1．（浙江省金華市東陽市2021-2022學(xué)年八年級下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，直線交正方形的對邊、于點(diǎn)、，正方形和正方形關(guān)于直線成軸對稱，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，、交于點(diǎn)，、交于點(diǎn)以下結(jié)論錯誤的是（ ）
A．B．的周長等于線段的長
C．的周長等于線段的長D．的周長等于
2．（2022春·浙江寧波·八年級校聯(lián)考期末）如圖，點(diǎn)A，B，E在同一條直線上，正方形ABCD，BEFG的面積分別為m，n，H為線段DF的中點(diǎn)，則BH的長為（ ）
A．B．C．D．
3．（2022春·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形OABC的兩邊落在坐標(biāo)軸上，反比例函數(shù)y＝的圖象在第一象限的分支交AB于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)E，直線PE交y軸于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)F，連接AC．則下列結(jié)論：
①S四邊形ACFP＝k；
②四邊形ADEC為平行四邊形；
③若＝，則＝；
④若S△CEF＝1，S△PBE＝4，則k＝6．
其中正確的是（ ）
A．①②④B．①②C．②④D．①③
4．（2022春·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，點(diǎn)P為矩形ABCD邊上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)P從A出發(fā)沿著矩形的四條邊運(yùn)動，最后回到A．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的路程長為x，△ABP的面積為y，圖2是y隨x變化的函數(shù)圖像，則矩形ABCD的對角線BD的長是（ ）
A．B．C．8D．10
5．（2022春·浙江杭州·八年級統(tǒng)考期末）已知函數(shù)（為常數(shù)，且，），函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱．
①函數(shù)的圖象上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)都小于2．
②若當(dāng)（為大于0的實(shí)數(shù)）時，的最大值為，則在此取值范圍內(nèi)，的最小值必為．
則下列判斷正確的是（ ）
A．①②都正確B．①正確，②錯誤C．①錯誤，②正確D．①②都錯誤
6．（2022春·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）如圖是一個由5張紙片拼成的菱形ABCD，相鄰紙片之間互不重疊也無空隙，其中周圍四張小平行四邊形紙片都全等，中間一張紙片的面積為．連結(jié)BE，BG，DE，DG，四邊形BEDG的面積為，若，則周圍小平行四邊形的寬與長的比值為（ ）
A．B．C．D．
7．（2022春·浙江紹興·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形，，，，…按如圖所示的方式放置，其中點(diǎn)在軸上，點(diǎn)，，，，，，…在軸上，已知正方形的邊長為2，，…．則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
8．（2022春·浙江杭州·八年級統(tǒng)考期末）已知是矩形對角線的交點(diǎn)，作，，相交于點(diǎn)，連接．下列說法正確的是( )
①四邊形為菱形；②；③；④若，則
A．①③B．①②④C．①④D．③④
9．（2022春·浙江麗水·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形中，，點(diǎn)，分別是射線，射線上的點(diǎn)，，與交于點(diǎn)．過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，則的長是（ ）
A．8B．C．6D．
10．（2022春·浙江紹興·八年級統(tǒng)考期末）如圖在邊長為1的小正方形構(gòu)成的5×4的網(wǎng)格中，定義：以網(wǎng)格中的格點(diǎn)為頂點(diǎn)的正方形叫做格點(diǎn)正方形．則圖中完全包含“ ”的格點(diǎn)正方形最多能畫（ ）
A．13個B．16個C．19個D．21個
11．（2022春·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO，點(diǎn)B(10，8)，點(diǎn)D在BC邊上，連接AD，把ABD沿AD折疊，使點(diǎn)B恰好落在OC邊上點(diǎn)E處，反比例函數(shù)（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)D，則k的值為（ ）
A．20B．30C．40D．48
12．（2022春·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝3，AB＝，∠B是銳角，AE⊥BC于點(diǎn)E，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，連接DF，EF，若∠EFD＝90°，則AE的長是（ ）
A．2B．3C．D．
13．（2022春·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，分別以的邊，為一邊向外作正方形和正方形，連結(jié)，，．若，，則的值為（ ）．
A．291B．219C．340D．170
14．（2022春·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）如圖，中∠ACB是直角，分別以的三邊向外作正方形，G為邊EF的中點(diǎn)，若要求出圖中陰影的面積，只需要知道線段（ ）
A．AB的長度B．AC的長度C．BC的長度D．BG的長度
15．（2022春·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形和正方形是兩個全等的正方形，將它們按如圖的方式放置在正方形內(nèi)，若求陰影圖形的面積，則只需知道( )
A．的面積B．五邊形的面積
C．的面積D．正方形的面積
16．（2022春·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線與x軸交于點(diǎn)A、與y軸交于點(diǎn)B，過點(diǎn)A作軸，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)D，與直線交于點(diǎn)E，若，則k與a的關(guān)系正確的是( )
A．B．C．D．
17．（2022春·浙江溫州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，線段與相交于點(diǎn)，，，以和為邊作，以和為邊作，且和的面積都為，若，則線段的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
18．（2022春·浙江·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線AC與反比例函數(shù)的圖像交于A，C兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)C的左邊），與x軸交于點(diǎn)B，以點(diǎn)A為頂點(diǎn)向下作矩形ADMN，其對角線相交于點(diǎn)O，且AD平分∠OAB，AC =CB，連結(jié)CD，若△ACD的面積為6，則k的值為（ ）
A．8B．10C．12D．16
二、填空題
19．（2022春·浙江杭州·八年級杭州外國語學(xué)校校考期末）如圖，在正方形中，，點(diǎn)O是對角線的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段上的動點(diǎn)（點(diǎn)Q不與點(diǎn)O，A重合），連結(jié)，并延長交邊于點(diǎn)E，過點(diǎn)Q作交于點(diǎn)F，分別連結(jié)與，交對角線于點(diǎn)G，過點(diǎn)C作交于點(diǎn)H，連結(jié)．以下四個結(jié)論：①；②周長為8；③，④線段的最小值為．其中正確的結(jié)論是 _____．（填序號）
20．（2022春·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線交坐標(biāo)軸于、兩點(diǎn)，函數(shù)的圖象為曲線．（1）若曲線與直線有唯一的公共點(diǎn)，則______；（2）若曲線使得線段上的整點(diǎn)（橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)，且不包括點(diǎn)、）分布在它的兩側(cè)，每側(cè)的整點(diǎn)個數(shù)相同，則的取值范圍為______．
21．（2022春·浙江舟山·八年級校聯(lián)考期末）如圖，矩形ABCD中，BC＝10，∠BAC＝30°，若在AC、AB上各取一點(diǎn)M、N，使BM+MN的值最小，求這個最小值_____．
22．（2022春·浙江寧波·八年級校聯(lián)考期末）如圖，是矩形內(nèi)的任意一點(diǎn)，連接，，，，得到，，，設(shè)它們的面積分別是，，，，給出如下結(jié)論：
；
；
若，則；
若，則點(diǎn)必在矩形的對角線上．
其中正確結(jié)論的序號是_______________把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上．
23．（2022春·浙江臺州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形中，，，點(diǎn)P是邊上的動點(diǎn)（不與C、D重合），以為邊作菱形，使，若矩形有第二個頂點(diǎn)在菱形的邊上，則_______．
