵點P的縱坐標為m，
∴PD=m-2．
∴．
故答案為：3m-6．
②∵，
∴3m-6=12．
∴m=6．
∵點P在線段OB的垂直平分線上，
∴點P的橫坐標是-3．
∴．
故答案為：．
③如下圖所示，在直線a上取一點，作點Q關(guān)于y軸的對稱點C，連接BC，其與y軸的交點即為N．
∵點B和點P是定點，
∴BP的長度為固定值．
∵，MN=2，
∴當PM+BN取得最小值時，四邊形BPMN的周長取得最小值．
∵PQ⊥OB，MN⊥OB，
∴．
∵，，
∴PQ=2．
∴PQ=MN．
∴四邊形PQNM是平行四邊形．
∴QN=PM．
∵點C與點Q關(guān)于y軸對稱，
∴CN=QN=PM，．
∴CN+BN=PM+BN．
∴當B，N，C三點共線時，CN+BN取得最小值，即PM+BN取得最小值．
∴當B，N，C三點共線時，四邊形BPMN的周長取得最小值．
設(shè)直線BC的解析式為y=px+q．
把點B和點C坐標代入直線BC解析式得
解得
∴直線BC解析式為．
∴當x=0時，．
∴．
故答案為：．
【點睛】本題考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，根據(jù)自變量求一次函數(shù)的函數(shù)值，三角形面積公式，線段垂直平分線的性質(zhì)，平行四邊形的判定定理和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，兩點之間線段最短，綜合應(yīng)用這些知識點是解題關(guān)鍵．
16．已知：直線y＝+6與x軸、y軸分別相交于點A和點B，點C在線段AO上．將△ABO沿BC折疊后，點O恰好落在AB邊上點D處．
（1）直接寫出A、B兩點的坐標：A：_____，B：______；
（2）求出OC的長；
（3）如圖，點E、F是直線BC上的兩點，若△AEF是以EF為斜邊的等腰直角三角形，求點F的坐標；
（4）取AB的中點M，若點P在y軸上，點Q在直線AB上，是否存在以C、M、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出所有滿足條件的Q點坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）A（-8，0），B（0，6）；（2）3；（3）（-2，2）或E（-6，-6）；（4）或或
【分析】（1）在直線中，分別令x=0，y=0，可得A，B坐標；
（2）由翻折不變性可知，，，，在中，，利用，即可求解；
（3）證明，則，，即可求解；
（4）分是邊、是對角線兩種情況，分別求解即可．
【解析】解：（1）對于直線，令，得到，
，
令，得到，
．
．；
（2）由（1）可得：．，
，，
，
，
由翻折不變性可知，，，，
，設(shè)，
在中，，
，
，
解得，
；
（3）由點、的坐標得，直線的表達式為：，
設(shè)點、，
過點作軸的平行線交過點與軸的平行線于點，
交過點與軸的平行線于點，
為等腰直角三角形，故，
，，
，
，，
，
，，
即，，
解得：，，
故點的坐標為、點；
由于、的位置可能互換，故點的坐標為、點；
綜上，點的坐標為或；
（4）點是的中點，則點，而點，
設(shè)點，點，
①當是邊時，
點向右平移1個單位向下平移3個單位得到點，
同樣點右平移1個單位向下平移3個單位得到點，
故且或且，
解得：或，
故點的坐標為或；
②當是對角線時，
由中點公式得：且，
解得：，故點的坐標為；
綜上，點的坐標為：或或．
【點睛】本題考查的是一次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、三角形全等等，其中（4），解題的關(guān)鍵是要注意分類求解，避免遺漏．
17．如圖所示:直線:與軸,軸分別交于,兩點,為上一點,且橫坐標為1,過點作直線,與軸,軸分別交于,兩點．
（1）如圖1:在線段有一動點,過點作軸,交于點,連接,當時,求點的坐標;
（2）如圖2,將沿某一方向平移后經(jīng)過點,記平移后的直線為,為上一點,為上一點,直接寫出所有使得???為頂點的四邊形是平行四邊形的點的坐標,并把求其中一個點的坐標的過程寫出來．
【答案】（1）;（2）,,過程見解析．
【分析】（1）根據(jù)直線可求出點C的坐標,再根據(jù)直線,可得到直線的解析式,設(shè),則,則得FH,然后用m表示出來,可列出方程即可求解．
（2）分別以AD為平行四邊形的邊或?qū)蔷€進行分類討論,利用平行四邊形的對角線互相平分,列出方程即可求解．
【解析】（1）將代入:,
得．
且過,
:．
設(shè)則,
,
解得,．
在線段上,
,
,
．
（2）∵直線:與軸交于點,
∴,即 ∴點D的坐標為D ,
∵將沿某一方向平移后經(jīng)過點,
所以可設(shè)直線為的解析式為 ,
∴ ,解得:,
即直線為的解析式為,
設(shè)點M ,N ,
當AD為對角線時,有 ,
解得: ,
∴點M的坐標為 ;
當AD為邊長,AM為對角線時,有
,
解得:
∴點M的坐標為 ;
當AD為邊長,DN為對角線時,有
解得:,
∴點M的坐標為 ;
綜上所述,使得???為頂點的四邊形是平行四邊形的點的坐標為或．
