1．利用多項(xiàng)式乘法法則計(jì)算：
（1） = ；
= ．
在多項(xiàng)式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，如果把上面計(jì)算結(jié)果作為結(jié)論逆運(yùn)用，則成為因式分解中的立方和與立方差公式．
已知，利用自己所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，以及立方和與立方差公式，解決下列問題：
（2） ；（直接寫出答案）
（3） ；（直接寫出答案）
（4） ；（寫出解題過程）
2．閱讀理解
（1）已知下列結(jié)果，填空：

（2）以（1）中最后的結(jié)果為參考，求下列代數(shù)式的值（結(jié)果可以含冪的形式）

3．（1）把左右兩邊計(jì)算結(jié)果相等的式子用線連接起來：
（2）觀察上面計(jì)算結(jié)果相等的各式之間的關(guān)系，可歸納得出：
____________________________________________________
（3）利用上述規(guī)律計(jì)算下式的值：
4．我們知道，對(duì)于一個(gè)圖形，通過兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．例如圖可以得到．請解答下列問題：
（1）寫出圖中所表示的數(shù)學(xué)等式；
（2）利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問題：已知，，求的值；
（3）小明同學(xué)打算用張邊長為的正方形，張邊長為的正方形，張相鄰兩邊長為分別為、的長方形紙片拼出了一個(gè)面積為 長方形，那么他總共需要多少張紙片？
5．探索、研究：儀器箱按如圖方式堆放（自下而上依次為第1層、第2層、…），受堆放條件限制，堆放時(shí)應(yīng)符合下列條件：每層堆放儀器箱的個(gè)數(shù)an與層數(shù)n之間滿足關(guān)系式an＝n2?32n＋247，1?n＜16，n為整數(shù)．
(1)例如，當(dāng)n＝2時(shí)，a2＝22?32×2＋247＝187，則a5＝ ，a6＝ ；
(2)第n層比第（n＋1）層多堆放多少個(gè)儀器箱；（用含n的代數(shù)式表示）
(3)假設(shè)堆放時(shí)上層儀器箱的總重量會(huì)對(duì)下一層儀器箱產(chǎn)生同樣大小的壓力，壓力單位是牛頓，設(shè)每個(gè)儀器箱重54 牛頓，每個(gè)儀器箱能承受的最大壓力為160牛頓，并且堆放時(shí)每個(gè)儀器箱承受的壓力是均勻的．
①若儀器箱僅堆放第1、2兩層，求第1層中每個(gè)儀器箱承受的平均壓力；
②再確保儀器箱不被損壞的情況下，儀器箱最多可以堆放幾層，為什么？
6．如圖是一個(gè)長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖②的形狀拼成一個(gè)正方形．
(1)請用兩種不同的方法求圖②中陰影部分的面積
方法1： ；
方法2： ．
(2)請你寫出下列三個(gè)代數(shù)式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之間的等量關(guān)系． ；
(3)根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：已知：a﹣b＝5，ab＝﹣6，則（a+b）2＝ ．
(4)請你在下方畫出一個(gè)幾何圖形來解釋（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2左右相等．
7．在長方形中，，現(xiàn)將長方形向上平移，再向左平移后到長方形的位置(的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，其它類似)．
當(dāng)時(shí)，請畫出平移后的長方形，并求出長方形與長方形的重疊部分的面積．
當(dāng)滿足什么條件時(shí)，長方形與長方形有重疊部分(邊與邊疊合不算在內(nèi))，請用的代數(shù)式表示重疊部分的面積．
在平移的過程中，總會(huì)形成一個(gè)六邊形，試用來表示六邊形的面積．
8．［知識(shí)回顧]
有這樣一類題：
代數(shù)式的值與x的取值無關(guān)，求a的值；
通常的解題方法；
把x，y看作字母，a看作系數(shù)合并同類項(xiàng)，因?yàn)榇鷶?shù)式的值與x的取值無關(guān)，所以含x項(xiàng)的系數(shù)為0，即原式，所以，即．
［理解應(yīng)用]
(1)若關(guān)于x的多項(xiàng)式的值與x的取值無關(guān)，求m的值；
(2)已知的值與x無關(guān)，求y的值；
(3)（能力提升）如圖1，小長方形紙片的長為a、寬為b，有7張圖1中的紙片按照圖2方式不重疊地放在大長方形ABCD內(nèi)，大長方形中有兩個(gè)部分（圖中陰影部分）未被覆蓋，設(shè)右上角的面積為，左下角的面積為，當(dāng)AB的長變化時(shí)，的值始終保持不變，求a與b的等量關(guān)系．
9．閱讀理解下列材料：
“數(shù)形結(jié)合”是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想．在學(xué)習(xí)“整式的乘法”時(shí)，我們通過構(gòu)造幾何圖形，用“等積法”直觀地推導(dǎo)出了完全平方和公式：（如圖1）．所謂“等積法”就是用不同的方法表示同一個(gè)圖形的面積，從而得到一個(gè)等式．如圖1，從整體看是一邊長為的正方形，其面積為．從局部看由四部分組成，即：一個(gè)邊長為的正方形，一個(gè)邊長為的正方形，兩個(gè)長、寬分別為，的長方形．這四部分的面積和為．因?yàn)樗鼈儽硎镜氖峭粋€(gè)圖形的面積，所以這兩個(gè)代數(shù)式應(yīng)該相等，即．
同理，圖2可以得到一個(gè)等式：．
根據(jù)以上材料提供的方法，完成下列問題：
(1)由圖3可得等式：___________；
(2)由圖4可得等式：____________；
(3)若，，，且，，求的值．
①為了解決這個(gè)問題，請你利用數(shù)形結(jié)合思想，仿照前面的方法在下方空白處畫出相應(yīng)的幾何圖形，通過這個(gè)幾何圖形得到一個(gè)含有，，的等式．
②根據(jù)你畫的圖形可得等式：______________；
③利用①的結(jié)論，求的值．
10．閱讀下列材料：小明為了計(jì)算的值，采用以下方法：
設(shè)①
則②
②①得，．
請仿照小明的方法解決以下問題：
（1）______；
（2）求______；
（3）求的和；（請寫出計(jì)算過程）
（4）求的和（其中且）．（請寫出計(jì)算過程）
11．【閱讀理解】
我們在分析解決某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，經(jīng)常要比較兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式的大小，解決此類問題時(shí)一般要進(jìn)行轉(zhuǎn)化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依據(jù)是不等式（或等式）的性質(zhì)：若，則；若，則；若，則．
例：已知，，其中．求證：．證明：．
∵，
∴．
∴．
【新知應(yīng)用】
（1）比較大?。篲_____．
（2）甲、乙兩個(gè)長方形的長和寬如圖所示（m為正整數(shù)），其面積分別為、．試比較、的大小關(guān)系．
【實(shí)際應(yīng)用】
（3）請用“作差法”解決下列問題：
某游泳館在暑假期間對(duì)學(xué)生優(yōu)惠開放，有A、B兩種方案可供選擇，A方案：每次按原價(jià)打八五折；B方案：第一次按照原價(jià)，從第二次起每次打八折．請問游泳的同學(xué)選擇哪種方案更合算？
【拓展提升】
（4）已知x、y、z滿足，，比較代數(shù)式與的大?。?br>12． 數(shù)學(xué)中的許多規(guī)律不僅可以通過數(shù)的運(yùn)算發(fā)現(xiàn)，也可以通過圖形的面積發(fā)現(xiàn)．
(1)填表：【數(shù)的角度】
(2)【形的角度】如圖①，在邊長為a的正方形紙片上剪去一個(gè)邊長為b（b＜a）的小正方形，怎樣計(jì)算圖中陰影部分的面積？小明和小紅分別用不同的方法計(jì)算圖中陰影部分的面積．小明的方法：若陰影部分看成大正方形與小正方形的面積差，則陰影部分的面積用代數(shù)式表示為 ；小紅的方法：若沿圖①中的虛線將陰影部分剪開拼成新的長方形（圖②），則陰影部分的面積用代數(shù)式表示為 ．
(3)【發(fā)現(xiàn)規(guī)律】猜想：a＋b、 a－b 、a2－b2這三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系是 ．
(4)【運(yùn)用規(guī)律】運(yùn)用上述規(guī)律計(jì)算：502－492＋482－472＋462－452…＋22－1．
13．觀察：已知．
…
（1）猜想： ；
（2）應(yīng)用：根據(jù)你的猜想請你計(jì)算下列式子的值：
① ；
② ；
（3）拓廣：① ；
②判斷的值的個(gè)位數(shù)是幾？并說明你的理由．
14．學(xué)習(xí)整式乘法時(shí)，老師拿出三種型號(hào)的卡片，如圖1：A型卡片是邊長為a的正方形，B型卡片是邊長為b的正方形，C型卡片是長和寬分別為a，b的長方形．
(1)選取1張A型卡片，2張C型卡片，1張B型卡片，在紙上按照圖2的方式拼成一個(gè)長為的大正方形，通過不同方式表示大正方形的面積，可得到乘法公式____________；
(2)請用這3種卡片拼出一個(gè)面積為的長方形（數(shù)量不限），在圖3的虛線框中畫出示意圖，并在示意圖上按照圖2的方式標(biāo)注好長方形的長與寬；
(3)選取1張A型卡片，4張C型卡片按圖4的方式不重疊地放在長方形DEFG框架內(nèi)，圖中兩陰影部分（長方形）為沒有放置卡片的部分．已知GF的長度固定不變，DG的長度可以變化，圖中兩陰影部分（長方形）的面積分別表示為，．若，則當(dāng)a與b滿足____時(shí)，S為定值，且定值為______．（用含b的代數(shù)式表示）
15．如圖1是一個(gè)長為4a、寬為b的長方形，沿圖1中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成的一個(gè)“回形”正方形（如圖2）．