24．（2022春·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）三折傘是我們生活中常用的一種傘，它的骨架是一個“移動副”和多個“轉(zhuǎn)動副”組成的連桿機(jī)構(gòu)，如圖1是三折傘一條骨架的結(jié)構(gòu)圖，當(dāng)“移動副”（標(biāo)號1）沿著傘柄移動時，折傘的每條骨架都可以繞“轉(zhuǎn)動副”（標(biāo)號2—9）轉(zhuǎn)動；圖2是三折傘一條骨架的示意圖，其中四邊形CDEF和四邊形DGMN都是平行四邊形，AC=BC=14cm，DE=2cm，DN=1cm．已知關(guān)閉折傘后，點(diǎn)A、E、H三點(diǎn)重合，點(diǎn)B與點(diǎn)M重合．
（1）BN=______；
（2）當(dāng)∠BAC=60°時，點(diǎn)H到傘柄AB距離為______．
25．（2022春·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OC，OA分別在x軸和y軸上，反比例函數(shù)的圖象與AB，BC分別交于點(diǎn)E，點(diǎn)F，若矩形對角線的交點(diǎn)D在反比例函數(shù)圖象上，且EDOB，則點(diǎn)E的坐標(biāo)是_______．
26．（2022春·浙江紹興·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線與反比例函數(shù)的圖象相交于A、C兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作軸交反比例函的圖象于點(diǎn)E，連結(jié)，點(diǎn)B為y軸上一點(diǎn)，滿足，且恰好平行于x軸．若，則k的值為________．
27．（浙江省麗水市2021-2022學(xué)年八年級下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，以，為邊長的矩形面積為，以為邊長的正方形面積為，已知．
（1）當(dāng)時，則的值是______；
（2）若為整數(shù)，，則矩形和正方形的周長之和的值是______．
28．（2022春·浙江舟山·八年級統(tǒng)考期末）已知函數(shù)y=x+1的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)C、B，與雙曲線y交于點(diǎn)A、D．若AB+CD=BC，則k的值為 _____．
29．（2022春·浙江臺州·八年級統(tǒng)考期末）小明同學(xué)學(xué)習(xí)了菱形的知識后，結(jié)合之前學(xué)習(xí)的趙爽弦圖，編了一個菱形版“趙爽弦圖”．如圖，菱形ABCD中，∠ABC=60°，四邊形EFGH是矩形，若FA=FB=2，則矩形EFGH的面積為______．
30．（2022春·浙江紹興·八年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形ABCD邊長為2，點(diǎn)E，F(xiàn)是對角線AC上的動點(diǎn)，且EF長度為1，連結(jié)BE，BF，則△BEF周長的最小值為______．
31．（2022春·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，M為對角線BD所在直線的一個動點(diǎn)，點(diǎn)N是平面上一點(diǎn)．若四邊形MCND為平行四邊形，MN＝，則BM的值為 _____．
32．（2022春·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形中，點(diǎn)，，分別在，，邊上，，，平分，，則線段的長為______，線段的長為______．
33．（2022春·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，C為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段上的一個動點(diǎn)，連接，當(dāng)?shù)闹禐開___________時，將沿邊所在直線翻折后得到的與重疊部分的面積為面積的．
34．（2022春·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形ABCD邊長為2，F(xiàn)為對角線AC上的一個動點(diǎn)，過C作AC的垂線并截取，連接EF，周長的最小值為______．
35．（2022春·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，軸，軸，，，，若反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過、兩點(diǎn)，則的值是______．
36．（2022春·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形ABCD中，，射線AE與BC邊交于點(diǎn)E，點(diǎn)F是射線AE上的一點(diǎn)，點(diǎn)G在邊AB上，以FG為邊向上作菱形FGMN，若，當(dāng)點(diǎn)G從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)A時，點(diǎn)N的運(yùn)動路徑長是_______．
37．（2022春·浙江溫州·八年級統(tǒng)考期末）如圖1是第32屆夏季奧運(yùn)會的會徽，它是由三種不同規(guī)格的全等矩形組成，代表了不同的國家、文化和思維方式，表達(dá)了多樣性的融合．圖2和圖3為該會徽中的某一部分，如圖2，三種矩形分別由三種不同的菱形依次連結(jié)各邊中點(diǎn)得到，其中，．如圖3，點(diǎn)恰好在的延長線上，則______度．若，則點(diǎn)，之間的距離為______．
38．（2022春·浙江杭州·八年級統(tǒng)考期末）如圖是一張矩形紙片ABCD，點(diǎn)E在AC邊上，把△DCE沿直線DE折疊，使點(diǎn)C落在對角線BD上的點(diǎn)F處；點(diǎn)G在AB邊上，把△DAG沿直線DG折疊，使點(diǎn)A落在線段DF上的點(diǎn)H處．若HF＝1，BF＝8，則BD＝______，矩形ABCD的面積＝______．
39．（2022春·浙江·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形ABCD中，將矩形ABCD沿EF折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)處，點(diǎn)B落在CD邊點(diǎn)處，連結(jié)B交EF于點(diǎn)G，點(diǎn)M在上，M=2M，若CD=3，AD=6，在折疊的過程中，點(diǎn)在邊CD上不同的位置時，則MG+G的最小值為______．
特訓(xùn)11 期末選填壓軸題（浙江精選歸納）
一、單選題
1．（浙江省金華市東陽市2021-2022學(xué)年八年級下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，直線交正方形的對邊、于點(diǎn)、，正方形和正方形關(guān)于直線成軸對稱，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，、交于點(diǎn)，、交于點(diǎn)以下結(jié)論錯誤的是（ ）
A．B．的周長等于線段的長
C．的周長等于線段的長D．的周長等于
【答案】C
【分析】過點(diǎn)作AK垂直于，垂足為，連接，根據(jù)兩正方形關(guān)于直線對稱，可得，，再根據(jù)邊的轉(zhuǎn)化即可證明A選項(xiàng)不符合題意；根據(jù)對稱可得，將的周長表示出來，在通過邊的轉(zhuǎn)化即可證明B選項(xiàng)不符合題意；根據(jù)對稱可得，即可證明C選項(xiàng)符合題意；根據(jù)對稱，可得，將周長表示出來，再根據(jù)邊的轉(zhuǎn)化即可證明D選項(xiàng)不符合題意．
【解析】解：如圖，過點(diǎn)作垂直于，垂足為，連接，
則，
∵正方形和正方形關(guān)于直線成軸對稱，
∴，
在和中，
∴，
∴，
同理可證：，
∴，
∴，故A選項(xiàng)不符合題意；，
∵正方形和正方形關(guān)于直線成軸對稱，
∴，
∴，
∵，
∴，故B選項(xiàng)不符合題意；
由正方形和正方形關(guān)于直線成軸對稱，可得，，
∴，故C選項(xiàng)符合題意；
由正方形和正方形關(guān)于直線成軸對稱，可得，，
∵，
∴，
∴
，
故D選項(xiàng)不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，軸對稱圖形的性質(zhì)，直角三角形全等的判定，熟練掌握軸對稱圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
2．（2022春·浙江寧波·八年級校聯(lián)考期末）如圖，點(diǎn)A，B，E在同一條直線上，正方形ABCD，BEFG的面積分別為m，n，H為線段DF的中點(diǎn)，則BH的長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】連接BD，BF可證△ DBF為直角三角形，在通過直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半即可
【解析】如圖連接BD，BF；
∵四邊形ABCD和四邊形BEFG都為正方形，AB=m，BE=n，
∴∠ DBF=90°，DB=，BF=，
∴DF=，
∵H為DF的中點(diǎn)，
∴ BH==，故選A
【點(diǎn)睛】熟練掌握直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半和輔助線作法是解決本題的關(guān)鍵