【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì),一元二次方程組的解法等知識點,解題的關(guān)鍵是能夠運用數(shù)形結(jié)合的思想,及熟練掌握相關(guān)知識點．
18．如圖（1），在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為(﹣1，0)，(3，0)，將線段AB先向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到線段CD，連接AC，BD．
（1）求點C、點D的坐標及S四邊形ABDC；
（2）點Q在y軸上，且S△QAB=S四邊形ABDC，求出點Q的坐標；
（3）如圖（2），點P是線段BD上任意一個點（不與B、D重合），連接PC、PO，試探索∠DCP、∠CPO、∠BOP之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
【答案】（1）C(0，2），D(4，2）；S四邊形ABDC=8；（2）Q(0，4）或Q(0，﹣4）；（3）∠CPO=∠DCP+∠BOP，證明見解析．
【分析】（1）根據(jù)平移直接得到點C、點D的坐標，用面積公式計算S四邊形ABDC；
（2）設(shè)出Q的坐標，OQ=|m|，用S△QAB= S四邊形ABDC建立方程，解方程即可；
（3）作出輔助線、平行線，用兩直線平行，內(nèi)錯角相等即可．
【解析】解：（1）∵線段AB先向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到線段CD
且A(﹣1，0），B(3，0）
∴C(0，2），D(4，2）
∵AB=4，OC=2
∴S四邊形ABDC=AB×OC=8．
（2）∵點Q在y軸上，設(shè)Q(0，m）
∴OQ=|m|
∴S△QAB=×AB×OQ=×4×|m|=2|m|
∵S四邊形ABDC=8
∴2|m|=8
∴m=4或m=﹣4
∴Q(0，4）或Q(0，﹣4）．
（3）如圖
∵線段CD是線段AB平移得到
∴CD∥AB
作PE∥AB
∴CD∥PE
∴∠CPE=∠DCP
∵PE∥AB
∴∠OPE=∠BOP
∴∠CPO=∠CPE+∠OPE=∠DCP+∠BOP
∴∠CPO=∠DCP+∠BOP．
【點睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了平移的性質(zhì)、計算三角形面積的方法、平行線的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是用面積建立方程或計算，作出輔助線是解本題的難點．
19．如圖，直線交軸負半軸于，交軸負半軸于，點在軸正半軸上，；
（1）如圖1，求的長；
（2）如圖2，點在線段上時，，連，設(shè)點縱坐標為，求的面積為（用含的式子表示）；
（3）如圖3，在（2）條件下，在線段上，，交延長線于點，連接，若，時，求的值．
【答案】（1）6；（2）S=（0＜t＜6）；（3）2
【分析】（1）由條件推出AO=BO，進而即可求解；
（2）先求出直線AB的解析式為：y=-x-6，設(shè)C（x，-x-6），由，可得x=-t，進而即可求解；
（3）過點C作CP∥DE，交y軸于點P，可得PO=PC，由四邊形AOCD是平行四邊形，可得D（-t-6，t-6），從而得直線DE的解析式為：，CP的解析式為：，即P（0，），結(jié)合OP2=PC2，列出方程，進而即可求解．
【解析】解：（1）∵，，
∴=，
∴AO=BO，
∵，
∴BO= AO=6；
（2）∵，，
∴直線AB的解析式為：y=-x-6，
∵點在線段上，
∴設(shè)C（x，-x-6），
∵，
∴，解得：x=-6（舍去）或x=-t，
∴S==（0＜t＜6）；
（3）過點C作CP∥DE，交y軸于點P，
∵CP∥DE，
∴∠BED=∠CPB，
∵
∴∠CPB=2∠BOC，
又∵∠CPB=∠BOC+∠PCO，
∴∠BOC=∠PCO，
∴PO=PC，
∵CD∥AO，
∴，
又∵，
∴四邊形AOCD是平行四邊形，
∴CD=AO=6，
∴D（x-6，t-6），即D（-t-6，t-6），
設(shè)直線DE的解析式為：y=kx+b，
則，解得：，
∴直線DE的解析式為：，
∵CP∥DE，
∴設(shè)CP的解析式為：，
代入C（-t，t-6），得，解得：，
∴CP的解析式為：，
∴P（0，），
∴OP=，PC=，
∵OP=PC，即：OP2=PC2，
∴，
解得：t=2或t=-6（舍去），
∴t=2．
【點睛】本題主要考查一次函數(shù)與幾何綜合，熟練掌握一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，函數(shù)圖像上點的坐標特征，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，待定系數(shù)法，解一元二次方程，是解題的關(guān)鍵．
20．已知等腰 Rt△ ABC中，∠ABC=90°，AB=BC， 已知點 A(－4，0)，點 B 在 y 軸正半軸上，（OB＜4）．
（1）如圖 1，若點 B（0， 2）求點 C 的坐標．
（2）如圖 2， CD⊥x 軸于 D，連接 BD，求∠ADB 的度數(shù)．