(1)圖2中的陰影部分的面積為：____________（用a、b的代數(shù)式表示）；
(2)觀察圖2，請你寫出、、之間的等量關(guān)系是____________；
(3)利用（2）中的結(jié)論，若，，求的值____________；
(4)實(shí)際上通過計(jì)算圖形的面積可以探求相應(yīng)的等式．如圖3，請你寫出這個(gè)等式____________．
(5)如圖4，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，分別以AC、BC為邊在AB的同側(cè)作正方形ACDE和正方形CBFG，連接EG、BG、BE，當(dāng)時(shí)，的面積記為，當(dāng)時(shí)，的面積記為，…，以此類推，當(dāng)時(shí)，的面積記為，計(jì)算的值．
16．?dāng)?shù)形結(jié)合思想是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想．我們常利用數(shù)形結(jié)合思想，借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間某種關(guān)系，如：探索整式乘法的一些法則和公式．
(1)探究一：
將圖1的陰影部分沿虛線剪開后，拼成圖2的形狀，拼圖前后圖形的面積不變，因此可得一個(gè)多項(xiàng)式的分解因式____________________．
(2)探究二：類似地，我們可以借助一個(gè)棱長為的大正方體進(jìn)行以下探索：
在大正方體一角截去一個(gè)棱長為的小正方體，如圖3所示，則得到的幾何體的體積為____________；
(3)將圖3中的幾何體分割成三個(gè)長方體①、②、③，如圖4、圖5所示，∵，，，∴長方體①的體積為．類似地，長方體②的體積為________，長方體③的體積為________；（結(jié)果不需要化簡）
(4)用不同的方法表示圖3中幾何體的體積，可以得到的恒等式（將一個(gè)多項(xiàng)式因式分解）為______________．
(5)問題應(yīng)用：利用上面的結(jié)論，解決問題：已知a-b=6，ab=2，求的值．
(6)類比以上探究，嘗試因式分解：= ．
17．閱讀材料：把形如的二次三項(xiàng)式或其一部分配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆寫，即．
例如：、、是的三種不同形式的配方即“余項(xiàng)”分別是常數(shù)項(xiàng)、一次項(xiàng)、二次項(xiàng)．
請根據(jù)閱讀材料解決下列問題：
(1)比照上面的例子，寫出三種不同形式的配方；
(2)已知，，求的值；
(3)當(dāng)，何值時(shí)，代數(shù)式取得最小值，最小值為多少？
18．【閱讀理解，自主探究】把代數(shù)式通過配湊等手段，得到完全平方式，再運(yùn)用完全平方式是非負(fù)數(shù)這一性質(zhì)增加問題的條件，這種解題方法叫做配方法，配方法在代數(shù)式求值，解方程，最值問題等都有著廣泛的應(yīng)用．
例1 用配方法因式分解：a2＋6a＋8．
原式＝ a2＋6a＋9－1＝（a＋3）2－1＝（a＋3－1）（a＋3＋1）＝（a＋2）（a＋4）．
例2若M＝a2－2ab＋2b2－2b＋2，利用配方法求M的最小值；
a2－2ab＋2b2－2b＋2＝a2－2ab＋b2＋b2－2b＋1＋1＝（a－b）2＋（b－1）2＋1；
∵（a－b）2≥0，（b－1）2≥0，
∴當(dāng)a＝b＝1時(shí)，M有最小值1．
請根據(jù)上述自主學(xué)習(xí)材料解決下列問題：
(1)在橫線上添上一個(gè)常數(shù)項(xiàng)使之成為完全平方式：a2＋10a＋________；
(2)用配方法因式分解：a2－12a＋35．
(3)若M＝a2－3a+1，則M的最小值為________；
(4)已知a2＋2b2＋c2－2ab＋4b－6c＋13＝0，則a＋b＋c的值為________；
19．我們知道對(duì)于一個(gè)圖形，通過不同的方法計(jì)算圖形的面積可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．
例如：由圖1可得到
（1）寫出由圖2所表示的數(shù)學(xué)等式：_________________；
（2）寫出由圖3所表示的數(shù)學(xué)等式（利用陰影部分）：________________；
（3）已知實(shí)數(shù)滿足．求：
①的值；
②的值．
20．“閱讀素養(yǎng)的培養(yǎng)是構(gòu)建核心素養(yǎng)的重要基礎(chǔ)，華師中山附中以實(shí)施百書計(jì)劃為突破口，著力提升學(xué)生的核心素養(yǎng)．”全校師生積極響應(yīng)和配合，開展各種活動(dòng)豐富其課余生活．在數(shù)學(xué)興趣小組中，同學(xué)們從書上認(rèn)識(shí)了很多有趣的數(shù)，其中有一個(gè)“和平數(shù)”引起了同學(xué)們的興趣．描述如下：一個(gè)四位數(shù)，記千位上和百位上的數(shù)字之和為x，十位上和個(gè)位上的數(shù)字之和為y，如果x=y，那么稱這個(gè)四位數(shù)為“和平數(shù)”．例如：1423，x=1+4，y=2+3，因?yàn)閤=y，所以1423是“和平數(shù)”．
(1)直接寫出：最大的“和平數(shù)”是___．
(2)將一個(gè)“和平數(shù)”的個(gè)位上與十位上的數(shù)字交換位置，同時(shí)，將百位上與千位上的數(shù)字交換位置，稱交換前后這兩個(gè)“和平數(shù)”為“相關(guān)和平數(shù)”，例如：1423與4132為“相關(guān)和平數(shù)”．
設(shè)任意一個(gè)“和平數(shù)”千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個(gè)位數(shù)字為d，則該“和平數(shù)”和它的“相關(guān)和平數(shù)”的數(shù)值分別為：“和平數(shù)”值 ，“相關(guān)和平數(shù)”值是 ．
求證：任意的兩個(gè)“和平數(shù)”與“相關(guān)和平數(shù)”之和是1111的倍數(shù)．
(3)求同時(shí)滿足下列條件的所有“和平數(shù)”：
①個(gè)位上的數(shù)字是千位上的數(shù)字的兩倍；
②百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和是12．
21．閱讀下列材料，然后解答問題：
問題：分解因式：.
解答：把代入多項(xiàng)式，發(fā)現(xiàn)此多項(xiàng)式的值為0，由此確定多項(xiàng)式中有因式，于是可設(shè)，分別求出，的值.再代入，就容易分解多項(xiàng)式，這種分解因式的方法叫做“試根法”.
（1）求上述式子中，的值；
（2）請你用“試根法”分解因式：.
22．若一個(gè)正整數(shù)能表示成(是正整數(shù)，且)的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“明禮崇德數(shù)”，與是的一個(gè)平方差分解. 例如：因?yàn)椋?是“明禮崇德數(shù)”，3與2是5的平方差分解；再如：(是正整數(shù))，所以也是“明禮崇德數(shù)”，與是的一個(gè)平方差分解.
(1)判斷：9_______“明禮崇德數(shù)”(填“是”或“不是”)；
(2)已知(是正整數(shù)，是常數(shù)，且)，要使是“明禮崇德數(shù)”，試求出符合條件的一個(gè)值，并說明理由；
(3)對(duì)于一個(gè)三位數(shù)，如果滿足十位數(shù)字是7，且個(gè)位數(shù)字比百位數(shù)字大7，稱這個(gè)三位數(shù)為“七喜數(shù)”.若既是“七喜數(shù)”，又是“明禮崇德數(shù)”，請求出的所有平方差分解.
23．閱讀理解題
閱讀材料：
兩個(gè)兩位數(shù)相乘，如果這兩個(gè)因數(shù)的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字的和是10，該類乘法的速算方法是：將一個(gè)因數(shù)的十位數(shù)字與另一個(gè)因數(shù)的十位數(shù)字加1的和相乘，所得的積作為計(jì)算結(jié)果的前兩位，將兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)字之積作為計(jì)算結(jié)果的后兩位（數(shù)位不足兩位，用0補(bǔ)齊）．
比如，它們乘積的前兩位是，它們乘積的后兩位是，所以；
再如，它們乘積的前兩位是，它們乘積的后兩位是，所以；
又如，，不足兩位，就將6寫在百位：，不足兩位，就將9寫在個(gè)位，十位上寫0，所以
該速算方法可以用我們所學(xué)的整式乘法與分解因式的知識(shí)說明其合理性；
設(shè)其中一個(gè)因數(shù)的十位數(shù)字為，個(gè)位數(shù)字是，（、表示1~9的整數(shù)），則該數(shù)可表示為，另一因數(shù)可表示為．
兩數(shù)相乘可得：
.
（注：其中表示計(jì)算結(jié)果的前兩位，表示計(jì)算結(jié)果的后兩位．）
問題：
兩個(gè)兩位數(shù)相乘，如果其中一個(gè)因數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字相同，另一因數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和是10．
如、、等．
（1）探索該類乘法的速算方法，請以為例寫出你的計(jì)算步驟；
（2）設(shè)十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字相同的因數(shù)的十位數(shù)字是，則該數(shù)可以表示為___________．
設(shè)另一個(gè)因數(shù)的十位數(shù)字是，則該數(shù)可以表示為___________．（、表示1~9的正整數(shù)）
（3）請針對(duì)問題（1）（2）中的計(jì)算，模仿閱讀材料中所用的方法寫出如：的運(yùn)算式：____________________
24．閱讀下列因式分解的過程，再回答所提出的問題：
.
（1）上述分解因式的方法是______________法.
（2）分解的結(jié)果應(yīng)為___________.
（3）分解因式：.