3．（2022春·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形OABC的兩邊落在坐標(biāo)軸上，反比例函數(shù)y＝的圖象在第一象限的分支交AB于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)E，直線PE交y軸于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)F，連接AC．則下列結(jié)論：
①S四邊形ACFP＝k；
②四邊形ADEC為平行四邊形；
③若＝，則＝；
④若S△CEF＝1，S△PBE＝4，則k＝6．
其中正確的是（ ）
A．①②④B．①②C．②④D．①③
【答案】A
【分析】設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(b,a)，則得A(0,a)，C(b,0)，從而可求出P，E，再求出直線PE的解析式為，進(jìn)而求得F(,0)，判斷出四邊形ACFP是平行四邊形，計(jì)算得此四邊形的面積，從而判斷①正確；由四邊形ACFP是平行四邊形，得AC∥DF，故可得②正確；由，判斷得ab=4k，再求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，即可判斷③錯誤；由S△CEF＝1，得出＝2，再由S△PBE＝4，得到關(guān)于k的方程，解方程得k=6，從而可判斷④正確．
【解析】設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(b,a)，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴A(0,a)，C(b,0)，
∵點(diǎn)P，E在反比例函數(shù)圖形上，
∴P，E ，
∴直線PE的解析式為，
令y＝0，則，
∴x＝，
∴F(,0)，
∴CF＝+b﹣b＝，
∵P(，a)，
∴AP＝，
∴AP＝CF，
∵四邊形OABC是矩形，
∴，
∴四邊形ACFP是平行四邊形，
∴S四邊形ACFP＝CF?OA＝?a＝k，故①正確；
∵四邊形ACFP是平行四邊形，
∴AC∥DF，
∵OA∥BC，
∴四邊形ADEC是平行四邊形，故②正確；
∵，
∴，
∵B(b,a)，
∴OB＝b，
∵P(,a)，
∴AP＝，
∴，
∴ab＝4k，
∵直線PE的解析式為，
∴D，
∵A(0,a)，
∴AD＝+a﹣a＝，
∴＝＝＝，故③錯誤；
∵S△CEF＝1，
∴＝1，
∴＝2，
∵S△PBE＝4，
∴(b﹣)?(a﹣)＝4，
∴ab﹣k﹣k+＝8，
∴k2﹣2k﹣6＝0，
∴k＝﹣2（舍）或k＝6，故④正確，
∴正確的有①②④，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)的綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，三角形和平行四邊形的面積，平行四邊形判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法，關(guān)鍵是判斷四邊形APFC是平行四邊形．
4．（2022春·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，點(diǎn)P為矩形ABCD邊上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)P從A出發(fā)沿著矩形的四條邊運(yùn)動，最后回到A．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的路程長為x，△ABP的面積為y，圖2是y隨x變化的函數(shù)圖像，則矩形ABCD的對角線BD的長是（ ）
A．B．C．8D．10
【答案】B
【分析】根據(jù)圖象，可得出矩形的長，根據(jù)的最大面積，可得出矩形的寬，利用勾股定理即得出對角線長度．
【解析】解：點(diǎn)P在AB邊運(yùn)動時，不構(gòu)成三角形，此時的面積為0，
由函數(shù)圖象可知AB＝5，
當(dāng)點(diǎn)P在CD邊運(yùn)動時，的面積達(dá)到最大10，
此時，
解得BC＝4，
則對角線．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理與讀圖能力，讀懂圖、掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
5．（2022春·浙江杭州·八年級統(tǒng)考期末）已知函數(shù)（為常數(shù)，且，），函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱．
①函數(shù)的圖象上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)都小于2．
②若當(dāng)（為大于0的實(shí)數(shù)）時，的最大值為，則在此取值范圍內(nèi)，的最小值必為．
則下列判斷正確的是（ ）
A．①②都正確B．①正確，②錯誤C．①錯誤，②正確D．①②都錯誤
【答案】A
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)以及軸對稱的性質(zhì)判斷即可．
【解析】解：∵函數(shù)（k為常數(shù)，且k＞0，x＞0），
∴函數(shù)圖象在第一象限，如圖，
∴函數(shù)y的最小值大于0，
∵函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=1對稱，
∴的最大值小于2，
∴函數(shù)的圖象上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)都小于2．故①正確；
當(dāng)m≤x≤2（m為大于0的實(shí)數(shù)）時，的最大值為a，則其對應(yīng)點(diǎn)為（m，a），
那么，點(diǎn)（m，a）關(guān)于直線y=1的對稱點(diǎn)為（m，2-a），
∴在此取值范圍內(nèi)，的最小值必為2-a，故②正確，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形變化-對稱，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
6．（2022春·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）如圖是一個由5張紙片拼成的菱形ABCD，相鄰紙片之間互不重疊也無空隙，其中周圍四張小平行四邊形紙片都全等，中間一張紙片的面積為．連結(jié)BE，BG，DE，DG，四邊形BEDG的面積為，若，則周圍小平行四邊形的寬與長的比值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作輔助線構(gòu)建平行四邊形的高線，設(shè)小平行四邊形的寬是x，長是x，DQ=h，PQ=h1，根據(jù)圖形可知：S2=S菱形ABCD-4S△BGN-2S?，S1=GH?（h-h1），根據(jù)S2＝S1代入計(jì)算可得結(jié)論．
【解析】解：如圖，過點(diǎn)D作DP⊥BC，交BC的延長線于P，交MG的延長線于Q，
設(shè)小平行四邊形的寬是x，長是y，DQ=h，PQ=h1，
∵周圍四張小平行四邊形紙片都全等，
∵EH=GH=FG=EF=y-x，
∴四邊形EFGH是菱形，
∵S2＝S1，
∴，即，
∴，
∴．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)和面積，用參數(shù)表示線段的長和面積并計(jì)算是解本題的關(guān)鍵．
7．（2022春·浙江紹興·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形，，，，…按如圖所示的方式放置，其中點(diǎn)在軸上，點(diǎn)，，，，，，…在軸上，已知正方形的邊長為2，，…．則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用正方形的性質(zhì)、含30°角直角三角形性質(zhì)及勾股定理得出A1的縱坐標(biāo)，進(jìn)而得出變化規(guī)律即可得出答案．
【解析】解：如圖，過點(diǎn)A1作A1G1⊥x軸于點(diǎn)G1，過點(diǎn)B1作B1F1⊥A1G1于點(diǎn)F1，過點(diǎn)A2作A2G2⊥x軸于點(diǎn)G2，過點(diǎn)B2作B2F2⊥A2G2于點(diǎn)F2，
過點(diǎn)A3作A3G3⊥x軸于點(diǎn)G3，過點(diǎn)B3作B3F3⊥A3G3于點(diǎn)F3，
∵正方形A1B1C1D1的邊長為2，∠B1C1O=60°，B1C1B2C2B3C3，
∴D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，∠C1B1O=∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°，∠B1OC1=∠A1F1B1=90°，
∴D1E1=OC1=A1F1=B1C1=1，
∴E2B2=1，
在Rt△B1OC1中，OB1==，
∵∠OG1F1=∠B1OC1=∠G1F1B1=90°，
∴四邊形OB1F1G1是矩形，
∴F1G1=OB1=，
∴A1G1=F1G1+A1F1=+1=（）-1+（）0，
即點(diǎn)A1的縱坐標(biāo)為：（）-1+（）0；
同理可得：點(diǎn)A2的縱坐標(biāo)為：（）0+（）1；
點(diǎn)A3的縱坐標(biāo)為：（）1+（）2；
……
點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為：（）n-2+（）n-1；
∴點(diǎn)A2022的縱坐標(biāo)為：（）2020+（）2021；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、含30°角直角三角形性質(zhì)，勾股定理等知識，得出點(diǎn)A的縱坐標(biāo)變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．
8．（2022春·浙江杭州·八年級統(tǒng)考期末）已知是矩形對角線的交點(diǎn)，作，，相交于點(diǎn)，連接．下列說法正確的是( )
①四邊形為菱形；②；③；④若，則
A．①③B．①②④C．①④D．③④
【答案】C