（3）如圖 3 中，將△ ABO 沿 AB 所在直線對折得△ ABP，以 BP 為直角邊作等腰 Rt△ PBQ， 其中BP=BQ．連接 CQ 交 PB 的延長線于 E．當點 B 在 y 軸上運動時，線段 BE 的長度是否變化?若變化求其變化范圍：若不變，求其值．
【答案】（1）C（2，-2）；（2）；（3）線段 BE 的長度不變， BE=2
【分析】（1）如圖中，作CH⊥y軸于H，只要證明△ABO≌△BCH（AAS）即可解決問題；
（2）證得四邊形CHOD是矩形，得到CH=OD，作CH⊥y軸于H，同理，證明△ABO≌△BCH（AAS），推出CH=OB，從而推出OD=OB，證得△DBO是等腰直角三角形，即可得到∠ADB 的度數(shù)；
（3）由折疊的性質(zhì)得△ ABP△ ABO，再由“AAS”推出△CBF≌△BAP，得到BF=AP=4，CF=BP，再證明四邊形BCFQ是平行四邊形，即可求得BE=2．
【解析】（1）如圖，作CH⊥y軸于H，
∵A（-4，0），B（0，2），
∴OA=4，OB=2，
∵∠AOB=∠ABC=∠BHC=90°，
∴∠ABO+∠CBH=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠BAO=∠CBH，
∵BA=BC，
∴△ABO≌△BCH（AAS），
∴BH=OA=4，CH=OB=2，
∴OH=BH-OB=2，
∴C（2，-2）；
（2）如圖，作CH⊥y軸于H，
∵CD⊥x 軸于 D，
∴四邊形CHOD是矩形，
∴CH=OD，
同理，△ABO≌△BCH（AAS），
∴CH=OB，
∴OD=OB，
∴△DBO是等腰直角三角形，
∴∠ADB；
（3）線段 BE 的長度不變，且BE=2，
理由如下：
如圖，作CF⊥PE交PE的延長線于F，連接FQ，
∵△ ABP是△ ABO對折得來的，
∴△ ABP△ ABO，
∴∠AOB=∠APB =90°，AP=AO=4，PB=BO，
∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠ABP+∠CBF=90°，∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠CBF=∠BAP，
∴△CBF≌△BAP（AAS），
∴BF=AP=4，CF=BP，
∵△PBQ是等腰直角三角形，且BP=BQ，
∴BQ⊥PE，
∴BQ∥CF，且BQ=CF，
∴四邊形BCFQ是平行四邊形，
∴BE=EF=BF=2．
【點睛】本題考查了坐標與圖形、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．
21．如圖，已知在和中，．
(1)如圖1，若，，，，，連接，求線段的長；
(2)如圖2，若，，E、F分別為邊上的動點，與相交于點M，，連接，點N是的中點，證明：；
(3)在（2）的條件下，G是的中點，，連接，H是所在平面內(nèi)一點，連接，和關(guān)于直線成軸對稱圖形，連接，求的最小值．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）先證明，，再證明，得到，，則，求出
，即可利用勾股定理求出；
（2）如圖所示，延長到Q使得，延長到使得，連接，先求出，再由已知條件得到
，即可證明都是等邊三角形，得到，由全等三角形的性質(zhì)得到
，即可證明，推出是等邊三角形，則，證明得到，再證明是
的中位線，得到，即可證明；
（3）如圖所示，連接，，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到，則，由三角形三邊的關(guān)系得到，則當
三點共線時，最小，最小值為，過點G作交延長線于T，求出，，，即可求出，則
．
【解析】（1）解：如圖所示，連接，
∵，，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）證明：如圖所示，延長到Q使得，延長到使得，連接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴都是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵N是的中點，，
∴是的中位線，
∴，
∴，即，
∴；
（3）解：如圖所示，連接，，
∵和關(guān)于直線成軸對稱圖形，
∴，
∵G是的中點，
∴，
∴，
∴當三點共線時，最小，最小值為，
過點G作交延長線于T，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，軸對稱圖形的性質(zhì)，三角形三邊的關(guān)系，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
22．如圖1，在中，，，點D，E分別在邊上，，連接，點F，H，G分別為的中點連接．
(1)觀察猜想：圖1中，線段與的關(guān)系是____________．
(2)探究證明：把繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接，判斷的形狀，并說明理由．