25．找規(guī)律：觀察算式
13＝1
13+23＝9
13+23+33＝36
13+23+33+43＝100
…
（1）按規(guī)律填空）
13+23+33+43+…+103＝ ；
13+23+33+43+…+n3＝ ．
（2）由上面的規(guī)律計(jì)算：113+123+133+143+…+503（要求：寫出計(jì)算過程）
（3）思維拓展：計(jì)算：23+43+63+…+983+1003（要求：寫出計(jì)算過程）
26．規(guī)定兩數(shù)a，b之間的一種運(yùn)算，記作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因?yàn)?3＝8，所以（2，8）＝3
(1)根據(jù)上述規(guī)定，填空：（5，25）＝ ，（2，1）＝ ，（3，）＝ ．
(2)小明在研究這種運(yùn)算時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)特征：（3n，4n）＝（3，4），并作出了如下的證明：
設(shè)（3n，4n）＝x，則（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n．
所以3x＝4，即（3，4）＝x，
所以（3n，4n）＝（3，4）．
試解決下列問題：
①計(jì)算（8，1000）﹣（32，100000）；
②請你嘗試運(yùn)用這種方法證明下面這個(gè)等式：（3，2）＋（3，5）＝（3，10）．
27．?dāng)?shù)形結(jié)合是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，它包含兩個(gè)方面，第一種是“以數(shù)解形”，第二種是“以形助數(shù)”，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)無形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微”．請你使用數(shù)形結(jié)合這種思想解決下面問題：
圖1是一個(gè)長為2a，寬為2b的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分為四塊完成相同的小長方形，然后按照圖2的形狀拼成一個(gè)正方形．
(1)觀察圖2，用兩種方法計(jì)算陰影部分的面積，可以得到一個(gè)等式，請使用代數(shù)式，，ab寫出這個(gè)等式_____________．
(2)運(yùn)用你所得到的公式，計(jì)算：若m、n為實(shí)數(shù)，且，，試求的值．
(3)如圖3，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，以AC、BC為邊向兩邊作正方形，設(shè)，兩正方形的面積和，求圖中陰影部分的面積．
28．閱讀理解，解答下列問題：利用平面圖形中面積的等量關(guān)系可以得到某些數(shù)學(xué)公式．
（1）例如，根據(jù)下圖①，我們可以得到兩數(shù)和的平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2根據(jù)圖②能得到的數(shù)學(xué)公式是__________．
（2）如圖③，請寫出（a＋b）、（a﹣b）、ab之間的等量關(guān)系是__________
（3）利用（2）的結(jié)論，解決問題：已知x＋y＝8，xy＝2，求（x﹣y）2的值．
（4）根據(jù)圖④，寫出一個(gè)等式：__________．
（5）小明同學(xué)用圖⑤中x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形，z張寬、長分別為a、b的長方形紙片，用這些紙片恰好拼出一個(gè)面積為（3a＋b）（a＋3b）長方形，請畫出圖形，并指出x＋y＋z的值．
類似地，利用立體圖形中體積的等量關(guān)系也可以得到某些數(shù)學(xué)公式．
（6）根據(jù)圖⑥，寫出一個(gè)等式：___________．
a
b
a＋b
a－b
a2－b2
2
1
3
1
3
3
－2
1
5


特訓(xùn)02 期中解答壓軸題（第9章）
一、解答題
1．利用多項(xiàng)式乘法法則計(jì)算：
（1） = ；
= ．
在多項(xiàng)式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，如果把上面計(jì)算結(jié)果作為結(jié)論逆運(yùn)用，則成為因式分解中的立方和與立方差公式．
已知，利用自己所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，以及立方和與立方差公式，解決下列問題：
（2） ；（直接寫出答案）
（3） ；（直接寫出答案）
（4） ；（寫出解題過程）
【答案】（1），；（2）6；（3）14；（4）198
【分析】（1）根據(jù)整式的混合運(yùn)算法則展開計(jì)算即可；
（2）利用完全平方公式變形，再代入求值；
（3）利用立方差公式和完全平方公式變形，再代入求值；
（4）利用立方差公式和完全平方公式變形，再代入求值；
【解析】解：（1）
=
=
=
=，
故答案為：，；
（2）
=
=
=6；
（3）
=
=
=
=14；
（4）
=
=
=
=198
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解-運(yùn)用公式法，正確的理解已知條件中的公式是解題的關(guān)鍵．
2．閱讀理解
（1）已知下列結(jié)果，填空：

（2）以（1）中最后的結(jié)果為參考，求下列代數(shù)式的值（結(jié)果可以含冪的形式）

【答案】（1）；（2）342
【分析】（1）根據(jù)題中給出的等式，寫出的值即可；（2）根據(jù)已知條件知，推導(dǎo)出 ，然后進(jìn)行化簡即可.
【解析】（1）依據(jù)題意
∴
(2)由已知得
∴
=
=
=
=342
故答案為（1）；（2）342
【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)已知等式探索規(guī)律，通過已知的等式找出等式的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.
3．（1）把左右兩邊計(jì)算結(jié)果相等的式子用線連接起來：
（2）觀察上面計(jì)算結(jié)果相等的各式之間的關(guān)系，可歸納得出：
____________________________________________________
（3）利用上述規(guī)律計(jì)算下式的值：
【答案】
【解析】分析：按照題目中所給的數(shù)據(jù)可以知道， =(a+b)(a-b)，所以可以反復(fù)使用本公式計(jì)算.
詳解：
（1）
（2）
（3）原式=
=
= .
點(diǎn)睛：觀察已知數(shù)據(jù)，可以得到平方差公式的 =(a+b)(a-b)，的一種特殊形式，
.
4．我們知道，對(duì)于一個(gè)圖形，通過兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．例如圖可以得到．請解答下列問題：
（1）寫出圖中所表示的數(shù)學(xué)等式；
（2）利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問題：已知，，求的值；
（3）小明同學(xué)打算用張邊長為的正方形，張邊長為的正方形，張相鄰兩邊長為分別為、的長方形紙片拼出了一個(gè)面積為 長方形，那么他總共需要多少張紙片？
【答案】（1）；（2）50；（3）143.
【分析】（1）直接求得正方形的面積，再根據(jù)正方形的面積=各矩形的面積之和求解即可.
（2）將，代入（1）中得到的式子，然后計(jì)算即可；
（3）長方形的面積，然后運(yùn)算多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，從而求得x、y、z的值，代入即可求解.
【解析】解：（1）
（2）由（1）可知：
（3）根據(jù)題意得，
所以，，
所以
答：小明總共需要張紙．
【點(diǎn)睛】本題主要考查整式的運(yùn)算，難度較大，熟練掌握整式的運(yùn)算以及代數(shù)式求值是解題關(guān)鍵.
5．探索、研究：儀器箱按如圖方式堆放（自下而上依次為第1層、第2層、…），受堆放條件限制，堆放時(shí)應(yīng)符合下列條件：每層堆放儀器箱的個(gè)數(shù)an與層數(shù)n之間滿足關(guān)系式an＝n2?32n＋247，1?n＜16，n為整數(shù)．
(1)例如，當(dāng)n＝2時(shí)，a2＝22?32×2＋247＝187，則a5＝ ，a6＝ ；
(2)第n層比第（n＋1）層多堆放多少個(gè)儀器箱；（用含n的代數(shù)式表示）
(3)假設(shè)堆放時(shí)上層儀器箱的總重量會(huì)對(duì)下一層儀器箱產(chǎn)生同樣大小的壓力，壓力單位是牛頓，設(shè)每個(gè)儀器箱重54 牛頓，每個(gè)儀器箱能承受的最大壓力為160牛頓，并且堆放時(shí)每個(gè)儀器箱承受的壓力是均勻的．
①若儀器箱僅堆放第1、2兩層，求第1層中每個(gè)儀器箱承受的平均壓力；
②再確保儀器箱不被損壞的情況下，儀器箱最多可以堆放幾層，為什么？
【答案】(1)112，91；
(2)（31－2n）個(gè)
(3)①46.75N；②5層，理由見解析
【分析】（1）把n＝5，n＝6分別代入n2?32n＋247中進(jìn)行計(jì)算；
（2）分別表示出n＋1和n時(shí)的代數(shù)式，然后進(jìn)行減法計(jì)算；
（3）①根據(jù)公式分別求得第二層和第一層的個(gè)數(shù)，再根據(jù)第二層的總重量除以第一層的個(gè)數(shù)進(jìn)行計(jì)算；②根據(jù)①中的方法進(jìn)行估算，求得最多可以堆放的層數(shù)．
（1）
解：當(dāng)n＝5時(shí)，a5＝52?32×5＋247＝112，
當(dāng)n＝6時(shí)，a6＝62?32×6＋247＝91；
（2）
解：由題意可得，
答：第n層比第（n＋1）層多堆放（31－2n）個(gè)儀器箱．
（3）
解：①由題意得，
＝＝46.75（牛）
答：第1層中每個(gè)儀器箱承受的平均壓力是46.75牛．
②該儀器箱最多可以堆放5層，理由如下．
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝216，
當(dāng)n＝2時(shí)，a2＝187，
當(dāng)n＝3時(shí)，a3＝160，
當(dāng)n＝4時(shí)，a4＝135，
當(dāng)n＝5時(shí)，a5＝112，
當(dāng)n＝6時(shí)，a6＝91，
當(dāng)n＝5時(shí)，第1層中每個(gè)儀器箱承受的平均壓力為：
＝148.5＜160（牛）
當(dāng)n＝6時(shí)，第1層中每個(gè)儀器箱承受的平均壓力為：
＝171.25＞160（牛）
所以，該儀器箱最多可以堆放5層．
【點(diǎn)睛】本題考查了圖形變化規(guī)律探究問題，要能夠根據(jù)所給的公式進(jìn)行分析計(jì)算，同時(shí)體現(xiàn)了“估算”思想，體現(xiàn)了“優(yōu)選”思想，對(duì)這類問題能從“中點(diǎn)”處、“黃金分割點(diǎn)”處思考是解答此題的重要思想．
6．如圖是一個(gè)長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖②的形狀拼成一個(gè)正方形．
(1)請用兩種不同的方法求圖②中陰影部分的面積
方法1： ；
方法2： ．
(2)請你寫出下列三個(gè)代數(shù)式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之間的等量關(guān)系． ；
(3)根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：已知：a﹣b＝5，ab＝﹣6，則（a+b）2＝ ．
(4)請你在下方畫出一個(gè)幾何圖形來解釋（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2左右相等．
【答案】(1)（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn
(2)（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn
(3)1
(4)畫圖解釋見解析
【分析】（1）主要通過觀察和理解圖形，用含m，n的式子來表示圖中陰影部分的面積；
（2）將完全平方展開，合并同類項(xiàng)即可看出三個(gè)式子的等量關(guān)系；
（3）將題干所給已知條件帶入（2）所得到的等量關(guān)系中，即可求出答案；
（4）根據(jù)所給等量關(guān)系，畫出幾何圖形．
【解析】（1）圖中陰影部分的面積為（m﹣n）2或（m+n）2﹣4mn，
故答案為：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn；
（2）（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn，
故答案為：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；
（3）∵a﹣b＝5，ab＝﹣6，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝25﹣24＝1，
故答案為1；
（4）如圖③，
∵四邊形ABCD的面積＝（a﹣b）（a+2b）或a（a+2b）﹣ab﹣2b2，
∴（a﹣b）（a+2b）＝a（a+2b）﹣ab﹣2b2，
∴（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2．
【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式；值得注意的是，該題不僅僅考查了完全平方的運(yùn)算求解能力，還與圖形相結(jié)合，考查難度提升，要求學(xué)生對(duì)完全平方公式的掌握非常熟練并結(jié)合圖形方可準(zhǔn)確得出答案．
7．在長方形中，，現(xiàn)將長方形向上平移，再向左平移后到長方形的位置(的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，其它類似)．
當(dāng)時(shí)，請畫出平移后的長方形，并求出長方形與長方形的重疊部分的面積．
當(dāng)滿足什么條件時(shí)，長方形與長方形有重疊部分(邊與邊疊合不算在內(nèi))，請用的代數(shù)式表示重疊部分的面積．
在平移的過程中，總會(huì)形成一個(gè)六邊形，試用來表示六邊形的面積．
【答案】（1）長方形見詳解，重疊部分的面積=；（2）重疊部分的面積=，；（3）．
【分析】（1）根據(jù)題意，畫出長方形，進(jìn)而可得重疊部分的面積；
（2）根據(jù)題意得長方形與長方形的重疊部分的長為，寬為，從而得重疊部分的面積，由重疊部分的長與寬的實(shí)際意義，列出關(guān)于x的不等式組，進(jìn)而即可求解；
（3）延長A1D1，CD交于點(diǎn)M，延長A1B1，CB交于點(diǎn)N，根據(jù)割補(bǔ)法，求出六邊形的面積，即可．
【解析】（1）長方形，如圖所示：
∵在長方形中，，將長方形向上平移，再向左平移后到長方形的位置，
∴長方形與長方形的重疊部分的面積=；
（2）∵，將長方形向上平移，再向左平移后到長方形的位置，
∴長方形與長方形的重疊部分的長為，寬為，
∴重疊部分的面積=，
∵且且，
∴；
（3）延長A1D1，CD交于點(diǎn)M，延長A1B1，CB交于點(diǎn)N，
六邊形的面積=
=
=．
【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形的平移變換以及用代數(shù)式表示幾何圖形的數(shù)量關(guān)系，掌握平移變換的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．
8．［知識(shí)回顧]
有這樣一類題：
代數(shù)式的值與x的取值無關(guān)，求a的值；
通常的解題方法；
把x，y看作字母，a看作系數(shù)合并同類項(xiàng)，因?yàn)榇鷶?shù)式的值與x的取值無關(guān)，所以含x項(xiàng)的系數(shù)為0，即原式，所以，即．
［理解應(yīng)用]
(1)若關(guān)于x的多項(xiàng)式的值與x的取值無關(guān)，求m的值；
(2)已知的值與x無關(guān)，求y的值；
(3)（能力提升）如圖1，小長方形紙片的長為a、寬為b，有7張圖1中的紙片按照圖2方式不重疊地放在大長方形ABCD內(nèi)，大長方形中有兩個(gè)部分（圖中陰影部分）未被覆蓋，設(shè)右上角的面積為，左下角的面積為，當(dāng)AB的長變化時(shí)，的值始終保持不變，求a與b的等量關(guān)系．
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）根據(jù)含項(xiàng)的系數(shù)為0建立方程，解方程即可得；
（2）先根據(jù)整式的加減求出的值，再根據(jù)含項(xiàng)的系數(shù)為0建立方程，解方程即可得；
（3）設(shè)，先求出，從而可得，再根據(jù)“當(dāng)?shù)拈L變化時(shí)，的值始終保持不變”可知的值與的值無關(guān)，由此即可得．
(1)
解：
，
關(guān)于的多項(xiàng)式的值與的取值無關(guān)，
，
解得；
(2)
令
，
原式=
，
的值與無關(guān)，
，
解得；
(3)
解：設(shè)，
由圖可知，，，
則
，
當(dāng)?shù)拈L變化時(shí)，的值始終保持不變，
的值與的值無關(guān)，
，
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式加減中的無關(guān)型問題，涉及整式的乘法、整式的加減知識(shí)，熟練掌握整式加減乘法的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
9．閱讀理解下列材料：
“數(shù)形結(jié)合”是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想．在學(xué)習(xí)“整式的乘法”時(shí)，我們通過構(gòu)造幾何圖形，用“等積法”直觀地推導(dǎo)出了完全平方和公式：（如圖1）．所謂“等積法”就是用不同的方法表示同一個(gè)圖形的面積，從而得到一個(gè)等式．如圖1，從整體看是一邊長為的正方形，其面積為．從局部看由四部分組成，即：一個(gè)邊長為的正方形，一個(gè)邊長為的正方形，兩個(gè)長、寬分別為，的長方形．這四部分的面積和為．因?yàn)樗鼈儽硎镜氖峭粋€(gè)圖形的面積，所以這兩個(gè)代數(shù)式應(yīng)該相等，即．
同理，圖2可以得到一個(gè)等式：．
根據(jù)以上材料提供的方法，完成下列問題：
(1)由圖3可得等式：___________；
(2)由圖4可得等式：____________；
(3)若，，，且，，求的值．
①為了解決這個(gè)問題，請你利用數(shù)形結(jié)合思想，仿照前面的方法在下方空白處畫出相應(yīng)的幾何圖形，通過這個(gè)幾何圖形得到一個(gè)含有，，的等式．
②根據(jù)你畫的圖形可得等式：______________；
③利用①的結(jié)論，求的值．
【答案】(1)（a+2b）2=a2+4ab+4b2；
(2)（2a+b）（a+2b）=2a2++5ab+2b2；
(3)①見解析；②（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca；③29．
【分析】（1）直接求得正方形的面積，然后再根據(jù)正方形的面積=各長方形的面積之和求解即可；
（2）直接求得長方形的面積，然后再根據(jù)長方形的面積=各長方形的面積之和求解即可；
（3）①根據(jù)題意畫出圖形即可；
②直接求得正方形的面積，然后再根據(jù)正方形的面積=各矩形的面積之和求解即可；
③將a+b+c=9，ab+bc+ac=26代入②中得到的關(guān)系式，然后進(jìn)行計(jì)算即可．
（1）
大正方形的面積可表示為=（a+2b）2，
大正方形的面積=各個(gè)長方形的面積之和=a2+4ab+4b2，
所以（a+2b）2=a2+4ab+4b2，
故答案為：（a+2b）2=a2+4ab+4b2；
（2）
大長方形的面積可表示為=（2a+b）（a+2b），
大長方形的面積=各個(gè)長方形的面積之和=2a2++5ab+2b2，
所以（2a+b）（a+2b）=2a2++5ab+2b2，
故答案為：（2a+b）（a+2b）=2a2++5ab+2b2；
（3）
①所畫圖形如下：
②正方形的面積可表示為=（a+b+c）2；
正方形的面積=各個(gè)矩形的面積之和=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，
所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．
故答案為：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca；
③∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，
∴a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+bc+ca）=92-26×2=81-52=29．
【點(diǎn)睛】本題考查的是多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式應(yīng)用，利用面積法列出等式是解題的關(guān)鍵．
10．閱讀下列材料：小明為了計(jì)算的值，采用以下方法：
設(shè)①
則②
②①得，．
請仿照小明的方法解決以下問題：
（1）______；
（2）求______；
（3）求的和；（請寫出計(jì)算過程）
（4）求的和（其中且）．（請寫出計(jì)算過程）
【答案】（1）221?2；（2）2-；（3）；（4）+
【分析】（1）根據(jù)閱讀材料可得：設(shè)s＝①，則2s＝22＋23＋…＋220＋221②，②?①即可得結(jié)果；
（2）設(shè)s＝①，s＝②，②?①即可得結(jié)果；
（3）設(shè)s＝①，-2s＝②，②?①即可得結(jié)果；
（4）設(shè)s＝①，as＝②，②?①得as-s=-a-，同理：求得-，進(jìn)而即可求解．
【解析】解：根據(jù)閱讀材料可知：
（1）設(shè)s＝①，
2s＝22＋23＋…＋220＋221②，
②?①得，2s?s＝s＝221?2；
故答案為：221?2；
（2）設(shè)s＝①，
s＝②，
②?①得，s?s＝-s＝-1，
∴s＝2-，
故答案為：2-；
（3）設(shè)s＝①
-2s＝②
②?①得，-2s?s＝-3s＝+2
∴s＝；
（4）設(shè)s＝①，
as＝②，
②-①得：as-s=-a-，
設(shè)m=-a-③，
am=-④，
④-③得：am-m=a-，
∴m=，
∴as-s=+，
∴s=+．
【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型?實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解決本題的關(guān)鍵是理解閱讀材料進(jìn)行計(jì)算．
11．【閱讀理解】
我們在分析解決某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，經(jīng)常要比較兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式的大小，解決此類問題時(shí)一般要進(jìn)行轉(zhuǎn)化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依據(jù)是不等式（或等式）的性質(zhì)：若，則；若，則；若，則．
例：已知，，其中．求證：．證明：．
∵，
∴．
∴．
【新知應(yīng)用】
（1）比較大?。篲_____．
（2）甲、乙兩個(gè)長方形的長和寬如圖所示（m為正整數(shù)），其面積分別為、．試比較、的大小關(guān)系．
【實(shí)際應(yīng)用】
（3）請用“作差法”解決下列問題：
某游泳館在暑假期間對(duì)學(xué)生優(yōu)惠開放，有A、B兩種方案可供選擇，A方案：每次按原價(jià)打八五折；B方案：第一次按照原價(jià)，從第二次起每次打八折．請問游泳的同學(xué)選擇哪種方案更合算？
【拓展提升】
（4）已知x、y、z滿足，，比較代數(shù)式與的大小．