【分析】先證明四邊形DEAO是平行四邊形，再根據(jù)四邊形ABCD是矩形，可得OA＝OD，進(jìn)而得出四邊形DEAO為菱形，①正確；當(dāng)△AOB是等邊三角形時，AE＝AB才能成立，②錯誤；當(dāng)△AOB是等邊三角形時，∠BAE＝120°才能成立，③錯誤；連接OE，求出OE＝OB＝OD，證明△DEO是等邊三角形，可得∠ADB＝∠EBD＝30°，然后證明△ABD≌△EDB即可得出④正確．
【解析】解：①∵DEAC，AEBD，
∴四邊形DEAO是平行四邊形，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA＝OD，
∴四邊形DEAO為菱形，故①正確；
②當(dāng)△AOB是等邊三角形時，AE＝AB才能成立，故②錯誤；
③當(dāng)△AOB是等邊三角形時，∠BAE＝120°才能成立，故③錯誤；
④如圖，連接OE，

∵∠BED＝90°，O是矩形ABCD對角線BD的中點(diǎn)，
∴OE＝OB＝OD，
∵四邊形DEAO為菱形，
∴DE＝OD，
∴△DEO是等邊三角形，
∴∠EDO＝60°，
∴∠ADO＝∠EDO＝30°，∠EBD＝90°－60°＝30°，
∴∠ADB＝∠EBD，
又∵∠BAD＝∠DEB＝90°，BD＝DB，
∴△ABD≌△EDB（AAS），
∴AD＝BE，故④正確；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識，靈活運(yùn)用各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
9．（2022春·浙江麗水·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形中，，點(diǎn)，分別是射線，射線上的點(diǎn)，，與交于點(diǎn)．過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，則的長是（ ）
A．8B．C．6D．
【答案】B
【分析】首先根據(jù)正方形的性質(zhì)，得出，，然后再根據(jù)線段的關(guān)系，得出，再根據(jù)，得出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出，然后再根據(jù)兩直線平行，同位角相等，得出，再根據(jù)等量代換，得出，結(jié)合，得出，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得出，進(jìn)而算出的長，再根據(jù)線段之間的關(guān)系，即可得出的長．
【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴，，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)與定理．
10．（2022春·浙江紹興·八年級統(tǒng)考期末）如圖在邊長為1的小正方形構(gòu)成的5×4的網(wǎng)格中，定義：以網(wǎng)格中的格點(diǎn)為頂點(diǎn)的正方形叫做格點(diǎn)正方形．則圖中完全包含“ ”的格點(diǎn)正方形最多能畫（ ）
A．13個B．16個C．19個D．21個
【答案】C
【分析】分七種情況討論，可求解．
【解析】解：圖中包含“”的格點(diǎn)正方形為：
邊長為1的正方形有：1個，
邊長為2的正方形有：4個，
邊長為3的正方形有：6個，
邊長為的正方形有：2個，
邊長為4的正方形有：2個，
邊長為的正方形有：2個，
邊長為的正方形有：2個，
所以圖中包含“ ”的格點(diǎn)正方形的個數(shù)為：1+4+6+2+2+2+2=19，
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的判定，圖形的變化，結(jié)合圖形正確進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．
11．（2022春·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO，點(diǎn)B(10，8)，點(diǎn)D在BC邊上，連接AD，把ABD沿AD折疊，使點(diǎn)B恰好落在OC邊上點(diǎn)E處，反比例函數(shù)（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)D，則k的值為（ ）
A．20B．30C．40D．48
【答案】B
【分析】根據(jù)翻折變換的性質(zhì)，可得AE＝AB＝5，DE＝BD；然后設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)是（10，b），在Rt△CDE中，根據(jù)勾股定理，求出CD的長度，進(jìn)而求出k的值．
【解析】解：∵△ABD沿AD折疊，使點(diǎn)B恰好落在OC邊上點(diǎn)E處，點(diǎn)B（10，8），
∴AE＝AB＝10，DE＝BD，
∵AO＝8，AE＝10，
∴OE＝＝6，CE＝10﹣6＝4，
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)是（10，b），
則CD＝b，DE＝8﹣b，
∵CD2+CE2＝DE2，
∴b2+42＝（8﹣b）2，
解得b＝3，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（10，3），
∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D，
∴k＝10×3＝30，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了求反比例函數(shù)的解析式，同時也考查了矩形的翻折問題．須熟練掌握待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，軸對稱的性質(zhì)．其中求點(diǎn)D的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
12．（2022春·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝3，AB＝，∠B是銳角，AE⊥BC于點(diǎn)E，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，連接DF，EF，若∠EFD＝90°，則AE的長是（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】C
【分析】延長EF交DA的延長線于Q，連接DE，設(shè)BE＝x．首先證明DQ＝DE＝x+3，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題．
【解析】解：如圖，延長EF交DA的延長線于Q，連接DE，設(shè)BE＝x，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DQBC，
∴∠AQF＝∠BEF，
∵AF＝FB，∠AFQ＝∠BFE，
∴△QFA≌△EFB（AAS），
∴AQ＝BE＝x，QF＝EF，
∵∠EFD＝90°，
∴DF⊥QE，
∴DQ＝DE＝x+3，
∵AE⊥BC，BCAD，
∴AE⊥AD，
∴∠AEB＝∠EAD＝90°，
∵，
∴，
整理得：，
解得或（舍去），
∴BE＝1，
∴，
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)建直角三角形．
13．（2022春·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，分別以的邊，為一邊向外作正方形和正方形，連結(jié)，，．若，，則的值為（ ）．
A．291B．219C．340D．170
【答案】C
【分析】連接BE，CG，設(shè)BG與CE交于點(diǎn)O，CE與AG交于點(diǎn)P，可證明△ABG≌△AEC，可得∠AGB=∠ACE，再由三角形內(nèi)角和定理可得∠POG=∠PAC=90°，再由勾股定理，即可求解．
【解析】解：如圖，連接BE，CG，設(shè)BG與CE交于點(diǎn)O，CE與AG交于點(diǎn)P，
∵四邊形和四邊形為正方形，
∴AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠CAG=90°，，
∴∠BAE+∠GAE=∠CAG+∠GAE，即∠BAG=∠EAC，
在△ABG和△AEC中，
，
∴△ABG≌△AEC（SAS），
∴∠AGB=∠ACE，
∵∠PGO+∠POG+∠GPO=∠PCA+∠PAC+∠APC，∠GPO=∠APC，
∴∠POG=∠PAC=90°，
∵，，，，
∴．
故選：C
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．
14．（2022春·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）如圖，中∠ACB是直角，分別以的三邊向外作正方形，G為邊EF的中點(diǎn)，若要求出圖中陰影的面積，只需要知道線段（ ）
A．AB的長度B．AC的長度C．BC的長度D．BG的長度
【答案】C
【分析】解法①代數(shù)法：如圖，連接GC并延長，交AB于點(diǎn)H，根據(jù)題意得到FC=AC，EC=BC，且夾角為直角，利用SAS得到三角形全等，利用全等三角形對應(yīng)角相等得到∠GFC=∠CAH，根據(jù)G為EF中點(diǎn)且直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，再利用等角的余角相等得到CH垂直AB，利用面積法表示出CH，根據(jù)勾股定理表示出BH，進(jìn)而表示出陰影部分面積，即可作出判斷．解法②幾何法：根據(jù)平行線的性質(zhì)，得，再證明，再由，得，即可得出答案．
【解析】解：解法①代數(shù)法
如圖連接GC并延長交AB于點(diǎn)H，
設(shè)，，．易證，
∴，
∵G為EF的中點(diǎn)所以即，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
在中，，
∴，
在中由勾股定理可得，
∴．
故選：C.