(3)拓展延伸：把繞點C在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，求面積的最大值．
【答案】(1)
(2)是等腰直角三角形；理由見解析
(3)18
【分析】（1）直接利用三角形的中位線定理得出，再借助三角形的外角的性質(zhì)即可得出，即可得出結(jié)論；
（2）由題意可證，可得，根據(jù)三角形中位線定理，可證，根據(jù)角的數(shù)量關(guān)系可求，即可證是等腰直角三角形；
（3）由題意可得最大時，面積最大，點D在的延長線上，即可求出面積的最大值．
【解析】（1）解：∵，
∴，
∵點F是的中點，點H是的中點，
∴，
∵點G是的中點，點H是的中點，
∴，
∴，
∵點F是的中點，點H是的中點，
∴，
∴，
∵點G是的中點，點H是的中點，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
，
∴，
故答案為；
（2）解：是等腰直角三角形
理由：由旋轉(zhuǎn)知，，
∵，
∴，
∴，
由三角形的中位線得，，
∴，
∴是等腰三角形，
由三角形的中位線得，，
∴，
由三角形的中位線得，，
∴，
∵，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（3）解：由（2）知，是等腰直角三角形，，
∵，
∴最大時，面積最大，
∴點D在的延長線上，
∵，
∴，
∴．
∴．
【點睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，性質(zhì)的性質(zhì)，三角形的中位線定理，判斷出是解本題的關(guān)鍵．
23．如圖1，中，，點為中點，點為上一點，連結(jié)．已知．動點從點出發(fā)，以1個單位/秒的速度沿線段向終點運動，設(shè)點運動的時間為（秒）．

(1)求證：．
(2)若為等腰三角形時，求的值．
(3)如圖2，動點出發(fā)的同時，另有一點從點出發(fā)沿線段向終點運動，速度為個單位/秒，連結(jié)，將線段繞點分別向順時針和逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到線段和，當三點共線時，直接寫出的值為______．
【答案】(1)證明見詳解；
(2)的值為或；
(3)；
【分析】（1）設(shè)，，，則，再利用勾股定理的逆定理證明即可；
（2）如圖1中，，取得中點，連接，分兩種情況：，，分別求解即可；
（3）如圖2中，過點作于點，過點作交的延長線于點，證得，由此構(gòu)建方程求解即可．
【解析】（1）證明：設(shè)，，，
則，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴；
（2）如圖1中，取得中點，連接，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
當時，，
∴，
當時，，
∵點在上運動，
∴不可能，
綜上所述，滿足條件的的值為或；
（3）如圖2中，過點作于點，過點作交的延長線于點，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴（），
∴，，
同理可證，
∴，，
∴，
∵，，
∴（），
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形中位線定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．
24．已知：在中，，，點P是邊上一點，連接．
(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，將沿翻折得到，延長交于點Q，求證：；
(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，在上取一點E，連接，使，若，求的長．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)1
【分析】（1）根據(jù)等邊對等角先求出，再由，得到，則，即；
（2）由折疊的性質(zhì)可知，利用三角形外角的性質(zhì)證明，則，即可推出，由此可證明；
（3）如圖所示，分別取的中點，G、H連接，則是的中位線，可以得到，則根據(jù)（2）的結(jié)論求出，則，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)推出，再導(dǎo)角證明，即可證明，得到．
【解析】（1）證明：如圖1所示，∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
（2）證明：由折疊的性質(zhì)可知，
由（1）得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如圖所示，分別取的中點，G、H連接，則是的中位線，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