【答案】（1）；（2）（3）當(dāng)時(shí)， A方案合算；當(dāng)時(shí)，此時(shí)兩個(gè)方案的總價(jià)相同；當(dāng)時(shí)， B方案合算；（4）
【分析】（1）做x-1與2+x的差，再根據(jù)差的正負(fù)性即可判斷；
（2）分別用m表示，然后計(jì)算的差的正負(fù)性，即可得到答案；
（3）根據(jù)題意分別寫出表示兩種方案的總價(jià)的代數(shù)式，然后作差，再分情況討論即可；
（4）先將z看作常數(shù)，解關(guān)于x、y的二元一次方程組，然后帶入并作差，根據(jù)差的正負(fù)性即可得到答案；
【解析】解：（1）根據(jù)材料得，
∴
故填；
（2）由圖知：
∴
∵m是正整數(shù)
∴
∴
∴
（3）設(shè)原價(jià)為a（），去的次數(shù)為x（x為正整數(shù)），總價(jià)分別為
根據(jù)題意可知：，
∵，x為正整數(shù)，
∴當(dāng)時(shí)，，故，此時(shí)A方案合算；
當(dāng)時(shí)，，故，此時(shí)兩個(gè)方案的總價(jià)相同；
當(dāng)時(shí)，，故，此時(shí)B方案合算；
（4）由、得、，
聯(lián)立方程組并解得
∴==
∴
【點(diǎn)睛】本題是材料題，考查了對(duì)所給信息的獲取能力，涉及了二元一次方程組，不等式的性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)，掌握所需知識(shí)，理解題意并根據(jù)題目所給方法做出結(jié)論是本題的解題關(guān)鍵．
12． 數(shù)學(xué)中的許多規(guī)律不僅可以通過數(shù)的運(yùn)算發(fā)現(xiàn)，也可以通過圖形的面積發(fā)現(xiàn)．
(1)填表：【數(shù)的角度】
(2)【形的角度】如圖①，在邊長為a的正方形紙片上剪去一個(gè)邊長為b（b＜a）的小正方形，怎樣計(jì)算圖中陰影部分的面積？小明和小紅分別用不同的方法計(jì)算圖中陰影部分的面積．小明的方法：若陰影部分看成大正方形與小正方形的面積差，則陰影部分的面積用代數(shù)式表示為 ；小紅的方法：若沿圖①中的虛線將陰影部分剪開拼成新的長方形（圖②），則陰影部分的面積用代數(shù)式表示為 ．
(3)【發(fā)現(xiàn)規(guī)律】猜想：a＋b、 a－b 、a2－b2這三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系是 ．
(4)【運(yùn)用規(guī)律】運(yùn)用上述規(guī)律計(jì)算：502－492＋482－472＋462－452…＋22－1．
【答案】(1)5，
(2)
(3)
(4)1275
【分析】(1)a=3，b=-2時(shí)，;
時(shí)，a-b=．
(2)小空1 大正方形面積為a2，小正方形的面積為b2，作差即可．
小空2 把長方形的長和寬分別用含有a、b的代數(shù)式表示出來，再按照長方形面積公式計(jì)算即可．
(3)根據(jù)第(2)小題發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出等量關(guān)系即可．
(4)每兩個(gè)數(shù)為一組按照根據(jù)第（3）小題寫出的規(guī)律進(jìn)行變形，問題即可解決．
（1）
（2）
小明的方法:大正方形面積為a2，小正方形的面積為b2，，
∴陰影部分的面積為a2-b2；
小紅的方法：長方形的長為a+b，寬為a-b，
∴陰影部分的面積為(a+b)(a-b)．
故答案為：
（3）
a＋b、 a－b 、a2－b2這三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系是．
（4）
502－492＋482－472＋462－452…＋22－1
=(502－492)＋(482－472)＋(462－452 )…＋(22－1)
=(50+49) ×(50-49)+(48+47) ×（48-47）+(46+45) ×(46-45) …+(2+1) ×(2-1)
=50+49+48+47+46+45+…+2+1
=
=1275
【點(diǎn)睛】本題是一道綜合性題目，通過代數(shù)計(jì)算填表和面積法兩種方式發(fā)現(xiàn)規(guī)律：平方差公式．然后再運(yùn)用規(guī)律進(jìn)行計(jì)算，提高了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)規(guī)律．
13．觀察：已知．
…
（1）猜想： ；
（2）應(yīng)用：根據(jù)你的猜想請你計(jì)算下列式子的值：
① ；
② ；
（3）拓廣：① ；
②判斷的值的個(gè)位數(shù)是幾？并說明你的理由．
【答案】（1）；（2）① ；② ；（3）① ；② 個(gè)位上數(shù)字是7，理由見解析．
【分析】（1）根據(jù)一系列等式總結(jié)出規(guī)律即可；
（2）① 令，代入上面規(guī)律計(jì)算即可；
（2）② 將式子變形為：，計(jì)算即可；
（3）① 提取，將原式變形為：，按照規(guī)律計(jì)算即可；
（3）② 由，…結(jié)果是以2、4、8、6，，的個(gè)位數(shù)字為8，進(jìn)一步得到結(jié)果．
【解析】解：（1）
（2）①
=
=
②
=
=
（3）①
=
=
=
②
=
=
∵…結(jié)果是以2、4、8、6循環(huán)
∴
∴的個(gè)位數(shù)字為8，
∴的個(gè)位數(shù)字為7
【點(diǎn)睛】本題考查整式混合運(yùn)算的應(yīng)用，找出本題的規(guī)律是解題關(guān)鍵．
14．學(xué)習(xí)整式乘法時(shí)，老師拿出三種型號(hào)的卡片，如圖1：A型卡片是邊長為a的正方形，B型卡片是邊長為b的正方形，C型卡片是長和寬分別為a，b的長方形．
(1)選取1張A型卡片，2張C型卡片，1張B型卡片，在紙上按照圖2的方式拼成一個(gè)長為的大正方形，通過不同方式表示大正方形的面積，可得到乘法公式____________；
(2)請用這3種卡片拼出一個(gè)面積為的長方形（數(shù)量不限），在圖3的虛線框中畫出示意圖，并在示意圖上按照圖2的方式標(biāo)注好長方形的長與寬；
(3)選取1張A型卡片，4張C型卡片按圖4的方式不重疊地放在長方形DEFG框架內(nèi)，圖中兩陰影部分（長方形）為沒有放置卡片的部分．已知GF的長度固定不變，DG的長度可以變化，圖中兩陰影部分（長方形）的面積分別表示為，．若，則當(dāng)a與b滿足____時(shí)，S為定值，且定值為______．（用含b的代數(shù)式表示）
【答案】(1)＝
(2)見解析
(3)時(shí)，
【分析】（1）用兩種方法表示圖2的面積，即可得出公式；
（2）由a2+4ab+3b2可得A型卡片1張，B型卡片3張，C型卡片4張，根據(jù)題意畫出圖形即可；
（3）設(shè)DG的長為x，求出S1，S2即可解決問題．
(1)
解：方法1：大正方形的面積為（a+b）2，
方法2：圖中四部分的面積和為a2+2ab+b2，
∴（a+b）2=a2+2ab+b2，
故答案為：（a+b）2=a2+2ab+b2；
(2)
解：如圖3，
(3)
解：設(shè)DG的長為x，
∵S1=a[x-（a+2b）]=ax-a2-2ab，S2=2b（x-a）=2bx-2ab，
∴S=S2-S1
=2bx-2ab-（ax-a2-2ab）
=（2b-a）x+a2，
若S為定值，則2b-a=0，
∴a=2b，
∴當(dāng)a與b滿足a=2b時(shí)，S為定值，且定值為，
故答案為：a=2b，．
【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式的特點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決問題的關(guān)鍵．
15．如圖1是一個(gè)長為4a、寬為b的長方形，沿圖1中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成的一個(gè)“回形”正方形（如圖2）．
(1)圖2中的陰影部分的面積為：____________（用a、b的代數(shù)式表示）；
(2)觀察圖2，請你寫出、、之間的等量關(guān)系是____________；
(3)利用（2）中的結(jié)論，若，，求的值____________；
(4)實(shí)際上通過計(jì)算圖形的面積可以探求相應(yīng)的等式．如圖3，請你寫出這個(gè)等式____________．
(5)如圖4，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，分別以AC、BC為邊在AB的同側(cè)作正方形ACDE和正方形CBFG，連接EG、BG、BE，當(dāng)時(shí)，的面積記為，當(dāng)時(shí)，的面積記為，…，以此類推，當(dāng)時(shí)，的面積記為，計(jì)算的值．
【答案】(1)
(2)
(3)16
(4)
(5)
【分析】（1）圖2中陰影部分的面積可以用兩種方法得到，先表示陰影部分的邊長，再表示面積，二是圖2大正方形面積減去圖1的面積，即可得出答案
（2）由（1）可以得出三個(gè)代數(shù)式之間的關(guān)系；
（3）利用（2）中關(guān)系，整體代入求值即可；
（4）從整體求面積與各個(gè)部分的面積和兩個(gè)方面即可得出等式；
（5）△BEG的面積總等于以BC為邊長的正方形面積的一半，即，再利用平方差公式化簡求值即可．
（1）
（2）
（3）
，時(shí)，，
故答案為：16
（4）
（5）
如圖，連接，在正方形和正方形中
∴
∴
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
……
當(dāng)時(shí)，；
∴
．
【點(diǎn)睛】考查正方形的性質(zhì)，完全平方公式的意義和應(yīng)用，利用圖形中的面積得出相應(yīng)的等式是得出正確答案的前提．
16．?dāng)?shù)形結(jié)合思想是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想．我們常利用數(shù)形結(jié)合思想，借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間某種關(guān)系，如：探索整式乘法的一些法則和公式．
(1)探究一：
將圖1的陰影部分沿虛線剪開后，拼成圖2的形狀，拼圖前后圖形的面積不變，因此可得一個(gè)多項(xiàng)式的分解因式____________________．
(2)探究二：類似地，我們可以借助一個(gè)棱長為的大正方體進(jìn)行以下探索：
在大正方體一角截去一個(gè)棱長為的小正方體，如圖3所示，則得到的幾何體的體積為____________；
(3)將圖3中的幾何體分割成三個(gè)長方體①、②、③，如圖4、圖5所示，∵，，，∴長方體①的體積為．類似地，長方體②的體積為________，長方體③的體積為________；（結(jié)果不需要化簡）
(4)用不同的方法表示圖3中幾何體的體積，可以得到的恒等式（將一個(gè)多項(xiàng)式因式分解）為______________．
(5)問題應(yīng)用：利用上面的結(jié)論，解決問題：已知a-b=6，ab=2，求的值．
(6)類比以上探究，嘗試因式分解：= ．
【答案】(1)
(2)
(3)，
(4)
(5)252
(6)
【分析】（1）圖1中陰影部分的面積等于大正方形的面積減去小正方形的面積，圖2中陰影部分的面積等于長為、寬為的長方形的面積，由此即可得；
（2）直接利用大正方體的體積減去小正方體的體積即可得出答案；
（3）根據(jù)長方體的體積公式即可得；
（4）根據(jù)（2）和（3）的結(jié)論可得，再將等號(hào)右邊利用提取公因式分解因式即可得出答案；
（5）先利用完全平方公式求出，再根據(jù)（4）的結(jié)論即可得；
（6）將改寫成，再根據(jù)（4）的結(jié)論進(jìn)行因式分解即可得．
（1）
解：圖1中陰影部分的面積為，
圖2中陰影部分的面積為，
拼圖前后圖形的面積不變，
，
可得一個(gè)多項(xiàng)式的分解因式為，
故答案為：．
（2）
解：由題意，得到的幾何體的體積為，
故答案為：．
（3）
解：，
長方體②的體積為，
，
長方體③的體積為，
故答案為：，．
（4）
解：由（2）和（3）得：，
則可以得到的恒等式（將一個(gè)多項(xiàng)式因式分解）為，
故答案為：．
（5）
解：，
，
．
（6）
解：由（4）可知，，
則