解法②幾何法：
如圖連接AM，CD
由①得所以
易證
∵，
∴．
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握各自的性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵
15．（2022春·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形和正方形是兩個全等的正方形，將它們按如圖的方式放置在正方形內(nèi)，若求陰影圖形的面積，則只需知道( )
A．的面積B．五邊形的面積
C．的面積D．正方形的面積
【答案】A
【分析】根據(jù)題意可知陰影部分的面積的面積的面積的面積，根據(jù)正方形的性質(zhì)易證≌，可得的面積的面積，同理可得≌，的面積的面積，可知陰影部分的面積，即可進(jìn)行選擇．
【解析】解：正方形和正方形是兩個全等的正方形，
正方形的面積正方形的面積，
正方形的面積五邊形的面積正方形的面積五邊形的面積，
陰影部分的面積的面積的面積的面積，
在正方形中，，
，
在正方形中，，，
，
，
≌，
的面積的面積，
同理可得≌，
的面積的面積，
陰影部分的面積，
只要知道的面積即可求出陰影部分的面積，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
16．（2022春·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線與x軸交于點(diǎn)A、與y軸交于點(diǎn)B，過點(diǎn)A作軸，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)D，與直線交于點(diǎn)E，若，則k與a的關(guān)系正確的是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出A坐標(biāo)，可以得到C的坐標(biāo)，由CE=DE，可以得E的坐標(biāo)，把E的坐標(biāo)代入直線即可得出答案．
【解析】解：對于，
當(dāng)x=0時，y=k；當(dāng)y=0時，，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，
∵軸，且點(diǎn)C在反比例函數(shù)的圖象上，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，
∵，軸，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為，
把E代入得：
，解得：．
故選：A
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，利用圖象中各個點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．
17．（2022春·浙江溫州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，線段與相交于點(diǎn)，，，以和為邊作，以和為邊作，且和的面積都為，若，則線段的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】過A點(diǎn)作AN⊥CD于點(diǎn)N，過D點(diǎn)作DM⊥AB于M，根據(jù)平行四邊形的面積公式，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)可得CE?AE=DF?DE=6，利用DE+AE=9可得CE根據(jù)，即可求解．
【解析】解：過A點(diǎn)作AN⊥CD于點(diǎn)N，過D點(diǎn)作DM⊥AB于M，
∵，
∴
∴CE?AE=DF?DE=6，
∵DE+AE=9，
∴CE
∵，
，
即
解得．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形，解不等式組，勾股定理，求得CE是解題的關(guān)鍵．
18．（2022春·浙江·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線AC與反比例函數(shù)的圖像交于A，C兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)C的左邊），與x軸交于點(diǎn)B，以點(diǎn)A為頂點(diǎn)向下作矩形ADMN，其對角線相交于點(diǎn)O，且AD平分∠OAB，AC =CB，連結(jié)CD，若△ACD的面積為6，則k的值為（ ）
A．8B．10C．12D．16
【答案】A
【分析】連接OC，分別過點(diǎn)A、C作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)E、F，設(shè)點(diǎn)A（a，），首先證明AB∥OD，結(jié)合AC =CB可求出S△AOB＝2S△AOC＝12，然后證明△BCF∽△BAE，求出CF和OF，得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求出k即可．
【解析】解：如圖，連接OC，
∵四邊形ADMN是矩形，AD平分∠OAB，
∴OA＝OD，∠OAD＝∠BAD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠BAD＝∠ODA，
∴AB∥OD，
∴S△AOC＝S△ADC＝6，
∵AC =CB，
∴S△AOB＝2S△AOC＝12，
分別過點(diǎn)A、C作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)E、F，設(shè)點(diǎn)A（a，），
則S△AOB＝，即，
∴，
∴，
∵AE⊥x軸，CF⊥x軸，
∴AE∥CF，
∴△BCF∽△BAE，
∴，
∴CF＝，EF＝，
∴OF＝，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，），
∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)的圖像上，
∴，
解得：，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)以及反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，作出合適的輔助線，證明△BCF∽△BAE是解答此題的關(guān)鍵．
二、填空題
19．（2022春·浙江杭州·八年級杭州外國語學(xué)校?？计谀┤鐖D，在正方形中，，點(diǎn)O是對角線的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段上的動點(diǎn)（點(diǎn)Q不與點(diǎn)O，A重合），連結(jié)，并延長交邊于點(diǎn)E，過點(diǎn)Q作交于點(diǎn)F，分別連結(jié)與，交對角線于點(diǎn)G，過點(diǎn)C作交于點(diǎn)H，連結(jié)．以下四個結(jié)論：①；②周長為8；③，④線段的最小值為．其中正確的結(jié)論是 _____．（填序號）
【答案】①②④
【分析】通過證明點(diǎn)B，點(diǎn)C，點(diǎn)F，點(diǎn)Q四點(diǎn)共圓，可得，，可證，故①正確；由“”可證，，可得，由線段的和差關(guān)系可得的周長為8，故②正確；由題意可得點(diǎn)H在以為邊的圓上運(yùn)動，則當(dāng)點(diǎn)H在上時，有最小值為，故④正確；通過證明點(diǎn)E，點(diǎn)F，點(diǎn)G，點(diǎn)Q四點(diǎn)共圓，可判斷③．
【解析】解：∵，
∴，
∴點(diǎn)B，點(diǎn)C，點(diǎn)F，點(diǎn)Q四點(diǎn)共圓，
∴，，
∴，
∴，故①正確；
如圖，延長至N使，連接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴的周長，故②正確；
∵，
∴，
∴點(diǎn)H在以為邊的圓上運(yùn)動，
如圖，以為直徑作圓，取BC的中點(diǎn)P，連接，
∴，
∴，
在中，，
∴當(dāng)點(diǎn)H在上時，AH有最小值為，故④正確；
如圖，連接，
∵，
∴點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)F，點(diǎn)E四點(diǎn)共圓，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴點(diǎn)E，點(diǎn)F，點(diǎn)G，點(diǎn)Q四點(diǎn)共圓，
∴，故③不正確．
故答案為：①②④．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
20．（2022春·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線交坐標(biāo)軸于、兩點(diǎn)，函數(shù)的圖象為曲線．（1）若曲線與直線有唯一的公共點(diǎn)，則______；（2）若曲線使得線段上的整點(diǎn)（橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)，且不包括點(diǎn)、）分布在它的兩側(cè)，每側(cè)的整點(diǎn)個數(shù)相同，則的取值范圍為______．
【答案】
【分析】（1）由曲線與直線有唯一的公共點(diǎn)，可得只有一組解，從而得有兩個相等的實(shí)數(shù)根，利用一元二次方程根的判別式即可求解；（2）先求得線段上的整點(diǎn)，由曲線使得線段上的整點(diǎn)橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)，且不包括點(diǎn)、分布在它的兩側(cè)，每側(cè)的整點(diǎn)個數(shù)相同，則曲線經(jīng)過和之間即可求解．
【解析】解：（1）由題意得：只有一組解，
有兩個相等的實(shí)數(shù)根，
，
解得：，
故答案為：；
（2）由，得，，
線段上的整數(shù)點(diǎn)共有個，分別為，，，，，，，．
當(dāng)曲線經(jīng)過點(diǎn)時，在曲線上方個，在曲線下方個；
當(dāng)曲線經(jīng)過點(diǎn)時，在曲線上方個，在曲線下方個；
若曲線使得線段上的整點(diǎn)橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)，且不包括點(diǎn)、分布在它的兩側(cè)，每側(cè)的整點(diǎn)個數(shù)相同，則曲線經(jīng)過和之間，
當(dāng)曲線經(jīng)過點(diǎn)時，；
當(dāng)曲線經(jīng)過點(diǎn)時，．
的取值范圍為：．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像及性質(zhì)，熟練掌握數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．
21．（2022春·浙江舟山·八年級校聯(lián)考期末）如圖，矩形ABCD中，BC＝10，∠BAC＝30°，若在AC、AB上各取一點(diǎn)M、N，使BM+MN的值最小，求這個最小值_____．