由折疊的性質(zhì)可知，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等等，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．
25．如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A和點B分別在y軸和x軸上，連接，點C為的中點，．
(1)求點C坐標；
(2)點P從點O出發(fā)沿x軸正方向以每秒2個單位的速度運動，連接、，點P的運動時間為t秒，的面積為S，求用含t的式子表示S；
(3)在（2）的條件下，在y軸負半軸上有一點Q，連接，過點A作于點D，與交于點E，與x軸交于點F，當時，，求此時點Q的坐標．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）連接，過點C作于點M，于點N，根據(jù)直角三角形斜邊中線性質(zhì)可得，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得，，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可求，，即可求出點C的坐標；
（2）根據(jù)求解即可；
（3）取中點G，連接，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得出，，根據(jù)可證，得出，，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理和可求，再結(jié)合平行線的性質(zhì)，對頂角的性質(zhì)以及等角對等邊可證，進而得出，則可求，即可可求Q的坐標．
【解析】（1）解∶連接，過點C作于點M，于點N，
∵點C為的中點，，
∴，
∵，，
∴，，
又∵，
∴，，
∴點C的坐標為；
（2）解：連接，過點C作于點M，
，
由（1）知：，
由題意知：，，
∴
；
（3）解：取中點G，連接，
，
∵點C為的中點，
∴，，
∵，，
∴，，
又，
∴，
又，，
∴，
∴，
設(shè)，
則，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
又，，，
∴，
又，
∴，
又Q在y軸負半軸上，
∴Q的坐標為．
【點睛】本題考查了三角形的中位線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，添加合適的輔助線，證明是解第（3）的關(guān)鍵．
26．如圖①所示，是某公園的平面示意圖，、、、分別是該公園的四個入口，兩條主干道、交于點，請你幫助公園的管理人員解決以下問題：
(1)若，，，公園的面積為 ；
(2)在（1）的條件下，如圖②，公園管理人員在參觀了武漢東湖綠道后，為提升游客游覽的體驗感，準備修建三條綠道、、，其中點在上，點在上，且（點與點、不重合），并計劃在與兩塊綠地所在區(qū)域種植郁金香，求種植郁金香區(qū)域的面積；
(3)若將公園擴大，此時，，，修建（2）中的綠道每千米費用為10萬元，請你計算該公園修建這三條綠道投入資金的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)萬元
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求得、，作輔助線，從而求得，則可求得答案；
（2）根據(jù)已知條件可得，從而的值轉(zhuǎn)化為求的值即可；
（3）由題意可知為定值，從而將沿MN向下平移2km至，連接交于點，此時點N位于處，此時即為取最小值，過M作于點G，先判定四邊形和四邊形均為平行四邊形，再得出是等邊三角形，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理求得的長，則最短的綠道長度可得，從而費用的最小值可求得．
【解析】（1）解：四邊形是平行四邊形，，，
，，
在中，過點作于點，如圖：
，，，
，
，
，
；
公園的面積為；
故答案為：．
（2）解：連接、，如圖：
在中，，
，
，
，，，
，
，
．
種植郁金香區(qū)域的面積為．
（3）解：將沿向下平移至，連接交于點，此時點位于處，
此時即為取最小值，過作于點，如圖：
，，
為的中位線，
，
四邊形和四邊形均為平行四邊形，
，
，，，
，
是等邊三角形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
在中，
由勾股定理得：，
，
、、和的最小值為：，
投入資金的最小值為：萬元．
【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形中位線定理及等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識點在最值問題中的綜合運用，本題難度略大．
27．如圖，中，，于點O，，．
(1)求，的長；
(2)若點是射線上的一個動點，作于點，連接．
①當點在線段上時，若是以為腰的等腰三角形，請求出所有符合條件的的長；
②設(shè)直線交直線于點，連接，，若，則的長為______（直接寫出結(jié)果）．
【答案】(1)，；