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式與圖形面積、利用完全平方公式變形求值、利用提公因式法分解因式等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握利用不同的方法表示同一個(gè)幾何體的體積得到代數(shù)恒等式是解題關(guān)鍵．
17．閱讀材料：把形如的二次三項(xiàng)式或其一部分配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆寫，即．
例如：、、是的三種不同形式的配方即“余項(xiàng)”分別是常數(shù)項(xiàng)、一次項(xiàng)、二次項(xiàng)．
請根據(jù)閱讀材料解決下列問題：
(1)比照上面的例子，寫出三種不同形式的配方；
(2)已知，，求的值；
(3)當(dāng)，何值時(shí)，代數(shù)式取得最小值，最小值為多少？
【答案】(1)第一種：；第二種：；第三種：
(2)
(3)16
【分析】（1）根據(jù)材料中的三種不同形式的配方，“余項(xiàng)”分別是常數(shù)項(xiàng)、一次項(xiàng)、二次項(xiàng)，可解答；
（2）將配方，根據(jù)平方的非負(fù)性可得和的值，可解答；
（3）首先把已知等式變?yōu)?，然后利用完全平方公式分解因式，變?yōu)閮蓚€(gè)非負(fù)數(shù)和一個(gè)正數(shù)的和的形式，然后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．
（1）
解：第一種：；
第二種：；
第三種：；
（2）
，，




，
，
，
，，
；
（3）
，
，
，
，
，
解得．
當(dāng)，時(shí)，代數(shù)式的最小值是．
【點(diǎn)睛】本題考查的是配方法的應(yīng)用，首先利用完全平方公式使等式變?yōu)閮蓚€(gè)非負(fù)數(shù)和一個(gè)正數(shù)的和的形式，然后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解決問題．
18．【閱讀理解，自主探究】把代數(shù)式通過配湊等手段，得到完全平方式，再運(yùn)用完全平方式是非負(fù)數(shù)這一性質(zhì)增加問題的條件，這種解題方法叫做配方法，配方法在代數(shù)式求值，解方程，最值問題等都有著廣泛的應(yīng)用．
例1 用配方法因式分解：a2＋6a＋8．
原式＝ a2＋6a＋9－1＝（a＋3）2－1＝（a＋3－1）（a＋3＋1）＝（a＋2）（a＋4）．
例2若M＝a2－2ab＋2b2－2b＋2，利用配方法求M的最小值；
a2－2ab＋2b2－2b＋2＝a2－2ab＋b2＋b2－2b＋1＋1＝（a－b）2＋（b－1）2＋1；
∵（a－b）2≥0，（b－1）2≥0，
∴當(dāng)a＝b＝1時(shí)，M有最小值1．
請根據(jù)上述自主學(xué)習(xí)材料解決下列問題：
(1)在橫線上添上一個(gè)常數(shù)項(xiàng)使之成為完全平方式：a2＋10a＋________；
(2)用配方法因式分解：a2－12a＋35．
(3)若M＝a2－3a+1，則M的最小值為________；
(4)已知a2＋2b2＋c2－2ab＋4b－6c＋13＝0，則a＋b＋c的值為________；
【答案】(1)25；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】（1）利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可；
（2）原式常數(shù)項(xiàng)35分為，利用完全平方公式化簡，再利用平方差公式分求解即可；
（3）配方后，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定出最小值即可；
（4）將已知等式利用完全平方公式配方后，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出，，的值，代入原式計(jì)算即可．
（1）
解：；
故答案為：25；
（2）
解：
；
（3）
解：
，
當(dāng)，即時(shí)，取最小值，最小值為；
故答案為：；
（4）
解：，
，
即，
，，，
，，，
解得：，，
則．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方，完全平方式，以及因式分解分組分解法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握各自的運(yùn)算法則及公式．
19．我們知道對(duì)于一個(gè)圖形，通過不同的方法計(jì)算圖形的面積可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．
例如：由圖1可得到
（1）寫出由圖2所表示的數(shù)學(xué)等式：_________________；
（2）寫出由圖3所表示的數(shù)學(xué)等式（利用陰影部分）：________________；
（3）已知實(shí)數(shù)滿足．求：
①的值；
②的值．
【答案】（1）（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）（a-b-c）2=a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc；（3）①0；②1
【分析】（1）大正方形的面積等于6個(gè)長方形和3個(gè)小正方形的面積和；
（2）圖中陰影部分面積為正方形等于陰影部分面積等于大正方形面積減去5個(gè)長方形和3個(gè)小正方形的面積；
（3）①將（1）式子變形ab+bc+ca=×[（a+b+c）2-（a2+b2+c2）]，代入已知即可求解；②先求出（a+b+c）3=a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2a+3b2c+3c2a+3bc2+6abc，再結(jié)合已知條件，將式子逐步代入，得到1=3（a+b+c）-2（a3+b3+c3）+6abc，即可求解．
【解析】解：（1）大正方形的面積為（a+b+c）2，
9個(gè)長方形和小正方形的面積和為a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
∴（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）圖中陰影部分面積為正方形，則有（a-c-b）（a-b-c）=（a-b-c）2，
陰影部分面積等于大正方形面積減去5個(gè)長方形和3個(gè)小正方形的面積，即a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc，
∴（a-b-c）2=a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc；
（3）①由（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
可得ab+bc+ca=×[（a+b+c）2-（a2+b2+c2）]，
∵a+b+c=1，a2+b2+c2=1，
∴ab+bc+ca=0；
②∵（a+b+c）3=a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2a+3b2c+3c2a+3bc2+6abc，
∵a+b+c=1，a2+b2+c2=1，
∴1=a3+b3+c3+3[b（a2+c2）+a（b2+c2）+c（a2+b2）]+6abc=a3+b3+c3+3[b（1-b2）+a（1-a2）+c（1-c2）]+6abc，
1=3（a+b+c）-2（a3+b3+c3）+6abc，
∴1=3-2（a3+b3+c3）+6abc，
∴a3+b3+c3-3abc=1．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用；根據(jù)一個(gè)圖形面積的不同求法，利用面積相等，得到相應(yīng)的表達(dá)式，再將表達(dá)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危么敕ㄇ笾凳墙忸}關(guān)鍵．
20．“閱讀素養(yǎng)的培養(yǎng)是構(gòu)建核心素養(yǎng)的重要基礎(chǔ)，華師中山附中以實(shí)施百書計(jì)劃為突破口，著力提升學(xué)生的核心素養(yǎng)．”全校師生積極響應(yīng)和配合，開展各種活動(dòng)豐富其課余生活．在數(shù)學(xué)興趣小組中，同學(xué)們從書上認(rèn)識(shí)了很多有趣的數(shù)，其中有一個(gè)“和平數(shù)”引起了同學(xué)們的興趣．描述如下：一個(gè)四位數(shù)，記千位上和百位上的數(shù)字之和為x，十位上和個(gè)位上的數(shù)字之和為y，如果x=y，那么稱這個(gè)四位數(shù)為“和平數(shù)”．例如：1423，x=1+4，y=2+3，因?yàn)閤=y，所以1423是“和平數(shù)”．
(1)直接寫出：最大的“和平數(shù)”是___．
(2)將一個(gè)“和平數(shù)”的個(gè)位上與十位上的數(shù)字交換位置，同時(shí)，將百位上與千位上的數(shù)字交換位置，稱交換前后這兩個(gè)“和平數(shù)”為“相關(guān)和平數(shù)”，例如：1423與4132為“相關(guān)和平數(shù)”．
設(shè)任意一個(gè)“和平數(shù)”千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個(gè)位數(shù)字為d，則該“和平數(shù)”和它的“相關(guān)和平數(shù)”的數(shù)值分別為：“和平數(shù)”值 ，“相關(guān)和平數(shù)”值是 ．
求證：任意的兩個(gè)“和平數(shù)”與“相關(guān)和平數(shù)”之和是1111的倍數(shù)．
(3)求同時(shí)滿足下列條件的所有“和平數(shù)”：
①個(gè)位上的數(shù)字是千位上的數(shù)字的兩倍；
②百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和是12．
【答案】(1)9999；(2)1000a+100b+10c+d，1000b+100a+10d+c，證明見解析；(3) 2754和4848
【分析】(1)根據(jù)題意即可得到結(jié)論；
(2)根據(jù)題目意思表示出“和平數(shù)”和“相關(guān)和平值”即可，設(shè)任意兩個(gè)“相關(guān)和平數(shù)”為，（a、b、c、d分別取0，1，2，…，9且a≠0，b≠0），于是得到+=1100（a+b）+11（c+d）=1111（a+b），即可得到結(jié)論；
(3)設(shè)這個(gè)“和平數(shù)”為，于是得到d=2a，a+b=c+d，b+c=12k，求得2c+a=12k，即a=2、4、6、8，d=4、8、12(舍去) 、16(舍去)，再分情況討論即可得出結(jié)果．
【解析】解：(1)由題知：最大的“和平數(shù)”9999；
(2)“和平數(shù)”：1000a+100b+10c+d，“相關(guān)和平數(shù)”：1000b+100a+10d+c，
設(shè)任意兩個(gè)“相關(guān)和平數(shù)”為，（a、b、c、d分別取0，1，2，…，9且a≠0，b≠0），
∴+=1100（a+b）+11（c+d），
∵a+b=c+d，
∴+=1100（a+b）+11（a+b）=1111（a+b），
∴兩個(gè)“相關(guān)和平數(shù)”之和是1111的倍數(shù)；
(3)設(shè)這個(gè)“和平數(shù)”為，
則d=2a，a+b=c+d，b+c=12k，
∴2c+a=12k，
則a=2、4、6、8，d=4、8、12(舍去) 、16(舍去)，
當(dāng)a=2，d=4時(shí)，2（c+1）=12k，
可知c+1=6k且a+b=c+d，
∴c=5，b=7，
當(dāng)a=4，d=8時(shí)，
2（c+2）=12k，
可知c+2=6k且a+b=c+d，
∴c=4，b=8，
綜上所述：這個(gè)數(shù)為2754和4848．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是定義新運(yùn)算以及因式分解，掌握以上兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
21．閱讀下列材料，然后解答問題：
問題：分解因式：.