【答案】15
【分析】作點(diǎn)N關(guān)于AC的對稱點(diǎn)，作射線，根據(jù)對稱性和垂線段最短可知： BM+MN的最小值為B到的垂線段即的長度．
【解析】作點(diǎn)N關(guān)于AC的對稱點(diǎn)，作射線，
則有，，
∴．
作于，交AC于，
根據(jù)垂線段最短可知： BM+MN的最小值為的長度．
在矩形ABCD中，BC＝10，∠BAC＝30°，
∴AC=2BC=20，
∴．
∵，
∴．
又∵為B到的垂線段，
∴，
∴，
∴．
∴，
即BM+MN的最小值為15．
【點(diǎn)睛】本題考查含30°角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，與垂線段最短有關(guān)的最短路徑問題，軸對稱的性質(zhì)等知識，根據(jù)題意得出BM+MN的最小值為B到的垂線段即的長度時解題的關(guān)鍵．
22．（2022春·浙江寧波·八年級校聯(lián)考期末）如圖，是矩形內(nèi)的任意一點(diǎn)，連接，，，，得到，，，設(shè)它們的面積分別是，，，，給出如下結(jié)論：
；
；
若，則；
若，則點(diǎn)必在矩形的對角線上．
其中正確結(jié)論的序號是_______________把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上．
【答案】②④/④②
【分析】根據(jù)三角形面積求法以及矩形性質(zhì)得出矩形ABCD面積，及先判斷出，得出,進(jìn)而判斷出點(diǎn)P在線段BD上，即可得出結(jié)論
【解析】解：如下圖，過點(diǎn)P分別作于點(diǎn)F，于點(diǎn)E，
以AD為底邊，以BC為底邊,
∴此時兩三角形高的和為AB，即可得出矩形ABCD面積；
同理得得出矩形ABCD面積
∴（故正確）
當(dāng)點(diǎn)P為矩形的兩條對角線的交點(diǎn)時，，
但點(diǎn)P是矩形ABCD內(nèi)任意一點(diǎn)，所以該等式不一定成立（故①錯誤）
③若，只能得出與高度之比，不一定等于2，（故③錯誤）
④由（1）知，四邊形AEPF是矩形
∴點(diǎn)P在矩形的對角線上，（故④正確）
故答案為：② ④
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)及三角形面積求法，根據(jù)已知得出是解題關(guān)鍵．
23．（2022春·浙江臺州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形中，，，點(diǎn)P是邊上的動點(diǎn)（不與C、D重合），以為邊作菱形，使，若矩形有第二個頂點(diǎn)在菱形的邊上，則_______．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，分兩種情況討論，①當(dāng)點(diǎn)在上時，根據(jù)矩形的性質(zhì)與菱形的性質(zhì)，以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理可得；
②當(dāng)點(diǎn)在菱形的邊上時，如圖，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，線段上截取，過點(diǎn)作于,證明，根據(jù)等面積法即可求解．
【解析】解：①當(dāng)點(diǎn)在上時，如圖，
四邊形是矩形，
，
，，
，
，
，
；
②如圖，當(dāng)點(diǎn)在菱形的邊上時，如圖，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，
設(shè)，四邊形是菱形，
，
在中，，
，
，，
，
線段上截取，過點(diǎn)作于,
，,
即，
解得（負(fù)值舍去），經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，
，
綜上所述，的長為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
24．（2022春·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）三折傘是我們生活中常用的一種傘，它的骨架是一個“移動副”和多個“轉(zhuǎn)動副”組成的連桿機(jī)構(gòu)，如圖1是三折傘一條骨架的結(jié)構(gòu)圖，當(dāng)“移動副”（標(biāo)號1）沿著傘柄移動時，折傘的每條骨架都可以繞“轉(zhuǎn)動副”（標(biāo)號2—9）轉(zhuǎn)動；圖2是三折傘一條骨架的示意圖，其中四邊形CDEF和四邊形DGMN都是平行四邊形，AC=BC=14cm，DE=2cm，DN=1cm．已知關(guān)閉折傘后，點(diǎn)A、E、H三點(diǎn)重合，點(diǎn)B與點(diǎn)M重合．
（1）BN=______；
（2）當(dāng)∠BAC=60°時，點(diǎn)H到傘柄AB距離為______．
【答案】 25
【分析】由關(guān)閉折傘后，點(diǎn)A、E、H三點(diǎn)重合，得到AC=CD+DE，求出CD得到CN，即可得到BN；根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠AFE=∠EGH=120°，得到∠ EAF=∠AEF=∠GEH = 30°，求出AF=12，MN=BN=25，EG=HG=27，過F作FR⊥AE于R，過G作GT⊥AH于T，勾股定理求出AR得到AE的長，同理求出EH，即可得到答案．
【解析】∵關(guān)閉折傘后，點(diǎn)A、E、H三點(diǎn)重合，
∴AC=CD+DE，
∴CD=14-2=12，
∴CN=CD-DN=11，
∴BN=14+11=25(cm)，
如圖2，A、E、H三點(diǎn)共線并且AH⊥AB，
∵∠BAC=60°，AC=BC=14，
∴∠ACB=60°，
∵ACDE， DGMN，
∴∠AFE=∠EGH=120°，
∵AF= EF，
∴∠ EAF=∠AEF=∠GEH = 30°，
∴AE⊥ AB，
∵關(guān)閉折傘后，點(diǎn)A、E、H三點(diǎn)重合，點(diǎn)B與點(diǎn)M重合，
∴AF=12，MN=BN=25，EG=HG=27，
過F作FR⊥AE于R，過G作GT⊥AH于T，
∴FR=AF=6，
∴AR=，
∴AE=2AR=，
同理可得EH=，
∴AН = AE+ EН =，
∴點(diǎn)H到傘柄AB距離為cm，
故答案為：25，．
【點(diǎn)睛】此題考查了線段的和差計(jì)算，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，正確理解題意掌握各知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
25．（2022春·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OC，OA分別在x軸和y軸上，反比例函數(shù)的圖象與AB，BC分別交于點(diǎn)E，點(diǎn)F，若矩形對角線的交點(diǎn)D在反比例函數(shù)圖象上，且EDOB，則點(diǎn)E的坐標(biāo)是_______．
【答案】(2，4)
【分析】連接OE，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得到，設(shè)D(m，n)，則mn=，n=，進(jìn)一步求得的面積，即可得到AE=，，由OD=BD，EDOB，得到OE=BE=，然后利用勾股定理得到整理得，由于，求得m=4，即可求出E點(diǎn)坐標(biāo)．
【解析】解：連接OE，
∵反比例函數(shù)的圖象與AB、BC分別交于點(diǎn)E、F，
∴，
，
設(shè)D(m，n)
∵矩形對角線的交點(diǎn)D在反比例函數(shù)的圖象上，
∴mn=，n=，
∵矩形OABC的邊OC，OA分別在x軸和y軸上，
∴B(2m，2n)
∴A=2n，AB=2m，
∴，
∴AE=，
∴BE，E(，)，
∴OA=，
∵OD=BD，EDOB，
∴OE=BE=，
在RtAOE中，，
∴
整理得
∵m0，
∴m=4，
∴E(2，4)，
故答案為：(2，4)．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、反比例函數(shù)k的幾何意義勾股定理的應(yīng)用和線段垂直平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得到關(guān)于m的方程．
26．（2022春·浙江紹興·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線與反比例函數(shù)的圖象相交于A、C兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作軸交反比例函的圖象于點(diǎn)E，連結(jié)，點(diǎn)B為y軸上一點(diǎn)，滿足，且恰好平行于x軸．若，則k的值為________．
【答案】6
【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可得，即點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是點(diǎn)A橫坐標(biāo)的2倍，可設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由點(diǎn)A、點(diǎn)C的縱坐標(biāo)得出，進(jìn)而利用全等三角形得出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為，利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得出點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，再利用三角形的面積可得k的值．
【解析】解：如圖，過點(diǎn)A作軸，交于點(diǎn)F，垂足為M，過點(diǎn)C作軸，垂足為N，
∵，
∴，
由于點(diǎn)A、點(diǎn)C在反比例函數(shù)的圖象上，
可設(shè)點(diǎn)，即，，
∴，
∴點(diǎn)，即，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為，
又∵點(diǎn)E在反比例函數(shù)的圖象上，
∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為，
即，
∵，即，
∴，
∴，
故答案為：6．
【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，以及一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用坐標(biāo)表示線段的長是解決問題的關(guān)鍵．
27．（浙江省麗水市2021-2022學(xué)年八年級下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，以，為邊長的矩形面積為，以為邊長的正方形面積為，已知．