(2)①6或；②或
【分析】（1）由題意可得，再由勾股定理求得、即可；
（2）①分兩種情況：和時，分別畫圖，根據(jù)三角形的中位線定理和證明三角形全等可解決問題；
②分兩種情況：
當在線段上時，如圖3，過作于，根據(jù)同高三角形面積的比等于對應(yīng)底邊的比，得，可得，證明是等腰三角形，得，最后利用勾股定理可得結(jié)論；
當在線段的延長線上時，過作于，同計算可得結(jié)論．
【解析】（1）解：由題意可得：，
由勾股定理可得，，
即，
（2）①分兩種情況：
當時，過作于，如圖1所示：
，
，
，
是的中位線，
；
當時，如圖2所示：
在和中，
，
，
，
；
綜上所述，的長為6或；
②分兩種情況：
當在線段上時，過作于，如圖3所示：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
；
當在線段的延長線上時，過作于，如圖4所示：
同理得：，
，
，
同理得：是等腰三角形，
，
，
中，；
綜上所述，的長為或，
故答案為：或．
【點睛】本題是三角形的綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積、勾股定理、分類討論等知識；證明是等腰三角形是解題的關(guān)鍵．
28．在△ABC中，P是BC邊上的一動點，連接AP．
(1)如圖1，，，且．求：△ABP的面積．
(2)如圖2，若，以AP為邊作等腰Rt△APE，連接BE，F(xiàn)是BE的中點，連接AF，猜想PE，PB，AF之間有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．
(3)如圖3，作于D，于E，若，，，當DE最小時，請直接寫出DE的最小值．
【答案】(1)；
(2)，證明見詳解；
(3)DE的最小值為．
【分析】（1）過點A作AG⊥BC于點G，由,列等量關(guān)系,計算得到的長，然后利用三角形面積公式求解即可；
（2）連接CE并延長，交BA的延長線與點H，證明，,進一步推理得到；由三角形中位線定理知道；證明，得到,代入中即可得到答案；
（3）延長PD到點M，使MD=PD，延長PE到點N，使NE=PE，連接AP、AM、AN、MN，過點A作AQ⊥MN于點Ｑ，推理得到當AP有最小值的時候，DE有最小值，在△ABC中，當AP⊥BC的時，AP有最小值，利用勾股定理求解即可．
【解析】（1）解：過點A作AG⊥BC于點G，如下圖：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵， ，
∴，
在中，，，
∴，
設(shè)，則，
由勾股定理，得：，即，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
∴BC=2BG=2，
∴，
∴；
（2）,理由如下：
證明：連接CE并延長，交BA的延長線與點H，作圖如下：
∵，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
由勾股定理，得：,即：，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
又∵F是BE的中點，
∴AF是的中位線，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：延長PD到點M，使MD=PD，延長PE到點N，使NE=PE，連接AP、AM、AN、MN，過點A作AQ⊥MN于點Ｑ，如下圖：
∴DE為△PMN的中位線，
∴MN=2BE，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴， ，
∵，
∴，，
∴，
∴，
在中，AM=AN，，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
由勾股定理，得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴當AP有最小值的時候，DE有最小值，
∴在△ABC中，當AP⊥BC的時，AP有最小值，
過點B作BF⊥AC于點F，如下圖：
∵，
∴∠BFC=∠BFA=，
在中，，
∴，
∴FB=FC，
由勾股定理，得：，即，
，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
由勾股定理，得：，
即：，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
由勾股定理，得，即，
∵，
∴，
∴AP的最小值為3，
∴，
∴DE的最小值為：．
【點睛】本題考查勾股定理解直接三角形，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形中位線定理，直接開平方法解一元二次方程，二次根式的加減，等知識點，能夠用化歸的思想，利用輔助線畫準確圖形是解該類型題的關(guān)鍵．
29．在中，點P為邊中點，直線a繞頂點A旋轉(zhuǎn)，于點M．于點N，連接．
(1)如圖1，若點B，P在直線a的異側(cè)，延長交于點 E．求證：；