解答：把代入多項(xiàng)式，發(fā)現(xiàn)此多項(xiàng)式的值為0，由此確定多項(xiàng)式中有因式，于是可設(shè)，分別求出，的值.再代入，就容易分解多項(xiàng)式，這種分解因式的方法叫做“試根法”.
（1）求上述式子中，的值；
（2）請你用“試根法”分解因式：.
【答案】（1），；（2）
【分析】（1）先找出一個(gè)x的值，進(jìn)而找出一個(gè)因式，再將多項(xiàng)式設(shè)成分解因式的形式，即可得出結(jié)論；
（2）先找出x=-1時(shí)，得出多項(xiàng)式的值，進(jìn)而找出一個(gè)因式，再將多項(xiàng)式設(shè)成分解因式的形式，即可得出結(jié)論．
【解析】解：（1）把帶入多項(xiàng)式，發(fā)現(xiàn)此多項(xiàng)式的值為0，
∴多項(xiàng)式中有因式，
于是可設(shè)，
得出：，
∴，，
∴，，
（2）把代入，多項(xiàng)式的值為0，
∴多項(xiàng)式中有因式，
于是可設(shè)，
∴，，
∴，，
∴
【點(diǎn)睛】此題是分解因式，主要考查了試根法分解因式的理解和掌握，解本題的關(guān)鍵是理解試根法分解因式．
22．若一個(gè)正整數(shù)能表示成(是正整數(shù)，且)的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“明禮崇德數(shù)”，與是的一個(gè)平方差分解. 例如：因?yàn)?，所?是“明禮崇德數(shù)”，3與2是5的平方差分解；再如：(是正整數(shù))，所以也是“明禮崇德數(shù)”，與是的一個(gè)平方差分解.
(1)判斷：9_______“明禮崇德數(shù)”(填“是”或“不是”)；
(2)已知(是正整數(shù)，是常數(shù)，且)，要使是“明禮崇德數(shù)”，試求出符合條件的一個(gè)值，并說明理由；
(3)對(duì)于一個(gè)三位數(shù)，如果滿足十位數(shù)字是7，且個(gè)位數(shù)字比百位數(shù)字大7，稱這個(gè)三位數(shù)為“七喜數(shù)”.若既是“七喜數(shù)”，又是“明禮崇德數(shù)”，請求出的所有平方差分解.
【答案】（1）是；（2）k=-5；（3）m=279，，.
【分析】(1)根據(jù)9=52-42，確定9是“明禮崇德數(shù)”；
(2)根據(jù)題意分析N應(yīng)是兩個(gè)完全平方式的差，得到k=-5，將k=-5代入計(jì)算即可將N平方差分解，得到答案；
(3)確定“七喜數(shù)”m的值，分別將其平方差分解即可.
【解析】(1)∵9=52-42，
∴9是“明禮崇德數(shù)”，
故答案為：是；
(2)當(dāng)k=-5時(shí)，是“明禮崇德數(shù)”，
∵當(dāng)k=-5時(shí)，
，
=，
=，
=，
=
=.
∵是正整數(shù)，且，
∴N是正整數(shù)，符合題意，
∴當(dāng)k=-5時(shí)，是“明禮崇德數(shù)”；
(3)由題意得：“七喜數(shù)”m=178或279，
設(shè)m==（a+b）（a-b），
當(dāng)m=178時(shí)，
∵178=289，
∴，得（不合題意，舍去）；
當(dāng)m=279時(shí)，
∵279=393=931，
∴①，得，∴，
②，得，∴，
∴既是“七喜數(shù)”又是“明禮崇德數(shù)”的m是279，，.
【點(diǎn)睛】此題考查因式分解，熟練掌握平方差公式和完全平方公式是解此題的前提，(3)是此題的難點(diǎn)，解題時(shí)需根據(jù)百位與個(gè)位數(shù)字的關(guān)系確定具體的數(shù)據(jù)，再根據(jù)“明禮崇德數(shù)”的要求進(jìn)行平方差分解.
23．閱讀理解題
閱讀材料：
兩個(gè)兩位數(shù)相乘，如果這兩個(gè)因數(shù)的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字的和是10，該類乘法的速算方法是：將一個(gè)因數(shù)的十位數(shù)字與另一個(gè)因數(shù)的十位數(shù)字加1的和相乘，所得的積作為計(jì)算結(jié)果的前兩位，將兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)字之積作為計(jì)算結(jié)果的后兩位（數(shù)位不足兩位，用0補(bǔ)齊）．
比如，它們乘積的前兩位是，它們乘積的后兩位是，所以；
再如，它們乘積的前兩位是，它們乘積的后兩位是，所以；
又如，，不足兩位，就將6寫在百位：，不足兩位，就將9寫在個(gè)位，十位上寫0，所以
該速算方法可以用我們所學(xué)的整式乘法與分解因式的知識(shí)說明其合理性；
設(shè)其中一個(gè)因數(shù)的十位數(shù)字為，個(gè)位數(shù)字是，（、表示1~9的整數(shù)），則該數(shù)可表示為，另一因數(shù)可表示為．
兩數(shù)相乘可得：
.
（注：其中表示計(jì)算結(jié)果的前兩位，表示計(jì)算結(jié)果的后兩位．）
問題：
兩個(gè)兩位數(shù)相乘，如果其中一個(gè)因數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字相同，另一因數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和是10．
如、、等．
（1）探索該類乘法的速算方法，請以為例寫出你的計(jì)算步驟；
（2）設(shè)十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字相同的因數(shù)的十位數(shù)字是，則該數(shù)可以表示為___________．
設(shè)另一個(gè)因數(shù)的十位數(shù)字是，則該數(shù)可以表示為___________．（、表示1~9的正整數(shù)）
（3）請針對(duì)問題（1）（2）中的計(jì)算，模仿閱讀材料中所用的方法寫出如：的運(yùn)算式：____________________
【答案】（1）4×（7+1）=32，4×3=12，44×73=3212；（2）11a，9b+10；（3）（ 10a+a） （ 10b+c）= （ b+1 ） a×100+ac．
【分析】（1）設(shè)一個(gè)因數(shù)的兩個(gè)數(shù)字為b和c且b+c=10，另一個(gè)因數(shù)個(gè)位數(shù)為a，則另一個(gè)因數(shù)為10a+a，則 可得出（ 10a+a） （ 10b+c）= （ b+1 ） a×100+ac．
規(guī)律：先將和為10的數(shù)的十位數(shù)字加1 ，再與后一個(gè)乘數(shù)的十位數(shù)字相乘后乘以100，然后加上兩個(gè)個(gè)位數(shù)之積，由此可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)兩位數(shù)的表示方法即可得出結(jié)論．
（3）根據(jù)（1）即可得出結(jié)論．
【解析】（1）設(shè)一個(gè)因數(shù)的兩個(gè)數(shù)字為b和c且b+c=10，另一個(gè)因數(shù)個(gè)位數(shù)為a，則另一個(gè)因數(shù)為10a+a，則（ 10a+a） （ 10b+c）=100ab+10ac+10ab+ac=100ab+10（b+c）a+ac=100ab+10×10a+ac=（ b+1 ） a×100+ac．
規(guī)律：先將和為10的數(shù)的十位數(shù)字加1 ，再與后一個(gè)乘數(shù)的十位數(shù)字相乘后乘以100，然后加上兩個(gè)個(gè)位數(shù)之積，∴4×（7+1）=32，4×3=12，44×73=3212；
（2）設(shè)十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字相同的因數(shù)的十位數(shù)字是a，則該數(shù)可以表示為10a+a=11a．
設(shè)另一個(gè)因數(shù)的十位數(shù)字是b，則該數(shù)可以表示為10b+（10-b）=9b+10．
故答案為11a，9b+10．
（3）設(shè)一個(gè)因數(shù)的兩個(gè)數(shù)字為b和c且b+c=10，另一個(gè)因數(shù)個(gè)位數(shù)為a，則另一個(gè)因數(shù)為10a+a，則（ 10a+a） （ 10b+c）=100ab+10ac+10ab+ac=100ab+10（b+c）a+ac=100ab+10×10a+ac=（ b+1 ） a×100+ac．
故答案為（ 10a+a） （ 10b+c）= （ b+1 ） a×100+ac．
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算和數(shù)字的計(jì)算規(guī)律，尋找計(jì)算規(guī)律是前提，并加以運(yùn)用和推廣是關(guān)鍵，考查了數(shù)學(xué)的類比思想，整式的運(yùn)算是解題的基礎(chǔ)．
24．閱讀下列因式分解的過程，再回答所提出的問題：
.
（1）上述分解因式的方法是______________法.