（1）當(dāng)時，則的值是______；
（2）若為整數(shù)，，則矩形和正方形的周長之和的值是______．
【答案】 2 28或6+6
【分析】根據(jù)矩形與正方形的面積公式可得S1＝ab，S2＝c2，代入S1+4S2＝32，得出ab+4c2＝32．
（1）將a＝b＝2c代入ab+4c2＝32，解方程即可求出c的值；
（2）由2a﹣b+4＝0可得b＝2a+4．代入ab+4c2＝32，變形得出c2＝，根據(jù)c為整數(shù)，求出c可能為2或1．再求出a的值，進(jìn)而得到矩形和正方形的周長之和．
【解析】解：由題意可得S1＝ab，S2＝c2，
∵S1+4S2＝32，
∴ab+4c2＝32．
（1）當(dāng)a＝b＝2c時，
4c2+4c2＝32，
解得c＝±2（負(fù)值舍去），
即c＝2．
故答案為：2；
（2）∵2a﹣b+4＝0，
∴b＝2a+4．
∴S1+4S2＝ab+4c2＝a（2a+4）+4c2＝2a2+4a+4c2＝32，
∴a2+2a+2c2＝16，
∴c2＝，
∵c為整數(shù)，
∴c2可能取值有：4或1，
∴c可能為2或1．
當(dāng)c＝2時，解得a＝2（負(fù)根舍去）；
當(dāng)c＝1時，解得a＝﹣1（負(fù)根舍去），
∴矩形和正方形的周長之和為：
2a+2b+4c＝2a+2（2a+4）+4c＝6a+8+4c．
當(dāng)c＝2，a＝2時，6a+8+4c＝6×2+8+4×2＝28；
當(dāng)c＝1，a＝﹣1時，6a+8+4c＝6×（﹣1）+8+4×1＝6+6．
故答案為：28或6+6．
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加減，矩形與正方形的面積、周長公式，解一元二次方程，不等式的性質(zhì)．掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
28．（2022春·浙江舟山·八年級統(tǒng)考期末）已知函數(shù)y=x+1的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)C、B，與雙曲線y交于點(diǎn)A、D．若AB+CD=BC，則k的值為 _____．
【答案】/0.75
【分析】分類討論k的正負(fù)性是否符合題意，得出k大于0時符合題意，則先求出點(diǎn)C、B坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)是(m，n)，過點(diǎn)A作AEx軸于E點(diǎn)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和軸對稱的性質(zhì)得出關(guān)于m、n的方程即可求解．
【解析】解：當(dāng)時， ，不符合題意；
當(dāng)時由題意可知符合題意，
已知函數(shù)y=x+1的圖像與x軸、y軸分別交于點(diǎn)C、B，
把x=0代入，y=1；y=0代入，x=-1；
∴B、C的坐標(biāo)分別是(0，1)、(?1，0)，
∴OB=1，OC=1，BC=，
設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)是(m，n)，過點(diǎn)A作AE⊥x軸于E點(diǎn)，
∵AEOB，
∴△CBO∽△CAE，
∴，
函數(shù)y=x+1的圖像與函數(shù)y=的圖像都關(guān)于直線y=?x對稱，
由對稱性可得AB=CD，
又∵AB+CD=BC，
∴BC=2AB=2CD，AC=3AB
∴=，即，
解得m=，n=，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是，
∵點(diǎn)A在雙曲線y=上，
∴k= ×=，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，將距離問題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)的坐標(biāo)的問題成為解答本題的關(guān)鍵．
29．（2022春·浙江臺州·八年級統(tǒng)考期末）小明同學(xué)學(xué)習(xí)了菱形的知識后，結(jié)合之前學(xué)習(xí)的趙爽弦圖，編了一個菱形版“趙爽弦圖”．如圖，菱形ABCD中，∠ABC=60°，四邊形EFGH是矩形，若FA=FB=2，則矩形EFGH的面積為______．
【答案】/
【分析】過點(diǎn)A作AM⊥BC于M，過點(diǎn)G作GN⊥BC于N，連接GM，由FA=FB=2可得AB=4，∠ABF=∠BAF=45°，根據(jù)菱形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)可得∠CBG=15°，∠DAF=75°，則∠CDH=∠DCH=45°，∠ADE=15°，∠BCG=75°，可得出△ABF≌△CDH，△BCG≌△DAE，分別求出菱形ABCD，△ABF，△BCG的面積，即可得矩形EFGH的面積．
【解析】解：過點(diǎn)A作AM⊥BC于M，過點(diǎn)G作GN⊥BC于N，連接GM，
∵四邊形EFGH是矩形，
∴∠AFB=∠AED=∠BGC=∠CHD=90°，
∵FA=FB=2，
∴AB==4，∠ABF=∠BAF=45°，
∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=∠BCD=120°，
∴∠CBG=15°，∠DAF=75°，
∴∠CDH=∠DCH=45°，∠ADE=15°，∠BCG=75°，
∴∠BAF=∠DCH=∠ABF=∠CDH，∠ADE=∠CBG，∠DAE=∠BCG，
在△ABF和△CDH中，
，
∴△ABF≌△CDH（ASA），
同理：△BCG≌△DAE（ASA），
∵AM⊥BC，∠ABC=60°，
∴∠BAM=30°，
∴BM=AB=2，
∴AM=BM=2，BC=2BM，
∵∠BGC=90°，
∴BM=CM=GM=2，
∴∠CMG=2∠CBG=30°，
∵GN⊥BC，
∴GN=GM=1，
∴S菱形ABCD=BC?AM=4×2=8，
S△ABF=AF?BF=×2×2=4，
S△BCG=BC?GN=×4×1=2，
∴S矩形EFGH=S菱形ABCD-2S△ABF-2S△BCG=8-12．
故答案為：8-12．
【點(diǎn)睛】本題考查的是菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，面積的計(jì)算，熟練掌握全等三角形的判定定理以及菱形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
30．（2022春·浙江紹興·八年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形ABCD邊長為2，點(diǎn)E，F(xiàn)是對角線AC上的動點(diǎn)，且EF長度為1，連結(jié)BE，BF，則△BEF周長的最小值為______．
【答案】4
【分析】如圖作，使得BH=EF=1，連接DH交BD由E，則△BEF的周長最小，利用勾股定理即可求解．
【解析】解：如圖作，使得BH=EF=1，連接DH交AC由E，則△BEF的周長最?。?br>∵BH=EF=1，，
∴四邊形EFBH是平行四邊形，
∴BF=EH，
∵EB=ED，
∴BE+BF=EH+ED=DH，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵，
∴BD⊥BH，
∴∠DBH=90°，
在Rt△DBH中，DH==3，
∴△BEF的周長的最小值為3+1=4．
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱-最短問題，正方形的性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用軸對稱解決最短問題．
31．（2022春·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，M為對角線BD所在直線的一個動點(diǎn)，點(diǎn)N是平面上一點(diǎn)．若四邊形MCND為平行四邊形，MN＝，則BM的值為 _____．
【答案】6或1
【分析】分兩種情況：①如圖1，M在對角線BD上時，設(shè)四邊形MCND對角線MN和DC交于O，過O作OG⊥BD于G；②如圖2，M在BD的延長線上時，過O作OG⊥BD于G；設(shè)BM＝x，表示MG的長，先根據(jù)直角三角形30度角的性質(zhì)可得OG和DG的長，在直角三角形OGM中列方程可得結(jié)論．
【解析】解：分兩種情況：
①如圖1，M在對角線BD上時，設(shè)四邊形MCND對角線MN和DC交于O，過O作OG⊥BD于G，
∵四邊形MCND為平行四邊形，
∴ODDCAB＝1，OMMN，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵AB＝2，AD＝2，
∴BD4，
∴ABBD，
∴∠ADB＝30°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠BDC＝60°，
Rt△ODG中，∠DOG＝30°，
∴DG，OG，
設(shè)BM＝x，則MG＝4﹣xx，
△OMG中，MG2+OG2＝OM2，
∴，
解得：x＝6（舍）或1；
②如圖2，M在BD的延長線上時，過O作OG⊥BD于G，
同理得：DG，OG，OM，
設(shè)BM＝x，則MG＝x﹣4x，
在△OMG中，MG2+OG2＝OM2，
∴，解得：x＝6或1（舍）；
綜上所述，BM的長為6或1，
故答案為：6或1．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形性質(zhì)，平行四邊形的判定，勾股定理等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)，設(shè)未知數(shù)列方程是解決問題的關(guān)鍵．
32．（2022春·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形中，點(diǎn)，，分別在，，邊上，，，平分，，則線段的長為______，線段的長為______．
【答案】 2 6
【分析】根據(jù)BE平分得，用ASA即可證明，即可得EF=EG，根據(jù)矩形的性質(zhì)得，根據(jù)角之間的關(guān)系得，用AAS可證，即可得DF=CE=2，CG=DE=1，根據(jù)BF=BG和勾股定理得，，進(jìn)行就是即可得．
【解析】解：∵BE平分，
∴，
在和中，
∴（ASA），
∴EF=EG，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴（AAS），
∴DF=CE=2，CG=DE=1，
設(shè)，則，，
∵BF=BG，
∴，
即
解得，，
即，
故答案為：2，6．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點(diǎn)．
33．（2022春·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，C為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段上的一個動點(diǎn)，連接，當(dāng)?shù)闹禐開___________時，將沿邊所在直線翻折后得到的與重疊部分的面積為面積的．