(2)若直線a繞點A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，點在直線a的同側(cè)，其它條件不變，此時，，求MN的長度．
(3)若過P點作于點G，試探究線段 和的數(shù)量關(guān)系．
【答案】(1)見解析
(2)7
(3)或
【分析】（1）由平行線的性質(zhì)證得，再根據(jù)可證△BPM≌△CPE，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明結(jié)論．
（2）延長與的延長線相交于點E．再證 可得 ，然后求出△MNE的面積即可解答．
（3）分當點在直線a的異側(cè)和同側(cè)兩種情形，分別利用三角形中位線定理求解即可．
【解析】（1）證明：∵于點M．于點N
∴，
∴ ，
∴
又∵P為邊中點，
∴，
又 ，
，
∴ ．
（2）解：如圖：延長與的延長線相交于點E
∵于點M．于點N
∴
∴，
∴
∴，
又∵P為中點，
∴
又∵ ，
∴，
∴， ，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∵
∴．
（3）解：①如圖1當點B，P在直線a的異側(cè)時，
∵,
∴，
∵，
∴MG=GN，
∴，
∵，
∴；
①如圖2：當點B，P在直線a的同側(cè)時，
∵,
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
綜上所述，或．
【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的中位線定理、梯形的中位線定理、三角形的面積等知識點，解題的關(guān)鍵是正確并證明全等三角形．
30．已知，在中，點M是的中點，點D是線段上一點（不與點A重合）．過點D作的平行線，過點C作的平行線，兩線交于點E，連結(jié)．
(1)如圖1，當點D與M重合時，求證：四邊形是平行四邊形；
(2)如圖2，當點D不與M重合時，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；
(3)圖3，延長交于點H，若，且，求的度數(shù)．
【答案】(1)見解析
(2)成立，證明見解析
(3)30°
【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)可得同位角相等，再利用證明，得，從而證明結(jié)論；
（2）過點作交于點，則四邊形為平行四邊形，得且，由（1）可得且，從而得出結(jié)論；
（3）取線段的中點，連接，由三角形中位線定理得，，則，，即可解決問題．
（1）
解：證明：，
，
，
，
是的中線，且與重合，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形；
（2）
成立，理由如下：
過點作交于點，
，
四邊形為平行四邊形，
且，
由（1）可得且，
且，
四邊形為平行四邊形；
（3）
取線段的中點，連接，
是的中位線，
，，
且，
，，
．
【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，遇中點取中點構(gòu)造中位線是解決問題（3）的關(guān)鍵．
31．已知，如圖1，△ABC中，AC＝BC，DE為△ABC的中位線，P為邊AB上一點，連接DP，以DP為一邊在右側(cè)作△DPQ，使DP＝DQ，且∠PDQ＝∠ACB，連接EQ并延長交直線BC于點H．
(1)求證：△APD≌△EQD；
(2)若∠ACB＝120°，判斷BC與CH的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
(3)在（2）的條件下，如圖2，延長DQ交BC于點G，若AC為2，求AP為何值時△HQG為直角三角形．
【答案】(1)見解析
(2)BC＝2CH，理由見解析
(3)AP的長為或
【分析】（1）由“SAS”可證△APD≌△EQD；
（2）由等腰三角形的性質(zhì)可得∠A＝∠B＝30°，CE⊥AB，∠BCE＝60°，由全等三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得∠DEQ＝∠H＝30°，可證CH＝CE，即可求解；
（3）分兩種情況討論，由直角三角形的性質(zhì)可求解．
（1）
證明：∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
∵DE為△ABC的中位線，
∴，DE＝BC，AD＝AC，
∴∠ADE＝∠ACB，AD＝DE，
∵AC＝BC，DP＝DQ，∠PDQ＝∠ACB，
∴∠A＝∠B＝∠DPQ＝∠DQP，∠ADE＝∠ACB＝∠PDQ，
∴，
∴∠ADP＝∠EDQ，
在△APD和△EQD中，
∴△APD≌△EQD（SAS）．
（2）
解：BC＝2CH，理由如下，連接CE，如圖所示：
∵AC＝BC，∠ACB＝120°，點E是AB的中點，
∴∠A＝∠B＝30°，CE⊥AB，∠BCE＝60°，
∴BC＝2CE，
∵△APD≌△EQD，
∴∠A＝∠DEQ＝30°，
∵，
∴∠DEQ＝∠H＝30°，
∵∠BCE＝∠H＋∠CEH，
∴∠CEH＝30°＝∠H，
∴CH＝CE，