（2）分解的結(jié)果應(yīng)為___________.
（3）分解因式：.
【答案】（1）提公因式 ; （2） ；（3）
【分析】（1）用的是提公因式法；
（2）按照（1）中的方法再分解幾個(gè)，找了其中的規(guī)律，即可推測出結(jié)果；.
（3）由（2）中得到的規(guī)律即可推廣到一般情況.
【解析】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法．
（2）=
=
……
由此可知=
（3）原式=（1+x）[1+x+x（x+1）]+x（x+1）3+…+x（x+1）n，
=（1+x）2（1+x）+x（x+1）3+…+x（x+1）n，
=（1+x）3+x（1+x）3+…+x（1+x）n，
=（1+x）n+x（x+1）n，
=（1+x）n+1．
【點(diǎn)睛】本題考查了提公因式法分解因式，找出整式的結(jié)構(gòu)規(guī)律是關(guān)鍵，體現(xiàn)了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想．
25．找規(guī)律：觀察算式
13＝1
13+23＝9
13+23+33＝36
13+23+33+43＝100
…
（1）按規(guī)律填空）
13+23+33+43+…+103＝ ；
13+23+33+43+…+n3＝ ．
（2）由上面的規(guī)律計(jì)算：113+123+133+143+…+503（要求：寫出計(jì)算過程）
（3）思維拓展：計(jì)算：23+43+63+…+983+1003（要求：寫出計(jì)算過程）
【答案】（1）；；（2）1622600；（3）
【分析】（1）觀察等式右邊都是平方數(shù)，且底數(shù)正好是等式左邊各底數(shù)的和，依此規(guī)律類推可分別解決以上兩個(gè)問題；
（2）由于上面的等式都是從底數(shù)是1開始的，所以可以把該式子前面的部分從1開始補(bǔ)上，再把補(bǔ)上的部分減掉即可；
（3）該式中的底數(shù)并不是題干中所給出的從1開始的連續(xù)整數(shù)，因此不能直接用上述規(guī)律解題，但該式中的底數(shù)卻都是從1開始的連續(xù)整數(shù)的2倍，因此提出2后，各項(xiàng)都含有，逆用乘法分配律即可解決問題．
【解析】解：（1）13+23+33+43+…+103＝（1+2+3+4+…+10）2＝；
13+23+33+43+…+n3＝（1+2+3+4+…+n）2＝；
（2）113+123+133+143+…+503＝（13+23+33+43+…+503）-（13+23+33+43+…+103）
＝
＝1622600；
（3）23+43+63+…+983+1003＝（2×1）3+（2×2）3+（2×3）2+（2×4）3+…+（2×50）3＝23×（13+23+33+43+…+503）
＝23×＝．
【點(diǎn)睛】本題屬于數(shù)式規(guī)律題，考查了學(xué)生對(duì)數(shù)的觀察和分析的能力，首先學(xué)生應(yīng)對(duì)平方數(shù)有一定的認(rèn)識(shí)和感知力，這樣才能邁出解決問題的第一步，其次學(xué)生要學(xué)會(huì)對(duì)不同的數(shù)進(jìn)行關(guān)聯(lián)，通過它們的和差積商中的一種或多種組合找到它們的聯(lián)系，才能得出這道題的規(guī)律，建議在學(xué)習(xí)過程中多積累相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)散思維，提高解決該類問題的效率．
26．規(guī)定兩數(shù)a，b之間的一種運(yùn)算，記作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因?yàn)?3＝8，所以（2，8）＝3
(1)根據(jù)上述規(guī)定，填空：（5，25）＝ ，（2，1）＝ ，（3，）＝ ．
(2)小明在研究這種運(yùn)算時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)特征：（3n，4n）＝（3，4），并作出了如下的證明：
設(shè)（3n，4n）＝x，則（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n．
所以3x＝4，即（3，4）＝x，
所以（3n，4n）＝（3，4）．
試解決下列問題：
①計(jì)算（8，1000）﹣（32，100000）；
②請你嘗試運(yùn)用這種方法證明下面這個(gè)等式：（3，2）＋（3，5）＝（3，10）．
【答案】(1)2，0，-2
(2)①0；②見解析
【分析】（1）根據(jù)題中規(guī)定及冪的乘方運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）根據(jù)題中規(guī)定及冪的乘方運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可．
（1）解：∵ 52=25，∴（5，25）=2；∵20=1，∴（2，1）=0；∵∴故答案為：2，0，-2；
（2）①（8，1000）-（32，100000）=（23，103）-（25，105）=（2，10）-（2，10）=0；②設(shè)3x=2，3y=5，則3x·3y=3x+y=2×5=10，所以（3，2）=x，（3，5）=y，（3，10）=x+y，所以（3，2）+（3，5）=（3，10）．
【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方，熟練掌握冪的乘方是解題的關(guān)鍵．
27．?dāng)?shù)形結(jié)合是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，它包含兩個(gè)方面，第一種是“以數(shù)解形”，第二種是“以形助數(shù)”，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)無形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微”．請你使用數(shù)形結(jié)合這種思想解決下面問題：
圖1是一個(gè)長為2a，寬為2b的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分為四塊完成相同的小長方形，然后按照圖2的形狀拼成一個(gè)正方形．
(1)觀察圖2，用兩種方法計(jì)算陰影部分的面積，可以得到一個(gè)等式，請使用代數(shù)式，，ab寫出這個(gè)等式_____________．
(2)運(yùn)用你所得到的公式，計(jì)算：若m、n為實(shí)數(shù)，且，，試求的值．
(3)如圖3，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，以AC、BC為邊向兩邊作正方形，設(shè)，兩正方形的面積和，求圖中陰影部分的面積．
【答案】(1)
(2)4
(3)
【分析】（1）根據(jù)圖2中，各個(gè)部分面積與大正方形面積之間的關(guān)系可得答案；
（2）由（1）的結(jié)論，進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）設(shè)兩個(gè)正方形的邊長為，，得出，，根據(jù)完全平方公式計(jì)算出的值即可．
（1）
解：如圖2，大正方形的邊長為，因此面積為，
小正方形的邊長為，因此面積為，
每個(gè)長方形的長為，寬為，因此面積為，
由面積之間的關(guān)系可得：
，
故答案為：（答案不唯一）；
（2）
解：由（1）得，
，，
；
即的值是4；
（3）
解：設(shè)正方形的邊長為，正方形的邊長為，則，，
，兩正方形的面積和，
，，
，
，
，
陰影部分的面積為．
【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的幾何背景，解題的關(guān)鍵是掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征以及圖形中面積之間的關(guān)系．
28．閱讀理解，解答下列問題：利用平面圖形中面積的等量關(guān)系可以得到某些數(shù)學(xué)公式．
（1）例如，根據(jù)下圖①，我們可以得到兩數(shù)和的平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2根據(jù)圖②能得到的數(shù)學(xué)公式是__________．
（2）如圖③，請寫出（a＋b）、（a﹣b）、ab之間的等量關(guān)系是__________
（3）利用（2）的結(jié)論，解決問題：已知x＋y＝8，xy＝2，求（x﹣y）2的值．
（4）根據(jù)圖④，寫出一個(gè)等式：__________．
（5）小明同學(xué)用圖⑤中x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形，z張寬、長分別為a、b的長方形紙片，用這些紙片恰好拼出一個(gè)面積為（3a＋b）（a＋3b）長方形，請畫出圖形，并指出x＋y＋z的值．
類似地，利用立體圖形中體積的等量關(guān)系也可以得到某些數(shù)學(xué)公式．
（6）根據(jù)圖⑥，寫出一個(gè)等式：___________．
【答案】（1）（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2；（2）（a＋b）2＝（a﹣b）2＋4ab；（3）56；（4）（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；（5）畫圖見解析，16；（6）（a＋b）3＝a2＋b2＋3a2b＋3ab2
【分析】(1)由圖②中各個(gè)部分面積之間的關(guān)系可得答案；
(2)根據(jù)圖③中，大正方形的面積為（a＋b）2，小正方形的面積為（a﹣b）2，每個(gè)長方形的面積為ab，由各個(gè)部分的面積之間的關(guān)系可得出答案；
(3)由公式變形，再整體代入計(jì)算即可；
(4)大正方形的面積可表示為（a＋b＋c）2，在分別表示出大正方形中9塊的面積，可得答案；
(5)根據(jù)拼出一個(gè)面積為（3a＋b）（a＋3b），即為3a2＋3b2＋10ab，因此x＝3，y＝3，z＝10，進(jìn)而拼圖即可；
(6)根據(jù)大正方體的體積為（a＋b）3，以及8個(gè)“小塊”的體積之間的關(guān)系得出結(jié)果即可．
【解析】（1）根據(jù)圖②各個(gè)部分面積之間的關(guān)系可得：
（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2，
故答案為：（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2；
（2）圖③中，大正方形的面積為（a＋b）2，
小正方形的面積為（a﹣b）2，
每個(gè)長方形的面積為ab，
，
故答案為：；
（3）利用（2）的結(jié)論，
可知，
x＋y＝8，xy＝2，
（x﹣y）2＝（x＋y）2﹣4xy＝64﹣8＝56；
（4）根據(jù)圖④，
大正方形的面積可表示為（a＋b＋c）2，
內(nèi)部9塊的面積分別為：
，
（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc
故答案為：（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；
（5）（3a＋b）（a＋3b）＝3a2＋3b2＋10ab，
，
即需要3張邊長為a的正方形，3張邊長為b的正方形，10張寬、長分別為a、b的長方形紙片，
畫圖如下：
∴x＋y＋z＝16；
（6）根據(jù)圖⑥，
大正方體的體積為（a＋b）3，
分割成8個(gè)“小塊”的體積分別為：
，
（a＋b）3＝a2＋b2＋3a2b＋3ab2
故答案為：（a＋b）3＝a2＋b2＋3a2b＋3ab2．
【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的幾何背景、立方公式，表示各個(gè)部分的面積和體積，利用各個(gè)部分的面積或體積與整體的關(guān)系得出答案．
a
b
a＋b
a－b
a2－b2
2
1
3
1
3
3
－2
1
5


a
b
a＋b
a－b
a2－b2
2
1
3
1
3
3
－2
1
5
5

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