【答案】
【分析】根據(jù)題意作出圖形，根據(jù)與重疊部分的面積為面積的，得出為的中點(diǎn)，可得四邊形為平行四邊形，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，即可求解．
【解析】解：，
，
如圖，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，，取的中點(diǎn)，
C為線段的中點(diǎn)，
，
為與重疊部分，
，
與重疊部分的面積為面積的，
過點(diǎn)，
對稱，
，
與重疊部分的面積為面積的，
，
，
，
四邊形為平行四邊形，
，
對稱，
，
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)與判定，三角形中線的性質(zhì)，證明四邊形為平行四邊形是解題的關(guān)鍵．
34．（2022春·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形ABCD邊長為2，F(xiàn)為對角線AC上的一個動點(diǎn)，過C作AC的垂線并截取，連接EF，周長的最小值為______．
【答案】
【分析】先過作交于，再連接、，證四邊形為矩形，得，據(jù)此知，再求出，當(dāng)時，取得最小值，此時，從而得出答案．
【解析】解：如圖，過作交于，連接、，
，，
，
，
，
，
，，
，
四邊形為平行四邊形，
，
四邊形為矩形，
，
，
在中，，
，
當(dāng)時，取得最小值，此時，
周長的最小值，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查軸對稱最短路線問題及矩形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握矩形的判定與性質(zhì)及軸對稱的性質(zhì)．
35．（2022春·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，軸，軸，，，，若反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過、兩點(diǎn)，則的值是______．
【答案】
【分析】根據(jù)三角形面積公式求得，易證得≌，得出，根據(jù)題意得出是等腰直角三角形，得出，設(shè)，則有D根據(jù)反比例函數(shù)的定義得出關(guān)于的方程，解方程求得，即可求得．
【解析】解：作軸于，延長，交于，設(shè)與軸的交點(diǎn)為，
四邊形是平行四邊形，
，，
，
軸，
，
，
與軸平行，與軸平行，
，，
，
≌（AAS），
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
的縱坐標(biāo)為，
設(shè)，則，
反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過、兩點(diǎn)，
，
解得：，
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積等，表示出、的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
36．（2022春·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形ABCD中，，射線AE與BC邊交于點(diǎn)E，點(diǎn)F是射線AE上的一點(diǎn)，點(diǎn)G在邊AB上，以FG為邊向上作菱形FGMN，若，當(dāng)點(diǎn)G從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)A時，點(diǎn)N的運(yùn)動路徑長是_______．
【答案】3
【分析】如圖，將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．證明，推出，推出點(diǎn)在射線上運(yùn)動，推出當(dāng)點(diǎn)從運(yùn)動到時，．
【解析】解：如圖，將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．
四邊形是菱形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
（SAS），
，
點(diǎn)在射線上運(yùn)動，
當(dāng)點(diǎn)從運(yùn)動到時，，
點(diǎn)的運(yùn)動路徑的長為3．
故答案為3．
【點(diǎn)睛】本題考查軌跡，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．
37．（2022春·浙江溫州·八年級統(tǒng)考期末）如圖1是第32屆夏季奧運(yùn)會的會徽，它是由三種不同規(guī)格的全等矩形組成，代表了不同的國家、文化和思維方式，表達(dá)了多樣性的融合．圖2和圖3為該會徽中的某一部分，如圖2，三種矩形分別由三種不同的菱形依次連結(jié)各邊中點(diǎn)得到，其中，．如圖3，點(diǎn)恰好在的延長線上，則______度．若，則點(diǎn)，之間的距離為______．
【答案】 30
【分析】利用已知條件求出∠BOC的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理可求出∠OCB的度數(shù)；然后結(jié)合圖3和圖2，可得到∠IHE的度數(shù)；利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理求出∠MBT，∠TBM的度數(shù)，抽象圖形，過點(diǎn)M作MJ⊥BT于點(diǎn)J，利用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，可求出MJ的長，利用勾股定理求出TJ的長，從而可求出BJ的長；在Rt△BMJ中利用勾股定理求出BM的長，即可得到EG的長；過點(diǎn)E作ES⊥EG于點(diǎn)E，交FG于點(diǎn)S，根據(jù)點(diǎn)D恰好在FE的延長線上，可求出∠FEG和∠EFS的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠G的度數(shù)，同時可證得SF=ES，利用直角三角形的性質(zhì)求出SG的長；利用勾股定理求出SF的長；然后根據(jù)FG=SF+SG，代入計(jì)算求出FG的長．
【解析】解：∵∠BOC=360°-120°-90°=150°，
∴∠OCB=（180°-∠BOC）÷2=（180°-150°）÷2=15°，
∴∠IHE=2∠OCB=2×15°=30°；
∵如圖2，三種矩形分別由三種不同的菱形依次連結(jié)各邊中點(diǎn)得到，OA=1，
∴萎形的邊長為2，
∴BT=MT=1，∠MBT=∠TBM=180°-90°-15°=75°，
過點(diǎn)M作MJ⊥BT于點(diǎn)J，
∴∠MJT=90°，∠T=30°，
∴
∴
∴BJ=BT-TJ=
在Rt△BMJ中，
∴
過點(diǎn)E作ES⊥EG于點(diǎn)E，交FG于點(diǎn)S，
∵點(diǎn)D恰好在FE的延長線上，
∴∠FEG=360°-90°-90°-75°=105°，∠EFS=15°，
∴∠G=180°-105°-15°=60°，
∴∠ESG=90°-60°=30°=∠F+∠FES，
∴∠F=∠FES=15°，
∴SF=ES，
∴
∴，
故答案為：30，
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
38．（2022春·浙江杭州·八年級統(tǒng)考期末）如圖是一張矩形紙片ABCD，點(diǎn)E在AC邊上，把△DCE沿直線DE折疊，使點(diǎn)C落在對角線BD上的點(diǎn)F處；點(diǎn)G在AB邊上，把△DAG沿直線DG折疊，使點(diǎn)A落在線段DF上的點(diǎn)H處．若HF＝1，BF＝8，則BD＝______，矩形ABCD的面積＝______．
【答案】 29 420
【分析】由折疊的性質(zhì)得HD=AD，F(xiàn)D=CD，設(shè)AD=x，則HD=x，得AB=CD=x+1，BD=x+9，再在Rt△ABD中，由勾股定理得出方程，解方程，即可解決問題．
【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=90°，
由折疊的性質(zhì)得：HD=AD，F(xiàn)D=CD，
設(shè)AD=x，則HD=x，
∴AB=CD=FD=HD+HF=x+1，
∴BD=FD+BF=x+9，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：x2+（x+1）2=（x+9）2，
解得：x=20或x=-4（舍去），
∴AD=20，AB=21，BD=x+9=29，
∴矩形ABCD的面積=AD?AB=20×21=420，
故答案為：29，420．
【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，熟練掌握翻折變換的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．
39．（2022春·浙江·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形ABCD中，將矩形ABCD沿EF折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)處，點(diǎn)B落在CD邊點(diǎn)處，連結(jié)B交EF于點(diǎn)G，點(diǎn)M在上，M=2M，若CD=3，AD=6，在折疊的過程中，點(diǎn)在邊CD上不同的位置時，則MG+G的最小值為______．
【答案】
【分析】在AB上取點(diǎn)H，使得AH＝2BH，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得GH＝GM，GB＝GB′，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出GB＝GC＝GB′，可得當(dāng)H、G、C三點(diǎn)共線時，MG+G有最小值，利用勾股定理求出最小值HC即可．
【解析】解：如圖，在AB上取點(diǎn)H，使得AH＝2BH，
由折疊可知四邊形ABFE與四邊形A′B′FE關(guān)于直線EF對稱，
∵AH＝2BH，M=2M，
∴GH＝GM，GB＝GB′，
∵∠BCD＝90°，
∴GB＝GC＝GB′，
∴MG+G＝GH+GC，
∴當(dāng)H、G、C三點(diǎn)共線時，MG+G有最小值，
∵在矩形ABCD中，CD=3，AD=6，
∴BH＝1，BC＝6，
∴最小值為HC＝，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等，分析得出當(dāng)H、G、C三點(diǎn)共線時，MG+G有最小值是解答此題的關(guān)鍵．

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