∴BC＝2CH．
（3）
解：設(shè)HE與AC的交點為N，如圖所示：
∵∠H＝30°，∠ACB＝120°，
∴∠CNH＝90°，
∴當點Q與點N重合時，△HQG為直角三角形，
∵∠PDN＝120°，
∴∠ADP＝60°，
∴∠APD＝180°?∠A?∠ADP＝90°，
∵點D是AC的中點，AC＝2，
∴AD＝1，
∵∠A＝30°，∠APD＝90°，
∴DP＝AD＝，；
當∠QGH＝90°時，如圖所示：
∵∠QGH＝∠DNQ＝90°，∠HQG＝∠DQN，
∴∠H＝∠GDC＝30°，
∴∠CDP＝90°＝∠ADP，
又∵∠A＝30°，
∴AP＝2DP，，
∴；
綜上分析可知：AP的長為或．
【點睛】本題是三角形綜合題，考查了三角形中位線定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
32．已知等腰直角與有公共頂點．
（1）如圖①，當點在同一直線上時，點為的中點，求的長；
（2）如圖②，將繞點旋轉(zhuǎn)，點分別是的中點，交于，交于．
①猜想與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你猜想的結(jié)論；
②參考圖③，若為的中點，連接，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段的最小值是多少（直接寫出結(jié)果）．
【答案】（1）；（2）①；證明見解析；②線段的最小值是．
【分析】（1）如圖：過點作于點，先說明FQ是△ADE的中位線，然后再求得FQ、BQ，最后再運用勾股定理解答即可；
（2）①連接交于，先證明可得，然后再說明GM是△ABD的中位線可得，然后再根據(jù)角的關(guān)系證明﹔②如圖：連接CG，取中點O，連接OK、OM，再根據(jù)勾股定理和三角形中位線的性質(zhì)求得CG和OK,進而求得OM,最后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可解答．
【解析】解：（1）過點作于點，
∵點是的中點，
∴FQ是△ADE的中位線
，
；
（2）①﹔
證明:連接交于．
，
．即；
在和中，
，
（SAS），
分別是的中點，
∴GM是△ABD的中位線
且
，
，
﹔
②如圖：連接CG，取中點O，連接OK、OM
∴，OK=AG=1
∵∠CMG=90°，O為CG的中點
∴OM=CG=
∵MK＞OM-OK
∴當O、K、M共線時，MK取最小值OM-OK=-1．
【點睛】本題主要考查了三角形的中線、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點，靈活運用相關(guān)知識點成為解答本題的關(guān)鍵．
33．（1）【母題呈現(xiàn)】如圖1，是的中位線，以為斜邊作，，求證：．
（2）【母題變式】如圖2，是的中位線，分別以為斜邊作和，，作交的延長線于點H，與交于點O．
①求證：；②求的度數(shù)．
（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，在中，分別以為斜邊作和，，點P是線段上一點，且，連接，請寫出與之間的一個等量關(guān)系，并證明．
【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②60°；（3）PF=PG，證明見解析
【分析】（1）由三角形中位線定理得，再根據(jù)30°角所對直角邊等于斜邊一半可得，從而可得結(jié)論；
（2）①證明△ACG≌△HCE，得AG=EH，再證∠FAG=∠DEH，可證明△AFG≌△EDH，從而可得結(jié)論；②取FG與EH的交點為I，取AG與EH的交點為J，由三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論；
（3）如圖，證明PG∥DH且PG=即可得出結(jié)論．
【解析】解：（1）∵DE是的中位線，
∵
在中，，
∴
∴．
（2）①如圖2中，∵
∴
∵點E是AC的中點，
∴
∴
∵
∴
又
∴
∴△ACG≌△HCE，
∴AG=EH．
∠FAG=∠FAB+∠CAG+∠BAC=∠BAC，
∠DEH=∠CED+∠CEH=∠BAC+∠，
∴∠FAG=∠DEH．
又∵AF=ED．
∴△AFG≌△EDH(SAS)．
∴FG=DH．
②取FG與EH的交點為I，取AG與EH的交點為J．
∵∠FOD是△OHI的外角，
∴∠FOD=∠OHI+∠OIJ=∠IGJ+∠GIJ=∠AJE=．
（3）如圖,
由（2）得△ACG≌△HCE
∴AC=HC，
∵
∴CG=，即點G為CH的中點，
又CD=
∴，即點P為CD的中點
∴PG是△CDH的中位線，
∴PG∥DH且PG=．
∴∠PGF=∠DOF=，∠FPG=，∠PFG=．
∴PF⊥PG且PF=PG．
【點睛】本題主要考查了三角形中位線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，30°角所對直角邊等于斜邊一半等知識，熟練掌握中位線定理是解答本題的關(guān)鍵．

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